（课程与教学论专业论文）初中数学问题解决的教学策略研究.pdf

独创性声明 本人声明所譬交的论文是我个人在导师指导卜进行的研究i ：作及取得的研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注利致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰弓过的研 究成果，也不包含为获得苤壅竖整盘鲎或其它教育机构的! 学位或证l s 而使用过的材料。 与我一同l ：作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范人学有关保留、使川学位论文的规定，即：学校有权将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部| 、j 或机构送交论文的复印什和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名： 日期： 中文摘要 随着科学技术和知识经济的突飞猛进，培养具有较强解决问题能力的创新 人才成为时代发展的要求。而数学问题解决作为国际数学教育领域备受关注的热 点，经久不衰。它强调学生主动探索，重视教给学生学习的方法，鼓励学生合作 和探究，并从中获得各种各样的体验，促进学生分析问题、解决问题能力的提高， 培养了探究和合作精神，使学生对数学越来越感兴趣。当前我国中学生数学学习 存在的主要问题是数学应用意识、问题意识不强，思维能力、创新能力薄弱。因 此，探求数学问题解决的教学策略对提高中学生的数学能力有很大价值。 本研究首先从“问题解决”的历史回顾和反思中探寻研究的立足点和方向， 对数学问题解决的相关概念作出界定，对本研究的理论基础以及国内外的相关研 究作出综述。接下来进行了一系列的调查和分析，以调查问卷分析、访谈等方式 呈现，以便对现阶段初中数学问题解决教学状况作详细的了解。 在了解现状的基础上，本文研究了策略形成的出发点。并通过随堂听课，获 得了大量案例，提出了初中生数学问题解决的教学策略，一共分为三个维度。第 一，培养问题意识的教学策略。包括设计“螺旋递进式”问题链；构建多样化问 题交流方式；提供参与实践操作的机会。第二，深化思维品质的教学策略。包括 全方位迁移，拓展深化认知结构；凸显数学学习的本质，注重思想方法的渗透； 增强课堂活动的开放程度，鼓励学生暴露思维过程；强调变式应用，促进思维的 灵活性。第三，优化自我监控的教学策略。包括协助学生分析问题解决思路，增 强自我效能感；开展专题交流活动，多元评价学习效果；建立个人“学习档案”， 形成反思习惯。 最后，本研究提出了实施教学策略的原则和关注点，使得它们在具体指导教 学实践时能够更有效，发挥更大的价值。 【关键词】问题；初中数学；数学问题解决；教学策略 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n t i f i ct e c h n o l o g ya n dk n o w l e d g ee c o n o m y , t o c u l t i v a t et h ec r e a t i v et a l e n t sw h oh a v es t r o n ga b i l i t yt os o l v ep r o b l e mh a sb e c o m ea r e q u i r e m e n to ft h et i m e sd e v e l o p m e n t a st h ef o c u so fi n t e r n a t i o n a le d u c a t i o nf i e l d ， m a t hp r o b l e ms o l v i n gh a sl a s t e df o ral o n gt i m e t h i si d e ae m p h a s i z et h a t s t u d e n t s s h o u l dp r o b ea c t i v e l y ，g r e a ta t t e n t i o nm u s tb ep a i dt ot e a c h i n gs t u d e n t sh o wt os t u d y ， t oe n c o u r a g i n gs t u d e n t st ot r yp r o b i n ga n dc o - o p e r a t i n g ， a n dg a i na l lk i n d so f e x p e r i e n c e t r yt oi m p r o v et h es t u d e n t s a b i l i t y t oa n a l y z ea n ds o l v ep r o b l e m s d e v e l o p t h e i rs p i r i t si np r o b i n ga n dc