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太原理工大学硕士研究生学位论文 下临界分枝过程的界 摘要 首先，本文在介绍g w 分枝过程一些基本理论及下临界分枝过程的 主要结论的基础上，使用高等数学中的极限、导数、泰勒公式等基本理 论、方法证明了下l f 缶界分枝过程是否必然灭绝的判别定理 其次，k o l m o g o r o w ( 1 9 3 8 ) 提出在下临界分枝过程中，若层( z ? ) c 电则 有下式成立： s 。一1 一 ( 0 ) 一册。，n 一。 h e a t h c o t e 和s e n e t a ( 1 9 6 6 ) 获得了关于c 的界。但是在他们获得界的文章中 仅仅考虑了繁衍概率母函数二阶导数的存在。本文在其三阶导数存在时， 提出下面两个关于灭绝概率吼的等式： 鼋。一1 + ，( 。) ( 鼋一：- 1 ) 吼一1 + m 国。一1 ) + l f ( 1 x q , , 。一1 ) 2 + 詈，1 ) ( 乳。一1 ) 3 由于吼。 ( o ) = 1 一，并利用上面两个等式本文获得了c 的界。 最后，本文通过泊松型繁衍概率母函数的实例，说明用本文方法获 得界是比较好的。 太原理工大学硕士研究生学位论文 关键词：分枝过程，随机环境分枝过程，灭绝概率，界 太原理工大学硕士研究生学衍论文 b o u n d sf o rs u b c r i t i c a lb p r e a b s t r a c t f i r s t l y , i nt h i sp a p e rs o m ee l e m e n t a r yt h e o r i e sa b o u tg wb r a n c t 。i n g p r o c e s s e s ，s o m ep r i m a r yc o n c l u s i o n sa b o u ts u b c r i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s s e s a r ei n t r o d u c e d o nt h e s ef o u n d a t i o n s ，t h r o u g hu s i n gt h ee l e m e n t a r yt h e o r i e s a n dm e t h o df o re x a m p l ea sl i m i t ，d e r i v a t i v e ，t a y l o rf o r m u l aa n ds oo ni nt h e h i g h e rm a t h e m a t i c s ，t h ed e c i s i o nt h e o r e ma b o u tt h a tas u b c r i t i c a lb r a n c h i n g p r o c e s si sc e r t a i n l ye x t i n c to rn o ti sp r o v e d s e c o n d l y , k o l m o g o r o v ( 1 9 3 8 ) s h o w e df o rs u b c r i t i c a lg wb r a n c h i n g p r o c e s s e s ，i fe ( z ? ) ，t h e n ： j 。= 1 一疋( o ) c m ”。 一一峨 h e a t h c o t ea n ds e n e t e ( 1 9 6 6 ) h a v eo b t a i n e db o u n d sf o rc b u ti nt h ea r g u m e n t s b yw h i c ht h e s eb o u n d sa r ed e r i v e d , i ti so n l ya s s u m e dt h a tt h ef i r s tt w o m o m e n t so ft h ed i s t r i b u t i o no fo f f s p r i n ge x i t w ew i l la s s u m et h a tt h ef i r s t “ t h r e em o m e n t se x i s t ，a n d 吼= 1 + f ( 毒卜1 ) ( 吼- i - 1 ) q 。= l + 肌( g _ 一1 ) + 吉厂( 1 ) ( g 。