（应用数学专业论文）生物竞争模型中的一类交错扩散型方程组的整体解存在性.pdf

摘要 f 饥= ( d l + a 1 1 u + a 1 2 v ) u 】+ u ( a l 一6 1 t 口1 一c i “) ， j 仇= 【( d 2 + 0 1 2 1 u + 0 2 2 钉) 】+ v ( a 2 6 2 如一c 2 v t 2 )z q ， t 0 i 舞= 舞= 0 z a q ，t 0 【u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) z q 的一犊特殊形式的整体解存在性其中q 为彤中的有界区域，且 rd l ，d 2 0 ，乜1 l ，q 1 2 ，啦l ，毗0 ，啦，玩，q ，屈，m o ( i = 1 ，2 ) ， u o ( z ) 0 ，v o ( x ) 0 ，( 2 ) 【u 0 ，咖哪) ，3 p n ， 在本文第一章引言里，主要介绍关于方程组( 1 ) 的生物模型意义以及一些 已有的整体解存在性的结果 在本文的第二章里，讨论方程组( 1 ) 的特殊形式一 o q z a q z q 0 t 0 ， ( 3 ) 的整体解存在性。我们证明了一个特殊的嵌入不等式( 见后面的引理2 2 1 和 引理2 3 1 ) ，利用该嵌入不等式，采取迭代的方法证明了lf v v ( z ，圳l 。( 钉) 冬 g ( 丁) ，最后利用0 a l a d y z e n s k a j a 7 】和g a r y m l i e b e r m a n n 6 中关于散度型 方程组的抽象结果。证明了下列估计，对于任意固定的t 0 ，有t u ( z ，。) l l g t + a 1 # ( - 。( o ，了1 ) ，( 茹，t ) i c - + a t l # ( 荭。( o 羽) e ( t ) 3 n 0 所以由h a m a n n 的局部解是整体解的充分条件，当初值满足牡o ( 。) ，v o ( x ) o ( z n ) ，且u o ( z ) ，v o ( x ) w ：( n ) ( 却 n ) 时，得到的主要结果如下： 巾叫卜倒 荔驴 等一 慧志 毗仇照肌“ 定理2 1 当n = 3 时，若卢1 ，岛之间满足关系： 岛；( i l l + 1 ) 其中。 i 1 m t n 儡；+ 蒜丽) 则方程组( 3 ) 存在唯一的整体解( u ( z ，t ) ，u ( z ，t ) ) c 2 + a , l + ( 西( 0 ，) ) c 2 + 甜+ ( 豆( 0 ，。) ) 定理2 2 对任意维的情形，若卢l ，皮之间满足关系： 岛知圳其中。 0 t 0 ( 1 ) fd 1 ，d 2 0 ，口1 1 ，1 2 ，血2 l ，a 2 2 0 ，a i ，巩，q ，屈，m o ( i = 1 ，2 ) ， 4 0 ( $ ) 0 ，( z ) 20 ， ( 2 ) lu o ，u o 叼( q ) ，劫 n ， i nc h a p t e r1 , w ei n t r o d u c et h eb i o l o g i c a lb a c k g r o u n do ft h es y s t e m ( 1 ) i n t h ep o p u l a t i o nm o d e l a n dw eb r i e f l yr e v i e wt h ee x i s t e dg l o b a lr e s u l t so ft h e s y s t e m ( 1 ) i nc h a p t e r2 w ec o n s i d e rt h eg l o b a ls o l u t i o no ft h es i m p l i f i e dm o d d ： r 毗= f ( d l + a 儿u + 1 2 ) 钍】+ u ( a l 一6 1 u 芦1 一c l v 机) l 轨= 吐2 彤+ 口( 啦一k 2 一c 2 蛩恤) 霉q ，t o ， l 舞= 舞= 0 畦勰，协0 ， l 嚣( 。