（应用数学专业论文）多模系统的纠缠条件.pdf

摘要 在量子信息和量子计算中连续变量系统引起越来越多的关注判 定连续变量系统的纠缠就变得尤为关键本文针对多模系统，提供了 一类判定纠缠的条件对两体可分和完全可分的系统，提出了一些必 要性条件；对完全可分的纠缠态提出了一些充分性判定条件 关键词：多模态，可分态，完全纠缠 a b s t r a c t w ep r o v i d eac l a s so fi n e q u a l i t i e sf o rd e t e c t i n ge n t a n g l e m e n t si n m u l t i - m o d es y s t e m s n e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rf u l l ys e p a r a b l e ，b i s e p a r a b l e a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rf u l l ye n t a n g l e ds t a t e sa x ee x p l i c i t l y p r e - s e n t e d k e yw o r d s ：m u l t i - m o d es t a t e ，s e p a r a b l es t a t e ，f u l le n t a n g l e m e n t 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：否宗闺 日期：2 p 1 年月，口日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 学位论文作者签名：銮索l 习 日期：1 d 口7 年多月，口日 1引言 量子态具有非经典的量子纠缠现象，使量子信息能够实现经典信 息不可能实现的新功能，如已经发现的量子隐形传态【1 】，量子密钥【2 j ， 量子编码f 3 l 和量子并行计算f 4 】等但是纠缠态的物理特征和数学结构 不太容易被理解，因此判断一个态是否可分( 或者非纠缠的) 是非常重要 的问题纠缠是一种有用的信息资源，可以说，量子信息研究的目的在 很大程度上就是开发和利用量子纠缠这一新的信息物理资源因此对 量子纠缠的深入研究无论是对量子信息的基本理论还是未来潜在的实 际应用都具有十分重要的意义 量子纠缠最早是e i n s t e i n ，p o d o l s k y , r o s e n ( e p r ) 和s c h r o d i n g e r 在1 9 3 5 年提出的，而解决e p r 问题的一个突破性进步是b e l l 在1 9 6 4 年 做出的他以不等式( b e l l 不等式) 的形式证明了局域性限制自旋关联的 预测关于纯态的可分性问题已经得到解决，对于混合态有着各种各样 的判据，这些判据有可操作的必要性判据，如p p t 判据，约化判据，重排 判据等，还有不可操作的充要判据，如正映射判据等但是这些判据还 没有最终彻底解决一般态的可分性问题，因此这个问题有待于迸一步的 研究 这些研究都是基于有限维的系统，即每一个子系统的维数是有 限的但近年来，无限维的系统( 连续变量系统) 越来越受到关注尤 其是连续变量系统的一种特殊情况g a u s s i a n 态激起了大家极大的兴 趣f 8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 撮近，利用完全对称的三模g a u s s i a n 态成 功地演示了量子隐形传态f 1 6 】现在有很多人致力于研究连续变量系统 的纠缠【1 7 ，9 ，1 8 ，2 0 ，1 1 ，1 2 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，1 4 ，1 5 ，2 5 ，1 0 1 所以对于应 用于量子信息处理和量子计算的连续变量系统，判定其纠缠就显得尤 为重要，这正是源于我们要制定实际的通信协议的需要 在这方面已经取得了一些进展，提出了一些不等式判定条件f 2 l ， 2 2 ，2 3 ，1 8 ，2 0 ，17 1 在f 2 1 1 中，h i l l e r y 和z u b a i r y 提出了判定两模系统纠 