（理论物理专业论文）冷原子系统中的casimir效应.pdf

摘要 摘要 c a s i m i r 效应的研究半个世纪多以来一直是量子场论在实验和理论两方面的 重要课题。结合新兴的冷原子实验技术，c a s i m i r 效应在冷原子系统中有了新的 发展和应用。本文首先总结了c a s i m i r 效应的实验现象和理论进展，然后基于 冷原子系统的特性，用有效场论的方法研究了在准一维b e c 和超冷费米气体 中的c a s i m i r 效应。这个有效场论的方法的特点是通过合适的重整化程序用微 扰展开得到一个有限且与截断无关的普适结果，对实验作出预言。我们基于这 一方法研究了准一维b e c 和超冷简并费米气体中的c a s i m i r 效应，包括以下方 面：( 1 ) 在同时考虑相互作用和势阱束缚的情况下，研究准一维b e c 中的静 态c a s i m i r 效应，并分别讨论了零温和有限温度的情况。并基于原子量子点的 实验技术，设计了一套探测这一效应的方案；( 2 ) 在自旋1 2 的准一维超冷简 并费米气体系统中，研究了杂质运动所引起的动态c a s i m i r 效应。更重要的是， 基于对动态c a s i m i r 效应的研究，我们提出了一套全新实验的框架来探测自旋 电荷分离这一重要的效应。 关键词：c a s i m i r 效应；玻色爱因斯坦凝聚；l u t t i n g e r 液体；有效场论；自旋 电荷分离 a b s t r a c t s i n c ei t sd i s c o v e r yh a l fc e n t u r ya g o 。t h er e s e a r c ho nc a s i m i re f f e c th a sr e m a i n e d a ni m p o r t a n ti s s u ei nq u a n t u mf i e l dt h e o r yb o t he x p e r i m e n t a l l ya n d t h e o r e t i c a l l y w i t h a m a z i n gd e v e l o p m e n t so fc o l da t o mp h y s i c s ，c a s i m i re f f e c th a sn o v e ld e v e l o p m e n t s a n da p p l i c a t i o n si nc o l da t o ms y s t e m s i nt h i st h e s i s ，a f t e rr e v i e w i n gt h ee x p e r i m e n t a l a n dt h e o r e t i c a la s p e c t so fc a s i m i re f f e c t ，w eu s ea ne f f e c t i v ef i e l dt h e o r yt oi n v e s t i g a t et h i se f f e c ti nt h eq u a s i - o n e d i m e n s i o n a lb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t ea n du l t r a c o l d d e g e n e r a t e df e r m ig a s ，b a s e do nt h er e m a r k a b l ep r o p e r t i e so fc o l da t o ms y s t e m s t h e k e yp o i n to fs u c ha ne f f e c t i v ef i e l dt h e o r yi st h a tw ec a l lo b t a i na l lu n i v e r s a lc a s i m i r b e h a v i o ri n d e p e n d e n to fc u t o f fv i ap e r t u r b a t i v ee x p a n s i o n sa n dr e n o r m a l i z a t i o n s ，a n d p r e d i c tt h ec o r r e s p o n d i n ge x p e r i m e n t a lr e s u l t s w es t u d yt h ec a s i m i re f f e c ti nc o l d a t o ms y s t e m si nt h i sf r a m e w o r k ，i n c l u d i n gt h ea s p e c t sb e l o w ：( 1 ) c o n s i d e r i n gi n t e r - a c t i o na n dt r a pe f f e c t ss i m u l t a n e o u s l y , w es t u d yt h es t a t i