（物理学专业论文）基于腔qed的swap门实现和纠缠态制备.pdf

国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 摘要 s w a p 门是一个重要的两位量子门，在量子通信和量子计算中有着广泛的用途， 因此有必要提出直接实现s w a p 门的有效方案，以减少在量子信息处理过程中实际 量子逻辑门的数量，进而节约物理资源。量子纠缠是量子信息学最基本的资源， 在量子隐形传态、量子密集编码、量子密钥分配等方面起着关键作用，因而纠缠 态的制备引起人们不断的关注。本文着重研究了分别利用腔量子电动力学( q e d ) 的非线性和线性系统来实现量子s w a p 门和制备纠缠态的问题。 ( 1 ) 非线性系统中量子s w a p 门的实现和纠缠态的制备 在由超导传输线腔与库珀对盒( c p b ) 和分子系综强耦合组成的混和量子系统 中，量子信息编码于两个分子系综的基态和最低共同激发态上，量子信息由分子 系综传递至腔场，腔场态和c p b 作用后再返存于分子系综。其间，通过腔场与c p b 的强耦合，编码信息的不同腔场念i 刀) 获取非线性的相位偏移九。调整相位吮实现 两量子比特s w a p 门和两个系综之间纠缠念的制备。编码于分子系综量子态的信息 具有相当长的相干时间，此外与用两步s x s w a p 门操作实现s w a p 门方案相比，受 到影响忠实度的c p b 的消相干影响较少。 ( 2 ) 线性系统中量子s w a p 门的实现和纠缠态的制备 我们设计了一个由传输线腔和两个分子系综组成的线性系统，通过传输线腔 和分子系综的强耦合，可以一步实现分子系综问的两量子比特完全s w a p 操作；同 时介绍了用腔场作为媒介将一个分子系综的激发态部分地传递给另一个分子系 综，从而实现两个系综之间纠缠的具体方法。在该方案中既保证了编码信息的分 子系综量子态具有相当长的相干时间，并且保持了分子系综与腔场的强耦合，同 时又避免了c p b 的消相干对系统运算操作的影响，因而在此基础上构造的s w a p 门具有很高的保真度。 主题词：分子系综，量子s w a p 门，纠缠态，库珀对盒( c p b ) ，腔q e d 第i 页 国防科学技术火学研究生院硕十学位论文 a b s t r a c t a s w a pg a t e ，w h i c hi sa ni m p o r t a n tq u a n t u mg a t e ，c a l lb ew i d e l yu s e di nq u a n t u m i n f o r m a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t a t i o n , a n dt h u se f f i c i e n ts c h e m e ss h o u l db ep r o p o s e d f o rt h ed i r e c tc o n s t r u c t i o no fas w a pg a t et or e d u c et h en u m b e ro fr e q u i r e dp h y s i c a l l o g i cg a t e si np r a c t i c a lq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g m e a n w h i l e ，q u a n t u m e n t a n g l e m e n ti st h em o s tm n d a m e n t a lr e s o u r c eo fq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c ea n d p l a y sav e r yk e y r o l ei nq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n , q u a n t u md e n s e c o d i n ga n dq u a n t u mk e y d i s t r i b u t i o n , s oi ti si m p o r t a n tt oc a r r yo u ts o m er e s e a r c ho ne n t a n g l e ds t a t e s i nt h i s p a p e r ，w em a i n l yd i s c u s st h ei m p l e m e n t a t i o no fq u a n t u ms w a pg a t ea n dg e n e r a t i o no f e n t a n g l e ds t a t e sw i t hal i n e a rs y s t e ma n dn o n l i n e a rs y s t e mr e s p e c t i v e l y ( 1 ) i m p l e m e n t i n