（应用数学专业论文）一种求解强非线性振动系统解的转迁集表达式的方法.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文对1 9 8 6 年z d b u r t o n 提出的改进的多尺度法进行进一步的修改在他的 文章中，所设的新参数必须是在用其他方法得到系统解的基础上得出的：而本文 则无须先知系统解就可以写出新参数，并经验证是可行的进而结合l p 方法，研 究了参数激励和强迫激励联合作用的强非线性系统，并推广到承受二个强迫力的 情形，得到其分叉转迁集，从理论上分析了其不稳定性，并作出图形进行分析 全文具体内容如下： 一介绍了一般力学的发展状况和研究的若干重要课题，通过阅读国内外对 非线性系统研究的文献资料，列出了其近期的研究进展，并介绍了本文全文概况： 二 具体介绍了动力系统的概念：涉及到动力系统的发展，动力系统的不同 类型及性质还阐述了分叉的一些内容：举例说明典型的分叉类型，用奇异性理论 讨论分叉 三修改了t d b u r t o n 的多尺度法，无须依赖于用其他方法来得到所讨论问 题的解，从而更具有广泛的适用性，并验证是可行的结合l p 方法，将其用于参数 激励和强迫激励系统，分析该系统的转迁集特性，从理论上分析了其不稳定性；进 而研究承受二个强迫力系统，讨论了概周期解失稳、对称破缺分叉、组合倍化分 又情形，从理论上分析了其不稳定性，并画出图形进行分析讨论 四展望：1 在第三章的计算中只将结果近似到一阶，有待进一步精确其解： 2 所设新参数不是对所有情况都适用，还有其局限性 关键词：多尺度法，l p 方法，强非线性，参数激励，强迫激励，分叉，转迁集 = 整鲞鳖堡韭垡壁薹塑丕壅竖鲮整适星菱姿盛塑查鎏 a b s t r a c t h e r eaf q 1 r t h e rm o d i f i e dm e t h o d o f m u l t i p l es c a l e si sd e v e l o p e d t h ed i f f e r e n c e o f t h en e wm e t h o d sw i t ht d b u r t o n si st h a ti td e f i n e san e w p a r a m e t e rw i t c hi sn o t t ou s ek n o w nr e s u l t sf r o mo t h e rm e t h o d st o g u i d e i nt h es e l e c t i o no ft h en e w e x p a n s i o np a r a m e t e r , m o r e o v e r , t h er e s u l tw i t h t b i sm e t h o di si ng o o d a 舒e e m e n t w i t h t d b u r t o n s t h e n t h i sp a p e ru s e si tw i t lt h el pm e t h o df o rt h ea n a l y s i so ft h e t r a n s i t i o nb o u n d a r i e so fac l a s so fs t r o n g l yn o n l i n e a r s y s t e m su n d e rc o m b i n e d p a r a m e t r i ca n df o r c m ge x c i t a t i o n ；a l s o ，t h et r a n s i t i o nb o u n d a r i e so fs t r o n g l yn o n l i n e a r s y s t e m su n d e rc o m b i n e dp a r a m e t r i cb u tt w of o r c i n ge x c i t a t i o na r es t u d i e d a tl a s t ，t h e s t e a d ys t a t eo f t h es y s t e mi