（概率论与数理统计专业论文）截尾缺失数据下双参数指数分布的参数估计.pdf

硕士学位论丈 m a s t e r 。st h e s i s 摘要 估计是统计学的两大任务之一，而对于总体分布的参数进行估计已有大量的研 究。在用样本数据对参数进行估计时，往往由于计算公式很复杂而无法得到我们想 要的结果，这时攻克计算难题显得尤为重要。由d e m p s t e r 等人于1 9 7 6 年提出的e m 算法是一种迭代计算方法。在保证计算结果收敛性的前提下，它在处理一些复杂计 算上具有良好的效果。目前主要应用于缺失数据、分组数据、截尾数据和截断数据 等情形下总体分布的参数估计以及一些数学模型的参数估计。 本文研究的是双参数指数分布的参数估计。在处理数据时，将缺失数据、分组 数据、截尾数据和截断数据等几种情形进行了很好的融合，即在观测截尾数据的同 时考虑到有缺失数据的情况，同时又将缺失数据进行分组得到分组数据，然后又研 究了截断数据的情形。 在估计双参数指数分布位置参数时，一律用观测样本的最小值作为它的极大似 然估计，而估计双参数指数分布尺度参数时，方法比较多样，主要有以下两种： ( 1 ) 填充算法：用已观测到的数据的和的均值对缺失数据进行了填充，讨论了 截尾缺失数据下双参数指数分布尺度参数的极大似然估计，且讨论了该估计的无偏 性和大样本性质。 ( 2 ) e m 算法：一般情况下，分组数据的分组依据即每组的起始时刻和终了时刻 都是预先给定的，而本文将己观测到的数据作为数据分组的起始时刻和终了时刻， 然后利用e m 算法给出了尺度参数的估计。 文中主要结论通过以下定理的形式给出： 定理l ：在假定第一个观测值不丢失的情况下，詹tx ( 1 ) tm i n ( x 。，x ：，x ) 为双参 1j l - 数指数分布位置参数肛的极大似然估计；2 云z ，一x ( 1 ) 为双参数指数分布尺度 j l i t 参数的无偏估计且其方差为卢2 一2 罗 丘。其中z ，的定义为公式( 5 ) ，的 蜀k 定义为公式( 4 ) 。 广- 定理2 ：矽+ x 一卢+ p 口j 且，l 【+ x ( 1 ) 一( + ) 卜( o ，2 p ) ， 其中n ( o ，卢2 p ) 表示均值为零，方差为卢2 p 的正念分布，_ 表示依分布收敛。 定理3 ：在截尾缺失数据情形下，不考虑截尾时刻与无穷大时刻组成的区间，双参 硕士学位论丈 m a s t f r st h e s i s 数指数分布的尺度参数的e l d 算法的计算公式为： r j - ，, 三业 。“)=j1了t2k；巧+再k-1咒，(三舞+“)卜肛 其中t 取它的极大似然估计x ( 1 ) ；m i n ( x 。，x 2 ，x 。) 。 定理4 - 在截尾缺失数据情形下，考虑截尾时刻与无穷大时刻组成的区间，双参数 指数分布的尺度参数的e m 算法的计算公式为： 一互坐r j 一- _ l , 卢。+1)=专t套7；+善k-i咒，o!三轷+卢。)+(一，z)(瓦+卢“)卜肛 其中取它的极大似然估计x ( 1 ) = m i n ( x 。，x ：，鼍) 。 定理5 ：在数据截断即至少有一个区间观测数据个数未知情形下，考虑截尾时刻与 无穷大时刻组成的区间的观测个数未知且个数服从负二项分布，双参数指数分布的 尺度参数的e m 算法的计算公式为： 卫一王兰 。+”=j17i善k巧+荟k-i咒，(三2并+fl 0 为位置参数， o 为尺度参数。 在截尾数据缺失情况下，文献 1 讨论了w e i b u l l 分布定时截尾试验数据情形 下的数据填充，文献 2 讨论了定时截尾缺失数据下指数分布的统计推断；在具有 部分数据缺失的情况下，文献 3 讨论了部分缺失数据下两个双参数指数分布的参 数估计问题，并证明的估计的强相合性和渐进正态性；文献 4 讨论部分缺失数据 下两指数分布的参数估计和关于总体相同的似然比检验，证明估计的强相和性和渐 进正态性，给出似然比检验统计量的极限分布，并讨论基于精确分布的检验问题等。 本文主要讨论截尾缺失数据情形下双参数指数分布的参数估计问题，主要的内容和 安排如下：双参数指数分布的位置参数均用观测样本的最小值作为它的m l e 估计， 并在此基础上，第二部分给出了双参数指数分布尺度参数的一种无偏估计，第三部 分讨论了三种不同情形下双参数指数分布尺度参数的e m 算法，第四部分给出了第 二和第三部分每种情形下所得公式的实值示例，每种实值示例都有相应的图和表， 后面附有详细的计算机编程。 