（应用数学专业论文）矩阵的代数根.pdf

摘要 摘要 矩阵方程已经成为矩阵研究领域的热点之。，其中，非线性矩阵方程在 矩阵理论中占有重要地位本文主要考虑矩阵方程x ”= 爿和 x2 2 删+ b = 0 的解的有关问题 矩阵方程x ”：爿和x2 2 艘+ b ：0 与数量方程z ：n ，x2 2 甜+ 6 ：0 尽管形式接近，但是，在解的存在性、唯一陛、以及解的结构和性质方面是 有很大区别的，不能将数量方程石“= n ，芹2 2 甜+ 6 = 0 的相应结果简单地对 应到矩阵方程上面来比如，数量方程x “：n 在复数域内一定有解，且解的个 数一定是有陧个，但是，刈于矩阵方程x “= 爿而言，在复数域内不一定有解， 即使有解，也不一定是有限个，如矩阵方程 n 的解是下列形式 ，( 苫二卜( ；妒嘞乩 数量方程z 2 2 般+ 6 = o 在复数域内的解石与和6 一一定是可交换的，但是 对于矩阵方程x2 一匕戗+ b = 0 而言，在复数域内的解彳与矩阵爿、矩阵口小 一定是可交换的；对于矩阵方程x = a 而言，其：啦零解还有可能是幂零的， 等等 鉴于矩阵方程与数量方程的巨大区别，本文系统地考察了关丁矩阵方程 z ”= 重和二次矩阵方程石2 2 删+ b = 0 的解的州关结论，在此基础上，得 到了这些方程可解性的条件、解的唯一性的条件、以及解的结构，并且给出 了求解的算法，得出了一个复方阵的奇异值与它的m 次根的关系 本文第章为引言部分，就本文背景、国内外研究现状和相应的结果、 以及本文所做的工作进行了概括性的描述 第二章深入讨论了矩阵方程“= 爿的解的有关问题，介绍了关于此方面 捅萤 研究的初步结果，给出了矩阵的平方根、矩阵的算术平方根、以及矩阵的标 准根的定义在此基础上，得到了复方阵存在平方根、算术平方根以及标准根 的相应条件然后将相关结果推广到矩阵方程x “= 4 ，利用矩阵的j o r d a n 标 准形理论，详细地讨论了矩阵方程x ”= 彳的解的存在性条件，在矩阵方程 彳”；4 有解的情况下，给出了矩阵方程x “= 爿的解的结构以及解的有关性 质，并举出了几个例子验证了它们的可行性根据本文得出的结果，指出了文 献 2 5 】、文献【3 3 以及文献【3 7 中三个定理的错误之处，并进行了更正 在实际工程应用中，如何方便快速地判断矩阵爿是否具有用次根、以及 如何求矩阵爿的研次根的问题具有重要的现实意义本文给出了根据奇异矩 阵的奇异j o r d a n 块分组情况来判断矩阵爿是否有历次根的方法，并且给出了 相应的算法在矩阵爿有根的情况下。介绍了利用矩阵的s c h u r 分解求矩阵爿 的平方根的迭代算法这些算法为矩刚弋数根的实际应用提供了可行的解决办 法， 二次矩阵方程盖2 一色何+ 口= 0 的求解目前可行的数值解法主要有：广义 s c h u r 分解算法，n e w t o n 迭代算法，b e n l o u i l i 迭代( 不动点迭代之一种) 算 法等但这些方法对于判定方程是否有解以及解的唯一性都缺乏相应的结果 本文应用固定点理论讨论了二阶矩阵方程x2 2 丘r + b = o 是否有解、以及解 的唯一住，得到了相关的结果这部分内容见本文第三章 最后，我们陈述本文的一些有意义的结论 1 对于矩阵爿( ，若爿有代数根并且代数根不是酉矩阵，那么其代数 根的酉不变范数大于1 2 若m 是偶数，印口州“”一c 当且仅当爿= m ，a ；o ( 妒口州表示 矩阵a 的小次根张成的子空间) 3 p 8 栉0 = 彳c ”4 ：护( 彳) = 0 ) 关键词：矩阵方程根标准根酉不变范数s c “r 分解固定点理论柯西积 分公式 a b s t r a c l a b s t r a c t t h ep r o b l e mr e j a t e dt oa l g e b 功i cm a i ! r i xe q u a t i o n si s 。n eo ft h ei m p o r t a n t b r a n c h e s ，a n dm ei l o n l i n e a rm a t r i xe q u a t i o n sp l a ya ne s s e n t i a lr o l ei nm a n y f j e i d s t h ep u r p o s eo ft h e 小e s j si sf os u r v e yl b ev e f yi 国p 甜t a n ! a f e a0 fm a t “x 1 1 1 e o r y ：n o n l i n e a r 趟g e b r a i cm a t r i xe q u a t i o n s w ec o n s i d e rm a i n i yt h ee q u a t i o n x 脚= 爿a n dt h eq u a d r a t i cm a t “xe q u a c i o n x 2 2 a + 口= o ( w h e r e 