（理论物理专业论文）su（11）相干态光场与两二能级原子的量子纠缠.pdf

摘要 论文采用全量子理论和数值计算方法研究了s u ( 1 ，1 ) 相干态光场与全同二能 级纠缠双原子经拉曼共振相互作用的纠缠性质。s u ( 1 ，1 ) 相干态具有较好的模问 纠缠性质，可作为量子通讯的良好载体，故研究s u ( 1 ，1 ) 相干态光场和原子相互 作用具有实际意义。假设两纠缠原子之间的距离小于光场的波长，因此需要考虑 两个原子之间的偶极一偶极相互作用。研究发现随着表示s u ( 1 ，1 ) 相干态光场中 压缩参量善的增大，原子一光场间的纠缠度增大，而原子一原子间纠缠度却减小。 另一方面，随着原子一原子耦合系数q 的增大原子一原子间纠缠增大，而原子一光 场问纠缠减小。两模间光子数差g 的值对纠缠有显著影响。当差值q 为零时，原 子一光场问纠缠很小，而原子一原子间纠缠在一定的参数值下则和初始值接近。 关键词：纠缠；s u ( 1 ，1 ) 相干态；演化熵；拉曼相互作用 a b s t r a c t i nm i sp 印w es t u d yt h ee n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e s o ft h ec o r r e l a t e ds u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a ：t e v sl i g h tf i e l di n t e r a c t i n gw i t hap a i ro f t w o l e v e la t o m sv i at h er e s o n a n t r a m a ni 1 1 t 唧t i o nb ym e a n so ff u l lq u a n t u mt h e o r y s u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t e sh a st h e p r e d o m i t l 锄p r o p e r t yi nt h ee n t a n g l e m e n to f t w om o d e s ，s oi nt h e o r yi tc a na c t 硒 i 幽咖a t i o nc a r r i e ri nq u a n t u mt e l e p o r t a t i o na n di sm e a n i n g f u lt os t u d y t h ei n t e r a c t l o n b e t w e e ns u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t e sa n da t o m s s u p p o s et h a tt h ed i s t a n c eb e t w e e nt h e a t o n l si sl e s st h 觚 t h ew a v e l e n g t ho ft h ef i l e d , a n ds od i p o l ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h e a t o n l sc 锄。庀b en e g l e c t e d i ti s f o u n dt h a tw i t ht h ei n c r e a s eo ft h ep a r a m e t e r 告 r e p r e s e 妇gt h ec o r r e l a t i o no ft h et w om o d e si n t h es u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t e s ，t h e a t o m f i e l de n t a n g l e m e n ti se n h a n c e d ，b u tt h ea t o m a t o me n t a n g l e m e n t i sw e a k e n e d o nt h eo t h e rh 衄d ，t h ea t o m a t o mc o u p l i n gf l e n h a n c e st h ea t o m a t o me n t a n g l e m e n t ， b u tt e n d st 0r e d u c et h ea t o m f i e l de n t a n g l e m e n t t h ep h o t o nn u m b e rd i f f e r e n c e b e t w e e n 也et w om o d e sqa l s oh a si m p o r t a n te f f e c t so nt h ee n t a n g l e m e n t s w h e n t h e p h o t o nm m l b e rd i f f e r e n c ei sz e r o ，t h ea t o m - f i e l de n t a n g l e m e n t i ss m a l l e rt h a nt h a to t 。 