（应用数学专业论文）退化、脉冲时滞微分方程解的稳定性周期解及周期边值问题.pdf

i ， ，、 摘要 在工程、经济和生物等很多方面的实际问题中，退化和脉冲现象 是普遍存在的，这引起学者们的广泛重视，并得出了很多成果而 时滞又是客观世界与工程实际中普遍存在的现象我们注意到，在 许多实际系统中，要对其准确的描述，就必须同时考虑退化和时滞 或脉冲与时滞的影响因此研究退化、脉冲时滞微分方程解的性态 具有重要的现实意义 本文就退化、脉冲时滞微分方程解的稳定性、周期解及周期边值 问题作了一些研究。本硕士论文由四章组成，主要讨论一类退化时 滞微分系统解的稳定性，脉冲时滞微分方程周期正解的存在性以及 一阶脉冲泛函微分方程周期边值问题正解的存在性。 第一章叙述了问题产生的背景与意义及本文所做的主要工作 第二章讨论了指标为1 的退化时滞微分系统解的稳定性，并给 出了一个具体的v - 泛函和相应的定理 第三章使用k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理讨论脉冲时滞微分方程正 周期解的存在性，给出了判别这类方程正周期解存在性的一些结论 第四章利用范数形式的锥拉伸和锥压缩不动点定理讨论一阶脉 冲泛函微分方程的周期边值问题，给出了这类方程正解存在性的简 捷判别条件 关键词退化时滞微分系统；稳定性；v - 泛函；脉冲 时滞微分方程；正周期解；不动点定理；周期边值问题；正 解 a b s t r a c t i nm a n yp r a c t i c a lf i e l d s ，d e g e n e r a t ea n di m p u l s i v ep h e n o m e n ae x i s tc x t e n s i v e l y , s u c ha se n g i n e e r i n g ，e c o n o m y , b i o l o g y , a n ds oo n a n dt h i sp h e n o m e n o nh a sa t t r a c t e dm a n ys c h o l a r s a t t e n t i o na n dl o t so fa v a i l a b l ea n di m o p o r t a n tr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d h o w e v e r ，d e l a yi sac o m m o np h e n o m e n o n i nt h eo b j e c t i v ew o r l da n de n g i n e e r i n gf i e l d s w en o t i c et h a t ，i nm a n yp r a e - t i c a ls y s t e m s ，i no r d e rt od e s c r i b l et h es y s t e mm o r ea c c u r a t e l y , w em u s tt a k e t h ei n f l u e n c eo fe i t h e rd e g e n e r a t ea n dd e l a yo ri m p u l s ea n dd e l a yi n t oc o n s i d e r a t i o na l t o g e t h e r s o ，i th a sap r a c t i c a ls i g n i f i c a n c et os t u d yt h ec h a r a c t e r o fs o l u t i o n so fe i t h e rd e g e n e r a t ed i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hd e l a yo ri m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y s t h i st h e s i sm a i n l yd i s c u s s e st h es t a b i l i t yo fs o l u t i o n so fd e g e n e r a t ed i f - f e r e n t i a ls y s t e mw i t hd e l a y ，p e r i o d i cs o l u t i o n sa n dp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e