，0 ) = t 如( 。) ，( z ，0 ) = ( $ ) z n ( 3 ) f i r s tw ee s t a b l i s ha ni m p o r t a n te m b e d d i n gi n e q u a l i t y ( s e el e m m a 2 2 1a n d l e m m a2 3 1 1 t h e nu s i n gt h i se m b e d d i n gi n e q u a l i t y , 删p r o v et h ef a c t i i v v ( x ，圳l 。( o r ) c ( t ) b y i t e r a t i v em e t h o d s f r o mt h ec l a s s i c a lt h e o r e mo f t h e s y s t e m s w i t hd i v e r g e n c ef o r mi n0 ，a ，l a d y z e n s k a j a 7 ja n dg a r y m l i e b e r m a n n 6 ，w ep r o v et h ef o l l o w i n g e s t i m a t e ：f o ra n yf i x e dt 0 , w eh a v e 口) 峙一毕( 踯制忡，洲c m 牛( 唧，q ) g ( t ) 3 n o i n 妒扩 沙沙 如峨 m m 姒 彻 彻 办篓南 毗仇丝肌呱 s ob yh a m a n n sr e s u l t sa b o u tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h eg l o b a le x i s t e n c e ， w h e nt h ei n i t i a lv a l u e ss a t i s f yu 0 ( x ) ，v o ( x ) o ( z n ) ，a n du o ( z ) ，v o ( z ) w 口) ( | p 竹) ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m2 。1w h e n = 3 ，玎岛，岛s a t i s f yt h ei n e q u a l i t y ： 岛 _ 1f l l 十1 ) w h e r e 1 曲临；+ 南) t h e nt h es y s t e m 例h a sau n i q u e g l o b a ls o l u t i o n u ( 。，t ) ，钉( z ，t ) c 2 4 - a , 1 + 譬( 豆 ( 0 ，。o ) ) xc 2 + a , l + ；( 瓦x ( 0 ，o 。) ) t h e o r e m 2 2f o ra n yn 1 ，旷风，阮s a t i s f yt h ei n e q u a l i t y ： 岛；( 风十1 ) w h e r e 。 0 ，( 4 ) z q w e l e t 她= ( d 2 + a 2 2 v ) v ，t h e nt h ee q u a t i o no fvb e c o m e s w 2 t = ( d 2 + 2 a 2 2 v ) 0 ) a + u ( d 2 + a 2 2 ) ( n 2 6 2 u c 2 u 加) u s i n g t h e a n a l o g o u s m e t h o d i n c h a p t e r2 ，w h e n t h e i n i t i a l v a l u e s s a t m f y u 0 ( x ) ，v o ( x ) 0 ( x n ) ，a n du o ( x ) ，v o ( z ) w 2 ( q ) ( 却 n ) ，w eg e tt h ef o l l o w i n gr e s u l t ： t h e o r e m3 1w h e n n = 3 ，t h es y s t e m 俐h a sa nu n i q u es o l u t i o n ( u ( x ，t ) ， ( z ，) ) 驴幅1 + 国( o ，。) ) c 2 帆1 + ( - ( o ，o o ) ) k e yw o r d s ：c r o s s - d i f f u s i o n ，ap r i o r ie s t i m a t e s ，e m b e d d i n gi n e q u a l i t y , q u a s i l i n e a r p a r a b o l i cs y s t e m ，g l o b a le x i s t e n c e 舻 帆 蚪“ l | 咖 忆2 。