缠的条件利用各个模的湮灭算子来定义一些新的算子，推导出可 分的系统所满足的条件，从而得出判定纠缠的充分性条件这些判 定条件是由算子的方差构成的不等式，方差的值原则上是可以在标 准h o m o d y n e 关联试验中测量的【2 6 】 本文研究的是连续变量的多模系统【19 】，得出一类判定纠缠的不等 式以及判定完全纠缠的条件同样这些量和不等式的值原则上也可以 测量的 2 2 1 态空间 2基本概念和基本知识 量子力学系统中态由h i l b e r t 空间中的矢量描写，称表示量子态的 矢量为态矢量h i l b e r t 空间就是态矢量张起的空间，在量子力学中称为 态空间严格说来，量子力学中的态空间是扩充了的h i l b e r t 空间，因为 在量子力学中除去包括有限矢量外，还包括长度无限的矢量，而这些矢 量在数学h i l b e r t 空间中是没有的 由于量子态从数学上讲可以用h i l b e r t 空问的复矢量表示d i r a c 【5 1 引用一个称为右矢( k e tv e c t o r ) 的符号表示态矢量：l 矽) 妒是表征具体 态矢的特征量或符号，1 ) 表示这是一个向量d i r a c 还引进符号( 1 称为 左矢( b r av e c t o r ) 左矢( 妒l 是矢量j 妒) 的共轭向量引进共轭向量后，态 矢空间两矢量i 妒1 ) ，i 忱) 的内积记为( 妒l l 忱) 量子态的内积满足下面的 性质f 6 】： ( 1 ) 线性的 ( 妒i = 妒 ii ( 2 ) ( 矽l l 忱) 一( 忱i 妒1 ) ) ( 3 ) ( 妒i 妒) o 等号成立当且仅当l 砂) = 0 ( 4 ) i i i g ) l l 三俪 最简单的量子力学系统为一个量子位即二维h i l b e r t 空间记二 维h i l b e r t 空问的两个互相独立的态分别为l o ) 和1 1 ) 一个量子位可以处 在叠加态 l 妒) = 8 1 0 ) + 纠1 ) 中其中n 和6 是的复数条件i 砂) 是一个单位向量，( 妒i 妒) = l ，等价于i n l 2 + l b l 2 = 1 ，渺i 妒) = 1 称作态矢量的归一化条件 3 2 2 张量积 张量积就是把若干个向量空间放在一起成为一个更大的空间这 种构造对于理解多体量子系统是非常重要的【6 1 设y 和w 分别是m 和竹维的态空间，为方便起见可以假定y 和 是h i l b e r t 空问，则y0 是一个m n 维的态空间yow 的元素 是y 中的向量i t ，) 与彤中的向量i ) 的张量积i v ) c d l w ) 的线性组合特别 地，若i t ) 和j j ) 分别是态空间y 和的正交基，那么l i ) o l j ) 是v o w 的 正交基我们可以将张量积 ) 圆l w ) 简记作l t ，) l 砌) ，h 叫) 或者i v w ) 例 如，若矿是基y g l o ) 和1 1 ) 的二维向量空间，则i o ) 1 0 ) + 1 1 ) 0 1 1 ) y 矿 由定义张量积满足下列基本性质： a b = i a i l ba 1 2 b a l n b i 4 例如，向量( 1 ，2 ) t 与向量( 2 ，3 ) r 的张量积为 ( ：) ( ：) 引 矩阵x = ( ：) 与矩阵y ；( ：言) 的张量积为 一( ：。1 y y ) 2 3 密度矩阵 密度算子为描述不完全确定的态的量子系统提供了更为简单的方 法f 6 1 密度算子也经常称作密度矩阵 一个算子p 是相应于某个系统( 鼽，i 咖) ) 的密度算子当且仅当它满 足下列条件【6 】： ( 1 ) ( 迹条件) n ( p ) = 1 ； ( 2 ) ( 正条件) p 是一个正算子 密度矩阵有一些简单的性质： ( 1 ) 幺正不变性：若p 是密度矩阵，n u p u t 仍是密度矩阵，其中u 是 幺正矩阵 ( 2 ) 凸性：若p 1 ，化是密度矩阵，则a p l + ( 1 一a ) 龙仍是密度矩阵 0 入1 ( 3 ) 转置不变性：密度矩阵的转置仍是密度矩阵 ( 4 ) 张量积不变性：两个密度矩阵的张量积仍是密度矩阵 5 、 ，叶o 0 0 o t o 0 o 0；-o o o 0 1 ，f 聋 2 4 纯态和混合态 有了密度算子的定义，可以给出纯态与混合态的一个更明确的刻 画下面两个定义是等价的 定义1 对密度矩阵p ，若t r ( p ) = l ，则称p 是纯态；若t r ( p ) 0 ，所以有 i f 砂i 妒) 1 2 ( 砂l 砂) ( i ) 8 口 3 三模态的纠缠条件 3 1 三模态的b i p a r t i t e 坌q 缠条件 我们考虑一个三模的谐振子，由此推导出的判别条件同样适 用于辐射模，离子阱的m o t i o n a l 态和相关的系统设a ，6 和c 分别是第 一个，第二个和第三个模的湮灭算子令l 1 = a b c t + a t b t cr l 2 一 i ( a b c t a t b t c ) 我们有 陋l ，l 2 】。