（应用数学专业论文）无穷时滞泛函微分方程的周期解.pdf

滔 0 t 中文摘要 摘要 本学位论文主要研究无穷时滞泛函微分方程周期解的存在性全文共 分四章，下面将四章的内容作简要介绍： 第一章为绪论，主要介绍了无穷时滞泛函微分方程周期解的研究背 景，给出了本文所必需的预备知识，介绍了矩阵测度和g 空间的基本知 识 第二章研究了一类无穷时滞泛函微分系统的周期解，利用矩阵测度 和l e r a y s c h a u d e r 不动点定理，在合适的条件下，讨论了周期解的存在 性 第三章利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，讨论了一类二阶无穷时滞泛函 微分方程的正周期解的存在性和多重周期解的存在性，并举例说明主要结 果的应用 第四章利用压缩映象原理，讨论了一类二阶中立型无穷时滞泛函微分 方程正周期解的存在性 关键词泛函微分方程；无穷时滞；矩阵测度；不动点定理；正周期 解；c k 空问 高丽丽：泛函微分方程的周期解的若干研究 a b s t r a c t 弛t h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so ff u n c - t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a y t h et h e s i sc o n t a i n sf o u rc h a p - t e r s c h a p t e r1i n t r o d u c e st h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，p r e l i m i n a r i e s , n o t i o no f s o m em a t r i xi n e a s t 1 r e sa n dt h ea x i o ms y s t e m so fp h a s es p a c e s c h a p t e r2d e a l sw i t hp e r i o d i cs o l u t i o n so fac l a s so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e h y s o m ee o d s t e n c er e s u l t so np e r i o d i cs o l u t i o n sa r e e s t a b l i s h e df o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a yb yu s i n g m a t r i xm e a s u r ea n dl e r a y s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m c h a p t e r3d i s c u s s e sp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rac l e s so fs e c o n do r - d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a y s o m ee x i s t e n c ea n d m u l t i p l i c i t yr e s u l t so fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sa r ed e r i v e db yu t i l i z i n gt h e f i x e dp o i n tt h e o r e mo nt h ea b s t r a c tc o n e a ne x a m p l ei s 百mt oi l l u s t r a t e t h em i nr e s u l t s c h a p t e r4s t u d i e sp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rac i a b so fs e c o n