gas w a pg a t ea n dg e n e r a t i n ge n t a n g l e m e n ti nan o n l i n e a rs y s t e m i nan o n l i n e a rs y s t e mw i t has u p e r c o n d u c t i n gc a v i t yc o u p l e dw i t ht w om o l e c u l a r e n s e m b l e sa n dac p b ，w ee n c o d eq u b i t sw i t ht h ee n s e m b l e s t w ol o w e s ts t a t e si n c o l l e c t i v e s p i nd e g r e eo ff r e e d o m t h ei n f o r m a t i o ns t o r e di ne n s e m b l e sc a nb e t r a n s f e r r e dt ot h ec a v i t y , a n dt h e nr e w r i t et h ec a v i t ys t a t eb a c kt ot h ee n s e m b l e s a f t e r t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ec a v i t ya n dt h ec p b ，i nw h i c ht h en o n v a c u u ms t a t e sa c q u i r e an o n l i n e a rd y n a m i c a lp h a s e 4 ，t h ei m p l e m e n t a t i o no fq u a n t u mas w a pg a t ea n dt h e g e n e r a t i o no fe n t a n g l e ds t a t e sa r er e a l i z e db ya d j u s t i n gd y n a m i c a lp h a s e 吮t h e e n s e m b l eq u b i t sh a v eal o n gc o h e r e n tt i m e ，a n dt h i ss c e n a r i oc a nr e d u c et h e d e c o h e n r e n c eo ft h ec p bc o m p a r e dw i t ht h es c h e m eo fr e a l i z i n gas w a pg a t eb y t w o s x s - w - g a t e ( 2 ) i m p l e m e n t i n gs w a pg a t ea n dg e n e r a t i n ge n t a n g l e m e n ti nl i n e a rs y s t e m w ep r e s e n tas i m p l em e t h o dt or e a l i z eat o t a ls w a pg a t ea to n es t e pw i t ht w o m o l e c u l a re n s e m b l e ss t r o n g l yc o u p l e dw i t has t r i p l i n ec a v i t y m e a n w h i l e ，w ep r e p a r ea n e n t a n g l e ds t a t eb yp a r t i a l l yt r a n s f e r r i n gas i n g l ee x c i t e ds t a t ef r o mo n ee n s e m b l et o a n o t h e r i nt h i ss c h e m e ，w eb e n e f i tf r o mt h ee n h a n c e m e n to fc o h e r e n tc o u p l i n ga n d a c q u i r eal o n gc o h e r e n tt i m ew i t he n c o d i n gq u b i t si nd i f f e r e n ts p i ns t a t e so ft h e r o t a t i o n a lg r o u n ds t a t ei nt h em o l e c u l a re n s e m b l e s b yt a k i n go f fc p b ，t h ed o m i n a n t s o u r c eo fd e c o h e r e n c e ，w eg e tav e r yh i g hf i d e l i t yf o rt h es w a pg a t e k e