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t o e p l i t z b e z o u t 矩阵性质与无限广义块t o e p l i t z 矩阵 求逆的研究 摘要 b e z o u t 矩阵与t o e p l i t z 矩阵的研究在近代矩阵与算子理论领域中是一个重 要的研究课题，它们与现代方程理论、多项式稳定理论、系统控制理论、插值 问题等都有密切的联系。因此，研究它们的性质具有理论意义和实用价值。 本文关于它们的研究主要涉及三个方面：标准基下的t o e p l i t z b e z o u t 矩阵 ( 简称t - b e z o u t 矩阵) 的性质、一般多项式基下的t - b e z o u t 矩阵的性质及无限 广义块t o e p l i t z 矩阵的求逆方法。 首先，综述了有关t - b e z o u t 矩阵和t o e p l i t z 矩阵的研究背景及本文所做的 主要工作。 其次，本文利用代数理论得出了标准幂基下的t - b e z o u t 矩阵的若干性质， 诸如三角因式分解、b a r n e t t 分解公式、与友矩阵间的缠绕关系、约化问题以及 与结式矩阵之间的关系等。随后通过标准幂基和一般多项式基的关系，得到了 一般多项式t - b e z o u t 矩阵的性质。通过以上得出的结论可以看出t - b e z o u t 矩阵 在这两种不同基下具有相同的表现形式。 最后一部分主要研究了无限广义块t o e p l i t z 矩阵的求逆问题。基于有限维 的b e n a r t z i s h a l o m 公式，利用位移结构的方法将有限维t o e p l i t z 矩阵的求逆 方法扩展到无限维的情形，得出了关于无限广义块t o e p l i t z 矩阵求逆的一种新 方法。 关键词：t - b e z o u t 矩阵；一般多项式基；无限广义块t o e p l i t z 矩阵；位移结构方程； 基本方程；求逆 r e s e a r c ho nt h ep r o p e r t i e so ft o e p l i t z b e z o u tm a t r i c e sa n dt h e i n v e r s i o n s 。f i n i t el zl i z e db l o c kt o e p l i t zmatricesinvern so ti n1 1 l t eg e n e r a l l z e o1 0 c 10 e p l l t zm a t r l c e s a b s t r a c t r e s e a r c ho nt h ep r o p e r t i e so fb e z o u tm a t r i c e sa n dt o e p l i t zm a t r i c e si sa n i m p o r t a n tt o p i ci nt h ef i e l do ft h em a t r i xa n do p e r a t o rt h e o r y ，w h i c hi sc l o s e l y c o n n e c t e dw i t hm o d e r ne q u a t i o nt h e o r y ，p o l y n o m i a ls t a b i l i t yt h e o r y , s y s t e mc o n t r o l t h e o r ya n dt h ei n t e r p o l a t i o np r o b l e m s t h e r e f o r e ，i th a sa c a d e m i ca n dp r a c t i c a l m e a n i n g s t os t u d yt h e i rp r o p e r t i e s t h i st h e s i sp r e s e n t ss y s t e m a t i cr e s e a r c ho nt h ep r o p e r t i e so ft - b e z o u tm a t r i c e s w i t hr e s p e c tt oas t a n d a r db a s i sa n dag e n e r a lp o l y n o m i a lb a s i sr e s p e c t i v e l y n e w m e t h o d sf o rt h ei n v e r s i o n so fi n f i n i t eg e n e r a l i z e db l o c kt o e p l i t zm a t r i c e sa r ea l s o d i s c u s s e d f i r s t ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d so ft h et - b e z o u tm a t r i