（应用数学专业论文）拟共形和拟正则映射中的一些问题.pdf

中文摘要 在第三章中，我们首先研究了拟圆周的子类双一l i p s c h i t z 齐次j o r d a n 曲线通 过分析有界覆盖性质和p 一空间的内在联系，提出了有限容纳性质的概念，并证明 了有限容纳性质和有界覆盖性质的等价性，从而用它刻划了加倍度量空间中的有 界折转、并且双l i p s c h i t z 齐次的j o r d a n 醢线其次，我们还证明了加倍度量空间和 口空间等价i 我们知道，口一空间和自相似集的研究紧密相连最后，我们利用自 相似集的深刻性质，证明了一个关键的、与其h a n s d o r f f 维数相关的“容纳”不等 式，从而在完备度量空间中证明了自相似集维数的f a l c o n e r 定理，即：其h a u s d o r f f 维数、计盒维数和填充维数相互一致，并且不超过它的相似维数；若相似映射还适 合强开集条件( s o s c ) ，以上备维数与相似维数也相等自相似集自h u c h i n s o n 引进 以来，因其具有几何上的特殊性和数学处理上的规律性而受到大家的普遍关注 在分形几何的研究中，很多例子通常都来自于自相似集，因此自相似集也称为自 相似分形上面的维数定理用s o s c 替代了f a l c o n e r 定理中的开集条件( o s c ) 在一 般的完备度量空间中，即使相似映射适合o s c ，也不能保证它的h a u s d o r f f 维数和相 似维数一致这是因为f a l c o n e r 定理用到了r n 的一个深刻性质一p 条件一但是一 般的完备度量空间不一定满足这一条件f 一 在第四章中，我们研究拟正则映射的线性伸张和模伸张之间的关系佣拟正则 映射的模伸张和局部拓扑指数，给出了其线性伸张的一个较为精确的显式上界 该上界与维数n 无关，它不但改进了r i c k m a n 和v o u r i n e n 的相应工作，而且当拟正 则映射加上同胚限制，即为拟共形映射时，它正好与s e i t t e n r a n t a 所得结果一致在 这里我们遇到的主要困难是拟正则映射不一定是同胚我们除了用拟正则映射的 局部拓扑指数和它对曲线族模的拟不变性建立了与t e i c h m i i l l e r 环模有关的两个精 确不等式外，还对一类拟共形偏差函数作了更为深入的研究，从而克服上述困难 拟正则映射的z o r i c h 定理表明：n 3 时，r n 到自身的、并且局部同胚的拟正 则映射必定是整体同胚的，从而是拟共形映射因此研究拟正则映射的局部同胚 条件就显得极为重要1 9 7 9 年，f e r r a n d 证明：如果拟正则映射，的伸张张量g ， 是连续可微的，则，是局部同胚后来，该结果被b o j a r s k i 等人改进到g ，为连续 的，被g u t l y a n s k i i 等人拓广到g ，为近似连续的最近，v u o r ! n e n 等人进一步指出： 如果g ，与矩阵值函数v m o 空间的b m o 范数距离充分小，则，为局部同胚j 。 在第五章中，我们着重讨论拟正则映射的局部单叶性和v m o 。空间的关系 ，首先，我们在b m o m 空间中引进了o r l i c z 范数然后讨论上述空间和它的子空间 、v m o 。空间以及由圣函数生成的o r l i c z 空间，得到了这些空间关系和等价范数的几 条定理最后，我们证明了以下结论：若拟正则映射，的伸张张量g ，( 或矩阵伸张 m ，) 与矩阵值函数v m o 。空间的o r l i c z 范数距离充分小，则拟正则映射，为局部同 胚显然，该结果是v u o r i n e n 等人工作的深化： 关键词：拟共形映射，拟对称映射，拟正则映射，双一l i p s c h i t z 映射，l o e w n e r 空 间，自相似集 i i 上海交通大学博士学位论文 s o m e p r o b l e m so fq u a s i c o n f o r m a la n d q u a s i r e g u l a rm a p p i n g s a b s t r a c t q u a s i c o n f o r m a l ( a b b r e v i a t e dq c ) a n dq u a s i r e g u l a r ( q r ) m a p p i n g sh a v em a n y i m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nc o m p l e xa n a l y t i cd y n a m i c s ，t e i c h m i i l l e rs p a c e sa n ds o b o e vs p a c e s p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s g e o m e t r ya n dt o p o l o g y p h y s i c sa n de n g i n e e r i n gt e c h n o l o g ys i n c ei t w a sf o u n d e di nt h e1 9 2 0 sa n d1 9 6 0 s r e s p e c t i v e l y t h e yh a v eb e e no n eo ft h em o s tf l o u r i s hb r a n c ho fc o m p l e xa n a l y s i st h et h e o r i e s o fq ca n dq rm a p p i n g sn o to n l yi n p l a n e b u ta l s oi nh i g h e rd i m e n s i o n