cc a s i m i re f f e c ti nt h eq u a s i o n e - d i m e n s i o n a lb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t ea tz e r oa n df i n i t et e m p e r a t u r er e s p e c t i v e l y f u r t h e rm o r e ，w ep r o p o s ea ne x p e r i m e n t a lp r o t o c o lt od e t e c tt h i se f f e c tw i t ha t o m i c q u a n t u m - d o t s ( 2 ) i nt h es p i n1 2u l t r a c o l dd e g e n e r a t e df e r m ig a s ，w es t u d yt h ed y n a m - i c a lc a s i m i re f f e c ti n d u c e db yt h eo s c i l l a t i o n so fi m p u r i t i e s m o r ei m p o r t a n t l y , b a s e d o nt h i ss t u d y , w ep r o p o s ean o v e lf r a m e w o r kt od e t e c tt h er e m a r k a b l es p i n - c h a r g es e p a r a t i o ne f f e c t k e yw o r d s ：c a s i m i re f f e c t ；b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ；l u t t i n g e rl i q u i d ；e f f e c t i v e f i e l dt h e o r y ；s p i n - c h a r g es e p a r a t i o n 主要符号对照表 d c e b e c l l a q d s c s 主要符号对照表 动态卡斯米尔效应( d ) ，i l 锄i c a lc a s i m i re f f e c t ) 玻色爱因斯坦凝聚( b o s e - e i n s t e i ac o n d e n s a t i o n ) 拉丁格液体( l u t t i n g e rl i q u i d ) 原子量子点( a t o m i c o u a n m m d o t ) 自旋电荷分离( s p i n c h a r g es e p a r a t i o n ) v 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 中山大学拥有在著作权法规定范围内学位论文的使用权，其中 包括：( 1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交学位论文，学 校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生上交的学位论 文；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文作为资料 在图书馆、资料室等场所供校内师生阅读，或在校园网上供校内师 生浏览部分内容；( 3 ) 根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法，向国家图书馆报送可以公开的学位论文。 本人保证遵守上述规定。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 导师签名： 日 期： 第1 章引言 第1 章引言 我们首先来阐明c a s i m i r 效应的最初形式，即考虑放置在电磁场的真空中 的一对平行理想导体板之间的理想作用力。在绝对零度，两个板之间没有实光 子的出现，所咀在经典电动力学层面不可能存在两个板之间的相互作用。然 而c a s i m i r 效应导致两个导体板之间有相互吸引作用，这必然是属于一种宏观 的量子效应，其根源在于量子场零点能的发散。这个发散本身不会对物理量测 量产生影响，因为我们对这些物理量的测量都是以相对真空态的变化来计量 的。因此把真空能量定为零就可以了( 数学上通过产生湮灭算符的正规排序) 。 但是当我们要考虑的是两个理想导体板距离变化时，对于整个电磁场真空本 身能量的变化，这一发散的真空能量就不能不加咀考虑。在1 9 4 8 年hbg c a s i m i r 第一个计算出电磁场真空本身能量的变化，并得到与距离有关的两个理 想导体板之间的力为 亓2 r f 一南矛，( 1 - 1 ) 其中为两个理想导体板之间的距离，a 为理想导体板的面积。从这个表达式 图11c 拈i m i r 效应示意圈。