坍 i sp o s “i v e i n t e g e r ，a n dx ， 4a r es q u a r em a t r i c e so f t h es a m es i z e ) ， t h r o u 曲t t b er e s u h so ft h i sp a p e r ，m a l l yd i f f e r e n c e sb e t w e e nt h es c a l a r e q u a i o n z mj 疗，z 2 一：搬+ 6 葛o a n d h e1 n a 圩i xe 口u 8 t i o n 肖4 ；爿，x2 2 倒+ 口= o ( i i f 1 ) w i l lb e c o m ea p p a r e n t i nc o n t r a s t t ot h e p r o p e n i e so ft h es 0 1 u t i o n so fas c a i a r e q u a t i o n ，啦es d u i 。n so fl h em a 喇xe q u a l i 。i 】a r e n 。n e c e s s 8 州yp d y n o 啦j a 】si n a ，t h e yd on o tn e c e s s a m yc o m m u t e ，a n dt h e ym a yb en i l p o t e n t m o r e o v e r ，t h em a t r i x e q u a t i o n ，s u c ha sa i i 2 ) ，m a yh a v ei n 矗n i 亡e ym a n ys o i u t i o n sw n e nt h ec o r r e s p 口n d i n g s c a l a re q u a t i o n sh a v e0 n l yaf i n i t en u m b e ro fs o l u t i o n s f o re x a m p l e ，t h es o l u t i o n so f t b em a t r i xe q u a t j o n 。( 10 lj ” ，( 苫三) ， a n da i lm a t r i xo f t h ef o 1 1 g 舻呐以 t h et l l e s i sf i r s tg i v e sas u r v e yo fe a f 【i e rk n o w nr e s u l 【smt h i sr i e l d ，t k no b t a i n s s o m ec o n d i t j o n sf o rt h es d l v a b m t yo ft h ee q u a t i o n 肖“= s o m ea l g o r “h m sf o rt h e s d u t 沁n sa r ep r e s e i 她d r d a h o n s h i pb e t w e e ns i n g u v a l so f ac o m p 【e xm a 行i xa n d 一，二! ! ! ! ! ! ，。一 _。r_。1。_。-_。_。j。_-_1_。+r1 i t si i 】t ho r d e rr o o t si sa l s oi n v e s t i g a t e d i n c h a p t e r 1 ，w ee x p l a i ni h ec o r r e s p o n d i n gb a c k g m u n d so ft h et h e s i s ， t h e p u r p o s eo ft h i st h e s i s ，t h em e t h o d s o fr e s e a r c h ，c h er e s u i t so ft h i st h e s i s ，e t c i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i 驴t et h ee q u a t i o nz ”2 爿f o ra n yg i v e nm a i r i x 爿c m 0 u rp u r p o s eh e r ei sb yd i s c u s s i n gl h em a t r i xm t hr o o l so fj o r d a nn o n a lf o r m m a 【r i c e s ，t h e nd i s c u s s i n gt h eu s u a im a t r i c e s i ts h o w st h a cn o n s i n g u l a rj o r d a nn o n n a j f o 硼m a t r i c e sh a v em l hr o o t s