（应用数学专业论文）一类广义cantor集的hausdorff测度.pdf

太原理1 ：人学硕十研究生学位论文 一类广义c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度 摘要 本文首先论述了分形集及其特征，通过特性给出了它的定义，并对 分形的各种测度和维数进行了论述，讨论了分形集测度和维数的概念和 性质，论证了测度与维数、维数与维数问的关系，以及用维数来刻画分 形集合的“粗”“细”程度，为正确理解和使用分形维数提供了依据，同 时也澄清了对分形维概念的错误认识，同一分形集对不同的维数定义可 以具有不同的分形维数值，而不同的分形维数刻划分形集不同属性。其次， 本文论述了迭代函数系统( i t e r a t e df u c t i o ns y s t e m ) y = z ， ，定 7 4 f ( e ) = 、u ，( e ) 、i o ( e ) = e 、，“( e ) = f ( ”1 ( e ) ) ，从而构成了i f s ；讨论 = l 了由迭代系统产生的广义c a n t o r 集的测度，给出了由两个或三个压缩映 射在满足开集条件下生成的c a n t o r 集，如果在映射过程中 o ，l 】区间的两 个端点保持不变，则c a n t o r 集e 的h a u s d o r f f 测度等于1 ，即日5 ( e ) = i ； 如果在映射过程中 o ，1 】区间两端改变，则c a n t o r 集f 的h a u s d o r f f 测度 可由f 与g 的线性关系( f = 施+ 6 ) 通过测度的性质得到，即h 5 ( f ) = i k l 5 ，并 把这种生成c a n t o r 集的方法推广到一般情况，即c a n t o r 集由k 个压缩系 数不相同的压缩映射在满足开集条件下生成的，如果 o ，1 区间两端点保持 不变，则c a n t o r 集e 的h a u s d o r f f 测度等于1 ；如果 o ，1 区间端点改变， 太原理：i ：火学硕士研究生学位论文 则c a n t o r 集f 的h a u s d o r f f 测度是一个与压缩系数有关得值。最后，从 另一个角度对广义自相似集的h a u s d o r f f 测度及测度的连续性进行了论， 得到了自相似集的h a u s d o r f f 测度是与压缩系数有关的，并且h a u s d o r f f 测度的连续性也与压缩系数有关。 关键词：自相似集，广义c a n t o r 集，h a u s d o r f f 测度，维数，连续性 i i 太原理i ：人学硕十研究生学伉论文 h a u s d o r f fm e a s u r eo fg e n e r a l i z e d c a n t o rs e t a b s t r a c t f i r s t l y ，t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ef r a c t a ls e tw i t hi t sc h a r a c t e r i s t i c sa n d g i v e st h ed e f i n i t i o no ft h ef r a c t a ls e tb yc h a r a c t e r i s t i c s i ta l s od i s c u s s e st h e d i f f e r e n td e f i n i t i o no ff r a c t a ld i m e n s i o n sa n dt h e i rc o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e s i t p r o v e s t h er e l a t i o n sb e t w e e n m e a s u r ea n dd i m e n s i o n ，d i m e n s i o na n d d i m e n s i o n t h er e s u l t sc a nb eu s e dd e p i c tt h ed e g r e eo f t h i c k n e s s f o ra f r a c t a ls e ta n dp r o v i d eab a s i sf o r u n d e r s t a n d i n g a n d a p p l y i n g f r a c t a l d i m e n s i o n ，a n da l s o ，t h er e s u l t sm a yc