（理论物理专业论文）so（n）拓扑规范场论和φ映射拓扑流理论的新发展及其应用.pdf

内容摘要 本论文进一步发展了段一士教授提出的s o ( n ) 规范势分解理论和 映射拓扑流理论及其应用，并以此为基础研究了p 一膜的拓扑规范场论。此 外我们还建立了早期宇宙宇宙弦，暴胀和暗能量三者之间的关系。本文还在 拓扑流理论框架内，研究了拓扑缺陷的同伦理论的内部结构。 首先，本文给出了利用c l i f f o r d 代数单位矢量场对规范势进行分解的 严格s o ( n ) 规范势分解理论。并利用此分解表达式证明了我们推广的陈- s i m o n s 拓扑张量流就是我们过去提出的由c l i f f o r d 单位矢量场n 构成的产 生p 一膜的拓扑张量流，从而建立了p 一膜的非阿贝尔拓扑规范场理论。其 中，我们由s o ( n ) 规范场张量构成的新陈一s i m o n s 拓扑张量流是我们过去 研究弦的陈一s i m o n s 拓扑流的直接推广。进步，利用咖一映射拓扑流理论， 我们发现c l i f f o r d 矢量场( z ) 的每一个孤立奇点都对应于一个p 一膜，并 且p 一膜带有拓扑量子化的荷，此拓扑荷由一映射的环绕数标记。由上述 理论，本文自然得到了p 一膜的作用量，并指出它恰是弦理论中的n a m b u 作用量的推广 其次，本文指出宇宙弦、暴胀和暗能量可_ 以用同一个复标量场来描述。 在第四章中，我们在r i e m a n n c a r t a n 流形理论中提出了一个与挠率相关的 拓扑不变量。此拓扑不变量可用来研究时空缺陷及宇宙弦。以此为基础，利 用妒一映射拓扑流理论及u ( 1 ) 规范势具有内部结构的新观点，探讨了早期 宇宙时空缺陷的拓扑规范理论和宇宙弦的拓扑性质，得到了宇宙弦的拓扑量 子化。并且，本文证明u ( 1 ) 复标量场妒( z ) 不仅可以看作是宇宙的序参量场 而且指出宇宙弦正是在复标量场的零点处产生的。在标准宇宙学框架内，我 们证明这一复标量序参量场具有负压强特征，可提供宇宙加速膨胀所需之斥 力，并能解释宇宙早期的暴胀，因此可以看作是暗能量。 第三，利用g a u s s 映射的映射度和形变收缩核的概念，我们研究了同伦 理论的内部拓扑结构。文中指出7 r 。一1 ( 伊- 1 ) 的非平庸同伦类以g a u s s 映射 的映射度给出的广义环绕数来表征，并解出了与同伦7 r 。一l ( s ”1 ) 有关的拓 扑对象的具体构型，即单极子。我们发现这一类同伦的拓扑量子化以h o p f 指 标和b r o u w e r 度来刻画 最后，给出了关于p i n ( k ) 群引力规范理论的简单讨论，得到了含挠率 和标曲率的平方项的一般引力拉氏量密度。 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w eg i v e sf u r t h e rd e v e l o p m e n to ft h ed e c o m p o s i t i o nt h e - o i yo fs o ( n ) g a u g ep o t e n t i a la n dn e wa p p l i c a t i o n sf o rt h ec - m a p p i n g t o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r yp r o p o s e db yp r o f y i s h id u a n t h i sn e wd e v e l o p m e n ti st h et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no ft h es t u d yo ft h et o p o l o g i c a lg a u g e f i e l dt h e o r yo fp - b r a n e s w ea l s oe s t a b l i s h e dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc o s m i cs t r i n g s ，i n f l a t i o na n dd a r ke n e r g yi ne a r l yu n i v e r s ec o s m o l o g y t h e i n t r i n s i ct o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h eh o m o t o p yt h e o r yo ft o p o l o g i c a ld e f e c t s h a v eb e e ns t u d i e di nt h ef r a m e w o r ko ft o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r