ss t u d i e dm o r e c o n c r e t e l ya n de a s y l i e rf r o m t h ep i c t u r e so f t h et r a n s i t i o nb o u n d a r i e s t h er e s e a r e ha c h i e v e m e n t sa n dm a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： i t h ed e v e l o p m e n to f g e n e r a l m e c h a n i c sa n dn o n l i n e a rs y s t e m s ； 2 a ni n t r o d u c eo fd y n a m i c a l s y s t e m s ；m o r e o v e r , l e t s h a v ea n i m p r e s s i o no nt h e b i f u r c a t i o nw i t he x a m p l e s ； 3 af u r t h e rm o d i f i e dm e t h o do f m u l t i p l es c a l e si sd e v e l o p e d t h e n ，t h i sp a p e ru s e si t w i t ht h el pm e t h o df o rt h ea n a l y s i so ft h et r a n s i t i o nb o u n d a r i e so fac l a s so f s t r o n g l yn o n l i n e a rs y s t e m su n d e rc o m b i n e dp a r a m e t r i ca n df o r c i n ge x c i t a t i o n ；a l s o t h et r a n s i t i o nb o t m d a r i e so fs t r o n g l yn o n l i n e a rs y s t e m su n d e rc o m b i n e dp a r a m e m c b u tt w o f o r c i n ge x c i t a t i o n a r es t u d i e d k e y w o r d s ：t h em e t h o d o f m u l t i p l es c a l e s ，t h el _ pm e t h o d ，s l x o n g l yn o n l i n e a r ， p a r a m e t r i ca n df o r c i n ge x c i t a t i o n ，b i f u r c a t i o n ，t h et r a n s i t i o nb o u n d a r i e s i i 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的 研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出 贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文被 查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名：j 垫j 出堡 日 期：避三：丝 南京航空兢天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 一般力学在近代科学技术发展中所处的地位乜1 国际上，近代一般力学的主要研究概括为“动力学、振动与控制”这是当前国 际科技界非常活跃的研究领域之一非线性力学中的分叉、混沌、突变和孤立子 等问题也属于其研究范畴 学科发展的动力，一是由于学科自身发展规律的推动，二是由于工程实际和 科学技术发展需求的牵引在这两方面推动下，近代一般力学正面临着一个蓬勃 发展的时期，呈现出旺盛的生命力。