（应用数学专业论文）与欧式期权定价理论相关的若干问题的研究.pdf

国防科学技术大学研究牛院博士学位论文 摘要 随着期权交易发展成为国际金融市场的重要内容，对期权定价理论和技术的研 究也已成为金融界研究的热点之一。虽然近年来，人们力求走出过于理想的一般均 衡框架，考虑不对称信息、非理性行为等，但可以看到，这些新理论的提出，并没 有“彻底摧毁”原有的一般均衡框架或者经典的金融经济学。事实上，直到现在为 止，如果最终仍然要回答某个时期金融商品是如何定价的，那么某种稳定的均衡状 态仍然是需要的。本文在理论金融经济学的基础上讨论并研究了与期权定价相关的 系列问题，得到了一些理论成果，主要创新之处在于： 1 、从市场存在连续线性定价系出发来考虑市场的两个基本性质：无套利性和 完备性。给出了层次不同的市场无套利性同满足不同性质的符号测度之间的一一对 应关系。同时从线性定价法则的角度证明了市场完备的必要性，从而摆脱了强无套 利性的前提假设。 2 、通过基本资产价格过程同滤子之间的关系来考虑市场的完备性问题。在客 观概率测度不一定是等价鞅测度的一般情况下，给出了j a c o d 引理的证明，并通过 例子给出了引理中可料过程的具体构造方法。对于滤子是有限生成的情形，证明可 以构造出完备的金融市场，并通过例子给出了具体构造方法，该方法对于市场的模 型设计和研究有理论指导意义。 3 、鉴于增长最优投资策略在金融市场中的重要作用，本文进一步研究了其在离 散时间和连续时间下所体现出的一些性质。利用离散时间简单市场模型直观分析了 增长最优投资策略的比例分配变化的经济含义，并从纯数学角度审视了这一问题。 在连续时间金融市场下证明了增长最优投资策略不依赖于记账单位的选取，且其比 例与基本资产的波动向量的乘积是固定的向量随机过程，在一定条件下，该向量随 机过程就是通常所定义的市场的风险价格过程，这一结论再一次体现了增长最优投 资策略在金融市场中的特殊地位。 4 、通过经典的b l a c k s c h o l e s 模型探讨了倒向随机微分方程中生成元g 的经济 学含义。首次提出了生成元g 的表达式中含有的概念，并详细分析说明了不同的生 成元g 可以反应同一未定权益价格过程的不同形态。同时指出，由于在g 一期望的定 义给出时需假定生成元g 满足一定的性质，而该性质使得在将夕一期望应用于金融 市场时，也就同时假定了所讨论的是折准后的金融市场，而记账单位的选取视g 的 具体表达式而定。 5 、通过简单市场模型讨论了个人风险偏好和市场风险偏好，给出了两种偏好 的数学定义及自然直观的经济学含义，同时指出两者之间的区别在于前者由个人测 度决定，而后者由股票的价格过程决定。通过具体的计算验证了参与者( 市场) 越偏 第i 页 国防科学技术大学研究牛院博士学位论文 于风险厌恶，给出的未定权益的价格越低这一显然的结论。 6 、受f s l l m e r ，s o n d e r m a n n 和s c h w e i z e r 等人的启发，首次提出了与增过程产生 的测度及由该测度引入的条件期望相关的几个随机分析问题，这些问题的提出补充 了随机分析的理论内容，并有重要的实际意义。 关键词：期权定价，g i r s a n o v 定理，r i e s z 表现定理，增长最优投资策略，倒向 随机微分方程，风险度量 第i i 页 国防科学技术大学研究牛院博士学位论文 a b s t r a c t a l o n gw i t ht h et r a d eo fo p t i o nd e v e l o p i n gt h ei m p o r t a n tc o n t e n to fi n t e r n a t i o n a l m o n e ym a r k e t ，t h et h e o r e t i c a la n dt e c h n o l o g i c a ls t u d yo fo p t i o np r i c i n gb e c o m e so n ef o c u s o ff i n a n c er e s e a r c h a l t h o u g hi nr e s e n ty e a r s ，p e o p l es t r i v et ow a l ko u tt h ep e r f e c tg e n e r a l e q u i l i b r i u mf r a m e ，c o n s i d e r i n ga s y m m e t r yi n f o r m a t i o n ，n o n s e n f eb e h a v i o r ，e t c ，w h i l ei t c a nb es e e nt h a tt h o s ep r o p o s e dn e wt h e o r i e sd o n tq u i t ep u l ld o w nt h ei n t r i n s i cg e n e r a l e q u i l i b r i u mf r a m eo rc l a s s i c a lf i n a n c i a le c o n