（物理学专业论文）非线性各向异性介质中辐射场的量子化.pdf

独创性声明 i i i i r l lllli i ii ii ii ii i iiif y 17 8 918 2 本人声明昕呈交的_ 论文是我个入在导师指导 谢亍的研究工作及取得的研究f 豸乞果。尽 我所知，除了文中特另l 仂口以枥胡并唾蹦的地力外，论文中不包含其他人已经发未蜀谤g 写过 的研究成果，也不咆詹为获得北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 ； 与我一同工作的同志对本研究所傲的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。 2 0 s 1 0 本人完全了解北京工业大j 笋有关保留、使用学位论文的规定，即：学渤保蓉爨箜交 论文的复e 附，允许沧文档阅和借阅；学度可以公布论文白勺= 氢弛彗涪盼内容，可以采用 影印、缩印或其弛复匍睁劂翱靴色文。 ( 保密盼沦艾黼后应遵守此规定) 摊：赴 导畦华塑 日期：z o 矿夕2 0 _ j 1 摘要 自从激光器出现以来，激光与物质相互作用就逐渐成为物理学研究的前沿和 热点问题。特别是，在这些相互作用过程中可以产生各个频段的辐射，使得对其 作用过程的研究不仅具有极其重要的学术意义，而且具有广泛的应用前景。同时， 这些辐射产生的过程在本质上是量子问题，只有采用量子力学描述才能更加深入 地认识辐射过程的物理实质。本论文通过修正和推广l a n g c v i n 噪音理论，对非 均匀吸收介质和各向异性吸收介质中电磁场的量子化进行了系统的理论研究，并 利用这些量子化的电磁场分别建立了各向异性吸收介质中c h e r e n k o v 辐射的全 量子理论和激光，等离子体中辐射的全量子理论，获得了一系列有意义的结果。 以下为本论文的主要研究结果： 1 利用l a n g e v i n 噪音理论对具有二次连续变化形式介电函数的吸收介质中电磁 场进行了量子化，用所得量子化电磁场计算了电场在真空态中波动的功率谱， 所得结果可以在讨论无限均匀吸收介质时给出与前人相同的结论。 2 提出了一种在任意非均匀吸收介质中求解格林函数的新方法，该方法把满足 亥姆霍兹方程的格林函数设成一个积分表达式，从而将姆霍兹方程转变为一 个可利用f c y m a n 路径积分法求解的复势薛定谔方程。利用这个方法可以得 到任意非均匀吸收介质中的格林函数，进而可以实现任意非均匀吸收介质中 的电磁场量子化。 3 通过将l a n g e v i n 噪音理论中定义的修正因子从标量形式推广的矢量形式，使 l a n g c v i n 噪音理论的适用范围从各向同性吸收介质拓展到各向异性吸收介 质，从而实现三维各向异性吸收介质中电磁场的量子化。 4 发现了各向异性吸收介质中修正因子所必须满足的积分方程，利用这个积分 方程可得到任意各向异性吸收介质相对应的修正因子，进而通过l a n g e v i n 噪 音理论实现任意各向异性吸收介质中电磁场的量子化。 5 建立了各向异性吸收介质中c h c r e n k o v 辐射的全量子理论，发现利用全量子 理论得到的c h c r c n k o v 辐射角比经典定义的要小。吸收介质的各向异性性质 对c h e r c n k o v 辐射角没有影响，但会改变c h e r e n k o v 辐射功率的大小，这样 北京工业大学理学博士学位论文 通过调节吸收介质的各向异性性质可以来控制c h e r e n k o v 辐射功率。 6 建立了激光等离子体中辐射的全量子理论，从理论上说明，强度在1 0 1 0 w c m 2 到1 0 1 2 w c m 2 之间的激光与等离子相互作用中产生的辐射，主要是来自于等 离子体共振。并且，出射光子率与非束缚自由电子和辐射场之间的夹角有关。 此外，低碰撞率的等离子体内部更容易产生光子。 关键词：量子理论；非线性吸收介质；各向异性介质；噪音电流算符： c h e r e n k o v 效应；激光等离子体；格林函数 s i n c et h ea d v e n to fl a s e r , t h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e nl a s e ra n dm a t t e rh a v eb e c o m e ah o t s p o ta n df r o n t i e ro fr e s e a r c hi np h y s i c s e s p e c i a l l y , m e c h a n i s mo fv a r i o u s r a d i a t i o n sg e n e r a t e dd u r i n gi n t e r a c t i v ep r o c e s si so fc o n s i d e r a b l ei m p