（概率论与数理统计专业论文）期权及投资消费问题.pdf

期权及投资消费问题 摘要 f 最近二十多年来衍生证券( 期权) 在全球范围内获得迅猛发展，期权问 题及投资消费问题越来越引起国际国内数学家、金融学家的广泛重视，自 1 9 6 9 年首次颁发n o b e l 经济学奖以来，因在金融学或数理金融学的突出贡献 而获奖的科学家就有7 位之多。1 9 9 6 年由一些著名的数理金融学家发起成立 了“b a c h e l i e r 金融学会( b a c h e l i e rf i n a n c es o c i e t y ) ”，该学会的目的就是通 过国际交流，推动随机过程、统计学及其他数学理论在金融学科中的运用。 数理金融领域内的高质量国际性杂志“m a t h e m a t i c a lf i n a n c e ”及“f i n a n c ea n d s t o c h a s t i c s ”于1 9 9 1 年、1 9 9 7 年先后创刊，这些杂志主要干u 登来自金融学、 经济学、数学、统计学等领域内，关于金融理论中的数学问题的最新研究成 果，是沟通数学家与金融学家的桥梁。1 9 9 9 年、2 0 0 0 年我国自然科学基金委 数理科学部数学学科的鼓励研究领域就有“金融和财政科学中的数学问题”。 本学位论文主要致力于连续交易金融市场中的期权及投资消费若干问题 的研究。其目的就是要对金融学中若干期权问题及投资消费问题，通过建立 数学模型，运用鞅论、随机分析及随机最优控制理论这些数学工具进行定量 的分析，试图得到一些对金融实践具有指导意义并且易于操作的计算结果； 同时指望通过这些研究，建立一些有用的数学结论，从一个侧面展示数学与 金融学的辩证关系：一方面，数学是金融研究的强有力工具，另一方面，金 融实践推动了数学理论本身的发展。 论文首先在第一章综述了期权及投资消费问题的起源、发展、研究动态 及研究方法。余下的内容分为两部分：第一部分由第二章、第三章及第四章 组成，是关于期权定价及其套期保值策略的研究。第二章主要构造算术亚式 期权的套期保值策略，对算术亚式期权的定价问题引起许多数理金融学家的 注意，已有不少的近似解，但至今没有解析解，构造套期保值策略更困难， i 我们还没有发现这方面的研究，第二章首先得到并证明了b a n a c h 空间d l l 上梯度算子d 的一个有用性质，然后运用该性质及推广的c l a r k 公式，对算 术型亚式期权，给出了套期保值策略的计算途径，该计算途径将套期保值策 略的计算转变为一个简单的偏微分方程的求解。第三章给出了几何型亚式期 权的定价公式，构造了相应的套期保值策略，并分别运用期权风险中性定价 方法、第二章得到的空间d l l 上梯度算子d 的性质以及正倒向随机微分方 程方法，对该结果给出了两种与现有文献不同的证明方法，显示了灵活运用 这两种方法是对一类相当广泛的期权给出定价及构造套期保值策略的有效途 径。第四章假设证券价格变动满足一般意义下的泛函随机微分方程，给出了 依据证券交易价格( 部分信息) 对欧式未定权益定价及相应套期保值策略的 计算方法，从部分信息角度来讨论期权的定价及套期保值策略，这是我们的 首次尝试；第二部分由第五章、第六章、第七章及第八章组成，是关于金融 学中另一个重要问题投资消费阀题的研究。第五章讨论投资者极大化生命 期期望消费效用的最优化问题，运用鞅方法、随机滤波理论，在较一般情形 下给出了由证券交易价格( 部分信息) 决定的最优投资消费策略显式解，并 对特殊的股票价格动态模型及一般效用函数，得到了相应的更深刻的结果， 在对数效用函数的假设下，给出了完全信息与部分信息最优目标函数之差( 信 息价值) 的简单表达式。第六章、第七章从贷款利率高于存款利率的实际出 发，运用最优随机控制理论，就不同的目标函数，分别讨论债务固定的公司 ( 企业) 和具有随机风险的公司的最优投资策略问题，得到最优策略是公司 当前财富净值的分段线性函数，并给出了相应的最优目标函数值，对第六章 第三节引理中一个关于方程解的结论，运用概率的方法给出了一个有趣的证 明。第八章在有交易成本的条件下，讨论个体或企业离散情形、单周期的投 资问题，建立了有交易成本的投资组合模型，讨论了模型解的条件，并提出 模型的通用数值解法，最后给出了应用举例。 关键词期权定价，套期保值，投资消费，组合选择，鞅方法， 随机最优控制，最优化计算。 p r o b l e m so no p t i o n s ， i n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o n z h a , o my a n g i n s t i l ，l i f oo fs c i e n c e c h a n g s h ar a i l w a yu n i v e l 。