ya l s o f i r s t l y ，t h er i g o r o u sd e c o m p o s i t i o nt h e o r yo ft h es o ( n ) g a u g ep o t e n t i a li nt e r m so fc l i f f o r da l g e b r a i cu n i tv e c t o rf i e l di se s t a b l i s h e d t om a k e t h eg a u g ef i e l dt h e o r yf o u n d a t i o no ft h et o p o l o g i c a lc u r r e n to fp - b r a n e s i n t r o d u c e di no u rp r e v i o u sw o r k ，w ep r e s e n tan o v e lt o p o l o g i c a lt e n s o rc u r r e n ti ns o ( n ) g a u g ef i e l dt h e o r y t h i sn o n a b e l i a ng a u g ef i e l dt e n s o r c u r r e n ti st h es t r a i g h t f o r w a r dg e n e r a l i z a t i o no ft h ec h e r n - - s i m o n st o p o l o g i c a lc u r r e n to fs t r i n g s b ym a k i n gu s eo ft h es o ( n ) g a u g ep o t e n t i a l d e c o m p o s i t i o nt h e o r ya n dt h e 一m a p p i n gt o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r y ，i ti s p r o v e dt h a tt h ep - b r a n ei sc r e a t e da te v e r yi s o l a t e dz e r oo ft h ec l i f f o r d v e c t o rf i e l d ( z ) a n dt h ec h a r g e sc a r r i e db yp b r a n e sa r et o p o l o g i c a l l y q u a n t i z e da n dl a b e l l e db yt h ew i n d i n gn u m b e ro ft h e 击一m a p p i n g t h e a c t i o no ft h ep b r a n e si sn a t u r a l l yo b t a i n e da n di sj u s tt h eg e n e r a l i z a t i o n o ft h en a m b na c t i o nf o rm u l t i s t r i n g s ， s e c o n d l y ，w es h o wt h a tt h ec o s m i cs t r i n g s ，i n f l a t i o na n dd a r ke n e r g y o r i g i n a t ef r o mt h es a m ef i e l d c o m p l e xs c a l a rf i e l d i nc h a p t e r4w ep r e s e n t at o p o l o g i c a li n v a r i a n tw h i c hi sr e l a t e dt ot h et o r s i o nt e n s o ri nr i e m a n n c a r t a nm a n i f o l dt h e o r y t h i st o p o l o g i c a li n v a r i a n tc a nb eu s e dt os t u d y t h es p a c e - t i m ed e f e c t sa n dc o s m i cs t r i n g s b a s e do nt h i st o p o l o g i c a li n v a r i a n t ，b yv i r t u eo ft h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r yo fu 0 ) g a u g ep o t e n t i a la n d t h e 击一m a p p i n gt o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r y , t h et o p o l o g i c a lg a u g et h e o r yo f t h es d a c e t i m ed e f e c t si nt h ee a r l yu n i v e r s ea n dt h et o p o l o g i c a lp r o p 。