o m i c s i nf a c t ，b yt h i st i m e ，i ft h eq u e s t i o n ， w h i c hi sh o wt op r i c ef i n a n c i a lg o o d sa ts o m et i m e ，h a v et ob ea n s w e r e df i n a l l y , t h e n s o m e 虹n do fs t e a d ye q u i l i b r i u ms t a t ei ss t i l ln e e d e d i nt h i sp a p e r b a s e do nt h ec l a s s i c a l f i n a n c i a le c o n o m i c s ，as e r i e so fq u e s t i o n sr e l a t e dt ot h eo p t i o np r i c i n ga r ed i s c u s s e da n d s t u d i e da n ds o m et h e o r e t i c a lf r u i t sa r ea c h i e v e d t h em a i nw o r ki sp r o v i d e da sf o l l o w s ： 1 t w ob a s i cp r o p e r t i e so fam a r k e t ，w h i c ha r en oa r b i t r a g ea n dc o m p l e t e n e s s ， a r ec o n s i d e r e df r o mt h ee x i s t e n c eo fac o n t i n u o u sl i n e a rp r i c i n gs y s t e m i ti sp r e s e n t e d t h a tt h e r ea r eo n e - t o - o n ec o r r e s p o n d e n c e sb e t w e e nn oa r b i t r a g e so fd i f f e r e n td e g r e e sa n d t h ee x i s t e n c eo fs i g nm e a s u r e ss a t i s f y i n gd i f f e r e n tc h a r a c t e r s m e a n w h i l e ，t h en e c e s s a r y c o n d i t i o no ft h em a r k e tc o m p l e t e n e s si sp r o v e df r o mt h ep o i n to fv i e wo ft h el a wo fl i n e a r p r i c i n gw h i c hc a s t so f ft h es u p p o s i t i o no fn oa r b i t r a g ew i t hs t r o n g e s td e g r e e 2 t h ec o m p l e t e n e s so fm a r k e ti sc o n s i d e r e dt h r o u g ht h ec o r r e l a t i o no fb a s i ca s s e t s p r i c ep r o c e s s e sa n df i l t r a t i o n w h e nt h eo b j e c t i v ep r o b a b i l i t ym e a s u r ei sn o ta l w a y sa n e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ，t h ep r o o fo fj a c o dl e m m ai sp r e s e n t e da n dt h ec o n c r e t e c o n s t r u c t i o nm e t h o do fp r e d i c t a b l ep r o c e s si nt h el e m m ai sg i v e nw i t ha ne x a m p l e i f t h eg i v e nf i l t r a t i o ni sg e n e r a t e df i n i t e l y , ac o m p l e t ef i n a n c i a lm a r k e tc a nb ec o n s t r u c t e d m e a n w h i l e ，a ne x a m p l ei sg i v e nt od e m o n s t r a t eh o wt oc o n s t r u c ta n dt h em e t h o dh a s g r e a tm e a n i n