o t h e rc a s e sa i l dt h ea t o m a t o me n t a n g l e m e n tk e e p sn e a r l yi t si n i t i a lv a l u ef o rc e r t a m p a r a m e t e r s k e y w o r d s ：e n t a n g l e m e n t ；s u ( 1 ，1 ) c o h e r e n t s t a t e s ；r e d u c e de n t r o p y ；r a m 锄 i n t e r a c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤生盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 诱暂瓦 签字日期： 。7 年彳月，扩日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨壅盘堂 有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨注盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 嘞铲免 导师签名： 签字日期： d 7 年月，歹日 签字日期： 口7 年月日 天津大学硕士生论文绪论 绪论 自从二十世纪二十年代中期量子力学的基本理论形成以来，对于量子纠缠的 研究就一直是量子理论基本问题研究的重要课题。量子力学的创始人以其深刻的 洞察力提出了e p r 佯谬和s c h r s d i n g e r 猫态，预示了量子理论的基本问题未来的 发展方向，量子纠缠理论正是在这一方向上产生的。其中，量子纠缠态已成为当 代量子理论的一个关键性概念，在量子信息技术中有重要的应用，其研究是当前 量子理论的一个前沿热点方向。量子纠缠理论的发展将为量子信息技术的打开广 阔的应用前景。 早期对量子纠缠态表现出来的量子非局域性的研究大多是停留在哲学层次 上的探讨，直到1 9 6 4 年b e l l 提出著名的b e l l 不等式，才使得量子纠缠态的非局域 性可以通过实验来验证。b e l l 不等式也成为在实验上对量子纠缠态可操作的第一 个数学判别准则。利用b e l l 不等式，大量设计精巧的实验支持了量子力学关于量 子纠缠态的非经典关联一量子非局域性的预言。这类实验是在上个世纪八十年 代初取得成功的，其中许多实验靠激光技术的发展才有可能进行。进行这种实验 当时只是出于理论上的考虑，是为了想看一看量子纠缠态有多么奇怪的物理属 性。但由这个目的出发，结果却使包括物理学家在内的许多人大吃一惊，物理学 家自己也惊奇地发现，他们已经以这种方式为新技术的发展奠定了基础。这些新 技术以诸如量子计算、量子通讯等名称而崭露头角，其基本的概念是以量子的方 法来处理并传输信息。从1 9 8 4 年第一个量子加密协议的提出到1 9 9 1 年它的实验实 现；从1 9 8 5 年量子计算机理论模型的提出，1 9 9 4 年s h o r 大数分解算法的提出和 1 9 9 6 年g r o v e r 搜索算法的提出至u 1 9 9 8 年它们的核磁共振( n m r ) 实验演示；从1 9 9 3 年量子隐形传态方案的提出到1 9 9 7 年的首次试验实现，量子信息与量子计算这一 跨学科的交叉研究领域在过去二十多年中的发展已取得了很大的成就。 论文采用全量子理论和数值计算方法研究了s u ( 1 ，1 ) 相干态光场与全同二能 级纠缠双原子经拉曼共振相互作用的纠缠性质。研究了不同的参数对系统纠缠性 质的影响。 天津大学硕士生论文第一章量子纠缠 第一章量子纠缠 论文研究了两个二能级原子与s u ( 1 ，1 ) 相干态光场经拉曼共振相互作用的 纠缠。因此有必要了解一下量子纠缠的一些概念。 1 1 量子纠缠的历史 量子纠缠是量子力学最显著的特征之一，是量子信息领域一个非常重要的问 题。它在量子信息处理 1 - 4 的隐形传态、量子编码及量子纠错、量子密钥分配 和量子计算机中具有重要应用。对于两体纯态系统，如果态矢不能表示成两子系 统态矢的直积形式，即l y ) 舢= l 伊彳圆l ) 口，那么称这两个子系统是纠缠的。对于 一个由n 个子体系组成的系统，如果它的密度矩阵不能写成子系统密度矩阵直积 的形式，即p , b c 以 p s p c 圆o 肌，则称此系统是纠缠的。 量子纠缠是存在于多子系量子系统中的一种奇妙现象，即对一个子系统的测 量结果无法独立于对其他子系统的测量参数。虽然，近年来，随着量子信息这一 新兴领域的蓬勃发展，量子纠缠逐渐成为人们的热门话题，但它不是什么新生事 物，“纠缠”这一名词的出现可以追溯到量子力学诞生之初。 因为量子力学描述的物理实在具有无法消除的随机性，所以，从它诞生之日 起，围绕量子力学的争论就没间断过。