sa n dd e l a y s i ti sc o m p o s e d o ff o u rc h a p t e r s ，w h i c hm a i n l ys t u d yt h es t a b i l i t yo fs o l u t i o n so fak i n do f d e g e n e r a t ed i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hd e l a y , t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y s ，a n dt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n sf o rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ff i r s t - o r d e ri m p u l s i v e f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n d sa n ds i g n i f i c a n c eo ft h ep r o b l e m sa r eg i v e n t h em a i nw o r kd o n ei nt h i sp a p e ri si n t r o d u c e d i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h es t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n so fak i n do fd e - g e n e r a t ed i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hd e l a yw h e ni n d e xi s1 w eg i v eac o n c r e t e l i a p u n o vf u n c t i o n a la n dac o r r e s p o n d i n gt h e o r e m i i i nc h a p t e rt h r e e ，b yu s i n gk r a s n o s e l s k i ip o i n tt h e o r e mo n c o n e ，w es t u d y t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so fd l f i e r e n t l a le q u a t i o n sw i t hl m p u l s e sa n dd e l a y s ，g i v es o m ec o n c l u s i o n st oj u d g et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h i se q u a t i o n s kt h el a s tc h a p t e r b yu s i n gaf i x e dp o i n tt h e o r e m0 nc o n ec o n p r e s s i o n a n de x p a n s i o no fn o r mt y p e w ed i s s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s t t l v ps o l u t i o n sf o r p e r m d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ff i r s t o r d e ri m p u l s i v ef u n c t i o n a l & f f e r e n t i a le q u a t i o n s s o m ee x i s t e n c er e s u l t so fp o s i t i v es o l u t i o n sa r ed e r i v e d k e yw o r d s ：d e g e n e r a t ed i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hd e l a y ；s t a b i l i t y ；v - f u n c t i o n a l ；i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y s ；p o s i t i v ep e r i o d i c8 0 - l u t i o u s ；f i x e dp o i n tt h e o r e m ；p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；p o s i t i v es 阻 1 u t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得霉 则或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：猕养平 签字日期：2 年岁月o 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解安徽太牛 有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅本人授权霞1 款太l 每可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：拜器平 签字日期：2 0 年f 月f 1 ) 日 学位论文作者毕业去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期： 电话： 邮编： 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1背景与意义 退化系统是h h r o s e n b r o e k 在讨论复杂的电网络系统时，首先提出来的， 此后，人们在航空工程，化工系统，经济系统等领域的研究中。都发现了退化 系统，这类系统模型在处理多目标，多层次，动态与静态相结合的系统时，具 有重要作用最优控制，反馈控制的数学模型大多都是退化系统但是迄今为 止，研究工作主要限于常微分系统的情形或者说没有顾及广泛存在的至关 重要的时滞的影响，而时滞在客观世界中是经常发生的，可见，研究退化时滞 微分系统具有重要意义 此外，脉冲现象在现代科技各领域的实际问题中是普遍存在的，其数学模 型往往可归结为脉冲微分系统脉冲微分系统最突出的特点是能够充分考虑 到瞬时突变现象对状态的影响，能够更深刻，更精确地反映事物的变化规律， 因此脉冲微分方程的研究已引起了大量学者的兴趣( 见f 1 1 一1 4 】) 近年最新科技 成果表明，这类系统在航天技术，信息科学，控制系统，通讯，生命科学，医 学，经济领域均得到重要应用而周期解和周期边值问题一直是脉冲微分方程 理论的一个重要分支，吸引了众多学者，取得了许多较好的结果( 见 1 5 - 1 8 ) 】 张索平t 退化、脉冲时滞微分方程解的稳定性，周期解及周期边值问题 但脉冲微分方程周期解的研究有待进一步深入，特别是在“脉冲”，“时 滞”共存甚至更复杂的情形下系统解的规律与特征尚需深入探索因此，对于 脉冲时滞微分方程周期解和周期边值问题的研究是一项很有意义的工作 5 1 2本文所做的工作 文 1 】研究了如下二阶线性常系数广义微分差分方程零解的稳定性问题： f 叠l ( t ) ：。1 l 善1 ( t ) + 口1 2 x 2 ( t ) + 6 1 1 9 1 ( t r ) + 6 1 2 茹2 ( t r ) ， 1 0 = a 2 1 x l ( t ) + 口2 2 2 2 ( t ) + 6 2 1 l 。一r ) + 6 2 2 2 2 。一r ) 其中，( i ，j = 1 ，2 ) 均为常数，r o ，t t o 0 受【l 】【2 】【3 】， 4 】的启发，我们研究了指标为1 的退化时滞微分系统 豆壹( t ) = 互圣( t ) + 雪孟( 亡一下) 解的稳定性其中i ( t ) r “，雷，a ，雪毋。“均为常量阵，旧= o ，r r + 为 参数 文【5 】研究了脉冲泛函微分方程 ( t ) = 一a x ( t ) + ( t ，x ( t 一7 - ) ) ，t t k ， a x ( t ) = i k ( ( t 一) ) ，t = t k 的正周期解的存在性 文【6 】用k r a s n o s e s k i i 锥不动点定理研究多时滞微分方程 u ( t ) = 一a ( t ) u ( t ) + ，( t ，( t 一匍( t ) ) ，u ( t n ( t ) ) ，y ( t 一矗。( t ) ) ) 2 第一章绪论 f ) = 巾，引， t 地( 赔1 2 i m ) 1 。h 。z k ( 。