（应用数学专业论文）带交易费的garch扩散期权定价理论及其应用研究.pdf

摘要 本文主要致力于g a r c h - 扩散期权定价问题的研究，运用鞅方法、随机分析 等数学工具建立基于g a r c h - 扩散过程的期权定价模型，推导出相应的欧式期权 定价公式，并且运用g a r c h 模型对我国沪深股市的历史数据进行实证分析。 首先综述了期权定价理论的发展，以及带交易费的期权定价理论的研究现 状。其次，g a r c h 一扩散过程中积分方差的前四阶条件矩可以通过解析方法推导出 来，利用这些条件矩和一个幂级数方法，可以得到一个g a r c h - 扩散模型下的欧 式期权定价的近似解析公式。再次，基于g a r c h 一扩散过程，把规范的 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型推广到带交易费的情形。最后运用更具实用价值的 g a r c h ( 1 ，1 ) 模型对上海和深圳股市日收益率的波动性进行了实证分析，研究结 果表明沪深股市具有明显的异方差和风险溢价，并且两市波动性存在因果关系。 关键词：交易费；期权定价；g a r c h - 扩散过程；随机波动率模型；隐含波动率： 条件矩；均值回归；积分方差；蒙特卡罗模拟 i i i a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni si n t e n d e dt os t u d yg a r c hd i f f u s i o no p t i o np r i c i n gp r o b l e m s ， s o 嬲t oe s t a b l i s ht h em a t h e m a t i cm o d e l so f o p t i o np r i c i n gw i t hg a r c hd i f f u s i o n p r o c e s sb ym e a n so fm a t h e m a t i c a lt o o l ss u c ha sm a r t i n g a l em e t h o d sa n ds t o c h a s t i c a n a l y s i s ，t od e d u c et h eg a r c hd i f f u s i o no p t i o np r i c i n ge q u a t i o n ，a n dt om a k ea n e m p i r i c a la n a l y s i sf o rt h eh i s t o r i c a ld a t ao fs h a n g h a ia n ds h e n z h e ns t o c km a r k e t sb y u s i n gg a r c hd i f f u s i o no p t i o np r i c i n gm o d e l s f i r s t l y , w es u m m a r i z et h ed e v e l o p m e n to ft h eo p t i o np r i c i n gt h e o r y , a n dt h es t u d y s i t u a t i o no ft h eo p t i o np r i c i n gt h e o r yw i t ht r a n s a c t i o nc o s t s s e c o n d l y , t h ef i r s tf o u r c o n d i t i o n a lm o m e n t so ft h ei n t e g r a t e dv a r i a n c ei m p l i e db yt h eg a r c hd i f f u s i o n p r o c e s sa r ed e r i v e da n a l y t i c a l l y b a s e do nt h e s ec o n d i t i o n a lm o m e n t sa n dap o w e r s e r i e sm e t h o d ，a na n a l y t i c a la p p r o x i m a t i o nf o r m u l at op r i c ee u r o p e a no p t i o n su n d e r t h eg a r c hd i f l u s i o nm o d e li s o b t a i n e d t h i r d l y , b a s e do ng a r c hd i f f u s i o n p r o c e s s t h ec a n o n i c a lb l a c k s c h o l e so p t i o np r i c i n gm o d e li se x t e n d e das i t u a t i o n w i t ht r a n s a c t i o nc o s