o r t a n c en o to n l y i nt h eb a s i si n t e r e s ti na c a d e m yb u ta l s oi na p p l i c a t i o n s i m u l t a n e o u s l y , t h er a d i a t i o n i sa q u a n t u mp r o b l e mf r o mi t sm i c r o c o s m i cm e c h a n i s m t ou n d e r s t a n dt h ep h y s i c a l e s s e n c eo fr a d i a t i o np r o c e s si nd e p t h ，i m a g i n a b l y , t h ed e v e l o p m e n to faf u l l yq u a n t u m m e c h a n i c a ld e s c r i p t i o ni sn e c e s s a r y i nt h i st h e s i s ，q u a n t i z a t i o n so fe l e c t r o m a g n e t i c f i e l di n i n h o m o g e n e o u sa n da n i s o t r o p i ca b s o r p t i v e d i e l e c t r i c sa r et h e o r e t i c a l l y i n v e s t i g a t e d ，u s i n gl a n g e v i nn o i s es c h e m e s u b s e q u e n t l y , f u l lq u a n t u mt h e o r yo f c h e r e n k o vr a d i a t i o ni na na n i s o t r o p i ca b s o r b i n gm e d i aa n dr a d i a t i o ni nl a s e rp l a s m a a r ee x p l o r e db ym e a n so ft h e s eq u a n t i z a t i o nf i e l d s ，a n ds o m ew o r t h f u lr e s u l t sa r e p r e s e n t e d t h e i m p o r t a n tr e s u l t so b t a i n e da r es u m m e du pa sf o l l o w i n g ： 1 a c c o r d i n gt ol a n g e v i nn o i s es c h e m e ，t h ew a v ee q u a t i o nw i t hr e g a r dt og r e e n f u n c t i o ni sa n a l y t i c a l l ys o l v e db yd i r e c ti n t e g r a lm e t h o df o raq u a d r a t i cc o n t i n u o u s n o n l i n e a ra b s o r p t i v ed i e l e c t r i cm e d i u m t h eq u a n t i z a t i o no fe l e c t r o m a g n e t i cf i e l d i ns u c han o n l i n e a ra b s o r p t i v ed i e l e c t r i ci sc a r r i e do u tf o rw h i c ht h em a t e r i a l d i e l e c t r i cf u n c t i o ni sa s s u m e da ss e p a r a b l ev a r i a b l ea b o u tt h ef r e q u e n c ya n dt h e s p a c ec o o r d i n a t e t h ev a c u u mf i e l df l u c t u a t i o n sf o rd i f f e r e n ts p a t i a lc o n t i n u o u s v a r i a t i o n so fd i e l e c t r i cf u n c t i o na l en u m e r i c a l l yc a l c u l a t e d ，w h i c hs h o w st h a tt h e p