( “) ) ， ( 2 = 1 ，2 ，i m ) 【z ( o ) = z ( 1 ) 3 张素平，退化脉冲时滞微分方程解的稳定性，周期解及周期边值问题 笛一音 爿了一早 一类退化时滞微分系统 解的稳定性 2 1引言 考虑如下退化时滞微分系统 廖主( t ) = 砬( t ) + 雪牙( t r ) ，( 2 1 1 ) 其中牙( t ) r n ，豆，a ，雪r n ”均为常量阵，旧= 0 ，r r + 为参数 我们知道，当( 亩，a ) 正则时，可通过变换，得到与系统( 2 1 1 ) 等价的系 统 幽( - a 伸“。) 4 - b l l x l ( t - - 7 - ) + b 1 2 2 2 ( t - t ) ， ( 2 1 2 ) in 圣2 ( t ) = z 2 ( t ) - 4 - b 2 l x l ( t f ) + b 2 2 x 2 ( t r ) 其中$ l ( t ) f 矿l ，x 2 ( t ) r “2 ，w , i - 4 - r t 2 = r t ；a l ，b l l r n l 。“1 ；b 2 2 r “2 。”2 ； b 1 2 p i 。”1 ；岛1 r n 2 。“2 ；n 为幂零阵 在系统( 2 1 2 ) 中，当指标为1 ，即n = 0 时的情形就是我们本文要讨论的 微分系统与差分系统的混合系统即 芷“t ) - = a l x “印+ b 1 1 z “t r ) + b 1 2 $ 2 ( t r ) ， ( 2 1 3 ) 1 列t ) - 一b 2 1 州t 叫一b 2 2 以t 叫 弘j 。 第二章 一类退化时滞微分系统解的稳定性 关于孤立的微分系统和孤立的差分系统的稳定性，已有一些结果，但是对( 2 1 3 ) 中b 1 2 0 ，b 2 2 0 的情形，即混合系统的稳定性，所见文献极少本文将在 第二部分给出一般的退化时滞微分系统解的稳定性的概念；在第三部分给出 一般退化时滞微分系统解的稳定性的判定定理及系统f 2 13 ) 稳定性的有效判 定定理；最后举例说明其应用 5 2 2预备知识 设有如下退化时滞微分方程 e ( t ) = ( t ，轧) ， ( 2 2 1 ) 其中，e 为n n 奇异常数矩阵，舭( 日) = ( t + 日) ，0 【一l o 】，f o ；，( t ，币) 【0 ，+ c o ) c ( - - t ，o 】，r ”) - + r ”，且连续，f ( t ，0 ) = 0 ，v t t o 0 方程( 2 2 1 ) 的初始条件为： x t o = 妒，妒c ( 一下，0 】，r ”) 在给出系统( 2 2 1 ) 的稳定性概念【1 】之前，还需引用如下记号：区间死= 【0 ，“) ，其中0 0 ，总存在6 ( t o ，e ) 0 ，使得v 妒b ( o ，d ) n s k ( t o ，t k ) ，方程( 2 ，2 1 ) 过初始条件( o ，妒) 的解。( t ，t o ，妒) 满足：( t ，z ( t ) ) | | s e ，v t 【t o ，嘲，则称方程( 2 2 1 ) 的零解关于 q ( t ，z ) ，巩) 为稳定的 ( 2 ) 若在( 1 ) 中d 仅与e 有关，与t o 无关，则称方程( 2 2 1 ) 的零解关于 g ( z z ) ，巩 为一致稳定的。 定义2 若方程( 2 2 1 ) 的零解关于伯( t ，z ) ，【0 ，+ o 。) ) 为稳定的，且v t o 【0 ，+ o o ) ，存在目 o ，v 妒b ( o ，q ) f 3 鼠( 如，+ o 。) ，有： t ! ( t ，。( t ，t o ，妒) ) | i = 0 ， 则称方程( 2 2 1 ) 的零解关于 g ( t ，z ) ，【0 ，+ o o ) 为渐近稳定的 注1 上述稳定性概念中的t k ，可取为+ m ，也可取为有限数，这样使 得稳定性的概念的应用范围得以扩大，因为在实际问题中，只要在充分大的时 间间隔内稳定即可 注2 在方程( 2 2 1 ) 中，若e 为对称矩阵，一般可取q ( t ，童) = x t e x ；若 e 为非对称矩阵，一般可取q ( t ，z ) = g g t e t h ( t ) e x ，其中h ( t ) 为n n 矩阵函 数，而讨论稳定性时，所取的l i a p u n o v 函数或泛函则与q ( t ，x ) 有关，这样处 理可方便于求函数或泛函的全导数 注3 上述概念中，初始条件不仅要求为相容性初始条件，而且要求为保 证解在【t o ，“) 上存在的那些初始条件，即属于$ k ( t o ，t k ) ，这与非奇异系统解 的稳定性概念有很大区别 注4 若q ( t ，。) = t k = + o o ，s k ( t o ，t k ) = c ( 【一r ，o 】，舻) ，则上述稳定性概念 为传统意义下的l i a p t m o v 稳定性概念 6 第二章一类退化时滞微分系统解的稳定性 5 2 3主要结果 小= e ( t ) = 血( t ) + b x ( t r ) ，( 2 3 1 ) 户= 一c 。