e v e ni n p d e m a n n i a am a u i f o l d sa r ed e v e l o p i n gq u i c k l y ，ag r e a td e a lo fa d v a n c e sh a v eb e e n o b t a i n e d f o re x a m p l e i n1 9 9 8 ，h e i n o n e na n dk o s k e l ai n t r o d u c e dt h ec o n c e p to f l o e w n e rs p a c ea n de s t a b l i s h e dt h et h e o r yo fq cm a p p i n g si ni tw h e nt h e ys t u d i e d t h ec o n d i t i o n so i l s p a c e sw h e r et h et h e o r yo fq cm a p p i n g sc a nb ef o u n d e d w e k n o wt h a tl o e w n e rs p a c e sa r ea p p r o x i m a t e l ye q u i v a l e n tt o s p a c e sw h i c ha d m i ta w e a kp o i n c a r 6i n e q u a l i t y t h e yi n c l u d en o to n l yr “h e i s e n b e r ga n dc a r n o t g r o u p s c a r n o t c a r a t h 6 0 d o r ys p a c e s b u tc o m p a c tp d e m a n n i a nm a n i f o l d sa n ds i m p l i c i a l c o m p l e x e s i nt h i st h e s i s 、w em a i n l ys f u d yl h ep r o p e r t i e so fv a r i o u sm a p p i n g so u t h e s es p a c e s i nc h a p t e r1 - w es t u d yt h e g e o m e t r i c “a n a l y t i c ”a n d “m e t r i c ”d e f i n i t i o n s o fb i l i p s c h i t zm a p si nl o e w n e r s p a c e s f i r s t ，w ep r o v et h a tah o m e o m o r p t f i s mi s b i ，l i p s c h i t zi fa n do n l y i fi ts a t i s f i e sam o d u l u s i n e q u a l i t yo fr i n g s i e i tp r e s e r v e s b o u n d e dd i s t o r t i o nf o rm o d u l u so fr i n g st h i sr e s u l tn o to n l yg e n e r a l i z e s b u ti m p r o v e sh o h d e sw o r ko b t a i n e di n1 9 9 7 h ep r o v e dt h a tt h e s et h r e ed e f i n i t i o n so fb i l i p s c h i t zm a p s a r ee q u i v a l e n tu n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h es e l f - h o m e o m o r p h i s m s 。f f l xt w op o i n t s h o w e v e r w ek n o wt h a tl o e w n e rs p a c ei sm o r e g e n e r a lt h a n r “a n das e k - h o m e o m o r p h i s mo f r “m a y h a v e n tt w of i x e dp o i n t sh e r ew er e s o l v e s o m ep r o b l e m sb e c a u s et h e ”s p h e r i c a lr i n g s i nr “m a yn o tb er i n g sa n yl o n g e r w h e n t h e y a r eg e n e r a l i z e dt ol o e w n e r s p a c e s ，a n dw e c a l ln o td e f i n et h em o d u l u so f i i i 4 b s t r a c t r i n g sb yr o t e ，w eu s et h ed e e pp r o p e r t y l i n e a rl o c a lc o n n e c t i v i t y o fl o e w n e r s p a c e st oc o n s t r u c t “n e w ”r i n g s ，a n dd e f i n en e w m o d u l u so fr i n g si ns u c ha b s t r a c t s p a c e s n e x t ，w ep r o v et h a tah