r e s e n tr e s u l ti ss e l f - c o n s i s t e n t 2 an e wa p p r o a c hi sd e v e l o p e dt os o l v et h eg r e e n sf u n c t i o nt h a ts a t i s f i e st h e h e h m h o l t ze q u a t i o nw i t h c o m p l e xr e f r a c t i v ei n d e x e s p e c i a l l y , t h e g r e e n s f u n c t i o nf o r t h eh e l m h o l t z e q u a t i o n c a nb ee x p r e s s e di nt e r m s o fa o n e d i m e n s i o n a li n t e g r a l ，w h i c hc a nc o n v e r th e l m h o l t ze q u a t i o n i n t oa s c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t hc o m p l e xp o t e n t i a l a n ds c h r 6 d i n g e re q u a t i o nc a nb e s o l v e db yf e y n m a np a t hi n t e g r a l u s i n gt h i sa p p r o a c h ，t h eg r e e n sf u n c t i o ni n i i i 北京工业大学理学博士学位论文 a r b i t r a r yi n h o m o g e n e o u sa b s o r p t i v ed i e l e c t r i c sc a nb es o l v e d ，w h i c hi su s e f u lf o r r e a l i z i n ge l e c t r o m a g n e t i cf i e l dq u a n t i z a t i o ni na r b i t r a r yi n h o m o g e n e o u s a b s o r p t i v ed i e l e c t r i c s 3 b a s e do nl a n g e v i nn o i s es c h e m e ，w es u g g e s ta g e n e r a la p p r o a c ht or e a l i z et h e q u a n t i z a t i o no fr a d i a t i o nf i e l di na na n i s o t r o p i cd i s p e r s i v ed i e l e c t r i cm e d i u mb y d e f m i n g am o d i f i e dn c wc o e f f i c i e n to f l a n g e v i n f o r c e o p e r a t o r t h e t r a n s f o r m a t i o nr e l a t i o nb e t w e e nt h e q u a n t i z a t i o nm e t h o d sf o ri s o t r o p i ca n d a n i s o t r o p i cd i s p e r s i v em e d i ai sp r e s e n t e d 4 t h ei n t e g r a le q u a t i o no fm o d i f i e dc o e f f i c i e n ts a t i s f y i n gi na n i s o t r o p i ca b s o r p t i v e d i e l e c t r i c si sd i s c o v e r e d ，w h i c hc a l lr e a l i z ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l dq u a n t i z a t i o ni n a r b i t r a r ya n i s o t r o p i ca b s o r p t i v ed i e l e c t r i c s 5 af u l l yq u a n t u mm e c h a n i c a lt r e a t m e n ti sp r e s e n t e df o rt h ec h e