yw o r d s ：m o l e c u l a re n s e m b l e ，s w a pg a t e ，e n t a n g l e ds t a t e ， c o o p e rp a i rb o x e s ( c p b ) ，c a v i t yq e d 第i i 页 国防科学技术大学研究生院硕+ 学位论文 图目录 图1 1t o 行o l i 门示意图6 图1 2d e u t s c h 门示意图8 图3 1 分子系综和c p b 与传输线腔的耦合2 2 图3 2 具有2 基态的分子转动激发能谱2 3 图3 3动力学相位么，么演化示意图2 9 图4 1分子系综与传输线腔场的耦合3 3 图4 2 量子s w a p 门忠实度，与g 卅r 的关系3 8 第1 i i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目： 基王膣q 垦旦鲍墨塑乜 塞塑狂坌9 缠查剑叠 一一 学位论文作者签名： 童! l 叠迸日期：妒罗 年2 月1 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：基王膣q 里旦鲍墨塑卫 塞煎狸纠缠奎剑叠 学位论文作者签名： 主：1 痉封 一 日期：加哆 年2 月 日 作者指导教师签名：藜生奎牡一 日期： 卅年f 2 月7 日 国防科学技术大学研究牛院硕十学f 7 ：论文 第一章绪论 随着信息技术的进步，信息已经和物质、能量一起构成现代社会生存和发展 的三大基本要素。其中前两者构成了物理学这门成熟的理论体系，而信息论，作 为研究信息本身的理论，与物理学和计算机科学是密不可分的。因为信息归根结 底是编码在物理系统中的东西，信息源于物理态在时空中的变化，信息传输是编 码物理态的传输，信息处理是被称为“计算机”的物理系统的有控制演化，信息 的提取则是对编码物理态的测量【l 】。上世纪物理学的重要进展之一是量子力学 的诞生和蓬勃发展，但是直到上世纪8 0 年代，人们才认识到量子力学和信息理 论、计算机科学存在着密切深刻的联系。由于量子态具有根本不同于经典物理态 的性质，当信息由编码在经典态过渡到编码在量子态时，我们不可避免地要对以 经典物理为基础的信息论和计算机科学加以重新审视，于是产生了以量子力学为 基础的量子信息理论或量子信息学以量子态编码的信息科学。 从经典信息学推广到量子信息学，开辟出一个新的研究领域。基于量子系统 的纠缠性、非局域性、不可克隆性等相干特性，量子信息突破许多经典信息的局 限，创造了稠密编码【2 】、绝对安全的密钥【3 、量子隐形传态 4 】等对经典信息理 论来说不可思议的奇迹。除了量子通信外，量子信息理论的另一个重要方面是实 现量子计算【5 】，实现拥有经典计算机无法比拟的信息处理能力的量子计算机是 其基本目标之一。量子计算机是量子力学理论和经典计算机理论完美结合的产 物。量子计算机概念起源于著名物理学家r i c h a r df e y n m a n 的设想 6 、7 】，随后 p e t e rs h o r 提出大数质因子分解的量子算法 5 】，引起了全世界研究者对量子计算 的广泛关注。量子计算以及量子通信的巨大科学意义和学术价值引起了物理学家 和信息科学专家的浓厚兴趣，而且由于其潜在的应用价值可广阔的应用| j 景，也 引起了多国军政部门和金融商业部门的极大热情，他们投入大量资源在量子计算 理论研究和试验上，推动了关于量子计算和量子通信研究的长足进步。在本章， 我们对量子计算研究的进展进行一些简要的回顾。 1 1 量子计算思想的起源 随着量子计算和量子通信在理论和实验方面研究的不断进展，人们预言，一 旦量子计算机进入工程时代，将很有可能引起一场关于信息处理和传播的技术革 命，进而影响人类社会的发展进程。下面，我们简略回顾一下量子计算机的起源。 大风起于青萍之末，事物皆有其肇始之渊薮。19 8 2 年，著名物理学家r i c h a r d f e y n m a n 指出，采用经典计算机不可能有效地模拟量子系统的演化【6 】。量子系 第1 页 国防科学技术人学研究生院硕十学位论文 统与经典计算机遵从不同的物理规律，用于描述量子态演化的经典信息量，远远 大于用来以同样精度描述相应经典系统所需要的信息量。而量子计算可以很高精 度实现这种模拟。 1 9 8 5 年，牛津大学的d a v i dd e u t s c h 深入地研究了量子计算机是否比经典计 算机更有效的问题f 8 1 ，他定义了量子t u r i n g 机，描述了量子计算机的一般模型， 研究了其性质并预言了量子计算机的潜在能力。d e u t s c h 第一个系统地表述了量 子计算机模型。但当时人们还不知道有什么具体可求解的问题以显示量子计算比 经典计算更有优越性，以至于直到1 9 9 3 年，有关于量子计算和量子计算机的研 究仅局限于少数对量子力学原理、信息物理、算法复杂理论感兴趣的小圈子里， 其研究动力多处于学术兴趣和好奇心。 1 9 9 4 年情况出现转机。是年，p e t e rs h o r 发现了第一个具体的量子算法 5 ， 在设想的量子计算机上用输入的多项式时间分解大数质因子，从而展现了量子计 算机在分解大数质因子问题上比经典计算机快得多的优越性。