（应用数学专业论文）责任准备金提存的最优估算.pdf

ab s t r a c t i n t h i s p a p e r , t h e p r i n c i p l e o f r e s e r v i n g a n d i t s b e s t e s t i m a t o r w e r e a n a l y s i s e d a n d s t u d i e d t h e o r e t i c a l l y .a t f i r s t , t h e p r i n c i p l e o f r e s e r v i n g w e r e d i s c u s s e d s y s t e m a t i c a l l y a s b a c k g r o u n d o f e s t i m a t i n g t h e r e s e r v e s ; s e c o n d l y , w e c o n s t r u c t e d a l o g n o r m a l l i n e a r r e g r e s s e d m o d e l b y u s i n g c h a i n - l a d d e r t e c h n i c a l .b y t h i s m o d e l , w e s t u d i e d t h e f o l l o w i n g : t h e o r d i n a r y d i s t r i b u t i o n s o f i b nr r e s e r v e s 、t h e i b nr r e s e r v e s d i s t r i b u t i o n s u n d e r s t o c h a s t i c r a t e s 、t h e u n i f o r m l y mi n i mu m v a r i a n c e u n b i a s e d e s t i ma t o r o f i b nr r e s e r v e s , t h e ma x i mu m l i k e l i h o o d e s t i ma t o r o f i b nr r e s e r v e s . f i n a l l y , w e p o i n t e d o u t t h e fl a w o f t h i s c h a i n - l a d d e r t e c h n i c a l o n t h e f o u n d a t i o n o f ma t h e ma t i c a l s t a t i s t i c s a n d p o s e d s o m e i m p r o v e d w a y s . 第一章导论 保险精算起源于寿险保费的计算，其发展与寿险有着深厚的源缘关 系。 1 6 9 3 年， 英国著名的天文学家爱德华 哈雷根据德国布勒斯市居民 的死亡统计资料，编制了世界上第一个完整的死亡表，用科学的方法， 精确地计算出各年龄段人口的死亡率。这不仅使产生于 1 2 世纪的年金 价格计算更为精确，也为寿险精算的形成奠定了 科学的基础。1 8世纪 中期， 托马斯 辛普森根据哈雷的死亡表构造了依死亡率变化而变化的 保险费率表，进一步为精算奠定了基础。1 7 6 2年英国成立了世界上第 一家寿险公司伦敦公平保险公司。 该公司以死亡表为依据， 采用均衡保 费理论计算， 并且对不符合标准的被保险人另行收费。 该公司的成立标 志着寿险精算的开始。 保险精算是以现代数学和数理统计为手段，对保险业的经营管理 的各个环节进行数量分析， 为保险业提高管理水平、 制定策略和经营管 理决策提供科学依据和工具的一门学科， 它己成为保险公司在激烈的 市场竟争中赖以生存和发展的重要因素之一。我国的保险业经历了一 段颇为曲折的过程， 其中曾停办过一段时间。改革开放后，从 1 9 8 0年 恢复保险业，截止 1 9 9 8 年底，经统计，在短短的 1 8 年时间里，保险 公司从1 家增加到2 2 家，保险费收入从年均4 亿多元增加到1 0 8 0 亿 元，年均增长3 6 . 4%，承保金额从1 4 0 8 亿元增加到2 4 万亿元左右， 年均增长3 3 % ，充分显示了我国保险业的一股强劲发展势头。 