c e sa n dt o e p l i t z m a t r i c e sa n dt h em a i nw o r kd o n ei nt h i st h e s is n e x t ，m a n ys i g n i f i c a n tp r o p e r t i e so ft - b e z o u tm a t r i c e sa r ed e d u c e d w eu s e t h e p u r ea l g e b r a i c m e t h o d st od i s c u s si t s p r o p e r t i e s s u c h a s t r i a n g u l a r d e c o m p o s i t i o n ，b a r n e t tf a c t o r i z a t i o nf o r m u l a ，i n t e r t w i n i n gr e l a t i o n s ，t - b e z o u t i a n r e d u c t i o nv i av a n d e r m o n d em a t r i xa n dt h er e l a t i o n sw i t hr e s u l t a n tm a t r i x ，e t c s u b s e q u e n t l y ，t h r o u g ht h er e l a t i o nb e t w e e n as t a n d a r db a s i sa n dag e n e r a lb a s i s ，t h e s i m i l a rp r o p e r t i e so fp o l y n o m i a lt - b e z o u t i a nm a t r i c e sa r eo b t a i n e d f i n a l l y , t h ea l g o r i t h m s f o ri n v e r s i o n so ft h ei n f i n i t e g e n e r a l i z e dt o e p l i t z m a t r i c e sa r ei n v e s t i g a t e d b a s e do nt h et h e o r yo fd i s p l a c e m e n ts t r u c t u r ew ee x p a n d t h eb e n a r t z i s h a l o m sa p p r o a c hf o rf i n i t et o e p l i t zm a t r i c e st oi n v e r s ef o rt h e i n f i n i t eg e n e r a l i z e db l o c kt o e p l i t zm a t r i c e s ，a n do b t a i nan e wm e t h o df o rt h e i n v e r s i o no fi n f i n i t eg e n e r a l i z e db l o c kt o e p l i t zm a t r i c e s k e y w o r d s ：t - b e z o u t i a n s ；g e n e r a lp o l y n o m i a lb a s i s ；i n f i n i t eg e n e r a l i z e dt o e p l i t z m a t r i x ；d i s p l a c e m e n te q u a t i o n ；f u n d a m e n t a le q u a t i o n ；i n v e r s i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 金g 坠王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文储签名：毕罐午 签专醐：m 7 锄刖棚 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金月墨王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金月曼工些太堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位敝作者躲毕砺中 签字醐：唧年节眦日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期：1 e 叶年牛月l 。日 电话： 邮编： 眇 致谢 在即将完成研究学业之际，我怀着十分感激的心情向我的导师吴化璋教授 致谢在短短的两年多的时间里，吴老师的严谨的教学和科研态度、扎实的理论 功底及其丰富的教学经验，都给我留下了极其深刻的印象。在生活中，吴老师 为人正直无私、平易近人、和蔼可亲、诲人不倦，对学生百般的呵护让我非常 感动。