t s f i n a l l y w em a d ea ne m p i r i c a la n a l y s i so nv o l a t i l i t yo fd a i l y r e t u r n si nt h es h a n g h a ia n ds h e n z h e ns t o c km a r k e t sb yu s i n gt h et h eg a r c h ( 1 ，1 ) m o d e lw i t hm o r ep r a c t i c a lv a l u e t h er e s u l t ss h o wt h a tt h es h a n g h a ia n ds h e n z h e n s t o c km a r k e t sh a v eo b v i o u sh e t e r o s c e d a s t i c i t ya n dv o l a t i l i t yr i s kp r e m i u ma n da c a u s a lr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w os t o c km a r k e t s k e yw o r d s ：t r a n s a c t i o nc o s t s ；o p t i o np r i c i n g ；g a r c hd i f f u s i o np r o c e s s ；s t o c h a s t i c v o l a t i l i t ym o d e l s ；i m p l i e dv o l a t i l i t ys m i l e ；c o n d i t i o n a lm o m e n t s ；m e a nr e v e r t i n g ； i n t e g r a t e dv a r i a n c e ；m o n t ec a r l os i m u l a t i o n s 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究 所取得的成果。学位论文中凡引用他人己经发表或未发表的成果、数据、观点 等，均己明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人 或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：王住已青 日期：劢f d 年5 目2 目 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大 学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保存或 向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅； 本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学 位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大 学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：互眨青 翮虢多娩 日期：如l 。毋、内 n 兰刿太堂2 q ! q 屋亟堂僮迨塞 第一章绪论 1 1 期权定价理论的发展 期权作为一种金融创新工具，自2 0 世纪7 0 年代诞生于美国以来，就迅速随着 国际金融衍生市场的发展而不断发展壮大，一跃成为2 0 世纪国际金融市场中金 融创新实践的一个成功典范，同时它也为财务金融学理论的发展注入新鲜血液。 如今，期权市场已经发展成为国际金融市场的一个重要部分，而在我国期权市 场仍然是一个理论的、非现实的概念。随着金融全球化的迅速发展，各国金融 市场之间的联系越来越紧密，金融风险的传播速度和危害也越来越大。在这种 情况下，我国的金融体系面临着巨大的挑战。因为与发达国家相比，我国资本 市场的基础设施建设还不够完善，在运用金融工具尤其是避险工具上缺乏经验， 这使得我国在国际金融市场上的竞争力不强。针对我国的现实状况和未来的发 展目标，我们要进一步加强完善资本市场结构，加大对衍生产品的研究力度， 不断进行金融实践创新，逐步推出新的金融衍生产品。 期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而变化的量，它的高低直接影 响到买卖双方的盈亏情况。自从期权诞生以来，期权定价问题就一直是金融数 学的核心问题之一。1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 假设股票价格服从几何布朗运动， 在无套利分析的框架下给出了欧式期权定价的著名的b l a c k s c h o l e s 公式，该公 式是期权定价理论的最重要的革命性成果，很快就成为金融机构研究新产品的 主要思想方法。