1 - 1 ) 2 + 圭，”( 仉- 1 ) ( 吼1 1 ) 3 ， 二o n i 。再一绺彳 ，n， 太原理工大学硕七研究生学位论文 a c c o r d i n gt o q 。= 工( o ) = l - s 。，a n dt h et w of o r m u l a sa b o v e ，w ec a no b t a i nt h e b o u n d s o fc a tl a s t , t h i sw i l lb es e e n , a tl e a s tf o rt h ep o s s i o n o f f s p r i n gd i s t r i b u t i o n ，t h e 。 g e n e r a l l yr e s u l ti nt h eb o u n d sb e i n gt i g h t e d k e yw o r d s ：b r a n c h i n gp r o c e s s ，b r a n c h i n g p r o c e s s i nr a n d o m e n v i r o n m e n t s ，e x t i n c t i o np r o b a b i l i t y ，b o u n d s 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体。均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：日期： 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定。其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名：日期： 导师签名：2 垒哇日期： 洲年 太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章引言 记乙是经典下临界分枝过程第月代的个体数目，再设过程的繁衍概率母函数为： ，( 5 ) = s p ( z = n 5 【o ，1 】 j = o 易见，乙的概率母函数( s ) 是f ( s ) 的”次迭代： 工= 以厶。o ) 】 ，l = 1 , 2 ，a ， 其中f o ( s ) = s ，z ( s ) = 厂( j ) 。因过程为下临界，故知厂( 1 ) = m 1 k o l m o g o r o v ( 1 9 3 8 ) 提出若e ( 2 7 ) 0 0 ，则有下式成立： 毛= 1 - z ( 0 ) c m 4 ， i v _ o o ( 1 2 ) h e a t h c o t e 和s e n e t a ( 1 9 6 6 ) 获得了关于f 的界。但是在他们获得界的文章中仅仅考 虑了繁衍概率母函数二阶导数的存在。本文在其三阶导数存在时，获得了c 的界，并 且通过泊松型繁衍概率母函数的实例，说明用本文方法获得界是比较好的。 太原理r 人学硕十研究生学位论文 第二章预备知识 2 1 分枝过程的定义及发展 为探讨英国贵族姓氏继承与谱系消亡问题，g a l t o n 和w a t s o n 于1 8 7 3 年建立了一 种新的随机过程模型，此模型的建立奠定了经典分枝过程的基础，因此经典分枝过程 通常称为g a l t o n - w a t s o n 分枝过程( 简记为g w 过程) 。 定义2 1 g w 过程是一个取非负整数值的m a r k o v 链 乙：疗= 0 , 1 ，2 a ， z o = 七： = 0 , 1 ，2 a ) ； 其中k 为某指定的正整数，六o = 1 , 2 a ) 是一个非负整数值、服从同一概率分布律 乃：，= 0 , 1 ，2 a ，或者具有相同概率母函数中( s ) 的独立随机变量序列( 简记为i i d 序 列) o i 。 一个g w 过程可设想为一个种群演化模型：设某物种在开始时刻0 有z o = 后个 称为第0 代或“祖先”的个体，他们根据同一概率分布律( 乃：，= 0 , 1 ，2 a ( 其中n 表 示每一个个体产生k 个下一代的概率) 相互独立且随机地繁殖若干个新个体，所有这 些新个体的总数z 1 恰是z o = 七个服从同一概率分布律 p ：_ ，= o ，1 ，2 a 或具有相同概 率母函数m ( s ) 的相互独立随机变量喜( j = 1 , 2 ，a ，j i ) 之和。然后， z t 个新个体构成第 一代并重复上辈的演化而繁衍出z ：个第2 代个体。