本课题无论是方案的选取，还是细节上的修订，吴老师都给了我无私的 帮助和指导。在此，我再一次向他表示衷心的感谢! 感谢我的同学王厚起、唐松和我的师弟师妹们对我学习上的关心和帮助， 在一起学习讨论的过程中，使我的专业知识得到了进一步提高! 还有数学系的各位领导和全体教师，感谢他们为我提供了良好的学习条件 及给予的帮助! 还要感谢我的父母对我多年来辛勤的养育，是他们在物质和精神上的支持 才使得我顺利完成学业! 最后感谢文中引用过文献的所有作者，感谢所有关心、支持和帮助过我的 老师、同学和朋友们! 作者：毕亚伟 2 0 0 9 2 第一章绪论 b e z o u t 矩阵包括h a n k e l b e z o u t 矩阵( 简称b e z o u t 矩阵，又称h b e z o u t 矩 阵) 和t o e p l i t z b e z o u t 矩阵( 简称t - b e z o u t 矩阵) 。然而自引入b e z o u t 矩阵概念 以来，对于h b e z o u t 矩阵的研究已经有了丰富的成果，诸如：三角分解、b a r n e t t 分解公式、缠绕关系以及约化问题等。但对于t - b e z o u t 矩阵的研究尚不多见。 鉴于此，本文将对t - b e z o u t 矩阵的一些性质展开研究。因为正则的t - b e z o u t 矩阵实际上是t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵，所以在研究t - b e z o u t 矩阵的同时，我们 也对t o e p l i t z 求逆的方法做进一步地研究。 b e z o u t 矩阵和t o e p l i t z 矩阵等特殊矩阵在数字信息处理、数值计算、系统 理论和自动控制理论中都有广泛的应用。能在前人研究的基础上对它们进行更 加深入的研究，使现有的结果得到推广，不仅具有理论意义，也有应用价值。 1 1 国内外的研究状况 b e z o u t 矩阵的概念最早出现于1 8 世纪，由在淘汰理论中e u l e r 的成果演化 而来，流行子1 9 世纪中叶。b e z o u t 矩阵由于其特殊的构造使得其具有一些重 要的性质。1 9 7 2 年s b a r n e t t 给出了b e z o u t 矩阵的一个经典结果，即b e z o u t 矩 阵的b a r n e t t 的乘法分解形式【2 1 7 1 ，详细的内容可以参考l a n c a s t e r 和t i s m e n e t s k y 以及h e l m k e 和f u h r m a n 的著作【2 3 , 3 2 】。b e z o u t 矩阵的b a r n e t t 的分解是后来很多 研究工作的基础。b e z o u t 矩阵的另一个重要的结论是其三角分解公式【z 毛删j ，即 两个多项式生成的b e z o u t 矩阵可以化为两个三角矩阵乘积的差的形式。由于每 一个三角矩阵的非零元素均直接来自于构成b e z o u t 矩阵的多项式的系数，因而 利用三角分解公式也是求b e z o u t 矩阵的一种简单的方法。此外b e z o u t 矩阵的 三角分解在讨论利用b e z o u t 矩阵解决s c h u r c o h n 问题时也起着重要的作用。 关于b e z o u t 矩阵的性质，一些文献中还提到b e z o u t 矩阵满足一种缠绕关系 1 7 , 2 3 】，即对多项式a ( x ) 和b ( x ) 的b e z o u t 矩阵b ( a ，b ) ，有多项式a ( x ) 对应的第一 友矩阵的转置与b ( a ，6 ) 的乘积和b ( a ，6 ) 与口( x ) 的第一友矩阵的乘积相等。v p t a k 指出多项式口( x ) 和6 ( x ) 的b e z o u t 矩阵b ( a ，6 ) 与s t e i n 型矩阵方程之间有着密切 的联系【3 ”。事实上，应用前面的提到的b a r n e t t 因式分解形式，我们可以验证 这个结论。反过来，应用这个结果我们也可以推导出b ( a ，6 ) 的b a r n e t t 因式分解 形式，关于b e z o u t 矩阵性质更详细的讨论可参见文献【2 7 ，2 9 ，3 2 ，3 3 】。 自引入b e z o u t 矩阵概念以来，它在多项式的互素、多项式的零点在复平面 内的分布、系统和控制理论中都有极其重要的应用。尤其在系统和控制理论中， b e z o u t 矩阵在稳定性理论、实现理论和输出反馈问题中也起着重要的作用。18 5 2 年，h e r m i t e 应用二次型的符号差给出了多项式关于实轴惯性的求值公式。1 9 2 6 年，m f a j w a r a 应用b e z o u t 矩阵重新改写了c h e r m i t e 的结果，给出了稳定性分析 的系统方法，并利用b e z o u t 矩阵给出了r o u t h h u r w i t z 问题和s c h u r c o h n 问题的 结果。