其主要表现在以爱因斯坦为代表的经典物 理学家和以玻尔为代表的c o p e n h a g e n 学派之间的冲突。自- - - 9 2 7 年在第五s o l v e y 会议上爆发了两位科学巨人的第一次论战开始，到爱因斯坦逝世的3 0 年间，爱因 斯坦不断给量子力学挑毛病，其间最著名的事例是在1 9 3 5 年同p o d o l s k y 和r o s e n 一起提出的e p r 佯谬。爱因斯坦等人在e p r 的论文中提出如下一个量子态 5 ： 甲( 毛，恐) = i 。e x p i h ( x 1 一艺+ x o ) p d p 其中五，j c 2 分别指代两个粒子的坐标。这样一个量子态的基本特征就是它不能写 成两个子系统量子态的直积形式： 、玉，( 而，屯) ( 五) 巾( 屯) 薛定谔将这样的量子态称为纠缠态。爱因斯坦等人提出纠缠态的目的意在说明在 承认局域性和实在性的前提下，量子力学的描述是不完备的。玻尔虽然对此作出 2 天津大学硕士生论文第一章量子纠缠 了相应的回答，但据玻尔的助手说，e p r 的文章对玻尔的影响是极为重大的。因 为玻尔从中看到了在考虑多粒子时量子理论会导致纯粹的量子效应。然而，无论 是玻尔还是爱因斯坦，都没有洞悉他们所讨论的纠缠态的全部含义，在经过了数 十年的努力之后，这些含义才逐渐地被发掘出来 6 。 为了将量子力学纳入经典决定论的框架，从2 0 世纪5 0 年代以来，人们提出了 一个又一个的隐变量理论，引进这些隐变量的目的，就是希望将量子力学中不能 对某些观测量作出精确预言的事实归结为还不能精确知道的隐变量，而一旦这些 隐变量决定后，就可以精确地给出任何可观测量。作为一个有价值的隐变量理论， 其结果必须在一定的条件下回到量子力学给出的结果，同时又能预言某些新的与 量子力学不同的东西，这样才能通过新的实验来检验隐变量理论是否正确。到目 前为止，只有决定论的隐变量理论 7 可以做到这一点。1 9 6 4 年，爱尔兰物理学 家b e l l 在其发表的一篇文章中提出一个不等式，这就是著名的b e l l 不等式 8 。 在b e l l 所设计的实验中，局域隐变量理论得到的结果满足b e l l 不等式，而量子力 学的预言将超出b e l l 不等式的限制，这样，b e l l 不等式理论将e p r 同玻尔的争论 从哲学范畴提升到可以为物理实验所验证的范畴。1 9 6 9 年，c l a n s e r ，h o r n e ， s h i m o n y 和h o l t 推广了b e l l 不等式 9 ，得到了更易于为实验验证的b e l l 不等式形 式，现称c h s h 型的b e l l 不等式。近3 0 年来，实验物理学家为检验b e l l 不等式进行 了不懈的努力。为物理学所普遍认同的第一个最具有说服力的检验b e l l 不等式的 实验是法国的a s p e c t j j 、组在1 9 8 2 年作出的 1 0 。他们使用的是c a 4 0 原子在级联跃 迁过程中辐射出的纠缠光子，实验构思十分精巧，实验结果显示，b e l l 不等式被 违背，从而推翻了决定论的局域隐变量理论。随着实验技术的进一步发展，对b e l l 不等式的检测越来越接近理想的情况。为此，在1 9 9 9 年，a s p e c t 发表文章，对近 十年的实验进展专门做了回顾 1 1 。奥地利的z e i l i n g d 、组以及旅美华人科学家 史砚华、区泽宇等人，在b e l l 不等式的实验检测方面开展了卓有成效的工作 1 2 。 然而，纠缠的功用决不仅仅在于检验基本理论的完备性，随着量子信息科学 的开展，纠缠态才找到了其施展作为的主战场。现在，量子纠缠态可以被用于量 子密钥分配、量子隐形传态、量子纠错码、量子计算等领域 1 - 4 。对子纠缠的 深入研究无论是对于量子信息的基本理论还是对未来潜在的实际应用都将产生 深远的影响。 3 天津大学硕士生论文第一章量子纠缠 1 2 量子纠缠的意义 量子计算与量子信息的研究可以追溯到量子纠缠概念提出之时，但真正引起 广泛关注的是2 0 世纪9 0 年代中期。这期间发现了s h o r 量子因子分解算法和g r o v e r 量子搜索算法，发现如果用量子位来代替经典位可以大大节省计算时间。上述发 现使人们对量子计算和量子信息产生了极大的兴趣。现在量子纠缠不仅作为量子 力学一个突出的特征，而且在量子信息和量子计算中被作为物理资源来对待。 1 9 9 3 年i b m 研究员c h a r l e sb e n n e t t 和他的五位合作者首次将量子纠缠运用在远 程传送量子信息中。b e n n e t t 和四个国家的这六位科学家联合在 p h y s i c sr e v i e w l e t t e r 上发表了一篇题为 t e l e p o r t i n ga nu n k n o w nq u a n t u ms t a t ev i ad u a l c l a s s i c a la n de i n s t e i n - p o d o l s k y y r o s e nc h a n n e l s 的论文 1 ，开创了量子 隐形传态的先河，也标志着现代量子信息的开始。 