o m e o m o r p h i s m i s b i - l i p s c h i t zi fa n do n l yi fi t i s a b s o i u t e l yc o n t i n u o u so nq a l m o s te v e r yc u r v e s ，a n di t sm a x i m u ma n dm i n i m u m d e r i v a t i v e sa r et w o s i d e l yb o u n d e d s i n c el o e w n e rs p a c e su s u a l l ya r en o n l i n e a r ， t h e r eh a v e n tt h ed i f f e r e n t i a ls t r u c t u r es i m i l a rt ot h a to fn e u c l i d e a ns p a c e s w e r e p l a c et h eo r d i n a r y “d e r i v a t i v e s ”a n d “a c lp r o p e r t y ”i nr “b yt h e “m a x i m u m m i n i m u ma n dv o l u m ed e r i v a t i v e s ”a n d “a b s o l u t e l yc o n t i n u o u so nq a l m o s te v e r y c u r v e s ”i nl o e w n e rs p a c e sr e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r2 ，w ef i r s tp r o v et h a ta h o m e o m o r p h i s mi sq u a s i s y m m e t r i c ( q s ) i f a n d o n l y i fi tp r e s e r v e sb o u n d e ds e t sa n d q u a s i i n v a r i a n c ef o rm o d u l u s o f r i n g s t h i s i saf a m o u sr e s u l ti nr “n e x t ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fr e g u l a rs e t sa n di n n e r d i l a t a t i o nc o e 最c i e n t so fq sm a p p i n g si nt e r m so fv o l u m ed e r i v a t i v e sa n de s t a b l i s h t h ev g i s g l ga n dg r 6 t z s c h t e i c h m i i l l e rt y p ei n e q u a l i t i e so fq sm a p p i n g sb yu s i n g t h ei n t r i n s i cr e l a t i o nb e t w e e nt h em a x i m u ma n dm i n i m u md e r i v a t i v e si na h l f o r 8 一 d a v i d r e g u l a rs p a c e sw h i c h a r em o r e g e n e r a lt h a nq r e g u l a rl o e w n e rs p a c e s t h e s e i n e q u a l i t i e sa r eu s e f u li ns t u d y i n gt h el o c a lc o n f o r m a l i t yo fq ca n dq rm a p p i n g s i ti sw o r t hn o t i n gt h a tb i s h o pe ta l p r o v e dt h et e i c h m i i l l e r w i t t i c ht h e o r e mo f n d i m e n s i o n a lq rm a p p i n g sb yu s i n gt h e s ei n e q u a l i t i e sa n do t h e rm e t h o d s i nc h a p t e r 3 ，w ef i r s ts t u d yt h eb i l i p s c h i t zh o m o g e n e o u sj o r d a nc u r v ew h i c h i sas u b c l a s so fq u a s i c i r c l ew ei n t r o d u c et h eb o u n d e dc o n t a i n i n gp r o p e r t yb y a n a l y z i n gt h ei n t r i n s i cr e l a t i o nb e t w e e nb o u n d e dc o v e r i n gp r o p e r t ya n d 口一s p a c e s a n dp r o v et h ee q u i v a l e n c eo fb o u n d e dc o n t a i n i n gp r o p e r t ya n db o u n d e dc o v e r i n g p r o p e r t y c o n s e q u e