o - o p e r a t i n ga n dm a k et h es t u d e n t sb e c o m em o r e a n dm o r ei n t e r e s t e di nm a t h c u r r e n t l y , t h em a i np r o b l e mo fm i d d l es c h o o ls t u d e n ti s t h ep o o rs e n s eo fa p p l i c a t i o na n dp r o b l e ma n dt h e i rt h i n k i n ga n dc r e a t i o na b i l i t ya r e a l s op o o r s o ，t h ed i s c u s s i o no ft e a c h i n gs t r a t e g yo fm a t hp r o b l e ms o l v i n gi so fg r e a t v a l u ef o ri m p r o v i n gm i d d l es c h o o l ss t u d e n t s a b i l i t y t of i n dt h ef o o t h o l do fm ys t u d yf r o mt h eh i s t o r yo f p r o b l e ms o l v i n g ，g i v e r e l a t e dd e f i n i t i o no fm a t hp r o b l e ms o l v i n g ，s u m m a r i z et h et h e o r yb a s i sa n dr e l a t e d r e s e a r c hf r o md i f f e r e n tc o u n t r y t h e n ，t h e r ei sas e r i e so fi n v e s t i g a t i o na n da n a l y s i s f o rf u r t h e ru n d e r s t a n d i n go fc u r r e n tt e a c h i n gs i t u a t i o na b o u tm a t hp r o b l e ms o l v i n gi n m i d d l es c h 0 0 1 o nt h eb a s i so fu n d e r s t a n d i n gc u r r e n ts i t u a t i o n ，t h es t u d yd i s c u s s e st h es t a r t i n g p o i n to ft h es t r a t e g y t h e r ea r et h r e ev i e w p o i n t si na 1 1 f i r s t l y , t h es t r a t e g y o f c u l t i v a t i n gt h es e n s eo fp r o b l e m ，i n c l u d i n gd e s i g n “s p i r a lr a i s e p r o b l e mc h a i n ；b u i l d v a r i o u sk i n d so fc o m m u n i c a t i o nw a ya b o u tp r o b l e m ；p r o v i d et h ec h a n c eo fp a r t i c i p a t e a n dp r a c t i c e s e c o n d l y , i m p r o v et h et e a c h i n gs t r a t e g yo ft h i n k i n ga b i l i t y , i n c l u d i n g a l l - r o u n dm i g r a t i o n ，d e e p e nc o g n i t i v es t r u c t u r e ；e m p h a s i z et h ec h a r a c t e r i s t i co fm a t h l e a r n i n ga n dt h ep e r m e a t i o no ft h i n k i n gw a y s ；e n h a n c et h ed e g r e eo fo p e n n e s sa b o u t c l a s s r o o ma c t i v i t i e sa n de n c o u r a g et h es t u d e n ts p e a ko u tt h e i rt h i n k i n gp r o c e s s ； e m p h