舭裟志 1 引言 在群体动力学中，s h i g e s a d a ，k a w a s a k i ，t e r a m o t o 9 1 于1 9 7 9 年提出了如 下的非常著名的生物群体竞争模型： 其中q 为形中的有界区域，且 + u ( a l b l u c 1 ) ， + 一6 2 u c 2 口一q ， t o ，f 1 1 1 z a q ，t 0 ， 、 0 1z q rd l ，d 2 0 ，0 1 1 1 ，乜1 2 ，毗1 ，0 1 2 2 0 ，啦，巩，q o ( i = 1 ，2 ) ， o 扛) 0 ，v o ( x ) 0 ， ( 1 2 ) 【牡o ，v 0 w 譬( q ) ，3 p n ， 在方程组( 1 1 ) 中，u 和 分别代表两个竞争物种的密度，d 1 和d 2 表 示两物种的扩散率，a 和a 。表示物种的内在增长率，b 。，c 2 为同物种间的竞 争系数，b 。，c - 表示两物种之间的竞争系数o t 。和0 1 2 2 表示物种的自扩散压 力，0 1 1 2 和0 1 2 1 表示两物种之间的交错扩散压力当口j = o ( i ，j = 1 ，2 ) 时， 方程组( 1 1 ) 为著名的l o t k a r v o l t e r r a 竞争模型方程组( 1 1 ) 在生物学上有 着重要的意义 经典理论中对于类似于( 1 1 ) 的方程组的主项系数的要求都比较强，例如 系数矩阵4 ( o ，t ) 为一致强椭圆( 或者非常强一致椭圆) ，即系数矩阵4 ( o ，t ) = ( n 嚣( 茁，t ) ) l i 以n 1 0 ，( x ，t ) q r ，r n o 1 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 叫 i i m 啦 m 劬 乩裟志 首都师范大学硕士学位论文t 生物竞争模型中的一类交错扩散型方程组的整体癣存在性 其中礼为空间的维数，为方程组的个数 但是，对于方程组( 1 1 ) ，其系数矩阵为 槲h 粥，= ( 以+ 2 = 怕1 2 ”。24 - 篡2 0 。2 2 v ) 。 q 2 l 2 l 让十l r 5 0 ) 详见【1 】 但是，对于方程组( 1 1 ) 的整体解存在性，由于方程组的强耦合性，至今 没有结果然而，很多作者考虑了方程组( 1 1 ) 的一些简化模型的整体解存在 性主要结果如下t i n = 1 时的结果t ( a ) 1 9 8 4 年，k i m 5 】证明了当d l = d 2 0 ，q l l = 口2 2 = 0 时，方程组 ( 1 1 ) 的整体解存在唯一 ( b ) 2 0 0 1 年，s e o n g - a s h i m 1 0 l 在其博士论文中给出了方程组( 1 1 ) 在 d l = d 2 ，o q i = a 2 2 = 0 ，a 1 2 ，o l 2 l 0 等三类条件下方程组整体解的一 致有界性估计和收敛性 2 n = 2 时的结果： 2 第1 章引言 ( a ) 1 9 9 3 年，y a g i 1 l 】证明了当8 a 1 1 5 1 2 0 ，8 口2 2 8 2 1 o 或者 o 。，= o m = 0 ，n 1 1 0 时方程组( 1 1 ) 的整体解存在性此时自扩散 占优的条件在证明中起到关键的作用 ( b ) 1 9 9 8 年，l o u ，n i ，w u 8 】引入了一个特殊的空间k ( q t ) ，利用能量积 分的方法给出了0 2 1 = 0 ，口1 2 0 ，口l l 0 时方程组( 1 1 ) 的二维整体 解存在性 ( c ) 2 0 0 3 年，l ed u n g 4 】利用先验估计以及半群方法等给出了啦= 0 时方程组( 1 1 ) 的整体解的一致有界性估计 注：上述方法证明方程组解的整体存在性，推广到高维情形时，均会遇到 一些困难，或者是不适用，或者要加比较强的条件 3 对任意维均成立的结果： ( a ) 1 9 8 7 年，p d e u r i n g 3 j 证明了当i t l l = 5 2 2 = 0 以及对于小初值咖， 的情形，方程组( 1 1 ) 的整体解存在性 ( b ) 1 9 9 5 年，y a m a d a 1 2 】证明了如下结果：当o z l l = 0 2 l = n 2 2 = 0 ， ( 1 ，1 ) 的反应项具有形式u ( a 1 6 l 让p 一c 1 v 1 1 ) ，u ( 2 6 2 2 一c 2 0 1 。) 