2 硕士学位论丈 m a s t f r st l e s i s 0 ) 数据缺失的介绍： 二无偏估计 如果一个总体的观测完全处于观测者的控制下，这时数据没有缺失，而当总 体不完全处于观测者的控制之下且每次观测的数据以一定的概率丢失，这时我们 称部分数据缺失。 假设有一个分布总体，其密度函数为( 1 ) 式。对该总体的个样本进行定时截 尾观测，截尾时刻为t ，假设截尾时已观察到的样本有厅个，记为代，五，e ) ， 但在观测时玉一h jf j v , v _ a 概率1 一p 被丢失，即关于该总体，实际得到的观测值为 弓。葺岛0 a 1 夸j 砂 ( 2 ) 若6 。1 ，则x j 被观测且z j x ，否则即6 ，一0 时，x 未被观测即数据缺失， 注意到p ( 4 = 1 ) = 1 一p ( 4 = 0 ) = p ( i = l 2 ，以) 。假定( 哦，色) 与( x 1 ，一，x 。) 独立， 6 i 独立同分布，记6 = 乏6 j ，它表示对该总体的观测值的个数。文献 3 ，4 中将6 = o f 0k = 0f 0 k = 0 即砝盼1 ) 5 关掣2 g k k1 一一n - k 七芑1 ( 3 ) ip ( 6 1 )i 1 一( 1 一p ) “ 一。 另外为符号的简单，用丘= p ( 哦一一= 瓯= 1 ，其它为。) = 等等主警表示在6 1 下 第o f 1 个数据被观测到而其它数据未被观测到的概率，它与( f 1 ，) 的选取无关。 p ( 6 = 后1 6 乏1 ) = p ( 4 = = & = 1 ，其它为0 ) = 最 ( 4 ) 3 硕士学位论丈 m 人s t e r st l i e s i s ( 2 ) 缺失数据的填充： 缺失数韬口j 能影啊我1 l j 对于参数阴估计，有必曼进仃填冗，关于则1 _ j 填充缺失 数据，也有很多研究，如参考文献 1 就讨论了w e i b u l l 分布定时截尾试验数据情 形下的数据填充算法。本文将未观测到的甩一6 个数据均用已观测到的6 个数据的和 的平均值来填充，这样得到个彪个数据，再对参数进行估计，即令 z j 。x j 6 j + 【吉善( x t 6 ；) 】( 1 - 6 j ) ( 5 ) ( 3 ) 参数的估计： 在假定第一个观测值不丢失的情况下，i ：i ：1 3 礅 4 ，7 】易知u 的极大似然估计为： x ( 1 ) = m i n ( x 1 ，x 2 , - - - , 石。) 考虑声的估计：夕。i 荟nz 一x ( 1 ) ，下面证明它是在6 苫1 时卢的无偏估计： e 【丢( 砉互) 一彳c 。，】| e 【詈( 套_ ) - - y 1 】 = 研e 【吾( 耋鼍) 一x m l 6 】z 塞p ( 6 = 七归【吉( 妻_ ) - x o ) 6 ，七】 2 荟【。乏p ( 气一一。& 。1 ，其它为。海唼( 善_ ) 卜肛1 4 蠢掣【。乏p ( 吨旗它栅】一 川训荟【。乏p ( 一一气2 1 ，其它为0 ) h = 声荟畔最+ 荟c n k 一肛 一| b 其中第四个等号来自( 6 ，屯) 与( 置，k ) 独立。 ( 4 ) 估计的方差： 下面计算声的方差，因此计算它的平方的期望： 4 ： 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 【( 昙喜z j - x o ) ) 2 】= e 【( 吉毫z ，) 2 】一2 e 【( 丢妻z i ) x c - ，】+ e ( x t 2 t ，) 分别计算上面等式右边的三项： 叫砉毫z 1 ) 2 m ( 嘉( 妻2 ( 古( 弘) ( 缸) ) 咽c 砉( 妻置x ：| ；圳酬= 砉即雌告c ：| ；) ( ；| ；圳蹦) 】 2 酏羲p ( ”咆| 1 其它为0 心古( ( 弘) ( 善】) 。善n 古 【。羡p ( 嚷一“5 晚。1 ，其它为0 ) 皿【( 善霹+ 荟荟- ) 】) 2 苫趣菱p ( & 一一2 气2 蜞它为0 ) 】【即2 ) + ( 旷“洞) 2 荟古。乏。p ( 屯一一”1 ，其它为0 卿确+ ( k z - k ) 荟n 等2 【。乏p ( 吒2 气。l 其它舯】 = f 1 2 + p 2 荟趣羡p ( 嚷一一2 嚷2 1 ，其它为o ) 】 = f + f 1 2 荟去饼只 其中第五个等号来自( 6 1 一，6 。) 与( 置，以) 独立。 2 e 【( 砉；| ；z ，) x 】= 2 e 【( e 套_ ) x 1 6 = 纠 = 2 荟如渊) e l x 2 + ( 荟_ ) 剐 = 2 豺【。羲p 。一气一1 ，其它为0 ) 】蝌张荟_ 】 ；2 荟 去【乏。p ( 谚= 2 气。