（应用数学专业论文）σ紧有限网与弱k映射.pdf

摘要 2 0 世纪6 0 年代以来广义度量空间理论取得了巨大的成就其中寻求度 量空间在备类映射下象的特征已成为一般拓扑的热点问题之一紧有限集族 是广义度量空间的一类重要的集族，本文将建立度量空间与盯一紧有限c s 网、仃一紧有限c s 网、盯一紧有限序列邻域网、盯一紧有限紧有限分解网之 间的联系 第一章简要介绍广义度量空间类的些基本概念，其中包含这些空间类 的基本运算性质和简单特征，目的是为后两章提供必要的准备 在第二章，我们围绕具有盯一紧有限性质的各类网的空间进行了研究， 给出了这些空闫之间的部分关系，并介绍了万一紧有限网与具有其他性质的 网的关系 在第三章，我们给出了度量空间的弱k 映射的定义，由此证明了x 具有 口一紧有限的c 网当且仅当x 是度量空间诱导序列商弱k 象；x 具有盯一 紧有限的c s 网当且仅当x 是度量空间诱导序列覆盖弱k 象；x 具有盯一紧 有限的序列邻域网当且仅当x 是度量空间诱导1 序列覆盖弱k 象；x 具有 仃一紧有限的紧有限分解网当且仅当x 是度量空间诱导紧覆盖弱k 象 在第四章中，我们将本文的工作进行了总结，并且提出了几个有待迸一 步研究的问题 关键词：仃一紧有限，弱k 映射，c s + 网，c s 网，序列邻域网，紧有限 分解网 a b s t r a c t s i n c e1 9 6 0 s ，t h et h e o r yo fg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c eh a sm a d eg r e a tp r o g r e s s i th a sb e e no n eo ft h eh o t e s tt o p i c st os e e kc h a r a c t e r i z a t i o no fi r a n g e so fm e t r i c s p a c e su n d e rs o m ec e r t a i nm a p si ng e n e r a lt o p o l o g y t h ec o m p a c tf i n i t ec o l l e c - t i o ni so n eo fi m p o r t a n tc o l l e c t i o n si ng e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s i nt h i sp a p e r ，w e e s t a b l i s hr e l a t i o n sb e t w e e nm e t r i cs p a c e sa n da - c o m p a c tf i n i t ec s * - n e t w o r k s 、 a - - c o m p a c tf i n i t ec s - n e t w o r k s 、口一c o m p a c tf i n i t es e q u e n c en e i g h b o r h o o dn e t - w o r k s 、仃一c o m p a c tf i n i t ec p - n e t w o r k s i nc h a p t e ro n e ，w eb r i e f l yi n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t so fg e n e r a l i z e dm e t r i c s p a c e s ，i n c l u d i n gf u n d a m e n t a lo p e r a t i o np r o p e r t i e sa n ds i m p l ec h a r a c t e r i z a t i o n so f t h e s es p a c e s ，w h i c hp r o v i d es o m en e c e s s a r yp r e p a r a t i o nf o rt h el a t t e rt w oc h a p t e r s i nc h a p t e rt w o ，w ei n v e s t i g a t es p a c e sw i t hv a r i o