do r d e r n e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a y u n d e rt h es u i t - a b l ec o n d i t i o n s ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n si se s t a b l i s h e db y u t i l i z i n gb a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r e m k e yw o r d sf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；i n f i n i t ed e l a y ；p o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o n ；m a t r i xm e a s u r e ；f i x e dp o i n tt h e o r e m ；gs p a c e 、 ft 独创性声明 9 7 8 7 8 5 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得参乏徽：岑i | 域其他教育机构 的学位或证书而使周过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：高厕确 签字日期：刃矿6 年f 月f 。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解擞大警有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅本人授权l l 旨落留弘以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：函丽厕 导师签名： 夕匆墨 签字日期：髓6 年箩月f 。日 签字日期：庐”彩年，月，口日 学位论文作者毕业去向：畸缛、薯移分 工作单位：哝丰埠嗤商 电话：弓占鲥。2o ，f 通讯地址：噼啤聋营幽赂蒯马 邮编：三翘；。 第一章绪论 第一章绪论 本章介绍了无穷时滞泛函微分方程的应用背景和研究意义，并给出矩 阵测度的定义及相关定理，陈述了g 空间的相关知识和结论 1 1 研究背景 众所周期，对泛函微分方程作系统的研究始于十九世纪五十年代，参 见文【l 】，如今越来越多的学者涉足这一领域泛函微分方程的周期解在 很多研究领域，如化学、生物、经济、金融等，有着深刻的实际和应用背 景 无穷时滞泛函微分方程是他们研究的主要对象之一无穷时滞f d e s 的 情形与有界滞量的情形根本区别之处在于：不能在有限时间以后摆脱滞量 的直接影响仅通过补充定义，无穷时滞无法直接得到像有限时滞一样的 系统完整的结果参见【1 】 1 9 7 8 年，h a l e 和k a t o 提出b 空间的公理体系见文【2 j 后来人们在此基 础上建立了无穷时滞泛函微分方程的基本理论，并研究了解的稳定性、有 界性、周期性等问题，如文【3 】利用一致健忘的厶印u n o t ，泛函讨论了解的有 界性和稳定性，文阻7 】讨论了周期解的存在性，推广了有限时滞的相关结 果 无穷时滞泛函微分方程的周期解的研究受到人们的广泛关注，发展了 解决这类问题的许多有效的方法，如l a p u n o v 泛函方法、s c h a u d e r 不动点 1 高爵两：泛函徽分方程的周期解的若干研究 方法、拓扑度方法，分别参见文【5 - 1 1 和单调半流方法，参见文【1 2 一1 5 卜 我们注意到在非线性扩散、生物、化学等应用数学领域的许多问题中，根 据实际意义的需要，正周期解的研究更有实用价值，因此对正周期解的研 究具有很重要的现实意义。 本文就几类无穷时滞泛函微分方程的周期解及正周期解做了若干研 究，并得到了一些结论 1 2 矩阵测度 本文在后面的证明过程中需要用到矩阵测度的相关知识，下面本节给 出矩阵测度的定义及与矩阵测度有关的若干引理 定义1 11 1 6 】矩阵a 舻”的测度，i ( a ) 是由下式确定的纯量( 实数值) p ( a ) 2 牌圳“ a 1 】， 式中。