图片引自文献“ 我们有如下的观察： 1c a s i m i t 力本身是极为微弱的，如a = l c m 2 ，h = l t t m ，c a s i m i r 力的大小约 为1 0 - t n 第1 章引言 2 c a s i m i r 力是吸引的，这一点对于对称的边界条件来说总是成立1 3 , 4 。 3 c a s i m i r 力同时依赖于量子力学的普朗克因子壳和相对论光速c ，因此是一 个量子场论效应。当我们把量子电动力学的真空推广到具体的凝聚态介质 的时候，光速c ( 量子电动力学真空的元激发光子的速度) 将会被凝聚态 介质的元激发速度所代替。比如在我们研究的冷原子系统中，元激发速度 大约为l c m s 。将导致相应的c a s i m i r 力比原先还要小1 0 个数量级。然而 重要的是，如此微弱的力是完全能够在今天的实验条件下被观测到【5 】。 从上面的讨论可以看出c a s i m i r 力本质上是一种涨落诱导力，取决于两个 元素：产生涨落的介质以及约束其涨落的边界。通过对它的研究，我们可以对 这两个方面得到深刻的理解。早期的研究产生涨落的介质主要是量子场论的真 空，近年来逐渐转移到凝聚态介质。c a s i m i r 效应对边界条件的重要依赖，对具 体制备各种微观介观器件都有重要的实际应用价值。自从1 9 4 8 年c a s i m i r 发表 了著名的文章阐明量子场零点能的可观测效应之后【l 】，经过长期的研究发展， c a s i m i r 效应已经成为一个多交叉学科的课题。它在广泛的物理领域里面扮演着 重要的角色 6 , 7 1 ： 1 量子场论。c a s i m i r 在其中主要有三个主要应用：在量子色动力学的袋模 型中计算夸克和胶子的c a s i m i r 能量对整体核子能量的贡献；提供额外维 度自发紧致化机制；对引力的超精细测量提供限制。 2 凝聚态物理。c a s i m i r 效应在计算各种凝聚态系统中体和表面的临界现象 中起着重要作用。 3 天体物理和宇宙学。由c a s i m i r 效应诱导出来的真空极化效应驱动宇宙的 暴涨过程。这方面的研究主要集中在非平庸时空边界条件对c a s i m i r 效应 的影响。 4 原子物理。长程的c a s i m i r 相互作用对原子能级产生修正。近年来c a s i m i r 效应的一个研究热点就集中在原子和腔结合起来的腔量子电动力学中。 5 数学物理。对c a s i m i r 效应的具体计算涉及到对真空能量的正规化和重正 化的问题，具体的数学技术主要是z e t a 函数和热核展开。 另一方面，从1 9 9 5 年实验上实现了玻色爱因斯坦凝聚( b e c ) 之后 8 - 1 0 】，冷 原子系统的实验技术在可控制性、精确性方面达到了一个前所未有的高度。人 们除了研究冷原子系统本身的各种性质之外，纷纷利用冷原子系统做为一个平 2 第1 章引言 台，模拟其它物理领域的各种重要效应，包括凝聚态系统的各种多体效应、量 子场论的各种规范场效应【l l 】。 本课题的基本思想就是将新兴的冷原子系统和c a s i m i r 效应两大领域结合 起来，在理论层面上，开拓c a s i m i r 效应研究的领域，加深对c a s i m i r 效应在不 同冷原子介质和各种不同类型的边界条件下的理解。在实验层面上，利用冷原 子实验中精确可控性的技术，对c a s i m i r 效应的测量、调控提出可行的方案。 在冷原子系统方面，随着b e c 和费米简并气体的成功制备e 1 2 - 1 4 ，实验上最重 要的突破来自两个方面： 1 f e s h b a c h 共振技术调节冷原子之间的相互作用【1 5 1 6 1 。 2 通过光晶格和各种几何形状的势阱来制备低维系统和各种周期势系 统1 1 7 1 。 在下面将会看到，我们课题的主要构思也是结合这两个关键的实验技术来 形成的。这两个关键的实验技术为研究强关联物理系统提供了基础，随之而来 的是对凝聚态物理强关联系统的模拟研究，主要的进展包括： 1 利用光晶格模拟h u b b a r d 模型，包括研究m o t t 绝缘体到超流的相变、各 种二维强关联模型d 8 。 2 通过快速旋转模拟量子霍尔效应【1 9 1 。 3 通过f e s h b a c h 共振技术实现b c s b e c 过渡，以此研究与高温超导相关问 题【2 0 】。 4 通过量子光学技术，制备各种人工的规范场( 包括阿贝尔及非阿贝尔) ， 模拟各种规范场物理1 2 1 - 2 4 1 。 5 一维强关联模型，如我们在第四章讨论的l u t t i n g e r 液体。 这篇论文的其余部分内容如下。第二章综述c a s i m i r 效应的理论基础及实 验的进展。第三章在同时考虑相互作用和势阱束缚的情况下，研究准一维b e c 中的静态c a s i m i r 效应，并分别讨论了零温和有限温度下的不同结果。我们还 基于a q d 的实验技术，设计了一套探测这一效应的方案。第四章在自旋1 2 的 准一维超冷费米气体系统中，研究了杂质运动所引起的动态c a s i m i r 效应。更 重要的是，基于对动态c a s i m i r 效应的研究，我们提出了一套全新实验的框架 来探测自旋电荷分离这一重要的效应。