r t l 8 8 o fc o s m i cs t r i n g sa r es t u d i e d i ti sp i o v e dt h a tt h eu o ) c o m p l e x s 。a l a 。 f i e l d 曲( 。) c a nb el o o k e du p o na st h eo r d e rp a r a m e t e rf i e l di no u ru n i v 。8 8 ， a n dt h es e to fz e r op o i n t so f 审( z ) c r e a t et h ec o s m i cs t r i n g s a st h es p a 。o 。 t i m ed e f e c t si nt h ee a r l yu n i v e r s e i nt h es t a n d a r dc o s m o l o g yt h i sc o m p l e x s c a l a ro r d e rp a r a m e t e rf i e l dp o s s e s s e sn e g a t i v ep r e s s u r e ，p r o v i d e sa n a c c e i e r a t i n ge x p a n s i o no fu n i v e r s ea n db ea b l et oe x p l a i nt h ei n f l a t i o n i nt h e e a r l vu n i v e r s e t h e r e f o r et h i sc o m p l e xs c a l a rf i e l di s n o to n l yt h eo r d e 。 d a ra l m e t e rf i e l dc r e a t e dt h ec o s m i cs t r i n g s ，b u ta l s or e a s o n a b l yb e h a v e s a s t h eq u i n t e s s e n c e ，t h ed a r ke n e r g y f u r t h e r 】v ，i nc h a p t e r5 ，u s i n gt h ec o n c e p t so ft h ed e g r e eo fg a u s s m a p p i n ga n dd e f o r m a t i o nr e t r a c t i o n ，w es t u d yt h e i n t r i n s i ct o p o l o g i c a l s t r u c t u r eo fh o m o t o p yt h e o r y w es h o wt h a t t h en o n t r i v i a lh o m o t o w c l a s s e so ft - n 一1 ( s “一1 ) a r ej u s tc h a r a c t e r i z e db y t h eg e n e r a l i z e dw i n d i n g n u m b e r sd e f i n e db yt h ed e g r e eo fg a u s sm a pa n dw o r ko u t t h ec o n c r e t ec o n f i g u r a t i o no ft h et o p o i o g i c a lo b j e c t s ，i e ，m o n o p o l e sr e l a t e d t o7 1 n - l ( s “- 1 ) w ef i n dt h et o p o l o g i c a lq u a n t i z a t i o no ft h i sk i n do fh o m o t o p yi sc h a r a c - t e r i z e db yt h eh o p fi n d e xa n dt h eb r o u w e rd e g r e e a tl a s t w eg i v eas i m p l ed i s c u s s i o no fp i n ( k ) g r o u pg a u g et h e o r y o fg r a v i t a t i o n ，a n dg e tan e wg e n e r a lg r a v i t a t i o n a ll a n g r a n g i a ni n c l u d i n g t o r s i o na n dt h eq u a d r a t i ct e r mo fs c a l a rc u r v a t u r e 原创性声明 。