u sa - c o m p a c tf i n i t en e t - w o r k s ，p r e s e n ts o m eo fr e l a t i o n sa m o n gt h e s es p a c e sa n di n t r o d u c er e l a t i o n s h i p b e t w e e na - c o m p a c tf i n i t en e t w o r k sa n do t h e rn e t w o r k s i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yi n t e r n a lc h a r a c t e r i z a t i o n so fs o m ew e a k l yk - m a p p i n g i m a g e so fm e t r i cs p a c e s ，a n dp r o v et h a tas p a c ex i sa ni n d u c t i v es e q u e n t i a l l y q u o t i e n t ，w e a k l yk - i m a g eo fam e t r i cs p a c ei fa n do n l yi fxh a s 盯一c o m p a c tf i - n i t ec s - n e t w o r k s ；xi sa ni n d u c t i v es e q u e n c e c o v e r i n g ，w e a k l yk - i m a g eo fa m e t r i cs p a c ei fa n do n l yi fxh a sa - c o m p a c tf i n i t ec s - n e t w o r k s ；xi sa ni n d u c - r i v e1 - s e q u e n c e - c o v e r i n g ，w e a k l yk - i m a g eo fam e t r i cs p a c ei fa n do n l yi fxh a s 仃一c o m p a c tf i n i t es e q u e n t i a ln e i g h b o r h o o d n e t w o r k s ；xi sa ni n d u c t i v ec o m p a c t - c o v e r i n g ，w e a k l yk - i m a g eo fam e t r i cs p a c ei fa n do n l yi fxh a sa - c o m p a c tf i n i t e c o m p a c t f i n i t e - p a r t i t i o nn e t w o r k s t e r c o n c l u s i o n sa n ds o m ep r o b l e m st ob es t u d i e df u r t h e ra r ei nt h ef o u r t hc h a p - k e y w o r d s ：a - c o m p a c tf i n i t e ，w e a k l yk - m a p s ，c s 4 - n e t w o r k s ，c s - n e t w o r k s ， s e q u e n t i a ln e i g h b o r h o o d n e t w o r k s ，c o m p a c t f i n i t e p a r t i t i o nn e t w o r k s t t 本人声明 我声明，本论文及其研究工作由本人在导师的指导下独立完成， 完成论文所用的一切资料均已在参考文献中列出。 作者：许子良 签字：许 良 日期：2 0 0 8 年4 月 引言 1 9 6 1 年a l e x a n d r o f 在布拉格会议上提出的通过映射对空间进行分 类的设想，1 9 6 6 年著名拓扑学家a r h a n g e l ，s k i l l 发表了历史性的文献 映射与空间 1 l ，对如何实施a l e x a n d r o f f 设想给出了一系列建设性 的具体步骤，开创了用映射研究空间的新纪元，成为一般拓扑学蓬勃 发展的里程碑。 