i | 是由向量范数导出的矩阵范数，r i i a l i2 器1 舒 由定义可见，即使对于同样的a 舻”，当其范数i i a i i 不同 时，p ( a ) 值也会不同一般对于任何向量范数往往都可以确定出p ( a ) 设茹舻，a 舻一，按舻中的不同范数定义形一上的矩阵测度如 下n 哪： i i 2 l ( t m a ：x 。i 毛i ，舳( a ) 2l 0 ，存在6 = 6 ( 岛七) 0 ，使得对任意的i p l ，忱 g ，当i 妒1 一忱i d 时，满足s u pi 妒l 一忱i e ( 2 ) 令伽g ，序列g ，一l ，2 ，) 关于s u pi 妒( 口) i 是 一致有界的，则舰i 一伽i = o 的充要条件是对任何整数自成 立舰一般。l ( 8 ) 一o o ( o ) i = 0 ( 3 ) 瓯满足相空间的公理性假设( 证明见文【1 9 】) 设妒g ，0 a o o ，6 r ，。e p 为一在( 一o o ，a + 6 ) 上定义的函 数，且峨6 + 州上连续，则对于所有的t 峨6 + a 】，甄a ，且黾关于t 是 连续的显然m - - - - - s u pi 妒( 口) i ；j 妒( o ) l i 妒k 4 第二章一类非线性无穷时滞泛函微分方程的周期解 第二章一类非线性无穷时滞泛函 微分方程的周期解 本章首先分析了有限时滞泛函微分方程周期解的研究情况，然后利用 矩阵测度理论和l e r a y s c h a u d e r 不动点定理，在合适的条件下获得了一类 非线性滞后型无穷时滞泛函微分方程周期解的存在性 2 1 引言 在周期微分系统周期解存在性的研究中各种不动点定理起着非常重 要的作用文 2 0 】利用k n k t 口n l 集值映射不动点定理，研究了有限时滞周 期系统 圣( f ) = a ( t ，z t ) 正( t ) + f c t ，z t )( 2 1 ) 的廿周期解的存在性问题 文【2 1 - 2 4 】利用泛函分析的方法，以及工e r 叼一s c 玩t d e r 不动点定理和 矩阵测度的性质，分别研究了有限时滞系统 ( t ) = = a ( t ，z ( t ) ) z ( t ) + f ( t ，z ( t ) ) ， 士o ) = a c t ，z ( t ) ) z ( t ) + f ( t ，霉( t r ) ) ， 圣( t ) = a ( t ，z ( t r t ) ) z ( t ) + f ( t ，z ( t r 2 ) ) 5 高丽丽泛函微分方程的周期解的若干研究 得到了傈证系统存在u 一周期解的充分条件。本文借助文1 2 1 - 2 4 的思想，研 究了无穷时滞微分系统 圣( t ) = a ( t ，z d x ( t ) + f ( t ，轧) 周期解的存在性问题，得到了存在周期解的若干充分条件，其 6 f l a ( t ，) 和( l ，妒) 满足下列条件： ( h t ) ：a ( t ，) 是连续矩阵函数，且关于是汕周期的， ( - 2 ) ：，( t ，们是连续向量函数，且关于是弘周期的， 这里毋魄，c h 如1 3 定义，善淀义为规( 口) = 善0 + 口) ，口( 一，0 1 记己= 如c ( r ，舻) i u o + ，) 三u c t ) ，对u 兄，m i = 。：筠凶1 4 0 1 ，则兄是b 帆。曲空间 矩阵测度的定义及性质见1 2 为了行文方便，以下分别 用i $ ( t ) i ，p ( a ) 表示忙( t ) i n c a ) ( = l ，2 ，o o ) 中的任意一种容易证明下 面的引理 引理2 1 对任何兄，t r ，有i 毗f i i 1 l ，而且如果在p 。o e u 一 钍一o o ) ，则在a 中q 一毗加一o o ) 对t r 一致成立。 证明对任何让兄，t 月，由于 t t k = j 竺。 ( 8 ) s u pl u k 0 ) l d s e _ u s o 一2 _ 。 ( 8 ) s u pi “( t + 口) l 幽 j - - - - # s u s u pi , 4 t + 口) i ，s f s o s u p i u 0 + 口) i i e f ：f ；l i , * l l ， 即i 毗i f i , , 1 1 引理后半部分的证明见文【2 5 】，详细证明从略 6 第二章一类非线性无穷时滞泛函微分方程的周期解 引理2 2 ( l e r a y _ s c h a u d e r 不动点定理) 设e 为日n n h 空间，算子a ： e e 全连续，如果集扛i z e ，z = a a x ，0 a 1 ) 是有界的，则a 在e 中 的闭球b 中必有不动点，这里b = 伽e ：i i x l i r ) ，r = 8 u v l l x l i ：z = a a x ，0 a 1 ) 。 2 2 主要结果 定理2 1 对系统( 2 1 ) ，若下列条件成立： g ) 存在r 上的连续函数n ( t ) ，使得对于任意的( t ，纠r 魄， 有g ( a c t ，) ) n ( t ) 0 ，且记k = p ( f f od ( r ) 打) ， ( 谢) 甄去眦s u p 。i f ( ，舭 0 ， h = s u pi a ( t ，毋) | ( 2 1 0 ) 于是，对任意的u s z ，有 i 掣i = l 掣i = t t ) ( 乳) ( 。) + ，m ) i f 2 1 1 ) i a ( t ，t t ) | | ( 2 、) ( t ) i + i f c t ，饥) i 辔+ m , t r 由此可见，t ( 岛) 是等度连续的f i j a s c d i a r z e l a 定理得，? ( 岛) 是兄中 的一个相对紧集，从而t 是兄一兄的紧算予 下证t 是连续的设矿，u 0 兄，l l e 一护8 一o m o o ) ，则由引 理2 1 得0 嵋一田i i o c n 一) 令v = t u 一t u o ，则由算子t 的定义可推 得 ! = a c t ，嵋) ( 孔“) ( t ) + ，( t ，“? ) - a ( t ，硼) ( 丁铲) ( t ) + f c t ，u ? ) ( 2 1 2 ) = a ( t ，牡) y ( t ) + f ( t ，q ，础) ， 其中 f ( t ，罅，醒) = ( a ( t ，t l ? ) 一a ( t ，札? ) ) ( 7 舻) ( ) + ，( t ，嵋) 一f c t ，醒) 令k = 阮p l l u o l l ，l i 1 i 舻) ，则由a ( t ，纠，f ( t ，纠在【0 ，叫x g ( 其中g = 伽c ：例 k ) ) 上的一致连续性及0 z 铲0 倦知，当0 矿一扩j l 一0 时有 i f ( t ，“? ，砖) i 一0 9 ( 2 1 3 ) 高丽丽：泛函微分方程的周期解的若干研究 则( 2 1 2 ) 式可写成 v c t ) = a c t ，磁) y ( ) + f ( t ，叼，u o ) a w ( t ) 是( 2 1 4 ) 的周期解，于是由上章引理1 3 知 其中 且 ，t y ( ) = 也n ( t ，o ) v o + 墨n ( ，o ) x 矗( s ，o ) f ( s ，让。n ，u ：) d s j o v ( o ) - - ( i - x u - ( u ，o ) ) 一i f 】。和，o ) j 口( 8 ，o ) f ( 毛嵋，记) 幽， i k n ( u ，o ) x ；2 ( a ，o ) i 翻节( e p ( a ( - t 母) ) 打) 唧( c o ( r ) 打) = 七 1 ( 0 8 t s “，) ( 2 1 4 ) i y ( o ) i i ( j 一p ，o ) ) - 1 l 眉i 五一( u ，o ) x ( 岛0 ) i i f ( 3 ，嵋，u 0 ) i 如 击口i f ( 8 ，嵋，啦) i 出， 从而 l v ( 0 i = i 五。n ( t ，o ) l l v o i + 启l 五一( t ，o ) x ；2 ( s ，0 ) l l f ( s ，嵋，记) i 幽 j y ( o ) i + 露i f ( s ，蟛，川) l l d s 两2 - k 后i f ( s ，嵋，记) i 幽 利用( 2 1 3 ) 式便可推得，当0 婶一埠0 一。时。有m i l l p 矿一p 扩一 0 ，即t 是兄上的连续算子 综上所述，t ：兄一己是全连续算子 1 0 第二章一类非线性无穷时滞泛函微分方程的周期解 现在要证明集合缸 让兄，u = a t u ；0 时，有 ：几s u 渤p i f ( ，) l d t m l 一七( 2 1 5 ) 设a ( 0 ，1 ) ，t 兄，t = a 7 k ，则易证0 n 。