7 3 i 6 2 l 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 沦文作者签名：塑量墨， 日期：型堕墨一z 7 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该硷文直接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 、， 论文作者签名：堑撞导师签名：叠二!日期：丝篮兰7 第一章引言及预备知识 几何和拓扑已经成为物理学家的重要数学工具，它们和理论物理始终相 互影响，相互作用，成果非常显著 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 1 在这方面一个著名的例 子是爱因斯坦创立广义相对论的过程。同样给人深刻印象的还有从杨一m i l l s 场到w e i n b e r g s a l a m 弱电统一理论再到量子色动力学这样一个认识发展历 程。通过此过程人们认识到，基本粒子之间的相互作用必须用规范理论来描 述，而在数学术语里此规范场恰是主丛上的联络在量子场论中另一个典型 的例子是孤子和瞬子的经典运动方程的拓扑非平庸解同时；伴随着弦理论的 发展几何和拓扑所起的作用也日益显现，这不仅表现在对弦本身的研究上， 也表现在如何利用自发紧致化实现到四维场论的过渡这一问题的研究当中。 同样的。这二者也被应用在其它一些研究领域里，如玻色一爱因斯坦凝聚体 中的缺陷，晶体激发谱中的奇异性，以及量子霍尔效应等，并起到了重要的作 用。 但是，在传统的拓扑理论中总存在一个严重的问题：我们如何在数学上 直接而严格地导出连续介质中孤立拓扑奇异结构( 如单极、涡旋线和畴壁) 的 显式表达式，而不仅仅是计算一个环路积分从而间接地说明积分区域中一定 存在着缺路? 在本论文中我们将利用段一士教授创立的沪映射拓扑流理论 和规范势分解理论来研究不同物理问题中的各种拓扑结构，并严格导出这些 结构的j 一函数形式，也即给出这些结构的微分表达式，即在数学上给出流形 上的奇异子流形理论。事实上，此沪映射理论已被应用在了研究磁单极的拓 扑流f 2 6 ，扑弦理论 3 2 ，旋错和位错连续体的拓扑示性数 1 6 ，1 7 】，期宇宙中 时空缺陷的拓扑结构及其拓扑分岔 1 8 ，2 1 ，3 6 ，g a u s s - b o n n e t c h e r n ( g b c ) 定理的拓扑结构 3 5 ，15 】，整数和分数量子霍尔效应的拓扑结构f 1 9 ，2 0 】太 阳黑子的电密度 2 3 】，超导体的伦敦方程的拓扑结构 3 8 】，光学波位错的拓扑 结构 2 2 】，陈一s i m o n s 涡旋的演化 2 9 】，复合玻色子场孤子的演化【3 3 】，以及 g b c 定理的内部结构和m o r s e 理论 3 4 ，等等理论上，并得到了重要的结 果。本论文是以上基础理论的进一步完善和发展。 在本章中我们将回顾一些在本论文的进一步研究中需要的预备知识。在 1 1 节中，我们介绍了咖映射理论中的拓扑张量流并对其内部结构进行了分 析。我们也研究了张量流的分叉行为。在1 2 节我们介绍了护映射理论中的 隐函数定理。在1 3 节列出了本论文的目的和主要内容。 1 1 扣映射理论中的拓扑张量流 1 1 1加映射理论中的拓扑张置流 令x 是一个d 一维光滑流形其度规张量钆。，局域坐标为扩( 肛，= 1 ，d 考虑光滑映射西：x r 。，其中r 是一个k 维的欧氏空间， 是 0 ，我们有t t 4 的分支解，否则，我们有t t + 的分支解。前者对应拓扑物 体在极限点处的产生，后者对应拓扑物体在极限点处的湮灭。因为拓扑流守 恒汶两个拓扑物体的拓扑荷一定县相反的即 卢l 卵14 - 屈啦= 0 b 分岔点处的分支过程 现在我们考虑情形( 1 2 0 ) ，在这种情形下，系统( 1 1 7 ) 在分岔点( 圮p i ) 的约束条件为 d ( 扎a ) 扎d 1 ( 孰。沪o ( 1 2 4 ) 7 ! ：! ：堕型些丝鲍堑! ! 塑墼堕 这两个约束条件导致一个重要的事实：在分岔点( t + ，p i ) 附近t 和u 1 的关系 并不是唯- x , t 应的。事实上，我们有 警。圹涨i 艘) “2 5 ) l i t * , ( 1 z o 面取) 2 面两万( 比p ； 容易看出，在约束条件( 1 2 4 ) 下方程( 1 2 5 ) 的解描述的曲线在点( t + ，鼽) 处 的切线方向无法确定。