a s i z et h ea p p l i c a t i o no fv a r i a n tt oi m p r o v et h ef l e x i b i l i t y t h i r d l y , o p t i m i z et h e t e a c h i n gs t r a t e g yo fs e l f - m o n i t o r ，i n c l u d i n gh e l pt h es t u d e n t st of i n dt h ew a y t os o l v e p r o b l e m ，s t r e n g t h e no n e s e l fe f f i c a c yf e e l i n g c a r r yo u tt o p i ce x c h a n g ea c t i v i t i e s ，e v a l u a t e t h ee f f e c to fs t u d yi nm a n yw a y s ；b u i l d “s t u d yf i l e ”a b o u to n e s e l ff o r r nt h eh a b i to fr e f l e c t i o n i nt h ee n d ，t h es t u d yr a i s e st h ep r a c t i c ep r i n c i p l ea n dc o n c e r np o i n to ft e a c h i n g s t r a t e g i e s ，s ot h a tt l l e yc a nb e c o m em o r ee f f e c t i v ea n dh a v eg r e a tv a l u ew h e nw eu s e t h e mt og u i d et e a c h i n gp r a c t i c e k e yw o r d s ：p r o b l e m ；m a t hi nj u n i o rm i d d l es c h o o l ；m a t hp r o b l e ms o l v i n g ；t e a c h i n g s t r a t e g i e s 目录 中文摘要i a b s t r a c t ii 引言：问题的提出1 第一章数学问题解决教学背景及研究状况3 1 1 数学问题解决的背景回顾3 1 2 数学问题解决教学的研究综述4 1 2 1 数学问题解决策略研究4 1 2 2 国内外数学问题解决教学研究现状6 1 2 3 对目前研究现状的反思9 1 3 研究的目的和意义1o 1 3 1 研究目的10 1 3 2 研究意义1 0 1 4 研究的思路和方法1 0 1 4 1 研究思路1 0 1 4 2 研究方法1 1 第二章本研究的理论基础1 2 2 1 心理学基础12 2 1 1 问题解决的认知理论12 2 1 2 元认知理论12 2 2 教学论基础12 2 2 1 建构主义教学理论12 2 2 2 弗赖登塔尔的“再创造”与“数学化”教学理论13 第三章相关概念界定1 4 3 1 数学问题1 4 3 1 1 数学问题的内涵1 4 3 1 2 数学问题的外延14 3 2 数学问题解决1 5 l v 3 2 1 “数学问题解决”的概念15 3 2 2 问题解决中“数学问题”的分类16 3 2 3 数学问题解决的基本特征16 3 3 教学策略17 3 3 1 “教学策略”的概念17 3 3 2 初中数学问题解决的教学策略17 第四章初中数学问题解决教学现状的调查与分析19 4 1 调查目的一19 4 2 调查对象及方法19 4 3 现状调查19 4 3 1 问卷调查19 4 3 2 访谈2 4 4 4 对调查结论的分析及反思2 6 4 4 1 应进一步提高初中生数学问题解决的能力2 6 4 4 2 要注重初中数学教师教学理念的加强和教学水平的提高2 7 第五章初中数学问题解决的教学策略2 9 5 1 教学策略形成的出发点2 9 5 1 1 初中生数学问题解决的特点2 9 5 1 2 影响初中生数学问题解决的因素2 9 5 2 初中数学问题解决教学策略的构建3 2 5 2 1 培养问题意识的教学策略3 2 5 2 2 深化思维品质的教学策略3 9 5 2 3 优化自我监控的教学策略4 7 第六章初中数学问题解决的教学策略实施的原则与关注点5 4 6 1 教学策略实施的原则5 4 6 1 1 贯穿问题、创设情境原则5 4 6 1 2 突出过程、注重探索原则5 4 6 1 3 开放互动、鼓励参与原则5 4 6 1 4 灵活选取、综合运用原则5 5 v 6 2 运用教学策略指导数学教学的关注点5 5 6 2 1 注意问题解决与习题演练相结合5 5 6 2 2 注意教学进度的把握5 5 6 2 3 难度适宜、控制在学生的“最近发展区”内5 6 6 2 4 课堂活动避免流于形式5 6 6 2 5 问题解决教学不可程式化5 6 结束语5 8 参考文献5 8 附录1初中数学问题解决教学现状调查问卷6 3 附录2访谈提纲( 教师) 6 5 后记6 6 v l 引言：问题的提出 自从美国数学教师协会于1 9 8 0 年明确提出把“问题解决”作为学校数学教 学的核心到最近2 0 年来，世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决能力 作为数学教学的主要目的之一。