最后第五章是总结、讨论和对未来工作 的展望。 3 第2 章c a s i m i r 效应综述 第2 章c a s i m i r 效应综述 2 1 c a s i m i r 效应历史的简要回顾 为了更好的了解c a s i m i r 效应研究的背景，让我们从c a s i m i r 研究的历史 开始。在表2 1 中，回顾了c a s i m i r 研究半个世纪多以来的重要事件。1 9 4 8 年c a s i m i r 和p o l d e r 从v a ni ) e rw a a l s - l o n d o n 力出发，考虑了量子电动力学的 延迟效应带来的修正，发现了理想导体板和原子之间的吸引力。紧接着在同一 年，c a s i m i r 独立的研究了两块理想导体板的吸引力，并把此力的来源解释为电 磁波的零点压强，此为c a s i m i r 效应研究开端，标志着人们开始对真空零点能的 可观测效应进行研究。直到1 9 9 7 年，s k l a m o r e a u x 利用扭摆实验测量石英棱 镜之间的c a s i m i r 力，在0 6 6 z m 距离内得到第一个关于c a s i m i r 效应的高精 度结果，在实验上真正证明了c a s i m i r 效应的存在。在表2 1 中，我们没有列出 动态c a s i m i r 效应( d y n a m i c a l c a s i m i re f f e c t ) 的实验和理论进展，这些方面将留 在2 4 节详细讨论。若干重要实验的具体细节我们将在2 3 节中给予介绍。 从表2 1 的回顾中我们可以看出，c a s i m i r 效应最初的研究领域集中在量子 场论方面。近年来，c a s i m i r 效应在凝聚态物理得到了很多的关注长久以来， 人们知道理想的场理论c a s i m i r 的表达式在具体的凝聚态介质里有很大的修正。 主要的修正因素包括：有限的边界电导率、边界表面的粗糙度及有限温度的影 响。这些修正因素在文献 z 5 - 3 2 被深入地研究。考虑到着各种因素的单独影响 以及结合起来的影响，理论计算将能够在更大精度上描述实验结果。 2 2c a s i m i r 效应的理论机制 从诱导机制上区分，c a s i m i r 力的起源有两种：量子力学起源及热力学 起源。由量子涨落驱动的c a s i m i r 力以7 l 的出现为标志，由热力学涨落驱动 的c a s i m i r 力以b 丁为标志。通过对c a s i m i r 力的深入研究，不但可以对这两种 涨落的本质进行深入研究，还可以研究此两种涨落的相互影响。 4 第2 章c a s i m i x 效应综述 表2 1c a s i m i x 效应研究大事年表 时间事件 h b g c a s i m i r 和d p o l d e r 发现了理想导体板和原子之间的 吸引力 h b g c a s i m i r 发现真空零点能的可观测效应 e m l i f s h i t z 推广到边界为频率依赖的电介质 a b r i k o s o v a 和d e r i a g i n 用硅石棱镜首次在实验上对c a s i m i r 效应进行观测 m j s p a m a a y 利用铝板在距离大于l p m 探测到c a s i m i r 效应 v a i lb l o k l a n d 和o v e r b e e k 在距离l l o o n m 下探测到c a s i n f i r 效应 “和k a r d a r 研究关联流体的c a s i m i r 效应，并考虑了粗糙 边界的影响 s k l a m o r e a u x 利用扭摆实验测量石英棱镜之间的c a s i n f i r 力，在o 6 6 w n 距离内得到第一个关于c a s i m i r 效应的高 精度结果 u m o h i d e e n 利用原子力显微镜在0 1 0 9 r a m 距离下得到 高精度结果 em i c h a e ls e n t , d i r kw a l l i s e r 和g j o r d a nm a c l a y 首次 将c a s i m i r 效应应用到m e m s 的设计 2 2 1 量子涨落诱导的c a s i m i r 效应 c a s i m i r 效应是真空量子涨落的宏观体现【3 3 1 。在1 9 4 8 年，c a s i m i r 考虑了在 电磁场中放进两块相距为日的理想导体板。因为电场会在理想导体板的边界上 消失，板间的模可以由波矢 ， k - - ( k x ，b ，翮哪( 2 1 ) 来描述刀为整数。进行量子化之后，这些模式都是频率为 - - - j l 以k ) = c iki( 2 2 ) 的谐振子，每一个谐振子在基态都贡献能量 冉 el - 姒k ) 2 ( 2 3 ) 5 s s 6 7 8 8 l 7 8 8 舛 舛够鳄 够卯 眵 孵 蛆 盼 ，i 1l，l，l，i 1l，上 l i 第2 章c a s i m i r 效应综述 尽管所有谐振子基态能量的总和是是无穷大的，c a s i m i r 发现存在着一个有限的 依赖于距离日的能量贡献 6 e = 一舱参嘉( 2 - 4 ， 这意味着两块理想导体板之间存在一个正比于板面积的吸引力。