量子纠缠在量子隐形传态 1 3 中占有核心位置。量子隐形传态的基本思想 是，发送者a l i c e 和接收者b o b 之间进行一个未知量子态的传送，为了实现这个 隐形传态，a l i c e 和b o b 之间必须事先共享一个纠缠的量子通道，o 口e p r 粒子对， 即两个自旋1 2 的粒子a 和b 的两个独立态( 向上或向下) 分别记作1 0 ) 和1 1 ) ，它 们作为一个量子系统出于以下的量子态就称之为e p r 态： i 甲) = 去( 盹忱一h i o ) 且) 二 其基本思想就是将原物的信息分为经典信息和量子信息，它们分别由经典信道和 量子信道传送给接受者，经典信息是发送者对原物进行某种测量而获得的，量子 信息是发送者在测量中未提取的其余信息。接受者在获得这两种信息后，就可以 制造出原物的完美的复制品。在此过程中，原物并未被传送给接受者，它始终停 留在发送者处，被传送的仅仅是原物的量子态，发送者可以对这个量子态一无所 知，而接受者是将别的粒子变换成与原物完全相同的量子态，原物的量子态在发 送者进行量子测量及提取经典信息时己遭破坏。量子隐形传态的基本原理是，对 待传送的未知量子态与e p r 对的其中的一个粒子进行联合b e l l 基测量，由于e p r 对的量子非局域关联性，此时未知量子态的全部信息将会转移至u e p r 对的第二个 粒子上，只要根据经典信道传送的b e l l 基测量结果，对e p r 对的第二个粒子的量 4 天津大学硕士生论文第一章量子纠缠 子态施行恰当的幺正变换，就可以使这个粒子处于与待传送的未知态完全相同的 量子态，从而使e p r 的第二个粒子实现对未知态的重现。 1 9 9 7 年1 2 月，奥地利i n n s b r u c k 的z e i l i n g e r d 、组在实验上首次成功演示了量 子隐形传态，论文发表在 n a t u r e ) 上。这是国际上首次在实验上成功的将一个 量子态从甲地的光子传送乙地的光子上。实验中传输的只是表达量子信息的状 态，作为信息载体的光子本身并不被传输。 量子隐形传态是量子通信中最简单的一种，它不仅在物理学领域对人们认识 与揭示自然界的神秘规律有非常重要的意义，而且可以用量子态作为信息载体， 通过量子态的传送完成大容量信息的传输，实现原则上不可破译的量子保密通 讯。如果量子隐形传态的技术得以实现，它将在量子计算和量子通信中获得重要 应用，而所有这些的基础都是以纠缠态作为一种物理资源的。纠缠态因为它的非 局域性成为量子信息学的基础，在量子计算和量子密码术等其它量子信息中占有 核心位置。可以说没有量子纠缠就没有现在的量子信息学，制备和研究纠缠态成 为量子信息学中的一个重要组成部分。 1 3 量子纠缠的度量 为了表示对纠缠程度的度量，引入纠缠度的概念。由于考察角度的不同，所 以引入的纠缠定义有好几种。分别有不同的用处，也不完全相互吻合。但是，作 为量子纠缠的度量描述，不论如何定义，都应当满足一些共同的准则。这些准则 是： ( a ) 可分离态的纠缠度应为零。 ( b ) 对任一组份粒子进行的任何局域幺正变换( l u ) 不应改变纠缠度。也就是 说，局域幺正变换等价的态应有相同的纠缠度。 ( c ) 在局域操作和经典通讯下，系统的平均纠缠不应增加。 目前，常用的纠缠度有三种： ( 1 ) 部分纠缠度 当两体量子态处于纯态l 甲) 肚时，部分纠缠度定义为： s ( i l l ，) ) = s ( 几) ( 卜3 1 ) 5 天津大学硕士生论文第章量子纠缠 其中s ( p a 为仍的v o nn e u m a n n 熵，s ( 见) = 一吒( 矶l n p )( 1 3 2 ) 而岛为a 体系的约化密度矩阵，岛= ( i 甲) 船( 甲i ) ( 1 3 - 3 ) 因为a ，b 总体系处于纯态，有s ( n ) = s ( 岛) ，所以s 可以定义为a ，b 中任何 一个的v o nn e u m a n n 熵。对于形如i ) 彳 i 甲) 口的直积纯态，有s = o ：对于两个 q u b i t 的最大纠缠b e l l 基，可以得到s = i n 2 。为了研究方便，有时候把v o n n e u m a n n 嫡定义中的对数底数取成2 。 ( 2 ) 量子相对熵 对两体量子态，相对熵纠缠度可定义为：态对于全体可分离态的相 对熵的最小值 1 4 _ 1 5 ： e ( n 口) = m i n s ( p 彻i l 吼口) ( 卜3 4 ) o n d 其中：s ( 如l i ) 为相对熵： s ( e r a 占) = 护 p 口( 1 0 9 2 - l 0 9 2c r y ) ) ( 卜3 5 ) d 为全部两体可分离态的集合。量子相对熵纠缠度在量子信息领域中起着重要的 作用，宦形象的解释为纠缠态与非纠缠态的最小“距离”，对两体纯态，量子相 对熵等于量子约化熵 ( 3 ) 部分转置密度矩阵 p e r e s 给出了关于给定量子态是否可分离的一个判据 1 6 ：两体双态系统密 度矩阵式可分离态的充要条件为：对其任一体做部分转置运算后所得矩阵 夕? 