s i t y c h a n g s h a 4 1 0 0 7 5p t 2 c h i n a z j y a n g ( ( h n m i x t i n c l l a p r i l6 2 0 0 0 a b s t r a c t t h et h e o r ya l l ( 1 p r a c t i ( e o fd e r i v a t i v es e c u r i t i e si e o p t i o n sl l a x e1 ) e e nd e v ( 、l o p e dv e r y f a s ti i if l l er e ( - e n t t w e n t yy e a r sa 1 1 o v e rt i l ew o r l d m a n ym a t h e n l a t i c a i i e n t i s t sa l l ( 1 f i n a n c i a lh o n o n l i s t sp a yn l o r et n ( 1l n o r ea t t e n l i 0 1 1t 0t h ep r o b l e n l so i lo p t i o n sa l l ( 1i n v e s t n l e n t ( o l l s u l n p t i o i l t h en o b e ip r i z ei ne c o n o m k s 【- i e n c c sw a s f i r s ta w a r d e ( 1 i n1 9 6 9 s i n c et h e ns e v e ns ( i t 、n t i s t sw o i lt h ep r i z e1 ) ( , c a u s eo ft h e i rc o n t r i l m t i o nt of i n a l t c ee l m a t l l - e n l a t i c a lf i n a n c e t h eb a ( - h e l i e rf i n a n c es o c i e ( yc a n l ei n t ob e i n gi n1 9 9 6b yt l l ei n i t i a t i v e o fag l o l l po fn m t l m m a t i c a if i u a n c er e s e a r c h e r s t h ea i mo ft h eb a c h e l i e rf i n a n ( es o ( - i f 、t y i s 。t h r o u g hi n t e r n a t i o n a lc o n t a c t s t h ea d v a n c e n l e n to ft h ed i s c i p l i n eo ff i n a m eh l l d e r 1 0 a p p l i c a t i o no f t h et h e o r yo fs t o c h a s t i cp r o c e s s e s s t a t i s t i c a la n dm a t h e m a t i c a lt h e o r y t 1 1 p i o u r n a lm a t h e m a t i c a lf i n a n c ei sp u b l i s h e ds i n c e1 9 9 1a n ( 1t h ei o u r n a lf i n a n ( e & s t o ( ，h a s t i c s p u b l i s h e ds i n c e1 9 9 7 b o t ho ft h e ma r eh i g h q u a l i t yj o u r n a l sw h i c hb r i n gt o g e t h e r w o r ko i lt h en l a t h e m a t i c a la s p e c t so ff i n a n c et h e o r yf r o l ns u c hd l e r s ef e l d sa sf i n a n ( - e e c o n o n l i c s m a t h e m a t i c s a l l ( is t a t i s t i c sa n dp r o v i d eal n n c l l n e e d e db r i d g eb e t w e e nm a t l l 一 e m a t i c a ls c i e n t i s t sa n df i n a n c i a le c o n o m i s t s t h eb r a n c ho fm a t h e m a t i c a lp r o b l e m so n f i n a n c e & p u b l i cf i n a n c ei se n c o u r a g e dt os t u d yb yt h ed e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s p h y s i c so fn s f i nc h i n a t h i sd i s s e r t a t i o ni sm a i n l yd e d i c a t e dt ot h es t u d i e so ns o m