n t l y ，i tc h a r a c t e r i z e st h ej o r d a nc u r v e s w h i c ha r en o to n l yb i l i p s c h i t zh o m o g e n e o u s ，b u tb o u n d e dt u r n i n gi nd o u b l i n gm e t r i cs p a c e s n e x t ，w e p r o v et h a tt h ed o u b l i n gm e t r i cs p a c e sa r ee q u i v a l e n tt o 臼一s p a c e s w ek n o wt h a t 口一s p a c e s a r et i g h t l yr e l a t e dt ot h er e s e a r c ho fs e l f - s i m i l a rs e t s f i n a l l y , b yu s i n g t h ed e e pp r o p e r t i e so fs e l f - s i m i l a rs e t s ，w ep r o v ea “c o n t a i n i n g i n e q u a l i t yw h i c h i sc r u c i a la n dr e l a t e dt ot h e i rh a u s d o r f fd i m e n s i o n ，t h e nw ep r o v et h ef a l c o n e r s d i m e n s i o nt h e o r e mo fs e l f - s i m i l a rs e t si nc o m p l e t em e t r i cs p a c e s ，i e ，t h eh a u s d o r f f ， b o xa n dp a c k i n gd i m e n s i o n so fas e l f - s i m i l a rs e ta r ee q u a la n da r en o tl a r g e rt h a n 上海交通大学博士学位论文 i t s s i m i l a r i t yd i m e n s i o n m o r e o v e r i ft h es i m i l i t u d e ss a t i s f yt h es t r o n go p e ns e t c o i l 出t i o nf s o s c l t h e nt h ea b o v ed i m e n s i o n sa r ea 1 8 0c o i n c i d ew i t ht h es i m i l a r i t y d i m e n s i o n p e o p l eh a v ep a i dp a r t i c u l a ra t t e n t i o n so ns e l f - s i m i l a rs e t sb e c a u s et h e y h a v eg e o m e t r i cp a r t i c u l a r i t ya n dm a t h e m a t i c a lr e g u l a r i t yt od e a lw i t hs i n c et h e y w e r ei n t r o d u c e db yh u c h i n s o n i ns t u d y i n gf r a c t a lg e o m e t r y m a n ye x a m p l e sa r e f r o ms e l f - s i m i l a r s e t s s o m e t i m e s t h e ya r ea l s o c a h e ds e l f - s i m i l a rf r a c t a l s t 1 l e s o s ci nt h ea b o v ed i m e n s i o nt h e o r e mr e p l a c et h eo s ci nf a l c o n e rt h e o r e l l l i n t h eg e n e r a lm e t r i cs p a c e s o n em a yn o td e d u c et h a tt h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no f as e l f - s i m i l a rs e t e q u a l s t oi t s s i m i l a r i t yd i m e n s i o ne v e ni fi t ss i m i l i t u d e ss a t i s f y t h eo s ct h er e a s o ni st h a tad e e pp r o p e r t yo fr “一8 c o n d i t i o n w a su s e di n f a l c o n e r st h e o r e m b u tt h eg e n e r a lm e t r i cs p a c e sm a yn o ts a r i s f yt h i sc o n d i t i o n i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nt h el i n e a rd i l a t a t i o na n dm o d u l u sd i l a t a t i o no fq r m a p p i n g s w eg