特别是当a ( x ) 为实多项式时，利用b e z o u t 矩阵可以得到经典的l i e n a r d c h i p a r t 准则的一种修正形式【2 3 ，3 9 1 。在s b a r n e t t 和u h e l m k e ，p a f u h r m a n 的著作 【2 7 ，3 2 】中给出了更详细的讨论。 b e z o u t 矩阵还和一些经典的矩阵，如h a n k e l 矩阵、t o e p l i t z 矩阵、l o e w n e r 矩阵、p i c k 矩阵和v a n d e r m o n d e 矩阵等有着密切的联系。早在1 9 8 4 年，m f i e d l e r 便给出了b e z o u t 矩阵与h a n k e l 矩阵、l o e w n e r 矩阵之间的相互关系 1 8 , 3 3 】。比如其 中一个重要的结论是：非奇异的h b e z o u t 矩阵的逆是一个h a n k e l 矩阵，在p a f u h r m a n 和u h e l m k e 的著作【3 2 】中也证得了这个结论。s g a b r i e l a 和a m a n u e l 证得 当多项式p ( 石) 只有单根时，则存在由p ( z ) 的根构成的v a n d e r m o n d e 矩阵，使得 b ( p ，g ) 合同于一对角矩阵【3 0 1 。事实上，p a f u h r m a n 用此结论证明了非常重要的 l i e n a r d c h i p a r t 准则及其在多项式稳定性中的几个等价的结论。当多项式p ( x ) 有重根时，g n c h e n 和z h y a n g 推广了上述的结论i ，证得p ( x ) 与口( x ) 在广义 的v a n d e r m o n d e 矩阵下与一个块对角矩阵合同。关于b e z o u t 矩阵与h a n k e l 矩阵、 t o e p l i t z 矩阵、p i c k 矩阵、l o e w n e r 矩阵和v a n d e r m o n d e 矩阵等的关系，在文献 18 , 2 2 ，3 3 ，3 4 中有很详细讨论。 事实上，上述的很多工作是基于b e z o u t 矩阵的算子理论得到的。虽然b e z o u t 矩阵在很多方面都是一个非常有效的工具，但是曾经很长一段时间它只是一个 理论上的概念，而很少得到实际的应用，这主要是因为其复杂的计算性的证明， 甚至很多情况下只能以低维情况的解决代替证明。这种情况直到p a f u h r m a n 给出了一个结果【2 0 】后才得到改善。这个结论是说，b e z o u t 矩阵实际上是一个多 项式算子在一组特殊的对偶基模同态下的矩阵表示。这里提到的多项式模【z i j 最早是由p a f u h r m a n 弓i 入的，后来便用来重新证明了有关稳定性的一些结果和 b e z o u t 矩阵可通过v a n d e r m o n d e 矩阵合同变换为对角矩阵的结论【22 | 。后来p a f u h r m a n 和u h e l m k e 用算子理论重新构建了b e z o u t 矩阵的理论框架，将b e z o u t 矩阵的一些经典理论结果及上面提到的一些结果做了重新的证明。z v a v r i n 和 v p t a k 简化了p a f u h r m a n 的算子理论 3 4 】，并利用该理论重点研究了b e z o u t 矩阵 和h a n k e l 矩阵及l o e w n e r 矩阵联系。g n c h e n 并l ：l z h y a n g 7 】贝0 利用该理论推广了 b e z o u t 矩阵可通过v a n d e r m o n d e 矩阵合同变换为对角阵的结论，得到p ( z ) 有重根 时，p ( x ) 和g ) 的b e z o u t 矩阵b ( p ，g ) 在广义的v a n d e r m o n d e 矩阵下与一个块对角 阵合同。 国内有关b e z o u t 矩阵的研究主要集中于对已有结论给出简单的或易于理解 的新证明，比如陈翠通过合同关系对b e z o u t 矩阵中当多项式存在零根和存在二 重根时的对角化问题进行分析，得到了一些有意义的结论【3 8 】；贾利新、赵一男 利用b e z o u t 矩阵的定义给出了几种由v a n d e r m o n d e 矩阵将b e z o u t 矩阵对角化的 方法【4 0 】；谭瑞梅、史成堂利用b e z o u t 矩阵满足的缠绕关系以及两个多项式的变 2 量变换关系给出了h a n k e l 矩阵所满足的几种新型合同关系、缠绕关系，利用 b e z o u t 矩阵的b a r n e t t 分解以及多项式的零点与其第一友阵特征值的一致性，给 出了利用h a n k e l 矩阵的非奇异判定多项式互素的新方法【4 2 1 ，吴培炯重新给出了 b e z o u t 矩阵可通过v a n d e r m o n d e 矩阵合同对角化的证明【4 5 】；赵巧玲、秦建国利 用b e z o u t 矩阵的定义及b a r n e t t 因式分解公式证明了多项式互素的几个结论【4 川， 危在左赶 奇专宇。 