i a t b t c ，n 甜】一 a b e t ，b 6 tc j = 2 i a i b t c ，口6 c t 】 = 2 t p ，a b c t b t c + a t b t c ，a b c t 一2 i a t ，a b c t b t c + a t b t e ，a b c t 】+ a t f 6 t ，a b c t c = 2 i - b b t c t c + a t b t a b 一0 a o e 、 = 2 i g o n b 一c 一( 盹+ 1 ) c ) 一2 i n a n b 一c 一肌c 一c ) ，( 1 ) 和 ( a l d 2 + ( l 2 ) 2 = ( 留) 一l d 2 + ( l 2 2 ) 一( l 2 ) 2 = ( ( a b c t + a t b t c ) 2 一( a b c f + a t b t c ) 2 ) - ( ( a b c t a t b t c ) 2 一( a b c t a t b t c ) 2 ) = ( 2 a b c t a t b t c + 2 a t b t c a b c t ) 一4 ( a b c t ) ( a t b t c ) = 2 1 ( n + 1 ) ( 甄+ 1 ) 辑+ n n b ( n 。+ 1 ) ) 一4 l ( 8 耐) ； = 4 ( n a n b n c ) 一4l ( 口甜) l 。 + 2 ( g o g b ) + ( 6 c ) + ( c ) + ( c ) ) ( 2 ) 这里的4 = a 乜，6 = b t b 并d n c = c t c 如果个纯态是a b f c 部分可 分的，我们有 ( a l l ) 2 + ( l 2 ) 2 = 4 ( n 。) 一4 1 。b ) ( c t ) 1 2 + 2 ( ( 口6 ) + ( 6 也) + ( 肌) + ( c ) ) ( 3 ) 9 对任意的态i 皿) ，利用s c 不等式，有i ( 口) 1 2 = i ( 皿i n l 皿) 1 2 l ( 驯| 2 1 l 皿) 1 2 = 伸i n t i ) 一( r n ) ，i ( 0 6 ) 1 2 ( j 6 ) 对于一个a b l c 可分的 纯态，我们可以得到 ( a l l ) 2 + ( a l 2 ) 2 2 ( ( 帆6 ) + ( m c ) + ( 8 c ) + ( c ) ) ( 4 ) l e m m a1 对予任意的密度矩阵 =fpkpk，01p p k p k o p k， 。乙 ，s， 七 e p i = 1 ， ( 5 ) 和变量算符s 。有 ( a s ) 2 p k ( a s k ) 2( 6 ) 七 利用凸性可以很容易地证明这个引理由这个引理，我们可以得出这 样一个结论：不等式( 4 ) 对任意的i 星金a b l c 可分态都是成立的 另一方面由l 1 和a l 2 的不确定性关系可以得到 ( a l l ) 2 + ( a l 2 ) 2 2 a l x a l 2 l ( 【l 1 ，三2 】) i = 2 1 ( c ) 一( c ) 一( n c ) 一( c ) 1 ( 7 ) 这个不等式对于任意的态都是成立的，而不等式( 4 ) 只是对于任意 的a b c 可分态才成立把他们比较一下，我们就会发现( 7 ) 式右面的部 分总是不大于( 4 ) 右面的的部分所以可能会有一些态违背( 4 ) 式，但满 足( 7 ) 式我们有如下定理 t h e o r e m2 对于态p 如果下面这个不等式成立l ( a l l ) 2 + ( a l 2 ) 2 2 ( ( n n b ) + ( 6 c ) + ( c ) + ( c ) ) ， 那么这个态是a b i c 纠缠的 例如对一个态i 皿) = ( i o ) 。