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由偏微分方程导出的h a m i l t o n 算子矩阵的谱 摘要 本文从具有一定边界条件的偏微分方程出发，利用带余除法，可以得到 相应的无穷多个h a m i l t o n 算子矩阵。针对这些算子矩阵，如果赋予合适的定 义域，那么它们的谱结构就会有明显的规律。文章一方面研究了三项、六项 偏微分方程，得出一些关于谱结构的结论，这些结论与偏微分方程的类型， 即= 口2 2 一a l i a 2 2 是有密切关系的，并据此与一些重要系数对结果进行了分类 总结与归纳。这为以后进一步研究算子矩阵谱的特性及更一般的结论做了很 好的准备工作。另一方面，文章给出了h a m i l t o n 算子矩阵在一定的条件下，在 特殊的定义域上广义相似的结论。其中重点是对角和下三角算子矩阵的相似， 对一般的h a m i l t o n 算子矩阵，文章说明了斜对角算子交换后在什么条件下能够 相似，从而保持一些谱结构不改变，并给出相应的例子说明了结论的正确性 和有效性。这就在探求无界算子矩阵关系的领域中取得了更进一步的结果。 关键词：无穷维h a m i l t o n 算子矩阵广义相似，正则点，点谱，谱结构 中国分类号：0 1 7 5 3 主题分类号：4 7 b a m s ( 2 0 0 0 ) t h es p e c t r a mo fh a m i i 厅o n i a n o p e r a t o rm a t r j c sc o r r e s p o n d i n gt o p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q ua ，i i o n a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h es p e c t r u mo fh a m i l t o no p e r a t o r m a t r i c sc o r r e s p o n d i n gt op a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hc e r t a i nb o u n d - a r yc o n d i t i o n sb a s e do np s e u d od i v i s i o n i fs o m ep r o p e rd o m a i n sa r eg i v e n t ot h em a t r i e s ，t h e r ew i l lb es o m eo b v i o u sr e s u ka b o u tt h es p e c t r u m o n o n es i d e ，w ei n v e s t i g a t et h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n c l u d i n gt h r e ea n d s i xt e r m s ，t h e ns o m ec o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e d ，a n dt h e yh a v ec l o s er e l a r t i o nw i t ht h et y p eo ft h ee q u a t i o n ，o r a = n ；2 一a l i a 2 2 a c o r r d i n gt ot h i s a n ds o m ei m p o r t a n tc o e 伍c i e n t s w ec o n c l u d et h er e s u l t s t h e ya r ei m p o r - t a n tt ot h es p e c t r u ma n dg e n e r a lr e s u l t s o nt h eo t h e rs i d e ，w em a k et h e c o n c l u s i o nt h a ts o m eh a m i l t o no p e r a t o rm a t r i c sa r es i m i l a ri np r o p e rc o n - d i t i o na n ds p e c i a ld o m a i n ，t h i st h e s i sm a i n l yc o n c e r n st h es i m i l a r i t yo fd i a g - o n a l ，l o w e rt r i a n g u l a rh a m i l t o no p e r a t o rm a t r i c s t h e nw ed i s c u s