w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fm a t r i xm mr o o t so f n o n s i n g u l a rc o m p l e xm a t r i c e s e v e n l u a l l 矸w eg j v et b e s u f f i c i e l l ta n d1 1 e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fm a t r i xm t hr o o t0 fag e n e r a lc o m p l e xm a t r i x w eu s e n u 埘e r i c a lm e t h o dt osl u d yt h ee q u a t i o nx ”= 爿w ep r e s e n ta na l g o r i c h mt of i n dt h e r o o t s ，b yu s i n gt h es c h u rd e c o m p o s i i i o no f 爿w ea l s op o i n to u ts o m ee r r o r sa p p e a r i n 【2 5 】，【3 3 】，【3 7 】i np a r t i c u l a r ，w e c o n s i d e rt h er o o t so faj 【) r d a nn o 肿a lf o r m ，f o r ，打苫2 ，a n da n a l y s i st h ee x j s t e n c eo ft h es o l u t i o n s ，t h en u m b e ro fs 0 1 u t i o n s ，a n dt b e g e n e r a lf o 册so fi t ss o i u t i o n s i nc h a p c e r3 ，b a s e do nt h ea n a l y s i so ft h e2 i ho r d e rm o t so fam a t r i x ，w ee s t a b l i s h s o m ef u r c h e rr e s u l t so n 丑2 2 a x + b = o s p e c j n c a l l 弘w eg e tt h ec o n d i t i o nf o rm e u n i q u e n e 辐o fi t ss o l u t i o n i nt h ee n d ，w es t a t es o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t so ft h ec h e s i 8 1 a n yu n i t a r i l yi n v a r i a n fn o 珊o fan o n - u n i t a r ya l g e b r a i cr o o to fu n i t a r ym a c r i x i s 掣e a t e rt h a n1 2 ，1 f 卅i sa ne v e nn u m b e r t h e n 山es o l u t i o n so fx = 爿s p a n w h 0 1 e c i fa 1 1 d o n l y i f4e “，a 茸0 3 驴口n 0 17 2 = 爿c “。：f r ( 爿) = o ) k e y w o r d s ：m a t r i xe q u a t i o n m o t n u m e r i c a la l g o r l t h mc a n o n i c a lr o o t f i x e dp o i n tt h e o r e m c a u c h yi n t e g r a if o r m u l af o rm a t r i c e s 符号说明 符号说明 月 实数集合，实数域 c 复数集合，复数域 z整数集合，整数域 z 正整数集合，正整数域 j 单位矩阵 c n n 复数域矩阵集合 己， 复数域上厅h 酉矩阵集合 f “ 数域f 上n n 矩阵的集合 j f 卜 数域f 上的多项式环 乃p 】数域f 上的次数小于等于d 的多项式的集合 d e g ，多项式，的次数 |矩阵范数( 满足j 下定性恻| ，o ，c ，爿一o ，| | 0 | | = o 次加性 i 陋+ b s l 阻卜i p i 齐次性i l 叫8 = p i l ，v 4 c ，a c 次乘性i 陋占4 s b 8 ) ， 矩阵的f r o b e n i n s 范数( 即恻j ，；( h i2 ) j ) | h | 。 无穷算予范数 4 7 矩阵4 的转置 爿 矩阵一的共轭转置 川4 ) 矩阵彳的迹 d e t o ) 矩阵彳的行列式 ，)矩阵“的秩 4 c矩阵爿的交换子( 若剐一似则x 为i 的交换子) 0 )似) = 如陋以= 州。