由于大数质因子分 解问题是现代通信与信息安全的基石，s h o r 的开创性工作使量子计算和量子计 算机有了实际应用背景，有力地推进了量子计算机和量子密码学研究的进展。 1 9 9 6 年g r o v e r 发现了未加整理数据库搜索的g r o v e r 迭代算法 9 、1 0 】。使用 这种算法，在量子计算机上可以实现对未加整理的数据库量级加速搜索，而 且这种加速搜索有可能解决经典上的n p 问题，因而引起了人们的重视。近年来， 量子计算机的理论和实验研究都呈迅猛发展的势头，已经由最初仅是学术上感兴 趣的对象，演变成对计算机科学、密码技术、通信技术以及国家安全和商业应用 都有巨大潜在影响的领域，俨然科技之园中一朵奇葩，引起了广泛的关注。 1 2 量子计算相对经典计算的优越性 基于量子力学理论的量子计算机和经典计算机所依据的物理原理不同，导致 两者之间迥异的特性。据目前量子计算研究进展来看，量子计算机至少在非指数 加速、指数加速、“相对黑盒的指数加速以及量子系统模拟等方面超越了经典 计算机。 1 非指数加速 现在已经发现一些量子算法使量子计算机以比经典计算机快得多的速度解 决一些问题，但是这种加速是把一个需要步的计算减少为步，例如g r o v e r 量子搜索算法，而不是把经典计算的指数算法变为多项式算法。g r o v e r 算法虽然 不是指数加速，但这种高效的搜索算法的计算能力仍然相当可观，它可以用于求 解某些经典算法上的需要穷举法求解的n p 问题。 第2 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 2 指数加速 量子计算机可以运行量子算法以多项式的时间求解一些在经典计算中属于 难解的问题，s h o r 分解大数质因子的量子算法就是一个突出的例子。分解大数 因子属于n p 类问题，量子计算机可能把n p 问题转化为易解的p 类问题。遗憾 的是至今为止只有大数因子分解一个例子，仍需科技工作者发现更多的量子算 法，更有效地解决经典难解问题。 3 “相对黑盒”的指数加速 类似于计算机科学的黑盒问题是指可以执行某种计算任务的一段程序，量子 计算机中的黑盒是可以完成某种计算任务的一系列幺j 下变换。假设我们有一个量 子黑盒，为黑盒制备一个输入，测量输出可以得到计算结果，量子黑盒具有这样 的性质：与提供经典输入相比，提供给它量子态输入量子黑盒具有指数类型的加 速。 4 量子系统仿真 除以上所述，量子计算机另一方面的重要用途是模拟量子系统。模拟量子系 统是经典计算机无法胜任的工作。模拟量子系统演化很可能成为量子计算机的一 个主要用途，目前人们已经采用量子计算类似的方法来研究简单情况下量子体系 的行为。 1 3 量子计算机模型的基本简述 目前已经提出的量子计算机模型有量子t u r i n g 机模型 1 1 ，1 2 】，量子门组网 络模型 1 3 1 和量子细胞自动机模型 1 4 1 。量子门组网络模型是目f ； 文献中讨论最 多的量子计算机模型，原因是它与经典计算机存在着更直接的对比与联系。量子 计算机门组网络模型是经典计算机的门组网络结构的量子推广，所以我们有必要 简述一下经典计算机的门组网络结构和经典可逆计算问题研究的一些成果。 1 3 1 经典计算机与量子计算机的门组网络结构 经典计算机的理论基础是：任何合理的运算都可以用b o o l 表达式表示，而 b o o l 表达式不管有多复杂，都可以通过一些简单的“通用逻辑门组”( 如a n d 门，o r 门和n o t 门) 构成适当的逻辑电路，或由触发器和门电路组成的具有 记忆功能的时序逻辑电路实现。经典计算中，只用两个门就可以构成一个“通用 逻辑门组 ，如a n d 和n o t 门，或者o r 和n o t 门。使用量子门组的任意组 合，虽然能够实现任意复杂的逻辑运算，但构造一个可以运行的计算机，还需要 两个非标准门操作：一个是拷贝操作，即复制一个输入位到两个输出位上；另一 个是擦除操作，即清除门作用在输入位上，清除掉输入位中的信息，使它回到选 第3 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 择的初始标准态上。上述两个非标准门操作加上任意一个通用门组的合理组合网 络就可以构成一个通用计算机的运算器。 除了逻辑运算外，一个计算机还需要存储原始数据和中间计算结果的存储装 置。在经典计算机中由许多物理二值系统构成有序集( 即存储器) 用以记录和存 储以二进制形式编码的信息。同时计算机还需要由时序电路和逻辑电路组成的控 制器( 即中央处理器c p u ) 来对输入信息进行运算、处理。至此清晰可见，一 个经典计算机通常就由存储器，中央处理器和输入、输出设备构成。 量子计算机的门组网络模型：量子计算机的存储器由按一系列排列的双态量 子系统( q u b i t ) 组成，r 个q u b i t 的2 ”维h i l b e r t 空间用来编码和处理信息。量子计 算通过对量子态的幺正演化来实现。要执行一定的计算任务，量子态的幺正演化 必须按照一定的算法逻辑要求进行，算法可以通过一定的线路网络来完成。