用映射研究空间大致可以分为三个方面：1 哪些特定的广义度量 空间可以表示为度量空间在某些映射下的象或逆象。2 度量空间在某 些映射下的象有哪些内在特征。3 某些特定的广义度量空间在怎样的 映射下保持不变。几十年来国内外众多杰出的一般拓扑学家经过艰苦 不懈的努力，获得了大量瞩目的成就，不仅给一般拓扑学中许多古老 的课题灌输了新鲜血液，而且产生了众多新的研究方向。 其中寻求度量空间在各类映射下象的特征已成为一般拓扑的热点问 题之一。近年的研究表明，与点可数k 网相关的集合簇有重要的作用。 而盯一紧有限k 网具有更好的性质，例如刘川【2 】证明了空间x 是l a g n e v 空间当且仅当x 是具有盯紧有限k 网的正则的f r d c h e t 空间。紧有限集 族是介于局部有限集族与点有限集族之间的一类重要集族，伊一紧有限 集族就是可数个紧有限集族之并，近年来中外很多学者对它的研究作 出努力。其中刘川，t a n a t a 在文 3 】3 中研究了口一紧有限k 网与一遗 传闭包保持k 网、星可数k 网的关系；林寿在文【4 】中揭示了盯一紧有 限弱基与一弱遗传闭包保持弱基的关系；等等。但矿一紧有限c s 网， 口一紧有限c s + 网，盯一紧有限的紧有限分解网较少研究。本文将对这些 口一紧有限网进行研究。 我们自然会问：仃一紧有限网与度量空间有怎样的关系呢? 在文【5 】 中提出了诱导1 序列覆盖映射的概念，我们把它推广到诱导序列商映 射，诱导序列覆盖映射，诱导紧覆盖映射。同时，我们引入弱k 映射 的概念，本文将建立几类盯一紧有限网与度量空间的映射之间的内在联 系。 第一章预备知识 度量空间理论在一般拓扑学的研究中占据核心位置，作为其一般化 产生了广义度量空间理论。 本论文所论空间均指满足马分离性公理的拓扑空间，映射为连续的 满函数。本文未定义的术语，符号均以【6 】为准。n 表示自然数集，r 表示空间x 的拓扑 对空间x ，记 瓦( x ) = kcx ：k 是x 的紧集) ， 妒( x ) = scx ：s 是x 的含极限点的收敛序列) ，其中非空有限集 视为一确定的平凡收敛序列。 对x 的集族p ，记 up = u p ：p p ) ，p 的并； np = n p ：p p ) ，p 的交。 对acx ，z x ，记 ( p ) a = p p ：po a 0 ) ，( p ) z = ( p ) 如 定义1 1 【6 | 空间x 的子集族p 称为紧有限的，若对k 咒( x ) ，( p ) k 是有限的。 定义1 2 【7 】空间x 的子集族p 称为有限的，若对k 妒( x ) ，( p ) 是有限的。 定义1 3 【6 1 空间x 的子集族p 称为弱遗传闭包保持的( w h c p ) ，若 对z ( p ) cp p ，集族 。( 尸) ) ：p p ) 是闭包保持的。 设圣是定义1 - 3 所定义的一种集族性质，称空间x 的子集族p 是 仃一p 的，若p 是可数个具有性质圣的集族之并。 定义1 4 n 设厂：x _ 啼y 是映射 ( 1 ) ，称为序列商映射，若 孙) 是y 中的收敛序列，那么存在 ) 的子序列 。) 和x 中收敛序列 兢) 使得每一兢f - 1 ( 。) 。 ( 2 ) ，称为序列覆盖映射，若 秒n ) 是y 中的收敛序列，那么存在x 预备知识 3 中收敛序列 收敛 于点x u ，则存在p p 使得序列 ) 的某子序列是终于p 的且 pcu ，即存在p p 和子序列 ；) 使得 z ) u 。：季) cpcu 。 ( 2 ) p 为x 的c s 网，若对于x 的开集u 及x 中的序列 z n 】_ 收敛 于点z u ，则存在p p 使得序列 z n ) 是终于p 的且pcu 定义1 8 f 8 】设p = u 兄，z x 是空间x 的子集族，满足：对z x 凡是z 在x 中的网； 如果v r ，则存在w 亿使wcunv 。 若的每一元均是z 在x 中的序列邻域，p 称为x 的序列邻域 预备知识 4 网( 8 n 网) 显然，s 住网= 号c s 网= 辛c s + 网 定义1 9 【9 l 设k 是空间x 的紧子集。由k 的闭子集组成的k 的有 限覆盖称为k 的紧有限分解。若k 在x 中的有限覆盖p 存在k 的紧 有限分解一一加细，则称p 是k 的c f p 覆盖， 定义1 1 0 0 1 设p 是空间x 的覆盖。