依此规律一代代繁衍下去。在此 过程中，不管哪一代中的哪一个个体，其繁衍下一代的数目只取决于上述的同一概率 分布律 乃：，= o , i ，2 a 或相同概率母函数o ( s ) ，而不受其前辈或同代中其它个体的 2 磊 乙 = t乙 ， j j 太原理工大学硕士研究生学位论文 影响。以乙表示第h 代个体的总数，则 z 。) 就是一个g w 过程。 在g w 分枝过程中，不同个体全部遵循同样的概率分确律而独立繁衍后代这种时 齐性假设，给数学处理及许多实际模型的简化带来极大的方便。但是，由于自然界中 的物种繁衍过程大多都受个体间相互作用以及其他因素影响而具有相互依赖的关系， 因而使得经典分枝过程模型在应用上受到一定的限制。为弥补g w 分枝过程因时齐性 假设而造成的应用上的局限性，随机环境分枝过程在这种背景下应运而生。 2 2 随机环境分枝过程的定义与主要结论 随机环境分枝过程这一概念最早由s m i t h 和w i l k i n s o n 提出。他们在一般g w 分 枝过程 乙) 的基础上增加了环境随机变量 ，于1 9 6 9 年建立了独立同分布环境中 的随机环境分枝过程，并在1 9 7 1 年推出了m a r k o v 环境中的随机环境分枝过程。同 年，a t h r c 可a 与k a r l i n 建立了平稳遍历环境中的随机环境分枝过程。 定义2 2 设 乙) 为定义在某概率空间( q ，力上的取非负整数值的随机变量序 列且 z z o = 七；乙+ i = 旁，( 珂= o ，1 ，2 a ) ； i i 其中k 为某指定的常数， 幺 为随机环境。若对每个疗，当给定所有厶、z 。及 ) ( o m n ) 时， 旁：j ，= o ，i ，2 a 为相互独立且服从同一概率分布律 p j ( 厶) ：- ，= o ，1 ，2 a 或具有相同概率母函数中厶( s ) 的随机变量序列，则称 乙 是初 值为t 的伴有随机环境 ) 的随机环境分枝过程嘲 显然如此定义的随机环境分枝过程，其第h 代的个体独立繁殖第；，+ l 代新个体 3 太原理。f 人学硕士研究生学位论文 时r 不再象g w 分枝过程一样依赖于一个不变的概率分布律( n ：_ ，= o ，1 ，2 a ) 或概率母 函数( s ) ，而是随n 的不同，依赖于由环境 厶) 的状态所决定的概率分布律 p ( 厶) ：，= 0 , 1 ，2 a ) 或概率母函数中厶( s ) 2 2 1 独立闻分布环境下随机环境分枝过程的主要结论 s m i t h 与w i l k i n s o n 利用 乙 在独立同分布环境中取一个任何有限正整数均为瞬 时状态的m a r k o v 链的性质，使用更新过程的分析技巧结合关于独立随机变量和的波 动理论的方法，得到以下结论【2 l ： ( 1 ) 在独立同分布环境中，当n 趋于无穷时， 乙，或灭绝或无限增大，而不会停 留在一定的规模上。即： p 乙_ o 或乙寸o o ，o 专o o ) ，= 1 。 ( 2 ) 对于s m i t h w i l k i n s o n 随机环境分枝过程 乙陬= n ，若e l l 。g 中0 ( 1 ) l o f f e 一l o g o o 厶( o ) ) 】 o o 时，吼 l ； 当z 1 0 9 ( 1 ) 】o 时，g 女= l 。 g r e y 与l u ( 1 9 9 3 ) 就q t 0 ) ，即：吼趋于0 时的渐近行为除相差一 _ ”l o 证丘 个取对数l o gl l ：l o g k 低阶的因子外大致与k 一岛相当。 在( b ) 类有：。l i _ + m 。- l o 七g q k = - l o g h ，( 0 x 。 1 ) ，即：吼趋于o 时的渐近行为除 相差一个取对数l o g 后比t 低阶的因子外大致与z ：相当。 在( c ) 类有：o 烀l i r ai l f 等嬲s u p 等 。m 稍于。时的渐近行 为除相差一个取对数l o g 后比压低阶的因子外大致与p 。压相当。 ， 2 2 2 一般平稳遍历环境下随机环境分枝过程的主要结论。 设 乙) 二是平稳遍历环境下的随机环境分枝过程， v a r ，i e a + = m a x a ，o ) ， a t h r e y a 与k a r l i n ( 1 9 7 1 ) 利用c h u r c h 的一个关于概率母函数迭代性质的定理，在 e 1 0 9 0 ：0 ) 1 + 。