此时 将量子位看成是运动的，即飞行量子位，不同的飞行量子位通过按照算法要求构 造的不同的线路网络，被算法要求的逻辑门作用，完成计算操作。同时，量子计 算机同经典计算机一样，需要输入输出设备。量子计算机的输入设备是在量子存 储器中制备对应输入信息的初始量子态；量子计算机的输出设备由量子测量仪器 组成，通过对计算末态的测量输出计算结果的信息。 1 3 2 量子计算机信息编码和信息处理特征 量子计算机区别于经典计算机得根本特征是用量子态编码信息。为了存储量 子，量子计算机最小的信息单元不是经典二值系统，而是量子双态系统，亦即一 个二维h i l b e r t 空间，称为量子比特( 也可以称作量子位) 。经典上不同的两个 态1 0 ) 和1 1 ) 可以以量子态的叠加形式同时存在。许多量子比特的集合构成一个量 子存储器，”个q u b i t s 的量子存储器是一个2 ”维的h i l b e r t 空间，信息就是通过 这个数目很大的经典上不同态的叠加态来表示的。 量子计算的信息处理过程就是由输入信息制备输入态，按算法要求对输入态 有控制地执行一系列幺正演化所构成的计算过程，以及对末态测量输出计算结果 组成。基于系统的量子力学特性，为了保持编码在系统量子态中的信息不丢失， 编码量子态的演化必须是幺正的，这也是量子计算和经典计算的一个根本区别之 所在。由于量子计算过程是对编码态的幺正演化过程，量子计算的基本逻辑门操 作就是基本的幺正变换。幺正变换是可逆的，因而量子计算机执行的是可逆运算 过程，这是量子计算机的另一个重要特征。所以当考虑把经典运算通用逻辑门组 推广到量子计算时，必须考虑经典通用逻辑门组的可逆问题，即需要把经典的逻 辑门操作改造成可逆的逻辑操作。 第4 页 国防科学技术人学研究生院硕十学位论文 1 3 3 经典可逆计算和经典可逆通用逻辑门 在经典计算机发展过程中，随着大规模集成电路技术的发展进步，计算机基 本逻辑单元的物理体积越来越趋向小型化。这种小型化的物理极限决定于热耗散 问题，即每个基本逻辑操作所需要的能量至少应大于k t 量级( k 是波尔兹曼常 数) ，要消耗掉这个能量，就必定对计算机的小型化程度给出限制，也就是说， 计算机基本逻辑单元的物理体积不能无限小下去。上世纪6 0 年代l a n d a u e r 证明 了被称为l a n d a u e r 定理的一个结果【1 5 】：信息的擦除必然伴随着能量的损耗。经 典计算机由于执行了不可逆计算，使用了不可逆逻辑门操作，所以存在能耗。7 0 年代b e n n e t t 等人 1 6 $ 1 e 明了差不多所有的计算操作都可以以一种可逆的方式进 行，既可以使每个门的输入输出唯一地相互恢复( 逻辑上可逆) ，又不伴随能量 的消耗( 物理上可逆) 。例如考虑一个船位输入- - n 位输出的函数， 厂： o ，1 y 一 0 ，l p ( 1 1 ) 很显然这个函数执行的是2 ”个力维矢量之间的一个置换，在原则上可以可逆 地进行，即输出唯一地决定输入。而对于一个刀位输入专m 位输出的函数， f ： o ，l y - - - o ，1 p( 1 2 ) 总可以设计出一个新函数 g ： 0 ，1 y ”_ o ，l y 堋( 1 3 ) 使 g ：k ，0 ” 专& ，厂( x ) ( 1 4 ) 其中x 是一个行位输入，0 ”表示其余m 位初始值为0 。式( 1 4 ) 表示，可以通 过拷贝输入，在输出中保留输入信息，从而把厂改造成了一个逻辑可逆函数。为 了使计算机执行可逆运算，必须把经典通用逻辑门改造成通用可逆逻辑门组。 t o f f o l i 1 7 证明了图1 1 的3 位逻辑门是一个通用逻辑门组，它可以执行以 广、 乞j 图1 1t o f f o l i 门示意图 c o a b 第5 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 下几种不同的基本逻辑门计算，如式( 1 5 ) 所示，所以它是通用的。 z o ( x y ) = x y 对输a z = 0 ，执行x y 的a n d 运算 ：毋z 对输= l ，执，z 的c - n o t 运算( 1 5 ) z对输心= y = 1 ，执行n o t ( z ) 、7 工对输k z = 0 , y = 1 ，执行c o p y ( x ) 其次由于对任意的输入连续两次实施这个门操作，有 x x x y y 寸y ( 1 6 ) zo ( x y ) _ ( zo ( x y ) ) o ( x y ) = z 也就是说恢复了原来的输入，这表明t o f f o l i 门操作在逻辑上是可逆的。清 除计算过程中无用信息垃圾的操作能产生热耗，要做到物理上可逆，就必须避开 或替代这类产生热耗的操作。b e n n e t t 证明中间垃圾可以使用逆操作除去，使整 个操作只保留输入和输出，清除掉中间结果。