或户仍是个密度矩阵，既不出现负的本征值。如果出现负的本征值，则为 纠缠态。纠缠程度定义为：占= - 2 丑，其中乃为密度矩阵部分转置后的负的 ， 本征值。当占= 0 时，为可分离态，当占= l 时，为最大纠缠态。 对于两体双态系统p 艘，例如对a 进行部分转置为： 尸? = 一i o 一( o i + 一( 1 i h h ( 1 j + 一( 1 i h i o 一( 1 h ( o l p , 占1 ) 一( o l ( i - 3 - 6 ) 6 天津大学硕士生论文第二章原子和光场相互作用的理论 第二章原子和光场相互作用的理论 在量子光学领域中，主要讨论是光场与原子相互作用的全量子理论。典型的 有j a y n e s c u m m i n g s ( j c ) 模型、t a v i s c u m m i n g s 模型、三能级原子与光场的 相互作用及这些模型的推广。描述两个全同二能级原子与光场相互作用的j c 模 型引起了人们广泛的兴趣，对这一模型及其推广做了大量的研究，并揭示出它们 各种各样的非经典性质，如原子布居的周期崩塌与回复、原子算符的压缩、光场 的压缩性质及非经典相关特性等 1 7 1 8 。 日前为止，绝大多数j c 模型是在旋波近似下进行讨论的，旋波近似是研 究量子辐射场中原子运动的有效方法，其中心思想即在相互作用绘景中忽略相互 作用量的高频变化部分，也即忽略非旋波项。由于j c 模型能够揭示光场与物 质相互作用中最基本，但却丰富的量子特性，因此不仅在量子光学中，而且在激 光物理、核磁共振和量子场论等诸多问题中常被采用。不久前，j c 模型已在高 q 值微波谐振腔中单个原子动力学性质的实验研究中得到证实，这使得人们对 j c 模型的研究不仅具有学术意义，而且还有实际价值。 最早将量子光学的理论研究工作引上正轨并推向深入的，是e t j a y n e s 和 e w c u m m i n g s 两人。1 9 6 3 年，e t j a y n e s 和e wcu m m i n g s 两人提出了表征单 模光场与单个理想二能级原子单光子相互作用的j a y n e s c u m m i n g s 模型，这就是 著名的标准j c m ，它的提出标志着量子光学的正式诞生，它是一个数学意义上 的严格精确可解的模型。 2 1 j a y n e s c u m m i n g s 模型及推广 j a y n e s c u m m i n g s 模型是由j a y n e s 乘1c u m m i n g s 在讨论微波激射器时提出的， 由单个二能级原子( 或分子) 与一单模量子化的光场组成的相互作用系统的理想 模型。它是描述原子与光场相互作用的一种理想模型 1 9 1 。 - - f l 邑级原子与单模辐射场相互作用的哈密顿量为： 日= s ：+ 髓+ a + e ( a + + 口) ( s + + s 一) ( 壳= 1 ) ( 2 1 1 ) 7 天津大学硕士生论文第二章原子和光场相互作用的理论 这里口+ ，口分别为频率为国的单模光场的产生算符和湮灭算符，疋和& 是描述本 征跃迁频率为的二能级原子的赝自旋算符，且遵循对易关系： 陋z ，s 】= 墨，陋+ ，墨】- 2 s z ，占为原子光场耦合常数，它反映原子与光场相互 作用的强度。而且为简单起见，这里取自然单位壳= 1 。 原子与光场的相互作用哈密顿量可表示为： y = 占g + s 一+ 订+ + 口+ s + + 订一) ( 2 1 2 ) 式中第一项反映原子由激发态i d 跃迁到基态l g ) ，同时产生一个光子的相互作用 过程；第二项表征原子由基态i g ) 跃迁到激发态i 力同时吸收一个光子的相互作用 过程；第三项对应原子跃迁到激发态并发射一个光子的过程；第四项则描述了原 子跃迁到基态同时吸收一个光子的相互作用过程。 显然，式( 2 1 2 ) 的前两项对应的跃迁过程导致系统的能量改变为 a e 。= 壳一) ( 2 1 3 ) 在近共振情况下，即光场频率与原子本征跃迁频率满足缈时，系统的能量变 化舡，o ，即保持系统能量守恒。根据能量- 时间不确定关系： 丝1 a r l 壳 ( 2 - 1 - 4 ) 可知，当业。_ 0 时，q 0 0 。所以跃迁过程能产生稳定的实光子。 但是，( 2 1 2 ) 式中的后两项对应的跃迁过程导致系统能量变化为： 丝2 = 7 i + ) ( 2 1 5 ) 它是一个相当大的量，说明此种跃迁不保持系统能量守恒，同时根据能量时问 不确定关系： 丝2 a r 2 壳 ( 2 1 6 ) 可知，a r ，很小。说明此过程产生的光子的寿命很短，我们称它为虚光子。如果 在( 2 1 1 ) 式或( 2 1 2 ) 式中略去不保持系统能量守恒的后两项，则称为旋波 近似。此时系统的哈密顿量成为： 日= s z + o x l + 口+ 占( 口心+ + 口+ s 一) ( 2 1 7 ) r 天津大学硕士生论文 第二章原子和光场相互作用的理论 旋波近似是量子光学中经常应用的近似，所以哈密顿量( 2 1 7 ) 式是经常应用 的典型哈密顿量，它是由狄拉克最先引入的，所以也被称为描述原子与辐射场相 互作用的狄拉克和哈密顿量。 