ep r o b l e m so fo p t i o n s i n v e s t n r e n t c o n s u m p t i o ni nc o n t i n u o u st r a d i n g t i l e a i mo ft h ep a p e r i s ，t h r o u g hb u i h t i n g m a t h e m a t i c a li n o d e la n dq u a n t i t a t i v e l ya n a l y s e sb ym e a n so fm a t h e m a t i c a lt o o l ss t l c ha s m a r t i n g a l et h e o r y , s t o c h a s t i ca n a l y s i sa n do p t i m a l c o n t r o lt h e o r y , t r yt og e tr e s u l t sa b o u t o p t i o n sa n di n v e s t m e n t c o n s u m p t i o nw h i c h a r ei n s t r u c t i v et of i n a n c i a lp r a c t i c ea n ( 1e a s y t oo p e r a t e f u r t h e r m o r e t h i sp a p e ra l s oc o t i n t so i le s t a b l i s h i n gs o n l eu s e f l l lc o n c l u s i o n s i nm a t h e m a t i c sa n dd i s p l a y st h ed i a l e c t i c a lr e l a t i o nb e t w e e nm a t h e m a t i c sa n df i n a l l c ea t ac e r t a i nd i m e n s i o n t h er e l a t i o ni st h a tm a t h e m a t i c si st h ep o w e f f u lt o o li nf i n a n c i a l s t u d i e s o nt h eo t h e rl l a n d t h ef i n a n c i a lp r a c t i c eg i v e si m p e t u st ot h ed e v e l o p m e n to f m a t h e m a t i c a lt h e o r y 1 u a tf i r s t t h ed i s s e r t a t i o ni 1 1c h a p t e ro n es u n l n l a r l z e st h eo r i g i n s ，r e c e n td e v e l o p m e n t a n dr e s e a r c hm e t h o da b o u tp r o b l e m so no p t i o n s ，i n v e s t m e n t c o n s u m p t i o n t h er e m a i n i n go ft h ep a p e r f a i l si n t ot w op a r l t h ef i r s tp a r t ，t h a ti sc o m p o s e do fc l t a p t e r2 c h a p t e r 3a n dc h a p t e r4 i sd e v o t e dt os t u d y i n gp r o b l e m so nt i l ep r i c i n ga n dh e d g i n gs t r a t e g i e s f o ro p t i o n s c h a p t e r2e s t a b l i s h e sa nl l s e f i l lp r o p e r t 3 o ft h eg r a d i e n to p e r a t o r0 1 1b a n a c h s p a c ed 1 1 b yu s i n gi t a n dag e n e r a l i z e dc l a r kf o r m u l a w ep r o v i d eah e d g i n gs t r a t e 9 3 一f o rt h ea r i t h n l e t i ca s i a no p t i o n b ym e a n so fag e n e r a l i z e dc l a r kf o l n n l l a a n ( 1t h e r i s k - n e t l t r a lv a h l a t i o nf o r l n l l | a c h a p t e r3e s t a b l i s h e st h ep r i c i n gf o r l n u l aa n dah e d g i n g s t r a t e 9 3 。