应该看到，在国际上，这门科学当前正处于活跃 的科学技术发展的前沿 以一般力学的基础分析力学而言，纵然经典分析力学从1 9 世纪以来已 发展得如此完美，在科学技术中曾发挥过如此重大作用，然而近四十年来，分析力 学的研究和发展已发生了根本的变化促进这种变化的主要原因有两个，一是微 分几何的进步，用以得到更几何化、更本质化的观点；另一个因素是大范围分析即 流形上分析的近代发展，使得近代分析力学又焕发着生命力 非线性动力学是近三四十年来取得突破性发展的一个极为活跃的领域，在1 9 世纪末p o i n c a r 6 首先从几何和拓扑学观点对天体力学问题进行定性研究他的工 作和思想对非线性动力学的发展有着深远的影响上世纪6 0 年代以来，随着近代 科学技术的迅速发展，许多非线性力学问题急需解决，又由于大型高速电子计算 机和有效的求解大规模问题算法的出现，使得人们能够对非线性问题进行大量的 数值计算和仿真，揭示了极其丰富的非线性动力学现象确定性非线性动力学系 统的混沌运动的发现，使人们对非线性动力学系统的长期演化行为的认识进入到 一个前所未知的世界，它表明，经典力学体系的动力学具有异常丰富的内涵，而混 沌的研究把经典力学体系的动力学推进到一个新阶段这一巨大的成就是关于动 力学理论具有基本意义的突破性进展它对自然科学和工程技术各种非线性领域 的研究具有启发性和方法论的普遍意义当今非线性动力学研究，无论从广度到 深度，都以空前的速度向前发展，成为近代一般力学的一门很重要的分支 运动稳定性是一般力学的重要分支，它是由l y a p u n o v 所奠基的其后由于控 制理论发展的推动，获得了极大的发展，现今其触角已深入到工程技术、自然科学 以及社会、经济、生态、管理诸多领域，它的理论和方法，可说己成为耗散结构论、 二登垄鲣堡韭堡丝堡塾丕堕壁笪整适塞垂垄基笪壹鎏 协同论、突变论等横断学科建模的基础l y a p u n o v 关于运动稳定性的奠基工作在 科学上如此重要以至于1 9 9 2 年国际控制杂志又全文翻译发表了他在1 0 0 前 发表的划时代的经典论文在力学和控制领域，它在下面几方面表现十分活跃：非 线性系统的稳定性的深入研究，由诸如刚体柔性体液体等组成的复杂系统，以及 由分散控制的子系统耦合组成的大系统的稳定性理论是当前十分活跃的课题不 确定系统的鲁棒稳定性问题更是当前活跃的课题 1 2 一般力学研究中的若干重要课题。” 非线性动力学已从经典的以摄动法、渐进分析的方法研究弱非线性、弱耦 合系统的阶段，进入到近代的更深入的研究系统的复杂行为阶段，中心问题是分 又和混沌 分叉不仅揭示了系统的不同运动状态之间的联系和转化，而且与失稳和混沌 密切相关是研究失稳与混沌产生的机理和条件的重要途径近年来国内外学者 进行了大量研究，提出了多种研究分叉的理论和方法，如奇异性方法、p o i n c a r 6 一b i r k h o f f 规范形方法、幂级数法、摄动法、次谐m e l n i k o v 函数法、后继函数 法和s h i l n i k o v 法等，还有其他多种方法近十年来受到研究者关注的课题有：多参 数分又问题高阶退化系统的高余维分叉问题，对称性破缺系统的分叉，向量场范 式理论，特别是退化范式理论等，都取得了重要的发展 混沌是上世纪重要的科学发现之一，近年来对它的研究十分活跃我国学者 在分叉和混动领域作出了许多有意义的工作，除了参加国外的学术活动，在国内 召开的几次国际和国内的非线性动力学会议上展示了大量成果总的说来，对混 沌运动的研究还正处在发展阶段，还未达到成熟的地步 当前在动力学、振动、稳定性与控制的研究中，由于研究的本质由局部扩展 到全局曲弱非线性扩展到强非线性，由小扰动扩展到有限扰动传统的理论方法 就显得不够了，而引入现代数学的成果和方法则是非常有必要的其中，应用群的 方法，拓扑与微分流形及其代数，几何与分析，动力系统理论等有着突出的重要性 1 3 利用近似方法求解非线性系统的近期发展状况 在此，主要研究二阶系统，对于一般的二阶系统可分为三类【4 1 ： ( 1 ) 弱非线性系统( 拟线性系统) ：微分方程的非线性项均为弱非线性项( 非线性 ， 南京航空航天大学硕士学位论文 项的前面有小参数乘积因子，ig i 1 ) ； ( 2 1 半强非线性系统：微分方程中同时存在强非线性项和弱非线性项，例如：拟 保守系统： ( 3 ) 完全强非线性系统：没有弱非线性项的系统 对于简谐激励无阻尼稳态响应的弱非线性系统( 即参数s 为小量时) ，许多 摄动法( 包括标准的l p 方法，多尺度法和平均法) 都将占作为幂级数展开参数 来解方程| 其它近似方法还有1 9 6 8 年a g e l b 和w v a n d e rv e l d e 提出的刻划函数 法( d e s c r i b i n g f u n c t i o nm e t h o d ) ，1 9 7 3 年w d 1 w a n 提出的等价线性化方法 ( e q u i v a l e n tl i n e a r i z a t i o n ) 和1 9 7 7 年d w j o r d a l l 和p s m i t h 书中所述的调和平均 法( t h em e t h o do f h a r m o n i cb a l a n c e ) 后三种方法对强弱非线性方程都适用，这些 方法的特点是解的形式是事先确定的( s p e c i f i e di na d v a n c e ) ，假使由非线性项所 引起的高调和输出系统的线性部分实质递减( s u b s t a n t i a l l ya t t e n u a t e d ) 的话，这些 方法效果就会很好其中平均法和多尺度法的主要优点是该方法能使我们较易检 验稳态解的局部稳定性1 9 6 7 年【5 l ，r t d a v i s 和k z a l f r i e n d 研究了弱非线性的 v a nd e r p o l 方程在c o c b x a n 和n a y f e h 应用近似方法求得其二阶近似解的基础上， 他们在极限环内求得了时间变量的四阶近似，与数值计算结果吻合良好】9 7 3 年 【6 j m b w e d d e n 研究了运动方程曼+ 西+ x + 9 3 = c o s o ) t ，其中c ，s 均为小量，文为 ，的微分他所用的是推广的调和平均法，即从原来设x = a c o s ( c o t + ) ，其中a ， 为可调节常数；变为设x = 口c o s n ，其中= c o t + 0 ，a 和口随t 变化从而得到系统 在小扰动下非稳态解的分析形式1 9 8 0 年，v e r o n i s 提出了一种改进的多尺度法该 方法将原来标准的多尺度法中只把自变量按小参数进行幂级数展开，转化为系统 中频率的平方与系统变量都以小参数进行幂级数展开来研究弱非线性系统 1 9 8 2 年i _ 1 ，b u r t o n 利用新方法来研究含有一小参数的二阶自治微分方程的极限环 行为不同于以往的近似方法，该方法不是将变量按小参数进行幂级数展开，而是 寻找一新的独立变量，使系统在其取值范围内为一简谐运动，运用时间变换产生 极限环相空间振幅和周期他将该方法运用于v a nd e rp o l 方程及在小运动范围内 渐进不稳定的修改的v a n d e r p o l 方程 接着许多研究者又关注于强迫振动系统，而利用小参数摄动法来研究它是不 顺从的( n o ta m e n a b l e ) 1 9 8 0 年u e d a 考虑了基本非线性强迫激励d u f f m g 系统， 发现在模型参数的一定范围内有一周期稳态解1 9 7 9 年b a h u b e r m a n 和 = 壁鲞壁塑j e 垡壁堡麴丕缝坚笪蕉适基鲞鲨基笪直鎏 j p c m t c h f i e l d 得到了类似的结果1 9 7 9 年f c m o o n 和p j h o l m e s 1 9 8 4 年 e d o w e l l ，1 9 8 5 年p h p l a u t 和j c h s i e h 均研究了含两个平衡点围着一个不稳定点 的强迫振动，1 9 9 0 年【8 】，k y a g a s a k i ，m s a k a t ak k i m u r a 研究了参数激励和外激励 联合作用的单自由度系统i + 品+ ( 1 + 万c o s v t ) x + 积3 = 7 c o s 卯t ( 