的条件下把上述s m i m 晰l 虹n s o n 随机环境分枝过程中的结论( 1 ) ( 当 ” 疗趋于无穷时， 乙) 或灭绝或无限增大，而不会停留在一定的规模上) 推广到一般的 平稳遍历环境下的随机环境分枝过程。就一般平稳遍历环境下的随机环境分枝过程， a t h r e y a 与k a r l i n 得出以下结论【2 】： ( 1 ) 当研l o g m z ( 1 ) 】o 时，q i - - 1 ； ( 2 ) 当o e 【l o g 奠( 1 ) 】 且e 【一l o g ( 1 一。厶( o ) ) 】 - 0 ，表示“第疗代中类型f 个体的 总数”，i = 1 , 2 ；记i z 。l = z = 乏+ 乏，表示“第甩代个体的总数”。 l = l ( 2 ) 设类型i 个体繁衍子代的概率母函数为： o 乍) = p 锄) s ， j 2 0 其中：s = ( 毛，j ：) ，j = u ，j ：) ，s = s ，j ，p ( j ) 表示类型f 的个体生 个类型1 ， j 2 个类型2 的子代个体的概率。 ( 3 ) 记e i = ( 1 , 0 ) te 2 = ( o ，1 ) ，当z o = e i 时，记z 的概率母函数为叫( s ) ； m ( s ) = p ：( s ) ，o ：( s ) ) ，西。( s ) = o ( s ) = p ( s ) ，中2 ( s ) ) ，贝。有： 8 太原理1 = 大学硕士研究生学位论文 f o o c s ) = s ，( f = l ，2 ) ； 1 ：+ ( s ) ：，_ 。( s ) l o ：，2 0 , 12 ，人) l ：+ ( s ) = 睁。( s ) l0 = ，人) 并且，m ( s ) = 中。( 砸。( s ) ) 。 ( 4 ) 记 m = ( 用。) 2 。2 ，脚，= ( z 川z o = e i ) ，易见：e ( z 。+ 。i z ，) = z n m ”， 驴掣| l l - 2 半。 ( 5 ) 记灭绝概率q = ( 9 1 ，9 2 ) ，其中： 9 1 = p 仁。= 0 , 3 n e i z 。= e ， ， 9 2 = p z 。= 0 , 3 h n i z 。= e ： 。 ( 6 ) 定义向量v - - ( v n ，v 2 ) 的绝对值为其坐标绝对值之和：l v l = i v ，+ i v 2 2 4 2 两类型分枝过程的灭绝概率 定理2 1 ：假定m 。( s ) 不是而，屯的线性函数，m 0 ( m 中的每个元素为正) ，p 为m 的最大特征根。如果p 1 ，那么q = 1 ：如果p 1 ，那 么q 1 时，q 是s = m ( s ) ( s 1 ) 的最小非负解“1 。 证明：首先，我们考虑p 1 。 根据马尔可夫链的性质可知，当m 。( s ) 不是 ，j ：的线性函数且p 1 及 l z 。i _ 乏+ 乏时， p 0 l z 。i o , i = 1 , 2 ； q ：= o ( q l ，g ? ) 中( o ) = g ：，f = 1 , 2 ； 由归纳法得， g ：。= m 。( q l ，9 ：) 中( qw - ，窖) = 以，i = 1 ，2 所以g ：o = l 23 a ) 是一单增序列且“s l ，f = 1 ，2 ，故有： 1 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 太原理工大学硕七研究生学位论文 嫩靠2 q 。l ，i = 1 ，2 。 在( 2 2 ) 式中，令r 寸o o ，则：q = 中( 9 1 ，q 2 ) ，i = 1 , 2 ； 或 q 2 m ( q ) 。 我们下面证明q l 以f l r q 为s = m ( s ) ( s p ”【x ? + x 2 0 m i n ( y o ，y o ) ls l + o ( p ”) is l ( 2 7 ) 因为p l ，当( 2 - 7 ) 中的n 充分大时，! 受l m 。s p s = ( 岛，：) ，s - o 。 从( 2 4 ) 和( 2 7 ) 可得出： il 一( 1 一s ) p m 当0 s 1 时，i s i 充分小；此时栉充分大，令 ，再设v = l s ，则 i l m ( v ) | 1 1 - v i ( 2 8 ) 其中j 1 一v i 占，0 v s l 。 以下运用( 2 8 ) 证明q 1 1 - m 。( o ) 1 ( 2 9 ) 当n 充分大且i1 一m 。( 0 ) i 譬时，( 2 9 ) 成立；但它与当疗寸时，中：( 0 ) 趋于1 矛 盾，所以假设( q ：l ，即q = 1 ，i = 1 , 2 ) 不成立。 