l a r i f ys o m em i s t a k ek n o w l e d g ea b o u t f r a c t a ld i m e n s i o n ，s u c ht h a to n ec a ns e et h ef a c t af r a c t a ls e tm a yh a v e d i f f e r e n tv a l u e so fd i m e n s i o nu n d e rd i f f e r e n td e f i n i t i o n so fd i m e n s i o n s ，a n d t h ed i f f e r e n tv a l u e so fd i m e n s i o n sc h a r a c t e rd i f f e r e n ta t t r i b u t e so ft h ef r a c t a l s e t s e c o n d l y , t h i sp a p e r t e l lu sa b o u ti t e r a t e df u n c t i o n s y s t e m ， k 厂= 五，五，五 ，d e f i n i t e ，( e ) = u z ( e ) ，f ( i = l ，2 ，七) ，f o ( e ) = e ， 厂”( e ) = 1 1 1 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 f ( f ”1 ( e ) ) ，i e c o n s i s to fi f s ：d i s c u s s e st h em e a s u r eo fg e n e r a l i z e db yt oo r t h r e ec o n t r a c t i o nm a p p i n gu n d e ro p e nc o n d i t i o n i ft w oe x t r e m a lp o i n t so f 0 ，1 k e e pi n v a r i a n t ，t h eh a u s d o r f fm e a s u r eo fc a n t o rs e t ei s e q u a lt o 1 ，i e h 5 ( e ) = 1 i ft w oe x t r e m a lp o i n t so f 【0 ，1 c h a n g e ，t h eh a u s d o r f fm e a s u r e o fc a n t o rs e tfc a nb eg o tb yt h ep r o p e r t yo fm e a s u r e ，a c c o r d i n gt ot h e l i n e a rr e l a t i o nb e t w e e nfa n de ( f = k e + b ) i e h 5 ( e ) = w ec a ns p r e a d t h eg e n e r a t i n gm e t h o do fc a n t o rs e tt ot h eg e n e r a lc o n d i t i o n i e c a n t o rs e ti s g e n e r a t e db y kc o n tr a c t i o nm a p p i n gu n d e rt h eo p e nc o n d i t i o n i ft h et w o e x t r e m a lp o i n t so f 0 ，l 】k e e pi n v a r i a n t ，t h eh a u s d o r f fm e a s u r eo fc a n t o rs e t ei s e q u a l t o1 i ft h et w oe x t r e m a lp o i n t so f o ，1 c h a n g e ，h a u s d o r f f m e a s u r eo fc a n t o rs e tfi sv a l u er e l a t e dt oc o n t r a c t i o nc o e f f i c i e n t f i n a l l y , t h i sp a p e rd i s c u s s e st h eh a u s d o r f fm e a s u r ea n dt h e c o n t i n u i t yo fh a u s d o r f f m e a s u r eo fg e n e r a ls e l f - s i m i l a rs e tf r o mt h eo t h e rh a n d w ec a nk n o wt h a t h a u s d o r f fm e a s u r eo fs e l f - s i m i l a rs e ti sav a l u ec o n n e c t e dw i t hc o n t r a c t i o n c o e f f i c i e n ta n dt h e c o n t i n u i t y o fh a u s d o r f fm e a s u r ei sa l s or e l a t e dt o c o n t r a c t i o nc o e f f i c i e n t k e yw o r d s ：s e l f - s i m i l e r s e t ，g e n e r n i z e dc a n t o rs e t ，h a u s d o r f fm e a s u r e ， d i m e n s i o n ，c o n t i n u i t y i v 声明 y 9 7 9 3 9 3 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：日期： 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名：日期： 导师签名：疆瑟i 氢日期：旦：主! 丝 太原理1 ：人学硕+ 研究生学位论文 1 1 引言 第一章绪论 自从e u c l i d ( 欧几里德) 在两千年前创立几何学以来，自然科学基本上是在 e u c l i d 空间进行研究和探索的，长期以来，人们习惯用欧氏几何的点、直线、平面、 立体等来表述物体的形状，但大自然中许多现象都不可能由e u c l i d 几何来描述，如 自然物( 树、海岸线、地表面的形状、流体的湍流、云层的边界等等) ，实际上，主 要是一个规则与不规则问题，e u c l i d 几何描述的是规则问题，但自然界中大部分是 不规则的。 历史上曾经出现像俄罗斯数学家l o b a c h e v s k i ( 罗巴切夫斯基，1 7 9 2 1 8 5 6 ) 创 立的非欧几何，但其影响有限并且还不能解决所面临的问题。f a l c o n e r 在文 1 也提 过“数学早已广泛涉及到那些可以用经典微分进行研究的集类和函数类，而对那些不 够光滑和不够规则的集类和函数类认为是病态的不值得研究而不予理睬”，恰恰 相反那些“不光滑集、不规则集”才是必须进行详细的研究，因为它们能够更好的反 映许多自然现象，分形几何恰好为研究这样的不规则集提供了一个框架。 “分形”词来源于拉丁文的“破碎”是由m a n d e l b o r t 在1 9 7 5 年发表的论文中， 为高度不规则的集合命名的。其实早在1 9 1 9 年h a u s d o r f f 就对这类集合以其名字给 出了分数维数的概念，直到m a n d e l b o r t 在1 9 7 5 年将前人的结果进行总结，发表著作 2 ，第一次系统地阐述了分形的内容、意义、思想和方法，才使得分形赋予了活力， 从而标志着分形几何作为- - i 独立的学科正式诞生了 3 ：文 4 则更多地从数学角度 讨论了某些分形及性质；文 5 又将这些分形的思想方法更多的应用到实际问题中， 在此期间主要研究分形维数的计算及各种分形现象，f a l c o n e r 在文 1 中系统地论述 了分形几何的数学理论、研究内容和研究方法，他为分形几何的研究和发展奠定了基 础，也使得分形研究进入了新的阶段。 至今分形没有确切的数学定义，但是我们赞同f a l c o n e r 的提法，如果e 具有下 面所有的或大部分的性质，它就是一个分形集： 太原理t 火学硕十研究生：学位论文 ( 1 ) e 具有“精细结构”，即在任意小的尺度之下，它总有复杂的结构。 ( 2 ) e 是不规则的，以至它的整体和局部都不能用微积分或传统的几何语言来描 述，也不是任何简单方程的解集。 ( 3 ) e 通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似的，也可能是统计意义 上的( 如自相似集，仿射自相似集，准自相似集，统计自相似集) 。 ( 4 ) e 的“分形维数”( 用某种方式定义的) 通常严格大于它的拓扑维数。 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情况下，e 可以用非常简单的方法定义，可能是由迭 代给出的。 