（概率论与数理统计专业论文）多维blackscholes期权定价模型.pdf

多维b l a c k - s c h o l e s 期权定价模垄 摘要 许多原因可以导致期权合约在到期日之前被终止例如，当上市公司 破产或被兼并时，应立即执行其未到期的股票期权在现实中，多个随 机因素可以影响利率和标的资产价格且一些重大信息可以使标的资产价 格发生跳跃本文利用随机分析等数学工具，( 一) 研究在完备市场中 随机利率情形下具有随机寿命的多维连续的b l a c k s c h o l e s 定价模型； ( 二) 研究单一股票在随机利率下由几何b r o w n 运动与多维p o i s s o n 过 程驱动的m 随机微分方程所描述的期权定价模型；( 三) 研究有多个股 票的完备市场中随机利率情形下多维带跳的期权定价模型并把它推广到 带随机寿命情形 本文主要结果如下， ( 一) 对在完备市场中随机利率情形下具有随机寿命的多维连续的 b l a c k s c h o l e s 定价模型，利用鞅方法和停时理论得到了它的期权定价公 式 ( 二) 对单一股票在随机利率下由几何b r o w n 运动与多维p a e e o n 过 程驱动的i t 5 随机微分方程所描述的期权定价模型，利用资本资产定价 原理得到了欧式期权定价公式 ( 三) 对( 多个股票的) 完备市场中随机利率情形下由几何b r o w n 运 动与多维p o i s s o n 过程驱动的，t d 随机微分方程组所描述的期权定价模 型，利用鞅方法得到了它的多维欧式期权定价公式；然后把此公式推广 到带随机寿命情形 关键词。多维b l a c k s c h o l e s 模型； 利率；随机寿命；几何b r o w n 运动； ( 欧式) 期权定价；鞅定价；随机 p o i s s o n 过程；随机微分方程 查堡里竺鳖! 塑生塑壑室竺苎型 a b s t r a c t o p t i o nc o n t r a c t sm a yb es t o p p e db e f o r ee x p i r ed a t eb ym a n yr e b 8 0 础f o r e x a m p l e ，w h e nac o m p a n yb a n k r u p t so ri sa n n e x e d ，i t su n e x p i r eo p t i o ns h o u l db e e x e r c i s e di m m e d i a t e l y i nr e a l i t y , m a n yr a n d o mf a c t o r sc a na f f e c ti n t e r e s tr a t e s ，a n d t h ep r i c eo fu n d e r l y i n ga s s e tw h i c hm a yj u m pd u et os o m ei m p o r t a n ti n f o r m a t i o n - i nt h i sp a p e r ，骶t a k et h r e e t c t o r sa b o v ei n t oa c c o u n t ，w i t he t o c h a t i ea n a l y s 坶，( 1 ) am u l t i - d i m e n s i o n a lc o n t i n u o u sb l a c k - s c h o l e so p t i o np r i c i n gm o d e lw i t has t o c h a s - t i cl i f ei na c o m p l e t em a r k e to fr a n d o mi n t e r e s tr a t e 8i ss t u d i e d ；( 2 ) i na m a r k e t o fr a n d o mi n t e r e s tr a t e s ，a no p t i o np r i c i n gm o d e lo ns tm g l es t o c kd e s c r i b e d 蚵a n j 幻s t o c h 且s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s d e ) w h i c hi sd r i v e nb yag e o m e t r i cb r o w n i a n m o t i o n ( b m ) a n dm u l t i - d i m e n s i o n a lp o i s s o np r o c e s s e si sm v 喊i g a t e d ；( 3 ) am u l t i - d i m e n s i o n a lo p t i o np r i c i n gm o