b l a c k 和s c h o l e s 获得成功的关键在于，他们认为一个期权的未 知损益可以通过标的股票和无风险债券的一定组合来复制，即任意一个期权都 可以通过人工方法合成出来。因此，复制该期权所需要的成本即为对应期权的 价值。b l a c k - s c h o l e s 定价模型克服了以前各种模型存在的问题，从而为包括期 权定价在内的金融衍生产品定价问题的研究开创了一个新时代。b l a c k s c h o l e s 期权定价理论假定波动率为一个常数，并且假定股票价格服从对数正态分布。但 是越来越多的实证研究结果表明，b l a c k s c h o l e s 期权定价模型由于其严格的假 设条件，在实际应用中存在很大的局限性，因为对数正态分布的假定并不能解释 大量的资产收益序列的经验现象，其中最重要的是资产收益的尖峰后尾和波动 率聚类现象，而且其波动率也存在明显的时变性特征。因此，放宽股票价格波动 率为常数的假定条件，分析其具体的时变特征，对研究期权定价问题具有重要 意义。于是许多考虑资产收益率异方差性的期权定价模型便相继问世了。 目前研究金融时间序列波动性的模型主要包含两大类，一类是e n g l e 在1 9 8 2 年开创性地提出来的自回归条件异方差模型，简称a r c h ( a u t or e g r e s s i v e c o n d i t i o nh e t e r o s c e d a s t i c i t ym o d e l ) 模型以及它的各种形式的扩展。在此 后的2 0 多年里，a r c h 模型的各种变化形式以及在各方面的应用成果不断涌现， 兰划太堂2 q ! q 盾亟堂焦途塞 b o l l e r s l e v ( 1 9 8 7 ) 在a r c h 模型中引入无穷阶误差项，得到了广义自回归条件异 方差模型，简称g a r c h ( g e n e r a l i z e da u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o nh e r e t o s c e d a s t i c i t ym o d e l ) 模型。在此之后e n g l e ，l i l i e n & r o b b i n s ( 1 9 8 7 ) 提出了 a r c h m 模型。考虑到波动率的非对称性，n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 和z a k o i a n ( 1 9 9 4 ) 分别提 出了e g a r c h 模型和t g a r c h 模型。由于g a r c h 族模型能够很好地解释金融时间序 列的波动率聚类和尖峰厚尾现象，故在金融界得到了广泛的认同，成为金融理 论研究中的一个重要工具。如今g a r c h 族模型已经发展成为现代经济计量学的一 个重要领域。另一类是随机波动率( s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ) 模型，或称随机 方差( s t o c h a s t i cv a r i a n c e ) 模型，简称s v 模型，如c o x ( 1 9 7 5 ) 文献7 提出的 不变方差弹性模型( c e v ) ，m e r t o n ( 1 9 7 6 ) 提出的跳跃( d a s ) 扩散模型，以及 h u l l & w h i t e ( 1 9 8 7 ) 文献1 5 提出的随机波动率模型等。 从长期来看，股票价格的波动率大多表现为均值回归( m e a nr e v e r t i n g ) ，即 到期日接近时，波动率的变化较剧烈，随着到期日时间的延长，波动率将逐渐 向历史波动率的平均值逼近。g a r c h - 扩散过程的特点是：均值回归，具有平稳的 倒g a m m a 分布，并且限制历史波动率和隐含波动率均为正值。因为不变方差资产 收益过程是g a r c h 族模型的一个特例，因此g a r c h 族模型也把b l a c k s c h o l e s 模型 包括在内。随着计量经济学中g a r c h 族模型在拟合资产收益方面的巨大成功， 学者们开始把g a r c h 族模型扩展到期权定价领域。d u a n 等 文献8 利用g a r c h 一扩 散期权定价模型对恒生指数期权进行定价，并且还将g a r c h _ 扩散模型与马尔可 夫链相结合，研究了美式期权的定价；l e h a r 文献1 7 利用g a r c h 一扩散模型估计 了随机波动率，并且研究了期权定价与风险管理之间的关系。对于带交易费的 期权定价模型，许多学者也做了相应的研究m i c h a s l 文献1 9 对带交易费的欧 式期权进行定价时，给出了利用马尔可夫链逼近的有效算法，避免了求解复杂 的随机优化问题；a m s t e r 文献2 等人通过构造一个非线性偏微分方程，研究了 随机波动率的特性以及带有交易费的欧式期权定价问题；而g e o r g e 等人 文献11 根据随机优化理论，给出了带交易费的欧式看涨( 看跌) 期权价格的上下限，以 及相应的隐含波动率的紧上下限。