前面提到的b e z o u t 矩阵是对应于生成函数在多项式空间中的标准幂基下的 展开。由于标准幂基是多项式空间中最简单最经典的基，所以后来由s b a r n e t t 和j m a r o u l a s 【15 1 、j g o v e r 和s b a r n e t t t l3 1 、j m a n i 乘l r e h a r t w i g 1 4 】以及z 。h y a n g 3 6 】 先后对由生成函数在一组更一般基下展开得到的广义b e z o u t 矩阵进行了研究， 将有关古典b e z o u t 矩阵的一些重要结论推广到了此类广义b e z o u t 矩阵，并得到 了一些新的结论。本文是以t o e p l i t z b e z o u t 矩阵为研究对象，首先在标准幂基下 研究其性质，之后将标准基扩展到一般多项式基，用代数方法对其广义矩阵的 性质展开研究，得出了与h a n k e l b e z o u t 矩阵类似的一些重要的结论。 t o e p l i t z 矩阵是和b e z o u t 矩阵有着密切联系的一类矩阵，也是一类特殊的 次对称矩阵。由次对称矩阵的性质可知t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵仍是次对称矩阵， 但一般不再是t o e p l i t z 矩阵。因此求t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵有一定的困难，所 以，t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵也受到不少研究者的关注，并取得丰富的成果。 最早是在有限空间上对t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵展开研究的。t r e n c h 和z o h a r 最先给出了一种t r e n c h z o h a r 算法【3 1 , 3 5 】，后来a k a i k e 做了进一步改进，得到了 分块t o e p l i t z s 矩阵的求逆矩阵a k a i k e 算法【9 j 。1 9 7 2 年g o h b e r g 和s e m e n c u l 提 出了t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵可由一些三角t o e p l i t z 矩阵的乘积给出，并给出了 g o h b e r g s e m e n c u l 公式【l o 】。当年g o h b e r g 和k r u p n i k 也提出了相似的结论引。 在2 0 0 4 年，g o h b e r g 、k a a s h o e k 和s c h a g e n 又给出了g o h b e r g - s e m e n c u l 定理的 另外两种证明【l l 】。之后，h e i n i g r o s t 提出了t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵可由第一列 和第一行的元素确定，并用这些元素形成的三角t o e p l i t z 矩阵的乘积之和表示 逆矩阵【3 】的结论，同时得出h e i n i g r o s t 公式。1 9 8 6 年b e n a r t z i 和s h a l o m 得 到一个结论【1 】：只要适当地选取t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵的_ - y 0 ，就可以构造出 任意一个t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵，并指出逆矩阵可以表示成由这三个列向量形 成的三角t o e p l i t z 矩阵的乘积之和，他们还得到了一些非常经典的推论。在此 基础上，l a b a h n 和s h a l o m 给出了具体逆矩阵的表达式，得到了l a b a h n - - s h a l o m 定理【6 1 ，后来，k n g 、k r o s t 和y o u w e n t l 6 】对其做了一些改进，并给出了一个 更简单的证明。 随着研究的进一步深入，1 9 9 8 年r l e l l i s 和ig o h b e r g 将t o e p l i t z 矩阵的 求逆问题从有限维空间扩展到w i e n e r 代数的序列空间z ：“( o ，o o ) x t ：硼( 啪，o ) 上， 用s t e i n 核的方法给出了关于无限广义块t o e p l i t z 矩阵的求逆方法i z 引，吴化璋、 3 陈公宁等利用生成函数和国一结构矩阵的方法给出了无限广义块t o e p l i t z + h a n k e l 矩阵的求逆公式【4 3 1 ，但是此方法不能用于无限广义块t o e p l i t z 矩阵的求 逆，继而，吴化璋、陈公宁等人又采用s y l v e s t e r 位移方程的方法【4 4 j 解决了无限 广义块t o e p l i t z 矩阵的求逆问题。