其中量是对时间 r 的微分阻尼系数j 、非线性项系数i f - 、参数和外激励振幅万，尹均为小量) 的动 力学特性运用平均法证明了不变环面的存在性，并分析了其稳定性又运用 m e l n i k o v 方法分析平均方程得知，该系统可能存在导致混沌的横截同宿轨道数 值实验也表明了其理论分析是正确的1 9 9 1 年 9 1 ，k y a g a s a k i 研究了1 9 9 0 年所研 究的系统，但这次考虑了一种双响应情况：参数和外激励力响应同时存在同样运 用平均法及m e i n i k o v 方法可知在某些参数区域可能存在混沌，并讨论了可能产生 的混沌结构1 9 9 2 年1 1 们，k y a g a s a k i 研究端固定的直杆受到具有两个频率的力 的作用通过运用g a l e r k i n 方法，直杆的运动方程简化为有限自由度的系统所得 方程就成为多频系统，利用平均法对其求解用m e l n i k o v 方法分析可知该平均系 统存在横截同宿点，从而可能产生混沌 近年来人们比较关注强非线性系统在大多数分析方法中，假设参数足够小 将解按小参数进行幂级数展开以得到精确近似解的前几项；但是当参数增大时 这些方法就失效了，这就使得人们考虑是否可以把用于弱非线性系统的摄动法适 当修改后适用于某些强非线性系统较长时间以来，很多学者都致力于这研 究1 9 7 3 年”“，m m s t a n i s i c 和j a e u l e r 研究由以下方程控制的非线性力学 系统： 膏+ 甜2 x + t l x 3 + 2 戚2 = n c o s q t ，( 1 3 1 ) 其中x 为系统响应，甜，q ，和为适当维数的常值，士表示z 对时间f 的微分 他们先把( 1 3 1 ) 化成以下的无量纲方程： q 。+ q 十l q 3 + s 2 q q “= c o s & r ， 其中g = 兰，f ：a g t ，占。：丛，s ：2 王：，五：旦，i ：芸，g ，为对f 的微分；然后利 用s t r u b l e 方法，即设参数解方法和近似方法来分别讨论其次谐、超谐响应情况 1 9 7 3 年“，i w a n 研究了一个二阶微分方程g 1 i x ( t ) ，钉= l v f 譬+ f ( x ，童) 一g ( f ) = 0 ，其 中j 表示对独立变量，的微分，m 是一确定的n 胛矩阵，f ( x ，主) 是关于x 和主的九 维向量函数，g ( t ) 为关于独立变量，的 维向量函数他所提出的方法是先用与 g 。i x ( t ) ，f 】结构相似且含有其已知解的线性系统g 2 z ( f ) ，胡来代替g x ( f ) ，】，接着 南京航空航天大学硕士学位论文 引入一参数口，以使两系统的差量4 x ( t ) ，口，明= g 2 x ( f ) ，口，f 一g 】 x ( r ) ，f ，x ( t ) c 达到最小，从而通过g 2 i x ( t ) ，口，f 】求得g l x ( f ) ，t 1 的近似解。1 9 7 4 年【l = j j ，c l l o u 和 d 2 f d l s i k a r s k l e 研究了d u f f i n g 方程+ p ( 1 一五) 善+ g 手3 = f ( f ) ，其中f ( r ) 是 a r 周期函数他们所用方法比i 删的更直接，是引入“形式函数”g ，直接寻找近 似解手( r ) = g ，( r ；k 。，七，) 孝，( f ) ，其中夤( r ) 是周期近似项( 通常是三角函数) 而 t l 该文主要阐述了g ，的产生及证明了它是有效的近似该方法的特点是结果较精 确并能进一步了解系统的非线性行为1 9 7 8 年【l ，s e j o n e s 给出了一种近似方 法，主要是通过将其应用于强非线性d u f f i n g 方程z + 2 x + e f ( x ) = 0 ( 1 3 2 ) 来说明 n 的( 这里可为较大量) 其主要特点是引入新参数，= 。