但与同期 欧美发达资本主义国家的保险业相比尚存在很大差距 尤其在保险公 司的经营管理及技术支持方面尚需提高。 保险业不同于其它行业。 保险不是 “ 一手交钱， 一手交货” ，而是 投保人预付保险费， 保险人并不需要立刻提供产品或服务， 而是在未来 的时间里，当保险标的发生保险事故的情况下才向受益人支付保险金 额。 保险人向投保人收取的保险费实际上是其对投保人的负债。 在保险 业务中， 因保费的收取和保额的给付常常不一定是同时发生的， 保险人 对其保险则责任的履行发生在未来的某一个确定或不确定的时间里， 这 就需要保险人为未来保险责任的履 行进行一定的准备。而这种准备因 各险种的不同而不同。 从理论上来说， 在保险合同开始之时， 未来保费 的期望现值 ( 即精算现值) 与未来保额的期望现值相等， 保险公司的期 望损失为零。 一般地， 在定期缴纳保费的合同的早期， 可能会出现保费 超过保额和费用支付的情况，而合同的后期，可能会发生相反的情形。 于是， 早期暂时不用的资金必须由保险公司储备起来， 以应付后期的各 项费用支出及保额给付。 在夏缴保费的情况下， 投保人在期初一次性缴 清保费， 保险公司在初期有过剩资金， 而在后期保险公司不再有保费收 入。 这种情形在非寿险领域内显得尤其明显， 故保险公司为应付未来的 支出， 须将期初不同的资金积累起来作为全部储备金。 这种在保险合同 的一定时期内保险公司的保险支出额可能会与其保费收入额不相平衡 的情况要求保险公司设置一定的基金，以应付支出和收入之间的差额， 这一基金就称为 “ 准备金” ，也叫 “ 责任准备金， 。 由于寿险和非寿险在保险标的、 保额、 保险期限、 保险合同的性质、 承保风险的均匀性、 保费的厘定方法等方面都有所不同， 故责任准备金 从宏观上可分为寿险责任准备金和非寿险责任准备金。 从精算理论的起 源看， 非寿险精算学明显迟于寿险精算学。 非寿险问题的数量分析比寿 险的更为困难。比如说，由于非寿险业所处经济环境的剧烈变化， 其错 综复杂的统计问题和参数估计导致非寿险保费计算困难重重。 另外， 非 寿险是纯粹的风险保险， 其投资收益难以与寿险相比， 况且收益只是从 难以 估计的延迟理赔中获得。 非寿险承保的危险在多数情况下都存在显 著的不均匀性， 对危险的先验估计是困难的， 在某些情况下甚至是不可 能的。由此，非寿险责任准备金的计算问题明显地难于寿险类的计算。 于是对两类保险公司来说， 各自 所面临的风险在很大程度上决定了各自 经营成败的关键，从而决定了各自的命运。 从下表不难看出，责任准备金的提存对一个保险公司将起着非常重 要的作用。 原因公司数目 所占百分比 责任准备金不足( 价格过低) 8 6 2 8 % 增长过快 6 4 2 1 % 被指控有欺诈行为 3 0 1 0 % 虚报资产3 01 0 % 业务发生重大变化 2 6 9 % 再保险失败2 17 % 巨灾损失1 7 6 % 其他2 89 % 合计3 0 2 1 0 0 % 因之一是责任准备金不足。保险公司的责任准备金是一个很大的金额， 它可 以达到保 险公司年保费收入 的 3倍 以上 。因此如果 对责任准备金的估算不准确，就有可能严重地影响到保险公司的经营成 果。比如， 如果保险公司的年利润是3 0 0 0 万美元， 而其责任准备金大约 是3 0 亿美元， 则当责任准备金被低估 2 %时， 保险公司就会出现 3 0 0 0 万 美元的赤字。这种错误只有经历过多年才有可能被发现，即根据保险公 司报告的利润缴纳税金并向股东分红以后，经过很长一段时间才会出现 这种错误所造成的影响。 责任准备金属于保险公司的负债项目，它对保险公司的利润及其应 缴税金产生直接影响。 保险公司为了延期缴纳税金， 总是有一种高估责 任准备金的倾向。 按稳健性原则的要求， 保险公司为了预防未来通货膨 胀的影响， 它们留存过多资金的愿望就更加强烈。 相反地处于财务困境 中的保险公司倾向于低估其责任准备金。 这些保险公司利用当期保费收 入支付以往索赔， 可以在不发生财务危机的情况下继续维持好几年时间 尤其是保险公司处于扩张时期更是如此。 这样， 保险公司就可以等到情 况好转的一天或将破产结局推迟好多年。 此外， 责任准备金的估算还受 许多外生变量的影响， 其中最为重要的一个外生变量是通货膨胀， 它直 接影响劳动力成本、 医疗费用、 评估和法律费用、 及终身伤残的补偿费 用等。因此， 从上述种种原因可以看出， 对责任准备金的估算事实上是 非常困难的。尽管如此，精算师们还是想出了很多很实用的办法。 