r e n k o vr a d i a t i o n s t i m u l a t e db yau n i f o r m l ym o v i n gc h a r g ep a r t i c l ei nb o t hi s o t o p i cm e d i u ma n d a n i s o t r o p i cm e d i u m t h er e l a t i o nb e t w e e nc h e r e n k o vr a d i a t i o ni n t e n s i t ya n d d i e l e c t r i ct e n s o ri sa n a l y z e d t h er e s u l t ss h o w e dt h a t ，t h em e d i u md i e l e c t r i ct e n s o r c h a n g e st h ed e n s i t yo ft h ec h e r e n k o vr a d i a t i o nb u td o e sn o tc h a n g et h ee m i t t i n g a n g l eo ft h er a d i a t i o n ，w h i c hi so fa d v a n t a g ef o rt h ec o l l e c t i o no fr a d i a t i o nw a v e w i t he x p e c t a n tw a v e l e n g t h s 6 b a s e do nt h el a n g e v i nn o i s ea p p r o a c h ，af u l lq u a n t u mt h e o r yo fr a d i a t i o ni nl a s e r p l a s m ai se x p l o r e d ，w h e r et h e l a s e r p o w e ri s l i m i t e dt ot h e r a n g ef r o m 10 1 。w c m 2 t o 10 1 2w c m 2 a n dt h ep l a s m ai sc o n s i d e r e d 私ah o m o g e n e 。u s d i e l e c t r i c b a c k g r o u n d b yn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e r a d i a t i o ni sg e n e r a t e df r o mr e s o n a n c eo ft h ep l a s m aa n dt h ee m i t t e dr a t eo f p h o t o n d e p e n d so nt h ea n g u l a rr e l a t i o no ft h ed i r e c t i o n so fr a d i a t i o nf i e l d sa sw e l la st h e m o t i o no ft h eu n b o u n d e df r e ee l e c t r o n s i na d d i t i o n ，t h ep h o t o n sa r em o r ee a s i l y c r e a t e du n d e rt h el o w e rc o l l i s i o nf r e q u e n c y k e y w o r d ：q u a n t u mt h e o r y ；n o n l i n e a ra b s o r p t i v ed i e l e c t r i c ；a n i s o a o p i cd i e l e c t r i c ； n o i s ec u r r e n to p e r a t o r ；c h e r e n k o ve f f e c t ；l a s e rp l a s m a ；g r e e nf u n c t i o n i v 目录 目录 摘要一。j a b s l 限a ( 了 第l 章介质中电陇暖量子化的主要理论描述。二1 1 1 引言j 1 1 2 吸收介质中电磁场量子化方法3 1 2 l 量子噪音理论。