d u a n & z h a n g ( 2 0 0 1 ) 文献9 ，h e s t o n & n a n d i ( 2 0 0 0 ) 文献1 6 等学者的实证研究和理论分析都说明了与b l a c k s c h o l e s 模型 相比，基于g a r c h 模型得到的期权定价结果与市场价格更加吻合。 1 2 带交易费的期权定价理论的研究现状 在b l a c k s c h o l e s 模型中假设股票没有交易费，这显然是不符合实际的。事 实上交易费在经济领域是常见的，对于有交易费的未定权益的定价问题已经有 很多学者进行了研究。l e l a n d ( 1 9 8 5 ) 文献1 8 最先考虑了确定时间间隔的离散 交易的情形，利用风险对冲的原理得到了一个类似于b 1 a c k - s c h o l e s 公式的期权 兰刿太堂2 q ! q 盾亟堂僮途塞 定价公式，区别在于对其中的波动率进行了调整。此后，许多学者纷纷采用这 种思路来推导各种类型的期权定价公式。事实上，l e l a n d 方法中时间间隔越小， 离散交易策略与最优复制策略之间的误差越小，但同时也带来了交易费的增大， 这依然是个无法解决的矛盾，而且固定交易时间后很可能得不到最优的交易策 略。因此，利用风险对冲的原理和完全复制的方法并不能解决交易费问题。另 一种完全不同的方法是效用最大化理论，即利用随机最优控制问题值函数的h j b 方程来求解计算。d a v i s ，p a n a s & z a r i p h o p o u l o u ( 1 9 9 5 ) 运用效用定价理论，考 虑把有期权债务和无期权债务的最大效用的差值作为相应的期权的价格，利用 随机最优控制问题值函数的h j b 方程来求解。此后很多学者采用了这种效用函数 最大化的方法来构造方程求解问题。刘道百考虑了存款利率和借款利率不同且 对股票交易有交易费要求时的欧式期权定价问题，在假定风险中性的效用函数 下给出了欧式期权价格的显式表达式。事实上这样定义的价格将取决于特定的 效用函数，并且求解h j b 方程也是一个非常复杂的过程。c v i t a n i & k a r a t z a s ( 1 9 9 6 ) 在两资产模型中构造了辅助鞍，讨论了有交易费的欧式未定权益的最小套期保 值策略，为有交易费的未定权益的定价问题提供了一种获得解析解的思路，但 他们并没有给出系统的市场套利和策略定义，也没有从定价的原始角度出发为 买卖双方作考虑。 1 3 本文的主要工作及结构安排 本文围绕g a r c h - 扩散期权定价问题及基于g a r c h 模型的期权定价理论在中 国沪深股市的应用展开研究，根据本文研究的内容，全文共分为四章： 第一章，首先概述了期权及期权定价理论的发展及研究背景，然后分析了 带交易费的期权定价理论的研究现状和在实际操作中的不足之处，最后介绍了 本文的主要工作及结构安排。 第二章，讨论了一般的g a r c h 一扩散期权定价模型。首先利用解析方法构造 积分方差的各阶条件矩，利用这些条件矩和一个幂级数方法，可以得到一个 g a r c h - 扩散模型下的欧式期权定价的近似解析公式。然后通过蒙特卡罗模拟表 明对于一系列合理的参数，近似公式达到三阶就是精确的，并且反映出四阶公 式的潜在不稳定性。最后，通过封闭集上的近似公式来揭示由g a r c h - 扩散模型 推导出的隐含波动率曲面的特征。 第三章，基于g a r c h - 扩散过程，把规范的b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型推广 到带交易费的情形首先给出了带交易费的期权定价的非线性偏微分方程，然 后用泰勒展开技术对方程的解进行逼近，最后与l e l a n d 的期权定价模型进行了 比较结果表明，带交易费的g a r c h - 扩散期权定价模型具有较好的定价性能 第四章，以2 0 0 1 年6 月1 4 日至2 0 0 8 年2 月2 9 日间上证综合指数和深圳成 兰州太堂2 q ! q 屋亟堂僮途塞 分指数的日收盘价格作为数据样本，运用g a r c h 族模型对上海和深圳股市日收益 率的波动性进行了实证分析，研究结果表明沪深股市具有明显的异方差和风险 溢价，并且两市波动性存在因果关系。 第二章g a r c h 一扩散期权定价模型 2 1 内容概述及模型的假设条件 本章是这篇论文的重点部分，主要研究了一个满足当前股价服从几何布朗 运动且瞬时方差服从g a r c h - 扩散过程的随机波动率模型下的欧式期权定价问 题。确切地说，我们要推导一个基于g a r c h - 扩散模型的欧式期权定价的封闭的 近似解析公式。 首先我们推导方差由不相关的g a r c h 一扩散过程驱动的欧式期权定价的近似 解析公式。我们的近似公式是对h u l l & w h i t e ( 1 9 8 7 ) 文献1 5 3 提出的期权定价公 式的扩展，涉及依赖于到期日的积分方差的条件矩。利用蒙特卡洛模拟，我们 调查分别由积分方差的一阶，二阶，三阶，四阶条件矩得到的定价公式的定价 表现。模拟结果反映出四阶近似公式的潜在不稳定性和到期日由积分方差的前 三阶条件矩得到的近似公式。