因此，通过测 h 图2 1一维标量场c a s i m i r 效应示意图。图片引自文献跚 量宏观导体板之间的相互作用，在原则上我们有可能得到量子真空的信息。 以下我们将计算一个最简单的例子作为示意：一维标量场的c a s i m i r 效应。 让我们先考虑如图2 1 所示的由三块理想导体板组成的构型，在相距为的理 想边界之间的总能量为 = e ( 劢+ e ( l 一硒( 2 - 5 ) 以下取7 i = l 和c = 1 。先考虑左边区域板间的模式为s i n ( n t t x h ) ( n = 1 ，2 ，) ，相应的频率为 = 百n l ( 2 - 6 ) 左边区域各模式零点能之和形式上写成 e ( t o = 刍厅( 2 - 7 ) 这个表达式是发散的。从物理上考虑，在频率t o n a - 1 ( 口为小距离的截断) 的区域，如此高的频率模式将会穿透出去，不贡献c a s i m i r 能量。我们引入以 6 第2 章c a s i m i r 效应综述 下正规化的方案 脚= 嘉矿口臀 = 一1 2 旦a a 妻p 唧 = 一一 1a 1 2a a1 一p 一口吾j r 一r = = 三2 h 南1 ( 2 - 8 )= 一 ，x f 矿 一、2 、。7 因为a 是一个小量，我们用a 的级数来展开上式得到 e ( 四= 丽h 一刍+ d ( 口2 ) ( 2 - 9 ) 我们注意到如果a _ 0 ，该能量将会发散，这个发散根源于量子场论的无穷多自 由度。然而我们可以得到相应有限的c a s i m i r 力为 f ( 柳= 一孺o e = 一：t i f ( h ) + a - 岳f ( l 一奶 = 一面 r 雨1 一万h ) 2 ) ( 2 1 0 ) = 一一i 一 z l i - l 2 4 、肛亿一 77 把一个边界理想导体板推到无穷远处( 三) ，等效的我们可以得到两块理 想导体板之间的c a s i m i r 力为 f ( 印一赤( 2 - 1 1 ) 为了使其物理意义更加明确，我们把壳和f 代回得到 f ( t - d 一丢篆( 2 - 1 2 ) 此式是一维标量场的c a s i m i r 力，与三维电磁场的c a s i m i r 力( 1 1 ) 式对距离日 有着不同幂次的依赖，这可以从量纲分析得到。 2 2 2 热涨落诱导的c a s i m i r 效应 尽管c a s i m i r 效应源自电磁场的量子涨落，在经典统计力学中也可以找到 许多有类似效应的例子，其中c a s i m i r 效应是由关联流体的热力学涨落所诱 7 第2 章c a s i m i r 效应综述 导【3 5 】。最有名的例子来自二元流体临界点自由能的有限尺寸修正。在临界点 上，关联长度发散，二元流体的自由能依赖于界面的厚度日 4 6 f ( h ) - - 一b t ；c o n s t ( 2 1 3 ) n 。 这是在我们预料之中的，自由能正比于b r ，并且因为它是广延量必须正比于 界面面积a 将此自由能类比于c a s i m i r 能量，我们发现对于日依赖的幂次不 同。这是来源于不同的诱导机制，在量子涨落诱导的机制里面，涨落能量是正 比于施，量纲为能量乘以长度。关于热涨落诱导的c a s i m i r 效应，我们会在3 2 节中详细讨论。 2 3c a s i m i r 效应实验进展 在这一节里面，我们将介绍表2 1 里面几个有重要意义的实验。通过这些 实验的回顾，对于我们提出新的实验方案有一定的指导性意义。对c a s i m i r 效 应的实际测量受到了实验物理学家的广泛关注。通过采用不断改进的实验手段， 人们对不同的空间几何结构中的c a s i m i r 作用力进行了实验上的验证。 1 早期的c a s i m i r 效应测量实验是1 9 5 8 年由s p a m n a y 所做的两个平行材料板 之间的相互作用实验，其测量结果的相对误差是1 0 0 ，其装置如图2 2 。 s p a r n n a y 让两个相互靠近的镀铬极板逐渐分开，两板的相对距离在0 5 w n 到2 a n 之间变化。配平物体用于平衡上镀铬平板所受的c a s i m i r 力。测 量平板电容c 得到弹簧的伸长量，进而可以计算两个平板之间的c a s i m i r 力。他的测量结果验证了理论预测的结论【3 6 1 。 2 k l a m o r e a u x 于1 9 9 7 年完成了一个对平板与球面极板间c a s i m i r 效应高精 度的测量实验。在c a s i m i r 效应研究的历史上，这是一个里程碑式的实验， 第一次高精度的直接地验证了c a s i m i r 力的存在【3 7 】。其测量装置如图2 3 ， 包括一套扭秤和机电控制系统，扭摆详图见图2 4 ，c a s i m i r 效应的测量 极板包括一个直径为2 5 4 c m ，厚为0 5 c m 的石英平板与一个曲率半径为 1 1 3 c m ，直径为4 c m 的凸透镜，并镀上厚度为0 5 t m 的铜与0 5 9 m 的 金。