p 称为x 的紧有限分解网( c f p 网) ，若对x 中的每个紧集k 及x 中包含k 的开集y ，存在p 的有 限子族p 7 使p 7 是k 的c f p 覆盖且u p 7cy 定义1 1 1 6 p 称为x 中的k 网，如果对x 的紧集kcu 7 ，则存 在歹p u ，使kcu 厂c “。 c f p 网是c 8 + 网和k 网，闭k 网是c 却网。 第二章具有伊一紧有限网的空间 本章我们主要讨论紧有限网的性质，以及盯一紧有限8 1 1 , 网，仃一紧 有限c 8 网，和矿一紧有限k 网的关系。 引理2 1 n 若空间x 的每一紧子集是序列紧的，则x 的点可数c 8 网 也是x 的c f p 网。 引理2 2 1 7 1 若空间x 的每一紧子集是序列紧的，则x 的点可数c 8 。 网也是x 的k 网。 定理2 3 对于空间x 的覆盖p ，x 的每一紧子集是序列紧的，则 有( 1 ) 令( 2 ) 令( 3 ) 兮( 4 ) ( 1 ) p 是口一c 8 有限c 8 网 ( 2 ) p 是口一紧有限的c ：f p 网 ( 3 ) p 是盯一紧有限的a 8 + 网 ( 4 ) p 是仃一紧有限的k 网 证明( 1 ) ( 2 ) ，设p 是x 的盯一c 8 有限的c 8 网，p = u ( p n ：佗n ) 。 由于p 是点可数c 8 网，x 的每一紧子集是序列紧的，由引理2 1 可 知，尹是x 的咖网。现在证罗是一紧有限的假设x 的某个紧 子集k 与无数个pe t n ( 礼n ) 相交。那么，存在 z n ：佗n ) ck 和 r ：痞n c r 使得x n r ，由于不同，所以x n 属于不同的r 。 是序列紧的，故存在 ：佗n ) 的收敛子序列c ，但是c 与无数 个p r n ) 相交，矛盾，所以p 是盯一紧有限的c f p 网 ( 2 ) 兮( 3 ) ，显然。 ( 3 ) 令( 4 ) ，类似( 1 ) 专( 2 ) 定理2 4 若p = u # n p n 是空间x 的盯一w h c p c s 网，且对于x 的 每一非平凡收敛序列极限点z ， r ) $ 是有限的，则p 是x 的仃一紧 有限c s 网。 证明设p 空间x 的盯一w h c p c s 网。记p = 乩n r ，其中每一是 x 的w h c p 集族且c p 计1 。对于每一礼n ，置d 竹= z x ：( ) z 不是有限集) ，凡= p d n ：p 7 3 n 】u z ) ：z d n ) ( 1 ) 凡是x 的紧有限的子集族。 具有盯一紧有限网的空间 6 设ke c ( x ) 首先，k a d , 是有限集。否则，k n 队含无限集 【z n ：佗n ) 由d r , 的定义，存在r 的无限集 r ) 住n ，使z n r ，从 而 z 仃：n n ) 是k 的闭离散集，这与k 的紧性相矛盾其次，( 凡) 是有限集。否则，有r 的无限集 矾 n n ，使( 骗一玖) nk 谚，那 么有k 的无限集 玑：i n ) 和子集列 q n ；) ，使y i q n ；，矛盾。故 ( 矗) k 是紧有限的。 ： ( 2 ) u # n 凡是x 的c 8 网。 对于任意的z u 丁，设序列 z n ) 一z ，由p 是x 的c s 网知，存在 m n 和p p n ，使得( z ) u 轨：i m ) ) cp cu 由于x 的每一收敛序 列极限点z ， r ) z 是有限的，故z 风，由 z ) u z 住：n n ) 是紧集， 知 z ) u ：死n ) n 玖为有限集，则存在m 7 n 及f = p 玩只， 使得( z ) u 戤：i m 7 ) ) cf c u 故u n n - t n 是x 的c 肋网 类似地，我们可以证明： 定理2 5 若罗= 魄n 心是空间x 的o r w h c p c s + 网，且对于x 的 每一收敛序列极限点z ，_ r 】i z 是有限的，则p 是x 的一紧有限c 8 。 网。 引理2 6 1 4 1 设p 是空间x 的可数弱遗传闭包保持集族。如果p 是x 中某非平凡收敛序列极限点的序列邻域族，则p 是有限的。 定理2 7 若p 是空间x 的o r w h c p s n 网，且x 的每个序列孤立 点z ，有 z ) p ，则p 是x 的盯一紧有限8 n 网 证明记i = z x ：z 是x 的序列孤立点) 。设p = u n e n ( p 他) 是 x 的s 佗网，其中r 是w h c p 的且c p 叶1 。