3 1 2 1 1 量子噪音的来源3 1 2 1 2 含噪音源的波动方程5 1 2 1 3 能量守恒7 1 2 1 4 噪音理论量子化方法8 1 2 2 辅助场理论1 l 1 2 2 1 经典形式1 l 1 2 2 2 2h a m i l t o n 量和量子化1 4 1 3 橄的主要研究内容l 5 1 7 2 1 引言17 2 2 维色箭噘收介质中场的量刑17 2 2 1 基本方程1 7 2 2 2 无限均匀吸收介质中场的量子化2 0 2 2 3 半无限均匀吸收介质中场的量子化2 5 2 3 三维色散吸收介质中场的量子化2 8 2 4 本章小结3 2 第3 章非均匀吸收介质中场自勺：星特讹二3 3 3 1 引言3 3 3 2 二次连续非线性吸收介质中场的量子化3 4 3 3 任意非均匀吸收介质中场的量子化4 0 3 3 1 非均匀色散吸收介质中格林函数的求解4 1 3 3 2 任意非均匀吸收介质中场量子化的格林函数方法4 5 3 4 本章小结4 6 第4 章三维各向异性吸收介质中场的星子化。4 7 4 1 引言4 7 4 2 各向异性吸收介质中场量子化的方法；4 7 4 3 各向异性吸收介质中场量子化的方法5 2 4 4 本章小结5 4 5 5 5 1 引言5 5 5 2 各向异性介质中c h e 豫1 k a 埔葫拍嘻狞理论5 6 5 2 1c h e r e n k o v 效应j 5 6 v 北京工业大学理学博士学位论文 5 2 2c h e r c n k o v 辐射的全量子理论5 7 5 3 激光等离子体c 榭的= 量子理论6l 5 3 1 激光等离子体中电磁场的量子化6 l 5 3 2 激光等离子体量子辐射理论“ 5 4 本章小结。6 8 第6 章总结 7 l 7 3 攻读博士学位期间参与科研项目与发表论文8 1 致谢 v i 第l 章介质中电磁场量子化的 第1 章介质中电磁场量子化的主要理论描述 1 1 引言 当今，随着激光器产业向着小型化造价低廉化的方向不断发展，越来越多的 实验室从事着光与物质相互作用的研究。不论是激光与等离子体，还是激光与单 原子分子相互作用，这些研究都是在微观尺度上进行的，因此需要利用全量子理 论才能准确的解释其中的物理现象，从而使人们可以定性定量地了解整个物理过 程。目前，建立在求解薛定谔方程或是狄拉克方程上量子方法中的激光场通常被 考虑为是经典电磁波，使得当前的理论停留于半经典半量子。只有将介质中的电 磁场进行量子化，再用于求解薛定谔方程或狄拉克方程才能建立起全量子理论。 早期的研究大多考虑的是非吸收介质中的电磁场量子化，非吸收介质的特征 是其介电函数占为位置和频率的实函数，已量子化的非吸收介质包括：非色散非 均匀介质s ( ，) b - r l 、色散均匀介质s ( 国) 8 ，9 】以及更为复杂的色散非均匀介质 6 ( r ，缈1 1 0 , 1 1 】。电磁场的量子化过程先是假定一个己知的介电函数，该介电函数 的形式由模型自身决定；而后利用场谐振子相互作用系统的耦合极化子模型来实 现这种介质中的电磁场量子化。同时，如果将谐振子随介电函数的变化考虑到模 型中，该理论还可用于微观介质里的场量子化的研究。上述的电磁场量子化方法 可以精确地求解出半无限【1 2 - 1 4 和层面【1 5 】非吸收介质中的量子化电磁场。但是，根 据k r a m e r s k r o n i g 关系，色散介质一定伴随着吸收性质，因此要想准确的描述光 与物质相互作用过程，吸收介质中的场量子化是必不可少的。 吸收介质与非吸收介质的不同在于，吸收介质的介电函数为位置和频率的 复函数，其中虚部表征的就是介质的吸收性质。1 9 9 2 年，h u t t n e r 等人首先提出 了吸收介质中的电磁场量子化方法【1 6 ，7 1 ，他们采用h o 面e l d 型【1 8 】的介电函数来描 述吸收介质特征，并将量子场耦合到由谐振子构成的物质系统中，最终得到吸收 介质中的量子化电磁场。h o p f i e l d 模型决定了量子化过程中的介质复介电函数的 形式，实现了均匀吸收介质中的电磁场量子化，成功地计算出了吸收介质中的真 空场波动和激发原子的自发辐射率【l9 】，并且所得结果与波动色散理论中的结论相 北京工业大学理学博士学位论文 一致。此后，该方法被推广到可解吸收介质中不同时空之间的场场关联函数【2 0 1 。 但由于利用t h o p f i e l d 型介电函数，它很难对非均匀介质【2 1 】以及一些实验中给定 介电函数介质中的电磁场进行量子化【捌，这使得该方法的适用范围受到了很大的 限制。 与此同时，另一种以唯象麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组为基础的吸收介质中 电磁场量子化方法逐渐发展起来，这里吸收介质的介电函数只要满足 k r a m e r s k r o n i g 关系，可以是具有任何形式的位置和频率的复函数。特别是，这 种方法可以直接利用实验中介质介电函数的实际测量值进行理论计算，因此受到 了人们的广泛关注。目前，吸收介质中场的唯象麦克斯韦方程组量子化方法沿着 两条不同的道路独立的发展着，一条是l a n g e v i n 量子噪音理论( l a n g e v i n n o i s e ) ， 另一条是辅助场理论( a u x i l i a r yf i e l d a f ) 。 