在第四章中将对s t e i n 核方法和s y l v e s t e r 位 移方程法进行简单的综述，并在b e n a r t z i s h a l o m 定理的基础上继续研究关于 无限广义块t o e p l i t z 矩阵的求逆问题，给出了一种新的求逆方法。 1 2 本文的主要工作 综合国内外的研究背景，在本文中作者将做以下工作： f 1 ) 从生成函数确定的标准幂基下的t - b e z o u t 矩阵的定义出发，利用纯代数 方法得出类似与h b e z o u t 矩阵的三角分解公式、b a r n e t t 因式分解公式、缠绕 关系、约化问题以及与结式矩阵之间关系等优美性质。 ( 2 ) 将标准幂基扩展到一般多项式基，并对一般多项式基下的t - b e z o u t 矩阵 的性质进行研究。首先通过标准幂基到一般多项式基的转移矩阵得到在一般多 项式基和标准幂基下分别对应的t - b e z o u t 矩阵、对称化子以及两组基下的友矩 阵与联盟矩阵的之间的对应关系。在此基础上，得出一般多项式基下的t - b e z o u t 矩阵的一些重要性质。 ( 3 ) 在w i e n e r 代数序列空间，：”( o ，) t 7 ”( ，o ) 上，对无限广义块t o e p l i t z 矩阵已有的求逆方法进行综述，并基于有限维t o e p l i t z 矩阵的求逆方法，结合 位移结构方程给出无限广义块t o e p l i t z 矩阵求逆的一种新方法。 4 第二章标准幂基下的t b e z o u t 矩阵 t - b e z o u t 矩阵是一类特殊的矩阵，经常出现在基础数学和应用数学等多个 领域中。随着科学技术的发展，它的应用不断扩大，特别是在系统和控制理论 方面引起人们的广泛关注，本章将主要对其性质展开研究。 2 1 基本概念 首先介绍t - b e z o u t 矩阵的定义及其一些相关矩阵的概念。 j 定义2 1 1 若口( x ) = 口f x - a 。+ q x + - i - a t x 7 ( 口，o ) ，则称 磊( x ) = x 。a ( x 一1 ) = a o x + + 口卜l x + 1 1 t 为a ( x ) 的倒易多项式。 定义2 2 设口( x ) = 乃x ，与6 ) = b j x 是一对复多项式，其中口( x ) 和6 ) 或均为万次的或至少有一个为r 1 次的多项式。则由如下二元多项式 尺(训)：b(x)h(y乙)-一a(x)b(y)：曼巧y，x l y i 一, j = o 。 确定的矩阵b = ( v ) _ ；：j ! 。，称为多项式口( x ) 和6 ( x ) 在标准基下的t - b e z o u t 矩阵，记 为屏( 口，b ) 。 令7 r ( x ) = ( 1 ，x ，x 2 ，x 加1 ) 是线性空间e i x 】( 表示次数小于n 的全体复多项式 构成的线性空间) 的标准幂基。则上式可写成下面的形式： r ( 而力：b ( x ) f ( y _ ) - a ( x ) b 一( y ) ：万( x ) 岛( 口，6 ) 万( 力丁 ( 2 1 ) l 一叫 定义2 3 若口( x ) = 口，x 7 ，那么上三角t o e p l i t z 矩阵 s t ( 口) = 称为多项式a ( x ) 的丁一对称化子。 通过以上定义，很容易得出 口f a t 一1 口， 5 q 口2 ： 研 s r ( 口) = b r ( 口，1 ) ， 定义2 4 若口( x ) = 吼x ，矩阵 i = o g ( 口) = 称为多项式a ( x ) 的丁一友矩阵。 定义2 5 e 3 9 】记置换矩阵 a t _ 1 10 。0 口， 一旦 生01 0 研 a o 00 0 口， 疋= ( e n 一q ) = 通常称r 。为翻转矩阵，其中e i ( i = l ，2 ，刀) 表示第i + 靴y 0 向量a 2 2 主要的结论和定理 通过t - b e z o u t 矩阵的定义，很容易得出它具有如下基本性质： ( 1 ) 岛( 口，a ) = 0 ； ( 2 ) 屏( 口，b ) = 一岛( 6 ，a ) ； ( 3 ) t - b e z o u t 矩阵满足双线性，即对任意的，7 c ( 表示复数域) ，都有 岛( 口，励+ 胪) = 岛( 口，6 ) + 7 辟( 口，c ) ； ( 4 ) b r ( a ，6 ) 为次对称矩阵，即存在一个翻转矩阵疋，满足 岛( 口，6 ) = r b t ( a ，6 ) r 兄； n ln - i ( 5 ) 岛( 口，6 ) = 匆岛( 口，y ) = q 屏( ，6 ) i s of ；o t - b e z o u t 矩阵还有下面优美的结果： 6 定理2 1 设a ( x ) ，6 ( x ) 如前定义。