对z x ，置7 - t z = 尸 尹：p 是z 的序列邻域) 如果z i ，有 z p ，所以，是x 的盯闭 离散子空间。对霸n ，p ，令 d n = z x ：l ( p n ) z i n o ) ， ( 尸) = ( p d n ) u z x i ：po - z 则( 尸) cp 令w 礼= ( p ) ：p r ) ，眠( p ) 是x 的序列邻域， 则w n 是点有限的。事实上，对z x ，由 p 一玩：p r ) 的点有限 性，由引理2 6 ，心n r 是有限的，于是是点有限的。从而w n 是 点有限和w h c p 集族，w n 是紧有限的。 对z x ，如果z ，取玩= _ z ) ，如果z x 一，取 具有仃一紧有限网的空间 7 统= w n ( p ) ：扎n ，p n p n ) 则魄x 魄是x 的s 祀网。首先， 对z g 丁，不妨设z x j 那么存在佗n 和p 心n p ，使 pcg ，于是z ( p ) cpcg 。其次，对x x 一，和以v 统，存 在赡，m n 和p 爿2 n r ，q 爿。n ，使u = 眠( 尸) ，v = ( q ) ， 从而存在k m a x n ，m ) 和re t - i 。n p 惫，使rcpnq ，所以帆( r ) c ( p ) n ( q ) 再次，召z 是z 的s 佗网。事实上，如果z x 一，对 n n ，pe t - i 。n p 住，设序列慨) 收敛于g 。则 ) 终于p ，由引理， ( x i ：l n ) u z ) n d 扎是有限的，所以 既) 终于( p d n ) u z ) c1 ( p ) 从而( p ) 是z 的序列邻域。因此召$ 是z 的8 n 网。 综上所述，u x 玩是x 的口一紧有限s 铊网。 引理2 8 8 1 可数紧的半层空间是紧可度量空间。 定理2 9 对于拓扑空间x ，( 1 ) 错( 2 ) 号( 3 ) 成立。 ( 1 ) x 具有盯一紧有限s n 网。 ( 2 ) x 具有盯一紧有限c 8 网的s n f 一可数空间。 ( 3 ) x 具有盯一紧有限k 网的s n s 一可数空间。 证明( 1 ) 毒( 2 ) 是显然的。 ( 2 ) 暑( 1 ) 设p = u p m ：m n ) 是s n 一可数空间x 的口一紧有 限v 8 网，p m 是紧有限的且关于有限交封闭，x p m c t m + 1 对每一 z x ，设 b ( n ，z ) ：礼) 是z 的下降序列邻域。作 靠，聋= p p m ：存在n n ，使j e 7 ( 佗，z ) cp 疋= u 。z ：m n ) 厶= u ( ，z ：z x ) 艮u = 尸( m ，z ) ：m n ) ，有 b ( n ，z ) 仁p ( m ，z ) ( 仡，m n ) 。取z n ，m b ( n ，z ) p ( m ，z ) ，当n m 时， z 竹，m = y k ( 忌= m + n ( n 9 - 1 ) 、，那么序列y k ：k n 收敛于点z 。因为p 是x 的网，因此存在m ，z n ，使得 躲：k 吾) u z ) cp ( m ，z ) cg 存 在礼m ，取j i ，则协= 。n ，m ，那么z 几，m p ( m ，z ) 矛盾。故凡是 具有口一紧有限网的空间 8 z 的序列邻域。因此歹是x 的s 礼网。 对每一m n ，厶c p m ，那么厶是紧有限的因此尸= u 靠： 仇畸是x 的盯一紧有限8 n 网。 因此，( 2 ) 号( 1 ) 成立。 ( 2 ) 辛( 3 ) 设x 是具有盯一紧有限c s 网的s h y 一可数空间。让p = u p n ：竹n ) 是x 的仃一紧有限c s 网且每一p n 是紧有限的。下证p 是口紧有限 网 对于义的任一紧子集kcv 丁，令a = 尸：pnk 仍且 pcy ，则a 可数，故4 = u a ：n n ) 可数，记4 = 只：l n ) 下证存在死n 使kcu i 使得【夕( 纨) ) 是 z 住 的子序列。设 讥) 收敛于y ，则g ( y ) = z 由于b i m , = bn 舰：b 召) 为尬的基，因此存在b ln 舰召l 尬，使y b 1n 尬cg - t ( u ) ，显然 j e 7 1nm 含有 纨) 的尾部，故x g ( b 1n 尬) cu ，且g ( b 。n 尬) 含有_ z n ) 的子列。 