1 0 ) b 1 1 ) 。+ i o ) 。1 1 ) b o ) 。+ 1 1 ) 。 0 ) b l a ) 。+ 1 1 ) 。1 1 ) b l o ) 。) 2 ， 我们有 ( l 1 ) 2 + ( a l 2 ) 2 ：2 ( 1 2 ) 利用凸性，可以得 ( a b c ) l s ( p k ( a a b s ) k ( c c ) ) 1 廖 七 一( p k ( a a b b c c ) ) 1 2 k = ( a t a b t b c t c ) m ，( 1 3 ) 这说明不等式( 1 1 ) 确实是对所有的a b i c 可分态都是成立的证明 毕口 类比于l 1 和l 2 ，我们可以得到以下的定理： t h e o r e m5 对一个态p 如果满足下萄任意一式 ( ) 2 + ( a 9 2 ) 2 ( ( 口t ) ”o “( 6 t ) ”6 n ( c t ) 。c f ) ，( 1 5 ) 其中以= a b t c t + a t b c ，j 2 = ( 一a b t c t + a t b e ) ，仇，n 和z 是正整数，那么 这个态p 是关于a 部分和b c 部分纠缠的， 运用证明定理2 和4 的方法，这个定理的很容易证明 同样地，我们也可以得到以下的定理来判定b 部分和a c 部分的纠 缠 t h e o r e m6 对一个态o 如果满足下面任意一式。 ( a k l ) 2 + ( a k 2 ) 2 ( ( 口t ) ”a ”( 6 + ) ”6 “( c ) 。c f )( 1 7 ) 其中k l = a b t c + a t b c ta n dk 2 = i ( a b t c a t b c t ) 。m n 和t 是正整数， 那么这个态b i a c 纠缠的 实际上，还有另外的一类不等式可以用来判定两部分的纠缠有 以下定理 1 2 t h e o r e m 对一个态p 如果l ( o m 6 n d ) l 【( ( 口) m 口m ) ( ( 6 尸b n ( c ) 。c f ) 】1 2 ，那么这个态是a l b c 绷缠的2 如果i ( n m 6 n ，) i 【( ( 6 t ) n 酽) ( ( 。) m 口m ( c t ) 2 一) 】1 穆，那么这个态是b l a c 纠缠的； 如果i ( 。m b n d ) l 【( ( n ) m 口m ( 6 ) n b n ) ( ( c t ) t c t ) 1 2 ，那么这个态是a b i c 纠缠的 证明：我们证明第一种，即判定a i b c 纠缠的条件，其他的证明与之 类似对于a l b c 可分纯态，t h s c h w a r z 不等式，我们可以得到下式 i ( a m 矿一) l 冬附) ”扩) ( 6 t ) ”扩( c t ) 州7 2 ( 1 8 ) 令a 一扩，b = b n 和c = c f 对于a 1 8 c 可分的混合态，p 一 k p k p k ，其中m 是对应于a i b e 可分纯态，m 是系统处于舰的概率，我 们有 i ( a b c ) 1 2 = l p k t r ( p k a b c ) 1 2 s ( p k l t r ( p k a b c ) 1 ) 2 = p i p i ( a ) i ( b c ) i i ( c b + ) j ( a t b l p i p j ( ( a a ) i ( b b c 慨( b b c c b ( a + a b ) 1 力，( 1 9 ) 韬 设( a t a ) i = x i ，, t 1 ( b t b g t c ) i = y i ，不等式( 1 9 ) 可以表示为 i ( a s c ) 1 2 p 2 x k y a + 2 p i 乃( 耽叭巧协) 1 2 ( 2 0 ) k i j 而 a t a ) ( b b c t c ) 又可以表示为 ( a t a ) ( b + b c f c ) = p 2 z 鲰+ 鼽乃( 翰蚴+ x j y i ) ( 2 1 ) k f j 1 3 由于翰鲫+ 巧耽之2 ( 甄执勺聊) 1 2 ，从( 2 0 ) 和( 2 1 ) 我们可以看出，不等 式( 1 8 ) 是对于所有的a i b c 两部分可分态都是成立的因此如果一个 态不满足这个不等式( 