，c j 则称0 ) 为一的中心，其中一p ) 符号说州 称为a 的一个交换予 j 。 矩阵爿的如以口n 标准形 ，；( a ) 特征值为九的女阶如r d 口n 块 彳 b表示矩阵a 与b 的褂o n e c k e r 积 九叫) 矩阵一的谱( 爿的特征值的集合) 仃)矩阵爿的奇异值 日，( 鼻)绕固定点x 半径为r 的开球 e g ) 绕固定点x 半径为r 的闭球 叫爿 矩阵爿的m 次标准根 m 。( f )矩阵爿的最小多项式 印口刎“ 表示矩阵爿的m 次根张成的子空间 印。叫。 表示与矩阵一可交换的矩阵张成的子空问 独创性声明 y 7 6 s s 9 3 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获等宝 娄 太萨其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：寿面盖受 签字日期： 和。歹年弘月劲日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解寄 瓤太喜有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授瑶锵太蓼以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印，缩印或扫描等复剁手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者始在也母 铷张 剜， 签字日期：加西年廖月阳日 签字日期：矿年广月。日 学位论文作者毕业去向：武汉午江古乏太堂 工作单位：电话： 通讯地址：邮编： 俯一章r j i 高 1 1 背景介绍 第一章引言 矩阵的m 次方根具有很多实际的应用，尤其是矩阵的平方根，其应用领域 更为广泛比如，在矩阵爿的极分解爿= 只u = 吧中( 其中，u 是酉矩阵， 剧= e 2 ，一+ z = 忍2 ) ，如何确定冀、岛的显式解，从而将矩阵4 唯一的分解为 一个酉矩阵与一个工f 定或者半正定的h e r m j t e 矩阵的乘积的形式，就涉及到求 一个矩阵的平方根的问题事实上，对于任意正定或者半正定矩阵都有f 定的 或者半正定的平方根，也就是本文定义的算术平方根，而且，对于非奇异矩阵爿， 其平方根爿“2 还可以表示为彳的多项式的形式 如果将平方根的概念再稍微做一螳推广，则可以直接应用到信号处理和控 制学领域，比如平方根k a l m a n 滤波、广义平方根h ”滤波等等，都涉及到矩阵 的平方根的问题 当然，针对矩阵的代数根目题，可以利用数值计算的方法，通过使用m a t l a b 等工具软件来求矩阵的代数根但是，计算机在进行数值计算时，会有截尾误差 的问题，截尾误差在计算过程中会积累下来，当迭代的次数越多，积累的误差会 越大，最终会导致计算出的结果完全不能满足实际的需要；另外，目前的工具软 件求代数根，基本上都只能得出一个根，而实际上一个矩阵的代数根可能会有 很多，甚至是无穷多个，这显然不能反应实际情况，当然不能很好的满足实际需 求：更为严重的问题是，当矩阵是奇异矩阵时，计算结果就近乎荒谬了 举例如下 例1 1 ，1 求矩阵方程x2 = 爿的全部解萁中 爿2 使用m a t l a b 进行计算的结果是 甜阵的代数根 x 2 2 点) t 【o1 4 1 4 2 j x = f 黧之二弦口为任黼is i n 8一c o s 臼j 。7 4 2 肚， z ， 0 一丛+ ! ! y4 y 3 + y5 0 兰! y 3 + y5 0 羔! y 】y l y4y3 七y ， y 。 y3 + y j y 4 y 3 + y 、 所有这些问题的最终解决部可以归结到一个问题：矩阵方程x2 ；的解 的问题更进一步，即矩阵方程z ”= 爿的解的问题由此可见，对矩阵方程 x ”= 爿的解的问题的探讨，不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的现实意 义 近几十年来，关于一个实矩阵或复矩阵的m 次代数根问题，很多学者对其 做了很多有意义的研究，很多有意义的研究结果已经发表出来，其中最为突出 的研究者有j l w i n l e r ( 1 9 8 0 ) ，r a h o m ( 1 9 9 1 ) ，g t e n h a v e ( 1 9 9 3 ) 等19 7 4 年 2 第章，；i 卉 g w c r o s s 和p b n c a s t e r 对复方阵的平方根进行了讨沦俐t1 9 8 0 年，j l w i n t e r 将前人的研究进行推广，对矩阵的m 次根进行了探讨，指出了指出非减次矩阵 的优次根是有限个，而减次矩阵的m 次根是无限个：1 9 9 】年，r a h o m 对矩 阵的肌次根的表示进行了研究，指出n 阶非零矩阵爿的m 次根可以表示成矩阵 爿的多项式的形式的充分必要条件是矩阵爿非奇异或者矩阵爿的奇异块是l 阶零矩阵，即矩阵爿置换相似于爿。