此后，人们围绕着标准j c m 做了大量的卓有成效的研究工作，对标准j c m 进行了推广与扩展，这一工作主要是从以下两个大的方面进行的。 ( 1 ) 线性推广 ( a ) 非旋转波近似下的j c m 人们在原标准j c m 的基础上，进一步考虑单模虚光场f 即h a m i l t o n i a n 中违背 能量守恒定律的项) 的影响，于是便得到了非旋转波近似下的j c m 2 0 。这一工 作主要是m d c r i s p 于1 9 9 1 年完成的。 ( b ) 简并双光子与简并多光j c m 这主要是针对单模光场与单个理想二能级原子之间的简并双光子与简并多 光子而言的。由于忽略了光场强度对场一原子之间相互作用的影响，因而在旋转 波近似下，人们便得到了表征单模光场与单个理想二能级原子相互作用的所谓简 并双光子j c m 2 1 - 2 2 和简并多光子j c m 2 3 - 2 4 。 ( c ) 单、双模光场一单个- - f l 邑级及多能级原子系统的j c m 由于以上j c m 中将原子作为理想二能级原子考虑，即不考虑原子之间的任 何相互作用的影响和计及其它物理效应( 如k e r r 效应与s t a r k 效应) ，故不足以描 述场一原子相互作用过程中的所有物理属性，于是人们便进行了各种各样的推广 与扩展。人们曾经提出过单模光场与单个三能级原子相互作用的各种j c m ，甚 至提出了单模光场与单个多能级原子相互作用的j c m ，并且将其推广和扩展到 了双模光场及多光子的情形 2 5 3 1 。 ( 2 ) 非线性推广 ( a ) 依赖强度耦合的j c m 依赖强度耦合的j c m 3 2 ，主要用来表征单模光场与单个理想二能级原子单 光子相互作用过程与光场强度之间的依赖性和依赖关系，这一模型最初是由 b b u c k 和c v s u k u m a r 两人于1 9 8 1 年提出的。后来，人们又陆续提出了依赖强 度耦合的简并双光子和简并多光子j c m 3 3 3 4 。 ( b ) k e r r 介质的j c m 9 天津大学硕士生论文第二章原子和光场相互作用的理论 k e r r 介质的j c m 3 5 最初是由g s a g a r w l 和r 1 l p u r i 两人于1 9 8 9 年提出的。 这个模型，主要用来表征位于充满k e r r 介质的高q 腔中( 即不考虑腔体的单光子 损耗) 的单个理想二能级原子与单模光场单光子相互作用过程中k e r r 效应对于场 一原子系统的各种动力学特性的影响程度的。后来，人们很快将它推广到了单模 光场简并双光子和简并多光子以及双模光场非简并双光子相互作用的情形 3 6 - 3 8 】。 2 2 量子纠缠的研究情况 自从1 9 6 3 年，e t j a y n e s 和f wcu m m i n g s 两人提出了表征单模光场与单个 理想二能级原子单光子相互作用的j a y n e s c u m m i n g s 模型以来。随着量子信息技 术的迅猛发展，作为它的重要基础之一的量子纠缠态的定量研究很自然地也是很 迫切地被提到了议事日程上来。人们提出了各种方法来度量纠缠的大小，其中主 要有量子约化熵、量子相对熵和部分转置密度矩阵。而较好的纠缠有助于量子通 讯。为了使得到较好的纠缠状态，人们纷纷开始研究各种模型及环境影响下系统 的纠缠度大小。近年来，人们对原子与光场的纠缠进行了大量的研究。现在研究 原子与光场的纠缠大致可分为以下四种： ( 1 ) 单原子与单模光场的纠缠 文献 3 9 - 4 1 对单原子与光场相互作用的纠缠进行了研究。其中【3 9 考虑原 子的运动，t = 0 时原子处于激发态l p ) 进入光腔，光场此时为压缩真空态，经p 个 半波长后原子离开腔。在旋波近似下，系统哈密顿量为： h = w o s z + w 口+ 口+ g f ( z ) ( s + a + 口+ 蔓) 其中f ( z ) jf ( v t ) = s i n ( p n v t l ) 为原子运动引起的场模形式函数，为单光子 过程。利用v o nn e u m a n 熵计算原子一光场间纠缠度发现：原子的运动使纠缠随时 间的演化具有严格的周期性；在初始压缩度较大时，除了一些消纠缠点外，系统 将长久停留在最大纠缠态，场模结构差数的增大将导致消纠缠次数的增多。 与上面不同的是【4 0 】考虑了双光子过程和偶极作用，且光场初始时处于f o c k 态，原子仍是激发态1 0 。此时系统的哈密顿量为： 1 0 天津大学硕士生论文第二章原子和光场相互作用的理论 日= w a + 口+ w o 吒2 + g ( a + 2 疋+ 口2 ) 利用v o nn e u m a n 熵计算原子一光场问纠缠度发现：随着时间演化，原子与光场组 成体系得纠缠度呈现周期性变化规律。但是失谐量等于r a b i 频率时，体系将较 长时间处在纠缠程度的最大值附近。 而在 4 l 】中则考虑了人一型三能级运动原子与相干态光场i 口) 的纠缠。其中 1 1 ) 与1 3 ) 和1 2 ) 与1 3 ) 之间的跃迁分别与频率为w 的光场相联系，而1 1 ) 与1 2 ) 之间 的跃迁是禁戒的。