真空容器的直径为5 5 c m ，高11 0 c m ，如图2 3 所示，平面极板被放 置在扭摆臂上，球面极板被固定在一个微调器上，调节旋钮与压电传感器 组成一个三脚形支架来调节平板位置。用来保持扭摆角度固定的是一个 8 第2 章c a s i m i r 效应综述 反馈系统，扭摆与两个补偿板组成电容器，而a c 桥式电路用于判断两个 电容是否相等。通过改变加于压电传感器上的电压来检测c a s i m i r 力的大 小，直接地验证了c a s i m i r 力的存在，实验的相对误差为5 。 3 u m o h i d e e n 等人利用原子力显微镜对球面与导体平面之间的c a s i m i r 力 进行了测量，并考虑了有限电导率、表面不光滑度和温度不为零等误差 的二级修正，实验结果的相对误差为1 3 8 1 。如图? ? 所示，小球的直径 为1 9 6 a m ，与一个3 0 0 9 i n 长的细杆固定连接。球和导体平面间距从0 1 m 到0 9 p a m 变化，用光杠杆和光电二极管测出细杆的弯曲，通过胡克定律算 出c a s i m i r 力的大小。强度系数由小球带电后测静电力得到。实验中用到 了可控制每步为3 6 9 i n 的压电伸缩装置，并用电子扫描显微镜测小球直 径，用原子力显微镜测平面的不光滑度。 图2 2s p a r l m a y 测量c a s i m i r 效应实验装置示意图。图片引自文献【蚓 2 4 动态c a s i m i r 效应概论 虽然不如静态c a s i m i r 效应那么广为人知，动态c a s i m i r 研究真空涨落作用 在运动边界上的力及其辐射，从1 9 7 0 年以来吸引了很多的关注。在表2 2 中， 回顾了动态c a s i m i r 效应研究四十年来的重要进展。在1 9 7 0 年，g tm o o r e 首 先发现了运动边界会诱导光子的产生【3 9 】。更进一步地，如图2 6 所示，在1 9 7 6 年f u l l i n g 和d a v i s 利用了( 1 + 1 ) 维中的共形对称性( c o n f o r m a ls y m m e t r y ) 计 算了动态c a s i m i r 力嗍。在1 9 8 2 年，f 0 r d 和v f l e n k i n 用涨落响应理论计算了 ( 3 + 1 ) 维中两块理想导体板之间的动态c a s i m i r 力【4 1 】。动态c a s i m i r 效应受到 这么多关注，这里面有一个重要的原因，动态c a s i m i r 效应与霍金辐射和u n r u h 9 第2 章c a s i m i r 效应综述 图2 3l f t m o r e a u x 测量c a s i m i r 效应实验装置中的机电控制系统示意图。图片引自文 献 3 7 j _ j l 眵 t i 籀i 瞳幽 | 融 l 翱峨 石 、 i ： ( j j 嘲阻芒置j ；抽 莲扪：。 图2 4l a m o r e a u x 测量c a s i m i r 效应实验装置中的扭摆结构示意图。图片引自文献【3 7 】 1 0 墨! 茎曼! 堕堕塑堡堡蕉 图2 5m o m d e e n 测量c t t s i m i r 效应实验装置示意图。图片引自文献口7 】 圈2 石动态c a s i m h 效应示意田。真空中两个理想导体板距离日随时问变化。 在1 + 1 维中，根据共形对称性( c o n f o t m a ls y 玎m e 时) ，得到动态c a s i m l r 力为，( f ) “ 茹川o 。在3 + 1 维中根据涨落响应( f l u t u a f i o n - r c s p o n s c ) 理论，得到动态c 器j m h 力为f ( f ) t 舞州。川。 工 第2 章c a s i m i r 效应综述 表2 2 动态c a s i m i r 效应研究大事年表 时间事件 m o o r e 发现在l + l 维中，运动边界会诱导光子的产生 f u l l i n g 和d a v i s 发现有相应的力作用在运动边界之上， 并利用了1 + 1 维的特殊性，用共形场论计算了相应的动 态c a s i m i r 力 f 0 r d 和v f l e n k i n 用涨落响应理论计算了3 + 1 维中两块理想 导体板之间的动态c a s i m i r 力 d o d o n o v 利用电磁场的动态c a s i m i r 效应来解释摩擦力的起 源 s c h w i n g e r 用涨落响应理论计算了3 + 1 维中两块频率依赖的 电介质之间的动态c a s i m i r 力 v o l o v i k 用动态c a s i m i r 效应来解释超流3 h e 两种不同相之 间的界面运动 g o l e s t a n i a n 和k a r d a r 用路径积分方法研究了在任意维度里 任意形式的边界引起的动态c a s i m i r 效应 d a y o y 用石英晶体的微平衡技术在实验上为摩擦力的电磁 场的动态c a s i m i r 效应起源提供了支持 效应相关，提供了量子力学和宇宙学之间深刻的联系【4 2 】。