人们试图做了各种努力，给分形下确切的定义，但是这些定义都很难适用于一般 的情形，比如，在m a n d e l b o r t 最初的论述中，他定义分形是h a u s d o r f f 维数严格大 于它的拓扑维数的几何，因此，有人用分数维来定义分形 3 6 ，这个定义明显不合 理，因为它把一些明显应当是分形的集合排除了( 一条是可微曲线，另一条处处不可 微曲线) “过粗”，也有人用性质( 4 ) 即相似性来定义分形 7 ，这个定义也不合理，因 为它将一些非常规则的集合( 如线段方形等) 归入分形，还有人用性质( 5 ) 即用迭代 来定义分形 8 9 ，这也不全面。 分形几何的研究所借助的主要工具是分形集的各种形式定义的测度和维数。测度 论是现代数学的一个主要分支，他的主要奠基人是法国数学家l e b e s g u e ，受他的老 师b o r e l 关于容量的深刻影响，在1 9 0 2 年的论文积分长度与面积中，首次把r 2 中的长度和面积概念推广到b o r e l 集的l e b e s g u e 测度，h a u s d o r f f 测度是l e b e s g u e 测度扩张为抽象测度的具体例子，它由h a u s d o r f f 于1 9 1 9 年引入。维数是研究分形 的又一主要工具，首先，维数是用来度量一个分形的不规则性和破碎程度，从几何学 角度看，则反映了集合填充空间的能力，是描述集合分形特征的主要参数；其次，测 度的存在是依赖维数的，离开维数谈测度是没有意义的，因为在不同的维数下，同一 集合有不同的测度，特别是通常给定了适当的“尺度”，即适当的维数时，希望测度 的结果是正有限的。 各种形式的测度和维数是从量的角度分析分形的：而迭代函数系统是描述分形和 产生自相似分形集的常用方法。迭代函数系统是由b a n s l e y 和d e m k o 于1 9 8 5 年在文 2 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 1 5 作为产生和分类分形集的统一方式而引入的，但实际上是h u t c h i s o n 于1 9 8 1 年 在文 1 6 中提出的产生自相似集的方法。许多经典的分形可以利用迭代函数系统产 生，如三分c a n t o r 集、v o c h 曲线等，关于迭代函数系统理论及应用方面的专著，以 b a n s l e y 文 1 7 的专著为代表。设( z ，p ) 是一个完备的度量空间，p 是x 上的距离， t ( x ) 为x 中所有紧子集的集系，对给出的k 个映射，：x 寸x ，i = 1 , 2 ，k ，记 t 厂= 石， ，五) ，并对v e ( x ) ，定义，( e ) = u ，( e ) ，当f ( i = 1 ，2 ，女) 是压缩映 i = l 射，对应的压缩系数为c i ( i = 1 , 2 ，) ，由压缩映射是连续映射，可映x 中的紧集为 紧集，于是 t ( x ) _ t ( x ) 是t ( x ) 上的映射，又复合映射( 映射合成) 定义厂o ( e ) = e ，f ”( e ) = f ( f ”。1 ( e ) ) ，即构成迭代函数系统i f s ( i t e r i c t e df u c t i o ns y s t e m ) ，简 记( ( z ) ，厂) 。一个i f s 最基本的性质是它确定了唯一不变集e 满足 女 e = u ( e ) = 厂( 扪= l i m f ”( e ) ，这种集常常是分形，从而由函数迭代产生的自相似 分形便是分形几何研究得非常重要的一类分形集合。 在分形几何的研究中，计算h a u s d o r f f 测度和维数是一个难题，到目前为止，研 究最多的一类分形是满足开集条件( o p e ns e tc o n d i t i o n ) 的自相似集，它是于1 9 8 1 年h u t c h i s o n 把用“相似”递归步骤产生相似集的方法一般化，给出了“开集条件” 的定义，得到了满足开集条件的自相似分形的h a u s d o r f f 维数、计盒维数、填充维数、 与相似维数相等。其中相似维数容易计算，且在此维数下分形的h a u s d o r f f 测度是正 有限值。