事实上，由( i ) 和上章 引理1 2 ，推得 从而 i 珏( t ) i = l a ( 2 ) ( t ) l a i ( ，一( ，o ) ) 一1 i f ；i 溉( t + u ，s ) l l f ( s ，t b ) i 如 击露e 印( j ：p ( a ( r ，u - r ) ) d r ) l f ( s ，) i d 8 击露i f ( 8 ，) l 幽 = 击i f ( 8 ，) i 幽，t r 1 u ( t ) l i _ 乏1 丽1f 眦s u p 忙。i f ( s ，妒) l d s ，t 兄 ( 2 1 6 ) 假如1 1 t , 1 i2n ，则由( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 式可推得 槲篙 姐丽3 蕊“一t 几 因此卷墨1 群 1 ，但另一方面，易见舞鉴1 槲= 黼= l ，矛盾 故i l u l i n 由此便得，集合 让i 钍兄，牡= a t u ；0 a 1 ) 是有界的 利用l e r a y 一$ c h a u d e r 不动点定理知，算子纯兄中存在不动点矿， 且j i u 0 ，即系统( 2 1 ) 存在沙周期解证毕 1 1 高丽丽：泛函微分方程的周期解的若干研究 定理2 2 对系统( 2 1 ) ，若下列条件成立： ( 2 ) 存在连续的”周期函数q ( ) ，g a ( t ) 0 ，使得对于任意的( ，) i o ，u 】 g ，有肛( a ( t ，妒) ) o ( ) 0 ，且记k = e x p ( ：n ( _ r ) d r ) ， ( , o - 一f f a - ! 雠8 u p 。f ( t , ) j 出 1 一七 则系统( 2 1 ) 存在”周期解。 证明此定理的条件( z ) 可保证( 2 5 ) 式成立，以下证明与定理2 1 类 同，故从略 定理2 3 对系统( 2 1 ) ，着下列条件成立： ( ) 存在肚连续的汕周期函数n ( t ) ，n ( t ) 0 ，使对于任意的( ，毋) 【0 ，卅 瓯，有p ( a ( ，) ) 口( t ) 且记k = b 印( a ( r ) d r ) l ， 似) 琢s u s p 。 f ( t , 妒) 陋 1 一k ， 则系统( 2 1 ) 存在周期解 证明在此定理的条件( 0 t ，也可保证( 2 5 ) 式成立，以下证明与定 理2 1 类同，故从略 定理2 4 若定理2 1 或定理2 2 或定理2 3 的条件( 1 ) 成立，且 有甄：s u ! p 。i f ( ，) i 班 时有 ：氏s u 少pi f ( 冽出 n ，则由( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 式可推得 丽l u ( t ) l 禹( e ) 1 , t e 兄 因此舞墨1 群 0 ，使对于任意的( t ，纠【0 ，胡g ，有i f ( t ，纠l l ，则系统( 2 1 ) 存在沙周期解 证明同定理2 1 的证明，可以定义算子t ：己一兄 ( 扎) ( t ) = z 。( ) = ( 卜- 孔，o ) ) 一1f 孔( t + u ，s ) ，( 岛，) 如 1 3 高丽丽：泛函微分方程的周期解的若干研究 易证t 是兄上连续算子，现设a ( 0 ，1 ) ，若t 兄，且u = a t u ，则 ( ，一j l ( u ，o ) ) 一1 口+ ”扎o + u ，8 ) i ( 8 ，牡。) d 8 i 击丘e 印( c “p ( a ( r ，蜥) ) 打) l ，( s ，) i d 5 击“i ，( s ，u ) l d 8 = 1 留i f ( s ，u 8 ) i r i s 尚，t r 从而i l t 0 盏，r h l e r a y s c i a 埘e r 不动点定理知，算子r 在己中存在不 动点矿，亦即系统( 2 1 ) 存在沙周期解 1 4 第三章二阶无穷时滞泛函微分方程的正周期解 第三章二阶无穷时滞泛函微分方 程的正周期解 本章讨论一类二阶无穷时滞滞后型泛函微分方程正周期解的存在性 通过构造g r e e n 