这个公式很容易实现并且可用于研究与g a r c h 的 扩散模型相关的隐含波动率和方差的风险溢价。 g a r c h - 扩散模型是h u l l & w h i t e ( 1 9 8 7 ) 提出的方差服从几何布朗运动的模型 的均值回归扩展，它从几个方面改善了以前的模型。均值回复漂移给出了随机 波动率和对数回报过程，并且允许方差的风险溢价，它在许多货币市场中都是 风险溢价的一个重要组成部分。相反，当方差漂移为零时，它就是h u l & w h i t e 所提出的模型的近似期权定价公式。此外，均值回归可以使我们得到长到期日 期权的近似定价公式，但是对于h u ll & w h it e 模型，近似期权定价公式仅仅适用 于短到期日期权，例如见h u l l & w h i t e ( 1 9 8 7 ) 和g e s s e r & p o n c e t ( 1 9 9 7 ) 。这是一 个显著特点，因为长到期日期权代表一个很重要的市场。 当前资产价格由g a r c h 扩散过程推动的模型有几个理想的性质。它是正的 均值回归过程，有一个平稳的倒g a m m a 分布并且满足历史波动率和隐含波动率 是正值的限制。因此，它适合观察一个平稳均值回归过程的方差。见 g u o ( 1 9 9 6 。1 9 9 8 ) 文献1 3 ，1 4 。此外，g a r c h - 扩散模型允许有较大波动的资产 定价模式。例如，在平方对数回报中产生的较大的自相关系数，任意大的峰度 和对数回报的有限阶无条件矩满足一个在实证研究中观察到的既定序列。相反， 当方差服从一个平方根的过程，如h e s t o n 在1 9 9 3 年提出的模型 文献1 6 ，相 应的平稳g a m m a 分布意味着对数回报满足任意阶的有限无条件矩和并不是很大 的峰度。一些学者提出了h e s t o n 模型在实证研究中的欠佳表现，例如见 4 兰捌盔堂至q ! q 厘亟主堂僮诠塞 a n d e r s e n e t a l ( 2 0 0 2 ) 文献1 。此外，n e l s o n ( 1 9 9 0 ) 表明在均值模型中一系列离 散时间g a r c h ( 1 ，1 ) 模型( 或g a r c h ( 1 ，1 ) - m 模型) 的分布收敛到g a r c h - 扩散 模型的分布。因此，在连续时间参数上推导所涉及的问题可以归结到在 g a r c h ( 1 ，1 ) 一m 模型上的推导。这是g a r c h - 扩散模型相对于其他缺乏这些简单估 计的随机波动模型一个重要的优势。 下面我们讨论在无交易费且无摩擦的市场中一般g a r c h - 扩散过程的期权定 价。我们用s 表示股票价格，t 表示期权的到期时间，c 表示标的股票价格为s 的 期权的价值，v 表示瞬时条件方差。 借助b l a c k s c h o l e s 模型的基本假设，作如下假设： ( 1 ) 不存在无风险套利机会； ( 2 ) 没有卖空限制且股票连续支付红利； ( 3 ) 无交易费用和税收，股票可无限细分； ( 4 ) 股票的期望收益率、无风险利率r 都是有效期内时间t 的函数； ( 5 ) 交易时间内股票价格和它的条件方差服从g a r c h 一扩散过程。 2 2g a r c h - 扩散模型的建立 我们用s 。( s f ) 脚表示当前的股票价格，矿2 ( y f ) ，卸表示当前瞬时方差， 岱f ，v f ) ，卸满足二维g a r c h 一扩散过程： d s | = a s f i t + , v , s # b l a v , = 电，一c ：v , ) a l + c ，y a w , ( 2 1 ) ( 2 2 ) 式中，c - ，c 2 ，c 3 均为正常数，为股票的期望收益率，b 和肜，分别为定义 在概率空间( q ，f ，f ，尸) 上的一维布朗运动且相互独立，其中p 为概率空间上的 测度。我们规定初始时间t ：0 ，则( s 。，v 。) r + r + ， 鱼 瞬时方差，满足均值回归过程，其中c z 是历史波动率的均值，c z 是回复率。 若c z 较小，则矿，表示较弱的均值回归过程，v ，长期在历史波动率的均值附近 上下波动，即它产生波动率抖动。系数c ，决定了波动率行为的随机性，当c 3 2 u 时，波动率过程是既定的；当c 3 0 ，对数回报分布的峰度大于3 ；当c ，5 c ：5 0 ， g a r c h - 扩散过程可以简化为h u l l 9 1 w h i t e ( 1 9 8 7 ) 提出的无漂移对数正态过程。 假定当v o o 时，v ，的p 测度几乎处处是正的，则任意，0 时方程的强 解如下： 兰趔盔堂2 q ! q 盾亟堂焦迨塞 矿，= 矿。p c 2 + 扣3 弦+ c ，矿，+ c 。，e c ：咭c 3 卅+ c ，矽，形， 0 ( 2 3 ) r 。l + 乓5 ：鸳 矿，的这个平稳分布是平稳的倒g 锄a 分布，令参数c 3 ，c 3 2 ，即 二一r ( r ，s )2 y ， ，详见( 1 9 9 0 ) 。当2 c ： c 3 n e l s o n 1 9 9 0 ) c 3 时，波动率y ，是强平稳过程， 少， ，详见 。