其具体方法表示如下：设函数厂输 入为a ，输出为f ( a ) ，计算中间产生的无用信息记为( 口) ，则第一步运算可以 表示为： f ：a 争( 口，( 口) ，厂( 口) ) ( 1 7 ) 第二步拷贝结果为 ( 口，( 口) ，厂( 口) ) 争( 口，( 口) ，( 口) ，厂( 口) ) ( 1 8 ) 最后逆向运算 f 1 ：( 口，( 口) ，厂( 口) ，( 口) ) ( 口，厂( 口) )( 1 9 ) 式( 1 7 ) _ 式( 1 9 ) 表明，经典计算在原则上是可以做成可逆的。至此我们对经 典可逆计算和经典可逆通用逻辑门的知识有了大致的了解。 1 3 4 通用量子逻辑门组 ( 1 )l 位转动门 在1 3 2 节中已经提n - 个量子位就是一个2 维h i l b e r t 空间，物理上可以由 一个双态系统来实现。引进基矢 l o ) 讲| 1 ) = 1 o 1 位门的最一般形式是 第6 页 国防科学技术人学研究牛院硕十学位论文 口) 专u l a ) ( 1 1 0 ) 其中u 是作用到二维h i l b e r t 空f b j幺正变换。二维幺j 下变换的一般形式是： u ( 8 ，口，p ) = e 岱 p 们蚋，2c o s 旦 2 据f ( a a ) 2s i n 旦 2 f p 一声) 2s i n 旦 2 p 一，( 口+ p ) 2c o s 0 2 如果定义两个特殊幺正矩阵： 一k p 啦0 ，2 n 如( 臼) = c o s o ，乏i c s 。i n s 9 0 2 2l ( 1 1 3 ) 如( 臼) = ，2c o s 9 21 ) 则可以将式( 1 11 ) 改写为乘积形式 u ( 8 ，口，秒) = p 5 r z ( 口) 尺( 臼) 心( ) ( 1 1 4 ) 容易验证恒等操作i 、x 、y 、z 操作以及h a d a m a r d 操作都是式( 1 1 4 ) 的特例， 例如： y 操作 】，= 二三 = u c 刀，万，万聊= 一心c 万，如c 万， c 5 ， h a d a m a r d 操作 h = 批廿吣钤箐= 删弘c 弘c 争 旧 很显然单单一位门不能构成量子计算的通用门组。 ( 2 ) 量子计算的通用门 1 9 8 9 年，d e u t s c h 【1 3 】将经典的t o f f o l i 门推广到量子情况，得到d e u t s c h 门 如图1 2 所示。d e u t s c h 门是一个三位控制控制rf - j ，当且仅当前两个量子位处 在态1 1 ) 时，对第三位态施加一个r 变换。其中 r = 一氓x ( 口) = 一if c s o i n s o p 乏i c s 。i n s 护o 2 2l ( 1 1 7 )r 一峨( 口) 一n 耽c 。s 靴i 上式可以写成 r = - i ( i c o s o 2 + i x s i n o 2 ) ( 1 1 8 ) 利用三角函数的幂级数展开，式( 1 1 8 ) 可以写成指数形式 第7 页 国防科学技术大学研究生院硕十学何论文 a b c r ：一i e l 鲆7 2 ，。、一 口 6 c = 忍 ( 1 1 9 ) 图1 2d e u t s c h 门示意图 可以证明t o f f o l i 门可由d e u t s c hf - j 实现，d e u t s c h 还进一步证明任意 维 h i l b e r t 空间的所有幺正变换的计算网络都可以由这个门重复作用构造出来，因此 d e u t s c h 门对量子计算是通用的。 随后b a r e n c o 等人u s 证n 了通用量子门可以由经典多位门和量子一位门构 成，特别是经典2 位控制- n o t 门和一位量子门就构成量子计算的通用门组。现 在比较常用的是用控制非门c n o t ，或者控制相位反转门c p f 门作为二比特操 作，与所有的单比特旋转一起构成基本的通用操作集。在 0 0 ) ，1 0 1 ) ，1 1 0 ) ，1 11 ) 计算 基下，c n o t 门定义为 c p f 门定义为 c n o t 2 c p f 2 1o 0l 0 0 oo 0 o 0 0 01 10 10oo 010o o 01o 0 oo一1 1 4 量子计算机的物理实现 ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) 自从上世纪8 0 年代早期量子计算设想发端以后，量子计算研究在理论和实 验方面都取得了很大的进展，人们也不断寻求实现量子计算的具体物理系统。一 般来说，对任何一项可行的量子计算技术，都应该满足以下几个物理需要，即满 足d i v i n c e n z o 关于量子计算的物理实现技术的7 个判据【1 9 1 ： 可扩展的具有良好特性的量子比特系统； 能够制备量子比特到某个基准态； 第8 页 国防科学技术大学研究生院硕+ 学付论文 具有足够长的相干时间来完成量子逻辑门操作； 能够实现一套通用量子门逻辑操作； 能够测量特定的量子比特； 能够使飞行量子比特和静止量子比特互相转化； 能够使飞行量子比特准确地在不同地方之间传送。 虽然目前的科学和技术水平距离实现一个实用的量子计算机还有很大的距 离，但是量子计算的通用逻辑门组研究大大简化了量子计算机的物理实现。由于 两量子位问的控制操作足以构造能执行任意复杂运算的量子计算网络，量子计算 机的最基本逻辑部件就是受控的两量子位物理系统，使它们之间产生的相互作用 能根据一个位的状态条件来对另一位执行需要的操作。