l a n g e v i n 量子噪音理论是按照波动色散定理，将l a n g e v i n 噪音电流密度算符 引入到经典的麦克斯韦方程组中，同时把方程组中的经典电磁场变量转换为量子 理论中相对应的算符，这样通过推导转化后的唯象麦克斯韦方程组得到的就是量 子化后的电磁场。利用l a n g e v i n 噪音理论实现吸收介质电磁场量子化的关键是求 解类亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程中的格林( g r e e n ) 函数，其量子性质由噪音电 流算符的等时对易关系来决定。从上世纪九十年代至今，人们己完成了一些具有 特殊空间结构的吸收介质中电磁场的量子化【2 3 。引，并成功地用于吸收介质中自发 辐射衰变的研究【3 3 1 。 与之相应的辅助场理论 4 4 - 5 2 1 ，也是从唯象的麦克斯韦方程组出发。但与 l a n g e v i n 噪音理论不同之处在于，辅助场理论引入了一系列辅助场取代了原先麦 克斯韦方程组中包含与电场极化相关的时间卷积项，使重新构造的方程组中不再 含有卷积。进一步将起始引入的辅助场转换为算符，就可完成场量子化并且原方 程中守恒量变为h a n i l t o n i a n 量。尽管这两个理论从表面上看具有很大的差异，但 t i p 等人证明了这两种理论是完全等价的，并且在本质上是一致的【5 3 1 。 吸收介质中电磁场的量子化不仅对像嵌入原子衰变【蹦1 1 、卡米尔效应【6 2 嗣以 及另外一些非经典现象 6 7 , 6 8 】，这些学术上研究具有重要的价值，而且对今后的一 些应用领域的研究，例如快电子在层面介质中通过跃迁辐射产生x 射线【6 9 】和色散 吸收介质中的c h e r e n k o v 辐射 7 0 1 等，也具有重要的意义。 2 第1 章介质中电磁场量子化的 皇詈! ! ! 皇皇量! ! 皇詈! 曼曼詈鼍皇暑詈詈暑詈詈毫曼毫鼍i n_ 毫暑! 暑鼍詈! 皇詈曼! 詈詈皇詈鼍暑皇曼置詈置曼詈置皇蔓曼詈詈詈鼍皇曼皇皇曼皇曼詈暑皇鼍 1 2 l 量子期论 j - j生j不i j e = c y j 描述光传播过程中噪音现象的基本方程来源于第一性原理。其中的量子噪音 来自两个方面，一个是电子动量在电磁场中的波动，另一个是由电磁场中的不确 定性导致的波动。 通过假设场算符和电流密度算符遵从麦克斯韦方程组，在库仑规范下可将麦 克斯韦方程组表示为矢势算符与电流密度算符的波动方程。将电流密度算符按照 场的指数展开并保留独立的场和线性项，可发现线性项的平均值将超过k u b o 方 程中电子的平均能量。根据波动色散理论，自发电流算符的关联函数与介质介电 函数的虚部有关。当电流密度包含场的自发部分和诱导部分，这时的波动方程可 描述电磁场在具有复介电函数的介质中传播。这虽然与经典电动力学中的波动方 程在形式上相同，但全量子理论与经典理论不同之处在于场的h e i s e n b e r g 算符和 自发电流密度算符之间不可对易，这在经典理论中没有对应。在大多数量子噪音 问题中，场与自发电流密度之间存在线性关系。处理过程与经典电动力学中相同， 波动方程的解可以从场与噪音源之间的关系得到，场算符的平均值由自发电流密 度算符的平均值决定。同时，能量守恒方程也可从波动方程中得到。从这个方程 中可以发现能量密度算符和能量流算符。当给定范围内的能量密度和能量流密度 的平均值大到与该场在真空波动密度可以相比拟的时候，算符之间的非对易关系 将可以忽略，这使得场可以用经典处理。 经典噪音是由大量粒子在一个给定的空间中运动的波动产生的，比如热噪音 等。而量子噪音则由量子力学中位置与动量之间不确定性关系导致的。例如，当 一个电子在一个势阱中处于基态时，其对应的经典描述中不存在波动，但根据量 子理论中的不确定性关系一个确定位置的粒子不允许动量为零，这样算符 歹= 三(12p 1 )_ ，= 一l l i j 刀， 与电流成正比。在噪音理论中，歹的波动频率谱可通过关联函数( 歹( f ) 歹( o ) ) 的 北京工业大学理学博士学位论文 f o u r i e r 变换得到。 在量子理论中，_ 7 和p 均为含时算符，它们可在h e i s e n b e r g 表象中来描述。 在这个表象中，波函数只与起始条件有关与时间无关。与此同时，在薛定谔 表象中6 ( f ) 的平均值为 ( 6 ( f ) ) = ( y ( f ) 俐y ( f ) ) ( 1 2 - 2 ) 其中角标s 表不含时的薛定谔算符。这样，薛定谔方程中波函数的形式解可写为 y ( ，) = e x p ( 一言疗( ，一气) ) ( - 2 3 ) 这里的甄= 5 f ，( f o ) 。利用这个形式解，平均值变为 ( 刚) = ( 陆) i ) 其中h e i s e n b e 曙算符6 ( ，) 的表达式是 ( 1 2 4 ) ) = 唧( 丢即训) 众唧( 一丢郇- f o ) ) ( 1 2 - 5 ) 上述方程( 1 2 - 4 ) 和( 1 2 5 ) 就是定义在h e i s e n b e i g 表象中的算符表达式。 