go ft h e o r e t i c a lg u i d a n c ei nt h ed e s i g na n ds t u d yo ft h em a r k e tm o d e l 3 w h e r e a st h ei m p o r t a n c eo ft h eg r o w t ho p t i m a lp o r t f o l i oi nf i n a n c i a lm a r k e t ，h e r e i t sp r o p e r t i e si nd i s c r e t et i m ea n dc o n t i n u o u st i m em a r k e ta r es t u d i e df u r t h e r i nd i s c r e t e t i m ef i n a n c i a lm a r k e tw i t hs i m p l em o d e l ，t h ee c o n o m i cm e a n i n g so ft h ec h a n g ei nt h e p r o p o r t i o nd i s t r i b u t i o no ft h eg r o w t ho p t i m a lp o r t f o l i oi sa n a l y z e di n t u i t i o n a l l y ，a n dt h i s q u e s t i o ni ss u r v e y e df r o mt h ea n g l eo fp u r em a t h i nc o n t i n u o u st i m ef i n a n c i a lm a r k e t ，i ti s p r o v e dt h a tt h eg r o w t ho p t i m a lp o r t f o l i od o e s n tc h a n g ew i t ht h ec h o i c et h en u m e r a i r e ，a n d t h em u l t i p l eo fi t sp r o p o r t i o na n dt h ev o l a t i l i t yv e c t o ro fp r i m a r ya s s e t si saf i x e dv e c t o r s t o c h a s t i cp r o c e s s w h i c hi st h es o - c a l l e dt h em a r k e tp r i c ep r o c e s so fr i s ki fs o m ea d d i t i o n a l c o n d i t i o n ss a t i s f i e d t h er e s u l te m b o d i e st h es p e c i a ls t a t u so ft h eg r o w t ho p t i m a lp o r t f o l i o 第i i i 页 国防科学技术大学研究牛院博士学位论文 i nf i n a n c i a lm a r k e ta g a i n 4 t h ee c o n o m i cm e a n i n g so ft h eg e n e r a t o rgi nb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o ni sd i s c u s s e dw i t hc l a s s i c a lb l a c k s c h o l e sm o d e l i ti sp r o p o s e df o rt h ef i r s t t i m et h a tt h e r ei st h en o t i o no fd i s c o u n ti nt h ee x p r e s s i o no f9 ，a n ds h o w e dt h a td i f f e r e n t g e n e r a t o r 夕c a nr e f l e c td i f f e r e n tf o r m so ft h es a m ep r i c ep r o c e s so fc o n t i n g e n tc l a i m w i t hp a r t i c u l a ra n a l y s i s a tt h es a m et i m e ，i ti sp o i n t e do u tt h a t ，o w i n gt ot h ep r o p e r t y t h a tt h eg e n e r a t o rgh a st os a t i s f yt od e f i n et h e 夕一e x p e c t a t i o n ，w h e ng e x p e c t a t i o ni s a p p l i e dt ot h ef