i v e as h a r p e re x p l i c i t u p p e rb o u n df o rt h e l i n e a rd i l a t a t i o no fq rm a p p i n g si nt e r m so fi t sl o c a lt o p o l o g i c a li n d e xa n dm o d u h s d i l a t a t i o n w h i c hi s i n d e p e n d e n to ft h ed i m e n s i o nn t h i su p p e rb o u n dn o to n l y i m p r o v e sg e h r i n ga n dv u o r i n e n sc o r r e s p o n d i n gw o r k b u tc o i n c i d e sw i t hs e i t t e n r a n t a sr e s u l tw h e nt h em a p sa r er e s t r i c t e dt ob eh o m e o m o r p h i c ，i no t h e rw o r d s w h e n t h e ya r eq cm a p p i n g s h e r ew em u s tf a c et h ep r o b l e mt h a tq rm a p p i n g s m a y n o tb eh o m e o m o r p h i cw e s t u d yak i n do fq cd i s t o r t i o nf u n c t i o n sd e e p l ye x c e p t t h a tw ee s t a b h s ht w os h a r pi n e q u a l i t i e sc o n c e r n i n gt e i c h m i i l l e rr i n g sb yu s i n gt i l e q u a s i i n v a r i a n c ef o rt h em o d u l u so fc u r v e sa n dt h el o c a lt o p o l o g i c a li n d e xo fq r m a p p i n g s ，w h i c hm a k e u sc i r c u m v e n tt h ea b o v ep r o b l e m z o n c ht h e o r e mo fq rm a p p i n g sa s s e r t st h a tl o c a l l yh o m e o m o r p h i cq r m a p p i n g so f r “i n t oi t s e l fa r eh o m e o m o r p h i s m s a n dt h u sq c w h e n n 芝3 t h e r e f o r e i ti si m p o r t a n tt os t u d yt h el o c a l l yh o m e o m o r p h i cc o n d i t i o n so f q rm a p p i n g s i n1 9 7 9 f e r r a n dp r o v e dt h a ti ft h ed i l a t a t i o nt e n s o r 回o ft h e q rm a p p i n gfi s c o u t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e t h e nfi sl o c m l yh o m e o m o r p h i c t h i sr e s u l tw a ss u c 、 c e s s i v e l yi m p r o v e db yb o j a r s k ie t a 1 f o rc o n t i n u o u sg ta n db yg u t l y a n s k i ie ta l f o ra p p r o x i m a t e l y g f r e c e n t l y v u o r i n e n e ta i p o i n t e do u tt h a ti ft h eb m o u o r m d i s t a n c eb e t w e e ng sa n dt h em a t r i xv a l u ef u n c t i o n sv m o s p a c e si ss m a l le n o u g h ， t h e nfi s l o c a l l yh o m e o m o r p h i c v a b s t r a c t c h a p t e r5i sd e d i c a t e dt od i s c u s s i n gt h er e l a t i o nb e t w e e nt h el o c a lu n i v a l e n c y o fq rm a p p i n g sa n dv m o ms p a c e s f i r s t w ei n t r o d u c et h eo r h c zn o r mi nb m o m s p a c e s t h e nw ei n v e s t i g a t e i t s s u b s p a c e sv m o ms p a c e s a n dt h eo r h c zs p a c e s g e n e r a t e db y 圣f u n c t i o n s s e v