st h es i m i - l a r i t yo fd i f f e r e n to p e r a t o rm a t r i c sw h e nt h e i rs k e wd i a g o n a lo p e r a t o r sa r e e x c h a n g e d a n ds p e c i f i ce x a m p l e sa r es h o w nt oi l l a s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s s o f t h eo b o v ec o n c l u s i o n s i tm a k e sa n o t h e rs t e pt ot h ef i e l do fr e l a t i o n l s h i p b e t w e e nh a m i l t o no p e r a t o rm a t r i c s k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e ds i m i l a r i t yo fi n d e f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l - t o n i a no p e r a t o rm a t r i c s ，r e g u l a rp o i n t ，p o i n ts p e c t r u m ，s p e c t r u m c l a s s i f i c a t i o nn u m b e r ：( c l ) 0 1 7 5 3 a m s ( 2 0 0 0 ) ：4 7 b 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除本文已经注明引用的内容外，论文中一i 包含其他人已经发表或撰写过的t i ) f 究成 果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名垄= 生弛指导教师签名：里曼查圭! 兰兰 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权 将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁 盘，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位 论文。为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学作 者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期问导师的同 意；若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名：翌! 士纽指导教师签名：甲固起幽 f t辄五曹z ! 丛f i 第一章绪论 1 1无穷维h a m i l t o n 算子矩阵的谱研究现状 1 1 1无穷维h a m i l t o n 算子矩阵的谱研究现状 我们知道无穷维h a m i l t o n 算子的谱理论在弹性力学等领域中起重要作用，它是从无穷 维h a m i l t o n 系统中抽象出来的一类具有特殊结构的线性算子，无穷维h a m i l t o n 系统是经 典力学的基础，它的正确概念形成于1 9 7 8 年左右( 见文献【3 3 】【3 4 】 3 5 1 ) 。无穷维h a m i l t o n 系 统的研究对象主要是连续介质问题，它广泛存在于数学物理、控制论、天体力学、航天科学 以及生物工程等各个领域。而在力学上，许多h a m i l t o n g b 学的方法是以无穷维h a m i l t o n 正 则系统为基础。无穷维h a m i l t o n 正则系统的定义如下： 定义1 1 1 我们称如下的发展方程( 组) 为无穷维h a m i l t o n f f r - 更i 系统： ：j - 1 5 h 舢= ( 二a 黔胍函 f 1 3 v a i n b e r g 定理( 见【3 6 】) ，线性h a m i l t o n 三贝1 系统( 有限维或无穷维) 可以化简为如 下的变量分离形式： 定义1 1 2 设x 是删6 e n 空间，h ：9 ( 日) cx x _ x x 是一个稠定线性算子，如 果日满足c 了日，+ = j 日，其中，j = ( 二三) ，则称发展方程c 组， 为线性肌m 沈。征则系统，并称日为无穷维h a m i l t o n - 子。 求解偏微分方程的分离变量法是以自伴算子的谱理论为基础的，但对一般的偏微分方 程而言传统的分离变量法并不一定适用，在1 9 9 1 年，钟万勰教授将弹性力学导入h a m i l t o n 体系，开创了弹性力学求解新体系。