在旋波近似下和相互作用表象中的哈密顿量为： v i ( t ) = ( z ) ( 口+ 墨3 e 一锄+ 心l e 心+ 口+ 恐3 e 一曲+ 口+ 马2 e 枷) 其中= w 3 一m - - w = w 3 一w 2 一w 为原子一场的失谐量。利用y o nn e u m a n 熵计 算原子一光场间纠缠度发现：原子运动导致场熵演化具有周期性，这种周期性并 不依赖长的统计分布和强度而依赖于原子运动和场模结构参数；不论是共振情况 还是远离共振情况，选择适当的场模结构参数，可得到较长时间的纯态光场；增 加场模结构参数的大小不仅减小场熵演化周期而且减小场熵的振幅。 ( 2 ) 单原子与双模光场的纠缠 文献 4 2 - 4 4 研究了双原子与单模光场的纠缠， 4 2 研究的是运动原子与 s u o ，1 ) 相干态光场的纠缠。初始时原子处于叠加态： i 缈) 一= c o s ( ) , 2 ) 1 + + e x p ( - i e p ) s i n ( y 2 ) l - ) 系统的哈密顿量为； h = w o 是+ w l 可口1 + w 2 口；呸+ g f ( z ) ( s + a , a 2 + 口i 吒4 - ) 其中w l + w 2 = w o ，作者利用量子演化熵研究了原子- 光场问的纠缠，用量子 相对上研究了两模间的纠缠。研究发现：i ) 原子光场和光场光场的纠长度都以 2 n p 为周期随时间演化；i i ) 场原子纠缠度的演化和模间纠缠度的演化规律几 乎相反，场一原子的纠缠削弱了模间纠缠。在g t = n r c ( n = 0 ，1 ，2 ) 时原子和光场是 退纠缠的，而光场一光场纠缠度等于初始光场态的纠缠度；i i i ) 当取y = 0 即原 子处于激发态，选取模间光子数差q = 0 和g t = k z r + o 3 z ，k z + o 7 n ( k = 0 ，l ，2 ) 时 天津大学硕士生论文第二章原子和光场相互作用的理论 可得到原子一光场的最大纠缠态；i v ) 当模问光子数差q = 0 和模问压缩差量善较 大且g = 万2 时，光场一光场可取得较高纠缠。 在文献 4 3 中，研究了在共振状态下原子与s u ( 1 1 ) 相干态光场的纠缠，文 中用l d i l b u r n 方程修正了y o nn e u m a n n 方程。在旋波近似下，系统相互作用的有 效哈密顿量为： h=ho+hl n o = w z 口l + w 2 口；口2 + t h i = 力( q q 吒+ 正口? 口；) 由于处在共振状态，故w l + 比= 2 w o 。初始时原子处于激发态。研究表明当 存在内禀退相干时，随着时间演化，原子一光场纠缠逐渐减小到一个确定值，而 模问纠缠逐渐增大到一个确定值，两者演化的最终值取决于双模光子数差和平均 光子数。 4 4 研究了双模压缩真空态与原子经双光子过程的纠缠。其系统哈密顿量和 初始时原子所处状态与 4 2 基本相同( 未考虑原子的运动) 。分别用量子演化熵 和量子相对熵研究了原子一光场和光场一光场间的纠缠。研究得出：i ) 原子一光场 和光场一光场间的纠缠均呈现周期性演化，且周期相同。这和 4 2 中所得结果一 致；在g t = ( 2 n 1 ) x 2 ，g t = r l _ ；r f 时原子一光场退纠缠，而光场一光场纠缠在 g t = ( 2 n - 1 ) z c 2 时区极大值，在g t = 腼时区极小值。选择合适的系统参数和时 间，可使双模光场处于纯态，且保持较高的模f n q g q 缠；i i ) 在g t ( 2 n 一1 ) r e 2 和 g t ，历时，原子和光场纠缠，在原子初态为激发态的情况下，可得原子一光场的 最大纠缠态；i i i ) 场一原子纠缠度的演化和模间纠缠度的演化规律几乎相反，场 一原子的纠缠削弱了模间纠缠，这和 4 2 的结果相同；i v ) 原子的初态和压缩因 子对原子一光场的纠缠程度和模问纠缠程度有重要影响。给定原子的初态为基态 和激发态的叠加态时，原子一光场纠缠度随着压缩因子的增大而减小。模问纠缠 度随着压缩因子的增大而增大；给定压缩因子，随着原子分布角厂增大，原子和 光场间纠缠度最大值减小，而双模光场间的最小值增大。 ( 3 ) 双原子与单模光场的纠缠 1 2 天津大学硕士生论文第二章原子和光场相互作用的理论 文献 4 5 - 4 6 研究了双原子与单模光场的纠缠。其中 4 5 】研究了压缩真空场与 耦合双原子的拉曼相互作用。初始时原子处于： i 伊) 仙- - l e e ) 在旋波近似下，系统的哈密顿量为： 2 h = m + 口+ 占口+ 口( + 叟) + g ( q 史+ 史) i = 1 考虑了拉曼相互作用及原子原子的偶极偶极相互作用，研究发现：当原子 间的偶极偶极相互作用较弱时，场熵演化呈现周期性的崩塌与回复现象；当原 子问的偶极一偶极相互作用较强时，场熵演化呈现不规则振荡，崩塌与回复现象 消失。 在 4 6 1 q h ，作者研究了相干态光场与纠缠双原子的纠缠。