假设g 1 ，q 2 = l ，则：q 1 = 中1 ( 9 1 ，1 ) ，1 = q 2 = 巾2 ( 9 1 ，1 ) 。 通过上面两式可知，当q 。 o 矛盾，假设( q 1 ，q 2 = 1 ) 不成立。 同理可证，q 1 = 1 ，q 2 1 ，不成立。 故q l 。 最后证明q 是s = c p ( s ) ( s o 且q = m ( q ) ，因为此函数具有单调性，所以q = 西( q ) m l ( o ) ； 将上式迭代可得：q m 。( 0 ) ；取极限得：q q 。 定理2 2 ：在定理2 1 的条件下，如果q 为小于1 的任何向量，那么l i m m 。( q ) = q “”。 f l - - “o 1 3 太原理1 。大学硕十研究生学位论文 证明：设o q l ( f = i ，2 ) ，n 为正整数，则m ：( q ) 的泰勒展式： 中：( q ) 2 p i z 。i = o l z ：= l ，露= o + p z 。= x l z ；= 1 ，z ；= o ) ( 9 1 ) ( 9 2 ) 屯 o n 其中：x = ( 一，x 2 ) 。 则：舰中：( q ) 2 l 鳃e i z 。卜o l z = l ，露= o ) l i m m ：( o ) = 9 1 同理可证：l i r a 中：( q ) = 9 2 。 推论2 1 ：s = 西( s ) ( s 2 ，那么q 1 ， 那么q 0 ，则称多类型分枝过程 z 。 是正规( p o s i t i v e l y r e g u l a r ) ；若o ) ( 1 i 七) 均为q ，a ，s i 的线性函数且无常数项，则称多类型分枝过 程( z 。，是奇异的( s i n g u l a r ) i t 4 。 定理2 3 设多类型分枝过程 z 。) 是正规且奇异的，则对v i = ( ，人，t ) 0 ，总有： p z 。= i 无穷次出现 = 0 “4 。 注：0 是常返的； 当t = 2 时，中i ( s ) 2 毛s z ，中2 ( s ) = l ，虽非奇异但不正规，因为m = g ： ， 但由于以z 。= ( 1 1 ) l z 。= ( 1 ，1 ) = l ，则( 1 ，1 ) 为常返的； ， 定理蕴含，不论z o 为何值，只要i 0 ，总有i i m p ( z 。= i ) = 0 。 1 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 定理2 4 当多类型分枝过程 z 。) 是正规非奇异时，如果p 1 ，那么q = 1 ：如果 p 1 ，那么0 q o ，使得m 扩 o ，j ，l o ，、_ ，可以相同， 则称f 、j 类型相通。易见，一个类型与其它类型相通，则与自身相通。 若一个类型既不与自身也不与其它类型相通，则称该类型为奇异的。将奇异的归 为一类，其它按相通分“类”。若c 为一个“类”，且具有它包含的状态的每一个个体 以概率1 恰生一个属于c 中类的下代( 不属于c 中类的个体也可能被生) ，则称c 为 终极类( f i n a lc l a s s ) 。 定理2 6 多类型分枝过程 z 。 对每个z 。灭绝概率均为1 的充分必要条件为 p l 且不存在终极类。 2 5 2 随机环境多类型分枝过程 这里给出随机环境多类型分枝过程的数学描述。 设具有k 个类型的随机环境为独立同分布随机变量序列 厶 的多类型分枝过程 z 。 ，记 z 。) 的状态空间为t ，钒 的状态空间为o 。为了以后研究方便，我们引 1 7 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 入如下一些记号并将相关结论同时附上。 ( 1 ) z 。= 弦，a ，露) ，其中z o ，表示“第船代中类型f 个体的总数”，i s ，s 七； t 记l z 。i - z ：，表示“第甩代个体的总数”。 j l ( 2 ) 第聆代中类型f 个体繁衍子代( 即h + 1 代) 的概率母函数为： 中奠( s ) = ，奠( a ) s 4 ， n e ， 其中：a = ( q ，k ，吼) ，s = ( _ ，k ，s k ) 【o ，l r ，p ( a ) = 芘( q ，人，吒) 为第行代中类型f 的个体生成口1 个类型1 ，a k 个类型_ j 的子代个体的概率。 ( 3 ) 记m 厶( s ) = ( 中_ ( s ) ，a ，m 皇( s ) ) ，对v a ，b ，当e z 。