因此，( 1 2 5 ) 不满足微分方程的解的存在与唯一性定 理。这就是点( t + ，磊) 成为系统( 1 1 7 ) 的分岔点的原因。 在下文中，我们将寻找一个简单的方法来确定在分岔点所有分支曲线的 不同的切线方向我们假设分岔点( t + ，p i ) 已经根据( 1 1 7 ) 和( 1 1 8 ) 解出，以 下的计算都在( t + ，p i ) 处进行正如我们以前注意到的，在分岔点处，雅克比 矩阵 塞】的秩小于七首先，我们考虑雅克比矩阵 鬻】的秩为七一1 的情形 更小的秩的情形将在以后考虑假设雅克比矩阵 筹】的一个( k 一1 ) ( 七一1 ) 子矩阵d 1 ( 咖知) 为 鹂 端蝶 训争l 譬警i 2 s ， 旁1 疗1 c k 。一 其行列式d e td 1 ( j ) 在( t + ，p i ) 点不为零( 否则，我们必须重写方程组( 1 1 了) ) ， 其中蜴代表( a 妒跏且) ( 凸= 1 ，k 一1 ；a = 2 ，七) 。利用隐函数定瑾， 我们在分岔点( t 4 ，魏) 附近得到一个且仅一个函数关系 u a = f a ( v 1 ，t ，0 2 ，o - m ) ，a = 2 , 3 ，d ( 1 2 7 ) 其中偏微分 斤= 筹，肛i 警，4 ：2 1 3 ，。几一否万j 一百 3 。，o ，u 因此，对于a = i ，k l 。我们有 多。= o ( ”1 ，f 2 ( v 1 ，t ，方) ，。( 1 ，t ，疗) ，t ，固三0 8 一 第1 章弓l 盲及预缶知识 筹卅+ 妻竺o v a 一扎 乱l“缸 “ 竺=钟+亡竺ova，toto v a | 4 = o ， r h 。 从中我们可以计算出一阶微商，a ：开及舻 崩= 淼，髭= 淼， 将( 1 2 8 ) 分别对付1 和作微商，我t r 1 j s n a - = 1 ，七一1( 1 2 8 ) a = 1 ，k 一1( 1 2 9 ) 定义二阶微商 詹= 第 螅am a = 一 2 蛾。斤+ ( 妇口芹) 船一吼n = 1 2 ，忌一1 a = 2 a = 2 b = 2 ( 1 3 0 ) 蛸a 几a = 一开+ 织。+ ( 蛸a 础b 肌a l 一纯8 = 1 2 ，k - 1 ( 1 3 1 ) ( 1 2 9 ) 对t 作微商给出 蛸a 妇a = 一f 2 唬a + ( 铲) 哟一鲲。= 1 2 ，k - 1 ( 1 3 2 ) 其中 = 笳。：篇 ( 1 2 9 ) 对训1 的微商给出和( 1 3 1 ) 同样的结果。如果我们对上面三式( 1 3 0 ) ， ( 1 3 1 ) ，( 1 3 2 ) 利用高斯消元法，我们可以得到三个偏微商融，瑶及筒。 注意到方程( 1 3 0 ) ，( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 有同样的不为零系数矩阵d i ( ；) ，我们应 当将前面计算出来的偏微分厅和代入上式。 以上的讨论与最后一个式子扩( u 1 ， 。，t ，方) 无关。为了寻找如1 出 在分岔点的不同值，我们研究( 圮p i ) 附近妒( u 1 ，一，矿，孑) 的泰勒展开。 把关系式( 1 2 7 ) 代入扩( u 1 ，u 8 ，t ，孑) ，我们得到两个变量v 1 和t 之间的 函数关系 f ( t ，叫1 ，疗) = 妒。( u 1 ，f 2 ( v 1 ，t ，方) ，f k ( v 1 ，t ，方) ，t ，疗)( 1 3 3 ) 一9 一一 ! ：! 生：堕墅堡丝主盟煎! 堡量堕 根据( 1 1 7 ) 上式在分岔点为零 f ( t + ，效) = 0 从( 1 3 3 ) ，我们可以分别计算出f ( t 阶偏微分 a f c g v l ( 1 3 4 ) v 1 ，孑) 对u 1 和t 在分岔点( 圮鼽) 的一 删，瓦o f 刊+ 蹇删 ( 1 s 5 ) 利用( 1 2 8 ) 和( 1 2 9 ) ，( 1 2 4 ) 的第一个方程可以表示为 d 瓢托刚= 一珐开 = 2 一蛸 a = 2 鹂 弼 七 一4 - 1 开缱。 a = 2 黩缱 醭 槟 娥- 1 醭 根据克拉默法则， ( 1 ，2 6 ) 和( 1 3 5 ) ，可以重新写为 因 我们有 d ( 孰胁) = 0 0 o 七 端 钨 观 槟 ( t + ，鼽) 谚醭- 1 + 毋舒庐 一妒l a = 2 = 筹a e t 刚孰协) _ 0 d e td l ( 鼽 曲o o f 一o v i 旧挑) 2 o = 0 ( t , p ) ( 1 3 6 ) 。脚 + 七l = 蔓! 童! ! 宣垦翌堑墅堡 同样地，我们可以证明 瓢协) - 0 函数f ( t ，u 1 ，孑) 的二阶偏微分为 斋刊。+ 扣钳 罴砘+ 是阮 d 2 f o t 2 惫 + k 肌a - 十( k 芹) 艄 且= 2 嘏m 地a + ( 咖m b 铲) 舻】 b = 2 ( 1 3 7 ) 在( t + ，胁) 定义为 a = 筹i ( c 侧，b = 毓0 2 fk + 剐，g = 丽0 2 f k 。