f o rt h ea s i a no p t i o nc a h u l a t e dw i t hg e o m e t r i ca v e r a g i n g f u r t h e r n l o r e a p p l y i n gt i l e i n e t h o dp a l l e t if o n rs t e ps e h e n l ef o rs o l v i n gf o r w a r d b a c k w a r ( 1s d e s w ea c q u i r e t h es a l n er e s u l t s u n ( 1 e rt i l ea s s l l n l p t i o nt h a ts e c u r i t yp r i c ep r o c e s s e ss a r i s f yas x , s t e i no f f u n c t i e l l a ls t o c h a s t i cd i f i e r e n t i a le q u a t i o n s c h a p t e r4e s t a b l i s h e st h ea l g o r i t h n l sf o le u r o 1 ) e a l lc o n t i n g e n tc l a i m sp r i c i n ga n dt h e i rh e d g i n gs t r a t e g i e sa c c o r d i n go n l yt i l ep l i c e so f t h ef i n a n e i a la s s e t su pt oi ) r e s e n tt i l n e t h es e c o n dp a r ti sc o l l tr i h u t e ( 1t os t u d 3 r i n gp r o b - l p i l l so ni l l 、，e s t l l l e n t c o n s u m p t i o n w h i c hi sc o n l p o s e do fc h a p t e r5 c h a p t e r6 c h a p t e l 7a n d c h a p t e r8 c h a p t e r5a d d r e s s e st l l eo p t i l n i z a t i o np r o b l e mo fa l li n v e s t o rv c h ow a n t st o n l a x i n l i z et i l ee x p e c t e ( 1t o t a lu t i l i t 、f t o l nc o n s l l l l l p t i o n ，h it h eg e n e r a ls i t i l a t i o nn ee s t a b - l i s h e ( 1a n e x p l i c i ts o h l t i o nt oo p t i n l a li n v e s t n l e l l t c o n s m n p t i o nd e t e r m i n e lb v t l l es e c u r i t y 1 ) l i ( ，e s w ea l s os l l o t i l ec o r r e s p 0 1 l d i l l gr e s u l t sp r o f o u n d l 3 rf o rt l l es p e c i a ls e c n l i t vp r i c e 1 ) l o ( - e s s f i l l a l h r t h i sc h a p t e re s t a b l i s h e saf o r m u l af o rv a h f i n gt i l ei 1 1 f o r l n a t i o n 1 ) l o 、i d e d f l l a tt h eu t i l i b rf u n c t i o ni sl o g a r i t h n l i ( i l ln l a t h e n l a t i c a lf i n a n l i a la n a l 3 r s i s t i l ei s s l l eo n tl l eo p t i i l i a ls t r a t e k i e si sn o r n i a l l vt r e a t e di l lt h ea s s u m p t i o no ft h e 试e t l t i c a ti i l t e r e s tr a t e o ns a v i n g sa l l ( 1 l o a n s t h es a v i n ga l l ( 1 l o a nr