函数，利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，给出了正周期解的 存在性和多重正周期解的存在性 3 1 引言 近年来，无穷时滞泛函微分方程周期解问题受到人们广泛的关注， 发展了很多有效的方法，如l 妇研l m i 泛函方法，& 诎r 不动点方法，拓 扑度方法( 参见文 5 - 1 1 ) 和单调半流方法( 参见文【1 2 - 1 4 ) 文【2 5 】应 用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，研究了如下形式的周期解问题 圣= - a ( t ，z 0 ) ) $ ( t ) - 4 - f ( t ，t ) ，圣= a ( t ，z c t ) ) z ( t ) + f ( t ，j ) 获得了正周期解的存在性文【2 7 】建立了一类二阶常微分方程的格林函数， 并研究了二阶非线性常微分方程 的正周期解 童( t ) + a ( t ) z ( t ) = f ( t ，z ( t ) ) 1 5 高丽丽：泛函微分方程的周期解的若干研究 本文考虑如下形式的二阶无穷时滞泛函微分方程 蕾( t ) + a ( t ) x ( t ) = f ( t ，轧)( 3 1 ) 其中n ( ) 和f ( t ，x t ) 满足下列条件： ( 研) o c ( r ，( 0 ，o o ) ) ，a ( t + u ) i ( 亡) ，0 m a ( t ) s m ，t r ； ( 日2 ) ，c ( r c h ，r ) ，f ( t + u ，) 三f ( t ，妒) ，c h ，t r ； ( 日3 ) ，( ，纠将r c 中的有界集映为r 中的有界集，且对c k ，( p ) o ( o j r ) ，有，( ，纠0 ，t r 函数z t 定义为x t ( o ) = x ( t + 口) ，一0 0 0 ，其中g 空间 如1 3 所定义 受到文【2 5 】和文【2 7 】的启发本章应用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，通 过构造g r e e n 函数，将二阶方程周期解问题转化成积分方程的相应问题，获 得方程( 3 1 ) 存在廿周期正解与多重周期解的若干充分条件 记兄= c ( r ，r ) l u ( t + ) = 札( t ) ，t 研，对t 兄，i = 。：蹈函l u ( 0 1 ，则兄是b 帆口曲空间如下引理是显然的 引理3 1 阿对任意t 兄，地在g 中关于t 是一致连续的 引理3 2 嘲如果 矿) 是兄中收敛到札的序列，则 嵋 在q 中关于t 一 致收敛到地 先考虑二阶线性周期边值问题 二淼 c s z ， iz ( o ) = $ ( ，) ，圣( o ) = 童( u ) ， 其中o m ( 吾) 2 ，p c r ) 设卢一、砑， 晔) = 笔警正 ( 3 3 ) 第三章二阶无穷时滞泛函微分方程的正周期解 则有 定义格林函数 g ( t ，s ) ： 7 ( t - - s ) o 8 。u 。 ( 3 4 ) ir ( u + t s ) ，o t s u 。 鑫螂枢瓣1 ， f g ( 如) 幽= f 小) 如= 击 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 那么有 引理3 3 嘲设o m 0 1 7 ( 3 9 ) 高丽露：泛函微分方程的周期解的若干研究 定义算子t ：兄一见 ( t ) ( ) = f g ( ，s ) 九( s ) d s , ue 兄 则算子t 的不动点t ( t ) 是方程 i ( ) + m z ( 。) = 几础， lz ( o ) = z ) ，圣( o ) = 斑) ，浊。 的解，对此t ( t ) 作周期延拓后即可得方程( 3 1 ) 的一个廿周期解。 取j = c 譬，则o 0 ，只 要i t l 一t 2 i 6 ，那么i g ( t l ，s ) 一g 他，8 ) i e 于是 l ( t u ) c t t ) 一( 2 ) ( 如) l ；ij ( c ( t x ，。) 