f a l c o n e r 在文 2 2 的定理4 蕴含了很好的结果，对一个一般的自相似分形 ( 不满足开集条件) ，它的h a u s d o r f f 维数、计盒维数、填充维数也是相等的，这不 仅使得对于一些分形集的维数计算变得容易，而且对讨论分形的测度带来很大方便， 但是就是对这一类分形，计算它们的h a u s d o r f f 测度也是极其困难的，尤其对维数大 于l 的分形，如k o c h 曲线，文 1 9 2 0 2 1 2 3 2 4 主要讨论了平面上某些分形的 测度计算，有压缩系数相同的，也有压缩系数不相同的，但都得到的是估计值；文 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 2 5 2 6 主要对直线上的严格自相似压缩系统，在开集条件下进行了讨论，给出了由 这一系统决定的分形的h a u s d o r f f 测度的计算公式，而对满足开集条件但非等比的情 况没有讨论，文 2 7 2 8 2 9 3 0 主要对直线上由两个压缩系数不同的压缩映射生成 的自相似分形进行了讨论，并得到了广义c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度等于l ，文 3 1 证明了h a u s d o r f f 测度的连续性与压缩系数的相关性。本文对由两个或三个映射产生 的c a n t o r 集在满足开集条件下的测度进行了讨论，当映射过程中 o ，1 】区间的两个端 点保持不变时，证明了自相似集e 的h a u s d o r f f 测度等于1 ，即日5 ( e ) = l ；当映射过 程中 0 ，1 区间两端发生改变时，所产生的自相似集f 的h a u s d o r f f 测度可由f 与e 的 线性关系( f = 施+ 6 ) 通过测度的性质得到，并把这种生成c a n t o r 集的方法推广到一 般情况，即c a n t o r 集由k 个压缩系数不相同的压缩映射在满足开集条件下生成的， 如果【0 ，1 区间两端点保持不变，则c a n t o r 集e 的h a u s d o r f f 测度等于1 ，如果 o ，1 】区 间端点发生改变，则c a n t o r 集，的h a u s d o r f f 测度是一个与压缩系数有关得值；最 后，对广义自相似集的h a u s d o r f f 测度及测度的连续性进行了讨论，从另一角度讨论 了自相似集的h a u s d o r f f 测度。 1 2 数学基础及符号说明 通常，用记号r 表示实数集，z 为整数集，q 为有理数集，用r + ，z + 和q + 表示 它们相应的正子集。r ”为n 维欧几里德空间，其中r = r 1 正好是实数轴，而尺2 是欧 几里德平面，r ”中的点记为小写字母x ，y 等，x + y 表示x 枷的( 向量) 和，厶为x 乘 以实数旯。r ”上的欧几里德距离或度量是通常的欧几里的距离，即：点x ，y r ”之间 的距离是k - y l = ( nk 一咒b ，这里工，y 的坐标形式分别为x ：( 而，h ) 和 ，；1 y = ( 儿，y 。) ；集合一般指r “的子集，用大写字母来表示，如a 、b 、c 、等；集e 的 上确界s u p e 是使得对所有的x e 都有x t n 成立的最小数m ，若这样的数不存在 4 太原理i ：人! 学硕十研究生学位论文 则e 的上确界为m ；同样地，e 的下确界i n f e 是使得对所有的x e 都有x 肌成立 的最大数m ，若这样的数不存在，则e 的下确界为一m ；非空集合e 和f 间的距离， 记作d ( e ，f ) = i n f i x y l ：x e ，y f ，一个非空集合e 的直径吲定义为e 中任意两 点的最大距离，即吲= s u p x y l ：_ y e ；约定1 0 1 = o 定义中心在x r ”半径为， 0 的闭球和开球分别为：b ( x ，) = b r , i y x i r j 和b 。( x ，r ) = d r , i y x l ，+ ，其中r 1 中的球就是区间，r2 中的球是圆；如果一个集 合e c r ”满足e 亡b ( x ，r ) ，则称e 是有界的，于是一个非空集合e 是有界的当且仅 当i e i 0 ，当k _ c o 时，k x l 0 使b ( x ，r ) c e 。如果集合e c r ”包含了其本身的所有极限点，即如果( t ) 函 是e 中点构成的收敛于x r ”的序列，那么必有x e ，则称集合e 是闭的。集合e 是 开的当且仅当它的补集是闭的。一个集合e 的内部，记作i n t e ，是e 所有开子集的 并集。e 的闭包，记作面，是所有包含e 的闭集的交集。e 的边界定义为o e = 面i n t 。 集f 称为集e 的稠子集，假如f c e ( 2 2 i ，即对于集e 的每一点都有集f 中的点与其 任意接近。如果每个覆盖集合的开集族都存在覆盖e 的有限子集，则称e 是紧的。 5 太原理i ：人学硕十 i j f 究生学位论文 r ”的一个子集e 是紧集当且仅当它是闭的且有界。 彤的波雷尔子集族形式上是满足下列条件的集合的最小族 1 ) 每一个开集是波雷尔集，每一个闭集也是波雷尔集。 ( 2 ) 如果g ie ：，是任意可数个波雷尔集组成的集族，那么u e ，、n e 。