a t e s h o w e v e r v a n ri nr e a l i t y a sf o rt h i s c h a p t e r6 c h a p t e r7a s s l l n l et h a tl o a l l r a t ei sh i g h e rt h a ns a x t i n gr a t e a l l ( i ( 1 e a i i t l lt i l e i s s l l eo i lt l l es t r a t e g i e sf o rt l i ec o n q ) a n i e sw h i c hi l i u s tw i t l l d r a wf l m d s ( ：o n t i n u o n s l ya ta g i x o nr a t ep e rm i t tt i m ea n dt h ec o l n l ) a n i e sw i t har a n d o l nr i s kp r o c e s s jf f h a l ，e 月，q u i r e d t h eo p t i i l i a lt a r g e tf i l mt i o n sa l l ( 1 o p t i m a lp o l i c i e sw h i ( ha l t 、t i l l - p i e c n i s el i n e a lf r i l l ( t i o n ( ) f “l ec o m l ) a n y se l l r r e n tp r o p e r t y b yc o r o t ) a r i s e n r ef i n do u tt l l ec o n c r e t ei n f h l e l i c eo f t i l er a t e ( 1 i f i e r e n c eo ni n v e s t o r s t h ei l l f l i l e n c ec a l ln o tb ei g n o r e d t h e , ea r et r a n s a c t i o n c o s t si nf i n a n c i a lm a r k e t s h o w e x e r t h e ya r ei g n o r e db vt h ew e l lk n o w nm e a n 一、a r i a n c e m o d e lp r o p o s e ( 1b vt h en o b e lp r i z ew i n n e rm a r k o w i t z f o lt h i sl e a s o l l c h a p t ( ，18e s t a l ) l i s h e st l l e p o r t f o l i os e l e c t i o nn l o d e lw i t ht r a n s a c t i o nc o s t s a n do b t a i n sc o n d i t i o nf o r i t ss o h l t i o na sw e l la st h eg e n e r a ln l l l n e r i a 1s o l u t i o n i l la d d i t i o n w ec i t ea l le x a n l p l eo i l a 1 ) p l i c a t i o n k e yw o r d s 0 1 ) t i o np r i ( i n g h e d g i n g h l v e s t l n e n t ( o l l s l l l l l p t i o n e e l t 1 i os e l e c t i o n 、 a l t i n g a l ea 1 ) p r o a r h s t o ( h a s t i ( ( ) 1 ) t i m a lc o n t r 0 1 o l i t i n l i z a t i o l lc o n l i l u t a r i o l l a d d r e s so ft h ea u t h o r ： z h a o j u ny a n g h a l l a nt a x a t i o nc o l l e g e c h a n g s h a4 1 0 1 1 6 p r c h i n a 1 0 l ：0 7 3 2 3 2 8 1 3 1 0 长沙铁道学院博士学位论文：期权及投资消费问题 第一章绪论 1 1 数理金融学概述 本学位论文主要致力于连续交易金融市场中自- 关期权及投资消费问题的研 究。近：卜年来，衍生证券( d e r i v a t i v es e c u r i t i e s ，也称为衍生t 具d e r i v a t i v e i n s t r u m e n t s 或未定权益c o n t i n g e n tc l a i m s ) 在全球范周内获得迅猛发展，有人说 “金融学人有取代经济学的趋势”( 参见汪丁j ，1 9 9 7 ) 。