1 8 ) ，那么这个态一定是关于a 部分b c 部分纠缠 的口 对于m = 几= f = 1 ，系统处于a i b c 可分态的情形，公式( 1 8 ) 变成 i ( 0 6 c ) 1 2 ( n ) ( n b n c ) ( 2 2 ) 而对于任意的的一个态，总有l ( o 蚴1 2 【( j + 1 ) ( n b n c ) 因此可能会 存在一些a i b c $ q 缠态不满足不等式( 2 2 ) 3 2 三模完全纠缠态 根据前面的2 5 节的定义，一个三模的态是完全纠缠态当且仅 当这个态既不能写成舶o p b o p c 或女以9 以圆藤的形式，也不能 写成p a 圆p b c ，p a cop b ，p c p a b 或混合的形式我们的主要的定理 如下： t h e o r e m8 对予一个态p ，如果他满足f 式 ( k ( 咖) ) 2 i ，( 2 3 ) 其中k ( ) = e i 咖a t b l c i + e - i c a b c ，咖【0 ，2 州，那么这个态是完全纠缠 态 证明： ( ( ) ) 2 = e 2 i 毋( ( a l b ? c t 一( a t b t c t ) ) 2 ) + e - 2 i 咖( ( a b c 一o k ) ) 2 ) + ( ( a t b t c t 一( a t b t c t ) ) ( a b c 一( 0 6 c ) ) ) + ( ( n 6 c 一( a b c ) ) ( a t b t c t 一( a t b t c t ) ) ) ( 2 4 ) 因为e 瓤咖( ( a t b t c t 一( a t b t c t ) ) 2 ) + e - 2 i 毋( ( a b c 一( a b c ) ) 2 ) 是实的，利 用s c h w a r z 不等式 l ( ( 0 6 c 一( a b 4 ) 2 ) l( 2 5 ) f ( ( a b c 一( a b c ) ) ( a t b t c t 一( a t b t c t ) ) ) ( ( a t b t c t 一( a t b t c t ) ) ( a b c 一( n 6 c ) ) ) 】1 2 ， 1 4 我们可以得到 ( k ( ) ) 2 2 一i ( a t b t c t 一( a t b t e t ) ) 2 ) 一l ( 8 6 c 一a t e ) ) 2 ) l + ( ( a t b t c t 一( a t b t c t ) ) ( a t ) c 一( o 蚴) ) + ( n 6 c 一( a b c ) ) ( a t b t c t 一( a t b t c t ) ) ) 一2 f ( ( n 6 c 一a b c ) ) ( a t b t c t 一( a t b t c t ) ) ) ( ( a t b t c t 一a t b t c t ) ) ( a b c 一( a b c ) ) ) 】l 2 + ( ( a t b t c t 一( a t b t c t ) ) ( a b c 一( 0 6 c ) ) ) + ( ( 0 6 c 一( o 嘲) ( a t b t e t 一( a t b t c t ) ) ) = f ( ( ( + 1 ) ( n b + 1 ) ( c + 1 ) ) 一i ( 口埘f 2 ) 1 2 一( ( 他6 c ) 一i ( n 6 c ) 1 2 ) 1 2 1 2 不等式( 2 6 ) 对所有的态都是成立的 下，不等式( 2 6 ) 变成 ( 2 6 ) 当态是一个完全可分的特殊情形 ( k ( 妒) ) 22 【( ( d + 1 ) 【( ：) ( 6 ) ( c ) 】1 2 然而对于一个a f b c 可 1 7 分纯态，i ( o 蚴i = | ( o ) ( 蚴i 这个式子是同不等式( 3 6 ) ，i ( n ) ( 蚴1 2s ( j ) 6 ) ( 七) ，相矛盾的证毕 口 我们也可以把这些不等式推广到更一般的形式 c o r o l l a r y1 0 如果一个纯态态同时满足一f 列各式 a m 6 n d ) l ( ( 。) 7 n 。