时， 如果满足条件卢1 岛，则方程组( 1 1 ) 存在唯一的整体解 ( c ) 2 0 0 3 年，y s c h o i ，r o g e rl u i ，y o s h i oy a m a d a 2 】考虑了当0 2 1 = 口2 2 = 0 以及自扩散压力o 1 充分小，且依赖于初值i i v 0 0 l 。时，方程组( 1 1 ) 的整体解存在性 ( d ) 2 0 0 4 年，y s c h o i ，r o g e rl u i ，y o s h i oy a m a d a 1 3 】又证明了对于任意 维的情形，当o z 2 1 = 0 2 2 = 0 时，方程组( 1 1 ) 的整体解存在唯一，以 及当a z ，= 0 即两个方程均包括自扩散项时，方程组( 1 1 ) 的整体解 存在性对于维数n 0 ， ( 1 6 ) 0 ，峨，b l ，c ，屈，m 0 ( i = 1 ，2 ) ， 0 ， ( 17 ) 3 p n 3 心 卜吼 荔驴嚣撕 蹀一 p 吼咪 o 一 如扎“ ，ij(，【 首都师范大学硕士学位论文；生物竞争模型中的一类交错扩散型方程组的整体解存在性 根据1 9 9 5 年y a m a d a 1 2 1 的结果，如果“的方程里没有自扩散项n 1 1 = 0 ，则当卢1 岛时方程组( 1 6 ) 的解整体存在y a m a d a 1 2 】证明整体解 时所用的方法是半群方法以及分数幂空间的一些技巧，得到了一系列先验估 计但是此方法对于形如方程组( 1 6 ) 的带自扩散项的情形不适用最近， y s c h o i ，r o g e rl u i ，y o s h i oy a m a d a 1 3 又证明了在( 1 6 ) 中当多i = 良= 1 时，对于任意维的情形，方程组( 1 6 ) 的整体解存在唯一本文给出如下两个 结果( 在某种意义上推广了上述两个结果) ： 1 在n = 3 的情形，若卢- ，如之间满足关系： 岛s ；愉+ 1 ) 其中0 ； 嘶n 南，i + 赢 ， 则在条件( 1 7 ) 下，方程组( 1 6 ) 存在唯一的整体解( u ( z ，t ) ， ( z ，t ) ) c 2 + o ，” ( 孬 ( 0 ，o 。) ) c 2 + a , l + ( q ( 0 ，) ) ( 详见2 2 ) 注1 ：当岛= 1 时，则岛满足0 岛 0 时，包含了屁风= 1 的情形 2 对于任意维的情形，若卢- ，岛之间满足关系： 屈扣+ 1 ) 其中叭i 1 岫 嵩，熹+ 两茄b ) ， 则在条件( 1 7 ) 下，方程组( 1 6 ) 存在唯一的整体解( u ( 。，) ， ( 茁，t ) ) g 2 帆1 + ( 丽 ( 0 ，o o ) ) c 2 + o ，1 + ( q ( 0 ，o 。) ) ( 详见2 3 ) 注2 ：当风= 1 时，则尼满足0 0 的情形，并且得n t 比f 1 3 】( 倪= 卢1 = 1 的情形) 更一般的结果 在本文的第三章里，我们考虑了如下形式的交错扩散型方程组： z n t 0 z a n ，t 0 ， z n ( 1 8 ) f d l ，d 2 ，q 1 1 ，q 1 2 ，a 2 2 0 ，啦，b i ，q ，m 0 ( i = 1 ，2 ) u o ( x ) 0 ，v o ( x ) 0 ，( 1 9 ) l 勘，铷w 譬) ，劫 n ， 4 u q护“ = n + 咖 忆麓。