作为国际数学教育的核心和数学教育改革的一种 新趋势，数学问题解决已成为当前数学教育研究的重要课题。这就说明，它不是 一时一地的权宜之计，而是历史的必然，符合时代潮流的明智之举。对本研究问 题的提出主要有以下几方面的原因： 一、提高数学问题解决能力是时代的要求和数学教育发展的需要。当今信息 时代，数学在自然科学、管理科学和经济类科学等领域及日常生活中的应用都不 断地深化和拓展。而且在信息社会里，知识更新周期短，新的知识技能不断涌现。 同时，在国际竞争日益激烈的当今世界，各国政府乃至普通老百姓都越来越清楚 地认识到，国家的富强，乃至企业的兴衰，单单靠掌握知识、技能是远远不够的， 更多的是取决于对科学技术知识及其创造性的开拓和应用。学生必须“学会学习 学校必须培养学生的创造能力和问题解决能力。 数学教育的发展告诉我们，数学不应被视为一种静态的知识结果，而应看作 由理论、问题、语言及方法组成的一个动态的多元复合体，因此数学教育的目标 就不应唯一地强调数学知识的掌握，而更应重视的是学生通过解决数学问题以及 应用数学知识去解决现实问题而学会数学地思维。 二、问题解决在数学课堂教学中占有重要的地位。中学数学教学就是要教会 学生进行数学活动，形成自己的数学认知结构、数学观念和数学能力，获得数 学素养。而“问题解决”在培养学生能力，特别是创造性思维以及数学应用意 识方面有重要作用。我国在2 0 0 1 年出台的数学课程标准中，已经将解决问 题与数学思考列为课程“三维一体”目标中过程性目标的一个重要方面。在课程 总体目标中提出通过义务阶段的数学学习，学生能够“初步学会运用数学的思维 方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其它学科学习中的问题，增强 应用数学的意识；”1 由此可见，问题解决的实践与研究是数学教育历史发展的必 然。 全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 中华人民共和国教育部制订，北京：北京师范人学h 版社，2 0 0 1 ，p 6 - 7 l 三、我国目前初中数学问题解决教学的局限性 1 、过分热衷于“题海战术”和机械模仿。我国学生的数学基本功比较扎实， 学生的整体数学水平较高，但比较突出的问题是学生应用数学的意识不强、创造 能力较弱。主要原因是：教师没有抓住培养学生能力的关键，通过“题海战术”， 使学生处于一种机械模仿加记忆的状态，以解题为目的，不重视数学思想方法的 探讨。对一些常见数学问题的解法比较熟悉，但往往不能把实际问题抽象成数学 问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去；学生对所学数学知识的实际 背景了解不多，面临新问题时办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽 象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解和掌握不够：“题海 战术”使学生疲于应付，无休止的考试和小测验使得学生成为“考试机器“的现 象屡见不鲜，学生没有机会来反省自己的数学学习，在高分的驱动下变得只求“学 答”而不求“学问”，追求的只是唯一标准的正确答案，从而逐渐丧失了对问题 的创新、灵活变式、提出质疑的能力，有时学生甚至会产生厌学心理。 2 、学生缺乏正确的“数学观”。一些学者通过对初中学生数学观的调查发现， 大多数学生认为数学就是计算，认为数学是一门严谨的学科，从而导致他们认为 观察、猜想、估计不是做数学，只有通过严格证明和精确计算才是做数学。大多 数学生认为数学做题的目的就是为了考试，离丌了教室和考场就感觉不到数学的 重要性。此外，随着年级的增高，大多数学生感到数学只是枯燥乏味的公式和结 论的堆积，数学认识活动也只是没完没了的繁杂的计算和烦琐的论证，学习数学 的热情减退。 以上现象告诉我们，我们迫切需要寻找一种合理的方法来改变这种教学现 状，笔者在这里并非想说问题解决就是最合理的方法，我们追求的不是这种方法 究竟是什么，而是现有的方法如何才能真正实施好，使得它不至于只流于形式， 或成为“理论的巨人，实践的矮子”。已有的研究过多的关注了问题解决在方法 论上的共同点，而忽视了活动本身对于“问题”和“解题者”而言的特殊性，本 文试图从新角度看旧问题，希望能有新的发现和成果。 第一章：数学问题解决教学背景及研究状况 1 1 数学问题解决的背景回顾 1 9 0 0 年，自从希尔伯特在巴黎国际数学家代表大会上发表演讲数学问题 之后，数学问题解决成为了激励数学家推进数学发展的一种原动力。