寿险责任准备金的计算方法一般有过去法、 未来法、f a c k l e r 逐年累 积法，这三种方法一般用于计算理论责任准备金，对实际责任准备金常 采用修正制， 而法定责任准备金标准计算方法有初年定期法( f p t ) 、 美国 保险监察官准备金修正法( c o m ) 、 加拿大标准法( c a n ) 。 此外还有会计年 度末准备金和g a a p 准备金、费用负荷毛保费准备金。 由于非寿险承保标的所面临的风险在很大程度上不同于寿险标的所 面临的风险，故对非寿险责任准备金的计算比较而言，后者在实用意义 上较前者重大，但对前者估测的意义却大大超过后者。因此对非寿险责 任准备金的计算来说，实际上是一个估算问题。而且该估计的精确性对 非寿险业来说则至关重要的。 非寿险责任准备金一般分为三类:未满期责任准备金、未决赔款准 备金、保险总准备金。 未满期责任准备金的估算一般有八分法、二十四分法，我国一般采 用统一比例法。未决赔款准备金估算的传统方法是逐案估计法、平均估 算法 ( 或称比率法) 。其估算以流量三角形为基础，一般采用链梯技术。 本文将在此基础上研究未决赔款准备金的最优估计，并探讨链梯技术的 数理基础及其优劣性。 事实上，由于计算机技术的突飞猛进， 寿险准备金及未满期责任准 备金的估算已不成问题。因此对责任准备金的估算，目前的主流问题则 是对未决赔款准备金的估算，而在未决赔款准备金中占很大部分比例的 是i b n r ( i n c u r r e d b u t n o t r e p o rt e d ) 准备金，本文将主 要 探讨这种未决 赔款 准备金。由于我国保险业起步较晚，目前尚无足够的数据对这种未决赔 款准备金做充分的估算。但对它做理论研究将对我国未来保险业的发展 有着重要的指导意义。 在国外， 对 i b n r责任准备金的估算问题， 以下学者作了许多工 作.t o m a s h e r s t 研究了随机截尾数据摸型在提取1 b n r责任准备金中 的 应用: m a r c g o o v a e rt :和 h e n d r i k r e d a n t 研究了i b n r 责任准备金 的概率分布问 题;l .g d o r a y研究了 利用对数正态线性回归模型估算 i b n r责任准备金的无偏估计; r . j ,v e r a l l 利用链梯技术求出了 i b n r 责任准备金的最大似然估计。 本文将以责任准备金提存为实际背景， 对 i b n r责任准备金研究其 概率分布并给出了其最优估算。 本文的结构安排如下:第一章导论，第二章责任准备金提存原理及 方法， 第三章i b n r责任准备金的概率分布， 第四章随机利率下的i b n r 准备金的概率分布，第五章 i b n r准备金均匀最小方差的无偏估计和最 大似然估计，第六章结束语。 第二章责任准备金提存原理和方法 第一节寿险责任准备金的概念和分类 在寿险合同的一定时期内，保险公司为应付支出和收入之间的差额 而设立的基金称为责任准备金。它与盈余不同，对保险公司来说，前者 是其主要负债，后者是其资产， 对投保人来说准备金是一项资产。 根据准备金计算基础的不同，可将准备金分为理论准备金和实际准 备金，前者是指在均衡纯保费基础上计算出的准备金，后者是指在修正 纯保费基础上计算出的准备金。本章将主要讨论这两种准备金的提存原 理和方法。 按时间分可将准备金分为期初准备金和期末准备金及平均准备金。 期初准备金一般用于分红保单中红利的分配，而平均准备金多用于保险 公司的年度报表。 此外，还有法定责任准备金、会计年度末准备金和g a a p 准备金、 费用负荷毛保费准备金。法定责任准备金是指法律规定的最低准备金标 准。会计年度末准备金是指寿险公司每年 1 2月3 1日的会计年度末报表 中的一项准备金，在我国和美国也称 1 2月3 1日 准备金。g a a p准备金 是按美国 公认会计原则( g a a p ) 计算所得的 准备金。 它主要是为满足寿险 公司股票持有人的需要而设立的。对我国寿险事业的发展有一定借鉴意 义。费用负荷毛保费准备金是指考虑风险、利润等因素而计算出的准备 金。 第二节非寿险责任准备金的概念及分类 非寿险责任准备金一般分为三类:未满期责任准备金、 未决赔款准备金、 保险总准备金。 未满期责任准备金又称保险费准备金 ( p r e m i u m r e s e r v e ) ，是指年内 承保的业务在会计年度内结算时，保险期限未满而在下一年度仍有效的 保险合同按未到期的时间提存的准备金。 