航繁志毗执照鼽嘶 第1 章引言 1 9 9 8 年，l o u ，n i ，w u 8 1 给出了当n = 2 ，0 1 1 0 时，方程组( 1 8 ) 的整 体解存在性在本文第三章里，证明了这类散度型方程组( 1 8 ) 的三维整体解 存在性结果； n = 3 时，则在条件( 1 9 ) 下，方程组( 1 8 ) 存在唯一的整体解心( z ，味口缸，) ) g 2 + 1 + ( 豆( 0 ，o o ) ) c 2 + o , l + ( 菇( 0 ，o o ) ) ( 详见3 2 ) 注：在我们的论文即将完成之时，【1 3 】证明了在n 6 时，上述方程组 ( 1 8 ) 的整体解均存在唯一 在本文里，一些记号如下； q r = q ( 0 ，t 】，i 野= a n ( 0 ，t ，i t = s u ( z ，t ) i z q ，t = o ) ， u k ，( q r ，i ，e ，( z r ( 正u q ( x , t ) d x ) ；出) i o o ， l 口，g ( q r ) 简记为l 口( q t ) ， u w 学1 1 ( q r ) ，i e “，“q ，“。( i ，j = 1 ，2 ，- ，n ) ，u l p ( q t ) ， r、i 1 扎( q 了_ ) ，i e 删。5 1 曼m ，f ) 悒：( n ) + i l v u ( x ，t ) 幢焖，) 0 ，a i ，6 i ，c ，晟，m 0 ( i = 1 ，2 ) ， 蛳( 。) 0 ，v o ( x ) 0 ，( 2 2 ) 【让。，u o 名( q ) ，j p n ， 由h a m a n n 关于局部解存在性理论知，方程组( 2 1 ) 存在唯一的光滑局 部解( u ，u ) 在这篇文章里，总是假设u ，v 为这样的光滑解 现在讨论方程组( 2 1 ) 的整体解存在性，下面给出本章的主要结果： 定理2 1 在方程组( 2 1 ) 中，假设条件( 2 2 ) 成立，当佗= 3 时，若历，倪 之间满足关系t 岛；( 卢。+ 1 )其中。 i 1 曲临；+ 赤一 ( 2 3 ) 则方程组( 2 1 ) 存在唯一的整体解( u ( z ，) ， ( z ，t ) ) c 2 + a , l + ( 豆( 0 ，o 。) ) c 2 + o , 1 + ( 豆x ( 0 ，o 。) ) 注：当卢l = 1 时，则& 满足0 如 0 时，包含了岛风= 1 的情形 6 h 晚 嚣惦 宅：吩 州 o “ 砷篓南毗仇盟鼽叭 第2 章 带文错扩散项1 3 1 1 的拟线性抛物方程组的整体解存在性 定理2 2 在方程组( 21 ) 中，假设条件( 2 2 ) 成立，对任意维的情形，若 岛，胁之间满足关系： 岛s b 删其中。 ； 嘶 嵩 则方程组( 2 1 ) 存在唯一的整体解( “p ，t ) ，v ( x ，o ) ) c 2 + a , 1 + ( 孬( 0 ，o 。) ) c 2 + a , l + 2 ( _ ( 0 ，o o ) ) 注t 当卢l = 1 时，则侥满足 。 0 ，设( 也，) 为( 2 1 ) 的难- - n 部解，有下列估计成立即可 t ( ，洲哪( n ) ，( ，t ) l l w ；( n ) e ( t ) ( | p n ) ，v t ( o ，t ) ( 2 5 ) 实际上在本文中我们得到了比( 2 5 ) 更强的估计： 对于任意固定的t o ，有； 愀。删i c l + a , 半( 再。( 。，别t t ) l l g 一半( 瓦。( 。，r 】) 0 ( 26 ) 2 1 预备引理 首先给出抛物方程里非常重要的弱极值原理： 令l u = 让t 一a i i ( z ，t ) u 粕q + 玩0 ，t ) “我+ c ( $ ，t ) u ， 引理2 1 1 ( 弱极值原理) 设正m ( 0 ，o o ) ，0 4 ：i ，氏，c g ( 国t ) ，a i j = a j i ( 1 冬t ，j 礼) 且a o - ( x ，t ) 6 6 m 婶( ( z ，t ) 锄，w 胛) 进 一步假设c ( x ，t ) 0 ( ( z ，t ) 国丁) ，若让c 2 , 1 ( 国t ) 满足t fl u 0 ( o ) ， 【舞( z ，t ) = 0 ，( z ，t ) s r 7 曲 赫熹 首都师范大学硬士学位论文：生物竞争模型中的一兴交错扩散型方程组的整体解存在性 则； m a xt 工m a x o ，u o ( z ) ) ( m i nu m i n o ，御o ( z ) ) ) 注：若没有c ( z ，t ) 0 的条件，其余条件不变，则相应的结论变为 m a xu5 m a x o ，钍o ( z ) e l l t ( m i n 珏m i n o ，”。