o o ，其中爿。c ”。“为非奇异复矩 阵，o s ，n i l j ：1 9 9 3 年，g t e n h a v e 就非奇异实矩阵的实坍次根的进行 了研究，指出了非奇异实矩阵在实数域上总有奇数次根，在以后相当长的一段 时削内，还有很多学者从不同的侧面对浚问题进行了研究，得到了一些结果，在 此不一一列举了 如果在矩阵方程胃2 = i 中加入一次项，则得到二次矩阵方程 工2 2 倒+ 占；0 二次矩阵方程工2 2 硝+ 曰= o 的特征值问题的解及其性 质在工业、工程等许多领域有着广泛的应用，如处理二阶微分方程及震荡结构 系统、控制理论、随机过滤和决策分析等早在1 9 世纪八十年代，s v l v e s t er 2 1 j 曾就此问题进行了研究，后来，m c f a r l a n d ( 1 9 5 8 ) 【2 0 】，h n c a s t e r ( 1 9 6 6 ) 巴 l a n c a s t e r - r o k n e ( 1 9 7 7 ) 1 1 9 1 ，j ( r e i n - h n g e r ( 1 9 7 8 ) 1 1 8 l 及h 培h 砌和m 【1 6 】【1 7 l 都对 该方程进行了研究，所有这些研究基本上都是围绕着二次矩阵方程的数值求解 而展开的，对方程是否可解、以及解是否唯一等，还有待完善 1 2 主要内容介绍 首先介绍几个定义 定义1 2 1 ( 川次代数根) 矩阵曰是矩阵爿的一个m 次代数根，简称卅次根， 如果b 满足口”= 爿( 卅，n z + ，爿c “”) 定义1 2 2 ( 矩阵的m 次算术根) 对于半正定矩阵a ，若存在半正定矩阵x ， 使得x ”一爿则称为矩阵a 的，1 次算术根 定义1 2 3 ( 【，不变范数) 一个矩阵范数称为u 不变范数，如果对任意的 矩阵的代数根 u ，矿u 有i 阻矿l l = j i 彳 定义1 2 4 复数域上所有n 阶矩阵组成的集合c 构成复数域上的线性 空间，记此线性空削为c ”“设mcc ”“，记 妒8 ，2 膨= 扣l z l + 口2 盖2 + 目女工t f x 。肼，口，c ，i = 】，女，女) 即印a n m 是由m 中任意有限个元素的线性组合的全体组成的集合，易知 印口m f 是c 的子空问，妒口n m 称为m 张成的予空间 取m = 4 ”，则印n 删表示彳的次根张成的予空叫 在此基本定义的基础上，本文第一部分工作是围绕矩阵方程x 4 = 爿丽展 开的，在吸收、借鉴了前人研究成果的基础上，按照由简单到复杂的原则，从平方 根入手，得出了单位矩阵的平方根的一个性质，即若42 = ，。廖2 ；f 。，则 口。口) 2 一， 一由此指出文献 3 3 】存在的错误彻底解决了2 阶矩阵的平方根 的问题利用矩阵研次根的性质和奇异值不等式得出了下列定理 1 设u c 为一个酉矩阵，x c “为一个非酉矩阵且为u 的个 优次根，即u = x ”，f 1 | | 为c 上定义的任一酉不变范数，则肛| | ，1 ； 再利用j o r d a 日标准形理论和a 矩阵的理论，对矩阵方程x = 爿的解的存 在性定理和解的一般形式进行了探时，给出了解的表达形式，由此指出了文献 2 5 】，【3 7 1 存在的错误本章还对矩阵方程盖1 ；a 解的结构进行了研究，得出了 下面结果 2 若是偶数，印n 州= c 当且仅当爿= “，a 0 ： 3 置p 口n o ”2 = 一c 斛“1 f ，以= o ) 本文第二部分工作是围绕二次矩阵方程z2 “+ 艿= o 而展开的，主 要利用固定点理论对该方程解的存在性和唯一性进行了讨论 4 第二章矩阵方程盖”= 爿 第二章矩阵方程f = 爿 矩阵方程f = 4 是一类很重要的特殊矩阵方程，它在数字图象处理、线性预 测、自回归滤波器设计、计算机时序分析、编码理沦、密码学、结构计算等许 多实际问题中有着广泛的应用关于矩阵方程x ”= ，4 的解的部分结沦已被应用 于控制理论和图论f 2 j 本章是讨沦矩阵方程x = 4 在前人的基础上着重词论了矩阵的平方 根，m 次标准根，矩阵方程爿”= 爿( 川z2 ) 的解的存在性，及在有解的前提下，解的 个数和一般形式，得到了一些新的结果，并且指出了文献 2 5 】、【3 3 】、 3 7 】中定理存 在的错误 2 1 矩阵m 次根的性质 首先介绍矩阵根的基本性质，再利用一种特殊的矩阵范数一一酉不变范数， 得出本节的重要结果 定理2 1 1 若4 c 且a 有卅次根，则a 确奇异的m 次根当且仅当a 为奇 异矩阵 证明设z = 爿，则d e t ) = d e t ) r = d e t ”) 从而结论得汪 注由以上易知a 有奇异的次根当且仅当a 的所有的m 次根为奇异矩阵 定理2 1 2 ( 秩不等式) 若4 c 且z “= 4 则，q ) sr 峰) 证明因为乘积的秩小于等于各因子的秩，且“= 爿，所以r 似) sr ( x ) 注当z2 = 爿时有r 似) 2 ，( x ) 一n 事实上由s y l v e s t e r 不等式r 即砷2 ，( 4 ) + r ( 口) 一n ，又肖2 = 爿所以r 口) z 2 r 仪) 一n 引理2 1 3 若4 = 丹。