未决赔款准备金则是指在会计年度计算时，己发生的赔案尚未处理、 赔付而提存的准备金。可分为三种情况:( 1 )已经索赔，保险公司经过 调查、审理已确定应赔金额，但在年终结算时尚未支付的赔款:( 2 )已 经提出索赔但尚未结算的赔案，其理赔拖延的原因可能是索赔人和保险 公司对于赔案的责任范围和赔付金额尚有争议，或是在接近年终时才发 生的赔案尚来不及调查定损等;( 3 )已经发生但尚未报告 ( i n c u r r e d b u t n o t r e p o rt e d 简称i b n r )的 赔案。 本文后半部分将重点探讨这种i b n r 准备金的最优估算问题。 保险总准备金是指保险公司为今后很长时期内可能发生的特大巨灾 赔款而从年度利润中提取出来的准备金。 第三节寿险准备金提存原理及方法 2 .3 . 1用未来法计算理论纯保费准备金 以， v表示某险种在时刻t 时恰在第t + 1 次保费支付之前的理论纯保 费 准备金，以 l 表示时 刻t 时 恰在第t + 1 次保费 支付 之前的 未来 损失的 现值。 某时刻的未来损失定义为保险人未来所有支出在该时刻的现值与 未来所有收入在该时刻的现值之差， 在纯保费下， 保险人的支出为保险 额，收入为保费。 未来法计算理论纯保费准备金原理为: i v= e ( l ) ( 2 . 1 ) 即某一时刻的准备金等于该时刻未来损失的期望值。 对保额与保费的支付分两种情况来讨论，即两者完全连续支付和 两者完全间断支付: 1 .完全连续情形: 令随机变量u表( x + t ) 的余寿， 即u = t ( x + t ) , 则u的 概率严密度函数 为“ p - , ,u - ,- ( u ? o ) 时刻t 时的未来损失为 i l = v u 一 a u p ( 2 .2 ) 其中p 表示单位保额原险种的均衡纯保费 率， 于是 v=e ( l ) 二e ( v ) 一 e ( a u p ) e ( v u ) 一 p e ( a u ) ( 2 . 3 ) 下面给出一些具体险种的准备金的求法: ( 1 ) n 年纯粹生存保险: 1一洲 + x al rl少lwe、 一一 ， 1-n i v ( a 一 a + :石 p ( a x. -) t n+ tn -r(2 .4 ) t= n ( 2 ) h 年付费终身保险: a i + r几 . in - rjh p ( a f ) a, + r t _h 廿!廿1 l一 ( 3 ) h 年付费，n 年两全保险 n - r 卜 h t n ( 2 .6 ) t=n 千!leewe、weesesesesl -一 、.少 一月 h t 7 ( 又 p ( a , n )t h ( 4 ) n 年缴费的n r17 ( a x , ) 一 ! 刁 十t:二 l o 年死亡保险: 一 a + r 二 p ( a x ;, ) t n ( 2 . 7 ) t= n ( 5 )延期n 年的连续终身年金 ( 含n 年缴费) + x a 月番 +十 一久-ax 厂1月.j、es. 一一 丁 v ( n l a x ) 一 a scn-r p (n l a s ) _刀 2 ，完全间断情形: 令随机变量j 表示 ( x + k )的取整余寿 j = k ( x + k ) 即: 则j 的概率密度函数为: , p + k 9 .+ * 十 ，( i = 0 ,1 ,2 , ) 时刻k时的未来损失为: , l = v r +， 一 两 p (2 .9 ) 其中p 表示单位保额下原险种的年均衡纯保费。于是 k v 一 e (k l ) = e (v r + i) 一 e (临p ) (2 .1 0 ) 下面给出一些具体险种的准备金的求法: ( 1 ) n 年缴费的n 年死亡保险: * v xi:w =a _ k .-. - k 一 “ 二 + k :n. k p s s . . . .k 0( 2 . 1 1 ) k = 0 ( 2 ) h 年付费终身死亡保险 l v a : + * h - k o 尸 k h ( 2 . 1 2 ) k ? h + xx aa 产!jll、 ( 3 ) h 年付费，n 年两全保险 一 反 二 十 * h- klh 凡 a l kh h vk h_kn ( 2 . 1 3 ) k=n ha编1 ( 4 ) n 年纯粹生存保险 - k: t 一 a、 画 p ,s + k :n - k kn 长 * ( 2 . 