i n a n c i a lm a r k e t ，t h em a r k e ti sd i s c o u n t e ds i m u l t a n e o u s l y , a n dt h en u m e r a i r e d e p e n d so nt h ec o n c r e t ee x p r e s s i o no fg 5 b yv i r t u eo fas i m p l em a r k e tm o d e l ，t h ei n d i v i d u a lr i s kp r e f e r e n c ea n dt h em a r k e t r i s kp r e f e r e n c ea r ed i s c u s s e d t h em a t h e m a t i c a ld e f i n i t i o no fe a c hp r e f e r e n c ew h i c hh a s n a t u r a la n di n t u i t i v ee c o n o m i cm e a n i n gi sg i v e n t h ed i f f e r e n c ei nb o t hp r e f e r e n c e si s t h a tt h ef o r m e ri su pt op e r s o n a lm e a s u r e ，w h i l et h el a t t e rd e p e n d so nt h ep r i c ep r o c e s s o fp r i m a r ya s s e t w i t hc o n c r e t ec o m p u t a t i o n t h eo b v i o u sc o n c l u s i o ni sv a l i d a t e dt h a tt h e r i s ka v e r s i o no fai n v e s t o r ( o ram a r k e t ) i ss t r o n g e r ，t h ep r i c ep r o c e s so fac o n t i n g e n tc l a i m g i v e ni sl o w e r 6 i l l u m i n a t e db yf s l l m e r ，s o n d e r m a l l na n ds c h w e i z e re t c ，s o m eq u e s t i o n sa b o u t s t o c h a s t i ca n a l y s i s ，w h i c ha r er e l a t e dw i t ht h em e a s u r ea n dt h ei n d u c t e dc o n d i t i o n a le x - p e c t a t i o np r o d u c e db yi n c r e a s i n gp r o c e s s ，a r ep r o p o s e df o rt h e f i r s tt i m e t h e s eq u e s t i o n s a d v a n c e dh e r ew i l lh e l pt op e r f e c tt h et h e o r yo f s t o c h a s t i ca n a l y s i sa n dh a v eg r e a tr e a l i s t i c s i g n i f i c a n c e k e yw o r d s ：o p t i o np r i c i n g ，g i r s a n o vt h e o r e m ，r i e s zr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m ， g r o w t ho p t i m a lp o r t f o l i o ，b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n te q u a t i o n ，r i s km e a s u r e 第i v 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目： 与欧式期权定价理论相关的若干问题的研究 学位论文作者签名：日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本人完金了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权国 防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档， 允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题目： 与欧式期权定价理论相关的若干问题的研究 学位论文作者签名： 作者指导教师签名： 日期： 日期： 年月 日 年月 日 国防科学技术大学研究牛院博士学位论文 第一章绪论 期权是金融经济学中令人非常感兴趣的研究领域之一，同时也是最复杂的领域 之一。