p 。其中4 c ”“，尸c “”是可逆矩阵，j 。是爿的 如砌h 标准形，则鼻”= 爿当且仅当y “= j 。，这星y = 尸。即( 结论显然，证明略) 引理2 1 4 若爿f ，且有2s 肌j v ，则x = i 在f 上的任何解都与a 可 铺旧的代数根 交换，其中f 是一个数域 证明因为朋。x x ：彳1 ：脚= 删，所以疋与爿可交换 引理2 1 5 爿。；c ”，彳：= c 一，彳。c ”“，且一，彳2 ，爿；的谱两两 不相交，则x ”= 托g ( 爿，爿：，4 ) 的任何解都有下列形式 x = d f 口g ( 爿1 ，x 2 ，x 。) ，其中。c ”“，爿，= ，“，f = l ，2 ，j 证明因为丸( 彳，) n m ) = d ( f j ，f ，1 2 ，s ) ，易知爿的中，心似) 具有下 列形式 ( 爿) 一扫= d i n g ( _ ，匕，k ) k 哥”一j 而0 ) 这个集合包含了x “= 爿的所有解( 山引理2 1 4 可知) 所以x 必具有 矗i “占( x i ，x ：，x ，) 的形式 推论2 1 6 设爿= c 可对角化且爿的n 个特征值两两不等，则x ”：爿有不 超过m “个可对角化的解矩阵 使得 事实上，由于x 与a 可交换所以x 与a 可同时对角化，即存在一可逆矩阵尸 尸“肝；饥n g ( ( 工) ，a ：( ) ， ，( z ) ) p 叫爿p = d f n g ( ( 彳) ，a ：( 4 ) ，九( 爿) ) 由于x “一4 ，所以有 d 缸g ( ( x ) ，a ：( 爿) ”，九( x ) “) = 破d g ( ) ，a ：( 爿) ，九( 4 ) ) 即 似) ”= 叫) 于是对于确定的 ) ， 僻) 有肌种选择，依概率统计中的乘法法则 d 纽g ( ( 盖) ，如僻) ，( x ) ) 有m ”种选择，所以x “= 4 有不超过m ”令可对 角化的解矩阵 注对于任意矩阵a ，若月；x ”，则经适当排序有 。 箜三兰丝堕查堡垒! = _ 三二生一 凡( 爿) = ( x ) ，“2l ，矗，”) 但对于奇异值，上述等式一般不成立，例如 ( ：挣卜h j - 1 2 ) 计算 砌= ( 二2m _ 1 2 ：冉 所以a 的奇异值吼嵩而，d ：= 而 计算m 一烬州二净 所以x 的奇胁。眄：。浮 显然o 。u ；2 ，仃2 d ；2 下面考虑q ( _ ) 与q ) 的联系若存在c ”满足方程爿；x “，则有 定理2 1 7 ( 奇异值不等式) 若矩阵是矩阵爿的州次根，则 pt “ 善q 口) 5 善呸皑) ，= l ，2 ，虬其中q ) ( fj 1 ，2 ，n ) 为矩阵爿的奇异值， 盯。僻) ( f = k 2 ，厅) 为矩阵x 的奇异值，且有 盯，( 爿) 盯2 即) 仃。似) 0 ，u 1 ( 肖) 盯2 ( x ) d 。( 彳) 0 证明由文献【3 0 】中的定理3 若4 、，4 ：，爿。c 分别具有奇异值 d l 7 2 之a 。n ，j ；1 ，2 ，m ，则乘积矩阵4 4 2 i 。的奇异值o l ，0 2 ，o 。满足 酗5 善珥 2 ，啡) 在( 2 1 1 ) 式中取爿。；x ，4 ：= 工，4 。= 石，则有 n ，“= x ) n 依( 2 1 1 ) 式有善吼似) s 蔷吼叫) ，2 = 1 ，2 ，月 矩阵的代数根 推论2 1 ，8 ( 一般奇异值不等式) 若矩阵x 足矩阵爿的一个次根，则剥 v a 0 有 a t 抽l 著吒) 著q 僻) ，2 = 1 z n 其中仃1 ) 0 2 似) 苫j 。口) 苫0 ，仃。f ) d ：) z - o 。( x ) 0 让明由文献【2 8 】中的定理1 ，设爿l ，爿2 ，彳。c ”，记1 ，爿：l 。= 爿则有 玎q 似) 5 珥玎州爿a = 1 2 ，“2 1 2 ) 在( 2 1 2 ) 式中取4 = x ，彳：= x ，爿。= x ，于是有 耳q 口) 5 口艄) ，2 ，儿 从而 珥。，拟) 5 珥q ( x ) ，2 胛1 t 3 ) 记_ 。l n d 。( x ) “，y f - l n q 口) 8 ，显然工l z 2 x 。yj y 2 2 y 。 且由( 2 j 3 ) 式有善t2 善咒 于是由文献 2 8 】中引理3 ，对任凸的递增函数，柯 善地) 2 善如a 2 ，n ， 取，0 。) - e 1 ，即有 著q 8 似) 5 善q ) ，；1 ) 2 ，n 推论2 工9 设爿= c ，4 j x “，x c “”，则善k l5 善c ，傅) ，。2 1 ，2 ，疗 其中口i 表示4 的第i 行第j 列的元素 证明记d = 讲。9 0n ，n 。，n 。) 