1 ，其它为o ) 】【2 声2 + ( 七一1 ) 2 】 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s = 2 蹇半【。乏p ( 铲一气旗蝴) 】 - 2 f 1 2 + 2 2 荟趣乏胛s 一一气2 1 ，其它为0 ) 】 = 2 f 1 2 + 2 f 1 2 荟去只 其中第二个等号来自( 6 1 ，一，6 。) 与( 墨，鼍) 独立，第四个等号来自x = x ( 1 ) 。 e ( x 舌) = 2 2 所以估计彦的方差为： f 1 2 _ f 1 2 荟去群足篇定 由此可得如下定理： 定理1 ：在假定第一个观测值不丢失的情况下，犀= x ( ，) = m i n ( x ，x ：，x 。) 为双参 数指数分布位置参数弘的极大似然估计；彦= l 以角n z ，一x ( 1 ) 为双参数指数分布尺度参 数卢的无偏估计且其方差为卢2 一卢2 荟ni 1l 。k 只。其中z 的定义为公式( 5 ) ，c 丘的定 义为公式( 4 ) 。 类似于文献 3 中定理1 的结论可有： 定理2 ：夕+ x ( 1 j 一声+ 口j 且- 【( 夕+ x 一+ ) 】三( 0 声z p ) ， 其中( 0 ，多z p ) 表示均值为零，方差为声：p 的正态分布，二表示依分布收敛。 证明i 寸挥存伞类似文献3 中的讦明i 寸棵。汶单就各植。 6 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 三参数估计的e m 算法 e m 算法在研究背景及现状中已有介绍，这部分主要是利用e m 算法来估计截 尾缺失数据下双参数指数分布的参数。 ( 1 ) 在截尾数据部分缺失情况下，将已观测到的k 个数据记为巧( f ；1 ，七) ，这时 将第一个样本记录时刻和定时截尾时刻分别记为五，互，这样数列t t ( 1 ；l , - - , k ) 就组 成了k 一1 个区间，设区间【t ，乙+ 。) ( j = l 2 , - - , k 一1 ) 中的缺失数据个数为 刀；( y ，l ；甩一k ) ，由于只知道缺失数据的个数而不知道它的具体值，所以可以将 箭 缺失数据视为潜在数据并将它记为x “= 1 ，oo 刀，) ，而已观测数据为巧( z = 1 ，七) 。 首先完成e 步：由于将缺失数据视为潜在数据，这时缺失数据就是确定的值， 所以添加后验分布为： p(卢ly，z)ki-11畛n1竽)a哆eoc j = ll - i 一竽) ( 6 p ( 卢i y ，z ) i i i i ( i e 声) 兀( 二声) ( 6 ) li - 1 将上式取对数并将常数略去后得： m p ( p l v , z ，o c 一吉薯萋一吉蹇乃一h 卢+ 吉肛 将上式代入e 步的计算公式可得： ( 7 ) q ( f l l f l ( 。, y ) = 一万1 刍k - 1 善n ie ( f l ( i ) , y ) 一万1 善k 巧一l i l + 吉 ( 8 ) 设k 。弓。为观测区间【i ，乙+ 。) 中第f 个随机变量的条件密度函数，则有： 竺苎 一生竺 p ( x 。 工l 乙 x i j 巧+ 。) ；p ( 乙 x 驴 x i 乙 x 。 i + 。) ：筹 e p e 9 所p i 三e 一了x - # 睁“( x ) = 1 k e9 一e 9 7 ( 9 ) ，彳霄 、 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 吉蓦耄ec蜀lp，功2万1刍k-i咒，c一+卢， c1 。) 此时 qc夕l罗，功2吉弘一，n一万1善k互一吉蓦咒，仁错+仰，(，) 于是e 步就完成了，下面来完成m 步： 将q 对卢进行求导可得： 罢詈。一吉+二善二+古蹇巧+古薹咒，影+卢“， 。2 ， 令嚣= o ，并将卢换成卢。“得 卢“) 。i 1t著k巧+荟k-i疗，c铹+卢。，一 c 1 3 ， 将j l = x ( 1 ) 代入上式并进行反复循环可得参数卢的估计。 由此可得： 定理3 ：在截尾缺失数据情形下，不考虑截尾时刻与无穷大时刻组成的区间，双参 数指数分御的尺度参数的e m 算法的计算公式为： 夕u“)=j1ft善k巧+荟k-1月，c一+“，卜 其中取它的极大似然估计x ( 。) = m i n ( x 。，x ：，x ) ( 2 ) 由第( 2 ) 节观测数据的结果容易知道，假设观测数据的实验继续进行，那么在截 尾时刻t 之后将有；n 一万个观测数据，但具体的值未知。这时令瓦+ 。