具有期权性质的交易可以追溯到很久很久以前。早在公元前3 5 0 0 ，古罗马人 和腓尼基人在货物交易的合同中就已经使用了与期权相类似的条款。不过，有史料 记载的期权交易是由古希腊的哲学家萨勒斯进行的，为了保证橄榄丰收，他在冬天 谈判了实质上是有关榨油机期权的合约。期权发展史上，我们不能不提到1 7 世纪 荷兰郁金香热中期权的广泛运用，但是由于当时这种期权交易是没有任何保障机制 的，郁金香交易发生了崩盘事件，这几乎导致荷兰经济崩溃。早期的期权交易非常 混乱，期权的声誉也很差，仅被人们看作是一种纯粹的投机工具，而且交易一直是 在非常不正式和分散化的基础上进行的。直到1 9 7 3 年4 月，美国芝加哥交易所( 简 称c b o e ) 正式开始进行股票期权交易，从而使期权市场的交易得以集中进行，并 大大地方便了交易。股票期权挂牌交易的成功，带动了其他相关商品期权的发展。 如今有关股票指数、外汇和国家债券等形成的期权市场已经成为国际金融市场的一 个重要部分。 1 1期权的概念 期权被分成两种基本的类型：1 、看涨期权：它赋予其拥有者一种将来购买的权 利。2 、看跌期权：它赋予其拥有者一种将来卖出的权利。期权价值的关键在于它赋 予了其拥有者做某事的权利，也就是说是否执行期权由其拥有者自己决定。期权的 这种选择权不同于期货和远期合约，对后者来说交易双方都有履约义务，而对期权 合约来说，仅仅是期权的卖方负有履约责任。所有期权合约都规定了一个特定的期 限，并且按期限期权可以分为美式期权和欧式期权两类，本文只研究欧式期权。对 美式期权来说，期权的买方可以在合同规定期限内的任何一天执行期权合同，然而 对欧式期权来说，仅当合约到期时才允许执行。因此相对来说，欧式期权的估价更 容易一些。事实上，确定影响期权价值的主要因素相对来说是比较简单的，尽管用 这些因素来构成确定期权价值的数学关系显得很复杂。首先来考察一个购买某个公 司股票的欧式看涨期权的价值。 第一个因素是期权的执行价格与当前股票价格之间的关系。假如在期权合约到 期时，股票的价格不高于执行价格，该期权将因不会被执行而失效。期权的买者将 损失他们的投资( 期权合同的购买价格) ，但是不会被迫购买股票而承担相应的资 本损失。然而，由于执行价格只有当期权被执行时才需要支付，因此应该将执行价 格折准成现值和当前的股票价格进行比较。在折准时应该使用无风险利率，因为这 第1 页 国防科学技术大学研究牛院博士学位论文 个现值实际上是这样一笔钱，这笔钱假如今天留起来，在期权到期日如果有必要执 行这个看涨期权时，就能够保证有足够的钱来执行期权，这里“保证，意味着只能将 这笔钱投资于无风险债券。因此，期权估价的第一个因素是执行价格的现值与当前 价格的比较。这通常被称作期权的内在价值，并且也是期权被称作实值期权( 执行 价格低于当前的资产价值) 或者虚值期权( 执行价格高于当前的资产价值) 的原因。 资产价值高于期权执行价格的可能性也是所涉期限以及在单位时间内资产价 值波动性的函数。一个购买某种价格永远不会波动的东西的期权是没有价值的。这 种波动性因素通常由资产价值的方差或者标准差来衡量，对任何具体的期权来说， 方差越大、离到期日的期限越长，其价值也越大。 因此决定期权价值的关键因素包括当前的资产价格，无风险投资回报率，资产 价格的瞬时波动性以及期权的到期时间，这些变量对期权价值有正的影响，另外还 包括期权的执行价格( 它对期权价值有负的影响) ( 更详细的说明可见参考文献布莱 克【9 】) 。 1 2期权定价理论发展的历史回顾 通常认为，期权定价理论起始于b a c h e l i e r 于1 9 0 0 年所完成的博士论文投机理 论( t h e o r i ed el as p e c u l a t i o n ) ，主要指他对股价的认识，并涉及所谓随机游走的概 念。实际上，这个“随机游走序列”是一个鞅。如果把随机游走的概念连续化，即假设 时间是连续变化的，那么它就是所谓的b r o w n 运动。以前人们都以为b r o w n 运动的 数学定义是e i n s t e i n ( 1 8 8 0 1 9 5 5 ) 首先于1 9 0 5 年提出的，并由此解决了一些统计物 理问题。自从发现了b a c h e l i e r 的学位论文以后，人们才注意到，第一个为b r o w n 运 动给出数学定义的是b a c h e l i e r ，并且作为一个数学家，他在对于b r o w n 运动数学研 究的各方面都比e i n s t e i n 要深入。不但如此，b a c h e u e r 还在此基础上，历史上第一次 给出了一个期权定价公式。虽然由于建模时的几个错误性假定使得最后得到的期权 定价公式与后来的b l a c k s c h o l e s 公式相去甚远，但是b a c h e f i e r 的研究结果，特别 是他所提出的有效性市场的概念，为后人的研究指明了方向。