和e ，e ： 也是波雷尔集。 任何初始是由开集或闭集构造的集合，经过有限次的可数并或交后仍是一个波雷 尔集，实际上，本文涉及的r ”的所有子集都是波雷尔集。 设、】，为任意集，正x 斗y 为x 到y 的映射，；如果当_ x 2 时，f ( x 。) f ( x ：) 则称，是一个单映射；如果f ( x ) = y ，则称厂是一个满射；如果厂同时是单射和满 射，则称厂是双射或一一对应的；对双射：x 寸y ，有厂的逆映射厂：y j ，满 足对所有x 有厂。1 ( ，( x ) ) = x ，和对所有的y y 有f ( f 1 ( y ) ) = y ：如果正x 斗y 和g ：z 一形，当】，cz 时，定义厂与g 的复合g 。厂为( g 。厂) ( x ) = g ( 厂( x ) ) ；对 正x _ x ，o ( x ) = x ， ) = f ( f “1 ( x ) ) ，k = 1 , 2 ，3 ，那么f 是，与它自己第k 次 的复合，称为的k 次迭代。 称函数正x 斗】，为指数是a 的h0 l d e r 函数，如果存在某常数厶口，使得 i f ( x ) - f ( y ) l c l x - y 1 8 ( x ，y x ) ；当口= 1 时，3 l 称, f 为李h 希兹函数；当口= 1 且c 1 时，称厂为压缩映射，c 为压缩因子；如果存在0 c 。c ： o o ，使得 c 。i x - - y i - i f ( x ) 一厂( y ) l c ：k y l ，( 墨y x ) 称厂为双一李h 希兹函数。 函数下极i 琨l i m f ( x ) = 錾啤i n f f ( x ) ：0 x 5 ；函数上极限1 i 碑厂( x ) = 婴礤s u p r 0 0 o _ + u j 呻ud _ u ，( x ) 0 0 ，必然存在j 0 ，使得任意x m ，f ( v ( x ，巧) ) c y ( 厂( x ) ，s ) ，则称厂在彳上一 致连续。 一致上、下半连续：设厂：x j r 为度量空间( x ，d ) 上的函数，若对任意占 0 ， 必然存在万 0 ，使得任意x x ，f ( v ( x ，万) ) c ( 厂( x ) 一占，+ o o ) ，则称厂在上致下 半连续；若对任意s 0 ，必然存在占 0 ，使得任意x x ，f ( v ( x ，占) ) c ( 一，f ( x ) + s ) ， 则称厂在x 上一致上半连续。 7 太原理i ：人学硕一f 一研究生学位论文 2 1 测度 2 1 1 测度 第二章分形集的测度及维数 定义2 1 设x 是一给定的非空集合，z 是x 的一盯代数，是定义在z 上取值 于瓦= 0 ，+ c 。 的一个映射，如果对于x 的每个子集，满足 ( 1 ) ( 肖) 0 ( 囝) = 0 ( 2 ) 若e f ，则p ( e ) ( f ) ( 3 ) 若e ，是一个可数( 或有限集) 的集序列，则 ( u e ，) ( e ) 特别，当e n 易= g 时，( u e ，) = ( e ) 忙】，= l ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 则称是x 上的或( x ，z ) 上的测度，( e ) 为集合e 的测度，当4 x ) 0 ；称为集e 上的测度，假如e 包含的 支撑；称尺”的有界子集上满足0 似”) m 的为质量分布，可以认为( e ) 为集e 的质量。经常直观地认为，取一有限质量而按某种方式分散到整个集x 上可得到上 的一个质量分布；有关测度的条件也满足。 8 太原理i ：人学硕+ 研究生学位论文 2 1 2 常用测度 为 ( 1 ) 计数测度：任意e cr ”，( e ) 是e 中点的个数( 可以是0 0 ) ( 2 ) n 维勒贝格测度：“坐标平行体”e = ( _ ，x n ) r “：口，工，s 岛) 的, v l 维体积 v o l ( e ) = 兀( 6 ，一a i ) ( 2 5 ) 则n 维勒贝格测度，记为 r ( e ) = i n f 俐( e ，) ：e c u ( e ) ( 2 6 ) l i = 1 i = l j 特别，如果e 是一个平行体或者用通常的测量方法可以计算体积的任何集合， r ( e ) 等于e 的 维体积。 2 2h a u s d o r f f 测度 2 2 1h a u s d o r f f 测度 定义2 2 设e 是n 维e u c l i c l 空间r “的任意非空子集，妙，) 是可数( 或有限) 个 集的序列，如果集合e c u u 。，a u ，的最大直径不超过占，即o 0 定义 蹦驴i 矗僖川。