在国际数学 界，美籍匈牙利数学家g 波利亚首先对数学问题进行了研究，先后写出了怎 样解题、数学与猜想、数学的发现等经典名著。尽管波利亚的研究引起了 积极反响并为数学教育的进一步工作打下了良好基础，但问题解决却由于受到人 工智能的挑战和2 0 世纪6 0 年代“新数运动 、7 0 年代“回到基础”的影响而曾 停滞发展。美国从6 0 年代的“新数运动”过分强调数学的抽象结构，忽视数学 与实际的联系，到7 0 年代“回到基础”走向另一个极端，片面强调掌握低标准 的基础知识，数学教学水平普遍下降。在对数学教育发展方向作了长期的探索之 后，美国数学教师协会于1 9 8 0 年4 月公布文件关于行动的议程，明确提出 把“问题解决”作为学校教学的核心。指出“8 0 年代的数学教育大纲，应当在 各年级都介绍数学的应用，把学生引进问题解决中去。”“数学课程应当围绕问题 解决来组织”，“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境。” 2 。紧接着1 9 8 2 年英国的“c o c k e r o f l 报告”也指出“数学教育的核心是培养解 决数学问题的能力，强调数学只有在能应用于各种情况下才是有意义的。3 以后 各国纷纷响应，1 9 8 9 年3 月，日本学习指导要领也正式将“问题解决 的 思想以法律的形式固定下来。问题解决的教学模式迅速为各国的数学教学工作者 所接受。从1 9 8 0 年起，每四年一届的国际数学教育大会都把“问题解决列为讨 论专题，都强调联系实际与突出数学方法是“问题解决”的两个重要特征，认为 “问题解决”是过程，是一种合乎时代要求的教学方式。在1 9 9 6 年召开8 届 国际数学教育大会上，各国确立的未来数学课程目标的共同点中，其中有一条 指出要培养应用数学解决问题的能力，以及利用数学模型解决一定的实际问题 2 二 ：了兴 数学方法论一问题解决的理论【m 】 k 沙：中南- t 业人学i l i 版社，1 9 9 7 ，p 1 9 3 ：l i 儿 数学问题解决t i j t - 5 t 综述【j 】广两师范人学学报2 0 0 0 ( 1 ) ，p 1 8 8 的能力。白9 0 年代以后，我国数学教育界越来越重视问题解决教育，特别是在 由“应试教育”向“素质教育”全面转轨的今天，“问题解决”教学无疑是数学 教育改革的突破口。 1 2 数学问题解决教学的研究综述 1 2 1 数学问题解决策略研究 1 、综合策略 综合策略是指导问题解决全过程的思考策略，数学教育家波利亚的“怎样解 题表”是综合策略中具有代表性的一种： 表1 1怎样解题表4 了解问题 拟定计划 未知数是什么? 己知数是什么? 条件是什么? 可能满足条件吗? 画一个图，引入适当的符号。 你以前曾见过它吗? 你知道什么有关的问题吗? 注视未知数! 试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉 的问题。 这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它 吗? 你可能改变这问题吗? 回到定义! 你若不能解这问题，试先解一个有关的问题。 你能想出一个更容易着手的有关问题吗? 一个更一般 的问题? 一个更特殊的问题? 一个类似的问题? 你能解问题的一部分 吗? 你用了全部条件吗? 4 许清波中学数学问题解决课堂教学设计的研究【d 】江西师范大学硕士学位论文2 0 0 5 年6 月，p 6 4 厂i1厂fiiiij、iill 实行计划 0 时，教师就可以启发学生从函数的角度变 换题目，就可以转变成“当一次函数y = 2 x + 7 的函数值大于0 时，求自变量的耿 值范围。”这样就把不等式与函数恰当的联系起来，进一步加深了学生的理解。 2 、凸显数学教学的本质，注重思想方法的渗透 数学思想是对数学知识的本质的认识，是从某些具体的数学内容和对数学的 认识的过程中提炼上升的数学观点；数学方法是指在数学科学里提出问题、解决 问题过程中所采用的各种方式、手段、途径。”数学思想方法是数学学科的精髓， 是数学发现的源泉，是解决数学问题的钥匙，是将数学知识转化为数学能力的桥 梁。初中数学思想方法的教育，是使学生理解数学的本质、提高数学思维水平、 培养和提高学生问题解决能力的重要内容。中学数学新课程注重提高学生的数学 思维能力，倡导以数学问题为载体，让学生不断地经历直观感知、观察发现、归 纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反 思与构建等过程来提高学生的数学思维能力，最终使学生学会数学地思维。当前 数学教学中，过于强调对知识本身的记忆与应用，不注意对这些知识的发生、发 展、应用过程的揭示和解释，不善于将这一过程中蕴含的丰富的数学思想方法进 行概括和推广。教师往往教给学生解决问题的方法和步骤，学生按照步骤解决问 题，关注的只是当前要解决的个别问题，在总结时也注重定势套路，轻视思想分 析，不能将具体的知识和个别的方法上升到数学思想方法的高度。