d e lw i t hj u m p so ns e v e r a ls t o c k si nac o m p l e t em a r k e t o fr a n d o mi n t e r e s tr a t e si ss t u d i e da n de x t e n d e dt oc a s e 8o fs t o c h a s t i c1 i v t h en l a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r e8 8f o l l o w s ： ( 1 ) f o ra m u l t i - d i m e n s i o n a lc o n t i n u o u sb l a c k - s c h o l e so p t i o np r i c i n gm o d e lw i t h 8s t o c h a s t i cl i f ei nac o m p l e t em a r k e to fr a n d o mi n t e r e s t s ，i t so p t i o np r i c i n gf o r m u l a i so b t a i n e db yt h em a r t i n g a l em e t h o da n ds t o p p i n gt i m et h e o r y ( 2 ) i na m a r k e to fr a n d o mi n t e r e s t s ，f o ra no p t i o np r i c i n gm o d e lo nas i n g l e s t o c kd e s c r i b e db ya ni t 5 ( s d e ) w h i c hi sd r i v e nb yag e o m e t r i cb ma n dm u l t i - d i m e n s i o n a lp o i s s o np r o c e s s e s ，e u r o p e a no p t i o np r i c i n gf o r m u l ai sg o t t e nb yt h e c a p i t a la s s e tp r i c i n gt h e o r y ( 3 ) f o ra m u l t i - d i m e n s i o n a lo p t i o np r i d n gm o d e lw i t hj u m p so ns e v e r a ls t o c k s i n c o m p l e t em a r k e to fr a n d o mi n t e r e s t sd e s c r i b e db yas y s t e mo fi t 6s d e s w h i c h 8 托d r i v e nb yg e o m e t r i cb m sa n dm u l t i - d i m e u s i o n a lp o i s s o np r o c e s s e s ，am u l t i - i d i m e n s i o n a le u r o p e a no p t i o np r i d n gf o r m u l ai so b t a i n e db yt h em a r t i n g a l em e t h o d a n de x t e n d e dt oc a s e 8o fs t o c h a s t i cl i r e s k e y w o r d s ：m u l t i - d i m e n t i o n a lb l a c k - s h o l e sm o d e l ；( e u r o p e a n ) o p t i o np r i c i n g ； m 盯t h i g a l ep r i c i n g ；r a n d o mi n t e r e s tr a t e s ；s t o c h a s t i cf i v e s ；g e o m e t r i cb r o w n i a nm o - t i o n ；p o i s s o np r o c e s s ；s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 多维b l a c k s c h o l c s 期权定价模型 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名； 秦) 生平明年j 月? 6 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密酣 