在b a c h e f i e r 工作的基 础上，s p r e l d e 和b o n e s s 分别对模型的假设进行了改进。著名经济学家s a m u e l s o n 把 以前的成果统一在一个模型中，随后又与其研究生m e r t o n 合作，提出了把期权价格 作为标的股票价格的函数的思想，并于1 9 6 5 年发表了一篇题为恰当预期价格随机 涨落的证明，再次强化了价格的随机性。 现代理论金融经济学研究的中心问题是金融资产的定价，以1 9 5 4 年a r r o w d e b r e u 一般经济均衡存在定理的出现为标志。a r r o w d e b r e u 模型回答了普通商品 的定价问题。这一模型假定消费者追求最大消费效用，生产者追求最大生产利润， 然后在一定条件下，存在一个一般经济均衡的价格体系，使得商品的供需达到均 第2 页 国防科学技术大学研究牛院博士学位论文 衡。1 9 5 2 年m a r k o w i t z 7 1 1 在其博士论文中提出的“资产组合选择理论”。其中在观 念上最重要的一点是：把证券收益率的方差或标准差作为证券收益风险的度量。并 注意到，投资者在选择证券组合时，并非只考虑期望收益率最大，同时还要考虑收 益率方差尽可能小，将人们期望寻找“最好”股票的想法引导到对风险和收益的量 化和平衡上来，即给定风险水平极大化期望收益或者给定收益水平极小化风险。由 此，m a r k o w i t z 【剜提出了所谓的“期望收益一收益方差( e x p e c t e dr e t u r n v a r i a n c eo f r e t u r n ) ”法则，并认为投资者是按照这一法则来进行投资的。 1 9 5 8 年m o d i g l i a n i 和m i l e r 【7 6 】发表了一系列论文来探讨“公司的财务政策是否 会影响公司的价值”这一主题。得到的结论是：在理想的市场条件下，公司的价值 与政策无关。实际上，他们讨论的本质就是线性定价法则。换句话说，他们企图得 到的结果就是：未来价值一样的未定权益，其当前价值也一样，而与它们的当前组 成成分无关。对于这一结论，很形象的说法是：一个蛋糕的大小与切蛋糕的方式是 无关的。后来，他们的这些结论被称为m o d i g l i a n i m i l l e r 定理。他们的研究不仅为 公司理财这门新学科奠定了基础，并且首次在文献中明确的提出无套利假设。无套 利假设只是“均衡定价论”f 2 】的推论，即达到一般均衡的价格体系一定是无套利的。 但是把它单独列出来，可以摆脱“均衡定价论”的复杂框架，直接对金融资产定价。 从此，金融经济学就开始以无套利假设作为出发点。 s h a r p e 9 0 l 和l i n t n e r 【6 8 】进一步拓展了m a r k o w i t z 的工作，提出了“资本资产定 价模型( c a p m ) ”，用来处理风险资产的风险与预期回报之间的均衡关系，后来m e - r t o nt 7 3 1 通过期望效用最大化理论对其作了进一步发展。该模型是现代金融经济学 的核心，其核心是区分系统性风险和非系统性风险。系统性风险是与单只证券回报 同市场投资组合回报之间有相关性的风险。非系统性风险是“残留”风险，它与证 券自身的回报的变动性相关。区分这两种风险是很重要的，因为，随着投资者增加 投资组合的证券数量，它们的行为方式是不同的。非系统性风险可以被分散，而系 统性风险则不能被分散，而且投资者希望因为承受系统性风险而获得补偿。对于最 优化问题，每个股票的持有量可以由该股票的平均回报率和该股票与市场的相关性 系数来确定。 值得一提的是f a m a ，3 6 j 的“市场有效性假设”，这本质上就是对市场完备性 的某种描述。证明了在一个运作正常的市场中，资产价格过程是一个( 下) 鞅。换句 话说，将来收益的状况实际上是不可预测的，这为著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价 公式【1 1 】作了铺垫。该公式于1 9 7 3 年正式发表，文中给出了欧式期权定价的显式表 达式。关于b l a c k s c h o l e s 模型，其中最重要的一点在于股价变化用几何b r o w n 运 动来表示，并假定有一种其价值作指数增长的无风险证券来作为股价的参照物。其 观点是，股票交易与期权交易的适当组合可对冲风险，从而成为种无风险证券。 由此导得一个偏微分方程，其解就是b l a c k s c h o l e s 期权定价公式。m e r t o n 7 4 1 在 第3 页 国防科学技术大学研究牛院博士学位论文 对b l a c k s c h o l e s 定价理论的深化和系统化上作出了很大的贡献，而对金融问题所 建立的连续时间模型也在近3 0 多年中成为金融学的中心。 b l a c k s c h o l e s 公式的成功也是用无套利假设来为金融资产定价的成功。由此， r o s s 8 5 ，s 6 1 提出了套利定价理论( a p t ) ，其结果后来被称为“资产定价基本定理” 这条定理可表述为：无套利假设等价于存在对未来不确定状态的某种等价鞅测度， 使得每一种金融资产对该等价鞅测度的期望收益率都等于无风险证券的收益率。