( ) e i 。t ) 证明略，参见 3 引理2 1 2 设( t ( 茁，t ) ， ( z ，t ) ) 为方程组( 2 1 ) 的解，若条件( 2 2 ) 成立 则对干任意n l ，有 u ，t ) 。，。s ” ，) 岛= m a x l l v o ( 茁) i f c 。( n )镅) v t o ( 211 ) 以及对于任意给定的t o ， z 1 + l ( 州脚矧t ) ( 2 m ) 证明：首先证明“扛，如u ( 。，t ) o 用反证法，假设3 ( x o ，t o ) q r ，s t u ( x o ，t o ) 0 或v ( x o ，t o ) 0 对于u t ，u ) ，定义咒垒s u p s 【0 ，卸：u ( 正，t ) 0 ，( 石，t ) 瓯) 由u ( z ，o ) ，u ( z ，0 ) 0 ，。岔知，& 定义的合理性 下砸不妨设文s 由开始的假设知： 0 ，s t n 【咒，& + lc 百j 且 d 1 + 。l l “ ，s ) + 0 1 2 u ( z ，s ) i d l ，0 ，s ) 彘【鼠，鼠+ 】 这样，我们找到一元素( z ，s ) 矗吼，& + e 】，由瓯的定义知： u ( z ，s ) o 。 最后证明( 2 ，1 2 ) 式 在( 2 1 ) 的u 的方程两边在q 上积分得； 丢z u 如 由h 6 1 d e r 不等式知： i f l u 如( ) 南( 上t 妇) 鼎 f u z l + l d x 。 在( 2 1 4 ) 式两边从【0 ，t 】积分得t z t 上u t “出出去( 。z 7 上u 如一上u c z ，t ，出+ 上u 。c 。，a z ) g ( 刁 9 42 妞 俨 m q 扩 。一，厶 扩 “ “ 一 一 z 印 州 畎，厶 z m | i 一 首都师范大学硕士学位论文：生物竞争模型中的一类交错扩散型方程组的整体解存在性 即证得( 21 2 ) 式 引理2 1 3 设n 为舻中一有界区域且a q g 2 ，记q t = q ( 0 ，t ) n 2 ，若“峨2 ( q r ) ，m 1 ，下面的嵌入定理成立 ( i ) l | v 钍j j k ( q ，) c | j uj j 咄。( 印，) ，其中1 q 也n + 2 业- - r n ， 当m n + 2 时， ( i i ) l l v u l l l 。( 口r ) c l l , , l l w 刍。( 如) ， 其中1 q 。) ( 2 2 1 ) 贝1 j i l u ( 。，。) i l l 学( 口r ) g 吼n ( 2 - 2 _ 2 ) 证明： 令 ( z ，) = u ；+ 1 ( 。，t ) ，则( 2 2 1 ) 变为 e s s 。器上”掣( 鼠t ) 如+ f 矛z r 上i v ”( 茹瑚l 。d z 如s g ( s ，t ) ( 2 2 3 ) 在( 2 1 8 ) 中取m = 2 ，p = 呈【曼8 + 业2 ，佗= 3 ，贝榭于g ! 垒8 + 业2 ，我们有 i l w l l l , ( n ) - - c ( 酬良i i 圳。1 - - 掣e 。_ i i i i c 掣) ， 其中 口= ( 揣一百1 ) ( 元1 一互1 + 满) 首都师范大学硕士学位论文：生物竞争模型中的一类交错扩散型方程组的整体解存在性 则对于任何r 1 ，以及刿s + 2 o ， 6 ) 所以由( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 可以推出 1 1 wj l ! , , ，( 口，) 冬 2 c e s s 0 t s u p t l l t l ，1 1 乏( 埘惭+ g ( s ，q ) l n l t c 1 e s ss u pm l 2 “+ 。1 ( n ) 4 - c ll i v i i l 2 ( 口r ) + c ( s ，q ) l q l t 0 t t ；旷 e l e s 8 0 2 ( z ，圳。