e r a l t h e o r e m sa b o u tr d a t i o n sa m o n gt h e s es p a c e s a n de q u i v a l e n tn o r m sa r eg i v e n f i n a l l y ，w ed r a wt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n ：i ft h e o r h c z n o r l nd i s t a n c eb e t w e e nt h ed i l a t a t i o nt e n s o rg s ( o rm a t r i xd i l a t a t i o n 慨) o f q rm a p p i n g sfa n dt h em a t r i xv a l u ef u n c t i o n sv m o , s p a c e s i ss m a l le n o u g h ，t h e n fi sl o c a l l yh o m e o m o r p h i c c l e a r l y t h i sr e s u l td e e p e n sv n o r i n e n e ta l sw o r k k e yw o r d s ：q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s 、q u a s i s y m m e t r i cm a p p i n g s ，q u a s i r e g u l a rm a p p i n g s b i l i p s d f i t zm a p p i n g s l o e w n e rs p a c e s ，s e l f - s i m i l a rs e t s 第零章绪论 o 1 历史和意义 拟共形映射的理论已经有七十多年的历史了。它的创始人g r 6 t z s c h 1 9 2 8 年引进了平 面拟共形映射的概念，l a v r e n t i e v 【6 3 】1 9 3 8 年引进了高维拟共形映射。此后，a h l f o r s 【1 】和 t e i c h m f i l l e r 1 0 a 发展了拟共形映射的理论。1 9 6 1 年，g e h r i n g 3 0 和v g i s j l i 1 1 3 开始在n 一 维e u c l i d 空间r ”( n 2 ) 中对拟共形映射作系统的研究。拟共形映射的理论已经经历了平面 陋“】、r ” ”8 乃至n 维i r i e m a n n 流形 6 8 】的发展道路，当然，它仍然在蓬勃发展。拟共 形映射实质上是对无限小球的形状和大小保持一致有界偏差的同胚，它有许多重要应用。例 如，它的理论在s u l l i v a n 1 0 i 】关于复解析动力系统和t h u r s t o n i 0 4 关于三维流形上的几何与 拓扑的研究中都有著名应用，此外，它还在微分几何、几何分析( 诸如双曲几何、流形上的分 析和g r o l n o v 双曲群等，参见文献7 ) 、偏微分方程、s o b o l e v 和t e i c h m f i l l e r 空间、物理和 工程技术等领域有广泛应用。 如果说高维拟共形映射是平面拟共形映射在空间形式上的推广的话，那么高维拟正则映射 就是平面解析函数在空间形式上的自然推广。拟正则映射由前苏联数学家p 。e s h e t n y a k 引进， 并在1 9 6 6 年开始的一系列文章中加以研究。数年后，m a l t i o 、r i c k m a n 和v g i s g l in 7 5 , ”】 相继投入这一研究领域。拟正则映射的重要性不仅体现在它是平面( 复) 解析函数的几何理论 在n 一维e u c l i d 空间中，乃至n 一维r i e m a n n 流形中的自然、优美拓广，而且体现在研究拟正 则映射时所产生的新的思想方法在其他学科中有重要应用( 参见文献 8 9 ) 在r e s h e t n y a k1 9 6 6 1 9 6 9 年的文章中，他通过运用微分几何、非线性p d e 和s o b o l e v 空 间的理论，获得了拟正则映射的许多基础性结果，其中最为著名的结果就是拟正则映射的离 散性和开性。基于此重要结果，m a r t i o 、r i c k m a n 和v 血s a l a 在1 9 6 9 1 9 7 2 年间给出了研究 拟正则映射的另外一种方法，即运用研究拟共形映射的常用工具( 比如，曲线族及其模、极值 长度等j 来研究拟正则映射。1 9 8 3 年，b o j a r s k i 和1 w a n i e c 俐刨立了研究拟正则映射的解析 方法，他们的方法很大程度上独立于r e s h e t n y a k 的工作。1 9 8 8 年，v u o r i n e n 【“5 】运用共形 不变量研究了拟正则映射的偏差理论，令人有点吃惊的是：拟正则映射的很多偏差定理和维 数n 并无关系，这一点后面我们还将看到。此外，1 9 9 2 年，1 w a n i e c 5 3 1 用p - 调和张量研究 了拟正则映射。随后，他还和m a r t i n 5 5 】一同研究了偶数维空间的拟正则映射。 o 2 研究现状和问题 近年来，拟共形映射的理论取得了重要进展。例如，v g i s a i g 1 0 9 研究了b a n a c h 空间中 的拟共形映射，k o r g n y i 和i r i e n l a n n - 96 0 】在h e i s e n b e r g 群上建立了拟共形映射理论，m a r g u l i s 和m o s t o wi t 3 在c a r n o t c a r a t h o d o r y 空间中得到了拟共形映射的可微性，v o d o p l y a n o 和 g r e s h n o v 1 1 4 在c a r n o t 群上获得了拟共形映射的解析性质。