这些经济现象与发展趋 势引起r 我国政界、学术界的高度重视，国家自然科学基金委于1 9 9 7 年正式证 项，将“金融学、金融工程、金融管理”作为重点攻关项目，1 9 9 9 年、2 0 0 0 年 数理科学部数学学科的鼓励研究领域就有“金融和财政科学中的数学问题”，一 大批经济学领域、数学领域内的专业人员转入这方面的研究，许多有实力的商校 纷纷开始增加招收“数理金融”研究方向的博：七生、硕上生，一些权威性数学杂 志陆续登载这方面的研究成果。 数理金融学在国际上也越来越引起人们的广泛重视。从下面的事实就可略见 一斑。( 1 ) 自1 9 6 9 年首次颁发n o b e l 经济学奖以来，凶在金融学或数理金融学的 突出贡献而获奖的科学家有：t o b i n ( 1 9 8 1 ) 、m o d i 西i a n i ( 1 9 8 5 ) 、m a r k o w i t z ( 1 9 9 0 ) 、 m i l l e r ( 1 9 9 0 ) 、s h a r p e ( 1 9 9 0 ) 、m e r t o n ( 1 9 9 7 ) 、s c h o l e s ( 1 9 9 7 ) 。( 2 ) 1 9 9 1 年出 现“m a t h e m a t i c a lf i n a n c e ”、1 9 9 7 年出现“f i n a n c ea n ds t o c h a s t i c s ”等高质量的 国际性杂志，这些杂志主要刊登来自金融学、经济学、数学、统计学等领域内， 关于金融理论中的数学问题的最新研究成果，是沟通数学家与金融学家的桥梁。 ( 3 ) 1 9 9 6 年由一些著名的数理金融学家发起成立了“b a c h e l i e r 金融学会( b a c h e l i e r f i n a n c es o c i e t y ) ”，该学会的目的就是通过国际交流，推动随机过程、统计学及 其他数学理论在金融学科中的运用。 金融学研究的主要对象之一就是衍生证券，常见的衍生证券有远期合约 ( f o r w a r dc o n t r a c t s ) 、期货( f u t u r e s ) 、期权( o p t i o n s ) 和互换( s w a p s ) 等，研 究衍生证券要解决的主要问题就是如何确定衍生证券的价格即衍生证券的定价 ( t h e p r i c i n go fd e r i v a t i v es e c u r i t i e s ) 。在所有的衍生证券中，期权的研究最为广 第一章绪论 泛，这是因为：( 1 ) 与其他衍生证券相比期权易于定价：( 2 ) 许多衍生证券可表为若 干期权合约的组合形式：( 3 ) 各种衍生证券的定价原理是一样的，有可能通过期权 定价方法找到一般衍生证券的定价理论( 参见b l a c k & s c h o l e s ，1 9 7 3 ；m e r t o n ， 1 9 7 3 ) 。金融学中另一个基本问题就是投资消费( i n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o n ) 问题，即研究投资者( i n v e s t o r s ) 与消费者( c o n s u m e r s ) 如何选择可供选择的投 资消费机会，使其某种反映“满意程度”的效用函数取最大值。 彬f 究期权及投资消费问题的有力工具是鞅论、随机分析及随机最优控制理 论。正如h a r r i s o n & p l i s k a ( 1 9 8 1 1 在被广泛引用的“m a r t i n g a l e sa n ds t o c h a s t i c i n t e g r a l si nt h et h e o r yo fc o n t i n u o u st r a d i n g ”( 连续交易理论中的鞅与随机积分) 一文所吉：“随着我们研究结果的展开，将有更多的例子表明数学理论中的一般 性结论看起来仿佛就是为这种应用而被创立的。我们已经开始感到：鞅论研究的 所有标准问题及重要结果在我们建立的模型中必定有若干解释和应用。虽然很可 能的确如此，但寻找这些联系的历程甚至仅仅才刚刚起步。”( 原文为：a so u r d e v e l o p m e n tu n f o l d s ，t h e r e w i l lb es t i l lm o r e e x a m p l e s o fg e n e r a lr e s u l t si nt h e m a t h e m a t i c a lt h e o r yt h a tl o o ka si ft h e yw e r ec r e a t e df o rt h i sa p p l i c a t i o nw eh a v e s t a r t e dt of e e lt h a ta l lt h es t a n d a r dp r o b l e m ss t u d i e di nm a r t i n g a l et h e o r ya n da l lt h e m a j o rr e s u l t sm u s th a v ei n t e r p r e t a t i o n sa n da p p l i c a t i o n si no u rs e t t i n gb et h i s a si t m a y t h ep r o c e s so fs e a r c h i n gf o rs u c hc o n n e c t i o n sh a sb a r e b re v e nb e g u n ) 。