= 0 0 ，可以 将【瓦，瓦“) 记为第k 个观测区间且记观测值为( x ，。，x ：i ，x 一。) ，此时( 9 ) 式变成： ，f o 、 硕士学位论丈 m a s t e r st t t e s i s ! e 一等 厶。i 州椭。o ) = 1 4 ) e ， 其中含无穷大项取极限值。 由于添加了第k 个观测区间【瓦，瓦+ 。) ，所以( 1 0 ) 式左边多出了一项： 万 荟v - n e ( x ki f l ( o , y ) = 了n - n ( 瓦+ 们 ( 1 5 ) 同理将( 11 ) 和( 1 2 ) 式做相应的调整，( 1 3 ) 式就变成了： 芦“)=专t砉巧+善k-i，z，(努+多。，+cjv一以，c五+罗u，卜弘(16， 将z = x m 代入上式并进行反复循环可得参数卢的估计。 由此可得： 定理4 ：在截尾缺失数据情形下，考虑截尾时刻与无穷大时刻组成的区间，双参数 指数分布的尺度参数的e m 算法的计算公式为： 声“+l=专r塞互+荟k-i甩，c三铐+芦“，+c一，l，c瓦+p“，卜 其中取它的极大似然估计x ( 1 ) = m i n ( x 1 ，x ：，以) ( 3 ) 前面( 1 ) 和( 2 ) 部分都是考虑每个区间观测数据的个数己知而只是具体值未知的 情形，还可以将数据缺失的情况进行拓展，考虑至少有一个区间观测数据个数未知 的情形，即数据截断情形。还以( 2 ) 中的情况为例，并记瓦= 0 ，将( 瓦，) 记为第一 个区间且该区间内的缺失数据为= 0 。设区问【i ，乙+ 。) ( ，= o ，1 ，k - 1 ) 中的缺失数 据个数为，z ，而最后一个区间【五，夏+ 。) 的观测数据个数未知，由( 1 3 ) 式可知样本落 在最后一个区| 、日j 的概率为： p ( 肛，卢) = e 卢 ( 1 7 ) 则落在前面k 个区间的概率为：1 一p ( ，声) 。 记最后一个区间的样本个数为m ，且m 服从负二项分布： 厂( ，玎l 行，a ，p ：) = f 7 行+ m ，l 一1 ) p ”( 1 一尸) “ ( 1 8 ) tj 9 ，彳矗、 陋) = ： 硕士学位论丈 m a s t e r st l l e s i s 由负二项分布的性质可知： 跏妒( 郇) ) ：_ r z 半 ( 1 9 ) 类似( 1 5 ) 式，此时( 1 0 ) 也多出一项，只是要将样本个数换成臌的均值： 吉萋e ( 戤垆 y ) = 舌下1 - p 佤f ) ) ( 2 0 ) 样本的总数目变成： ；，l + ，l 1 - p ，一n 所以( 1 6 ) 式就变成： 枷= 绛+ 酗k - 1 一小却h ， 将= x ( 1 ) 代入上式并进行反复循环可得参数卢的估计。 由此可得： 定理5 ：在数据截断即至少有一个区间观测数据个数未知情形下，考虑截尾时刻与 无穷大时刻组成的区间的观测个数未知，双参数指数分布的尺度参数的e m 算法的 计算公式为： 哪=11荟k巧+荟k-i厅，一f)小下1-p黜)】一 其中j l 取它的极大似然估计x ( 。) = m i n ( x 。，x 2 , - - , x 。) 1 0 四实值示例 针对用数据填充方法来估计尺度参数的情况，用m a t l a b 软件模拟产生2 0 个服 从p ；2 ，卢：0 5 的双参数指数分布的数据船制： 互= 2 0 0 5 9 ，疋= 2 0 6 3 8 ，瓦= 2 3 2 4 5 ，瓦；2 6 2 8 7 ，五一2 8 0 6 9 ，瓦；2 9 9 5 6 ； n 1 = 3 , n 2 = 4 , n 3 = 2 , n 4 = 2 ，刀5 = 1 , n 6 = 2 利用第二部分第- d , 节所得的公式在m a t l a b 软件中运算可得： = 2 0 0 5 9 ，卢= 0 4 7 0 9 。 针对用数据填充方法来估计尺度参数的情况，用m a t l a b 软件模拟产生1 0 0 个 服从肛；2 ，卢= 0 5 的双参数指数分布的数据幢4 | ： 五= 2 0 1 4 7 9 4 ，互= 2 1 5 0 5 6 ，五一2 2 3 8 5 2 ，疋一2 2 8 3 9 ，毛= 2 2 8 3 9 ，瓦= 2 4 1 0 5 8 ，弓= 2 4 4 6 9 3 ， 瓦一2 4 4 6 9 3 ，五= 2 6 0 6 3 3 ，互o = 2 6 9 8 5 2 ，互1 = 2 8 8 3 6 5 ，五2 ，2 9 9 5 6 5 ，瓦3 = 3 6 3 3 4 ，五。