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名 导师签名 泰连手 向貉和 4 5 多维b l a c k - s c h o l e s 期权定价模童 第一章前言 1 1 研究背景 在过去的半个世纪里，金融学的定量研究越来越引起人们的重视尤 其是2 0 世纪9 0 年代，全球性的金融风暴使得人们深切体会到，不用定量 的思想方法来驾驽噎融”这匹野马简真是天方夜谭而定量的思想方法 自然依赖于数学1 9 世纪的马克思认为，一种科学只有在成功地运用数 学时，才算达到了真正完善的地步 1 9 7 3 年，两位伟大的金融理论家与实务家f b l a c k 和m s c h o l e s 【1 1 】 发表了他们的著名论文哆弭权定价与公司债务”( t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n d c o r p o r a t el i a b i l i t y ) 给出了欧式期权定价模型及显式表达式这是金融数 学中一项有里程碑意义的突破性工作对于该模型，国内外学者已经做 了大量的研究工作，获得了许多对金融实践有指导意义的结果但通常 认为期权定价问题都有确定的到期日，而期权合约在到期日之前由于种 种原因可能被终止例如，当上市公司破产或被兼并时，其股票期权虽 未到期，但应立即执行在现实中，多个随机因素可以影响利率和标的 资产价格且一些重大信息可以使标的资产价格发生跳跃因此，众多学 者基于上述理由，提出了各种期权定价模型 本文利用随机分析( 鞅方法) 等数学工具推导出三种期权定价模型的 定价公式，试图得到一些对金融实践有指导意义的结果 本文第二章研究在随机利率下具有随机寿命的连续的多维的期权定 价公式；第三章研究在随机利率下，当股票价格满足由几何布朗运动与 多个风险跳跃源( p o i s s o n 过程) 所驱动的，t 6 随机微分方程时，欧式期 权定价模型的定价公式；第四章研究在完备市场中随机利率情形下股票 价格满足由几何布朗运动与多维泊松过程所驱动的，拍随机微分方程组 】 硕士学位论文 的欧式期权定价模型的定价公式，并将此公式推广列带随机寿命情形 1 2预备知识 1 条件期望【1 1 如果x 与y 是离散随机变量，对一切使p ( y = f ) 0 的y 定义给定 y = 掣时，x 的条件概率质量函数为 p ( x = z l y = 们= ! 垦；群 给定y = 3 ，时，x 的条件分布定义为 f ( zj u ) = p ( x z l y = ) 而给定y = 可时，x 的条件期望为 e x i y = 引= z d f ( z l ) = p = 叫y = ) 我们以e i 明表示随机变量y 的函数，它在y = ”时，取值为e x y = 胡 条件期望的一个极其有用的性质是对一切随机变量x 与y ，当期望存在 时，有 e f x l = e e i x i y = 胡p ( y = f ) 2 泊松过程【1 1 1 随机过程称 ( t ) ，t o 为一个计数过程，若| | v ( t ) 表示到时刻t 为止 已发生的“事件”的总数因此一个计数过程( ) 必须满足， ( 1 ) ( t ) 0 ，( 2 ) ( t ) 是整数值， ( 3 ) 若8 k b ( u 矸 l 五】= 一1 2 其中h = b ( f t ) e 户【喾等鸯， 甄扣) 胃口扣， i 五1 ， 令 如= k b ( t ，t ) e p i s ( 曲 片日“功ji 五l 6 = 唧h 肛一删灿+ 肛叫蝴酬) 1 0 多维b l a c k - s c h o l e s 期权定价模壅 由于& 严格为正，且期望为i ，定义如下新的概率测度 d q = 矗驴 管 “，叩) = ) 一f ( 嘶) 一珊( 训 由g i r s a n o v 定理知。毋g ) 在q t 下是标准布朗运动，且 器= 器唧 一z 。( 州c 习1 嘶m ) 2 ) 砒 + r ( 嘶) 一0 r o ( ) 舻( u ) ) ，汪1 ，2 ， ( 2 1 1 ) 所以 = 盹t ) 旷( 爰揣，徘功l 五) = 骶习1 x , r 。雨s , ( t 亍i ) 1 r f ( 删+ i 1 ( 州一嘶) ) 2 ) 幽 + 厂t ( ) 一嘶) ) 幽批，脚州嗣j + ( 巩( s ) 一印( s ) ) 6 幻( $ ) 】j 鼠“) 耶( 。，r ) i 五i jj = 踯) 唧 一f 如) d s ) f 户婚地冀b i 鳓 = 踯) 唧 一f 如) 幽) 刚如眇耳觑例州 = 踯) 唧 一f ) 幽) 烈熟) 舳( u ，t ) 由( 2 1 1 ) 有 l 器讪器+ f 世1 ( 嘶h ( s ) ) 2 ) 幽 + 厂( 咖) 一娟) ) 舻如) 即 h 器一( h 器一知沪知刊啪2 f ( h ( s ) ) 2 d 8 ) 1 l 一 硬士学位论文 ( ，) 表示正态分布 所以 咄( 喳生糕需镐掣 、i n k 山器+ f ( 琅( 8 ) 一 ( 以( 8 ) 一印( 。) ) 2 ) 幽、 7 f ( 以( s ) 一印( s ) ) 2d s， = ( 燮哔器嵩铲) = s i ) e x p 一z “哦扣) d s n ( d l ) ， 如= b ( t ，t ) e p k i 囟( 。) k b ( u 。