由多项式a ( x ) ，b ( x ) 生成的t - b e z o u t 矩阵 具有如下三角分解形式： 屏( 口，6 ) = 品( 占) r 爵( 口) 一品( a ) r s t ( b ) 证明1 主i ( 2 1 ) 式得( 1 一砂) n - iv o x i y y = 6 ( x ) a ( j ，) 一口( 功艿( y ) 所以 j , j = o 一u l ，_ ，一1 = 魏一q 统一，( f ，j f = o ，l ，聆) ， 这里约定圪l ，一l = 咋一l ，一l = ，一l = k l 。= o 因此，对于f ，j = o , 1 ，r l ，有 、) t p 。卜p v t p 、j p i 、5q n - j + p b l p c i l 一n j + p ， 其中p = 0 ，1 ，脚；m = m _ i n i ，) 所以 吻= ( q p p 匆一p q p 跣一+ p ) ( i ，j = o ，1 ，刀) p = o 故屏( 口，6 ) = ( 、v 川、n 扩- io g ( c ) 有表达式 驰赴 a n 一1 f i qa o - i i； i l 一la n 一2 q 呸 ： 吼 巩吒一。 巩 6 l c 7 2 。； 吃 ( 2 2 ) = s ( 占) 7 s ( 口) 一s ( a ) r s ( 6 ) 从形式上看，t - b e z o u t 矩阵可以写成两个三角矩阵乘积的差的形式，其中 每一个三角矩阵的非零元素均直接来自口( x ) = 吩x 。与6 ( x ) = b j x 的系数。因 g = o；0 而，这也成为计算t - b e z o u t 矩阵的一种简单方法。 结合定理2 1 ，可以得到下面的关系成立： 岛( 口，z ) = 写( 口) c ( 口) 7 r ( 2 3 ) 进而可得出关于t - b e z o u t 矩阵的另外一个重要结论。 定理2 2 设a ( x ) ，6 ( x ) 如前面定义，则t - b e z o u t 矩阵满足 7 屏( 口，6 ) = s t ( a ) b ( c r ( 口) r ) ( 2 4 ) 由定理2 2 ，我们可以得到两个多项式互素与其对应的t - b e z o u t 矩阵的关 系。 定理2 3 两个多项式口( x ) 和6 ( x ) 互素当且仅当其对应的t - b e z o u t 矩阵 岛( 口，b ) 非奇异。 下面的定理2 4 则是定理2 2 的简单推广。 定理2 4 设a ( x ) ，b ( x ) ，c ( x ) 是次数分别为珂，m ，1 的多项式，其中聊+ 1 刀。 那么有 岛( 口，b c ) = 岛( 口，c ) ( s t ( 口) ) 一岛( 口，6 ) 证明显然( 6 c ) ( q ( 口) r ) = c ( g ( 口) r ) 6 ( q ( 口) r ) ，因此定理2 2 中蕴含着 屏( 口，b c ) = 爵( 口) c ( g ( 口) r ) 6 ( g ( 口) r ) = 岛( 口，c ) ( 品( a ) ) b r ( a ，6 ) 故结论得证。 t - b e z o u t 矩阵与r 一友矩阵之间也有着密切的联系，我们通过以下两个定理 对它们之间的关系作出详细的说明。 定理2 5t - b e z o u t 矩阵b r ( a ，6 ) 与丁一友矩阵q ( 口) 满足以下缠绕关系： b a a ，6 ) g ( 口) r = q 屏( 口，6 ) ， ( 2 5 ) 其中q = 乜q ( 口) 民 证明根据辟( 口，6 ) 和母( 口) 的次对称性，有 岛( 口，五) = 兄岛( 口，五) r 兄= r c r ( a ) s r ( a ) r 疋= 民g ( 口) 兄品( 口) 结合( 2 3 ) 式，可得s r ( a ) c r ( a ) 7 = r c r ( a ) r s r ( a ) 因为 岛( 口，6 ) g ( 力r = 品( 口) 6 ( g ) 7 ) g ( 口) ，= 品( 口) 0 0 ) 丁b ( c r ( a ) ，) ， 所以 岛( 口，b ) c r ( a ) r = l 乙c r ( a ) r , , s r ( a ) b ( c r ( a ) r ) = r g ( a ) r b r ( a ，6 ) 令c = r g ( 口) r ，则上式等价于( 2 5 ) 式。 定理2 6 假设a ( x ) ，b ( x ) 是次数均为r l 的多项式，n 么t y u 关系成立： 岛( 口，b ) = r 【c r ( 口) ”一g ( 6 ) ”】r a ， ( 2 6 ) 其中a ：= s r ( 口) s r ( 6 ) = s t ( 6 ) s ( 口) 证明运用文献 3 】中的结果，我们得到 岛( 口，6 ) = 屏( 口，) 品( 6 ) 一屏( 6 ，) 昌( 口) 根据( 2 3 ) 式，上式可以改写为 b r ( a ，6 ) = 品( 口) 睇( 口) r 】”s t ( b ) - s r ( b ) c r ( b ) r 】“s a a ) 由t - b e z o u t 矩阵和t 友矩阵的缠绕关系知 昌( 口) g ( 口) 7 = 兄g ( 口) r n s t ( 口) 、 ， 、 ， 、 所以 岛0 ，6 ) = r q ( 口) ”b s r ( 口) 品( 6 ) 一兄g ( 6 ) ”兄品( 6 ) 品( 口) = 民【g ( 口) ”一g ( 6 ) ”】兄么 即等价于( 2 6 ) 式。 