= 4 3 0 6 2 ； ，1 1 = 2 0 , n 2 = 1 3 ，露3 = 6 , n 4 = 8 ，以5 - 3 ，裾6 7 ，1 7 6 ，1 8 4 ，珂9 = 2 ，珏l o = 5 , n 1 1 3 ，强1 2 = 7 , n 1 3 = 2 利用第二部分第- d , 节所得的公式在m a t l a b 软件中运算可得： 一2 0 1 4 8 ，卢t 0 6 5 1 1 。 针对e m 算法的第一种情况，用m a t l a b 软件模拟产生2 0 个服从= 2 ，= 0 5 的 双参数指数分布的数据乜引，分别取尺度参数的初始值为o 3 和0 1 ，分别经过1 0 步和1 2 步迭代得： 肛= 2 0 0 5 9 ，卢= 0 3 9 0 8 。 此时用数据填充算法得到尺度参数的估计为： 卢一0 5 1 5 9 。 迭代中间过程见表l 和图1 ，误差控制在( “”一) 2 1 0 一： 0 3 0 0 00 3 5 4 00 3 7 6 80 3 8 5 60 3 8 8 90 3 9 0 1 0 3 9 0 50 3 9 0 70 3 9 0 70 3 9 0 8 0 1 0 0 00 2 4 5 10 3 2 7 90 3 6 6 l0 。3 8 1 50 3 8 7 4 0 3 8 9 5 0 3 9 0 30 3 9 0 60 3 9 0 70 3 9 0 70 3 9 0 8 表l 第一种情况2 0 个数据的e m 算法迭代过程 一一 硕士学位论炙 m a s t e r 、st t l e s i s 图1 第一种情况2 0 个数据的e m 算法迭代过程 针对e m 算法的第一种情况，用m a t l a b 软件模拟产生1 0 0 个服从肛= 2 ，卢= 0 5 的 双参数指数分布的数据乜4 l ，分别取尺度参数的初始值为0 3 和0 1 ，分别经过7 步 和l l 步迭代得： ；2 0 0 5 ，= 0 2 9 1 8 。 此时用数据填充算法得到尺度参数的估计为： = 0 6 9 6 5 。 迭代中间过程见表2 和图2 ，误差控制在( “n 一卢) 2 1 0 一： 0 3 0 0 00 2 9 4 40 2 9 2 60 2 9 2 10 2 9 1 90 2 9 1 8 0 2 9 1 8 0 1 0 0 0o 1 8 1 50 2 3 9 30 2 7 0 80 2 8 4 30 2 8 9 2 0 2 9 0 9o 2 9 1 50 2 9 1 70 2 9 1 7o 2 9 1 8 表2 第一种情况1 0 0 个数据的e m 算法迭代过程 1 2 、_ 一 硕士擘位论丈 m a s t e r st h e s i s 图2 第一种情况1 0 0 个数据的e m 算法迭代过程 针对e m 算法的第二种情况，用m a t l a b 软件模拟产生2 5 个服从= 2 ，卢= 0 5 的 双参数指数分布的数据乜4 j ，分别取尺度参数的初始值为o 3 和0 1 ，分别经过6 步 和7 步迭代得： a z2 0 2 5 6 ，卢= 0 3 6 1 8 。 此时用数据填充算法得到尺度参数的估计为： 卢= 0 2 8 7 8 。 迭代中间过程见表3 和图3 ，误差控制在( 卢“n 一声) 2 1 0 一： 0 3 0 0 00 3 4 7 20 3 5 8 90 3 6 l30 3 6 1 7 0 3 6 1 8 o 1 0 0 00 2 5 3 20 3 3 1 90 3 5 5 50 3 6 0 6 o 3 6 1 6 0 3 6 1 8 表3 第二种情况2 5 个数据的e m 算法迭代过程 1 3 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 图3 第二种情况2 5 个数据的e m 算法迭代过程 针对e m 算法的第二种情况，用m a t l a b 软件模拟产生1 0 0 个服从肛一2 ，卢一0 5 的 双参数指数分布的数据乜4 1 ，分别取尺度参数的初始值为0 3 和0 1 ，分别经过9 步 和1 l 步迭代得： j 【i = 2 0 0 0 3 ，卢= 0 2 2 5 0 ，= 2 0 0 0 3 ，卢= 0 2 2 4 9 。 此时用数据填充算法得到尺度参数的估计为： ；0 5 0 8 9 。 