，。b ，f = ( ：三) ， = f t ( a t e + e t a + d ) f + f t 矿b c o ，。+ ( ：) b 丁e f 一( ：) 。c 。，。， 其中d 是一个待定n n 对称正定矩阵 下面给出关于稳定性的两个判定定理 定理3 1 设对方程( 2 2 1 ) 的任一解x ( t ) ，当q ( t ，x ( t ) ) 有界时，沿方程解 的导数4 ( t ，。( t ) ) 有界，且存在楔函数u ( ) ，”( ) 及非负非减函数w ( ) ，及连续 v 泛函v ( t ，妒) ：【0 ，+ ) c ( - r ，o l ，j p ) - + r ，满足； 、 i ) u ( 1 l q ( t ，z ( t ) ) l | ) v ( t ，x t ) v ( 1 l x t l l ) ；i i ) d + y ( t ，x t ) 一w ( 1 l q ( t ，z ( t ) ) | i ) 则方程( 2 2 1 ) 的零解关于 g ( t ，。) ，【0 ，+ o o ) 为渐近稳定的 该定理的证明参见文献【1 】1 7 a 0 i i a 成写、，卟舸 ， o i协 1 l 肚 獭样 设 这 张素平，退化，脉冲时滞微分方程解的稳定性，周期解及周期边值问题 定理3 2 ( i ) 对于方程( 2 3 1 ) ，如果存在一个正定矩阵d ，使w 为一个 负定矩阵，且i b 2 2j 0 ，则有i i x l ( t ) m ，v t t o ，+ o 。) 成立，不妨设v t t o f ，+ ) 也成立，则 口( t ，z ( t ) ) i | = 2 x l ( t ) f l ( t ) ：2 z l ( t ) a l x l ( t ) + b 1 1 x l ( t r ) + b 1 2 2 2 ( t f ) 】 2 i i a li i m 2 + l i b l d l m 2 + i i b l 2 m l i z 2 ( t r ) 】， 由方程( 2 , 1 3 ) 的第二个方程，v t 【t o + ( k 一1 ) 一t o + k r ， i x 2 ( t ) l i f i b 2 i l i m + i i b 2 2 1 1 ( 1 1 8 2 i l i m + l i b 2 2 l l l l = 2 ( t 一2 f ) 1 1 ) 卢+ l i b 2 2 1 1 p + i i b 2 2 1 1 2 卢+ + i i b = 2 1 1 卢， 其中，卢= 似善 玩1 i l m ，m a z l l p 2 ( o ) l ，口卜lo ) ) 由于1 1 8 2 2 1 i 0 可令j ( o ，e ) 使得v 妒b ( 0 ，6 ) ns k ( t o ，+ 。) 时，有i i q ( t ，z ( t ) 川= z ； e 2 与 ( i ) 中证明i ( t z ( t ) ) l 的有界性类似可证： 眺) 1 1 0 ，使得即b ( o ，6 0 ) n 鼠( t o ，+ o 。) 有忙( 圳 1 ， 若t _ + + o 。时x 2 ( t ) 不以0 为极限，由于i i = 2 ( 0 1 i 1 ，v t 【t o ，+ o o ) ，故存 在序列 ) ，_ + o o ，使得z 2 ( k ) 一n o ，当 - + + o o 时，n o 0 。 由于方程( 2 3 1 ) 的零解关于 z t e t e z ， 0 ，+ o o ) ) 为渐近稳定的，故t 。l i + r a 。o x l ( t ) = 0 ， 。里罂，。z 2 ( k ) ；。卫鬻。一 b 2 1 z l ( t r t r ) + s 2 2 2 2 ( t n r ) 】 = 。墨一b 2 2 x 2 ( i n r ) 因为序列 。一，) ) 有界，所以它有收敛的子序列，不妨记这个收敛的子序 列就是它本身，即存在一个口1 ，使得。墨卫z ( k r ) = 口， 因此，a o = 一b 2 2 n 1 ，重复上述过程，我们假定对任意的k ，存在a ，使 得。