这样，可将( 歹( f ) 歹( o ) ) 写为完备能量本征态的和，其表达式如下所示 、2 。 ( 删2 ；e x p 一f ( e e 0 ) m 撇m ) 1 2 ( 1 2 。6 ) 从方程( 1 2 6 ) 可以看到，电流波动谱是光的激发谱，密度谱为跃迁矩阵元模的平 方。并且波动谱只含有正频，这个频率对应的即是从基态到激发态的跃迁。如果 初始态中含有激发态，那么正频和负频将同时出现在波动谱中。 对于不同时间的同一h e i s e n b e r g 算符之间不可对易。例如：方程( 1 2 6 ) 中的 歹( f ) 和歹( o ) 就显示出了电流在不同时间下的不对易性 ( 柏歹( o ) ) ( 歹( o ) 翮) ( 1 2 - 7 ) 由此可以看到，电子的动量波动将导致电磁辐射，进而成为了量子噪音源。 另一个产生量子噪音的原因就是电场与磁场之间的量子不确定关系。当电磁 场在一个腔体内传播时，场可分解为由特定的空间分布和共振频率表征的多模形 4 第1 章介质中电磁场量子化的 式。储存在电场和磁场振动模中的能量类似于谐振子的动能和势能。作为量子谐 振子，每个振动模都具有基于分立能级h c o 和基态能量h c o 2 等同的能量谱 ，1 、 e = i 刀+ i h c o ( 1 2 - 8 ) z 当电子在一个势阱中，其有限的基态能量是由动量和坐标之间的不确定关系决定 的，而基态中的电磁场波动可认为是场在真空中的波动。这样每个模下的电场与 磁场之间满足类似于动量与坐标之间的量子不确定关系。 将一个电磁场分解为多模形式会导致相应量子力学系统中产生无限多个自 由度。在经典理论下，电磁场满足含有外电流的麦克斯韦方程组，与之对应的量 子理论只是将方程组的场和电流表示为算符。这个描述场和电流相互作用的理论 称为量子电动力学。其中耦合了电子和电磁场的系统中存在两个独立的量子噪音 源，一个来源于h e i s e n b e r g 表象中电子位置和动量之间的不确定性关系，其对应 自发电流波动。另一个是h e i s e n b e r g 表象中电场和磁场之间的不确定性关系，它 导致了量子场波动的产生。在理想情况下，可以假定场与电子之间吸收和辐射光 子的相互作用很弱，这样电子和场可认为是两个系统，每个系统具有独立的不确 定性关系和热波动。但在实际情况下，这两个系统是耦合在一起的，从而导致其 中的一个系统可以诱导另一个系统产生波动和损耗。 在一个可以吸收和辐射光子的封闭热壁腔内，热平衡的场被认为由腔壁上的 波动电流产生的，这样可通过将腔壁的温度设置为绝对零度来描述辐射过程中整 个系统的基态。进而，真空场波动也可由热辐射过程中的吸收和辐射来描述。尽 管，真空场波动不能直接观测到，但通过计算能得到来自腔壁在绝对零度下的真 空波动流。因此，就无法区分噪音场是来自真空的噪音场还是来自冷装置，但来 自冷装置辐射可用于描述激光场中的噪音。 利用电场占和磁场日来描述的辐射场可转而用矢势a 和标势西表示，这样 真空中的麦克斯韦方程组相应地简化到矢势彳和电流密度源j 的方程。通过假设 不存在自由带电粒子，可以选择= 0 ，并将场表示为e = 一a c 和h = v x a 。 在库仑规范下，鉴于矢势彳的横场部分波动方程表达式为 北京工业大学理学博士学位论文 v 2 五( 刈) 专等量( 彬) = 一等夕( 列) ( 1 2 - 9 ) 其中3 ( x ，f ) 是诱导和自发电流密度算符的和，这两部分对总电流算符的贡献可表 示为 3 ( 4 = 3 0 ( x ) + z o ( 4 t ( x ) ( 1 2 1 0 ) 方程( 2 3 一1 ) 里的二( x ，f ) 和歹( x ，f ) 则是量子理论中作用于由电磁场和介质构成的 系统中波动函数的h e i s e n b e r g 算符。进而将磁化率作为复传播常数的平方项表示 为 等+ 等z ( 五彩) = 卜( x ) + ，詈( 石) 2 屯( 刁2 + 吃( x ) ( x ) ( 1 2 - 1 1 ) 其中的屯( x ) 和( x ) 分别为实传播常数和衰减因子。通过上面的变动，波动方 程则变为 v 2 乞( x ) + 砭( 工) + 屯( x ) ( x ) 乞( x ) = 一等五( 工) ( 1 2 - 1 2 ) 这个方程显示了一个由矢势算符描述的场，其中的近似可追溯到前面的假设外电 流密度为零。当光场在非均匀介质中传播时，电荷将存在于不连续的介电函数中， 比如界面介质。这使得场在这些非均匀介质的界面出不连续，由此不能求得标势 波动方程的解。在实际中，许多光子晶体中的非均匀性很小，标势波动函数将是 很好的用于计算模和光传播的近似。 如果不考虑量子噪音源，方程( 1 2 - 9 ) r 是描述光在介质中传播的经典波动方 程。