卵 j = k b ( t ，t ) 户( 最( “) k b ( u ，? ) ) = k e ( 涸，户( k 器 k k ) = k b c t ，r ，户( 兰! 茎l 二竺i 李占美丢粤! 龛占；| 箬唑 = 雠州( 蝼噜器甏挈业) = k b ( t ，t ) n ( d 2 ) 证毕 如果随机寿命r 服从指数分布，即，( q ) = a e x p t a ( 钍一f ) ，牡t ，则关于股 票& ( ) 的欧式看涨期权，在当前时刻的无套利价格 i ，( 印) 7 t ) = a j ( r 唧( t 叫 g ( 踯) 似汀) 淌舔) 如 + 叩 一a ( t t ) e ( 岛( t ) ，e ( t ，r ) ，正厶墨q ) 1 2 多维b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型 2 欧式看跌期权 定理2 5关于股票鼠( ) 的欧式看跌期权，在时刻“执行期权其损益 为9 ( s ( t ) ) = ( k b ( u ，t ) 一& ( t ) ) + ，0 乱正其中k b ( u ，t ) 式执行价格，利 用定理2 同样计算可得欧式看跌期权在当前时刻t 的无套利价格 其中 y ( & ( t ) ，t ) = f t t p ( & ( t ) , u - t , k , b ( t ，t ) ，啦) ，( 钍) d u + ( 1 一f c t ) ) p ( s i ( t ) ，t t ，k ，b ( t ，丁) ，啦) p ( 最o ) ) t t - - t ) ，b ( f ， ，q ! i ) = 一最( t ) 唧 一厂g ( s ) a s i v ( 一d 1 ) + k b ( t ，丁) | i 、r ( 一d 2 ) 如果随机寿命r 服从指数分布，即，( “) = a 哪 一a m t ) ，缸t ，则关于 & ( t ) 的欧式看跌期权在当前时刻t 的无套利价格 盯 y ( 最( t ) ，t ) = a 唧 一a ( t 一t ) p ( s ；o ) ，仳一f ，k ，口o ，t ) ，吼) d u j t + e x p - a ( t t ) p ( s ( ) ，t t ，k ，b ( t ， ，吼) 1 3 多维b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型 第三章股票价格服从跳- 扩散过程的b l a c k s c h o l e s 期权定价公式 对于b l a c k s c h o l e s 模型，m e r t o n b o 考虑了利率是连续随机过程的 期权定价模型在该模型中定义b ( ，丁) 为与期权同时到期且到期价值为 1 的贴现债券在t 时刻的价值，且b ( t ，t ) 遵循以下随机微分方程， d b ( t = r b ( t ，t ) d t + a e b ( t ，t ) d u b ( t ) ， 其中随机变量r 表示债券价格的期望收益率，常数仃b 表示债券价格的波 动率。u b ( t ) 是维纳过程；假设股票价格s ( ) 满足以下随机微分方程 d s ( t ) = u s ( t ) d t + a s c t ) 幽( t ) ， 其中，常数p 表示股票价格的期望收益率，常数盯表示债券价格的波动 率，叫( t ) 是维纳过程设p 是股票价格与债券价格之间的瞬间相关系数， r 是期权与贴现债券的到期日，k 是期权的执行价格在以上假设条件 下，m e r t o n 得到了欧式看涨期权的价值f ( s b ，t ，k ) 应满足的价值方程 f t + 互1 。2 铲+ 互1 盯咨b 2 f s b + p a a b s b f s s = 0 ( 3 1 ) 并给出了该价值方程的显式解 f ( 只b ，t ，耳) = s n ( d 1 ) 一k b n ( d 2 ) 其中 d l = h a s _ _ 而l n b 霉+ 虿( a s i + a 萧刍- 丽2 p a 雩c b 矿) ( t 一- - t ) ， 如= d x 一、( 矿+ 疃一2 a b ) ( t 一) ， 坼) = 去e 名如 项士学位论文 在上述模型中，股票价格服从对数正态分布而许多金融资产收益的经 验分布曲线表现出明显尖峰厚尾”现象，用跳跃扩散过程描述资产价格 可以解释“尖峰厚尾”现象早已被众多学者关注但已有的研究都是用 一个跳跃过程来描述新信息或稀有偶发事件对资产价格所造成的冲击， 在b l a c k s c h o l e s 环境下推广了b l a c k s c h o l e s 期权定价公式我们注意 到不同类型的稀有偶发事件对资产价格效果是不一样的，对应的偶发事 件发生的频率也不相同( 如技术革新，人事变动法律变更、违约事件等 等) 我们引入由几何布朗运动和多维p o s s i o n 过程所驱动的，随机微分 方程来更好地描述资产价格的行为，在随机利率情形下建立起包含多个 跳跃过程的期权定价模型 3 1 市场模型 考虑一个连续时间无摩擦的金融市场市场中有两种可交易资产。 