当二c ：声时，波动率，是强平稳过程， 它的条件期望和条件方差为： e ( v ，i y o ) = 鱼+ ( 矿。一鱼) p 叩， c 2c 2 州m 卜参妒 c 3 2 ( 鱼) ( 矿。一鱼) ，堡2多l 乌一1 c 3 + p 。2 刮，( y 。z 一2 v o 粤( c ) + 一p - 2 c 7 ( yo c a ) c 2 ( 2 4 ) l 一盟( 1 一c ，3x 1 一c a ) c 2z c 2c 2 ( 2 5 ) 考虑上面的条件期望和条件方差在无条件限制下的情况就得到了v ，的无条 件期望和无条件方差： ( 旦) 、。c m 。蠡e ( v 2 ) = 鱼 卫一l c 2 ， c 3 ( 2 6 ) v ，的更高阶无条件矩都可以用平稳逆g a m a 分布来描述，v ，的平稳倒g a 咖a r c 3 ，积分方差y r 的一阶和二阶条件矩分别为： m 咧w 2 尝w 。一鲁等 ( 2 1 2 ) m罢一e防一mgd)2噼一帮-2tc2tr,、2 2 p c 3 2 2 c ：7 ( 2 c 1 2 + 2 c l ( c 3 2 2 e 2 ) y 。+ ( 2 c 2 2 3 c 2 c 3 2 + c 3 4 ) 矿0 2 ) t 2 ( c 2 一c 3 z ) ( 2 c 2 一c 3 z ) 一鱼鱼! 丝! 竺二至! ! 竺里2 二鲨三! ：堡丛二堡堡31 匕! 二堡2 鱼三二堡! 匕q t c 2 ( c 3 z 一2 c 2 ) 士! 竺_ t c ：竺3 2 1 兰i 2 1 ：堡2 2 二! ：二：! ! 竺三2 1 二兰竺! 堡2 2 1 ：二：堡! 二：堡三2 1 兰! 二堡2 2 1 竺三2 二竺! ! 匕q 2 1 t c 2 ( c 2 一c 3 二) ( 2 1 3 ) 有关定理2 3 的详细证明参见附录a ，其余的两阶矩用类似的方法可以得到， 我们知道了v r 的前四阶条件矩，就可以求出一般g a r c h 一扩散模型的欧式看涨期 权价格： c 鲥飞阻筝券2 谚耐+ 争g d 券3 。m 嚣a 4 c 蚴 。2 4 形7 4 l 珊， ( 2 1 4 ) 2 4 蒙特卡罗模拟算法 为了求出期权定价公式( 2 1 4 ) 的解，我们对欧式期权的价格应用蒙特卡罗 算法，该方法的优点是计算过程的标准误差是可知的，下面我们将通过蒙特卡 罗模拟来研究逼近公式的准确性。具体来说，我们使用条件蒙特卡罗方法计算 公式( 2 9 ) 中所表示的看跌期权的价格。我们把时间区间【0 ，r 】划分为s 个相等 9 兰捌态室至q ! q 盾丝堂焦逾塞 的子区间，这样我们得到s 个相互独立的标准正态随机变量v 捌一，我们利用 f ，矿、l m i l s t e i n 方法，在离散时间汀几，i = l ，s 上模拟式( 2 8 ) 中的随机变量形为： k = q h 1 - c 2 么+ c 3 皿) + 要c 3 z y ：川【( 厄形) z m 其中出_ 丁，然后我们用平方波动率s 一善矿r 计算b 1 a c k s c h 。l e s 看跌 期权价格尸：。最后对这个过程进行n 次迭代，我们就可以得到的蒙特卡罗算 法估计出的看跌期权价格： 尸。：= n 一尸? 相应的蒙特卡罗标准误差为： 。1 砉( 尸警一尸聊c ) 2 e 一_ = 历矿一 当n 趋于无穷大，尸。依概率收敛到等式( 2 9 ) 的看跌期权价格。为了估 计波动率过程( 2 8 ) ，我们使用由模型( 2 7 ) 和( 2 8 ) 的经验估计推断出来 的参数值。通常情况下，对于每年2 5 2 个交易日的货币指数的日对数收益，v c 的无条件均值吃的范围从0 0 1 变到o 1 ，这表明吃的范围从1 变到4 0 。 对于蒙特卡罗模拟，我们考虑到期日介于3 0 1 8 0 个交易日的欧式看跌期 权。我们输入m a t l a b 代码进行模拟，取2 1 0 6 。在表1 中，我们令c - 2 0 0 9 ， c 22 4 ，c 3 2 l 一。v 的无条件均值为0 0 2 2 ，v 的两个标准误差范围为 0 0 0 1 0 0 4 3 。而且在这种情况下，定价误差非常小，e p ( 2 ) ，e p ( 3 ) ，e p ( 4 ) 的平均数分别为0 0 2 4 ，0 0 2 0 ，0 0 5 3 。 在表1 中，利用m o n t ec a r l o 模拟经过= l o 。次计算，可以估计出欧式看 跌期权的价格尸聊c 1 0 表lg a r 啡扩散模型中欧式看跌期权价格p 由公式( 2 ，1 4 ) 的i 阶截断来逼近，对于 e m c x l 0 4 rkp m c 尸2 尸3 尸4 e p ( 2 ) e p ( 3 me p ( 4 ) 9 0o 0 4 1 6 0 0 4 1 90 0 4 1 8 0 0 4 1 7 0 8 9 9 80 4 7 1 10 2 7 7 6 0 2 7 9 6 9 5o 。