一g ( 如，8 ) ) m ( s ) d s l e w ( 2 m f f + 尬) ， 所以r ( 蚝n - ) 等度连续d h a s c a i 一加2 e f 口定理可知t ( 硒n r ) 是相对紧 集 下面证明t 的连续性设矿，“k 6 1 3 i 5 i ，r i i u 一u 0 0 ，则 ( t u “) ( t ) = f g ( t ，s 胁o ) d 8 令矿= t u 一t u 。刚 ( t ，i ) “= 一m t u n + 叠u 忭( t ) 一( - m t u + p 。( ) ) ；一m ( t u 一凡) + 鼢p ( ) 一九( t ) ( 3 1 1 ) = 一m 俨+ r ( ) 其中r ( t ) = m ( u n ( t ) 一 ( t ) ) 一a ( t ) c u ( t ) 一“( ) ) + ，( t 婶) - f ( t ，饥) 则俨是 方程( 3 n ) 的解，由引理3 3 知 矿= f g ( t ，s ) 晶( t ) 幽 ( 3 1 2 ) 高丽丽：泛函微分方程的周期解的若干研究 由引理3 2 知，“? 一撕，从i 面f ( t ，t ) 一，( t ，t c ) 一o 。) 。因此r ( t ) 一 o ( n o o ) ，t 【0 ，u 】再l e b e s g u e 控制收敛定理知l j 俨| l = 0 t 矿一t u l i 一 0 ( n o o ) ，故r 是连续的。所以t ：k sn 孬一是全连续算子 引理3 6 【笳】( k r a s n o s e l s k i z 7 6 动点定理) 设k 是b a n a n c h 空间x 的一个 锥，n l 和q 2 是x 中的有界开集0 q l ，孬l q 2 t ：k n 2 n 1 ) 一k 全 连续，如果满足条件 ( i ) l l t u l fsi l u l l ，v u k n o f f l ；i i t , 4 i i l u l l ，v u k n 施2 ， 或 ( i i ) l l t u l l i l u l l ，v k n 独2 ；i i t u l i 之i l u l l ，v “k n 舰l 则吨kn ( 醌n 1 ) 中必有不动点 3 2 正周期解的存在性 本节讨论方程( 3 1 ) 利用k r a m s e l s k i i 不动点定理得到方程( 3 1 ) 正周期解存在的充分条件 本节中记砚= c h l 咖c o ) d l 妒l h ，0 r 一) ，此处6 一c o s 譬下 面妒锄， 7 0 一般学面f c t 毋) 小粼磐错， 瓦= 慨翼学苇警，厶= l i m 。i n 。f r a 坨i ，nl 例( t , ) 定理3 1 假设o m m 燕，兀 m ， 则方程( 3 1 ) 至少有一个p 正周期解 2 0 第三章二阶无穷时滞泛函微分方程的正周期解 证明情形l ：( i ) 成立。由_ o 0 ，使得 当0 h r l 时，有 韶 毒 ( 3 1 3 ) 有, s l 地l h ( 3 1 4 ) 存在岛( i ) 0 ，使得 ( 3 1 5 ) 取r 2 m a x r 1 ，譬 ，令= 伽咒：m i 0 ，放砬( t ) 是方程( 3 1 0 ) 的正解，以，为周期延拓后为方程( 3 1 ) 的正周 期解 情形2 ：( f ) 成立由厶 ；搀，按定义知，存在r 3 0 ，使得当o 墨 ( 3 1 8 ) 币；- 7 磊丐。 p 。刨 当0 nsr z 时，对任意的u j “na n l ，即忆0 = r l ，6 k l 6 1 1 让1 i t t p ) ，t t 锄，西1 l 饥h sr i ，由( 3 1 8 ) 有 ( t u ) c t ) o ( t ，8 ) ，( 8 ，u o ) d s 毒g ( t ，s ) l u o l d s 毒洲恃= l l u l l ， 因此 i i t u l i2f i , , 1 1 ，讹风1 3 勰1 2 2 ( 3 1 9 ) 第三章二阶无穷时滞泛函微分方程的正周期解 又由7 。 