墨霉2 ( i n k r ) = a 女， = 1 ，2 ，3 ，因此c t o = 一b 2 0 t k ，又i | 玩2 l ，训a ) 有界，所以n o = 0 ，这与伽0 矛盾，于是t 三沈( t ) = 0 1 n 第二章 一类退化时滞微分系统解的稳定性 故方程( 2 31 ) 的零躲关于扛，【0 ，+ o 。) ) 一致稳定且渐近稳定 2 4应用举例 圣笺i篡-叫xl(t0 ”k 协a m i= $ 2 ( t ) 一扣l ( t r ) 、 e = ( ：) ，a = ( 1 2 ：) ，b = ( ：三) ， 于是有 声一( 叭) b = ( o ，；) ， f = ( ：；) 10 ；) ( 埘彻有 1 1 之o ，一 0 l o 0 1 o 1 o o 0 ，一，一r、 、l o 2 - 0 o l 0 0 o ，一、，w八。：。w八 0 1 0 o 0 0 乏 o 1 0 1 o ，一，厂( (、l，、 、0 1 0 o i 2 l 0 0，一， ，+ + = 缈 张索平t 退化、脉冲时滞微分方程解的稳定性，周期解及周期边值问题 显然，w 为负定的，且i 口2 2 i = t k ，1 1 平t k = e - ：2 ：o o = k o o ，z ( “) = 。( t + ) 一z ( ) ，k z ( z 为整数集) ，这里的。( t 毒) ，。( 坛) 分别表示 z ( t ) 在t = 如处的右极限和左极限，且。( t 毒) = = c t k ) r ，t 都是正常数 3 1 2 预备知识 p c = p g ( 【- f ，0 】，【0 ，+ ) ) = 妒：【一r ，0 】- + 0 ，+ ) ，妒( t ) 除了有限个点f 外 处处连续，妒( 矿) 和妒( 尹) 都存在且l p ( p ) = 妒( 习 设妒p c ，对一个给定的a ( t m - 1 ，) ，m z ，方程( 3 1 1 1 ) 的初值问题 是： ( t ) = 一o ( t ，z ( t ) ) $ 0 ) + ，0 ，z o f ) ) ，t t k ，t d j a z ( t ) = i k ( x ( t k ) ) ， k m ， ( 3 1 2 1 ) o 口= 妒 方程( 3 1 2 1 ) 的解x ( t ) = $ ( 岛矾妒) 具有以下特点： ( 1 ) 当口一r t 口时，z ( t ) 满足初始条件( 3 1 2 1 ) ； ( 2 ) 当口t k 时，z ( t ) 与下述方程的解在口t t m 内重合： 圣( t ) = 一a c t ，z ( t ) ) 善( t ) + f ( t ，z o r ) ) ，t 口 $ 口2 蛾 1 4 第三章脉冲时滞微分方程正周期解的存在性 ( 3 ) 当t 。t t m + l 时，。( t ) 与下述方程的解在st t 。+ 1 内重合 ( t ) = 一a ( t ，z o ) ) $ 0 ) + f ( t ，z ( t r ) ) ，t t 。， 其中 一愀m 引， 卜7 专2 ( 4 ) 假定方程( 3 1 2 1 ) 的解在区间 o - - t ，t m + k 】上已知，那么当t m + k t 0 使得厶+ q ( z ) = 厶( z ) ，“+ 口= t k + t 张素平；退化脉冲时滞微分方程解的稳定性，周期解及周期边值问题 记e = z o ) ：z p c ( r ，r ) ，x ( t + t ) = z o ) ) ，其中p c ( r ，r ) = z ：r r | 当t t k 时z ( t ) 是连续的，当t = t k 时，z ( t ) 和z ( 百) 均存在且z ( t j ) = 。( “) ，对z e 定义范数为l i x l i = s u pj z ( t ) i ，那么e 是一个b a n a c h 空间记 t e o ，7 1 r 7 = r “) ， a ( t ，s ) = e ra ( l x ( 洲f 万而五石 3 1 矧 定理1 对于$ p c ( r ，r ) n c 7 ( r ，r ) ，方程( 3 1 1 1 ) 存在一个t - 周期解当且 仅当下列积分方程存在一个t - 周期解 z ( t ) ：f 坩g ( t ，s ) m ，z ( 8 7 ) ) 幽+ i k ( x ( t - i ) ) a ( t ，t k ) ( 3 1 2 3 )z ( t ) = g ( t ，s ) ，( 8 ，z ( 8 7 ) ) d s + ， ( ) o t t ：a 钉 证明必要性：如果$ ( t ) 是方程( 3 1 1 1 ) 的一个t - 周期解，那么对t t k ( z ( t ) e 片。( 洲f ) ) 武) ，：e c 。( 洲f ) 心巾，z ( t r ) ) 上式两边关于t 从t - + t + t 积分，得 z 0 + t ) e + 7 。( f ，。( f ) ) 武一z ( t ) e 。( f ，。