望蝉( q ，) c 。( s ，i q i ，t ) 可i j 可 ( 。圳学( q r ) ! c ( s ，m t ) 引理2 2 1 得证 引理2 2 2 对于任意固定的t 0 ，有下面的估计成立 审 睢。( o ，) c ( t )( 2 2 8 ) 证明： 在方程组( 2 1 ) 中u 的方程两端同乘以u 5 ( 。，t ) ( s o ) ，并在 q 0 ( 0 ，列) 上积分得； 南上扩k 出一击上舻k 肛一以。1 ( d l + 2 c r n u + c q 2 v ) ) w 1 2 出出一o f n a l 2 s u s v u v v 如出+ o z ( a l - - b l u i - c l v n ，如出 所以有 s + 1 _ l 上u h l ( z ，t ) 出+ 5 4 + s d 。1 ) 。t ，f 。上i v u 半阳。出+ 2 n - ，s z 上u 叫v 砰d z 出 n ：sz f u v u v v d x d t + o2 - ：u 5 + 1 c n t a - t t 一一一c 。”，a z 出 1， + 南上”批z ) 如 ( 2 舢) ( 2 2 9 ) 式右端第一项： z f n u 。v u v v 如d t _ c h 2 s f o 一v u h v ”i d x d t 首都师范大学硕士学位论文z 生物竞争模型中的一类交错扩散型方程组的整体解存在性 n 。s ( o ：u s l v u i 。d z a t ) 5 ( o ：u s i v ”i 。a z a t ) 5 。“9 兰8 9 “。“9 e(u5ivuj0 j1 2 d z 出+ c ：j ，0 j ( “3 i v ”1 2 d z d t ( 。z 。) nn ( 2 2 9 ) 式右端第二项t l f 2 上矿“c 。，- b l u - c l v 4 ) d x d t _ a l o2 正u s + l d x d t - b l o 。上u ”2 如眦 。 z 上( u 州) 帮出出 澎 z 。上t 钟出a 1 南一a 。z 上u n z 如出 y “9 ln”uality口ts厂(u$+2dzdt+alc：lqrl一。oj0jj 0 j ( u 5 + 2 出d tnn g ( t ) ( 取充分小) ( 2 2 9 ) 式右端第三项： 上蚶b ) 出孙t ) ( 22 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 在( 2 2 1 0 ) 式中取e = 0 e 1 1 8 ，并将( 2 2 1 0 ) ，( 2 2 1 1 ) ，( 2 2 1 2 ) 代入到( 2 2 9 ) 式 得： 南z 扩坳妇+ 器o z i v 牡郜如出怕，s z 加v u l 2 出出 g 肌叫v 卯出d r + c ( 丁) 即： 伽。器五乜州岫+ 等z t 上i v u 钾出d t + a l l s ( s + ) o r 加v 砰捌z 3 i，七 丁 ，i g+d嚣d 2 ”v， ，厶 丁 g 。 3 02 l 弓一i j ( 卢+ 1 ) o 则有 z 7 上铲( 州) l v 巾 t ) 巩妒( 州川志刈v 巾l l 毡 = m 曩0 1 i t , + 1 | l v a ( z ，筇f f 警 c ( s o ，r ) 把上式代入到( 2 2 1 3 ) 中得； 。器p + 1 ( 州) 出o 1 1 s 0 + 1 ) r 1p i v u l 2 d x d t c jj oj ( s 0 ，t ) 0 t 。 ( 2 。川) 首都师范大学硕士学位论文：生物竞争模型中的一类交错扩散型方程组的整体解存在性 由。 萼)9 0 2 1 矿口0 1 f 狲 t j 由( 2 2 1 4 ) 知； 扩2 ( z ，t ) l q o ( 0 t ) 再根据”的方程，由w ：，2 ( q r ) 估计知： 再由引理21 3 知 u 儡1 , 2 ( 国) v ”l 魏( q r ) ， ( 当卯5 时) 所以 l v v l 2 工蛐( q t ) ( 5 一q o ) 而习当面的共轭指标为葡禺 。 