翩) ( 怕8 ) 那么，由于( 1 3 4 ) ，( 1 3 6 ) ，( 1 3 7 ) 及( 1 3 8 ) ，f ( t ，u 1 ，厅) 在分岔点( t + ，p i ) 附 近的泰勒展开可以表示为 疗) = 1 a ( v l _ p i ) 2 + 脚1 一砖) ( t 吖) + ；c ( t 。) 2 ，( 1 3 9 ) 这是扩( 刨1 ，u ，t ，孑) 在( t + ，p 。) 附近的表达式表达式( 1 3 9 ) 表明在分岔 点( t ，p i ) a ( v 1 一p j ) 2 + 2 b ( v 1 一p ) 一t + ) + c ( t 一矿) 2 = 0 ( 1 4 0 ) 将( 1 4 0 ) 除以( 鄙1 一露) 2 或( t 一8 ) 2 ，再分别取极限t t + 及留1 一p ；，我 们得到两个方程 及 ( 1 4 2 ) 因此我们从( 1 4 1 ) 或( 1 4 2 ) 的解得到在分岔点的分支曲线的不同切线方向 为了得到其他变量相关的切线方向，我们使用如下关系式 d v a = 骨幽1 + 1 2 d t ，a = 2 ，3 ， 一1 l 一 纾舻8奄a渺 。蚴 + 癌七a + 斧七姐 + + 舻m m 甲 2 。脚 + m 托 | | i | l | 4 g 十 + 班丽 彬面 c q b 2 2 + + p p 如一彬 肼一班 g a 1 1 巾映射理论中的拓扑张量流 丝d v i = + ? 羔。1 。( 知1 一 丝d t = 岸型d t + ( 1 4 3 ) j lj 。 喇，= 睽。罨) 一j ，。( u 1 ，u 2 ，t ，孑) ，t ，方) = 0 ， ，i k ( 口1 ，_ u 2 ，t ，疗) ，t ，疗) = 0 ( 1 4 5 ) 、j t 盯 ， 以刃 2 ，2 产 口 、= 卜， 弘 ，p t ， ，沪 、= =， o 扣 七 七 甲击r = i | 、j、j _ t 盯 一盯 啦僻 1 l 扣 一兄 ，j(1【 第1 章引吉及预备知识 计算函数日和f 2 相对于v 1 ，付2 和t 的偏微分，t - 差n n ( 1 4 4 ) ，并利用六个 与( 1 3 6 ) 和( 1 3 7 ) 类似的表达式，即 等k 印沪。，貉k + 托，_ o ，筹k 熟广。， = 1 厄6 ， 我们得到f 1 和毋在( t + ，p i ) 邻域如下的泰勒展开的表达式 乃 1 ，u 27 t ，孑) a j l 1 一p j ) 2 + a 2 扣1 一疵) 扣2 p i ) + a j 3 ( v 1 一p ：) ( t t + ) + a j , i ( u 2 一癣) 2 + a j 5 ( 2 一p ；) 0 一t + ) + a j 6 ( t t + ) 2 = 0 j = 1 ，2 ( 1 4 7 ) 在a f l 0 ，a f 4 0 的情形下，将( 1 4 7 ) 除以( t z + ) 2 并取极限t t + ，我 i l l 得到两个关于d v l 班和d v 2 班的二阶方程 知( 等) 。+ a j 。面d v i 面d v 2 十a ，。d 蹴r 1 + 鸟。( 警) 2 + 警+ 知= 。( 1 4 8 ) j = 1 2 消去变量咖1 班，我们得到d v 2 d t 的行列式形式的方程 a ua 1 2 q + a 2 a 0 a 1 1 a 2 1a 2 2 q + a 2 3 0 a m a 1 4 q 2 十以1 5 q + a 1 6 a t 2 q + a t 3 a 2 4 q 2 + a 2 5 q 手a 2 6 a 2 2 q + a 2 3 0 a 1 4 q 2 + 且1 5 q + a 1 6 0 a 2 4 q 2 + a 2 5 q + a 2 6 = o ( 1 4 9 ) 其中q = d v 2 出，这是一个咖2 班的四阶方程 骱( d 盯y e 4d 眦r ) a 讹。面d r ) 2 + 吣( 警) 怕地 5 。) 这样我们就得到了在分歧点对应于不同分支曲线的不同的切线方向不同分 支曲线的的数目为4 如果矩阵 笳】的退化度更高，即矩阵 鬻】的秩比( k - 2 ) 更小，推导过程将更为复杂- - 般2 9 ，假设矩阵 鬈 的秩为一s ) ，那么分 支曲线可能的方向数目最多为2 3 因为拓扑流为守恒流，分裂后的拓扑缺陷的量子数必须等于原来缺陷的 拓扑荷，即对固定的i ， 一1 3 1 2 壬- 映射删i 色- i 的隐蛐觳处理 或 考虑方程组 | | 3 i 圆k = 8 t f 1 2 映射理论中的隐函数定理 a 隐函数定理f 1 0 0 】 。“；乱1 ，u 。) = 0 ， 护；u 1 ，矿) = o ，( 1 , 5 1 、 x n ；“1 ，越1 = 0 。( 。，珏) = o ，a = t ，7 2 。( 茁) = 。( z 1 ，。n + 盎) = 0 ，n = 1 ，一，n ，x n + 1 = 让1 ，z 礼+ 七= “七 ( 1 5 2 ) 设妒 ) = 0 ，妒( x ) 在点。