4 2 1 70 4 2 7 20 4 2 6 90 4 2 7 30 0 6 3 0- 0 0 2 2 70 0 7 6 01 2 3 0 5 3 01 0 02 0 5 4 02 0 5 3 62 0 5 4 62 0 5 3 9- 0 0 2 3 00 0 2 3 5- 0 0 0 9 52 0 3 7 6 1 0 55 4 9 1 15 4 9 1 35 4 9 1 05 4 9 1 30 0 0 4 3- 0 0 0 1 60 0 0 5 91 3 5 3 3 1 1 01 0 0 7 4 2 1 0 0 7 4 7 1 0 0 7 4 41 0 0 7 4 40 0 0 5 10 0 0 1 6o 0 0 1 90 4 3 2 2 9 00 2 4 0 3o 2 4 1 50 2 3 9 50 2 4 0 9o 5 l1 8- 0 3 1 8 60 2 6 9 0 1 2 6 9 8 9 5 1 。0 0 8 9 1 0 0 8 61 0 0 8 8 1 0 0 9 3 - 0 0 2 7 10 0 0 1 3 0 0 4 8 92 7 0 6 1 6 01 0 02 8 9 7 62 8 9 6 12 8 9 9 52 8 9 6 80 0 5 3 40 0 6 6 1- 0 0 2 9 43 5 1 7 8 1 0 56 1 2 2 96 1 2 2 46 1 2 3 06 1 2 3 3- 0 0 0 6 40 0 0 2 00 0 0 7 12 9 0 9 0 l1 01 0 3 5 3 7 1 0 3 5 5 0 1 0 3 5 2 7 1 0 3 5 4 5 0 0 1 1 8- 0 0 0 9 7 0 0 0 8 81 6 6 2 9 9 00 5 0 5 90 5 0 7 30 5 0 4 00 5 0 7 60 2 8 6 80 3 7 3 60 3 4 7 62 2 9 2 6 9 51 5 2 3 71 5 2 2 41 5 2 4 31 5 2 3 8- 0 0 8 1 10 0 4 8 30 o l l 93 8 2 8 1 9 0 1 0 0 3 5 4 5 13 5 4 2 13 5 4 8 43 5 4 3 0- 0 0 8 0 90 0 9 5 30 0 5 8 14 5 9 0 5 1 0 56 6 7 4 6 6 6 7 3 26 6 7 5 66 6 7 4 70 0 2 1 5o 0 1 4 60 0 0 0 44 0 8 4 3 11 01 0 6 9 4 31 0 6 9 5 61 0 6 9 2 51 0 6 9 6 20 0 l1 0- 0 0 1 8 10 0 1 8 62 8 3 8 9 9 00 7 8 9 50 7 9 0 70 7 8 7 20 7 9 2 3o 1 6 1 20 2 7 5 30 3 6 3 33 1 5 9 4 9 51 9 8 4 41 9 8 2 81 9 8 6 21 9 8 3 9- 0 1 0 3 20 0 9 3 5一o 0 1 9 44 6 7 1 3 1 5 01 0 04 0 9 1 74 0 8 7 94 0 9 6 54 0 8 8 4- 0 0 9 2 6 0 1 1 6 50 0 8 0 4 5 3 8 2 7 1 0 5 7 1 6 5 77 1 6 3 57 1 6 7 97 1 6 5 3- 0 0 3 2 20 0 3 0 50 0 0 8 94 9 6 5 3 11 01 1 0 4 3 51 1 0 4 4 311 0 4 1 61 1 0 4 6 40 0 0 7 20 0 1 7 00 0 2 6 23 8 0 4 0 9 01 3 5 6 01 3 5 6 61 3 5 5 01 3 5 9 60 0 4 1 4- 0 0 8 0 70 2 6 3 74 4 4 5 8 9 52 7 9 2 52 7 8 9 62 7 9 6 52 7 9 1 00 1 0 4 80 1 3 9 50 0 5 4 95 8 2 2 0 1 8 01 0 05 0 11 45 0 0 6 9 5 0 1 8 l5 0 0 6 8 - 0 0 9 0 30 1 3 1 9- 0 0 9 3 2 6 4 4 9 5 1 0 58 0 2 3 88 0 2 0 68 。0 2 8 l8 0 2 1 9- 0 0 4 0 10 0 5 4 0- 0 0 2 3 46 1 6 5 6 1 1 0 1 1 7 2 0 3 11 7 2 0 2l1 7 2 0 01 1 7 2 3 5- 0 0 0 0 9- 0 0 0 2 6 0 0 2 6 9 5 2 0 4 3 i ：2 ，3 ，4 ；e ，( f 彤= l o o ( 尸一尸。) p 。；p 。是m 。n t ec a r l 。标准误差，模型参数： s 。1 0 0 ，= 拈0 ，d v = ( 0 0 9 - 4 v ) d t + 1 2 v d w ，y 。；o 。 2 5 隐含波动率曲面 在这一小节，我t f t o t 究g a i c l t 一扩散模型( 2 7 ) 和( 2 8 ) 的隐含波动率。 兰世l 盍堂2 q ! q 屋亟堂僮迨塞 2 通过隐含波动率dj m p ，我们可以构造出b l a c k - s c h o l e s 期权价格与g a r c h 一扩 散期权价格的等价关系c “( a i m p ) 2c 班。 