迭代中间过程见表4 和图4 ，误差控制在( 卢“n 一卢) 2 1 0 一： o 3 0 0 00 2 3 8 0 0 2 2 9 20 2 2 6 40 2 2 5 50 2 2 5 l 0 2 2 5 00 2 2 5 0 0 2 2 5 0 0 1 0 0 0 0 1 4 9 20 1 8 5 50 2 0 7 4 0 2 1 8 l 0 2 2 2 4 0 2 2 4 00 2 2 4 60 2 2 4 80 2 2 4 9 0 2 2 4 9 表4 第二种情况1 0 0 个数据的e m 算法迭代过程 1 4 硕士学位论丈 m a s t e r st i i e s i s 图4 第二种情况1 0 0 个数据的e m 算法迭代过程 针对e m 算法的第三种情况，用m a t l a b 软件模拟产生2 0 个服从= 2 ，卢= 0 5 的 双参数指数分布的数据乜制，分别取尺度参数的初始值为0 3 和0 1 ，经过1 0 步迭 代得： l = 2 0 5 1 1 , 9 0 8 1 1 5o 此时用数据填充算法得到尺度参数的估计为： 多；0 3 2 5 0 。 迭代中间过程见表5 和图5 ，误差控制在“一i ) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 f o ri = l ：1 3 a ( i ) = 1 3 ( i ) 牢( b e t a ( j + 1 ) + ( t ( i ) * e x p ( 一( t ( i ) b e t a ( j + 1 ) ) 一t ( i + 1 ) * e x p ( 一t ( i + i ) b e t a ( j + 1 ) ) ) ( e x p ( t ( i ) b e t a ( j + 1 ) ) 一e x p ( t ( i + 1 ) b e t a ( j + 1 ) ) ) ) ) ： e n d ： b e t a ( j + 2 ) = ( s u m ( t ) + s u m ( a ) ) l o o ： j = j + l ： e n d ： m u ，b e t a 针对e m 算法的第二种情况，用t a t l a b 软件模拟产生2 5 个服从= 2 ，罗= 0 5 的 1 8 ， 硕士学位论丈 m a s t e r st i i e s i s 双参数指数分布的数据乜4 1 ： t ( 1 ) = 0 2 5 5 7 9 ：t ( 2 ) = 0 8 8 0 7 3 ：t ( 3 ) = 1 9 8 6 5 ：t ( 4 ) = 3 4 3 7 7 ：t ( 5 ) = 3 9 2 1 2 ： t ( 6 ) = 4 4 5 4 7 ：t ( 7 ) = 5 2 0 8 3 ： n ( 1 ) = 4 ：n ( 2 ) = 2 ：n ( 3 ) = 3 ：n ( 4 ) = 2 ：n ( 5 ) = 1 ：1 3 ( 6 ) = 1 ： m u = t ( 1 ) ：b e t a ( 1 ) = 1 ：b = 5 宰( t ( 7 ) + b e t a ( 1 ) ) ： f o ri = l ：6 a ( i ) = n ( i ) 木( b e t a ( 1 ) + ( t ( i ) * e x p ( 一( t ( i ) b e t a ( 1 ) ) 一t ( i + 1 ) * e x p ( 一t ( i + 1 ) b e t a ( 1 ) ) ) ( e x p ( t ( i ) b e t a ( 1 ) ) 一e x p ( t ( i + 1 ) b e t a ( 1 ) ) ) ) ) ： e n d ： b e t a ( 2 ) = ( s u m ( t ) + s u m ( a ) + b ) 2 5 ： j = l ： w h il e ( b e t a ( j ) 一b e t a ( j + 1 ) ) 2 0 0 0 0 0 0 1 f o ri = l ：6 a ( i ) = n ( i ) * ( b e t a ( j + 1 ) + ( t ( i ) * e x p ( 一( t ( i ) b e t a ( j + 1 ) ) 一t ( i + 1 ) * e x p ( 一t ( i + 1 ) b e t a ( j + 1 ) ) ) ( e x p ( t ( i ) b e t a ( j + 1 ) ) 一e x p ( t ( i + 1 ) b e t a ( j + 1 ) ) ) ) ) ： e n d ： b = 5 半( t ( 7 ) + b e t a ( j + 1 ) ) ： b e t a ( j + 2 ) = ( s u m ( t ) + s u m ( a ) + b ) 2 5 ： j = j + l ： e n d ： 1 9 硕士学位论丈 m a s t e r 、st h e s i s m