1 4 ) 月1 f少、!、 ( 5 )限期h 年付费的n k=n 年延期期初终身年金保险 一 a f+ k:n - k w p ( n la r ) k h k v ( n a) = n - k l a s + k n - k l a s + k a . + k h_ kn ( 2 . 1 5 ) 该法宜用于求保费缴付期限以外某时刻的准备金。 2 . 3 . 2 用过去法计算理论纯保费准备金 用过去法计算理论纯保费准备金原理是:某时刻的准备金等于保 险人在此时刻以前所有的收入在此时刻的精算终值减去保险人在此时 刻前所有的支出在此时刻的精算终值。 在纯保费下，保险人的支出为保额，收入为保费。以a表示保险 人己 付保额的精算现值，s表示投保人己缴纳的单位纯保费的精算终 值，p 表示均衡纯保费，e表示纯粹生存保险的夏缴纯保费，则该原理 可表为 k v=( 2 . 1 6 ) 与未来法一样分两种情形计算具体险种的准备金。 1 .完全连续情形: 令 tk x = a x: ， 它 表 示 在 最 初 的 ， 年 内 ， 保 额 为 1 的 定 期 死 亡 保 险 ， e 的夏缴纯保费，累积到t 年年末的精算终值。 下面给出一些具体险种的理论纯保费准备金的求法: ( 1 ) n 年缴费的n 年死亡保险: rv ( a x :n ) p ( a f n ) 一 k s t n ( 2 , 1 7 ) t= n 一川州 工sxo rljeek 一 ( 2 ) h 年付费终身保险 s x * p ( a = ) 一 ， k s t_h 厂1.1.esj、wees.es几 一一 f ( a l ) ( 3 ) h 年付费，n 年两全保险: t h h _ t n ( 2 . 1 9 ) t=n 2 .完全间断情形: a 令。 k=- 二 二 k e s 下面给出一些具体险种的理论纯保费准备金的求法: ( 1 ) n 年缴费的n 年死亡保险: -z ip 1.= i k v 、 一 i 一 ， 一 l o 一 * k kn ( 2 .2 0 ) k=n ( 2 ) n 年付费终身保险: s z a h p 一 * k kh r!1，il - k hk ( 3 ) n 年付费，n 年两全保险: s x :k h p :n 一 * k kh s z:k h . k - h e z + h 1 _ k kh k n ( 2 .2 2 ) k=n les记les.、 i- -司川 v军 ( 4 )限期h 年付费的n 年延期期初终身年金 kh : v ( n la x )h _ k n 该法宜用于计算在无需提供保额期间内的准备金。 2 . 3 . 3 实际准备金的计算 理论准备金是在均衡保费假设的基础上计算的，在这一假设下， 每个保险年度的纯保费和毛保费都被认为是均衡的， 当发生生存或死亡 这样的保险事件时， 每年的纯保费可充分应付生存或死亡的给付;当发 生各项费用支出时， 每年的附加保费在各年内的分配也是均衡的， 但保 险公司实际上所发生的费用在各年内的分配却是不均衡的。 因为出售和 签发保单的主要费用都发生在初年， 初年的费用较高， 往往大于可动用 的附加保费;后续各年的费用相对较小，一般小于可动用的附加保费。 保险公司在初年发生的费用必须予以补偿，附加保费不能满足这一要 求， 保险公司只有动用别的资金 ( 如盈余) 或修改原有的准备金计算方 法才能应付第一年的费用支出， 对长期经营、 盈余充分、 业务庞大的保 险公司来说， 动用盈余来补偿年费用并不是件很困难的事， 但对一个新 开业或规模较小的保险公司来说， 这种办法就不是很合适， 因小公司可 动用的盈余很少， 公司若想扩展业务， 势必会增加费用， 但若限制承保 费，显然又不利于公司的生存和发展。 保险公司为摆脱可能遇到的上述困境，将纯保费在保费缴付的全 部期限或部分期限内重新进行分配， 在调整后的纯保费基础上再计算准 备金，这样计算出来的准备金称为实际准备金或称 “ 修正准备金” 。 实际准备金的提存原理是;让第一个保险年度 ( 或前几年保险年 度) 的纯保费小于当年的均衡纯保费， 其差额由续年的大于均衡纯保费 的纯保费加以调整， 并称重新调整纯保费的这段时间为“ 保费修正期” 。 现考虑在 x岁时签发的保单，设保险期限为n年，缴费期限为h 年， 保费 修正 期限 为j 年， 其中0 n -, h - n ,j - p 即当 修正后的 第一年的 纯保费 小于修正前 的均衡纯保费时， 修正后续j - 1 年的纯保费将大于修正前的均衡纯保费。 