= a 0 时， p ( a ，b ) = e z 川= b l z 。= a ，= e ( m 己( s ) ) 中s 。的系数，它为 z 。 的一步转移概率，即： ( ( s ) ) = p ( a ，b 。 b e t ( 4 ) 当z o - - - - a 时，记z 。的概率母函数为：q ( s i a ) ，显然有： g o ( s i a ) = q o i 一：a 1 人s = s 1 ，依此类推可得： g 。( s i a ) = e ( 垂中幺( m 岛a ( m 厶( s ) ) a ) 一 i 2 e ( n 。( p l ( m 厶。：a ( 岛( s ) ) 人) 4 2 e ( m 厶，( m 厶：人( m 靠( s ) ) a ) 。 ( 5 ) 若蟓竺竿型巩存在，则蚴为一个第一代类型i 的个 体在环境厶下生出的类型，子代数目的均值；记m f = ( 坍厶( j ，_ ，) ) 。， 1 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 m = e m 厶= ( e r a 矗( f ，埘m ，则有 e ( z 。+ i z ) = z u m ”，( 口s ) ，( ，n = 0 , 1 ，2 a ) ； 从而：e ( z 。i z o = a ) = a m ”，( 口j ) ( 6 ) 记q ( a ) = p z 。= o ，对某个 = 1 ，2 ，3 a l z 。= a ) ，称其为 z 。 的灭绝概率，因为 p ( o ，o ) = 1 ，f i ) r 以q ( a ) 2 熙p ( z 一= o l z 。2 a = l i 2 a 。g ( o i a ) ( 7 ) 记x o - - s 吒h ：。，l ，2 ，a n x 。 为 z 。) 的对偶过程( d u a lp r o c e s s ) ，k = ( z ，a ，斟) 。 易见：o x 州= m 矗( m 厶a ( m 靠( x o ) ) a ) ； x 。i x o - - - - i l l “o ，1 r x 。l x o = 0 ： q ( s l a ) = e ( x ：i x 。= s ) = e ( ( 1 d “。( o 厶寸a ( m 靠( s ) ) a ) 。， a r ，s p ，1 r ， 玎= 0 , 1 ，2 a ； g ( a ) = l i r a e ( x ：l x o = 0 ) ，a 7 。 定义2 4 设m 有限，若j 胛使得m ” 0 ，则称多类型随机环境分枝过程 z 。) 不 7 偏( i m p a r t i a l ) 汹。 定理2 7 设 z 。 不偏，若了f 使得g ( e ，) = 1 ，则：q ( e ，) = l ，w = l ，2 ，a ，| 咖瑚儿捌 定理2 8 存在k 维随机变量v = ( v l ，v 2 ，a ，v k ) 【o ，1 r ，使得x 。山v ，且 g ( a ) = g ( v ) ，a t 1 9 太原理f 大学硕十研究生学仿论文 证明：由【2 3 】第八章1 中例( d ) 即得。 2 0 太原理工大学确士研究生学位论文 第三章下临界分枝过程的界 3 1 k o l m o g o r o v 模型 记z 。是经典下临界分枝过程第玎代的个体数目，再设过程的繁衍概率母函数为 ，o ) 。荟5 p ( z 。n s 【0 ，l 】 易见，z 的概率母函数l g ) 是i ( s ) 的一次迭代： d ) - ， ，。( j ) 】露- 1 2 ， 其中f o ( s ) - s ，l - ，o ) 因过程为下临界，故知，( 1 ) 册t 1 k o l m o g o r o v ( 1 9 3 s ) 提出若e o ；) 0 0 ，则有下式成立： - 1 - ( 0 ) 一啪“，矗一o o ( 3 1 ) ( 3 2 ) h e a t h c o t e 和s e n e t a ( 1 9 6 6 ) 获得了关于c 的界。但是在他们获得界的文章中仅仅考 虑了繁衍概率母函数二阶导数的存在。本文在其三阶导数存在时，获得了c 的界，并 且通过泊松型繁衍概率母函数的实例，说明用本文方法获得界是比较好的。 3 2c 的界 繁衍概率母函数三阶导数存在时，由( 3 1 ) 和吼一无( o ) 1 一，有 口- 1 + ，( - 1 ) ( g q 一1 ) 吼- 1 + 册瓴一+ 三，。- 1 ) 2 + 丢，x q 棚3 ， 3 4 2 l 太原理工大学硕士研究生学位论文 这里吼。