r e n a u l t & t o u z i ( 1 9 9 6 ) 指出，对于任何随机波动率过程，价格和方差不相关 的假设可以推导出对称的波动率微笑，即关于敲定价格函数m = l n ( s k ) + ( r d ) t 的隐含波动率的对称形状。隐含波动率函数依赖于到期日的选择，即期限结构 模式依赖于特定的方差过程。下面我们研究g a r c h - 扩散模型中波动率微笑和期 限结构模式的性质。正如表1 中我们令c ，2 0 0 9 ，c 25 4 ，c 3 2 1 一，然后计算 g a r c h - 扩散期权价格( 2 1 4 ) 和基于不同执行价格和不同到期日的隐含波动率。 图1 描述了到期日分别为3 0 ，6 0 ，9 0 ，1 2 0 ( 天) 的波动率微笑，图2 描述了到 期日分别为3 0 ，6 0 ，9 0 ，1 2 0 ( 天) 且执行价格分别为9 0 ，9 5 ，1 0 0 ，1 0 5 ，1 1 0 的波动率曲面。因为隐含波动率关于m 对称，波动率微笑关于远期价格是对称 的。而且当到期日越来越近时，波动率曲面的凸性增加。对于我们选择的所有 正参数，观察隐含波动率曲面的特征。当到期日增加时，波动率曲面越来越平 一形 坦。因为随机变量y ，通过强大数统计定律收敛到历史均值c 2 且对于所有的 。c 丫。 敲定价格i m p 收敛到c 2 这些定性结果与货币期权市场中波动率曲面的经验 数据是一致的，在较短的到期日波动率曲面较陡而在较长的到期日波动率曲面 较为平坦，这里波动率微笑关于远期价格是对称的。例如见c h e s n e y s c o t t ( 1 9 8 9 ) 文献6 ，b o ll e r s l e v z h o u ( 2 0 0 2 ) 文献4 1 2 尝 = 萼 勺 竺 。巨 呈 苎 看 罩 卫 皇 互 曼 图1 到期日t 分别为3 0 ，6 0 ，9 0 ，1 2 0 ( 天) 的波动率微笑，选择参数s 。2 l o o ，= d = o 波动率过程如表1 ，d v = ( o 0 9 4 v ) a t + 1 2 v d w ，v o = 0 0 9 4 o 5 3 i o 1 5 2 盈o 1 5 1 詈 一o 1 o 1 辱9 1 1 0 图2 到期日t 分别为3 0 ，6 0 ，9 0 ，1 2 0 ( 天) ，敲定价格k 分别为9 0 ，9 5 ，1 0 0 ，1 0 5 和11 0 的波动率曲面，选择参数s 。一0 0 ，= d = 0 波动率过程如表l ， d v ：( o 0 9 4 v ) d t + 1 2 v d wv 。= 0 2 6 本章总结 在本章我们用解析方法推导g a r c h 一扩散模型下积分方差的前四阶条件矩， 利用这些条件矩我们能获得一个基于g a r c h 一扩散模型的欧式期权的近似解析公 式。蒙特卡罗估计表明考虑不同的执行价格和到期日，我们由协方差的前三阶 条件矩得到的定价公式是比较精确的。对于某些参数选择，由前两阶条件矩和 前四阶条件矩得到的近似公式是不精确的。最后，我们研究由g a r c h 一扩散模型 推导出的波动率曲面，我们发现通常在外汇期权市场上观测到的波动率微笑和 期限结构模式与波动率曲面本质上是一致的。 本章内容的具体贡献如下：我们用解析方法推导了基于g a r c h 一扩散过程的 积分方差的前四阶条件矩。这一结果有几个重要的影响。首先，这些条件矩使 兰刿态堂2 q ! q 届亟堂焦逾塞 我们获得了基于g a r c h - 扩散模型的欧式期权定价的一个解析近似，这种近似可 以很容易地在任何标准软件包中实现。正如我们将通过蒙特卡罗模拟展示的， 考虑到不同的执行价格，不同的到期日和一系列合理参数，基于前三阶条件矩 得到的近似公式是比较精确的。第二，我们的解析近似使我们可以很容易地研 究g a r c h - 扩散模型下的波动率曲面。第三，g a r c h - 扩散过程中积分方差的条件 矩可以推广到h u l l & w h i t e ( 1 9 8 7 ) 提出的对数正态方差过程的条件矩。最后，积 分方差的条件矩能被用来推断一个用g l v l m 一类型估计的使用高频数据的g a r c h - 扩 散模型的连续时间参数。 第三章带交易费的g a r c h - 扩散期权定价模型 3 1 基本假设和定义 假定股票价格s 及其方差k 满足二维g a r c h 扩散过程： 驾2l 。s , d t + h 墨妲，d r , = ( q 一乞玩) 沈+ 乞圪批 ( 3 1 ) 其中q ，c 2 ，乞为正的常数；为股票的期望收益率；b 和w 分别为相互独 立的一维布朗运动；d e = o , m期中，g 满足标准正态分布。 我们定义算子： l=旦盔+旦掇+旦+丢熹(搬)2+圭嘉(dvcot o so v ) 2 = 2 瓠2 、72a 矿2 、 昙础+ 昙钌+ 嘉肌孺1 a 2 v s 2 d t + j 1 而a 2 a v 哆h 一2 ， 西asa 矿2 瓠22 2。 f3) 3 2 带交易费的g a r c h 一扩散模型的建立 设以该股票为标的的期权的价格为f ( s ，v ，t ) ，由i t o 定理得： d f ( s ，v ，t ) = i f ( 3 3 ) 设有另一个以该股