数理金 融( m a t h e m a t i c a lf i n a n c e ) 学科就是应用鞅论、随机分析及随机最优控制理论通 过建立数学模型讨论金融市场规律的一个数学分支。期权定价年i l 投资消费决策构 成数理金融学研究的 ：要内容。有关数理金融学科的最初研究可以追朔到法国数 学家b a c h e l i e r l 9 0 0 年的工作，但在我闺由于k 期的计划经济体系，直到最近才 q i 起人们的重视。卜面在第一节综述期权及投资消费问题的起源与发展，在第三 前简介研究日的以及后而各章的主要内容。 1 2 期权及投资消费问题的起源与发展 本 ，分别介绍期杈问题及投资消费问题的起源、发展、研究动态及研究方法。 从中可以看出：随着经济的发展，期权问题及投资消费问题止越来越受到数学家、 金融学家的重视。若干n o b e l 经济学奖获得者的研究成果构成了这一领域的主旋 长沙铁道学院博| ：学位论文：期权及投资消费问题 律。 1 2 1 期权问题的起源与发展。 期权是一种经济合约，参与期权合约( o p t i o nc o n t r a c t s ) 交易的买方( b u y e r ) 在签约时向期权卖方( s e l l e r ) 支付一定数量的“风险贴水”( p r e m i u m ) ，仃权决 定在将来某个规定的时间内足否以某个( 枷定的) 价格买卖某种金融证券 ( f i n a n c i a ls e c u r i t i e s ) 或某种商d ( c o m m o d i t y ) 。期权合约中规定的买实对象称 为标的资产( u n d e r l y i n ga s s e t s ) 。若标的资产为金融证券则称为金融期权( f i n a n c i a l o p t i o n s ) ，若为商品则称为商品期议( c o m m o d i t yo p t i o n s ) 。合约 l 涉及的“风险 贴水”( p r e m i u m ) 就是该期权的价格或价值( o p t i o np r i c e ) 。j 期权密切相天的 另一概念足期权的套期保值策略( h e d g i n gs t r a t e g y ) ，即= | j 权实者j 】实 i 渊j 杈 所得收入采 j 的( 融资( s e l f - f i n a n c i n g ) ( 所渭自融资系指交易期问即不追加投 资、义1 i 转移资金作为他用) 策略，该策略使期权m 实者即投资者( i n v e s t o r ) 的财富等于期权执行时所必须支付的数量，从f j 仗期权_ l | ：卖者达到免受损失的目 的。期权理论研究的核心问题之一就是确定期权合理的“风险贴水”( p r e m i u m ) 值，即期权的公平价格( f a i rp r i c e s ) ，爿惯称之为_ ! f j 权的定价( o p t i o np r i c i n g ) ： 期权理论研究的第二：个核心l 、n 】题就是构造期权的套期保值策略。 期权的锥形早在古希腊时期就已出现( 参见f f 本银行研修社，1 9 9 3 ) ，但真 正标准化的场内期权交易则出现在2 0 世纪7 0 年代。著名经济学家r o b e r t c m e r t o n 、m y r o nss c h o l e s 和已故的f i s c h e rb l a c k 于1 9 7 3 年发现了欧式看涨期 权( e u r o p e a nc a l lo p t i o n ) 的定价方法( 以下简称b l a c k s c h o l e s 模型) ( 参见 m e r t o n ，1 9 7 3 ；b l a c k & s c h o l e s ，1 9 7 3 ) ，该方法为期权乃至其他衍生证券的定 价打下了坚实的基础，使得原本空洞的期权定价在理论上有了依据。m e n o n 和 s c h o l e s 因此而获1 9 9 7 年度的n o b e l 经济学奖。也许是一种巧合，正是在发现欧 式看涨期权定价方法的这一年即1 9 7 3 年，世界上第一个期权交易所一芝加哥期 权交易所( c h i c a g ob o a r do p t i o n se x c h a n g e ) ( 简称c b o e ) 成立，推出了标准 化的股票期权( m o c ko p t i o n s ) 并正式挂牌交易，这标志着现代意义下的金融期 权的诞生( 参见周立，1 9 9 7 ) 。