，”) ( ( 6 ) ”6 ”) ( ( c ) c ! ) 1 7 2 ， ( n ”b ”) ( c 2 ) 1 2 ( ( o t ) m 8 ”) ( ( 6 t ) ”扩) ( ( c t ) c f ) ， l o ”) 铲c f ) 1 2 ( ( n t ) ”8 m ) ( 6 t 尸酽) ( ( c t ) 2 ) ， l ( a l m ) ( 6 ”) 1 2s ( ( n t ) ”n ”) ( ( c t ) 2 ) ( ( 6 t ) 竹b ”) ， 其中m n 和l 是正整数，那么这个态就是完全纠缠的 我们考虑这样一个态 i 妒) = 二( a ，p ，7 ) ( i o ，p ，一y ) 一l q ，一p ，一，y ) ) ， 其中归一化因子 儿= 2 ( 1 _ e - 2 ( 朴俐2 坩) - l 胆， l o ，卢，7 ) 是相干态当系统处在在这个态下，有 ( 3 9 ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) = l 虿币_ 二；j i i ：南( 口( 。，p ，y l + a + 一q ，一p ，一7 1 ) ( 妒，y l a ，夕，7 ) + 伊7 i q ，一芦，一1 ) ) l = l 娣等箫l 。i 玎i 孑丽而研雨丽一l = l n p 2 7 ie o t h ( 1 a 1 2 + i p l 2 + h 1 2 )( 4 5 ) 1 8 和 f ( n t n b t b t b b e t c ) ) l 2 7 ( q 矿p ，y a ：p ，y 一q 声+ 筘，y 一o ，一p ，一? 1 ) 2 l 可f 孑洇瓣和丽厂一 ( q 卢z 7 i a ，p ，1 ) 一n 伊，y i q ，一卢，一7 ) ) ) 1 7 2 ，2 i d l 2 i p l 4 i ，y 1 2 ( 1 一e 一2 ( f n l 2 + l 纠2 + 1 7 1 2 ) 、1 7 2 2 可= 再砰硒丽下一7 。i a l l z l 2 1 v 1 ( 4 6 ) 对所有的非零参数，等式( 4 6 ) 明显小于等式( 4 5 ) 因此根据不等式( 1 5 ) ， 这个态是a i b e 纠缠的同样易证在这个态下1 0 2 b t c l 2 ( a t a t a a n b n c ) ， a 2 b c t l 2 ( g n b e t c t c c 所以根据不等式( 1 7 ) 和不等式( 1 1 ) ，我们可以 得出结论这个态还是a b i c 和b i a c 纠缠的：这个态是完全纠缠的 1 9 4m u l t i m o d e 态 上述应用于三模态的方法同样可以应用推广j ! l j n - m o d e 态考虑一 个n 模的态，其各个模的湮灭算子分别是8 l ，8 2 ，若一个态，是关 于m 个模和m m ) 个模，可得 i ( a l a 2 n 。袁+ 1 n ) 1 2 ( l 2 ) ，( 4 7 ) l ( 口1 0 2 a m a i n + l n n ) i ( 1 2 m ) ( + l 从) ( 4 8 ) 因此如果态不满足( 4 7 ) 或( 4 8 ) ，那么这个态是关于m 个模和( n m ) 个模 纠缠的对于一般的m l 一m ) 可分态，同样可得 l n o n 纫( a d t - ) 1 2s ( ( n i ) 。t 口 ( n 1 ) 。n ( o 袅) l 饥。钫) ，( 4 9 ) ( o n o 鲁) 1 2 ( ( o ) o ( n 妒o ( o 袅) k n 囊) ( ( o 毛+ 1 ) 。m + 1 。j 。m + + l l ( a d 。m n 纫) ( 5 0 ) 令k ( ) = e i c a l n 2 o 。+ e - i 妒a a t 2 ，对于一个完全可分的态，可 得 ( k ( ) ) 2 1 ( 5 1 ) 与( 3 2 ) 相似，不等式( 5 1 ) 对于任意的态都是成立的因此如果态不满足 不等式( 5 1 ) ，那么这个m u l t i m o d e 态一定是完全纠缠的 5结论 连续变量系统的在量子信息处理和量子计算中的应用越来越广， 判定其是否纠缠是具有实际的价值的，尤其是完全纠缠的状态因为 在一些实际应用的情形中，比如隐形传态实验，我们首先需要判断这 个态是否是完全纠缠本文研究了多个模的系统，提供了一族不等式 条件来判定其是否是纠缠，以及是否是完全纠缠原则上这些不等式 条件提供了用实验测量的方法来判定纠缠在第三节中的定理4 7 的结果具有简单的形式并且很容易应用这些结果同i 