0 ，使得当 r 1 时，有 错 m a x r 3 ，譬) 时，对任意的t 恐i - 1 a 吼，e p u ，i l u l l = r 2 ， 有啦q 5 ， i 地i = ( s ) s u pi t ( t + 0 ) l d s 之a l i b i l r i j - - o o s o o 由( 3 2 0 ) 式，有 1 2 ( t ) f f og c t ，s ) 帆( s ) l d 8 g ( t ，s ) ( ( m m ) l l t l i + m | l ) 如 眉g ( t ，。) ( ( m m ) l l u l i - i - m l l u l l ) d s = m l l u l l 击一 l u l l ， 因此 f i t u l f l ，讹k 6na n 2 ( 3 2 1 ) 由引理3 6 知，t 在j “n ( _ 2 q 1 ) 中存在不动点t ，此不动点是方程 ( 3 1 0 ) 的正解，以u 为周期延拓后为方程( 3 1 ) 正周期解 推论3 2 假设o m ( 吾) 2 t 若下列两个条件之一成立： a ) ：t o 一0 ，厶= o o ， ( i ) 厶= o o ， l = 0 ， 则方程( 3 1 ) 存在正沙周期解 把推论3 2 应用于非线性特征值问题 孟( t ) + n ( ) z ( t ) = a ，( t ，z i ) ，t r ，( 3 2 2 ) 以，1 0 ，x t ) = v ( t ，瓤) 代替方程( 3 1 ) 篚s s ( t ，魂) ，由推论3 2 有 2 3 高丽丽：泛函微分方程的周期解的若干研究 推论3 3 假设o = 每，且存在户 0 ，使 脚x ，( ，妒) 悻正和i i p m p ，妒q 5 成立，且o m ( 三) 2 ，则方程( 3 1 ) 至少存在两个正沙周期解 证明取q 3 = p 兄：j i xt i 力，则当o 7 1 p 1 2 时，西lc q 3 ，磁cn 2 ，其中n 1 ，q 2 如定理3 1 的证明中所定义，因为 驴嵩d 毒， 按定理3 1 的证明知，可取r l 充分小r 2 充分大，分别使( 3 1 9 ) 式与 ( 3 1 7 ) 式成立，我们再证 l i t u l i i i 1 1 ，讹凰n 加3 ( 3 2 4 ) 当u 玛f l a n 3 时。因为i 一加按的定义，对任意的【0 ，u 】， 有6 k f 训t 0 毗( 口) ，u t 钆，和si 毗l p 由( 3 2 3 ) 式有f ( t ，砘) 2 4 第三章二阶无穷时滞泛函微分方程的正周期解 m p ，b j l f ( t ，地) i m p = m l l u l i 。所以 ( t u ) ( t ) c ( t ，s ) l p 。( s ) l d s 击( ( m m ) l l t i l + l f ( t ，t 。) 1 ) d s 击( 一m ) + i l u l l ) = i i , , 1 1 ， 因此 i i t u l i i l u l l ，讹k 6 n 鲫3 ， 即( 3 2 4 ) 式成立 于是，琏n ( 蕊q 1 ) 上满足引理3 6 之条件( 西) ，在磁n ( 殇q 3 ) 上 满足引理3 6 之条件0 ) 放按t 在n ( 蕊n 1 ) 与琢n ( ) 中分别存 在不动点i 1 与1 2 ，由( 3 1 8 ) 式知一u l ，t 2 乒o t i s ，因此0 t 1 0 p 0 抛i i ， 故i , 1 ，t 2 为t 的两个不动点。此二不动点为方程( 3 1 0 ) 的两个正解，以“，为 周期延拓后为方程( 3 1 ) 的两个正妒周期解 定理3 5 设7 0 m p ，咖q 6( 3 2 5 ) 成立且o m ( 吾) 2 ，则方程( 3 1 ) 至少存在两个正妒周期解 i i e l 理l 设0 7 1 m p 2u l l l l t 所以i 磬，( ，地) m i i - i i 故 ( t u ) ( t ) = g ( t ，s ) 帆( s ) l d s 影c ( t ，s ) f ( s ，缸。) 如 m i i i i 击= f ， 于是 i i t u l i l ，v u k s n 慨， 即( 3 2 6 ) 式成立 两次应用引理3 6 知，t 在肠n 蕊n 1 ) 与硒f l ( 醌) 中分别存在不 动点毗与撕，由( 3 2 6 ) 式知u l ，t 2ga 。故u l t 2 ，此二不动点为方程 ( 3 1 0 ) 的两个正解，以u 为周期延拓后为方程( 3 1 ) 的两个正廿周期解 3 4 举例 例3 1 考虑如下方程 ，0 j ( ) + o ( t ) = m ( 5 ) ( o 0 5 + 矿( t + 曲) d 矗( 3 2 7 )