由于期权和其他衍生证券样，具有规避风险、 风险投资、价格发现等功能，因此，伴随着维系全球的以美元为中心、实行“美 元与黄金双挂钩”的固定汇率制布雷顿森林货币体系( b r e t o nw o o d s a g r e e m e n t ) 于1 9 7 3 年( 又是1 9 7 3 年! ) 正式瓦解，以及银行和非银行金融机构 的积极推动，期权与其他衍生证券的交易在全球范围内迅速铺开。 第一章绪论 从理论上来说，借助计算机信息处理技术与金融分析理论，可以任意地设计 新颖的、有意义的期权，随后的问题就是对期权给出合理的定价。容易想到，合 理的定价依赖于标的资产未来价格变动的分布规律。法国数学家l o u i sb a c h e l i e r ( 1 9 0 0 ) 提交到巴黎科学院的博一 ：论文“t h o r i ed e1 as p d c u l a t i o d ”( 投机理 论) ，首次给出b r o w n 运动的数学描述，其目的是用漂移系数为零的b r o w n 运动 刻划标的资产价格变动规律、给出不同类型期权价格的理论值，并将理论值与观 测到的期权市场价进行比较。这些t 作宣告数理金融学科的诞生( 参见雍炯敏， 1 9 9 9 ) 。值得一提的是，我们看到正是期权定价问题导致了如今广泛应用的扩散 过程的首次研究，相对论创始人e i n s t e i n ( 1 9 0 5 ) 和控制论创始人w i e n e r 在他们 与初建立b r o w n 运动数学理论时对这些研究是不知道的。 现在看来，无论从数学还是从经济学角度，b a c h e l i e r 的理论都存和：缺陷， 用他们来描述期权定价理论没有多大用处，但他m 确地解决了许多问题。遗憾的 足，b a c h e l i e r 的工作长期没有引起数学与金融学界的重视，直到5 0 年代初，p a u l as a m u e l s o n ( 7 0 年度n o b e l 经济学奖获得者，m e r t o n 在h a r v a r d 火学念博士时 的导师) ( 1 9 6 5 ) 及一些其他学者重新考虑b a c h e l i e r 的t 作，考虑到股票( 标的 资产) 价格不可能为负数( 有限责任) ，他们首次0 1 入如今普遍使 j 的几何 ( g e o m e t r i c ) b r o w n 运动代替b a c h e l i e r 的普通或算术( a r i t h m e t i c ) b r o w n 运动 描述标的资产的分布规律，这是一个重人的突破，标志着现代数理金融学的开始 ( 参见雍炯敏1 9 9 9 ) 。 5 0 年代至7 0 年代初，在不同的假设条件下，许多学者运用几何b r o w n 运动 刻划标的资产的变动规律得到丫火量有关定价的结论，但即使是他们自己对这些 结论也感到1 i 满意，舟到1 9 7 3 年，m e r t o n 、b l a c k 和s c h o l e s 发现了欧看涨期 权的定价理论，期杖定价7 ，至其他各种衍i ：证券的定价才进入r 一个崭新的发展 阶段，众多学者开始对数理金融领域内的问题进行系统的研究。b l a c k s c h o l e s 模型的电越之处置要体现孔：( 1 ) 对于理想化的【h 场，发现了欧式看涨划权的套期 保值策略，指f i 拥有看涨期权j 拥有这利，策略是完全等价的，从而得到该策略对 应的初始财富即为期权唯一的公平价格，它与投资者的风险态度无关! ( 2 ) 给f i 了 操作简单的欧式看涨期权的定价公式。 毫尤疑n q ，b l a c k s c h o l e s 模型既具自i 重要的学术价值又t 有巨人的经济价 值。但经济计最实证分析表明：模犁l 1 股票( 标的资产) 价格服从) l f , jb r o w n 运动的假设与观测数据显示的结果存在系统偏差。为此。目前理论卜主要从如下 k 沙铁道学院博士学位论文：期权及投资消费问题 两个方面符手推rb l a c k s c h o l e s 模型：一是对 ，j ：的资产的，叟动增加跳过程得到 “跳扩散模碰”( j u m p d i f f u s i o nm o d e l s ) ，如k 沙铁道学院博导邹捷f i 教授和 他的学牛的研究：这方面的文献有a h n ( 1 9 9 2 ) ，a m i n ( 1 9 9 3 ) ，b a l l & t o r o u s ( 1 9 8 5 ) ， b a t e s ( 1 9 9 1 ，1 9 9 6 ) ，陈超与邹捷中( 1 9 9 9 ) ，d a s & f o r e s i ( 1 9 9 6 ) ，j a r r o w & r o s e n f e l d ( 1 9 8 4 ) ，m e r t o n f l 9 7 6 1 ：其次足允许标的资产报酬冰的方斧可以随机地 变化，这方而的文献仃a m i n & n g ( 1 9 9 3 ) ，h e s t o n ( 1 9 9 3 ) ，h u l l & w h i t e ( 1 9 8 7 ) ， k a l l i a n p u r & x i o n g ( 1 9 9 9 ) ，m e l i n o & t u m b