i 及作时间转化 p 彩一+ f r = _ 竺 r ( 这里p 和q 为常数) ，然后方程( 1 3 2 ) 变为x + 9 2 x + r f ( x ) = 0 ，其中 q 4 1 7 f ( x ) 5 p ! q ：，( x ) 一q2 x ，x i 出d r 从而不论参数g 多大，总为- , b 量( 0 1 ) 2 0 0 0 年1 2 ，张琪昌和郝叔英等拓展了范式方法 来考虑二阶常微分方程+ 国2 “= f ( u ，女) ，其中f ( u ，由线性阻尼项及关于玑 的二阶、三阶齐次多项式组成该文创新之处在于，u = 掌+ 手，= i c o 偕一手) 中国， 的确定，不是采用n a y f e b 建议的令“= f + 手，i = i ( 孝一手) 方法，而是根据振动过 程中基频的变化确定所用方法使周期解的稳定性及渐进解均较易获得2 0 0 0 年 拉”，袁镒吾和刘又文利用改进的l p 方法，即从原来设口= ；生一f 但是有可 i + c o 】s ( 总有l o f r 一5 z ，y = f 。( x ) 按这等价关系可以做r w 的商空间 w = r w - 由流形论中的讨论可知，旷具有c 流形结构，它是一个研+ 1 维的c 流形容易 验证以下事实：如果( r ，x ) 一( s ，y ) ，那么 v ( ，x ) = ( r + ，x ) 0 + s ，y ) = v s ( 5 ，y ) 因而诱导出矿上的一个c7 流矿。若把矽与或= o ) 等同起来，则厂可 视为藏上的c 微分同胚可以看出：流妒5 从识上任意一点x 出发的轨道都还要 返回喊，而第一次返回或的点恰为厂( x ) 我们说或是流矿的一个截面，而厂恰 好为流痧关于截面识的第一返回映射( p o i n c a r e 映射) 上面的讨论说明，流与离散动力系统是密切相关的人们对流的研究成果， 往往能应用于微分同胚的情形反之，一般说来。研究微分同胚所获得的信息，也 能启发我们对流作相应的讨论由于s m a l e 等人的大力提倡，自上世纪六十年代 以来，对离散动力系统的研究迅速发展起来 2 1 3 轨道与不变集 设x 是一个拓扑空间( c7 流形) ，f ：x x 是一个同胚( c 微分同胚) 定义2 1 4 把集合 o r b ，( x ) = 。( x ) i 七z ， o r b ；( x ) = f 2 ( x ) l t z ， 和 南京航空航天大学硕士学位论文 o r b j ( 石) = ，一2 ( z ) ik z + ， 分别称为离散动力系统，过x 点的轨道，正半轨和负半轨 显然有 o r b ，( x ) = o r b j ( x ) u o r b ；( 工) 在不会混淆时，往往就省去上述记号中的下标厂而以o r b ( x ) 等代替0 而，( x ) 等 如果存在n n ，使得”( x ) = x ，则称z 为，的周期点，并把使得厂”( x ) = 成立的最小的自然数h 称为x 的周期特别地，周期为l 的点x 称为是，r 的不动点 过周期点的轨道称为周期轨道 集合 c o ( x ) = n ，( x ) ik n ) 口( x ) = n s 一。( x ) ik n ) e n 和 工( x ) = ( x ) u 口( x ) ， 分别称为轨道o r b ，( x ) 的国极限点集，口极限点集和极限点集 设点x x ， ( i ) 如果存在x 的邻域u ，使褥 厂2 ( n u = ，v k z 0 ) ， 则称x 为厂的游荡点； ( i i ) 如果对x 的任意邻域u 都存在整数女0 ，使得 厂2 ( n u ， 则称x 为，的非游荡点f 的全体非游荡点的集合记为q ( ，) 对v x 丑，l ( x ) = ( x ) u a ( x ) 中点均为非游荡点 定义215 如果集合a c x 满足： y a o r b ，( y ) c a ， 则称a 为厂的不变集 o r b ，( z ) ，( x ) ，口( z ) ，厂的周期点集合和不动点集合等都是，的不变集 2 1 4 拓扑共轭 定义2 1 6 设x 和y 是拓扑空间( c 微分流形) ，厂：_ + x 和g ：y ，是同胚 ( c 微分同胚) 如果存在从空间x 到空间y 的同胚h ：x 寸，使得 h 。，= g 。h ， 即使得以下图表可交换， x _ x hila y 马y 则称厂与g 拓扑共轭 显然拓扑共轭是一等价关系 拓扑共轭h 把系统厂过x 点的轨道变成系统g 过a ( x ) 点的轨道：把轨道 o r b ，( x ) 的国极限点( c o 极限点) 变成轨道o r b 。