1 9 9 6 年，阿拉坦仓教授在他的博士论文中( 见【3 】) ，开 1 1 无穷维h a m i l t o n 算子矩阵的谱研究现状 创性地从微分代数的观点出发，利用多元多项式的带余除法，将一类偏微分方程( 组) 化 为无穷维h a m i l t o n 正则系统，进而得到无穷维h a m i l t o n 算孑。但是需要注意的是分离变 量后得到的无穷维h a m i l t o n 算予是一个非自伴算子。因此，利用钟万勰教授推广了的分离 变量法就是将考察自伴算子的特征值问题推广到考察无穷维h a m i l t o n 算子的特征值问题， 进一步需要研究无穷维h a m i l t o n 算子的谱理论。国际上对非自伴算子的研究也比较晚，最 早开始于1 9 5 7 年，g l a z m a n 首先引入了j 一自伴算子的概念并对其谱理论进行了讨论。后来， 在2 0 世纪8 0 年代发展起来的u 算子也得到了较好的结果。据可考文献，以k u r i n a ，a z i z o v 等 人为代表的研究团队约在2 0 0 1 年开始无穷维h a m i l t o n 算子的研究。在国内，从1 9 9 3 年开 始，以内蒙古大学阿拉坦仓教授为首的无穷维h a m i l t o n 算子讨论班开始组建，得到了无 穷维h a m i l t o n 算子的剩余谱为空集的充要条件，见i n 。2 0 0 5 年，黄俊杰博士在文 1 8 z p 给 出了无穷维h a m i l t o n 算子连续谱为空集的充分必要条件和上三角型无穷维h a m i l t o n 算子 的纯虚谱的刻画。通过对无穷维h a m i l t o n 算子谱的研究，了解算子本身的结构，从而可 以刻画相应的以各种应用为背景的动态无穷维h a m i l t o n 系统解的构造及其性质。进一步 对无穷维h a m i l t o n 算子矩阵也进行了深刻的探讨，包括谱结构、谱扰动、可逆性及半群 理论等一些重要的成果，见 5 1 1 6 1 1 2 1 1 2 1 1 。 1 1 2 基本概念及定理 本节罗列一些基本概念，在以后各章节中，会经常用到在本文中，c 、i 、9 ( t ) 和 刀( t ) 分别表示复数域、x 中的单位算子、算子t 的定义域和值域，p 表示算子t 的共轭算 子 本文中，我们采用s t o n e m h 在文【2 1 中给出的线性算子谱的分类方法 定义i i 3 设x 是b a n a c h 空间，t ：勿( t ) x _ x 是闭线性算子，如果存在复数入， 使得 俐a = ：a i t 的值域留( a 一t ) = ( a i t ) 勿( t ) = x ； 一砂纺( a ；t ) = ( a i t ) - 1 存在； ( i i i ) 叨( a ；t ) 是有界线性算子，则称a 为t 的正则值，t 的正则值的全体称为t 的预解 集，记为p ( t ) 用集合表示即为 p ( t ) = a c ：( h i t ) _ 1 存在且是有界算子且露( a j t ) = x ) 2 第一章绪论 定义1 1 4 设x 是日8 n 口砒空间，t ：勿( t ) x _ x 是闭线性算子，称盯( 印= c p ( t ) 为t 的谱集谱集盯( t ) 可以分成以下三部分? 仃( t ) = a p ( t ) ua c ( t ) ua r ( t ) 可见下面的定义 定义1 1 5 设x 是b 嘶8 c 7 l 空间，入是复数，t ：纺口) sx _ x 是闭线性算子，如果存 在x o 勿( t ) ，x o 0 ，满足( a j t ) x o = 0 ，则称a 为算子t 的特征值，特征值的全体记 为唧( t ) ，称它为t 的点谱，用集合表示即为 a p ( t ) = a c ：( a i t ) - 1 不存在) 定义1 1 6 设x 是b 明口曲空间，a 是复数，t ：9 ( t ) x _ x 是闭线性算子，如果存在 复数a ，使得( h i t ) 一1 存在，但是刀( - t ) x ，历蕊j 二= x ，则称a 为t 的连续谱， 连续谱的全体记为c r c ( t ) 用集合表示即为 a e ( t ) = 入c ：( a 一d 一1 存在，历蕊啊= x ，但刀( 入j t ) = x ) 定义1 1 7 设x 是b 口n 口c 空间，入是复数，t ：勿( t ) x _ x 是闭线性算子，如果存在 复数a ，使得( h i t ) 一1 存在，但是芴刃可x ，则a 称为t 的剩余谱，剩余谱的全体 记为c r r ( t ) 用集合表示即为 定义l l n 设x 是胁舾e n 空间，日= ( c a b ) ：9 ( h ) c xxx - - - * x x 是稠 定线性算子，若a 为x 中的稠定闭线性算字，b ：b , c 如x 中的自伴算子，则称日为无穷 1 1 无穷维h a m i l