必要性设p = u n e n 为x 的口一紧有限c s + 网，不妨设x p n ， p nc t n + 1 n ) ，置= ，取y n kf l g _ 1 ( z n ) ，不妨设y n 收敛于 y ，显然g ( y ) = z 。由于侈i 尬= bn 尬：be b 为尬的基，因此 存在b lnme b i m ，使 芗) u 铷：佗m b 1nm c g - 1 ( ) ，于是 z ) u z n ：仡m ) 夕( b 1n 尬) cg ( g 一1 ( u ) ) = u 。 必要性设p = u n r 为x 的d r 一紧有限c s 网，不妨设xe p n ， rc p n + 1 m n ) ，置r = r ：a 厶 ，赋予厶离散拓扑，置 度量空间的弱尼映射 尬= p = ( q n ) 6r i n 厶： r 。：讫 构成x 中某点z ( ) 的网络 ) ，则m 作为积空间m = 兀n 厶的子空间是可度量化的空间，定义 g ：m x ，9 ( 盯) = z ( p ) ，则易证g 是连续到上的映射 设kcx 是x 的紧集，令= 0 c 厶：r r ，rnk 仍 ，则 l i 是点z 在x 中的网，令 6 = 魂1 7 n 厶，那么z = 9 ( 6 ) ，( 鼠) ，于是n nr ；c9 ( 玩) ，故 夕( 玩) = n 。 np 口；。对于x 中_ z ，由于g ( b n ) 是z 的序列邻域，由 5 】 中引理2 2 知，存在岛广1 ( x j ) ，且在m 中岛一p ，故g 是l 序列覆 盖映射。 取z o x ，定义，是m 到x 上的映射 度量空间的弱k 映射 1 3 他) = 磐a q e 叭m 1 ；舰 容易看出，是诱导1 序列覆盖弱k 连续映射。证毕。 引理3 4 【- 2 1 空间x 的基是x 的c f p 网络。 引理3 5 1 0 1 紧覆盖映射保持c f p 网络。 引理3 6 1 1 0 l 设p 是空间x 的点可数覆盖，若k 是x 的非空紧集， 则由p 的元组成的k 的极小c f p 覆盖至多可数 定理3 7x 具有盯一紧有限的c f p 网当且仅当x 是度量空间诱导紧 覆盖弱k 象。 证明充分性设，：m _ x 是诱导紧覆盖弱k 映射，其中m 是度 量空间，则存在m 1cm ，使厂l 尬：尬_ x 是紧覆盖映射且对每一个紧 集kcx ，7 = 币虿币医是m 中的紧集。设召= u n 8 n 为m 的盯局部有 限基，对每一礼n ，令r = 【厂( bnm 1 ) ：b 召n ) ，则r 是紧有限族， 且p = u n r 为x 的c f p 网事实上，对紧集kcx ，令g = ，i 尬， 则萨硒虿是m 的紧子集，因此 而nb ：b 舀n ) 是有限族，从而 严币可n b n 尬：b 既) 是有限族，所以是紧有限的。 由于b i 舰= 【bn 尬：b 召) 为尬的基，由引理3 4 ， b lm 1 为尬的 c f p 网络。g ：m 1 _ x 为紧覆盖连续映射，又由引理3 5 ，所以9 ( b im 1 ) 是x 的c f p 网络。 必要性设p = 魄p n 为x 的盯一紧有限c f p 网，不妨设x r ， c p 卅l n ) ，置p n = ( r ：口a n ) ，赋予a 离散拓扑，那么如 是度量空间。置舰= a = ( q n ) n n a n ：【r 。：礼) 构成x 中某点 z a 的网络 ，则舰作为积空间m = 兀n a 的子空间是可度量化的空 间，定义g ：尬一x ，夕( q ) = x a ，则易证g 是连续到上的映射。 设kcx 是x 的紧集，令a 二= q a n ：r r ，rnk 仍】，则 i a 二i u ，从而n n a 二为兀n 厶的紧子集。对q = ( q 竹) 9 - 1 ( k ) ， 则 夕( q ) ) = n t 只。= z q 】，x a k ，则r 。nk d ( 几n ) ，于是 q 付疋，从而及1 1 n 疋，所以9 _ 1 ( k ) cn n a 二ci - i n a n 因此 度量空间的弱k 映射 1 4 萨可可为m 的紧子集。 以下证明9 是紧覆盖映射 设k 是x 的非空紧集，由引理3 6 ，记由p 的元组成的k 的极小 c f p 覆盖族为【亿：i ) ，即对啦n 使得死c p ”m 铭0 n ) 其中每一亿= p a ：q a lca n ；) 被的紧有限分解兀= r ：q i ) 一一加细，rcr 。