u ，s u m ( t ) 7 ，b e t a ， 针对e m 算法的第二种情况，用m a t l a b 软件模拟产生i 0 0 个服从z = 2 ，p = 0 5 的 双参数指数分布的数据嘲1 ： t ( 1 ) = 0 0 0 0 2 7 6 4 2 ：t ( 2 ) = o 1 2 6 5 4 ：t ( 3 ) = 2 3 11 1 ：t ( 4 ) = 2 8 3 9 ：t ( 5 ) = 3 9 4 4 4 ：t ( 6 ) = 4 2 1 7 9 ：t ( 7 ) = 4 4 1 3 9 ： t ( 8 ) = 4 9 4 9 6 ：t ( 9 ) = 5 4 6 5 2 ：t ( 1 0 ) = 6 0 6 3 3 ：t ( 1i ) = 7 7 4 2 7 ：t ( 1 2 ) = 8 8 3 6 5 ：t ( 1 3 ) = 1 4 1 0 9 ： n ( 1 ) = 2 0 ：n ( 2 ) = 1 3 ：n ( 3 ) = 6 ：n ( 4 ) = 8 ：n ( 5 ) = 3 ：n ( 6 ) = 7 ：n ( 7 ) = 6 ：n ( 8 ) = 4 ：n ( 9 ) = 2 ；n ( 1 0 ) = m u = t ( i ) ：b e t a ( 1 ) = i ：b = 3 木( t ( 1 3 ) + b e t a ( i ) ) ： a ( i ) = n ( i ) 木( b e t a ( 1 ) + ( t ( i ) s e x p ( 一( t ( i ) b e t a ( 1 ) ) 一t ( i + 1 ) $ e x p ( 一t ( i + 1 ) b e t a ( i ) ) ) ( e x p ( t ( i ) b e t a ( 1 ) ) - e x p ( t ( i + 1 ) b e t a ( 1 ) ) ) ) ) ： b e t a ( 2 ) = ( s u m ( t ) + s u m ( a ) ) l o o ： j = 1 ： w h il e ( b e t a ( j ) 一b e t a ( j + 1 ) ) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a ( i ) = n ( i ) 木( b e t a ( j + 1 ) + ( t ( i ) * e x p ( 一( t ( i ) b e t a ( j + 1 ) ) 一t ( i + 1 ) * e x p ( 一t ( i + 1 ) b e t a ( j + 1 ) ) ) ( e x p ( t ( i ) b e t a ( j + 1 ) ) 一e x p ( t ( i + 1 ) b e t a ( j + 1 ) ) ) ) ) ： 2 0 ，f r 硕士学位论文 m a s t e r st i i e s i s b e t a ( j + 2 ) = ( s u m ( t ) + s u m ( a ) ) 1 0 0 ： j = j + l ： e n d ： m u ，b e t a 针对e m 算法的第三种情况，用m a t l a b 软件模拟产生2 0 个服从一2 ，= 0 5 的 双参数指数分布的数据2 引： t ( 1 ) = 0 5 111 7 ：t ( 2 ) = 1 6 8 8 9 ：t ( 3 ) = 2 4 6 3 8 ：t ( 4 ) = 3 4 3 5 7 ：t ( 5 ) = 3 8 7 3 9 ：t ( 6 ) = 4 4 3 8 9 ：t ( 7 ) = 6 3 3 5 7 ： r l ( 1 ) = 4 ：n ( 2 ) = 2 ：r l ( 3 ) = 3 ：1 3 ( 4 ) = 2 ：1 1 ( 5 ) = 1 ：n ( 6 ) = l ： i l l u = t ( 1 ) ：b e t a ( 1 ) = 3 ；p = e x p ( 一( t ( 7 ) b e t a ( 1 ) ) ) o b = 2 0 , ( 1 - p ) p * ( t ( 7 ) + b e t a ( 1 ) ) ： f o ri = l ：6 a ( i ) = n ( i ) * ( b e t a ( 1 ) + ( t ( i ) * e x p ( 一( t ( i ) b e t a ( 1 ) ) - t ( i + 1 ) * e x p ( - t ( i + 1 ) b e t a ( 1 ) ) ) ( e x p ( t ( i ) b