t o n 算子矩阵的谱研究现状 特别地，当c = 0 时，称为上三角型无穷维h a m i l t o n 算子；相应地，当b = 0 时， 称w 为下三角型无穷维h a m i l t o n 算子：当c = 0 ，b = 0 时，称为对角型无穷维h a m i l t o n 算子；当a = 0 时，w 为斜对角型无穷维h a m i l t o n 算子 定义1 1 1 2 设x 是一个胁z 6 e 彬空间，t 是从勿( t ) 到x 的线性算子，t ：9 ( 砷_ x ，其 中，勿( t ) cx 称t 是一个闭的线性算子，如果t 的图 g ( t ) = i z 勿( t ) ，y = t x 在乘积赋范空间托中是闭的，其中墨恐中的范数定义为 i i l i = ( 1 l x l l 2 + i l y l l 2 ) 吾， 并称所定义的范数为t 的图模 定义1 1 1 3 设a ，b 是h i l b e r t 空间x 上的无界线性算子，若存在x 上的可逆算子t ，使得 t a t - 1i m = bi m 其c m = 9 ( t a t 一1 ) n 勿( b ) ，且满足砑一1 = t 一1 t = ii m 也就是说对任意。m ，都 有了m t 一1 z = b x ，则称a ，b 在m 上相似，也称a ，曰广义相似 定义1 1 1 4 设a ，b 是日订6 e n 空间x 上的无界算子，若对比m 全勿( a b ) n 勿( 曰a ) ， 都有 a b x = b a x 其中9 ( a b ) = $ xlz 勿( b ) 且b z 勿( a ) ) ，则称a ，b 在m _ l - - a j 3 瑚i ： 定理1 1 1 设t 是赋范空间x 到赋范空间y 的线性算子，且存在常数m 0 ，使得 i i t x l i m l l x l l ，比勿( t ) ，( 1 1 1 ) 则t 存在贸( t ) 上的有界逆算子t ，t 一1 ：刀( t ) _ x ，并且t 一1 有界， 扩1 训剥1 讥 v y 纺( t ) 反之，如果定义在刀( t ) 上的逆算子t 一1 存在且连续，那么存在一个正数m 0 ，使得( 1 1 1 ) 成立 4 第一章绪论 定理1 1 2 设x 是觑z 6 e n 空间，算子a 是对称算子，如果存在实数a ，使得a i a 是由9 ( a ) 到x 的一一对应，并且( a ，一a ) 一1 l ( x ) ，则a 是自伴算子 定理i i 3 设x 是一个h i l b e r t 空间，t 是从x 到x 的线性算子，则t 是闭的，当且仅当对 于任意的 z n ) c 勿( t ) ，_ z ，死n 一箩协一o o ) ，可推出z 9 ( t ) ，y = 死 定理1 1 4b a n a c h i g ：算子定理j 设艰b 口住口c 空间x 上到曰d 舭c 空间五上的一对一的 有界线性算子，则t 的逆算子t 一1 是有界的 特殊地，在h i l b e r t 空间中，b a n a c h 逆算子定理可叙述为： 定理1 1 5 设t 是勿( t ) 到x 的闭的线性算子，其中，x 是一个届6 e 硝空间，9 ( t ) cx 如果勿( t ) 在x 中是闭的，那么t 是一个有界的线性算子 定理1 1 6 闸图像定理j 设t 是b a n a c h 空1 , 7 x _ l ：到b a n a c h 空间置中的闭的线性算子， 则t 是有界线性算子 定理i i 7 设x 是h i l b e r t 空间，勿( t ) cx ，t 是一个从勿( t ) 到x 的有界线性算子，那 么限闭的线性算子的充要条件是9 ( t ) 是闭的 定理1 1 8 设t 是定义在空间x 上的线性算子，若t 一1 存在，则t 是闲的线性算子，当且 仅当t - 1 是闭的线性算子 定理i i 9 设t 是a k h i l b e r t 空间x 到x 的有界线性算子，那么 而y = ) ) 上， ( t ) ) 上= 丽 其中，勿( t ) 和( t ) 分别表示t 的值域和和零空间 定理1 1 1 0 设t 是h i l b e r t 空间x 上定义的稠定线性算子，则 勿( t ) 上= ( t + ) 如果t 是闭的。那么 叨( r ) 上= ( t ) 5 1 2 本文的主要结果 定理1 1 1 1 如果勿( t ) 在x 中是稠密的，t 一1 存在，并b - _ 9 ( t - 1 ) 在x 中也是稠密的，那 么( t 1 ) ，( p ) - 1 存在且 ( t 。) 。= ( r ) 定理i i 1 2 设t 是删6 e n 空间x 上闭的线性算子，则 俐a p ( t ) = 今j r ( t a i ) = o ) ，且留( t a i ) = x ； ( i 0 仃( p ) = 天l a 盯( t ) ) ，并且对于a p ( t ) ，【( t 一入j ) 】一1 = f ( t a j ) 一1 】+ 定理1 1 1 3 设a ，b 为空间x 上的有界算子，如果存在可逆算子p ，使得 p a p 一1 = b 那么称算子a 与b 是相似的此时容易得到它们的谱也是相同的参见文献脚 1 2 本文的主要结果 本文主要讨论了带有边界条件的二阶偏微分方程，利用带余除法导出的无穷多个 h a m i l t o n 算子矩阵中常用的几类矩阵，得出它们的谱特点以及算子矩阵之间的关系。