：眠她的万一覆盖 ( 2 _ t ) 当0 以 0 ，则称，是一个h o l d e ，映射，并且对每一个s 有 h 4 ( ，( e ) ) s c 4 h 3 ( e ) ；特别，当口= 1 时，厂称为l i p s c h i t z 变换，此时有 h ( 厂( e ) ) sc h 5 ( e ) ： ( 7 ) 如果正e _ r ”是双l i p s c h i t z 变换，即存在o 0 和皖 0 ，使得 ( 己d c p l 5 对一切i u i 磊都成立，则日5 ( e ) 生字。 2 3p a c k in g 测度 p a c k i n g 测度是h a u s d o r f f 测度的“对偶”形式，即h a u s d o r f f 钡1 度是以覆盖的方 式来测量一个集合的，而p a c k i n g 测度是用互不相交的球填充集合来近似测量集合 的，这种思想最早由t r z i o t 在1 9 8 2 年引入文 1 3 ，这种测度与h a u s d o r f f 测度形成 对比，给解决分形问题提供了又一个工具。 定义2 3 设e c r ”为任意子集，s 0 ，对任意正数j 0 ，记 巧( e ) = s u p 喜限1 5 ：慨提球心在e 上互不相交的球，且i b , i j ( 2 - 1 1 ) 由于上确界是对球族忙， 取的，不难看出，当8 减d , n ，式( 2 一1 1 ) 中的球族 b ，) 的个 数将增多，从而上确界随之增加，所以当占专0 时，式( 2 - 1 1 ) 的极限存在，记为 p o ( e ) = 烛巧( e ) ，美中不足的是巧( e ) 不满足可数可加性，因此修改这个定义为 p 5 ( e ) = i n f i 耳( 巨) ：e c u ( e ) i ( 2 1 2 ) 太原理i ：人学硕十研究生学何论文 称( e ) 为e 的s 维p a c k i n g 钡, 1 度，即填充测度，修整后的p a c k i n g 测度满足测度的性质。 2 4h a u s d o r f f 维数 2 4 1h a u s d o r f f 维数 定义2 4 设e 为尺”的任意子集，s 为一非负实数，回到( 2 7 ) ，可以看出对任意给 定的集e 和万 s ，且 v 为e 的6 - 覆盖，有i v , i - s ，若日( e ) q o ，则h ( e ) = 0 ；即吲( e ) 的极 限在0 和。间跳跃，则必存在一个实数( 记为d i m 。e ) 作为h5 ( e ) 的临界集，使得 = 舻础笛 d i m 。e = s u p s ：日5 ( e ) = + m ) = i n f s ：h 5 ( e ) = o ) ( 2 1 4 ) 称d i m h ( e ) 为e 的h a u s d o r f f 维数。 实际上，该定义回答了一个问题就是维数直接影响测度，只有当s = d i m 。( e ) 时， e 的s 维h a u s d o r f f 测度才有可能是一个正的有限值，如果ecr ”为b o r e l 子集，且 s = d i m h ( e ) 时， 0 0 ，d i m h ( 2 e ) = d i m h ( e ) ； ( 6 ) 设e c r ”，如瓢e 斗r ”满足h o l d e r 条件的映射，则 d i m f ( e ) 0 ，定义 j 1 3 太原理i ：人学硕十研究生：学位论文 职耻i n f 停i 喇鲥是e 的球的6 一覆盖) ( 2 - 1 5 ) lj _j b ；( e ) 2 望哿b ；( e ) ( 2 1 6 ) 由此得到一个测度及一个维数，在这一点上( e ) 从。跳跃到o 。显然，群( e ) ( e ) ， 因为e 的球的6 - 覆盖都是域( e ) 定义中容许的覆盖，而且，若 u ) 为e 的6 - 覆盖， 则 e ) 也是e 的万一覆盖，这里对每一“选取包含u 的半径为】u i 蔓万的某球作为e ， 所以1 e l ( 2 l uj ) = 2 5 i u , i ，取下确界得h i ( e ) 2 哦( ) ，令占一0 得到 h 5 ( e ) ( e ) 2 5 h 5 ( e ) 。特别，由此推出在同一数值s 上，h 5 与同时在0 和o o 间 跳跃，所以该维数与h a u s d o r f f 维数是等价的。 2 4 4 更糟细的维数 定义2 6 设 ：r + 一r + 为不减的连续函数，称h 为维函数，对r ”的任意子集e ， 如果 h ：( e ) = i n f z h ( 1 u , i ) ： u 为日均万一覆盖l ( 2 1 7 ) 取日6 ( e ) = l 。i + m 。h i ( e ) ，由此得到一个测度。