初始时原子处于： i 力仙= 万 e e ) + l 乒 - y - y l g g ) 旋波近似下，系统的哈密顿量为： h = h o + v 2 h o = w ( i + a + w o i = 1 2 y = 占( 口+ 黜+ 程o ) i = 1 得到以下结论：i ) 双原子系统初始纠缠度大时场熵的平均值也较大，从而 光场一原子纠缠度也大；双原子系统初始纠缠度小时，场熵的平均值也较小，从 而光场一原子的纠缠度也小；i i ) 初始光场强度主要影响场熵演化的振荡特性。 当初始光场强度较弱时，场熵随时间的演化呈不规则的振荡，光场一原子之间的 相互作用主要表现为单光子跃迁过程；当初始光场强度较强时，场熵随时问的演 化表现为较规则的振荡，光场一原子之间的相互作用则主要表现为双光子跃迁过 程。 ( 4 ) 双原子与双模光场的纠缠 4 7 研究了双模压缩真空场与耦合双原子的双光子过程，考虑了原子间的偶 极偶极相互作用。在旋波近似下，系统的哈密顿量为： 天津大学硕士生论文 第二章原子和光场相互作用的理论 h = h q + v 2 h o = w 才q + 口；口2 + w o v = 占( 口) + q ( 奠受+ 奠) i = 1 初始时两原子处于基态与激发态的叠加态。利用演化熵研究了原子一光场间的纠 缠，发现：若原子间偶极一偶极相互作用可以忽略，纠缠随时间作较为复杂的 r a b i 振荡；若原子间的偶极一偶极相互作用不能忽略但强度较弱，纠缠随时间 呈周期性的崩塌一回复现象，崩塌一回复周期与原子一光场藕合常数随时间呈周期 性的崩塌一回复现象，崩塌一回复周期与原子一光场藕合常数成反比且随其增大而 缩短；当原子间的偶极一偶极相互作用很强时，纠缠的崩塌一回复现象消失而作较 为缓慢的周期振荡。当原子间偶极一偶极相互作用较弱时，纠缠随时问演化的 r a b i 振荡的幅度随压缩因子增大而减小。当压缩因子较大时，纠缠将在某一定 值附近微小振荡，几乎不随时间改变。当原子间偶极一偶极相互作用较弱且光场 初始压缩因子较小，两原子均处于激发相干叠加态、基态或激发态时，场熵呈现 周期性的崩塌一回复现象而当一个原子处于基态另一个原子处于激发态时，场熵 的崩塌一回复现象消失而只作较规则的周期振荡。如果光场初始压缩因子较大， 则无论两个原子处于何种初始状态，场熵均无明显的崩塌一回复现象而呈现规则 的周期振荡。 与上面不同的是，本论文研究了s u ( 1 ，1 ) 相干态光场与两原子的拉曼相互作 用，并考虑了原子间的偶极偶极相互作用，当模问光子数差q = 0 时，s u ( 1 ，1 ) 相干态光场即转化为双模压缩真空场。 1 4 天津大学硕士生论文 第三章两二能级原子与s u ( i ，1 ) 相干态光场经拉曼相互作用的纠缠 第三章两二能级原子与s u ( 1 ，1 ) 相干态光场经拉曼共振相互作用的 纠缠 论文研究了两全同二能级原子与s u ( 1 ，1 ) 经拉曼相互作用的纠缠。拉曼散射 是一种重要的原子与光场问相互作用的非线性过程，由于对拉曼散射的研究可以 获得原子与光场间相互作用的许多非经典特性，因此引起了人们研究的极大兴 趣。1 9 9 1 年，c c y u e n 在双光子j a y n e s s c u m m i n g 与关联s u ( 1 ，1 ) 相干态相 互作用的动力学特征一文中，介绍了s u ( 1 ，1 ) 相干态的生成以及一些性质 4 8 。 由于s u ( 1 ，1 ) 相干态光场具有很强的纠缠性，可以作为量子计算和量子通讯中的 信息载体，因此很多文章对s u ( 1 ，1 ) 相干态光场进行了研究。下面介绍一下双模 压缩真空场及s u ( 1 ，1 ) 相干态光场。 3 1 双模压缩真空场 由于压缩态中可以使光场的某个正交分量具有比相干态更小的量子噪声，因 此，在光通讯、高精度测量等诸多应用中具有极为重要的实际意义。 将频率为国的光场看成一个谐振子场，相应的广义坐标和动量为： ；= 压( 新 p “= g 网t ( a “一) ( 3 - 1 - 1 ) 均方差定义为： 彳= 相干态是湮灭算符的本征态 址卜一愕谆翕 对于相干态，它具有最小的量子涨落： ( g ) = 压( 卸) = 厚( 蚴) = 兰 1 5 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 _ 4 ) 垂塑奎堂硕：l 生论文第三章两二能级原子与s u ( i ，1 ) 相干态光场经拉曼相互作用的纠缠 ，、 口= x 1 + i x 2 口+ = x i i x 2( 3 1 5 ) 虹妒) 、- 睦m ， 妣去( 。) = 压； u1 。0 。 文z 文z r ( 3 - 1 - 7 ) 忙) 2 ) ( ( 文z 盼去 。， 协瑚， = = 1 4 ( 受，女：) = 丢 c 3 一9 ) 如果( 受- ) 2 丢或( a 受：) 2 丢，则称此光场是压缩的。在压缩态中，光场 ( 占) = e x p ( 三占一三占2 ) ( 3 - 1 - 1 0 ) 1 6 天津大学硕士生论文第三章两二能级原子与s u o ，1 ) 相干态光场经拉曼相互作用的纠缠 a s + ( s ) = s 一( s ) = s ( 一s ) ( 3 1 1 1 ) 可见压缩算符为幺正算符。它有以下变换性质 a