首 先，对三项二阶偏微分方程导出的无穷维h a m i l t o n 算子矩阵分类讨论，当矩阵为对角型 或上三角型时，给予合适的定义域，它们的点谱都是相同的。那么一般的，对于满足一 定条件的对角型或上三角型无穷维h a m i l t o n 算子矩阵，在特殊的定义域下是广义相似的， 也能够保持点谱的性质。当矩阵不包含零算子时，若原偏微分方程为双曲型方程，谱关 于实轴对称；若为椭圆型方程，谱关于虚轴对称；若为抛物型方程，谱为空集。然后讨论 了算子矩阵的斜对角元互换之后，在特殊的条件下是广义相似的。其次，对六项二阶偏 微分方程导出的无穷维h a m i l t o n 算子矩阵分类讨论，当矩阵为对角型或上三角型时，在 合适的定义域下，谱为全体复数或者点谱关于虚轴对称。当矩阵不包含零算子时，谱为 空集或者点谱关于虚轴对称。 6 第二章由三项二阶偏微分方程导出的h a m i l t o n 算子矩阵的谱 i a 1 1 l l x z + 2 a 1 2 u 列+ a 2 2 u 鲫20 u ( z ，0 ) = t ( 写，1 ) = 0 ，0 z 1 ，0 y 1 ( 2 1 ) l t | ( o ，y ) = f ( y ) u ( 1 ，y ) = g ( y ) ( n 。z 2 + 2 凸三z 秒+ 吻秒2 ) = c - 1 牛 矧忆，zo 地删 + l c ( n 1 1 a 一啦! 一a + 2 口1 2 们 1 1a 2 2 y 2 + a l l d c + a l l ( a ) 2 2 a 1 2 订l l 。zo 砌删卜 昙( ：) = 三一c 再 ( | = ) 2 1 对角和下三角形算子矩阵的谱 2 1 对角和下三角形算子矩阵的谱 当c = o 时，记a = n ；2 一n 1 1 a 2 2 ，那么可以求得一个再= ( 署士鲁) 可全( q 士b ) ， 则a = ( - q4 - b ) y ，这里d 可以取满足边界条件的任意自伴算子， 在这里我们考虑 到原方程只要求二阶可导，所以d 分别取0 ，非零常数m 和二阶微分算子，即可得到三 个h a m i l t o n 算子： c l ，凰= 一q 专b ) 为。一q ! b ，毒 勿c 风，= t ( ：) x x ：u c 。，= u c l ，= 。，u ，绝对连续，x ， c 2 ，飓= ( - q4 m - b ) 品。一q4 。- b ，品l m 【一q 肜) 南j c 3 ，凰= l l 一q 羔a - ；b 为。一q ! b ，为j i 、w l 。，由 勿c 月- a ，= t ( ：) x x ：u c = u c l ，= 。，u ，绝对连续，w i , w , u s e x ， ：二面计算研的谱：记f = 一q 士b ，若存在非零元( | = ) 。c 皿， 使得 。 c a ，一风，( ：) = ( 三) 8 理 侗 障 相 c 拴 “ 豌 卜 惺 则 漕 ( 上再 州 撇啪 胱 趣 、lj，渍 u 扩掳 一 第二章由三项二阶偏微分方程导出的h a m i l t o n 算子矩阵的谱 那么一般的，下列h a m i l t o n 算子矩阵 三二 ， 仇a 一0 a c m 冗，m 。， 。a 一0 a 。 ， 之间有什么关系? 在什么样的条件下点谱会相同呢? 下面给出几个定理来说明 引理2 1 1 设a ，b 是h i l b e r t 空f 日l x k _ 的无界线性算子，肌，b 在mcx 上相似，则 a p ( a i m ) = 唧( b l m ) 证明：对任意入a p ( a i m ) ，存在写m 且z 0 ，使得 ( a ，一a m ) x = 0 h a ，b 在m 上相似可知，存在m 上的可逆算子t ，使得 且m = 勿( t b t _ 1 ) n 勿( a ) ，那么 a i m = t b t 一1 i n ( 入j t b t 一1 l 肘) 。= 0 t ( a b ) t 一1 l m z = 0 ( a b ) t 一1 l m $ = 0、i 由z m 且z o 可知t 一1 z m 且t 一1 x 0 ，所以a 唧( b i m ) 反之亦然，因此结论得证 定理2 1 1 若a + a + 可逆，且a - 与( a + a ) 一1 可交换，a 与( 以+ a + ) 一1 可交换，记= a + 介，那 ah a m i l t o n 算子矩阵 蒯瞅雎黜斗耻 a 0 t 。卜助删 9 2 1 对角和下三角形算子矩阵的谱 t = a ? 。a + 。a 。，一。 ，s = a 二：一1a ：a 。 l m ( + + ) - 1i i m a + a + l t z 卜 = 似掣出0 ”二_ = m a ( a ：+ a 享：a m + ( a ：a 一：，一。a 。一。a + a 。，三a 。a + a 。， l + ) 一1 + + 。) 一1 一( a +。) 一1 ( a + ) i 上式：卜o1 lm a i lj 那么对v ( ：) m 全勿c t 凰印，都有 t 巩s ( ：) = 月( a j ) t = h 纠 因此两算予矩阵皿，i - 1 2 在定义域m 上相似，即广义相似再由引理2 1 1 可知它们点谱也完 全相同证毕 例子2 1 1 设x = l 2 【o ，1 】，a w = ( 亡) ， d 阻夕= u x ：u ( o ) = u ( 1 ) = 0 ，u ，绝对连续，x ) 那么可以求得：a u = ( 亡) ，且勿( ) = 9 ( a ) 1 0 第二章由三项二阶偏微分方程导出的h a m i l t o n 算子矩阵的谱 事实上，对任给u ，l ，9 ( a ) ，利用分部积分容易得出 ( 舢，) = z 1 ( t ) ( t ) 班= z 1 u ( ) ( ) 班= p ，a ) 从而a 是对称算子对任给z x ，取 劬) = o f2 埏一s 0 1f 柏) 蟛 贝1 w o ( o ) = w o ( 1 ) = o ，并且 啪) = r 撕肌0 1 序溅 j o ( t ) = z ( t ) 显然“，瞄x ，因而蛐9 ( a ) ，a w o = z ，这证明了算子a 是由9 似) 到x 的满射容易 看出算子a 是由勿似) 到x 的单射，因而a 是由9 ( a ) 到x 的一一对应对z x ，a 一1 名= 蛐， 由于 0a - 1 z 限= 00 2 0 限 = z 1 ( z 2 z z ( 们必一s 0 1 z z ( 叼) 磷) 2 疵 4 o ( 叼) ) 2 咖= 4i i z1 1 支 酾i j a - 1 l 0 ，1 1 由文献【2 6 】中定理1 1 9 n - - j 知，算子a 是自伴算子并且可逆 故a + a = 2 a ，显然也是可逆的 进一步我们可以知道a 与( a + a + ) ， 1 p a - 与( 2 a ) 一1 是可交换的这是由于a 是勿似) 到x 的双射对任意u ( t ) 勿( a 一1 ) ， a ( 2 a ) - 1 u ( ) = 扣( ) 对任z t u ( t ) 勿( a ) ， ( 2 a ) - 1 a w ( t ) = 去u ( t ) 根据定义可知a 与( a + a ) - 1 可交换同理，a + 与( a + a ) 一1 也是可交换的 对任意 ( ：) c 9 c a ，n 勿c a + ，n 勿c a + a + ，一1 ，。c 勿c a ，n 勿c a + a + ， 2 1 对角和- r z - 角形算子矩阵的谱 都有 = 勿( a ) 0 9 ( a + ) ：。2 三一。 ：二。 2 一a 仇) - 12 。a ( u v ) = 三：一。2 三一。a 。 2 一a m ) - 12 。a ( u v ) = ( 2 a ) a ( 2 a ) - 1 一。0 r n a ( 2 a ) m ( 2 a ) a - ( 2 a ) 一。a 。2 a ( ：) 。_ 1 l l ， 由于a 与( 2 a ) _ 1 可交换，小与( 2 a ) 一1 可交换，所以 并且 上式= m a 一0 a 。 ( ：) t s = s t = ，1 9 ( a 苫9 ( a ”j 1 9 。a 三9 。a ， 因此得到结论：h a m i l t o n , 子矩阵 凰= 詈一 与飓= 妻一羔 在所给的定义域9 ( a ) o 勿( 介) 上是相似的并且经过计算可知， a p ( h x ) = 唧( 厶k ) = a c ：入= 土后2 丌2 ，k = 1 ，2 ，3 ，) 这就验证了定理2 1 1 的正确性 定理2 1 2 若a + 可逆，且a 与( a + ) 一1 可交换，a + 与( a + ) 一1 可交换，d 与( a + ) 。可交换，d 与a 可交换，i l n = a + a 。，那t , h a m i l t o n 算子矩阵 1 2 第二章由三项二阶偏微分方程导出的h a m i l t o n 算子矩阵的谱 广义相似，且点谱相同研= a 0 r 与飓= 三二。 t = a + a 。ai ，一。 ，s = a4 一-a。*d4 - ) 一1 a ? a l( a 小) 一1l i d a + a l t 三一0 a 。 s = a ：三a 一。a + 三。，一。a 。 a 4 一- a 。