( f ) ) 嘶 = j p 叮e 片口( f ，$ ( f ) ) 西，扣，z 0 一f ) ) d s + 一厶( z ( 训e 学n ( 涨) 垮， t “( h t 因为z 0 + t ) = x ( t ) ，于是 z ( t ) 2 而志i 嘭+ t e f fa ( g , x c o ) d f ( 舭( s r ) ) d s + i k ( $ ( 坛) ) e c 。( f 声( ) ) 嘶】 t “ 件t = 矿t c ( t ，a ) f ( a ，z ( s t ) ) 幽+ e i k ( x ( t - i ) ) g ( t ，t ) t t k “- t 因此，方程( 3 1 1 1 ) 的t 一周期解满足方程( 3 1 2 3 ) 1 6 第三章脉冲时滞微分方程正周期解的存在性 州”“巳“成i 亳警：如一) ) 如伍m + “( z ( 坛) ) e j o 叭如烈 飚】， 对于t 缸，上式两边关于t 求导，得 【z ( ) + n ( z ，z ( t z ( ) e 。# 武2 ：i ? ：磊：石i 石【e e 4 7 。j 世f ( t + t , x ( t + t r ) ) 一e j ：。( f ，。( f ) ) ，( t ，x ( t t ) ) 】 = f ( t ，z 0 一r ) ) e n ( f ，一( o ) a 4 ， 即i ( t ) = - a ( t ，z ( t ) ) z o ) + i ( t ，z o r ) ) 对于t = “由( 3 1 2 4 ) 我们有 z ( 办肌删鹰2 再1 成一。r r t 。k 耵e 肌删武m ，z ( 川 + 五 ( t f ) ) e j n ( 声( e ) ) 】， 蚓e 脚和贼2 赢噼+ t e 肌珊臌m ，z ( 一) ) d s + ( z ( 巧) ) e 口。( 洲f ) ) 嘶】， 因为“+ t = t k + q ，厶+ q ( z ) = 厶( z ) ，故 z ( t ) e d z 业= = ：) ：r r ：磊：! i 石i ：；：【k + a ( z ( t i + 。) ) e j ：+ 口，z 4 一厶扛( ) ) e j ： 。( ，。( f ) ) 】 2 ：焉r ：磊：石五忑二： 厶( z ( t i ) ) e j ：+ 7 。，z “8 一厶( z ( 坛) ) e 舻d ( f ( f ) 1 = 厶0 ( ) ) e 片。( 声( f ) ) 嘶， 即z ( “) = 厶( 。( ) ) 定理1 证毕 为了证明本文的主要结果我们需要下面的一些引理； 张素平退化、脉冲时滞微分方程解的稳定性，周期解及周期边值问题 引理l ( 范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理) 设k 是b a n a c h 空间e 的一个锥，n l 和n 2 是e 中的有界开集，0 n l ，d lc q 2 ，a ：k n ( 娆2 f 2 1 ) - k 全连续，如果满足条件： 或 ( 1 ) l l a u l i i l u l l ， v u kf ia f t l ； l i a , i | j “j j ， v u kn a n 2 ( 2 ) l l a ujj 1 i t , l l ，v u k n a f t 2 ； l l a 训l i | v t k n a n l 则a 在k n ( 疡n 1 ) 中必有不动点 关于引理1 的证明见文献【9 】 定义算子a ：e - e ( 血) ( t ) = f g ( t ，8 ) ，( 毛x ( s r ) ) 如+ 厶( z ( 石) ) g ( f ，t k ) ( 3 1 2 5 ) 显然，寻找( 3 1 1 1 ) 的t 一周期解等价于在e 中寻找映射a 的不动点 设( 凰) 满足，记 尬2 i n f 3 二e x p ( f ? a l ( 渊，尬2 。5 煞t e 印( f ，( 3 1 2 6 ) h = e 印( 口n 1 ( f ) 武) ，k 2 = e x p ( f o t 。2 ( f ) 武) ，j = 删 、。 则0 6 1 ，在e 中定义锥；k = 伽e ：。( t ) 6 i t x l l 引理2a ( k ) c k 证明由( 3 1 2 6 ) 式，比k ，我们有 i i a z l ls 格旧m ，z s - - ? ) ) 。t kt 矗( z ( 删 因此) ( ) 毒乌嘧m ，z ( s r ) ) 幽+ 。 _ 5 1 1 a 。r l 第三章 脉冲时滞微分方程正周期解的存在性 引理3 算子a 是全连续的 证明首先证明a 的连续性，设v t r ，x n ( t ) 叶x 0 ( ) ，则 ( a 。) ( t ) 一( 以。) 