采用文献 4 3 , 4 4 的路 径积分方法，我们能够研究量子真空场涨落对任意运动边界的影响。下面还是 以最简单的实标量场做为示意。我们写出( 3 + 1 ) 维系统在虚时表象的作用量 s = 言i ) 巳如( 的钆烈固 ( 2 - 1 4 ) 普遍地，我们想在有约束的情形下量子化场。最一般的约束为场在一套n 维的流形上为零，用y 口来参数化口阶的流形，令烈( ) ) = 0 。我们用6 函数 来表达约束条件，可以把配分函数写为 z 厂聊( 的曝l 刚弛帅卜学 ( 2 - 1 5 ) 研究这个配分函数，一般的步骤是： 1 用拉格朗日乘子的泛函积分来表达6 函数。 1 2 o 6 2 9 3 6 7 8 卯卯 鳃 赔 吟 盼 明 眵 1 l 1 1，上，li l i 第2 章c a s i m i r 效应综述 2 对毋进行高斯积分，等到关于拉格朗日乘子场的有效作用量，这个有效作 用量仍然是高斯型的。 3 计算有效作用量的核的行列式，得到最后的结果。 这一套有效场论的方法，在4 4 节中我们用来详细的计算一维费米系统的 动态c a s i m i r 效应。在此我们只以二维平板在3 + 1 维时空的例子来作为示意。 设h 1 2 二维平板的运动函数，在小偏离平均位置运动的情况下，我们可以用微 扰展开的办法来得到有效作用量的普遍形式( 只含与距离相关部分) s 彬= 5 舱- 厂睾窘( 删) i 训2 啪2 ( q 删】 一a 一( g ，t o ) h l ( q ，c u ) 境( 一q ，一c + h l ( - q ，- t o ) h 2 ( q ，c d ) 】j + o ( h ) ( 2 1 6 ) 其中核a ( g ，u ) 是描述系统动力学响应最重要的物理量，我们将会在4 4 节结 合具体的研究课题，分不同参数区域来仔细研究这个物理量的性质以及其带来 的物理后果。 1 3 第3 章一维相互作用玻色子系统中的c a s i m k 效应 第3 章一维相互作用玻色子系统中的c a s i m i r 效应 3 1一维超冷玻色原子系统的制备 当把相互作用玻色气体限制到一维的时候，会导致一个著名的反直觉的性 质。随着原子密度的降低，相互作用变得愈来愈重要，系统的本质将会发生改 变。假设在6 函数的相互作用形式下，对于均匀的玻色气体，我们将能够严格 求解它的基态和激发谱。一个一维束缚系统的性质是由单个参数，基态的相互 作用能和动能之比y 来刻画的：，= 罴，其中m 是原子质量，g m 是一维的 耦合常数，n 1 d 是一维系统的密度。对于高密度y 1 而言，系统本质上是弱 相互作用的，可以用平均场理论来描述，并且在简谐势束缚下的一维系统可以 发生b e c 。当系统的密度降低的时候，基态的动能比相互作用能降低的更快， 系统将会到达一个强相互作用的区域。在这个区域里，粒子的纵向运动将会是 高度关联的。当7 1 ，关联长度如= 7 l q m w g l o 会变得比粒子平均间隔还要 短。在y 一的极限下( 称为t o n k s g i r a r d e a u 极限 4 5 1 ) ，玻色气体因为极强的 排斥相互作用会获得类似于费米子系统的行为。这个刻画系统性质的重要参数 7 可以通过测量激发谱来确定，实验上可以通过探测集体振荡的频率来确定激 发谱。通过理论上的研究，在弱相互作用极限和在强相互作用极限下系统基态 和激发态的性质已经明确的得到了理解。然而迄今为止在过渡区束缚系统的很 多性质仍然没有得到解决。 可以作一维近似的系统达，必须满足下面这个条件 似b z 鼬，( 3 1 ) 其中蚺是径向的束缚频率，也即是径向简谐势的约束强度，z 是化学势，r 是温度。如果系统在径向的长度a r = 切丽远比原子间相互作用势的特征 半径大的话，我们可以通过三维系统的散射强度来表达一维系统的散射强度： g l d = 一蒜，其中a i d 兰- d l a 是一维系统的散射长度，口是三维系统的散射长 度。这一点对我们下面一节的研究起着重要作用。 1 4 蔓i 至= 壁塑亘堡旦壁鱼王墨堡! 塑昼塑些墼堕 图3 1 二维光晶格中一维束缚气体的几何和形状大小示意圈。一维水平和竖直方向管 道的问隔为4 1 3 n m 。图片引自文献嗍。 现在让我们依据文献i 删提供的典型实验配置，来说明一下实验上面具体 的制备方法。首先，用磁光阱束缚约2 1 0 9 个盯r b 原子。在通过极化梯度冷 却和光抽运( o p t i c a lp u m p i n g ) l ，= 2 脚= 2 ) 超精细基态，原子会被磁四极距 所捕获。紧接着，我们把束缚原子用磁性输运装载到光晶格之上。光晶格是由 两束相互反射的波长为卫= 8 2 6 n m 激光所形成。在有凝聚体的位置上，激光束 相互垂直且正交极化，并相应聚焦在半径为1 0 5 m 和1 2 0 a n 柬腰上。两束激 光的频率补偿为1 5 2 m h z 。光学势阱的深度u 正比于激光强度，通常用反冲能 量e 脚= 譬土= 孕来进行标度。如图3 1 所示，这个二维的光晶格制备了一系 列的管道，紧束缚在径向方向上，长度为晶格的周期d = a 2 。径向方向上的 束缚由径向柬缚频率 坼t2 慨来刻面，其中f = w 就是用反冲能量标 度的势阱深度。