现在已经提出了一些科学 技术手段来实现对几个量子比特的控制，比如离子阱( i o nt r a p ) 2 0 ，2 1 ，中性原 子( n e u t r a la t o m ) 2 2 ，2 3 ，2 4 】，线性光学( l i n e a ro p t i c s ) 2 5 ，2 6 ，2 7 ，超导约瑟夫森结 ( j o s e p h s o nj u n c t i o n ) 2 8 ，2 9 】，量子点( q u a n t u md o t ) 3 0 ，31 】，原子系综( a t o m e n s e m b l e ) 3 2 ，3 3 1 ，核磁共振( n u c l e a rm a g n e t i cr e s o n a n c e ) 3 4 1 ，腔电动力学( c a v i t y q e d ) 3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 等等。这些系统的量子计算方案各有其优缺点，很难说那一个 方案更有前景。就当前而论，腔量子电动力学是研究较早发展也比较迅速且相对 较有前途的方案之一，本文的主要工作就是采用腔量子电动力学方案，利用分子 系综来实现两量子比特的s w a p 门。 1 5 本文的主要工作 本文主要研究基于腔q e d 的s w a p 门的实现和纠缠态的制备。本文利用人型 分子系综与腔场的强耦合模型，设计出两个实现s w a p 门的简单方案，同时制备 了两个分子系综的纠缠态。文章的主要结构如下： 第一章：介绍量子计算的发展，引出本文的主要工作； 第二章：介绍与量子计算有关的基本概念和基础知识，并着重对腔量子电动 力学原理( c q e d ) 作简要介绍。 第三章：阐述由超导传输线腔与库珀对盒( c p b ) 和分子系综强耦合组成的混 合量子处理器对量子信息的操作处理过程：( 1 ) 传输线腔与分子系综的耦合作 用；( 2 ) 依据传输线腔场与电荷量子比特c p b 的相互作用，介绍了c p b 在系 统中作为非线性组成部分的非线性特性。最后提出一个利用库珀对盒( c p b ) 的非 线性作用来实现量子s w a p 门的方案。 第四章：在参考第三章中混合量子系统的基础上，设想出通过传输线腔和分 子系综耦合，不需要库珀对盒( c p b ) 参与，仅用一步操作即可实现s w a pf - j 的方 案，同时介绍用该系统制备两分子系综纠缠念的具体方法。 第9 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 最后是结束语，给出了本文的总结和展望。 第1 0 页 国防科学技术人学研究生院硕+ 学位论文 第二章量子计算的理论基础及腔量子电动力学简介 通过上一章关于量子信息和量子计算发展的介绍，我们了解到量子计算理论 是- l - j 新兴的交叉理论，它的主要特征是用量子力学理论描述编码信息的物理 态，这就要求研究者要有相当宽广的相关知识背景，同时还要侧重掌握某一方面 的理论知识。下面将介绍本文相关的量子计算的量子力学基础和腔量子电动力学 原理。 2 1 量子计算的一些基本概念 2 1 1 量子力学基本假设 假设1 ( h i l b e r t 空i 自j ) 任葸一个孤立系统都有一个定义了复内积的问量至 问，即h i l b e r t 空间，与之相联系，系统的状态由状态空间的态矢量完全描述。 对于构造一个量子比特二维系统，假设系统有两种正交状态i o ) 和| 1 ) ，则在态空 间中任意一个态矢量可以表示为 i y ) = 口i o ) + 1 1 ) ( 2 1 ) 其中口，为复数，且满足归一化关系 研+ 讲= 1 ( 2 2 ) 假设2 ( 演化) 一个封闭量子系统的演化由一个幺正变换来决定，即在， 幂 n t o 时刻的状态l ( f ) ) 和i ( o ) ) 可以用一个幺正变换u ( f ，f o ) 联系起来，具体即 1 5 c ，o ) ) = u ( f ，) i 沙( o ) ) ( 2 3 ) 其中u ( t ，t o ) 一般由系统的哈密顿量决定。 假设3 ( 量子测量) 量子测量由一组测量算子 坂) 描述，这些算子作用 在被测系统状态空间上，m 指示测量结果，测量算子满足完备性方程 蟛坂= ， ( 2 4 ) 若在测量前量子系统的最新状态是i 沙) ，则结果聊出现的可能性由 p 。= ( i m ：i 少) ( 2 5 ) 第11 页 国防科学技术大学研究生院硕+ 学位论文 给出，且测量后系统状态为 ( 2 6 ) 量子测量假设中有一个重要的特殊情况是投影测量，又称为y o nn e u m a n n 测量。投影测量由被观测系统状态空间上一个可观测量的厄米算子m 描述。m 作用在待观测系统的态空间上，该观测量有一个谱分解： m = 聊己 ( 2 7 ) 一 ” 其中只是投影到m 的本征值为m 的本征空间。测量的可能结果对应于观测量的 本征值m 。