在( 2 2 1 3 ) 式中取8 = 8 1 满足： 5 q o5 s o + 8 乱莉2 丁 即 则有 s t = ( 百7 一一2 ) 丁5 s o + 8 q o o 5 1 。i 百一一丁 z ? p 圳v 巾岫忖( x , t ) 0 羔慨( z 删k 5 - q nt 口0 - l u = z ，t ) l l 懿i i v v ( = ，圳量址 ； 3 一蜘 5e ( s 1 ，t ) 第2 章带交错扩散项0 1 1 的拟线性抛物方程组的整体解存在性 把上式代入到( 2 2 1 3 ) 中得 一。翼(u“+1(州)dx+otll81(s1+1)，7上e。1witjj 0 2 捌t g ( s l ，t ) 0 ( n 根据引理2 2 1 知： “( z ，t ) l 学( q t ) s - = ( ；一三) 芋 协z 由。 0 令 驴等，( 驴舶e 萼) m 2 1 矿i 仂 舶孙 了 由( 2 2 1 5 ) 知： u 8 2 ( z ，t ) l q l ( q t ) 同样根据”的方程，由w g 2 ( q r ) 估计知： 再由引理2 1 3 知 w 馈2 ( q r ) v 。l 器( 骗) ， ( 当口ls5 时) 8 一 m 一一o 妇一 曲 8 一 乱 +一3 妇一 首都师范大学硕士学位论文：生物竞争模型中的一类交错扩散型方程组的整体解存在性 所以 i v 1 2 l 捣( q t ) 而可 两的共轭指标为丽暑 。 在( 2 2 1 3 ) 式中取s = 8 2 满足： 5 q x5 8 1 + 8 却丽= 面2 丁 即 驴( ；一丢) 竽 一直递推下去，令 5 s i n + 8 2 百 则得到一数列 5 。 满足递推关系： s 州= ( i 7 一i 2 ) 丁5 s i n + 8 由s l 8 0 0 知 = 亏7 s m 十五5 6 2 成2 亏8 m 十五一2 成 s m + l s m 0 ，( v m n ) ( 2 2 1 6 ) 所以数列 s 。 的步长 s 。+ - 一s 。= 吾4 s 。+ 巧5 6 2 岛；s 。+ 而5 6 2 屁 o ，( v m v ) 所以有 2 m o ， s t q m o 5 此时， ( z ，t ) w 。1 , 2 。( q t ) 1 8 第2 章带交错扩散项a 1 1 的拟线性抛物方程组的整体解存在性 由引理2 13 知 v v ( x ，t ) l 。( q r ) 引理2 2 2 得证 引理2 2 3 v s 0 ，对于任意固定的t 0 ，方程组( 2 1 ) 的解u ( z ，t ) 满足： u ( z ，t ) l 5 必3 1 ( q t ) ( 2 2 1 7 ) 证明：由( 2 2 1 3 ) 知，v s 0 ，有 e 船。：器上矿“( z 一如+ 当鲁z 1 m + 1 1 2 出出 g z t z u 8 i v 卵出d t + c ( t )oj n 怛量”e ( s ，丁) i t ，u 。( z ，t ) d x d t + g ( s ，丁) 令u ( 。，t ) = u 2 ( z ，t ) ，则上式变为 ，。) 。t ) g ( s ，丁) m 为。) i l 薯( + c ( s ，t ) s ”c ，扛，t ) l l 琵( 口，) + g a s ，) 取e = ，得到： w ( x ，t ) ( q t ) l 工单( q r ) 所以有 u ( x ，t ) l 删( ) ，( v s 0 ) d 引理2 2 3 得证 由( 2 2 1 7 ) 知： “m ( z ，t ) 哦， 3 几 再由叼2 ( q r ) 估计得： ( z ，) w 臻，) ( q t ) 1 瓯r 1 9 ( v s 0 ) ( v s 0 ) 堕塑堕苎盔堂堡主兰垡鎏壅：皇塑童璺壅型主塑二耋奎壁芏墼型查墨望塑墨笪竖型 由嵌入引理2 1 3 知： 口( z ，t ) c 1 + “，1 笋( 豆( o ，丁 ) ， a 0 ，( 只要s 充分大) ( 2 21 8 ) 将方程组( 2 1 ) 中u 的方程写成线性抛物方程的形式： 警= 赛毒( g 水，t ，去u ) + 蚤3 瓦0 池m 叫州，“c 2 | 2 1 9 ， 其中 a i j ( z ，t ) = ( d l + 2 g l l t t + a i 2 v ) 6 q ， 北t ) = m z