此外，h e i n o n e n 考察了 第零章绪论 o 1 历史和意义 拟共形映射的理论已经有七十多年的历史了。它的创始人g r 6 t z s c h 1 9 2 8 年引进了平 面拟共形映射的概念，l a v r e n t i e v 【6 3 】1 9 3 8 年引进了高维拟共形映射。此后，a h l f o r s 【1 】和 t e i c h m f i l l e r 1 0 a 发展了拟共形映射的理论。1 9 6 1 年，g e h r i n g 3 0 和v g i s j l i 1 1 3 开始在n 一 维e u c l i d 空间r ”( n 2 ) 中对拟共形映射作系统的研究。拟共形映射的理论已经经历了平面 陋“】、r ” ”8 乃至n 维i r i e m a n n 流形 6 8 】的发展道路，当然，它仍然在蓬勃发展。拟共 形映射实质上是对无限小球的形状和大小保持一致有界偏差的同胚，它有许多重要应用。例 如，它的理论在s u l l i v a n 1 0 i 】关于复解析动力系统和t h u r s t o n i 0 4 关于三维流形上的几何与 拓扑的研究中都有著名应用，此外，它还在微分几何、几何分析( 诸如双曲几何、流形上的分 析和g r o l n o v 双曲群等，参见文献7 ) 、偏微分方程、s o b o l e v 和t e i c h m f i l l e r 空间、物理和 工程技术等领域有广泛应用。 如果说高维拟共形映射是平面拟共形映射在空间形式上的推广的话，那么高维拟正则映射 就是平面解析函数在空间形式上的自然推广。拟正则映射由前苏联数学家p 。e s h e t n y a k 引进， 并在1 9 6 6 年开始的一系列文章中加以研究。数年后，m a l t i o 、r i c k m a n 和v g i s g l in 7 5 , ”】 相继投入这一研究领域。拟正则映射的重要性不仅体现在它是平面( 复) 解析函数的几何理论 在n 一维e u c l i d 空间中，乃至n 一维r i e m a n n 流形中的自然、优美拓广，而且体现在研究拟正 则映射时所产生的新的思想方法在其他学科中有重要应用( 参见文献 8 9 ) 在r e s h e t n y a k1 9 6 6 1 9 6 9 年的文章中，他通过运用微分几何、非线性p d e 和s o b o l e v 空 间的理论，获得了拟正则映射的许多基础性结果，其中最为著名的结果就是拟正则映射的离 散性和开性。基于此重要结果，m a r t i o 、r i c k m a n 和v 血s a l a 在1 9 6 9 1 9 7 2 年间给出了研究 拟正则映射的另外一种方法，即运用研究拟共形映射的常用工具( 比如，曲线族及其模、极值 长度等j 来研究拟正则映射。1 9 8 3 年，b o j a r s k i 和1 w a n i e c 俐刨立了研究拟正则映射的解析 方法，他们的方法很大程度上独立于r e s h e t n y a k 的工作。1 9 8 8 年，v u o r i n e n 【“5 】运用共形 不变量研究了拟正则映射的偏差理论，令人有点吃惊的是：拟正则映射的很多偏差定理和维 数n 并无关系，这一点后面我们还将看到。此外，1 9 9 2 年，1 w a n i e c 5 3 1 用p - 调和张量研究 了拟正则映射。随后，他还和m a r t i n 5 5 】一同研究了偶数维空间的拟正则映射。 o 2 研究现状和问题 近年来，拟共形映射的理论取得了重要进展。例如，v g i s a i g 1 0 9 研究了b a n a c h 空间中 的拟共形映射，k o r g n y i 和i r i e n l a n n - 96 0 】在h e i s e n b e r g 群上建立了拟共形映射理论，m a r g u l i s 和m o s t o wi t 3 在c a r n o t c a r a t h o d o r y 空间中得到了拟共形映射的可微性，v o d o p l y a n o 和 g r e s h n o v 1 1 4 在c a r n o t 群上获得了拟共形映射的解析性质。此外，h e i n o n e n 考察了 上海交通大学博士学位论文 c a r n o t 群上的容量估计，这方面的工作还有7 9 1 因此研究拟共形映射理论得以建立的空间条 件就显得非常重要 1 9 9 8 年，h e i n o n e n 和k o s k e l a 在他们的著名文章 4 5 】中成功地在l o e w n e r 空间中发展 了拟共形映射的理论所谓l o e w n e r 空间，粗略地说：就是连接任意两个不相交的、非退化连 通闭集的蓝线族的模大于一个正常数的空间它近似等价于弱p o i n c a r 4 不等式成立的空间 l o e w n e r 空间的例子包括r “、c a r n o t 和h e i s e n b e r g 群、c a r n o t c a r a t m o d o r y 空间、紧致 r i e m a r m i a n 一流形以及单纯复形因此，l o e w n e r 空间是一类广泛而且重要的空间最近， b a l o g h 和k o s k e l a 在l o e w n e r 空间中讨论了拟共形映射和拟对称映射的可去奇性同时， k o s k e l a 等人川考察了p o i n c a r 4 不等式成立的可去奇性，这方面的相关工作还可以参看文献 4 6 ，4 7 和 5 8 】- 由此可见，在这类空间上研究各类映射的性质正在蓬勃发展 众所周知，在n - 维