1 = a 1 ，处连续，护= a n ；“1 = b 1 ，。 u = b 及它们的偏微分a 。o z i ( i = 1 ，n + 七) 在( n ，6 ) 的邻域存在 我们也设 。( 轧舢。( 姜) = 筹筹 鲻竺 o x la z “ 那么( p = 1 ，n ) 可以在点( o ，b ) 的邻域可以以札= ( u 1 ，铲) 的形 式解出： 2 2 2 z z z z z z出舭l j ，f-，、【 第1 章引盲及预备知识 z p = z 芦( u 1 ，一，u 七) ， p = 1 ，n b 七= 1 时的隐函数定理 当k = 1 ，方程组( 1 5 1 ) 简化为 。( x 1 ，z 2 ，x n ；z o = t ) = 0 ，o = 1 ，一，礼 ( 1 5 3 ) 方程组( 1 5 3 ) 的解为 在零点的附近，我们有 x “= z “( t ) ，肛= 1 ，礼 吼。d 。“= 0 ，a = 1 ，他( 1 5 4 ) 我们定义雅克比矢量d 1 ( x ) 如下： ( 姜) 。篆鲨o x p ，( 1 5 5 ) 或 似。一1 ( 姜) 电。筹筹筹 从( 1 5 4 ) 及( 1 ，5 6 ) ，我们看出 一。“一，。- d 。p 。1 ( 姜) = 。 c ，5 7 ， 方程( 1 ，5 7 ) 乘以 “p 一”得到 印肌脚如桫( 姜) 一o ，盯缸 那么 ( 哪锻跏彻1 ( 篓) - 0 ， 1 2 廿映射理论中的臆函数定理 即 桫。7 ( 姜) 一d s d 。( 姜) 故 d m 4 d m 7 雨2 雨碍丁 一般地，我们有 d z ld m z 硝2 雨5 如果我们定义雅克比 南2 希5 8 ，d “( ；)d 。( ! ) 卜“ 。( 姜) 圳( 姜) 即， 。，。z ，( 姜) = = 。q 。矽。1 q 。砂。n 我竹 记“。“。o = e p 。“。( p 。= 1 ，- 一，他) ，那么有 。( 姜) = 啦嘶。吼。“吼，。8 n 容易看出雅克比d o ( 砂z ) 就是通常的雅克比。因为3 l o = t ，( 1 5 8 ) 可以写为 等1 硒2 雨川。1 ， m 因此我们有重要的关系式 捌( ! )， 百2 雨引邝 c 七为任意正整数时的隐函数定理 1 6 要! 兰! ! 量些堡垒望燮 一一一 对于砖为任意正整数时的情况，我们采用一个不同的方法来研究广义协 变雅克比张量与通常的雅克比行列式之间的关系。考虑d 一维黎曼流形x 中 方程组 西 f z l ，z 2 ，一，z “) = 0 ，a = 1 ，一，n ( 1 5 9 ) 假设矢量场石有1 个零点，当这些零点是多映射的正规零点，即在这些点 上雅克比矩阵 吼a 的秩为礼时，方程组( 1 5 9 ) 的解可以参数化的表示为 x i 2 = 三? 池1 ，托7 n ) ，i = 1 ，f ，芦= 1 ，d 这里下标i 表示第i 个解，它是由参数u = ( u 1 ，u ”) 张开的一个m 一维子 流形m ，称作x 上的第i 个奇异子流形批。我们可以定义m 的切矢量 联= 筹( m ) 类似的，我们可以定义另一个x 上的n 一维子流形 。p = z “( u 1 ，刨2 ，刨“) ，肛= 1 ，- - - ，d 其局域坐标为v2 ，i = 1 n ，n 的切矢量定义为 印= 篆蜀( 7 v ) d i mx = d = m + 礼，d i mm = m 、d i m n = n 令m 和n 正交，这意味着在每一交点p 属于mnn 切空间耳( m ) 和 蜀( ) 共同构成了x 的切空间? ；( x ) 耳( x ) = = 弓( m ) + 耳( ) ( 1 6 0 ) m 的广义协变切张量可以由切矢量b 构成 t 蛐脚= 黠磁 ( 1 6 1 ) 吼 ( 。1 x “) ( a 1n ) 的雅克比张量是 胪胁( 姜) = 丽1 m 埘钆a 州九 一1 7 一 ( 1 6 2 ) 1 2 巾映射理论中的隐函数定理 由 d z p la ad z p mad 。 1 - ad x n = e u l p ”- a ra nd m + n x ( 1 6 3 ) 我们可以得到如，幽和如的变换关系 ( b 等b 甥d u 。1 a - a d u 。“) ( 磷1 - - - c d 1 a d v ) = p 1 “m l l kd ”+ 7 。z ( 1 6 4 ) 即 二8 1 n n l 二2 1 z f p l 卢m a l ” ( 言础b 器佤扩u ) i 曙c “a , 。佤扩钉) = 三万一西扩佃z ( 1 6 5 ) 利用 佤扩u 、丽扩 = 妇d m + n x 得到 1 。肼”等罐1 瞻= 鼍笋 。6 ， 将上式( 1 6 ( 3 ) 乘以o a 。且一a ，。砂a “ 妒等i 1 i n 1 嘧哪钆氓炉= 等笋a 1 矿砂 得 亡2 12 ” 扩1 。