* ) 一1a ? a = k 等舳o v 都有 上式：f ao 1 id a + i lj m 垒勿( t 日i s ) n ( 9 ( d ) o 勿( a 。) ) t 皿s ( 1 = ) = 飓( ：) t 一= h 卅 因此两算子矩阵研，飓在定义域m 上相似，即广义相似再由引理2 1 1 可知它们点谱也完 全相同证毕 1 3 2 1 对角和下三角形算子矩阵的谱 例子2 1 2 设x = l 2 【o ，1 1 ，a w = ( ) ， 勿( a ) = u x ：u ( o ) = u ( 1 ) = 0 ，u ，绝对连续，扩x ) 令d = a ，勿( d ) = 9 ( a ) 那么类似例2 j j 可得： d 是自伴的，a + u = ( z ) ，且勿( 岔) = 9 ( a ) ，故a + a 。= 2 a 是可逆的 ( 2 a ) - 1 可交换，d 与a 可交换 ( ：) c 勿c a ，n 勿c 。，n 9 c _ 1 ，。c 勿c ，n 勿c ， = 9 ( a ) 0 9 ( a + ) 答。2 三一。 吾一三。 2 一a 。) - l2 。a ( u v ) = 繁一。2 三一。a 。 2 一a 。) - 12 。a ( u v ) = ( 2 a ) a ( 2 a ) - * 。0 a a ( 2 a ) 2 a ) ad - ( 2 a ) 一。a 。2 a ( ：) 1 _1+ i l ， 由于a 与( 2 a ) _ 1 可交换，与( 2 a ) 一1 可交换，d 与( 2 a ) - 1 可交换，j d 与a 可交换所以 上式= a 一二。 ( ：) 并且 乏 。2 三一， 2 一a 。) - 1 2 0 j = 易( a ) 。0 9 ( a ”易。a ，三9 。a 。， 因此得到结论：h a m i l t o n 算子矩阵 1 4 第二章由三项二阶偏微分方程导出的h a m i l t o n 算子矩阵的谱 言一羔 与 蓁一羔 在所给的定义域勿( a ) o 勿( 岔) 上是相似的并且经过计算可知， ( 历) = 咋( 点r 2 ) = a c ：a = 士七2 7 r 2 ，k = 1 ，2 ，3 ， 这就验证了定理2 1 2 的正确性 定理2 1 3 对下三角h a m i l t o n , - 子矩阵 风= a 一0 a 。 c m 冗且m 。，与月= a 二。 俐若a 0 ，a + a = 0 ，勿) 勿( 岔) ，且d 可逆，d 与岔可交换，那 a h a m i l t o 裤 子矩阵风与1 t 2 广义相似且点谱相同 俐若a + 小, - q - 逆，a - 与( a + a + ) 一1 可交换，a 与( a + ) - 1 可交换，d 与( a + a + ) _ 1 可 交换，d 与a 可交换，记= a + a ，那么日。仇i 拈饥算子矩阵研与1 t 2 广义相似且点谱相 t = 二；品 ，s = 一二一，m 三一。 使得对v ( ：) m 垒9 c t 匝s ，n c 勿c 。，。勿c a 。， t 凰s ( ：) = 岛( ：) 因此两算子矩阵凰，凰在定义域m 上相似，即广义相似那么它们点谱也完全相同 ( i i ) 类似( i ) 中的证明方法，在这里 t = 。一二，一。； ，s = 。m 一二，一。： 2 1 对角和下三角形算子矩阵的谱 证毕 例子2 1 3 设x = l 2 1 0 ，l 】，a w = ( t ) ， 勿( a ) = u x ：u ( o ) = u ( 1 ) = 0 ，u 绝对连续，x ) 令d w = ( t ) ，9 ( d ) = u x ：, 4 0 ) = u ( 1 ) = 0 ，u ，绝对连续，x ) ， 则d 是自伴的，也是可逆的并且类似于文廖刀中例舅舅珂知： a u = 一( t ) ，且勿( ) = u x ：u 绝对连续，x ) ，进一步可 以知道d 与a 是可交换的 事实上，记q = , 4 t ) x ：( o ) = ( 1 ) = 0 ，u ，“，绝对连续，“，x ) ， m = qn 勿( d ) 。对任意u ( t ) m ， 则d a = d ( - u ( t ) ) = 一“，( t ) 对任意u ( t ) m ， 则a * d w = a ( u ( ) ) = 一“，( t ) 对任意 并且 因此得到结论： 勿( d ) 0 9 ( a + ) = 9 ( a ) o 勿( ) 苎兰 一二一。m 三一。 ( | = ) 上式= 墓岳0 ( ：) 二；：二 一二一。m 三一。 = j 1 9 c ，。9 c a ， h a m i l t o n 算子矩阵 1 6 o和以，所 捉 交可 a与d 有 于 都 由 第二章由三项二阶偏微分方程导出的h a m i l t o n 算子矩阵的谱 0 比兰 在所给的定义域勿( a ) o9 ( 介) 上是相似的并且经过计算可知 这就验证了定理2 1 3 的正确性 a p ( h 1 ) = a p ( h 2 ) = c 例子2 1 4 设x = l 2 【0 ，l 】，a w = ( t ) ， d 阻夕= u x ：u ( o ) = u ( 1 ) = 0 ，u ，绝对连续，“，x ) 令d = a ，勿( d ) = 勿( a ) 那么类似例2 i 珂得： d 是自伴的，a + u = ( ) ，且9 ( ) = 勿似) ，o a + a = 2 a 是可逆的 i s n = a4 - a + 根 据定义可知a 与一1 可交换，与一1 可交换，d 与一1 可交换，d 与a 可交换 对任意 ( ：) c 勿c a ，n 勿c 。