当乞( x ) 出现在方程右边时，波动方程变为了算符方程。在大多数情况下， 算符五( 工) 和乞( 一) 之间是线性的，这使得求解过程与经电场情况相同，格林函 数瓯x , x ) 满足 v 2 瓯( 毛，) + 艺( z ) + 吃( x ) ( x ) 瓯( z ，一) = 万( 工一x ) ( 1 2 - 1 3 ) 场算符的表达式可写为 丸( x ) = 一等，瓯( z ，一) 五( x ) 出 ( 1 2 - 1 4 ) 只要求得格林函数g 二( 工，) ，便可得到由乞( 工) 平均值表示的矢势算符平均值 6 第1 章介质中电磁场量子化的 乞( x ) 。乞( z ) 的平均值可通过波动色散理论和w i c k 定理求解出。 激光超过阈值的情况比前面描述的复杂的多。当激光振荡模低于闽值时，格 林函数中的奇点将出现在彩的下半复平面内。当激光接近阂值时，伴随激光振动 模出现的奇点会接近复平面的实轴，格林函数将变得很大。同时，奇点的位置还 与搬运子的数量有关，因而在求解波动方程的同时还要求解搬运子数的方程。当 激光场平均值超过阈值时，就需要对格林函数进行修正求解。 ； 1 2 1 3 能量守恒 在许多光f 晶体的实际应用中，只考虑中心频军这n - - j 作为单模激光的小范围 内的光频。这样场算符五( 五f ) 描述的场幅度与光频相比是慢变的，并且这个频段 小于介质的增益和损耗谱宽。超过这个谱范围的增益和损耗可认为与频率无关， 同传播常数的平方色散近似为线性的。我们能得到中心频率q 的表达式 圮( x ) = 艺( 工) + 型d c a ( 国一q ) ( 1 2 - 1 5 ) ( x ) a ( x ) ( 1 2 1 6 ) 这个展开限制了该色散是线性的，只可由群速度心( x ) 来描述，其中 碱( x ) d 国= 2 七( 力k ( x ) 。如果有需要，可将高阶色散项添加到上述方程中。 慢变波动场方程经f o u r i e r 变换和积分表达式j d 国芴c x p 一f ( 国一q ) f 变为 v 2 咖) + 七2 ( x ) + 腩( x ) 口( x ) 卅掣昙j ( 彬) = 一警呐) ( 1 2 - 1 7 ) 该方程中复传播常数与时间无关，但从含时波动方程开始推导能发现这个量会随 时间变化。能量守恒定律也可通过在方程( 1 2 - 1 7 ) 式两边同乘j ( 戈，t ) 减去其对应 的共轭方程得到，相减的结果为 v ( 五t 嘶一嘶t a l + f 丝昙岔五+ f 2 撕t 五一塑量一j t j ) ：o (12-18)d ， c o 出 c ， 、 在利用与场相互作用引起的导带作用搬运子密度对的变化率的表达式 7 北京工业大学理学博士学位论文 i f 警= 堕拍+ 三( o 歹) = o(1219)2zhh c西 ， 、 同时将方程( 1 2 1 8 ) 以4 z h i ，这样方程( 2 3 - l o ) 的最后两项正好等于矾西， 相应的能量守恒定律也变为 v 文+ 警+ a n 西n = 。 ( 1 2 - 2 0 ) 其中 文= 上4 z h i t 川嘶( 列) 一嘶( 佩r ) ( 1 2 - 2 1 ) 和 1 3 u = d 口k i 2 掣( i 2 - 2 2 )口国4 万，l 在粒子与场相互作用的过程中，对方程( 1 2 2 0 ) 式最自然的解释就是该过程 中光子与电子的总数在导带内守恒。根据这个解释，露( 工，t ) 就成为了光子密度 算符，氏( 工，) 是光子流密度算符。在前面我们提到只考虑在中心频率q 附近一 小频带中，这样整个系统的能量流密度和场能量密度就分别变成了文壳q 和 真壳q 。 真空场波动中的算符克( x ，f ) 和氏( 毛，) 均为零，这可通过波动色散理论和 w i c k 定理验证。这些算符经格林函数与自发电流算符屯( x ，f ) 五，( ，) 联系在一 起，波动色散理论显示这些算符的平均值在冷源中均为零。进一步，利用w i c k 定理还可证明露( x ，t ) 和文( 工，t ) 的平均功率也等于零。 利用量子噪音理论对吸收介质中电磁场进行量子化的方法始于无外电流的 经典麦克斯韦方程组 o , d ( r ，f ) = a ，xh ( r ，f )( 1 2 2 3 ) 第1 章介质中电磁场量子化的 a , b ( r ，f ) = 司，xe ( r ，f ) a ，d ( r ，t o ) = 0 a ，b ( r ，f o = 0 d ( r ，t ) = 岛e ( ，- ，f ) + 尸( ，t ) 尸( ，f ) = 毛【凼z ( ，f j ) e ( ，j ) + ( 厂 f ) b ( r ，t ) = l a o h ( r ，t ) 这里的f o 是起始时刻，可设为f o 专棚。将电场作如下的f o u r i e r 变换 e ( ，f ) = 二d 功e x p 【一泐】e ( 国) = d 国e x p 卜泐】e (