( ( z ) ) 的功极限点( 口极限点) ：把 厂的口周期点变成g 的 周期点：把厂的非游荡点变成g 的非游荡点，等等一句 话，拓扑共轭的两个系统，有相同的轨道结构因此对动力系统的研究来说，拓扑 共轭的两个系统可以认为是一样的 对于许多情形来说，拓扑共轭的要求似乎太强了一点于是人们寻求某些较 弱的关系，其中之一就是所谓q 共轭，即限制在各自的q 集上的拓扑共轭 定义21 7 系统厂和g 称为是q 共轭的，如果存在同胚h ：f 2 ( f ) 斗q ( g ) ，使得以 下的图表可交换： f 2 ( f ) 地咝_ q ( _ 厂) llh q ( g ) 业盟斗q ( g ) ， 显然q 共轭也是一种等价关系 以下问题具有十分重要的意义：什么样的微分动力系统在“小扰动”之下不 改变它的轨道的结构( q 集的结构) ? 这就是所谓结构稳定性问题( q 稳定性问 题) ，属于微分动力系统研究的中心问题要明确地给出结构稳定性和q 稳定性 的定义，先要解释什么是所谓“小扰动”为此，需要引入映射空间的拓扑， 2 1 5 映射空间的拓扑 设u c r ”是一个开集，我们赋予映射集合c ( u ，r ”) 以所谓c 弱拓扑，即 “在任何紧集上直到r 阶微分一致收敛的拓扑”我们来描述这拓扑的基本邻域 系任意f c ( u ，r ”) 的基本邻域形如： r ( ；k ，s ) = g c ( u ，r “) ls u p l d 。g ( x ) 一d 。，( x ) 0 - j = 0 ，一，) ， 南京航空航天大学硕士学位论文 这里k c u 是任意紧集，f 是任意正实数 需要说明的是：j 阶微分d 。g ( x ) 是一个重线性映射，i | d 。g ( 工) i l 表示这j 重 线性映射的范数依照我们对r ”和r ”的范数的选取，忪，g ( x ) | | 可以有几种形式 不同但彼此等价的表示，例如可取 护懋。纛。i 孝f 按照由上述邻域系给出的拓扑，收敛性意味着在任意紧集k 仁u 上直到，阶 微分的一致收敛性 现在考虑从c 微分流形到c 微分流形| v 的c 映射的集合c f 肜1 与 上面的做法类似，我们也可以赋予这集合以c7 弱拓扑这在某种意义下也是“在 任意紧集上直到r 微分一致收敛的拓扑”但在这里我们需要把紧集分成若干块， 使得每一块落在一个局部坐标卡之中， 设f c ( 矿) ；( u ，妒) 和( v ，) 分别是和的局部坐标卡：可是紧致 的，f ( u ) c 矿；k c u 是紧致集：s 是任意订三实数我们置 r ( j ；( u ，妒) ，( v 妒) ，k ，= g c ( w ，n ) lg ( u ) c v ， c g 。妒一一。厂。妒l i i * 0 和0 0 有三个平衡点：鞍点o o ，o ) 和稳定结点4 ( ，o ) 和占( 一，o ) 图2 7 和2 8 分别给 出相图随弘变化情况和分叉图这类分叉称为叉形分叉 糕糯 u 0“ 0 图2 ，7 ( 4 ) 通有霍普夫分叉 例2 5 考虑平面系统 【j = - y + x 一( j c 2 + y ! ) 】， 【，= z + y 一( x 2 + y 2 ) 】， 图2 8 ( 工，y ) r 2 , 足，( 2 2 6 ) 此系统对任何乒r 都只有一个平衡点0 0 时点。是不稳定焦 点因此当增加并经过= 0 时，虽然平衡点的数目没有变化，但它由稳定变为 不稳定，即稳定性发生突然变化；此外，还有一个稳定极限环突然从平衡点处“冒 出”这 十分叉称为霍普夫分叉，( 更准确地，应称为通有霍普夫矜叉) 图2 9 表明相 图随“变化的情况；图2 1 0 给出上述霍普夫分又的分叉图，在图2 1 0 ( i ) 上，极限环 是在参数“大于分叉值的范围内存在的，这样的分又称为超临界雹普夫分叉；而 当极限环是在参数芦小于分叉值的范围内存在的，这样的分又称为亚临界霍普夫 分叉( 图2 1 0 ( i i ) ) - y ? 、z 心乡 砺 ， 忒， 巡夕 0 0 图2 9 辟闭轨振幅 一、l d“ 。_ f 。 ( i )( i i ) 图2 1 0 2 闭轨分叉 设当卢= 时系统( 2 2 1 ) 有非双曲闭轨r 0 ，即庞卡莱映射( 设系统( 2 2 1 ) 是 流形w 上的动力系统，r 0 是( 2 2 ，1 ) 的一条周期轨线任取p 0 r o 过p 。取一个余 维数为l 的c7 子流形c ，使与轨线r 0 是横截的( 即l 在p 。处的切向量 f ( 风) 不属于子流形在风点的切平面k ) 根据流的连续性，此时存在p 。的某 邻域uc 使得对任何x u 有r ( x ) 0 ，满足妒。、( 工) ，且当0 r r ( x ) 时 口。( x 1 ( 见图2 1 1 ) ，可定义映射p ：u 斗如下： j p ( x ) = 妒，。、( 工) ，v x u c p 称为界面上的庞卡莱映射( 或首次返回映射、后继映射) 显然，映射p 有不动点 p 。，且它是c 7 映射。) 在对应1 1 。的不动点p 。处的导算子至少有一个模等于l 的特 征值，则向量场f ( x ，风) 是结构不稳定的这时，对向量场f ( x ，胁) 作适当的小扰 动，就可使r 。附近的轨线拓扑结构发生变化，例如闭轨的产生( 或消失) 、二维环 面的出现等这种分叉称为1 闭轨分叉闭轨分叉也属于局部分叉的范畴 r 0 图2 1 1 例2 - 6 考虑平面系统 髓= y 札 u ：s y 嚣卜川“孵r ， 亿z 【j = ，= x 一一( x 2 + ! 一1 ) 2 。 “ 、 7 此方程组在极坐标中可写成 p _ - - p , u 一( p 一1 ) ：】，( 2 删 旧= i 浚系统只有一个平衡点o ( 0 ，0 ) ，它当 1 时是不稳定焦点；当1 时是稳定 焦点( 其中当一= 1 时是稳定细焦点) 此外，该系统当 0 时无闭轨；当= 0 时有 一个半稳定极限环l ( 它是条非双曲闭轨，其庞卡莱映射的导算子的特征值等 于1 ) ；当0 u 1 时有两条闭轨p = 1 ，其中f i ：p = , 1 一是稳定极限环， 1 - 2 ：p = 1 + 卢是不稳定极限环；当1 时只有一个不稳定极限环 f 2 ：p = 1 + 图2 1 2 表示相图随变化的情况，图2 1 3 给出了分叉图显然， 当= 0 时出现“非双曲闭轨的鞍结分叉”随声增加并经过= 0 时，闭轨r n 分成 两条闭轨l 和r ，我们注意到，当芦= 1 时，在原点处还出现亚临界霍普夫分叉 yy “ 0 碜谚 0 u z 。，同宿轨线不再存在： 另一方面，当u 由。减少时，同宿轨线也突然消失，变成一个稳定极限环，因此在 u 。处出现同宿分叉图2 ，1 4 和2 1 5 分别给出相图随0 变化的情况和分叉图( 其中 d 为极限环到点，的最大距离) 醛敏耐簖 u 一1 1 o ) 图2 2 1 表示这些不变集 及其附近的轨线随参数变化的情况当t 增加并经过u = 0 时，从原点突然“冒 出”一个不变集一圆周r ，这种不变集的变化称为“内依马克一沙克分叉”，亦称 为“映射的霍普夫分叉”不动点p = 0 对0 是渐近稳定的，而对u 0 是不稳 定的不变圆周l 对 0 是衙：垃穗疋明 v ， ； 9 ，i 1 、一 ， ? 一 y i (，兮j 、乡j 3 、一一 ， 0 南京航空航天大学硕士学位论文 图2 2 l 向量场的分叉和映射的分又有不少相似之处，特别是对连续流进行离散化处 理( 例如庞卡莱映射) 后，可以将向量场的分叉转化为映射的分叉去研究 附注前面的讨论只涉及单参数动力系统的分又实际应用中，经常会遇到含多 个参数的动力系统多参数动力系统可以看成对单参数系统的扰动因此，一般 地，我们考虑含参数动力系统的分叉性态在小扰动下能否保持的问题 2 2 3 分叉的判别 定理2 2 1 考虑静态方程 f ( x ，p ) = 0 ，z u x ，j 互r ”， ( 2 2 1 8 ) 其中c 7 ( 这里r 1 ) 映射f ：u j o y ；x ，y 是巴拿赫空间，是参数 设，胁) u j 满足：f ( x 。，) = 0 ，且为f ( x ，) 的静态分又点导算子( f 的 线性化) a = 以f ( x 。，a o ) 是零指标的弗雷德霍姆算子，则a 的零空间n ( a ) 的维数 大于0 、即a 有零特征值。 证明见【3 1 ，p 6 5 此定理给出了判定一个非线性系统的定态解可能为分叉点的一个重要准则， 但不