2 2 ，1 7 ，2 3 1 中的 结果是一致的，他们是利用【2 2 ，2 3 1 中的部分转置( n p t ) 正定性的方法 得到的但是本文中的定理8 - 9 可以判定完全纠缠的情形，且其量值在 实验上是可以测量的对于高斯态已经有很好的结果f l l ，1 2 ，1 5 ，1 4 1 本文中的定理8 9 是对从一般态得出的结论，所以它们能用来判定那些 非高斯态的纠缠 2 1 参考文献 【1 】1c h b e n n e t t ，g b r a s s a r d ，c c r 6 p e a u ，r j o z s a ，a p e r e sa n d w k w o o t t e r s ，p h y s r e v l e t t 7 0 ，1 8 9 5 ( 1 9 9 3 ) 【2 】c a f u c h s ，n g i s i n ，r b g r i f f i t h s ，c s n i ua n da p e r e s ，p a y s r e v a5 6 ，1 1 6 3 ( 1 9 9 7 ) 【3 1 3 c h b e n n e t ta n ds j w i e s n e r ，p h y s r e v l e t t 6 9 ，2 8 8 1 ( 1 9 9 2 ) 【4 1d 。p d i v i n c e n z o ，s c i e n c e2 7 0 ，2 5 5 ( 1 9 9 5 ) 【5 】d i r a cp a t h ep r i n c i p l e so fq u a n t u mm i c h a n i c s 陈咸亨译量子 力学原理北京：科学出版社，1 9 8 4 f 6 】m a n i e l s e na n d1 l c h u a n g ，q u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n - t u r ni n f o r m a t i o n ( c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，2 0 0 0 ) 7 】r f w e r n e r ，p h y s r e v a4 0 ，4 2 7 7 ( 1 9 8 9 ) 【8 】m m w o l f , g g i e d k e ，j i c i r a c ，p h y s r e v l e t t 9 6 ， 0 8 0 5 0 2 ( 2 0 0 6 ) 9 】9g g i e d k e ，b k r a u s ，m l e w e n s t e i na n dj i c i r a c ，p h y s r e v l e t t 8 7 ，1 6 7 9 0 4 ( 2 0 0 1 ) 加】p h y l l u s ，a n dj e i s e r t ，n e wj p a y s 8 ，5 1 ( 2 0 0 6 ) 【1 1 】r s i m o n ，p a y s r e v l e t t 8 4 ，2 7 2 6 ( 2 0 0 0 ) 【12 】l m d u a n ，g g i e d k e ，j i c i r a c ，p z o l l e r ，p h y s r e v l e t t 8 4 ， 2 7 2 2 ( 2 0 0 0 ) 【1 3 】g g i e d k e ，b k r a u s ，m l e w e n s t e i na n dj i c i r a cp h y s r e v a 6 4 ，0 5 2 3 0 3 ( 2 0 0 1 ) 【1 4 】a f e r r a r o ，s o l i v a r e s ，m g a p a r i s ，n a p o l is e r i e so np h y s i c s a n da s t r o p h y s i c s ( b i b l i o p o l i s ，n a p o l i ，2 0 0 5 ) ，q u a n t p h 0 5 0 3 2 3 7 2 2 【1 5 1a s e r a f i n i ，p a y s r e v l e t t 9 6 ，1 1 0 4 0 2 ( 2 0 0 6 ) 【1 6 h