测量态i y ) ，得到结果为m 的概率为 办= ( y l 己i y ) ( 2 8 ) 假定测得的结果为m ，那么测量后系统的态立即为 掣( 2 9 ) _ p 。 假设4 ( 复合系统) 复合系统假设：复合物理系统的态空间是分量物理系 统态空间的张量积。并且，如果系统标记从l 到n ，标记为i 的系统制备在态 l ，) 上，那么总系统的联合态为l ) p i ：) o l ) 。 从另一种角度而言，如果辅加么正演化，投影测量等价于量子测量假设中的 一般测量，这个论断的证明用到了复合系统。因为这个证明很好的阐述了假设4 ， 所以这里给出它的证明过程： 证明：假定有一个态空间为q 的量子系统，我们想在系统q 上执行一个由 测量算子m ，描述的测量。为做到这一点，我们引入一个态空间为m 的辅助系 统，它的正交归一基l 聊) 一对一地对应我们想完成的可能的测量结果。 设l o ) 为m 的某一固定态，定义算子u v l 弘, ) o ) - - e 坂i y ) i 历) ( 2 1 0 ) 由于 ( 9 l ( 0 | u + u j 沙) l o ) = ( 缈i m _ ：m 。i 少) ( 朋i 朋) = ( q om ：m 。l y ) = ( 妒i 少) ( 2 11 ) m m m 可证明u 可以扩展为态空间q o m 的一个幺正算子。 假设我们在两个系统中执行一个投影测量己三乇p i 聊) ( 所l ，结果m 出现的 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 概率为 p ( 所) = ( | ( o l u + 己u l y ) i o ) = ( y l 峨m i ( 岛 i 肌) ( m 1 ) m 矿i y ) l m ) ( 2 1 2 ) = ( y i 峨m 。i y ) 测量出现结果为m 以后，系统q m 的联合态为 墨竺! 竺爿堕 一丝竺! 竺l 竺2 ( yi u + 匕c ，iy )( l a m 。l 少) 即测量以后系统m 的态为l m ) ，系统q 的态为 丝嵫 ( i m ：m 。iy ) 币是量子测量假设的结果。证明完毕。 2 1 2 纯态、混合态和密度矩阵 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 1 ) 纯态和投影算子 可以用单一态矢量描述的状态称为纯态( p u r es t a t e ) 。对于每个纯念l 口) 都可定 义一个线性算子 p = l 口) ( 口i ( 2 1 5 ) 它对态矢空间任意态i ) 的作用是 d 少) = i 口) ( 口i y ) = c l a ) ( 2 1 6 ) 其中c = ( 口1 5 f ，) 是态矢l 沙) 在l d ) 上的投影，所以p 称为投影算亍：( p r o j e c t i o n o p e r a t o r ) 。投影算子具有如下重要性质： 厄米性 = (217pp) 。= u j 正定性 ( p l ) o ( 2 1 8 ) 幺迹性在态空间任意正交归一基下的表示矩阵的对角元之和等于l 。 u 。蚓) = ( 愀口i ) = ( 口k ( u n ) = ( 口i 口) = l ( 2 1 9 ) 幂等性 第1 3 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 p 2 = p( 2 2 0 )p = pl 任意力学量算子户在态i 甲) 的平均值可用投影算子表示为 f = 护( 印) ( 2 2 1 ) ( 2 ) 混合态和密度算子 如果一个量子系统是由许多不同的态矢i ) ，f - l ，2 n 描写的子系统构 成，每个子系统在该系统中以确定的概率出现，这样的量子状态称为混合态 ( m i x e ds t a t e ) 。混合态可以描述如下： i ) ( 2 2 2 ) 【墨只rj 其中只o ，只= 1 混合态的密度算子可以通过各成分态的投影算子表示为 p = l 沙，) 只( ，i ( 2 2 3 ) 力学量算子户在混态中的平均值为： 乒= 驴( 矿)( 2 2 4 ) 混合态密度算子具有如下性质： 厄米性 = (225)pp 。= 【 正定性 ( 沙l p i y ) = 只( 少i ，) ( ，i y ) = p ，l ( y i f ) 1 2 o ( 2 2 6 ) 幺迹性 护( p ) = ( i ，) 只( i ) = 只tu 。) ( i y ，) = 只= 1 ( 2 2 7 ) 不具备幂等性， 声2 p 2 1 3 单量子比特和多量子比特 ( 2 2 8 ) 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 从经典物理学角度讲，比特是一个双态系统，它司以制备为两个司识别状态 中的一个，且两个状态之间不会自发转换。在量子信息学中，量子信息的基本单 位是量子比特，一般来说，它具有两个基：i o ) 和1 1 ) ，并且以这两个独立态为基 矢量张成一个二维态矢空间。量子态区别于经典念的最重要性质在于它的相干叠 加性，同样一个量子比特也可以表示为上面两个独立状态的叠加： i y ) = 口i o ) + 1 1 ) ( 2 2 9 )