教师应通过对 数学知识的教学和适当的问题解决活动渗透数学思想和方法，揭示数学思想方法 的实质和规律。同一种数学思想方法在不同问题和不同阶段的教学中屡次出现， 每次都有不同的形式，也有层次上的深浅。教师要在数学知识和其思想方法之间 3 1 吕雪 数学问题解决的研究与实践【d 】 辽宁师范大学硕士学位论文，2 0 0 6 年1 月，p l o 4 0 找到恰当的结合点，在知识的发生和应用过程中贯彻数学思想方法，形成知识、 思想和方法的一体化，在反复的渗透中，使学生对数学思想方法的认识螺旋上升。 案例6 ：在探讨直线与圆的位置关系时，教师首先提出问题：如图5 - 4 ，观 察直线在至上而下的运动过程中与圆有几个交点，可以分为几种情况? 依据是什 么? l d r l 与o o 相离 l 图5 - 4 接着，教师引导学生根据图中直线在向下移动的过程中，o o 的半径r 与圆 心到直线的距离d 的大小关系判断出圆与直线的位置关系，一共分为三种情况。 这里着重强调数量关系与位置关系的相互转化，体现了转化思想。此外，还体现 了数形结合思想和分类思想。 看似简单的内容蕴含着丰富的数学思想方法，教师在教学过程中，潜移默化 向学生渗透这些思想，体现了对数学教学本质的理解与实施。 案例7 ：全等三角形s s s 判定定理的进一步深化 师：大家想想，还有没有其它方法，可不可以利用我们已经学过的一些判定方法 来证明s s s 呢? 生5 ：我们可以根据s a s 来证明s s s 也是成立的。 ( 生5 讲解证明思路如下：如下图5 - 5 和图5 - 6 ，设a b c 和a 1 b i c l 三对对应边 相等，将a i b l c l 翻转18 0 。，与a b c 放在一起，使b c 与b i c l 重合，连接a a 2 ， 利用等腰三角形底角相等的性质可以证明z a = l a 2 ，再根据s a s ，便可证明a b c 与a 1 b i c 2 全等，也就是与a 1 b i c l 全等。 4 l b a 图5 5 c b 1 a 1 图5 - 6 c 1 师：非常好! 我们直接证明s s s 比较困难，可以把它转化为我们已经知道 的s a s ，这样问题就好解决了，我们在问题解决中经常会用到这种转化思想。( 抓 住机会向学生渗透转化思想，让学生领悟到这种思想在何时使用、如何使用，并 体会到它为问题解决带来的方便。) 师：看来s a s 推出s s s 的方法有很多，那么用s a s 能不能推导出其它几种情况呢? 到现在为之，我们一共学 - - j 了四种金等三角形的判定方法，这四种方法是孤立的 吗? 它们之间有没有联系呢? 生：它们之间有联系，可以互相推导、互相转化。 师：对! 我们在应用三角形的判定定理时，要注意它们之间的联系，能够在不同 的条件下灵活调用和转化。( 让学生自己悟出转化思想的实质，再次点明转化思 想的特点和重要性。) 3 、增强课堂活动的开放程度，鼓励学生暴露思维过程 数学教学改革以来，强调要关注学生问题解决的过程，因为学生的认知特点、 思维特点以及数学学习中存在的障碍很多时候都体现在问题解决的过程中。因 此，教师要让学生充分暴露思维过程，暴露的越充分，教师越能深入了解学生， 越有利于对症下药，采取相应的策略。教师的思维过程最终也代替不了学生自己 的思维过程，教师要不断增强课堂活动的开放程度，让学生尽量细致的暴露其认 知水平、思考问题的方法以及心理活动。这样便于教师抓住学生思维的起动、过 程和诱因，突破学生的思维困难，发现学生思维的闪光点。 案例8 ：有如下应用问题：某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如 果游客过多，会对文物产生不利影响，但同时又要保证一定的门票收入。因此， 博物馆采取了涨幅门票价格的方法来控制参观人数。在该方法实施过程中发现： 4 2 每周参观人数与票价之间存在着如图5 - 7 所示的一次函数关系。在这样的情况 下，如果确保每周4 万元的门票收入，每周应限定多少人参观，门票价格是多少? 人数( 人) 7 0 0 0 6 0 0 0 5 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 图5 7 票价( 元) 教师让学生思考过后，讲解自己解决此问题的方法和思路，具有代表性的三 位学生的思路如下： 学生甲：设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为： y = k x + b ，则由题意可得： 厂1o k + b = 7 0 0 0 得厂k = 一5 0 0 一( - j 了平行四边形及其性质后，教师设计了如下变式训练： aeb d f c 图5 8 原问题：如图5 - 8 ，平行四边形a b c d 中，d e 平 分l a d c ，b f 平分l a b c ，则a d e 与b f c 是什 么关系? 