矩阵的约化在研究矩阵的惯性及其稳定性时起着非常重要的作用。因此， 研究矩阵约化问题将有重要意义。o t 糊j m 极限的思想来研究t - b e z o u t 矩阵 的约化问题。这也是关于t - b e z o u t 矩阵的一个重要结论。 定理2 7 设而，y o 为任意两个复数，则 ( 1 掰。1 ) 辟( 口，6 ) 1 ； 瑶- 1 n - 1 = ，f x u y ，名0 fb(xo)五t(yo)-a(xo)b(yo)(k1) 2 1 卜 i 再州( a ( x o ) b ( x o ) - b 。( 而弦( ) ) ( x o = 蛎1 ) 证明由t - b e z o u t 矩阵的定义知， 当x o 垢1 时 ( 1 瞄。1 ) 岛( 口，6 ) = 吻x u y = i , j = o 9 b ( x o ) a ( ) - a ( x o ) b ( y o ) 1 一而 当x o = 蛎1 时， ( 1 x g 。1 ) 易( 口，6 ) 1 ； w - 1 = 驴p l - - 1y = 嬲。燮掣 = y o - l 婴型唼产垃 =yo-l，1im肋。!生堕鱼q呸专三产一粥，1im万垒q尘竺q茎芝笋 =y：-ib(蛎1)，l呻im垢。a(xj)丁-a(yil)一姘。口(蛎1)，1im垢。鱼垦薏三号芋王2 = 巧川( 口( x o ) b ( x o ) - b ( ) 口( ) ) 综上所述，结论成立。 定理2 8 设西，x 2 ，吒是口( x ) 的刀个单根，薯0 。令 则 y ( 口) = i - 1 矿( 口) 7 b r ( a ，b ) v 2 = d i a g ( a 。( 而) 6 ( 五) ，a ( 而) 6 ( 恐) ，a ( ) 6 ( ) ) ， ( 2 7 ) 其中圪= 兄巧 ) ，兄= 证明注意到巧7 岛( 口，b ) v 2 的( f ，) 元素为 ( 1 五q ) 岛( 口，6 ) 譬。1 ； x j 1 f a ( x , ) b ( x j ) - b ( x , ) a ( x j ) ：o ( f j f ) = 而一 一( 薯) 6 ( t ) ( i = j ) 由此，定理成立。 定理2 9 若口( x ) ，b ( x ) - i f -，则存在v a n d e r m o n d e 矩阵v ，使得矿辟( 口，b ) r v l o 为一个对角阵。 我们可以验证，口( 力是兄g ( 力r b 的特征多项式，并且k 如前定义，则下 面的关系成立： g ( 口) ，= j ( 2 8 ) 其中j - - d i a g ( j l ，以，以) ，并且每一块z 是q 哆阶矩阵，即 2 3t o b e z o u t 矩阵与结式矩阵的关系 1 q 结式矩阵是与b e z o u t 矩阵密切相关的一类矩阵。它在b e z o u t 矩阵核的描 述与b e z o u t 矩阵的惯性和多项式的关系等方面有很多应用。h e i n i g 和r o s t 在 文献 4 】中描述了关于h b e z o u t 矩阵与结式矩阵类之间的一些联系，下面我们 将用类似的方法得到t - b e z o u t 矩阵与结式矩阵的关系。 雅册 设口( x ) = q x 与6 ( x ) = 屯x 分别是次数为，2 和m 的多项式。口( x ) 和6 ( z ) = 0y = o 的结式矩阵用r e s ( a ，6 ) 表示，具体形式如下： r e s ( a ，6 ) = 口l 口oq b 06 l 吒 6 0岛 i l 6 、m ，m + b 简便起见，假设多项式口( x ) 和6 0 ) 的次数全为力。则结式矩阵r e s ( a ，6 ) 可以 写成 胎s c c z ，6 ，：( 未：害乏5 s 。a 。6 a ，) 。& ；，1 ：。：。 c 2 9 ， 其中品0 ) 和品( 6 ) 分别表示口 ) 和6 ) 的t 一对称化子；a ( x ) 和艿 ) 分别表示 a ) 和6 0 ) 的倒易多项式。 首先介绍一个引理，它对讨论结式矩阵与t - b e z o u t 矩阵之间的联系起着非 1 q ；0 q o ；o ，。l = z 常重要的作用。 引理2 1t - b e z o u t 矩阵与翻转矩阵兄乘积的生成函数满足以下关系： 另 ( 口，6 ) r ( x ，力= 兰堕兰兰! 生笋 ( 2 l 。) 证明因为 b a a ，6 ) r ( x ，y ) = 万( x ) 屏( 口，6 ) r 刀( y ) 7 = ( 1 ，工，x “一1 ) 7 岛( 口，6 ) = y ”一1 7 r ( x ) r b r ( a ，b ) x ( y 1 ) 7 = y ”一1 耳( 口，6 ) ( x ，y 一1 ) y ”。1 ： y 1 叫。型罕笋幽业哗1 掣 。 1 一删1 。 一砂1 a ( x ) b ( x ) - a ( y ) b ( x ) x y 因此，结论得证。 以下我们将具体给