这 在某种意义上可以说，当市场充分发展到任何人都不能坐享其成时，未来的不确定 性有其内在的规律，人们不应凭借一种赌博心理去胡乱臆测，而应力求去掌握这种 规律。正是在这一点上，b l a c k s c h o l e s 理论显示了它对股市实际以至更一般的不 确定环境下的决策问题研究上的重要性。 关于b l a c k s c h o l e s 期权定价理论，还隐含着一种“完备市场”的概念。在完备 市场中，每一种价值取决于股价变化的衍生证券( 理论上又称“未定权益( c o n t i n g e n t c l a i m ) ，1 都可以通过某种股市交易策略来“复制”，从而它们的价格也就由股价和交 易策略根据线性定价法则来决定。完备市场的概念在理论上极为重要。但正如h a k a - n s s o n 5 3 1 所认为的，一个资产在一个完备市场下可以明确的通过其他资产来定价当 且仅当这个被定价的资产在该市场下是冗余的。实际上，所有的不依赖于偏好的定 价公式都假定被定价的资产是可达的。即，该资产可以通过已有的资产进行动态修 正投资策略组合来完全复制。但是，如果意外情况非常频繁，股票之类的证券种类 又不是足够多，那么相当多的衍生证券是不可能“复制”的，从而它们就不可能有唯 一的定价。而不能定价的衍生证券交易必然包含本质的不可捉摸的风险。关于更详 细的叙述，可参看文献史树中f 8 9 】。 1 3期权定价理论的研究现状 金融中问题的出现大大地促进了随机分析和相关的其他数学分支的新发展。 1 3 1 市场存在等价鞅测度 先来考虑等价鞅测度的引入。给定时间区域【0 ，纠，考虑概率空间( q ，p ) ，滤 基( 五) o 。 t 。某个基本资产，其( 折现) 价格过程被描述为一个半鞅s = ( s t ) o 。 t 。 一衍生证券或未定权益，给出了可能的收益f ) ，当u q 发生时。例如，敲定价 格为常数k ，执行时间为t 的欧式看涨期权为( u ) ：( s t ) 一k ) + 。该期权的公平 价格是多少? 概率理论的奠基之父，特别是j a c o bb e r n o u l l i ，称首先给出每个情况发 生的概率，然后计算期望值e 【斟= r d p 即为公平价格。后来，d a n i e lb e r n o u l l i 考虑 到风险厌恶加入了风险费用。但是b l a c k ，s c h o l e s 和m e r t o n 给出了截然不同的结论， 特别是不需要加入风险费用，因为市场根本不存在固有风险，而且结果同不同情况 第4 页 国防科学技术大学研究牛院博士学位论文 发生的概率无关。实际上，未定权益f 的公平价格可通过一鞅测度p 给出。在概率 测度p + 下，过程( & ) o t t 是p + 一鞅，即驴慨i 五】= 毋，s t ，而公平价格为e 吲。 注意到此时用到的概率不是支配不同情况实际发生的客观概率p ，而是p 。这里 概率测度p 起到了一致性价格法则的作用，这里一致性意味着在时刻8 资产的价 格只必须等于未来价格& 在测度p 木下关于到时刻8 的给定信息的条件期望，这正 是要求p + 所满足的鞅性质。 从经济观点看，市场应该排除套利机会。数理金融第一基本定理陈述的是：无套 利本质上等价于等价鞅测度的存在。关于这方面的详细描述，可参考文献h a r r i s o n 和 p l i s k a 5 7 ，d a l a n g ，m o r t o n ，w i u i n g e r 2 6 1 ，d e l b a e n 和s c h a c h e r m a y e r 2 8 ，a 0 等。令p 表 示所有等价鞅测度的集合。条件p 口可以看作“有效市场假设”的最弱形式。它的 强形式是p p 。这是基于一粗略的均衡讨论：如果现在的价格低于市场的平均期 望值，那么价格将立即上升，反之亦然。而条件p 0 只要求关于某个等价的测度 变换后满足即可。由g i r s a n o v 定理知，这意味着s 在p 下是半鞅。因此，我们可以 自由使用随机分析的一般工具。h a r r i s o n 和k r e p s 5 5 1 ，h a r r i s o n 和p l i s k a 刚证明 分析了金融市场的一个自然的数学构架是鞅理论和随机分析。从此后，这一构架在 期权定价中处于支配地位，并且在金融和许多经济问题的定量分析中成为了有效的 工具。 关于完备市场，如经典的b l a c k s c h o l e s 市场模型，对于其完全保值的概念从 数学观点来讲，这等价于将关于b r o w n 运动的函数表示成i t 6 积分形式的i t 6 表示 定理。从金融观点来讲，可复制策略的存在是对无套利期权定价工作的重要认识。 然而，完全保值的思想有很大的局限性。实际模型一般是不完备的，即不能被完全 保值的衍生证券将携带一固有风险。而这也成为了半鞅理论中新的分解定理的推动 源。 在不完备市场下保值的一种想法是通过构造上保值策略使得我们处于安全的一 方，这也就是上保值思想。