下面计算h 年付费、 j 年修正期的n 年期两全保险的实际准备金， 其它具体险种的实际准备金计算方法如此雷同， 以v m o d 表示修正后的实 际准备金。 ( 1 ) 用未来法计算: k f ( x l , . . . , ( 3 . 6 ) 定义3 : 如果对于所有超模函数f ， 其期望值存在， 即e ( f ) 存在， 且e ( f ( x ) ) l _ i : j 。 是 递 增 o x , 的，那么f 是一超模函数。 3 . 3 贴现i b n r值的估测 为获得一个在金融环境下具有价格一致性的净现值，将初始利力 变为,5 + ,5 2 i 2 ，使得: e e - 4i -(a iz )r u , i = e 0 ( 3 . 7 ) 从而将 v变换为: v 一 y w /e - 3j 一 ( d / 2 ) j - 妈 ( 3 . 8 ) 现考虑分布: fu,.u, / uo (ui, u2,一 u- u.， 一 鑫1 e-c,2r8一 ” /2a (3.9) 由此可得边缘分布为: v i/u o n ( 0 , o 2j ) 考虑分布集: s = f , ， 二 ，v/v. : v j/ v o - n ( 0 , o 愁 ) ， 下面可计算 ( 3 .8 )中v的期望为: e ( 艺 w , e -4 一 ( 6 1 2 ) j - u ) = i w , . , -8, 为获得i b n r准备金的分布， = 1 考虑下述问题: m( a ) =ma x m ,u . . . . . u) . se ( ( e - , e - r - ( o / 2 ) j - u ， 一 “ ) 、 ) u o = 0 . . ( 3 . 1 1 ) 定理 2 函 数f ( u , 超模函数。 证明: 考虑: , u 2 ,. .,u ) = ( 艺 a , e _ a - ( o l 2)j - 、 一 a ) ， 对 所 有 非 负 ( 3 . 1 0 ) 叭是 = - h (e w i 。 一 一“ ” ” 一“ 一 。 ) 。 一， 】一“ z / 2)k,一 w ,) 工ha h是h e a v i s i d e 函数，易证 o f 、丫， ，、 _二 、 :、 ， 丽大 丁 - k, k- (- k 2) 足 非 m 9 9 9 ， 故 m( a ) = ma x ( u , u 2 , e , u) e s( ( w j 。 一“ 一 “ ” ，一a ), ) 一 e ( ( i w , e - ,5j - (x a 12 )， 一 ” ， 一 。 ) ) ( 3 . 1 2 ) 其中 ( u ) , u 2 , . . - u % )是同单调风险向量。 证毕! 根据定理2 ， 用一个关于均匀变量的积分来计算i b n r准备金的停 止损失净保费 m ( a ) = e j ( ew ie 一 寺 一 ( 占 ， )， 一 与 、 】 一 a ) , ) ( 3 . 1 3 ) 通过 令u , = 于是 o (k.) = 法lm e-sz i2 dx f ., ( u , ) 一 亡 f v , / v o = u 来定义 k，那么 一 。 (u , ;o ) 一 o (u , / 洒 ) ( 3 . 1 4 ) 了 g z j - k 则 f v j( u j) = u ，或 ， f v j 闪 云 万 、 。 ) 一 。 m (a ) 一 r (y- w , 。 一“ 一“ /2)l- d ik 一 a ) , d u ( 3 . 1 5 ) 由此可得 1 - f (a ) = 上 二 (l r w , 。 一“ 一“ 12)i- sr k. _ a )d (3 .1 6 ) 如果令 i e ， 一912),- 6 ikuo = “ 则可得 1 - f v 0 ( 。 ) = u 。 且 f v ( a ) = 一 n, zjj=1 2w 一 /2)l- pjk.ak.a/2 ( 3 . 1 7 ) 再考虑到下述关系式 f ,- ( f ( u ) ) 一 、 及o ( u /万 从而 最后可得 定理 3 一 扮 z 或 : (f, (u)卜 扮 z i b n r责任准备金的期望值和方差如下 e ( i b n r r e s e r v e ) 一 艺、 ， e - 4 v a r ( i b n r r e s e r v e ) 一 全全 ， ， 二 e a r 一 。 一， 一“ ( 3 . 