0 ) i = + ? g ( t ，s ) f ( s ，z 。( s r ) ) d s 一+ ta ( t ，s ) ，( s ，z o ( s r ) ) 如+ i k ( x n ( ) ) g ( t ，t k ) 一i k ( * o ( t i - ) ) t t a - t - tf “ 抖t g ( t ，t ) i i 竽与j ，( s z 。( s r ) ) 一，( s z o ( s r ) ) j d s + 器。泛t 阶n ) 一厶( 砒 因为，( t ，z ) 和i k ( x ) 关于x 连续，于是我们得l ( a x n ) ( t ) 一( a x o ) ( t ) i - + 0 ，故 i i a 锄一a x o i - 0 ，即证a 是连续的 设d c 国是一个有界集，v t r ，z d ，由式( 3 1 2 5 ) ，有 ( a z ) ( t ) i = iy + ta ( , ，8 ) f ( 8 ，z 0 一r ) ) d j + 厶0 ( t i ) ) g ( t ，t k ) t “ t + t 格口$ ( s r ) ) i 幽+ 格。泛t 阶( 删， 根据，( s ，z ) ，厶( 。) 的连续性，我们得a z 是一致有界的，因此a ( d ) 是一个有 界集另外，对于z d 及i ，【t k 乩t k ) ， t 由式( 3 1 2 5 ) 得 f ( a z ) ( 刁一( a z ) ( t ) f = f 露+ t g ( 云s ) ，( s ，。0 一丁) ) d o + 厶扛( f i ) ) k “ “t ” c f f , t k ) 一后+ t g ( i ，8 ) 1 ( 8 ，z ( s r ) ) 幽一i k ( x ( t - i ) ) g ( t ，t k ) i ， ! “ 至+ t 霹十ti g f f , s ) 一g ( 厶s ) i i ，o ，z ( s 一，) ) l d s + 以譬i g ( ts ) i i i ( s ，g 扣一t ) ) l d 8 + j j i g 旺，s ) l i ( 8 ，。0 一r ) ) l d s + e i g ( f ，t k ) 一g ( i ，t k ) l l l ( = ( t e ) ) l ， o t - 0 ，使 得f ( t ，u ) s “，r k ( u ) “，v k ，0 “sp o 令q m = 扛k ：i i x l i p o ，使得 f ( t ，u ) m u ，对于t 6 p 1 令q p l = 伽k ：j i * 1 i 0 ，使 得，( t ，t ) “，厶( ) sm ，v k ，t 6 p o 令q p o = 扛k ：忪| l p o ，则v 耳n a n p o ，有 于是 ( 血) ( t ) 前m 【j 。tm ，z ( s r ) ) 如+ 。厶( z ( 删 害备 e z t + e 】音e c t + q ) p o p o = l | z i a z | i i i 。i i ，k n a q p o ( 3 1 3 3 ) 根据条件( 2 ) ，可选取m ，使得m2 ( i 6 t ) ，存在常数p l p o ，使得 ，0 ，t ) m u ，对于0 “p t 令q p l = z k ：| i $ i | 0 ，使得f ( t ，“) ! 坠， v o u p l ； 1 一l ( 3 ) 厶( u ) 至匝1 ， v k # 1 1 则方程( 3 1 1 1 ) 存在t 一周期解 证明由条件( 1 ) 知，对于m ( i 等6 丁广1 ，存在一个正常数p o p 1 ，使 得f ( t ，) m u ，0 “sp o 令n p o = 。k ：l i 卫j i p o v z k n a q 加，我f 门 有，z ( t ) a l i b i i = 和o 因此对于k n a q m ，有 有 ( 血) ( t ) 2 前m u 。t m ，。( s r ) ) 幽+ 毛+ r 厶( z ( 删 2 老f i r ( s ，z o f ) ) d s 毫鲁m x t2 叠2 乱- - 1 m c s p o t p o = i l z l 于是 a z | | 2l i x l l ， z k n a n 舶( 3 1 3 5 ) 另外，令q p 。= p k ：忙 p 1 ，由( 2 ) ，( 3 ) 知，对于z k n o n 我们 ( a z ) ( t ) = + r c ( t ，占) ，( s ，$ 扣一下) ) d s + 厶扛( t i ) ) g ( t ，t k ) t t k t + 于 荆学m