一般情况下，这样的上保值策略的构造涉及到k r a m k o v 分解定理，该定理被看作是上鞅的d o o b m e y e r 分解定理的新形式，参看文献e l k a r o u i 和q u e n e z 3 2 】，k r a m k o v 6 4 】等。然而在许多情况下，给定的未定权益的上保 值策略的价格在实际操作时很高，从而促使我们考虑构造投资策略，使得成本和适 当定义的风险之间是高效的。从经济学观点看，它们涉及到不同的风险偏好。从数学 观点看，它们是随机过程一般理论新的分解定理的重要来源。这方面的内容参看文 献f r i t t e l l i 3 3 】，f s l l m e r 和s c h w e i z e r 4 4 】，f r a m k o v 6 4 】，k r a m k o v 和s c h a c h e r m a y e r 6 5 】， s c h w e i z e r 9 5 ，9 6 ，9 7 1 等。需特别指出的是，通过s c h w e i z e r 【9 5 】的工作，得到了k u n i t a w a t a n a b e 分解的新形式和关于半鞅的随机积分空间的新的封闭结果的源。 对于存在无数多的等价鞅测度的不完备市场，有几种特殊的等价鞅测度被提 出用来确定未定权益的价格。如，f 6 1 l m e r 和s c h w e i z e r 阻】的最小鞅测度( m i n i m a l 第5 页 国防科学技术大学研究牛院博士学位论文 m a r t i n g a l em e a s u r e ) ，s c h w e i z e r 9 6 1 或d e l b a e n 和s c h a c h e r m a y e r 2 9 】的方差最优鞅测 度( v a r i a n c e - o p t i m a lm a r t i n g a l em e a s u r e ) ，m i y a h a r a 7 5 】的规范鞅测度( c a n o n i c a lm a r - t i n g a l em e a s u r e ) 等。s c h a c h e r m a y e r 9 2 1 通过例子讨论了上面提到的几种鞅测度之间 的关系。m i y a h a r a 【7 5 l 描述了最小鞅测度的重要性，而d a v i s 【冽和f r i t t e l l i 【勰】提及到 最小鞅测度关系到指数效用函数和期权的公平价格。 1 3 2 不考虑等价鞅测度的存在性 当不考虑等价鞅测度的存在性时，可以通过研究增长最优投资策略( g o p ) 来考 虑期权定价问题。g o p 最先由k e l l y 6 2 1 提出，后又有大量的文献进行了研究和探讨。 如l o n g 6 9 ，a r t z n e r 1 ，k a r a t z a s 和s h r e v e 6 6 ，k r a m k o v 和s c h a c h e r m a y e r 6 5 等。k r - a m k o v 和s c h a c h e r m a y e r 瞰】证明了在等价鞅测度不存在时，若以g o p 作为记账单 位，则折准后的价格过程是上鞅。g o p 也作为状态价格因子( s t a t ep r i c ed e f l a t o r ) 的 倒数或状态价格密度( s t a t ep r i c ed e n s i t y ) 出现在套利定价理论中，参看文献c o 璐t 扣 t i n i d e s 1 2 】，d u f f l e 2 2 】，a o g e r s 8 7 等。l o n g 6 9 1 考虑了经g o p 折准后的任意的资产 价格过程是鞅的金融市场。p l a t e n 将条件减弱到局部鞅，并构造了带有不依赖于记 账单位的风险费用的金融市场，其方便之处在于可以不改变概率测度，在原给定 的客观概率测度下进行衍生证券的定价，风险估计分析，投资策略最优化，标准评 估，过滤及其它风险处理任务等。关于这方面的内容可参看文献k e l l y 6 2 1 ，b i i h l m a n n 和p l a t e n 1 0 ，p l a t e n 7 9 ，k r a m k o v 和s c h a c h e r m a y e r 6 5 ，l o n g 6 9 】等。 线性倒向随机微分方程是由b i s m u tf 6 】于1 9 7 3 年在研究随机最优控制的最大值 原理时引入的。p a r d o u x 和p e n g 【鼹l 于1 9 9 0 年首先证明了在一定条件下非线性倒向 随机微分方程存在唯一解。著名的经济学家d u f f l e 和e p s t e i n 【2 4 】在1 9 9 2 年也独立地 引进了一类倒向随机微分方程，以刻划递归效用函数。p e n g s l l 通过倒向随机微分方 程引入了g 一期望与条件g 一期望的概念，并且由此得到的期望和非线性期望可以是 非线性的，从而在一定的框架下建立了动态非线性数学期望理论的基础，特别是经过 近年来的研究，科学工作者已经发现g 一期望是研究递归效用理论与金融风险度量 的有力工具。而在金融市场中，假设某一时刻t 的投资预期f 是可