不妨设k 。jzj n ：j = zj j 则由文献f 6 j 第 第二章矩阵方程肖”兰爿 5 0 页定理知 女t 善陋”i5 善。r ( 爿) ，七= 1 ，2 ，n 结合引理2 1 7 得结论， 推论2 1 1 0 设u c 为一个酉矩阵，x c 为个非酉矩阵且为u 的一 个m 次根，即u = x ”，为c 上定义的任一酉不变范数，则i 陋l i ，l 证明困t = 6 j 己，= x 由引理2 1 7 知 = 1 ，2 ， ( 【，) sp ( x ) “ 智钎 因为u 为酉矩阵，有u c ，；，所以盯。( u ) = l ，从而 于是 “5 酗( x ) 俐x ) 狐( x 弦。( 工) ) 。- 似) ”2 著。t ( 彳) z k ，从而仃t ( x ) = 1 若有仃g ) = l 则上式中所有的等号成立，即有 口，( j ) = 仃2 ( x ) = o 。( ) = l 则可汜zt 渤口g ( 仃。仁) ，盯：( 肖) ，o 。皑) ) 旷为矩阵肖的奇异值分解，其中疗，旷 为酉矩阵，则x = 疗矿，从而矩阵z 为西矩阵，这与题设矛盾，所以a ，( x ) z 1 ，故有 u 。( x ) ，1 ，所以l l x | jz 盯，( 肖) ，1 例：j j - 若u 2 ( ：) 观察可得出x = ( ：) 是u 的一个非酉矩阵的平 旒x 。) ( | l 2 2 矩阵的平方根 冉味肖) l ；( 3 土拈) 捌。= 2 ，l 本节先考虑任意矩阵a 的平方根的存在性，再考虑一些特殊矩阵的平方根， 矩昨的代数根 如半正定矩阵，单位矩阵，2 2 矩阵的平方根的特点，最后给出了化任意矩阵彳为 & 矗砧r 上三角形求平方根的算法 定义2 2 1 ( a 的降序) 记d 。= o ，d = n v 0 ) ，d ，= r ”1 ) 一r 0 。) ，f t l ，2 ，z ，则 d ”d 1 - d ，称为a 的降序， 注意到n 。，o ) 之，口1 ) r 2 ) 2 r ( 爿”) 易知存在一个正整数0s ，sh 使得r 口1 卜r 似。) 一r 即“1 ) 从而d ，0 ：d 一d m ，再考虑矩阵a 的j o r d a n 标准形，知“，( 1s is f ) 是爿 的阶数f 的奇异如砌栉块的个数，所以d 。，d d ， 引理2 2 2 【z 3 1 矩阵4 ：c 有平方根的充分必要条件是递减序列d ，中没有两 项是相同的奇整数， 引理2 2 1 3 1 半正定矩阵的算术平方根是存在且唯一 记，。为栉阶单位矩阵，爿 b 表示矩阵a 与b 的心o n e c k e r 积，则有 定理2 2 4 若爿2 = j 。，且2 = ，。，则o b ) 2 = ，一。z 汪明( 4 b ) 2 = ( 4 0 雪) 印 丑) 一叫。爿) ( 嚣0 8 ) = j ，。z ；，。， 注根据k m n e c k e r 积的性质，口o b o c ) ( 一。曰 c ) 爿2o 口2 c 2 ，所以 文献 3 3 】中定理1 的推论是错误的，例2 也是错误的 若爿- = ( ：；) ，爿。2 ；( ：ii ) ，爿，。；( ；：；) ，经计算爿t 一z 爿，一，s 下面考虑2 阶矩阵的所有的平方根的求法 对于矩阵方程z 2 = 4 ，4 c 2 “，依c a y l e y - h a m i l t o n 定理有 x 2 一( f ，：x ) x 十( d e t 爿) = 0 即 一一( f r x ) 盖+ ( d e t x ) ，= 0 ， 而d e t x ：s “西j ，其中：t 1 ，所以 ( f 饼汪；爿+ f 而，( 2 2 1 ) 1 0 第= 章矩阵方程x ”= 爿 ( 1 ) 若2 阶矩阵a 是数量矩阵，即爿= 口，山( 2 t 4 4 ) 有( f 崩) x = ( 1 + s m ， 瓠。帆耻。有x 。( ；廿2 怕一 当= 1 时( r 搿) = 2 口，有x = h ( 2 ) 若2 阶矩阵a 是非数量矩阵，因为f 崩一0 ，汜i = f r 则由( 2 2 1 ) 有 x 。吾0 + s 厮，) 代入x 2 = 彳化简得 4 2 + ( 2 s 磊函一r 2 1 4 + ( d e t 4 弦：o( 2 7 2 ) 对于2 阶矩阵a 应用c a y l e y h a m i l t o n 定理有 4 2 一( f ，爿) 爿+ ( d e t 爿) ，= 0( 2 + 2 _ 3 ) 比较( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 有e 叫+ 2 e 磊函一f z 如；o ，由于2 阶矩阵a 不是零矩阵，所 以有 f 脚+ 2 8 厮一f2 ：o 于是 。；。正再云瓦i ，。；十1 ， 由( 2 ，2 】) 有 z ：。善兰! ! ! ! 坚，( f 叫十2 s 怕而；o ) f ，爿+ 2 d e t 彳 ( 其中州+ 2 s a ；函一。