，n 勿c 一1 ，。c 9 c a + ， = 9 ( a ) o9 ( a + ) 都有 。一二，一。： 妻一羔 。m 一二，一。i ( u v ) 由于a 与一1 可交换，a 与一1 可交换，d 与一1 可交换，d - 与a n - i 交换所以 并且 因此得到结论： 上式= i 琴 k 旷。川 0 d 2 一护 ( = ) 。m d ，) n 一。i 。 = ，1 9 c a ，。勿c a ， ( m 一 _ 1 i 一”一 1 7 2 2 一般的算子矩阵的谱 妻扑 耋一纠lm 一豢i ，l 豢一象l 在所给的定义域9 ( a ) o9 ( a ) 上是相似的并且经过计算可知 唧( 五r 1 ) = ( r 2 ) = 入c ：a = 士后2 7 r 2 ，k = 1 ，2 ，3 ，) 这就验证了定理2 1 3 的正确性 2 2 一般的算子矩阵的谱 当c 0 时，得a 一才= 一鲁y ，记q = 等，m = q 2 一鲁，= o i 2 一口1 1 g 2 2 ， 根据方程的特点，我们讨论以下三种基本的算子矩阵，并给出相应的结论 既= b 。 - 瑶 l 1 一q 品j 勿) = u x ：u ( o ) = u ( 1 ) = 0 ，u 绝对连续，ex ) 勿( ) = p x ：l ，绝对连续，ex ) 勿( c ) = u x ：u ( o ) = u ( 1 ) = 0 ，u ，u 7 绝对连续，x ) 多( 1 ) = 勿( c ) 9 ( a ) 那么俐当 o 时，仃( 凰) = ( 日1 ) = a c ：a = 七7 ri ，k = 士l ，士2 ， 俐当 0 此时七l = ( n + 6 ) 入，= ( a b ) a ，通解为 u = c l e 七l y + c 2 e b f 由u ( o ) = o 得c 1 + c 2 = 0 ，由t ( 1 ) = o 得，牡= c l ( e 七l e b ) = 0 ，若c l 0 ， 则e 七- 一e b = 0 ，代入k 1 ，得， e ( n + d a e ( 口一”a = e a a ( e ( b ) a e ( 一a ) = 0 r e 口a 0 ，设a = 仇+ n i ，则e m + 耐一e m m + 戚) = 0 ，那么 ( e h e - u “) c o s ( b n ) + is i n ( b n ) ( e h e - 6 m ) = 0 所以m = o ，n = 譬，a = 裾k t ri ，k = 4 - 1 ，4 - 2 ， a p ( h 1 ) = 入c ：入= 栅i ，k = 4 - 1 ，4 - 2 ，) 当入岳唧c 研，时，a ，一研是在上的事实上，对v ( 三) x x ， 由方程 可求得： c 一( 秒) = a ( 可) e q a v ：) = ( 三) a ! ，) + c - 2 ( 可) e q a fs i n ( 1 9 ) 2 2 一般的算子矩阵的谱 其中 g ( 们= 、一丢f 毋kc o s ( 、一等m ) ( 夕( f ) 一虿1 八) 一2 a ，( 锄必 ) = 侉z y e q x j 口i c o s ( 丹) ( 9 一扣埸瓜臌 z 1 c o s ( 丹以贰一1 八沪2 州鲫必 械0 t ( 序) 产序叫1 代一州锄必 ( ：器) 勿c c ，勿c a ， 综上所述： 口( 玩) = 唧( 研) = a c ：入= 署，七= 士1 ，士2 ， ( i i ) 0 类似( i ) 的计算方法可得： 唧( 皿) = a c ：a = 浩h ，七= 士1 ，士2 ，) 当a 聋c 皿，时，对v ( 三) x x ，可求得： 岫) 刊秒) e - q a uc o s ( 丹卅吲秒) e - q ) 、y s i n ( 序可) 其中a ( 可) ，q ( 可) 与( i ) 中所述相同，类似可求( 可) ，且 ( ：；) 勿c c ，勿c a ， 综上所述： 仃( 凰) = a n ( h 1 ) = a c ：a2 而o 2 2 七7 r ，尼= 士1 ，士2 ，l 第二章由三项二阶偏微分方程导出的h a m i l t o n 算子矩阵的谱 方程( 2 2 3 ) 的特征值k = 一卷入，则通解为u = c e 幻= c e - 老a ，由边界条件 u ( o ) = u ( 1 ) = 0 ，可得u = 0 ，则l ，= 0 - 唧( h i ) = d 下面求凰的正则点 荆l 对a c ，设对v ( 三) x x ，都存在( ：) 勿c 凰， 使得 ( ai 一皿)( ：) = ( 三) 则