e t a ( 1 ) ) 一e x p ( t ( i + 1 ) b e t a ( 1 ) ) ) ) ) ： b e t a ( 2 ) = p 木( s u m ( t ) + s u m ( a ) + b ) 2 0 ： j = l ： w h i l e ( b e t a ( j ) b e t a ( j + 1 ) ) 2 0 0 0 0 0 0 1 f o ri = l ：6 硕士学位论丈 m a s t e r st l e s i s a ( i ) = n ( i ) * ( b e t a ( j + 1 ) 十( t ( i ) * e x p ( 一( t ( i ) b e t a ( j + 1 ) ) 一t ( i + 1 ) * e x p ( - t ( i + 1 ) b e t a ( j + 1 ) ) ) ( e x p ( t ( i ) b e t a ( j + 1 ) ) 一e x p ( t ( i + 1 ) b e t a ( j + 1 ) ) ) ) ) ： p = e x p ( 一( t ( 7 ) b e t a ( j + 1 ) ) ) ： b = 2 0 , ( 卜p ) p * ( t ( 7 ) + b e t a ( j + 1 ) ) ： b e t a ( j + 2 ) = p 术( s u m ( t ) + s u m ( a ) + b ) 2 0 ： f r i l l ，s u m ( t ) 7 ，b e t a ， 针对e m 算法的第三种情况，用m a t l a b 软件模拟产生1 0 0 个服从= 2 ，卢= 0 5 的 双参数指数分布的数据盟引： t ( 1 ) = 0 0 0 0 2 7 6 4 2 ：t ( 2 ) = 0 1 2 6 5 4 ：t ( 3 ) = 2 3 1l l ：t ( 4 ) = 2 8 3 9 ：t ( 5 ) = 3 9 4 4 4 ：t ( 6 ) = 4 2 1 7 9 ；t ( 7 ) = 4 4 1 3 9 ： t ( 8 ) = 4 9 4 9 6 ：t ( 9 ) = 5 4 6 5 2 ：t ( 1 0 ) = 6 0 6 3 3 ：t ( 11 ) = 7 7 4 2 7 ；t ( 1 2 ) = 8 8 3 6 5 ：t ( 1 3 ) = 1 8 0 2 5 ： n ( 1 ) = 2 0 ：1 3 ( 2 ) = 1 3 ：n ( 3 ) = 6 ：1 3 ( 4 ) = 8 ：1 3 ( 5 ) = 3 ：n ( 6 ) = 7 ：n ( 7 ) = 6 ：r l ( 8 ) = 4 ：n ( 9 ) = 2 ：n ( 1 0 ) = 5 ：n ( 1 1 ) = 3 ：n ( 1 2 ) = 7 ： m u = t ( 1 ) ：b e t a ( 1 ) = 1 ：p = e x p ( 一( t ( 1 3 ) b e t a ( 1 ) ) ) ：b ：9 7 ( i p ) p * ( t ( 1 3 ) + b e t a ( 1 ) ) ： f o ri = 1 ：1 2 a ( i ) = n ( i ) * ( b e t a ( 1 ) + ( t ( i ) * e x p ( 一( t ( i ) b e t a ( 1 ) ) - t ( i + 1 ) * e x p ( - t ( i + 1 ) b e t a ( 1 ) ) ) ( e x p ( t ( i ) b e t a ( 1 ) ) 一e x p ( t ( i + 1 ) b e t a ( 1 ) ) ) ) ) ： e n d ： b e t a ( 2 ) = p 木( s u m ( t ) + s u m ( a ) + b ) 9 7 ： j = l ： w h il e ( b e t a ( j ) 一b e t a ( j + 1 ) ) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 r ， j j u = n j e 硕士学位论文 m a s t e r st il e s i s f o r1 = l ：l z a ( i ) = n ( i ) 术( b e t a ( j + 1 ) + ( t ( i ) * e x p ( 一( t ( i ) b e t a ( j + 1 ) ) 一t ( i + 1 ) * e x p ( 一t ( i + 1 ) b e t a ( j + 1 )