一种是风险资产，称为股票设t 时刻的股票价格s ( t ) 满足以下随机微分 方程 nn d s ( t ) = 一k ) s ( t ) 比+ 口s ( f ) 咖( ) + x , s c t ) d n t ( t ) ，s ( o ) = 曼( 3 2 ) t = 1语1 其中“盯为常数，且s o ，p o ，盯 o ；u ( t ) 是维纳过程；肌( t ) 是参数为丸 的p o s s i o n 过程；1 ( t ) ，2 ( t ) ，心( t ) ，“，( t ) 相互独立，随机变量咒是当 第i 类信息来到时引起股票价格跳跃大小的百分数，且心= e i x , 另一种资产是到期日为t ，到期价值为1 的贴现债券，设t 时刻债券价格 b ( t ，t ) 满足以下随机微分方程 d b ( t 刃= r b ( t ，t ) d t + 矿b b ( t ，nd u b c t ) ，0 t eb ( t 即= 1 ，( 3 3 ) 其中随机变量r 表示债券价格的期望收益率，常数o b 表示债券价格的波 动率，咖( t ) 是维纳过程，与, 4 t ) 的瞬间相关系数为肛 1 6 多维b l a c k - s c h o l e s 期权定价模塑 3 2期权价值方程 设期权的到期日为r ，期权的执行价格为k ，f c s ，b ，t ，k ) 为期权在t 时刻的价值，f 关于t 一阶可导关于只口二阶可导连续 根据i t b 随机微分公式，有 令 令 d f ( t ) = 最出+ 舔 似一丸恐) s ( t ) 前+ 口s o ) 幽( t ) ) + f h r b ( t ，t ) ( i t + a b b ( t ，即d 垤( t ) + ；盯2 铲( ) 出+ 2 if 8 8 碚b 2 0 ，t ) 出+ 叮日s ( ) 口( 厶t ) d t + f ( s ( 1 + 五) ，b ，t ，耳) 一f ( s , b ，t ，) ) d i v i ( t ) i f f i l = f , + f s ( p - 厩) s ( t ) + f b r 曰( z ， + ；f s s 矿s 2 ( t ) = l 一 + 去j _ b 口刍b 2 ( t ，t ) + f s s 缈a b s ( t ) e ( t ，r 9 d t + f s c , s ( t ) 缸( t ) + f b t r b b ( t ，t ) 幽丑( t ) + f ( s o + 恐) ，b ，t ，k ) 一f ( s , b ，t ，k ) 础也o ) g = e + f s o | - 凡m ) s ( t ) + j 咯r 口( t ，t ) i f f i l + ：盯2 s 2 ( t ) + j 1 ，即。口2 。2 ( ，乃+ f s b 缈a v s ( f ) 曰( 厶刃， d f ( t ) = g d t + f s a s ( t ) d a , ( t ) + f b a b b ( t ，即d u s ( t ) n + f ( s ( 1 + 五) ，b ，t ，k ) - f ( s , b ，t ，k ) d 越( t ) ， t = 1 1 7 硕士学位论文 即= f s f r s ( t ) f ( t ) ， a f b = f a s b ( t ，t ) f ( t ) ， x f , = 【f ( s ( 1 + 五) ，b ，t ，k ) 一f ( 墨b ，t ，) l f 0 ) ，f = 1 ，2 ，n ， k e , = e r 】= e i f ( s ( 1 + 五) ，b ，t ，k ) 一f ( s ，b ，t ，k ) i f ( t ) ，i = 1 ，n ， 加= c f ( t ) + 凡 i = l n = o f ( t ) + a i e i f ( s ( 1 + x i ) ，b ，t ，) - f ( s , b ，t ，耳) 】f ( t ) i = 1 其中c 是关于1 + 墨的期望算子 根据以上记号期权的收益可表示成下面的形式t nn d f ( t ) = ，( ) 【( p ，一九如) d t + a f d w ( t ) + a f s 缸b ( t ) + a n d t ) ( 3 4 ) = lt = 1 其中，随机变量卯表示期权价格的收益率，常数1 7 f ，口邝表示期权价格的 波动率随机变量坼q 是期权价格跳跃大小的百分数且地= n x f , i ，f = 1 ，2 ，n 现构造一个由贴现债券、股票以及期权组成的的证券组合其 权重分别为亿见，而，使得该证券组合为零证券组合用v ( t ) 表示该证券 组合在时刻的价值则 v ( t ) = l q ( t ) b ( t ，乃+ 霄2 s ( t ) + _ ，r s f ( t ) 从而 d v ( o = - 1d b ( t ，t ) + 和d s ( t ) + 砚d f ( t ) = l r , r s ( t ，t ) + 他缸一九k ) s ( t ) + 丌3 ( 脚一甬，凡) f ( t ) ) d t = 1i = l + ( 1 r l a b b ( t ，即+ n s a r a f ( t ) ) 正p 占( ) + ( 7 r 2 a s ( t ) + 7 r 3 盯f f ( t ) ) c b ( t ) n + ( 7 s ( t ) x i + l r s f ( t ) x f , ) d n i ( t ) i = 1 令 1 8 多维b l a c k - s c h o l 鹧期权定价模型 = ( 劢盯s ( t ) + l r 3 a f f ( t ) ) v ( t ) = ( w l 口s ( t ) + 月j 艮口s ( t ) ) y ( t ) ， = o n 口b b ( t ，霸+ ，r s o r a f ( t ) ) v ( t ) = q r l a a b ( t ，t ) + 霄3 如o b b ( t ，t ) ) y ( f ) ， = ( 钯s ( t ) 五+ _ ，r 3 x f , f ( t ) ) v ( t ) = a j s ) 冠+ 哟i f c s 0 + 五) ，b ，t ，k ) 一f ( s b ，t ，k ) 】) y ( t ) ， i = 1 ，巩 = e x v , 】= 丌2 s ( t ) 尬4 - 霄3 c 【f ( s ( 1 + 咒) ，b ，t ，k ) 一f ( 只b ，k ) i v ( t ) ，i = 1 ，2 ，n ， = q h r b ( t ，t ) + 砸p s o ) + 以p f f o ) ) y ( t ) = r l r b ( ，+ , r 2 9 s ( t ) + 和【g + e ( f ( s ( 1 + 五) ，b ，t ，k ) - f ( s , b ，t ，) ) l y ( t ) t = l 根据上面的记号，证券组合收益v ( t ) 可表示成下面形式， a n ，o ) = v ( t ) o * v 一凡j 砘) a t + y o ) o 、，d 【，( t ) b l n + y ( t ) 口、，且c 相( t ) + y o ) x v , d m ( ) 其中，随机变量w 表示证券组合的收益率，常数( y v ，即b 表示证券组合 的波动率，随机变量x u ( i = 1 ，2 ，n ) 是组合收益跳跃大小的百分数， 且凰。= e m 吐l = 1 ，2 ，l r t 因此如果方程组 ( 幻薪掣品) ( i i ) 埘 即 咖 缈 硕士学位论文 有非零解，贝证券组合y 是无风险组合显然，上述方程组有非零解故 当以，霄2 ，丌3 是上述齐次方程组的非零解时，证券组合y 是无风险组合 此时有 a v ( t ) = v ( t ) ( u v 一凡) a t + v c t ) a n d ( t ) i = li = l 现假设由跳产生的风险为非系统风险，即由跳产生的风险是不可定价的 由于该证券组合是零资产组合，由资本资产定价理论知，此时证券组合 的期望收益率为零即l * v = 0 我们有 i t v = _ r f f b ( t ，7 3 + r 2 # s ( t ) + 他 g + 九日【f ( s ( 1 + 墨) ，b ，t ，k ) - y ( s , b ，t ，k ) 】) = o t = 1 综上，可得以下方程组t i1 r 2 a s ( t ) + b 盯s ( t ) = 0 ， ji r w b b ( t ，d + 砚f b a b b ( t ，t ) = 0 ， l l q r b ( t ，t ) + , r 2 t , s ( t ) 【+ 3 g + e ：l 九c f f ( s ( 1 + 置) b ，t ，k ) 一f ( s , b ，t ，k m = 0 由第个方程可得 砚= 一他艮 ( 3 5 ) 由第二个方程可得 将( 3 5 ) ( 3 6 ) 代入第三个方程并化简可得 r + ；风s 盯2 s 2 0 ) 十；以b 2 ( t ，t ) + f s b p a c b s ( t ) b ( t ， nn 一x , k , f s s ( t ) + j h ( i f ( s ( 1 + x i ) ，b ，t ，k ) 一f ( s , b ，f ，) 】= o t = lt = l 于是，我们可得以下定理； 2 0 ( 3 6