1 8 ) j = 1 j = 1 第四章随机利率下的i b n r责任准备金 4 . 1 引言 近几年来，随着改革开放的深入，我国的利率一直下调，我国的 保险业受到一定的冲击，更何况我国今年开始实行利率市场化，因此， 研究市场利率情形下的准备金提存将对我国的保险业具有重大的指导 意义，本章旨在研究随机利率模型下的 i b n r责任准备金估计。 4 . 2 模型构造 假设 对一定的 起始 年来说， 未来不同 支付年的 索赔额w , ( j = 1 ,2 , . . . ,n ) 的估计是可得到的，将这些索赔额贴现得到 y ir = i - j 一 y , - j e d 将贴现因子随机化， j = 1 则上式可写为 y ix = w j e x l ( 4 . 1 ) 其中x j 过程。 一般地， d 1 ( r ) = j = 1 由某一随机过程决定，事实上这一过程已是一个随机利率 我们选择下述随机微分方程确定的过程 ( a + 户1 ( ) ) d r + 2 s e t z d w ( z ) 将i ( r ) = - 2 in j ( r ) 代入 ( 4 .2 ) 式， 则 ( 4 . 1 ) ( 4 .2 ) 式可化为 y ir = w j x zi ( 4 . 3 ) 其中x i 由 下 述随 机微分 方程决定 d 1 (r ) = (一 号 j (z ， 十 (5 ， 一 q 2 j ( 二 ) ) d z 一 t , x ) =- p r o b ( x a , v - i , y ， 由 以 下 两 个 带 初 值的 方 程的 解 决定 v ， 十 : = - v i + 2 矶. , v ; a ,v 。 二 。 v l =( 4 . 1 7 ) y,.2 = - y , + 2 叭+ i y ; + 1 y o = - l , r , = 0 fl , = c + k w , c 。 由 条 件m ( 0 ) = 1 限 定。 该定理的证明详见资料。 ( 4 . 1 8 ) 4 . 5 贴现因子的矩 对贴 现因 子对 ( : e 0 , t ) 的 矩的 计算， 与 概率密 度的 推导一 样，利 用公式e ( z ) = ( - 1 广 理 . 命e e - ， 来 计 算 对 的 l a p la c e 变换， 有下面的定 定理 4 . 7 贴 现因 子对的l a p l a c e 变 换 可计 算 如 下 e e - x , i 二 ( 0 ) 一 u ,0 : t ( 4 . 1 9 ) =b a + i e - o ， i b ( .1 + b ) a + , e 口 2 “ 2 /( 之 + 刀 ) 其中x : 的 转移 概 率由 ( 4 .8 ) 式 给定 . 2 y / ,5 2 c o sh 2 ya 2 t s in k 2 y s 2 z c o s h 拒7 (t - t ) ( 4 . 2 0 ) 尸2 g 一 生 、 2y/s2 2 1 s in k 2 r j 2 r ( 4 .2 1 ) 定理 4 . 8 x ; 的 矩 可计 算如 下 e x 了 i x ( 0 ) = u ,0 : ， s in h 了 2 泌2 z l c o s h 寸 2 泌， ( t 一 : ) c o s h 廿 2 泌2 t 内尹 u 卜乙 、.，.lesj/ c o s h 2 y s z ( t - : ) c o s h 2 y i - t ( 4 . 2 2 ) 厂苦胜.，les、 十 v a r x ,2 i x ( 0 ) = u ,0 : t 片 兴s in h 2 y b - t - v y 1 2 6 c o s h 2 y 8 - ( t - t ) c o s 2 y 8 - t a+i s in h 找涵t c o s h 2 y s - ( t - t ) c o s h 币万 、砚尹.尹 ， u 2 、1|jz c o s h 2 y 8 - ( t - t ) c o s h 叔涵t ( 4 . 2 3 ) 2才十、 l2 x+ 上述两定理的证明详见资料。 定 理4 .8 中 的 矩e 对i x ( 0 ) = u ,0 1 口+1 s in h 2 y s z t e z 2r、 e - 2rs * ,u 2 a+i 一2 y 8 - ( 1 一 e - 2腼 ) + e - 2 2 7 * u 2( 4 .2 4 ) 对上式令: = 0 , t - + 0 o 则有 辣e x i i x (0 ) 一 ,u ,0 t “ ， i 一 ,u 2 ( 4 . 