变式1 ：如果去掉“d e 、b f 是平分线”这个条件， 则d 和e 点符合哪些条件，可使上面的关系仍然 成立? 变式2 ：连接e f ，你能发现什么结论? 变式3 ：在图中尽可能添加线段，使得全等三角形的数量最多，你能找到多少对? 变式4 ：在第3 个问题的基础上，你能发现几对平行四边形，其中最大的平行四 边形的面积是最小的平行四边形的面积的几倍? 教师通过对原问题条件和结果的适当改变，把一个常规的简单数学题目引到 数学问题解决上来，把有固定答案的习题变化为开放性题目。利用问题的丌放和 变式，引导学生在解决这些问题的过程中，从图形和问题的变化中思考，使思维 的触须延伸到问题的各个领域，促进了思维的广阔性和灵活性。教师也可以让学 生自己改编问题，例如给学生布置如下任务： 首先，根据原问题，再改编几道题，并进行解决。 然后，与学习小组的成员交流自己编的问题，相互指出问题的缺陷并进行修 订。 最后，选出你的小组成员编制的较好的题目与其他小组进行比较，并说出你 认为问题好的原因。 此外，教师可以将课本上的常规例题、习题改造为不能靠简单模仿的“问题 解决”形式的题目。例如把条件、结论完整的题目改造成开放性问题；改变问题 的提问角度，或将条件和结论进行推广，变成发展性或探索性问题；或者将所得 结论联系生活实际，引出实际应用问题等。 案例1 0 ：全等三角形判定定理的应用 师：在实际生活中，你能想到运用三角形全等的实例吗? 4 5 生1 ：元旦晚会用的小红旗都是全等的。 生2 ：小学时大家戴的红领巾都是全等的。 师：看来全等三角形在我们的日常生活中也有着广泛的应用。学以致用，下面我 们回到具体的数学问题上来。 教师结合所学判定定理，设计如下变式训练： 1 、结论开放型 在四边形a b c d 中，已知a b = d c ，a d = b c ，任意连接两点，你能得出什么结论? 这样的题目结论不确定，学生从不同角度得出不同结论，大致可分为角相等、边 相等、三角形全等三种类型。 2 、条件开放型 在四边形a b c d 中，已知a d fb c ，请你再添加一个条件，使得l a = l c 。 这样的题目属于结论确定，而条件不确定，学生可以根据结论倒过来思考，经过 猜想、验证得出结论，培养了学生的逆向思维。 3 、综合开放型 在四边形a b c d 中，点e 在a b 上，a c = a d ，请你添加一个条件，使图中存在全等三 角形? 添加的条件是： 全等三角形为： 本题属于条件和结论同时开放，有学生根据已知条件先确定条件，探求结论， 也有学生先确定结论来找寻条件，最后进行验证。这样的题目开放程度较高，激 发了学生的发散思维。 由于变式训练所设计的问题具有开放性，题目难度可根据自己的实际情况作 出调整，因此能够面向全体学生，被传统教学所“遗忘”的学生，在问题的引导 下，师生的点拨下，如今成了学习的主人。 ( 2 ) 方法扩展 教师应积极引导学生从各条途径，用多种方法去思考问题。一方面可以使学 生思路开阔，对发展求异创新思维能力起着铺路架桥的作用。另一方面，培养学 生的优化意识，在方法多样化的情况下学会选择较优策略。方法的多变可使问题 在解决的前提下进行新的多项性探求，这样不仅满足于会“做”，而且在不断地 “优”化解法中活用知识，活跃思路，可使问题得到拓宽和深化，以培养学生思 维的发散性、创造性。 案例1 1 ：有一块三角形的土地，要将它分成相等的三分，分别种上不同的 蔬菜，该如何设计划分方案? 公公么 图5 9图5 - 1 0图5 1 1 方案一( 图5 - 9 ) 将三角形一条底边三等分，等分点分别与上 顶点相连。 方案二( 图5 - 10 ) 上顶点与底边2 3 处相连，连线的1 2 处与 左顶点相连。 方案三( 图5 - 1 1 ) 三条中线的交点( 重心) 分别与各顶点相连。 这是一个开放性题目，答案不唯一，难度适中，适合不同层次的学生解决。 教师首先要增强学生参与“问题解决的自我意识，引导学生对解决这一数学问 题各种数学方案的可能性进行认真分析，并尽可能多的从各个角度出发，找出不 同的解决方案。此外，教师要尊重学生的个别差异，诱导学生对问题的自我理解、 自我解读，赞赏学生的个人感受和独特见解，使学生的学习成为一个富有个性化 的过程。 5 2 3 优化自我监控的教学策略 学生的学习活动并不仅仅是对学习材料的识别，加工和理解的认知过程，而 且也是一个对该过程进行积极监控的元认知过程。我们力求数学问题解决教学充 分发挥学生的主体作用，构建开放、自主的课堂氛围，活动的自由度越大，对学 生自我意识的要求就越高，培养学生优良的自我监控和调节就越显得重要。 4 7 1 、协助学生分析问题解决思路，增强自我效能感 学生在问题解决过程中，遇到较复杂的题目往往出现思维混乱、没有头绪的 状况，大多数学生习惯于反复阅读问题，而不是问自己“第一步应该干什么”、 “解决此问题的关键点在哪里? 。在这种情况下，教师首先要鼓励学生不要对 问题心存恐慌，帮助学生营造和维持学习过程中积极的心理气氛。接下来教师要 协助学生理清思路，一步一个脚印的引导着学生的思维走向，使学生明确在问题 解决时应该如何组织并调节自己的思路，减少学生开始尝试有挑战性问题时遇到 的困难，有助于学生更清晰的理解问题解决的过程。