轴向上的束缚是由激光束腰( w a i s t ) w 和激光强度所决定，并 由束缚频率 吨= 2 怕嘉日”所刻面。 3 2 零温下的c a s i m i r 效应 到目前为止，我们提出了一个在冷原子系统实验中可具体操作测量c a s i m i r 力的方案( 见图32 ) ，并在理论计算中首次同时考虑了原子之间相互作用和势 阱对c a d m i r 力的影响，以期理论预言的结果和实验的比较更加精确q 。我们 提出的实验方案利用冷原于实验的低维制备和f e a h b a c h 技术及a q d 技术，把 第3 章一维相互作用玻色子系统中的c b i r n i r 效应 极为微弱的c a s b a h 力提高到目前实验可观测的范围之内。文献【5 】中，我们首 先讨论了在绝对零度下由b e c 系统韵量子涨落诱导的c a s i m l r 效应。更进一 步，我们计算了在有限温度下热力学涨落诱导的c a s i m t r 力的贡献。具体的 说，我们研宄了b e c 系统在一个强的横向势阱下c a s i m l r 力的行为。势阱的几 何结构在理论计算和实验设计方面都是非常至关重要的。在实验上，势阱的出 现使得对b e c 系统实验更加现实，而且提供了一个通过调节势阱控制c a s i m l r 力的的方法。理论上，我们可毗利用势阱来研究维度约化效应，利用低维效应 让c a s l m i r 力衰减得更慢，便于实验上的观测。 图3 2 ( a ) 准一维束缚b e c 气体在两平板之间的示意图，其中y 方向和z 方向加上了 强的对称谐振子势，o ) 两个a q d 耦台到准一维b e c 气体的实验装置示意图，其中杂 质原子被局域在a q d 的紧束缚势中。图片引自文献咖。 首先，我们利用在y z 方向对称的强势阱将三维的b e c 系统约束到准一维。 系统的哈密顿量可以写为( 以下我们约定 = i ，2 m = la n d b = 1 ) ： 8 = 一否7 ；+ s 否酬膏一弓，南q + 莩；正表， c 3 锄 其中g 是原子之间的相互作用强度，一上= ，+ 产，“h 是对称谐振子势的频率 当势阱的足够强的时候，b e c 系统在y z 方向的动力学将被冻结，系统的原子 等效的在x 方向一维上运动- 然而，强势肼将会重正化相互作用强度g ，准一 廿 第3 章一维相互作用玻色子系统中的c a s i m i r 效应 维系统的有效哈密顿量为： 踢一荟巧+ 9 1 。否6 ( x ，- x j ) 刍蛳 ( 3 3 ) 其中准一维的等效相互作用强度g l d 为： 跏=乓(1一c，(3-4)7ra：口上 其中口上= 万1 6 是谐振子势的特征长度，口= 磊是s 波的散射长度，常数c = l i m s - ( f 等一_ ；：l 击) = 1 4 6 0 3 m 。这是我们用于进一步计算的哈密顿量， 它在满足条件 霞，彰2 虮 ( 3 5 ) 的情形下成立。这个条件意味着垂直方向的动能是如此之小以致到谐振子势的 激发态的跃迁可以安全的被忽略。从方程( 3 4 ) 我们可以看出有效的相互作用强 度g l d 可以通过两种途径进行调节： 1 通过改变谐振子势的几何形状。 2 通过f e s h b a c h 共振改变原来的相互作用强度g 。 值得注意的是，当( 1 一c 暑) - 0 ，g l d 能够无限制的放大。在此情形下，系 统将如我们在3 1 节所说明的，会获得费米系统的性质，成为t 0 n k s g i r a r d e a u 气体【4 5 】。 假设我们的b e c 系统是在弱相互作用区域，其基态能量能够用标准 的b o g o l i u b o v 方法进行计算【镐】，结果如下： e o = 学+ 净( p ) 手咖 ( 3 - 6 ) 其中 q ) = i p l 矿+ 4 】p 2 y ( 3 7 ) 是系统元激发的能谱。p = n l d 是粒子数密度，并且定义y 三m o 2 p 。必须强调 的是i 在这一章里，我们只是讨论y 1 的情形。对于强相互作用区域y 1 的情形，b o g o l i u b o v 理论将失效【镐】，我们将在4 4 节用玻色化方法统一研究。 1 7 第3 章一维相互作用玻色子系统中的c a s i m i r 效应 e p ) 将给出了长波极限下线性无能隙的声子激发谱，这对于研究系统的低能性 质是十分关键的。对基态能量进行计算，我们采用 妒( o ) = 妒( a o = 0( 3 8 ) 作为波函数的边界条件，其中d 是两个边界间的距离。如果原子在边界的隧穿 效应很弱的话，这个边界条件是一个良好的近似。由于边界的限制，系统的动 量p 将分裂为一系列的离散值为p = 警。方程( 3 - 6 ) 的第一项是由原子之间的相 互作用诱导的经典压强，对c a s i m i r 效应没有贡献。为了计算c a s i m i r 力，我们 定义c a s i m i r 效应能量为b o g o l i u b o v 准粒子真空能量在无限长凝聚体和板间凝 聚体之差( 如图3 2 a 所示，其原理与2 2 1 节的示意例子一致) 。 艮= ) 一r 删咖+ 2 f ( 0 ) ， ( 3