“焉民扩卜一瓯厶山如1 定义协变雅克比为 等即a w n 叫争e a v a i 岛西山a 一d ( 詈) 可得雅克比张量与雅克比行列式之间的精确关系式 d ( 竺) e a ，一k _ 4 ， nd i , ， v 即 妒虬等b ”b 锪： 、，g u ”7 。1掣 ( 1 6 7 ) d ( ：) 、。 第1 章引言及预备知识 1 3 本论文的目的和主要内容 本论文主要目的是发展和完善护映射拓扑流理论和规范势分解理论以 及它们在物理前沿中的应用。首先，本文给出了利用c l i f i g r d 代数单位矢量 场对规范势进行分解的新s o ( n ) 规范势分解理论。由于规范势是主纤维丛 上的联络，所以此分解式将几何和拓扑的信息输入了规范势和规范场张量。 利用此规范势分解和莎一映射理论，我们建立了p 一膜的非阿贝尔拓扑规范 场理论。在上述理论中，我们证明c l i f f o r d 矢量场( z ) 的每一个孤立奇点 都对应于一个p 一膜，并且p 一膜带有拓扑量子化的荷，此拓扑荷由咖一 映射的环绕数标记。本文自然得到了p 一膜的作用量，并指出它恰是弦理论 中多弦的n a m b u 作用量的推广。其次，利用u ( 1 ) 规范势的分解理论和一 映射拓扑流理论，本文证明u ( 1 ) 复标量场( z ) 不仅可以看作是宇宙的序 参量场而且指出宇宙弦正是在复标量场的零点处产生的。在标准宇宙学框架 内，我们证明这一复标量序参量场具有负压强特征，可提供宇宙加速膨胀所 需之斥力，并能解释宇宙早期的暴胀。因此此复标量场不仅是产生字宙弦的 序参量场，而且可以合理地看作是精髓场( 即暗能量) 。第三，我们详细研究 了丌。一l ( 伊一) 同伦的内部拓扑结构。我们解出了与7 r 。一1 ( s ”1 ) 有关的拓扑 物体的具体构型，即单极子，并指出这一类同伦的拓扑量子化以h o p f 指标和 b r o u w e r 度来表征。文中指出7 r 。一l ( 扩- 1 ) 的非平庸同伦类以g a u s s 映射的 映射度给出的广义环绕数来表征，并解出了与同伦丌。一1 ( s ”1 ) 有关的拓扑 对象的具体构型，即单极子。我们发现这一类同伦的拓扑量子化以h o p f 指标 和b r o u w e r 度来刻画。第嫂，我们给出了关于p i n ( k ) 群引力规范理论的简 单讨论，得到了含挠率和标曲率的平方项的一般引力拉氏量密度。 本论文是如下安排的。在第二章中，我们引入了s o ( n ) 群一个最简单 的c l i f i g r d 子代数，并以此为基础研究了用c l i f f o r d 代数矢量表示的s o ( n ) 规范势分解理论。在第三章中，我们将陈一s i m o n s 流推广到了高阶张量流。 并利用上一章得到的s o ( n ) 规范势分解理论和映射拓扑流理论，证明 了这一推广了的陈一s i m o n s 张量流恰好就是产生拓扑p 膜的拓扑张量流。 在第四章中，我们在r ，i e m a n n c a r t a n 流形理论中提出了一个与挠率相关的 一1 9 1 ，3 率论文的目的和主要内容 拓扑不变量。此拓扑不变量可用来研究时空缺陷及宇宙弦。以此为基础，利 用咖一映射拓扑流理论及u ( 1 ) 规范势具有内部结构的新观点，探讨了早期 宇宙时空缺陷的拓扑规范理论和宇宙弦的拓扑性质，得到了宇宙弦的拓扑量 子化。并且，本文证明u ( 1 ) 复标量场咖( z ) 不仅可以看作是宇宙的序参量场 而且指出宇宙弦正是在复标量场的零点处产生的。在标准宇宙学框架内，我 们证明这一复标量序参量场具有负压强特征，可提供宇宙加速膨胀所需之斥 力，并能解释宇宙早期的暴胀，因此可以看作是暗能量在第五章中，我们利 用g a u s s 映射的映射度和形变收缩核的概念，我们研究了同伦理论的内部拓 扑结构。文中指出7 r 。一1 ( s ”1 ) 的非平庸同伦类以g a u s s 映射的映射度给出 的广义环绕数来表征，并解出了与同伦丌。一1 ( 酽卅) 有关的拓扑对象的具体 构型，即单极子。我们戈现这一类同伦的拓扑量子化以h o p f 指标和b r o u w e r 度来刻画。以上结果对于同伦理论的进一步研究是十分重要的。第六章中， 我们给出了关于p i n ( k ) 群引力规范理论的简单讨论，得到了含挠率和标曲 率的平方项的一般引力拉氏量密度。在最后一章中，给出了论文的结束语。 2 0 一 第二章s o ( n ) 规范势分解理论 众所周知，联络与曲率在建立微分几何与拓扑不变量之间的直接联系中 起到了十分重要的作用规范是的分解理论为在这一领域中的详细研究提供 了方法近年来规范势分解理论已经在理论物理和数学中起到越来越重要的 作用。这一分解理论揭示了规范势的内部结构，将矢量场的拓扑和其它信息输 入规范势( 也即输入主丛上的联络) ，并由此建立起规范场的微分几何和场的 拓扑之间的直接关系。由此观点出发，其它研究小组 1 0 ，1 0 1 】和我们已经取得 了许多有价值的成果，比如s u ( 2 ) 规范势的c l i f r o r d 代数矢量分解，s o ( n ) 自旋联络的分解和g