例如，学生在面临一个比较 复杂的问题时，教师可以按照如下提示语引导学生明晰思路，逐步突破。 ( 1 ) 题中有哪些已知条件? ( 2 ) 各条件之间的关联点在哪里? ( 3 ) 这个问题的突破口在哪里? ( 4 ) 要解决该问题，需要用到哪些公式和定理? 还需要什么条件? ( 5 ) 请叙述你的证明过程。 ( 6 ) 请检查你的证明过程是否有错误或者不严密的地方? ( 7 ) 除了这种方法，你能不能换一种思路找到其它方法呢? ( 8 ) 在本题的解决过程中，你觉得什么是关键要点? ( 9 ) 在解决本题的过程中，你在哪个环节做的比较好? 你在哪个环节出现 了障碍，原因是什么? 教师采用逐渐深入问题核心的提示语，带领学生在问题解决的起始和中间进 行相应的思考。让他们在整个解决问题的过程中力求做到心中有数，知道自己在 干什么，为什么要这么干。学生在教师的引导下，根据自身的认知在时刻调控自 己的思维活动，时刻调整思维策略，由混乱逐渐清晰，朝着问题解决的最终目标 前进。在问题解决结束之后，教师对解决的情况作出客观的评价并鼓励学生学会 反思自己的学习过程，实现使学生由局部监控到整体监控的发展。在数学问题较 难而外援又较少的情况下，教师应给予积极的监控指导，帮助学生体验成功。时间 长了，学生就会以教师带动他们分析问题的思路为镜，在问题解决的过程中学会 自我提问，并调节思维和心理活动。 2 、开展专题交流活动，多元评价学习效果 4 8 由于不同学生在认知结构和思维品质方面的差异性，对同一问题的理解可能 会带上一些个人色彩。学习共同体成员之间彼此解释各自的想法、相互了解对方 的思想就十分重要。在第四章现状调查中了解到，大部分初中生不善于思考问题 解决方法的多样性或比较最优解法，他们仅满足于能求得最终结果，不去尝试其 它途径，因此思维比较封闭，视野不够开阔，反思能力不强。要使自身获得多样 化的问题解决策略，可以通过别人不同的思维特点来丰富自己的认识。检验自己 问题解决思路和方法的一个有效途径就是与别人的方法进行比较。教师可以根据 教学内容进行拓展深化，提炼一些有探索价值的数学专题，组织学生在班上进行 探讨和交流。中学生都有争强好胜的心理，学生为了消除别人的怀疑而尽力为自 己问题解决的过程寻找完整的依据和解释说明，从而潜移默化的提高了学生对自 己问题解决的监控能力，比自己独立解决问题更有意义。此外，通过学生之间的 争议、讨论，可以带来更进一步的、深入的修改、补充，可以使问题解决的过程 变得更合理，学生也从其他同学与自己不同的思维特点和方法习惯中受到了启 发，这是一个发展学生自我监控能力的好途径。在评价学习效果的时候，可以采 用多元化的评价方式。教师要经常起示范作用，对学生某个环节或某个阶段进行 全面评价，评价时要突出针对性、全面性，突出良性语言激励学生，让学生耳濡 目染，了解如何评价别人及自己的学习成果，评价的时机、方法、语言指向上该 如何把握。此外，教师还要经常鼓励同学之间互相评价。一个有效的方法是教师 在交流活动结束的时候，给每位同学发放优缺点单。其做法是让每个同学用纸写 下其他同学在这次专题交流过程中表现出来的优点和缺点。回收后再把这份“优 缺点单”发给学生本人。例如，有位学生收到的一份“优缺点”单如下： 表5 - 1 ：学生专题交流的优缺点单 4 9 优缺点单( x x x ) 优点方法比较新颖，以前的知识学的比较扎实。 富有想象力，能够想到联系物理学科知识。 思考问题不全面，分类不完整。 运算过程比较复杂、不简便。 讨论时不爱倾听别人的意见。 缺点 根据初中生的心理特点，通过别人的评价审视自己在课堂中的角色扮演水 平，扫描自我表现的成败与得失，重新对自己和别人的看法进行反思与评判，就 会不断增强学习信心，不断升华学习兴趣，不断提高元认知水平。此外，不同的 学生都有各自不同的自我监控习惯，例如有些学生习惯在问题解决的每一步检验 自己思路的严密性和方法的合理性，有些学生习惯于在问题解决之后倒回来反思 整个过程。大家可以互相交流彼此的经验和感受，通过聆听他人的做法，和自己 的做法作比较，逐渐从自己的体验中提炼和总结出具有自己风格的自我监控，才 能在学习上由不自觉到自觉，由他控到自控，逐渐达到“会学”的境地，最终成 为独立自主的学习者。 案例1 2 ：关于三角形全等的专题探讨 师：在学习了三角形的s s s 判定定理以后，我们来一起探讨一个日常生活中的实 际问题。( 出示教具) 这里有用木棒订成的三角形、四边形和五边形，大家上来 拉一下，看木棒能否活动? 生1 ：三角形不能活动，四边形和五边形可以活动。 师：现在问题出来了，为什么三角形木架不能随便活动呢? 大家互相探讨一下这 个问题。 ( 片刻以后教师请学生发表自己的想法) 生2 ：根据s s s 判定定理，因为三角形三条边确定以后，它的大小和形状就确定 了，所以不能动了。 师：利用了我们学过的判定定理，非常好! 我们把三角形的这个性质叫做稳定性。 5 0 生3 ：我提出疑问，我发现四边形有的时候也不能随便活动。比如我