基于三阶平面贝齐尔曲线的G2 连续研究.doc

基于三阶平面贝齐尔曲线的G2 连续研究 李启明曹喜锋于立明 （上海飞机设计研究院，中国上海xx32） 【摘要】飞机外形设计中，当单一的曲线不能满足描述复杂形状的需要时，就必须采用组合的曲线，这就需要解决的关键问题就是怎样实现光滑连接的问题，工程实践中，G2连续的组合曲线受到了特别的关注。过渡连接时，常用的二次曲线难以在两端均实现G2连续，这就有必要构造其他形式的曲线来实现G2连续，通过控制三次贝齐尔曲线首末端点曲率，得出了该三次贝齐尔曲线与直线、曲线保持G2连续的方法。 关键词贝齐尔曲线；飞机外形设计；g2连续 【Abstract】Inaircraftshapedesign,whenonesinglecurvecouldnotdescribeplicatedshape,positecurveshouldbeused,andthenhowtorealizesmoothlybinationmustbesolved.Inpractices,G2continuousnesspositecurvegetespecialattentions.Itisintractablewhenuseonecurvetobinealineandacurve,coniccurvewidelyusedcouldnotrealizeG2continuousness,soitisnecessaryconstructingotherformofcurvetomeetG2continuousness.OneformofcubicBziercurveisconstructed，anditcouldmeetG2continuousnessbycontrollingitsendpointscurvature. 【Keywords】Bziercurve;Aircraftshapedesign;G2continuousness 0引言 飞机外形设计中，曲线的光顺与否不仅关系到飞机外形曲面的美观，更重要的是曲线的光顺将直接影响飞机的气动性能，为此，必须尽可能的获得光顺的曲线以保证飞机外形的曲面质量。为保证曲面品质，需要在连接处均实现G2连续，二次曲线由于阶次的限制，不能保证两端均与其他曲线G2连续，而阶数过高的贝齐尔曲线，由于定义点过多，定义点的计算非常繁琐且解不唯一，其形状难以控制。三阶贝齐尔曲线是很好的折衷，既可以实现G2连续的过渡连接，也能保证解的唯一性。 1贝齐尔曲线介绍 贝齐尔是参数多项式曲线，其定义形式如下： P0、P1Pn是称为“定义点”，依次连接P0、P1Pn的多边形称为曲线的“特征多边形”，O点为原点。工程中的特征多边形一般为凸多边形，本文仅讨论特征多边形为凸多边形的各种情况。 2构造过渡曲线 飞机外形设计中使用最多的是平面曲线，平面曲线操作简单、容易构造，事实上空间曲线可以用两个平面曲线表达，这也使得空间曲线单独构造操作的意义降低了。故本文只讨论平面曲线的情况。 本文利用三阶平面贝齐尔曲线连接，见图1。 对于任意参数曲线p(t)，曲率由下式表示2： 图2中表示了t=0时曲线起点处向量及控制点。P0为曲线P0点的法线方向，H0为P2在P0上的投影，为曲线起点P0处曲率中心。 2.10180的情况 图3是0180时p(t)过渡连接的示意图 方程组（13）中，除m、n外，其余均为已知量，解得m、n的值即可得到P1、P2的位置，但该方程组m、n均为二阶，难以直接求得解析解，必须利用数值方法求解。变换方程组（13）得到： 方程组（14）满足收敛条件，该方程组迭代求解即可得到P1、P2的位置。 2.2180360的情况 图4是180360时p(t)过渡连接的示意图 同样的，该方程组难以直接求得解析解，必须利用数值方法求解。变换方程组（18）得到： 方程组（14）满足收敛条件，该方程组迭代求解即可得到P1、P2的位置。 2.3=180的情况 =180时，直线P0P1和P3P2平行，见图5。 令直线P0P1和P3P2间的距离为?詛，则P0H0=P3H1=?詛，此时，（9）、（10）式均只有一个待求变量，P1、P2的位置独立，所以，只要调整P1、P2的位置满足（9）、（10）两式即可。 此外，=0（=）时，同样有直线P0P1和P3P2平行，但此时，特征多边形不是凸多边形，本文不予讨论。 另外，对于一端或两端有直线，即=0的情况，本文限于篇幅，将在其他文章中讨论。 3连接实例 以2.2情况为例，利用三阶贝齐尔曲线连接任意两条曲线，见图6。 此时，曲线l1、l2已经确定了P0、P3、P的位置，再利用方程组（19）迭代求解即可得到P1、P2的位置。 此时P0点处曲率0=0.0045，P3点处曲率1=0.0025，代入方程组（19）迭代求解得到 根据求解结果画出三阶贝齐尔曲线并进行曲率检验，见图7。 由曲率分析图可以看出，三阶贝齐尔曲线在连接点处实现了G2连续，保证了曲线的连接质量。 4结论 本文通过求解端点处的贝齐尔曲线曲率，构造了不同情况下实现G2连续的三次平面贝齐尔曲线，构造方法简捷，实现了三次贝齐尔曲线与直线和曲线的G2连续，保证了曲线连接的品质，在飞机外形设计中具有实际的应用价值。 参考文献 施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条M.高等教育出版社,xx:18-26,114-143. 苏步青