2 5 ) 悠e x ,2 i x (0 ) 另外由于 = ,u , 0 t t , t 1 = 口+i ( 4 . 2 6 ) lim i zy0 一 2 c 2 r 则有 lim e jx , i x (0r-+o) 一 u ,0 “ r “ 一 2 a z (a + i)z + u 2 ( 4 . 2 7 卿 v a r x i i x (0 ) 一 u ,0 t “ = 4 v 2 (a + 1) 1- 2 + 4 v 2 ta 2 ( 4 . 2 8 ) 最后令9 斗o , a = 鸟辣e x ; i x ( 0 ) = u ,0 : t = 3 v 2 t + u 2( 4 . 2 9 ) 卿黔v a r x * i x ( 0 ) = u ,0 t “ = 6 v t 2 + 4 v 2 t u 2 ( 4 . 3 0 ) 4 .6现值的概率密度 本 节 将 推 导 现 值 摘 ; 的 概 率 密 度 。 先 求m ( k ) 的 逆 变 换 ， m (k ) 由 ( 4 . 1 6 ) . ( 4 . 1 7 ) . ( 4 . 1 8 ) 式确定。为 求m ( k ) 的反 演式， 下 述引 理 给出了v 和y 。 关于k 的多 项式中 系数的 递推关系。 引理 4 . 9 ( 1 ) ( 4 . 1 7 ) 的 特解， ” 是一 个n - 次多 项式 ( n 0 ) v = 黑+ 义 k + . + 黑 一 ，k - ( 4 .3 1 ) 其中 系 数 9 ( i = 0 , .二 ， n 一 1 ) 由 下 述 递 推 关 系 确 定 s o1 = 2 s c 碟， 一 雄2 9 = 2 s ( c 9 , - , + 玛 一 洲 二 1- 1 - ,9 1i-_ , ) 一 9 ; - 2 1 = 1 , . ., j 一 3 , j 2 - 9 1 - ， 一 2 s ( c 咐 + w ， 一 ， 州 )( 4 .3 2 ) j 1_ ， 一 2 s w 1_,叮 初 值砰= 1 , 男= 2 s c , 裂一 2 s w , ( 2 ) ( 4 . 1 8 ) 的 特解/ 。 是一个n 一 2 次多 项式 ( n 1 ) y= s 0 + s k + . + 5 - 2 k - z ( 4 .3 3 ) 其中系数8 n ( i = 0 , . . ., n 一 2 ) 由 下述递推关系式确定 裂= 2 s c 斗， 一 s 0, _ z ,5 , 一 2 s ( c 8 - , + w j ) 一 s j _ z ,5 j - = 2 s ( c s ,_ , + w , _ ,5 厂)( 4 .3 4 ) 8 i ， 一 2 s w ，一，招 i =1 , . . . , j 一 4 , j 3 初 值 时= 1 , 5 罗 = 2 s c , 司= 2 s w z 差 分 v + i 一 c s v 。 是n 次 多 项式 ( n 0 ) v . ， 一 c s v = y + y k +二 + r 刃 k ”( 4 .3 5 )r n k 其中 系数y ( i = 0 , . . . , n ) 由 下式确定 y 二 = 19 - 、 一 c s ,4 , i = 0 , . . . , n 一 1 y 厂 = 黑、( 4 . 3 6 ) 根据该引理， 可得到l a p l a c e 变换m ( k ) 的一个关于k 的多项式. 定理 4 . 1 0 现 值 摘 : 的l a p la c e 变 换 为 m ( k ) = e f e 一 k r ia i x ( 0 ) = u c _ i 1 la.i ” 戈 y rt 十 / n k + + y n k 夕 x e x pf( zs ) 2 s l o n + o ;, k +. + ,9 n - k “ 一 ) j“ 一 “、 “:一“”一 1 y 另 + y 土 k + . . . + y n k nn ( 4 37 其中由m ( 0 ) = 1 确定 ， 凡 ， 代 ， 民由 引 理4 .9 确定 . 为 得 到瑞 * 的l a p l a c e 变 换 的 反 演 式 ，将 ( 4 .3 7 ) 式 中 的 差 分 多 项 式 进 行分解， 可得 定理 4 . 1 1 现 值 哈 * 的l a p l a c e 变 换 可 写 成 m( k ) =e e 。 ，1 1 x