邑。 石+ 。2 4 。i 帆_ l - 1 2 s _ 脚 o 因此有： 丢亡掣1 帆- 2 ) + - 4 - 1 丢觚一t 上+j1口丢+i1口帆。i1一bms小2s 。 。n2 + j 口i + i 口一i 细蝠_ 。2 i 一 4 ，上m 2 s a _ 2 + 尹1 + 一b i n s 。i 1 _ b i n 2 - 上m 2 $ n2 + i l m 觚一告+ 1 ) ，m 。 1 _ r s r + j 1 口( 1 + i 1 + + 南一丢b m t - r s r 南+ + 1 + 1 ) -万1+三趔坐一三锄4”墨可1-(1两m2)-a21 - o m ) 6 1-m - 一+ 一o l 一所雄一s ，1 - 朋”s ， 州。) 争州再17 1 酱 一酱4 - 芒4 - 三删鲁一：, d m 、m m - l 一一聊s ， s z一卫o 2 m 。一所 m 2 1 l 【1 + a r e s , ( m _ _ z - m ) 一b m 2 s 2 m , - i , ( m ：_ _ m 2 , - 一) m 一 2 ( m 一1 ，6 ( m 2 1 泗， -导【1+ams而r(m-1)一bmzs啪2,(m_12t)-1)m2 ( m - l 一1 )o i 册。一l ， 太原理工大学硕士研究生学位论文 所以有： !囊等s舰粤【1+ares,(m面-_-1)m m 2 ( m一丝背】- 1 4 一一* 7 一1 )6 伽。一1 ) 。 导 1 + 罢妥一鲁关】- 2 。，叽 ( 3 1 1 ) 所“狮一哪叩一所2 ) 1 ”4 。 3 3 泊松型繁衍概率母函数时c 的界 假设繁衍概率母函数是泊松分布，0 ) 一e m j 1 ) ，则由( 3 1 ) 得： 吼一e m ( - 1 ) 1 1 + 肌( 鼋。- l 一1 ) + i l m 2 国。- l 一1 ) 2 + i 1m 3 q 。- l 一1 ) 3 + ( 3 1 2 ) 在此情况下a - b 1 又因1 m i 2 脚，跏】，由( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 成立，( ，龟1 ) 这样 可计算出气，l 和q 见下表： 表3 1 兰铲0 ) - e 。o 哪时，c 的界 mo 10 20 30 4o 50 60 70 80 9 c j 0 9 4 6 60 8 8 6 5 0 8 1 9 30 7 4 4 9o 6 6 2 30 5 7 0 0 o 4 6 5 0 0 3 4 2 2 0 1 9 2 8 c i j 0 9 4 6 6o 8 8 5 90 8 1 6 70 7 3 7 4o 6 甜沁0 5 4 0 5 0 4 1 9 8o 2 8 5 30 1 4 2 0 与h e a t h c o t e 和s c 乜获得的的界【4 2 】比较，9 蚶和c ，j 的值总是在他们所得的界之内， 当m 增大时，采用本文的方法所获得的界的改进是非常明显的。s e n e t a ( 1 9 6 7 ) ，表2 给 太原理工大学硕士研究生学位论文 出了当m - o 1 , o 2 0 9 时- 珈的上界与下界。当研0 7 , 0 8 , 0 9 ，肛下界大于本文 的1 c 。，但是其它情况下，上界c j 和下界c 更接近c 当r 很大时，能获得比表3 - 1 里的界更接近与c 的上下界，另外当 m 0 9 9 ，0 9 9 9 ，可采用计算机来计算q ，和c ， ， 太原理工大学硕士研究生学位论文 4 1 结论 第四章结论与展望 注意到j 。= 尸 乙o ) 且s 。c m ”伽寸o 。) ，故知，当 n 充分大时 e 1 ，m ” p 乙o ) c w ，m 4 ，或l q ，押” p 乙= o ) 1 一c u , r m ” 本文在繁衍概率母函数三阶导数存在时，提出下面两个关于灭绝概率q 。的等式： q 。= 1 + f 7 ( 一i ) 国- 1 ) q 。= l + m ( q 。- l 1 ) + 去( 1 ) ( g 。- l - 1 ) 2 + 圭，。( 叩。i ) ( g - l - 1 ) 3 ， zo 并利用上面两个等式本文获得了c 的界。 的。 最后，本文通过泊松型繁衍概率母函数的实例，说明用本文方法获得界是比较好 4 2 今后的工作设想 1 本文所考虑的分支过程是不带有环境的经典的分支过程，今后的工作中我们 可以在带有随机环境的分支过程中，利用本文的方法来获得灭绝概率的界。 2 本文在研究泊松型概率繁衍母函数时