对每一j n ，设 di ，如果存在i n 使得歹= h i ； 叼 l 哟) ，如果j 吼( i ) ，取如使得如= x 置l = 7 = ( ) i j 马：n h i ：i e ) f , j 仍) 。那么 ( 1 ) l 是紧集兀，岛中的闭集，从而三是m 厶中的紧集。 设，y = ( ) 巩马l ，则n 坨) f , j = 仍) ，从而存在i o n 使 n 似 s 旬 = 仍) 。对每一歹 现：t i o ，令w = p = ( 岛) 码易： 岛= ) 则是n j b j 中包含7 的开集且n l = d 。 ( 2 ) lcm 且9 ( l ) ck 。 设7 = ( m ) l 。取定z n j 胁诞) = 谚) 。我们要证明r ：j 是点z 在x 中的网。设y 是x 在x 中的开邻域，由于k 是x 的正 则子空间，则存在z 在k 中的开邻域使c i k wcv 。由于c l k w 是 的紧子集，p 是x 的c f p 网，于是存在p 的有限子族p 7 使p 7 是 c l k w 的c f p 覆盖且u cv 。由于紧集k wcx 【z ) ，又存在p 的有 限子族p ”使尹”是k w 的c f p 覆盖且u p ”cx z ) 。令p = p 7 u ， 则尹是k 的c s p 覆盖，于是存在i n 使死c p + 因为；a i ， z 。c 。死，所以。死，故；c v ，从而厶：歹n 是点z 在x 中的网。那么7 m 且，( 7 ) = 。k 。 ( 3 ) kcg ( l ) 设z k 。对i n ，存在砚a l 使z 对每一j n ，设 一f ，歹= m ( i ) ； v ，一1 ，j 彻0 ) 令盯：( 乃) ，则盯l 且g ( o ) = z 。故g 是紧覆盖映射。 取z o x ，定义，是m 到x 上的映射。 他) = 馏_ l 口a e 叭m 1 ；尬 。容易看出，是诱导紧覆盖弱k 连续映射。证毕 第四章结束语 近几十年来，拓扑学家给出了具有仃紧有限k 网的空间与具有星可 数k 网的空间，具有矿一w h c p k 网的空间的关系，以及紧有限弱基 与盯一w h c p 弱基的关系。而对仃紧有限c 8 网，仃紧有限c 8 + 网，盯紧 有限8 n 网，盯紧有限c p 网研究很少，本文给出了部分关系。如： 定理2 3 对于空间x 的覆盖p ，x 的每一紧子集是序列紧的，则 有( 1 ) 兮( 2 ) 令( 3 ) 兮( 4 ) ( 1 ) p 是仃一v 8 有限c 8 网 ( 2 ) p 是口一紧有限的c f p 网 ( 3 ) p 是口一紧有限的c 8 + 网 ( 4 ) p 是盯一紧有限的k 网 定理2 9 对于拓扑空间x ，( 1 ) 错( 2 ) 考( 3 ) 成立。 ( 1 ) x 具有盯一紧有限8 n 网。 ( 2 ) x 具有盯一紧有限c 8 网的s n ，一可数空间 ( 3 ) x 具有盯一紧有限k 网的s n y 一可数空间。 本文还给出了盯紧有限c s 网( c 8 网，8 r t 网) 与盯一w h c p c s + 网 ( c s 网，8 n 网) 的关系。 引入弱k 映射的概念，研究具有盯紧有限网的广义度量空间可以表 示为度量空间在诱导弱k 映射下的象。 定理3 1x 具有盯紧有限的c s 网当且仅当x 是度量空间诱导序 列商弱k 象。 定理3 2x 具有仃紧有限的c s 网当且仅当x 是度量空间诱导序列 覆盖弱k 象。 定理3 3x 具有盯紧有限的s n 网当且仅当x 是度量空间诱导1 序 列覆盖弱k 象。 定理3 。7x 具有盯紧有限的c f p 网当且仅当x 是度量空间诱导紧覆 盖弱k 象。 结束语 1 6 定义4 1 【6 】空间x 的子集族p 称为星可数的，若对每一p p ， ( p ) k 是可数的。 我们可以进一步解决： ( 1 ) 盯紧有限c s 网( c 8 网，s n 网，a f p 网) 与星可数c s ：网( c 8 网， 觎网，c f p 网) 的关系。 ( 2 ) 仃紧有限c f p 网与盯一w h c p c f p 网的关系 参考文献 【1 】a r h a n g e l s k i l l ，m a p p i n g sa n ds p a c e s j ，u s p e c h im a tn a u k ，1 9 6 6 ，2 1 ：1 3 3 - 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