是非数量2 阶矩阵a 没有平方根的充分必要条件) 例2 2 s 设爿= ( ：；) 求矩阵a 的平方根， 由唑埘n a 的平方根形如z2 尝) 1 接下来考虑任意矩阵的平方根的算法 近年来，对其有关快速算法的研究引起了人们的普遍重视化矩阵a 为s c h u 。 上三角形求矩阵a 的平方根的算法具有计算量少，思路清晰，易于编制程序及在 计算机上实现等特点，是较为实用的算法学过矩阵分析，我们知道任何一个复方 型业堕一 阵都酉相似于一个上二二角矩阵，为简单起见，本节只考虑上三角矩阵的平方根 设x ，一c ，且，有爿2 = 爿，e j 引理2 】4 ，x 与a 可交换知，x 与a 可以同 时三角化，即存在个酉矩障u 使得u 爿口= 瓦，“嬲：瓦，其中瓦，巧是上兰 角矩阵，于是就可以把矩阼力程五2 = 爿化为上三角形式巧。l ，即有 h l 2 z l 。1 f o j 2 2 j | o i 。； o o 工肌j lo 上l n z z 0工 口1 1 日1 2 l o 4 2 2 。2 o 0 比较上面等式两边的对角线元素育；t i ，i ：1 ，2 ，。 再比较上面等式两边的非对角线元素有 注当n 。ao ( i = l ，2 ，n ) 时不能用上述迭代求根 上述方法也可以用来解矩阵a 的立方根，同样，先把矩阵a 和矩阵x 同耐三角化 同样方法可得出 口- 一“2 塞塞工i n ，+ t 善。，+ ，z 。+ ，。，。砉z ，。+ ，毫t + ，。x ，。+ ，。：七；。一， ，。：!：u|!i：；：；：；i挚，。；，：，疗一， 其中一、，= 口0 ，f = 1 ，2 ，h 当然，这种方法应该可以发展成为找a 的更高次根的方法，本节不再赘述了 驼3 矩阵的标准根 本节考虑了矩阵柳次标准根的存在性，并在矩阵存在m 次标准根的前提下 给出了的矩阵脚次标准根与其坍次根的关系，给f b 了秩1 矩阵的m 次标准根的 1 2 第二章矩阵疗程爿”= 爿 形式，比文献【3 4 】中就m = 2 时得出的结论更一般 定义2 3 1 ( 次标准根) 设爿c ，若b c 为方程x = 爿的一个根，且 存在一个多项式p ( f ) f 【f 使得bz p 似) ，则称矩阵b 为矩阵爿的一个次标准 根 首先需要说明的是，一个复方阵可能有m 次标准根，也可能没有m 次标准根 例如爿= o1 o o o 0 0 o o 0 0 0 01 0 0 经观察x ： 0o o 0 01 0 0 10 0l o 0 0 0 是a 的平方根，但a 没有2 次标准根 事实上，若矩阵爿有2 次标准根，则才= p 0 ) = p 帆( 0 ) o j ：( o ) ) 两边平方得 爿一，：( o ) o ，：( o ) ；仂( j ：( o ) o j ：( o ) ) 2 。扫u ：( o ) ) 2 。扫( ，：( o ) 2 所以 ，( 0 ) 一枷u ( 0 ) ) 2 即j ：( 0 ) 有平方根p u ：( 0 ) ) ，但很容易验证i ，：( 0 ) 没有平方根，这样与假设矛盾，所 以矩阵彳没有2 次标准根 定义2 3 2 ( 爿的块对角化) 若只，最，只是正交投影映射，即 ( 1 ) e 0 = o ，v f j ，f ，j 1 ，2 ，r ) ( 2 ) 。只= ， ( 3 ) 只2 = 只，f l ，2 ，r ) 则著。只爿卑；c 口) 为块对角矩阵 具体地说，若 则 爿= 爿“4 1 2爿l ， 爿，l爿，2 矩阵的代数根 善。只棚# c ) = 4 1 1 0 o 爿2 2 0 o ： 0 0爿 对于爿一( o ) r 一( n 阶零阵) ，易知石”= o 的标准根只能是零，这是因为若 x = ，( o ) ，则彳或者为零阵，或者为一个非奇异数量阵( x = ，( 0 ) ，( o ) ；0 ) 但x 为幂零矩阵意味着x 只能是前一种情况 下面考虑一个非零n 阶方阵彳有次标准根的充要条件 定理2 3 3 若m22 ，则n 阶非零矩阵a 有掰次标准根的充分必要条件是 矩阵a 非奇异或者矩阵a 的奇异块是1 阶零矩阵即矩阵a 置换相似于爿。o o ， 其中爿1 1 c ”为非奇异复矩阵，o e 女，n 证明( 必要性) 设b 为a 的一个m 次标准根，即存在一个多项式p ( f ) 使得 b p 一) 且日4 一爿，假设a 的最小多项式为 卅( r ) 一f 4 0 一 ) 1 ( f 一九) ( 2 3 1 ) ( ， 2 ，九为两两不同的非o 数，q ，- ，：，为自然数) 下证q = 0 或1 反设譬 1 则a 的j o r d a n 标准形为、，。= j 。( 0 ) o ，其中 j 。( o ) 置 o10o 0。 ； ； 0 01 oo o 为一个口阶j o r d a n 块 ，= ，( ) o j ( t ) o 0 ，( 九) 为一个非奇异的上三角形矩阵因为爿= = 删 于是4 一p ) “= o 从而多项式厂( f ) ；f p ( f ) “为a 的一个化零多项式，故 川( f ) i ，( f ) 即存在