( 若矗( f ) = r 5 ，这是通常的s 维h a u s d o r f f 测度的定义) 若h 与g 为维数函数，满足当f 斗0 时，h ( t ) g ( t ) 专0 ，若h g ( e ) o o ， 得到日6 ( e ) = 0 。所以维数函数可以分为两类：一类是h 6 为有限的；另一类h 为无 穷，这比数d i m 。e 给出了e 的更精细的维数指标。 2 5p a c k i n g 维数 定义2 7 设e c r ”为任意子集，j 为一非负实数，当艿寸0 时，式( 2 1 1 ) 的极限 存在，类似于h a u s d o r f r 维数总存在一实数d i m 。( e ) 使得 1 4 太原理r 人学硕十研究生学位论文 叭。= 警0 然总 d i m ，( e ) = s u p 受p “怛= + o d ) = i n f s ：p “p “= 0 l ( 2 - 1 8 ) ( 2 一1 9 ) $ 尔d i m ，( e ) 为e 的p a c k i n g 维数，也称为填充维数。p a c k i n g 维数d i m ，( e ) 具有与 h a u s d o r f f 维数相同的性质，即单调性、可数稳定性、开集、光滑流形、几何不变性 及l i p s c h i t z 不变性等，而且对任意子集e c r ”，有d i m h ( e ) d i m p ( e ) ，记r ( e ) = d i m ，( e ) 一d i m 。( e ) ，当o d i m s ( e ) ，则赎以( e ) 万5 = 0 ( 3 ) 如果黝以( d 占5 = m ，则j 生堕( e ) ( 4 ) 如果l i m 心( e ) 艿5 = 0 ，贝, l js _ d i m 口( e ) 1 7 佃吖 篡 扩 躲磐 泖 砒 面 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 ( 5 ) 如果垫( e ) s d i m e ( e ) ，则。l i m m ( e ) 扩= o ，且娥( e ) = 。 ( 6 ) 如果l 。i m n a e ) = o 目l i m n a ( 矽= 。，则垫( e ) - s _ d i m s ( e ) 由以上可得b o x 。维数为 d i m 8 ( e ) = s “p 乳l i m n 5 ( e ) 8 5 = + 。 l 6 + o j ( 2 - 3 1 ) 函r s ：癣m 印5 = o l d 呻o j 硫。毒羞孑爿 s z ， = i n f p ：基掣s ( e ) 万5 5 o j h l 果d i m b ( e ) 存在，则 o i m 一( e ) _ s u p ，s ：l a i m n a 目占5 2 7 j( 2 3 3 ) = i n f s ：妇n s ( e ) 占= 0 j 值得注意的是：u 碑j ( e ) 6 5 ，或堕盟n 。( e ) a ，与l 。i m n 5 ( e ) f i 5 均不满足测度的性质， 4 0 所以不是测度量。 当b o x - 维数不存在时，对旦堕( e ) s d i m s ( e ) 的s ，n 。( e ) 占可以取到从0 到 + o o 的一切值，即对任意的c ，0 c 0 ，它满足下列不等式h 5 ( e ) l i m n 。( ) 占5 錾r 5 ( e ) d ，从而，h 一 4 n 维数与b o x 维数具有关系： d i m h ( e ) - k ，则定义 d i m r ( s ) = + 。 按这样方式定义的拓扑维数最基本的一个性质是同胚不变量；g s 。与j ：同胚，则 d i m ，( s j ) = d i m ，( ) 。此外，我们知道，c a n t o r 集的维数为0 ，直线的维数为1 ，平 面的维数为2 ，等。进一步可以证明：集合的h a u s d o r f f 维数大于其拓扑维数，即 d i m r ( e ) d i m h ( e ) 所以当我们按拓扑维数对r ”的集合进行分类时，这种分类过粗，它将平面上两 条不同的曲线( 一条可微，另一条处处不可微) 归为一类。 从前面关于几种维数的分析中，我们可以清楚地看到它们的几何属性以及它们相 互间的一些关系，同时也看到，不同的测量方式对应不同的测量目的，并引出不同 的维数。下面我们再介绍一些常用的维数，并给出它们之间的关系，另一方面，这些 维数在具体问题中也常常用到。 2 1 太原理小人学硕十研究生学位论文 2 7 2 相似维数 相似维数是分形理论中重要的维数之一 定义2 1 l 设石，五是彤寸r ”为一族相似压缩映射，即存在 c ? 0 c i 1 ，i = 1 ，2 ，k ，使得对任意x ，y r “，l ，( x ) 一，( y ) i = c f l x y l ，在上述条件下 k 可以证