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曲阜师范大学硕士学位论文 离散风险模型的破产问题 摘要 本文考虑了几种离散的风险模型以前有关离散风险模型中的保费收入 是随机的，但是在现实生活中，保险公司收取保费一般都是定期收取( 比如 说按月或年收取) ，本文讨论了保险公司按照单位时间随机收取保费的二项风 险模型和负二项风险模型，得到了它们的破产概率及其上界，破产前瞬间盈 余的分布，破产持续时间的分布和破产概率满足的积分方程 根据内容本文共分为以下四章； 。 第一章主要介绍了风险理论研究的历史及其发展过程、本文研究的对象 和得到的主要结果 第二章主要介绍了二项风险模型的性质，模型的破产概率及其证明对 于模型 n( n ) u ( n ) = u + 置一k ， i = ii = i 在具有独立性的假设条件下，它具有平稳独立增量性， e 【u ( n ) 】= t 工+ n l 卫x n p t y ，桌恐u ( 仃) = + ， e 【e 一u ( n ) 1 = e - r u ( a 奴( 一r ) ) n ( p m v ( r ) + q ) n ， 且方程n i x ( 一r ) ( p m v ( r ) + g ) = 1 存在正解r = r ，并称此正解r 为调节系数 在这些性质下，我们得到了模型的破产概率 4 一r u 皿( t | ) = e e x p ( - r 二u ( t ) ) t 一c ) o 及其上界 皿( t ) u n 圣n ( u ) = p ( 亍( t i ) = n ) = 叫n ( 牡) q 七( 也) k - - 1 破产概率所满足的积分方程： ，0 0 皿扎+ l ( u ) = ( p f x ( y t 1 ) + q f x ( 一u ) ) d f v ( y ) - ，0 + z z e u 吲u tx - - d f x ( z ) d f e f f ) d f y ( y ) ， 其中国1 ( u ) = 正产( p f x ( y 一钍) + q f x ( 一u ) ) d f y ( y ) 第四章主要介绍了负二项风险模型的性质，模型的破产概率及其证明 对于模型 n( n ) u ( n ) = u + 蜀一k ， i = li = 1 在具有独立性的假设条件下，它具有平稳独立增量性， 引u ( n ) 】- = u + n p x 一万n q p y ，n 1 + i m 。u ( n ) = + o o ， 且方程m x ( - r ) l _ qp m y ( r ) 。= 1 存在正解r = r ，并称此正解r 为调节系数在 这些性质下，我们得到了模型的破产概率 m ( u ) = e e x p ( - r 二u ( t ) ) t 一c 。 p 一舭 、几 z f 仉 ，ijf、【 i l 沁 讯 m 布 危 分的问- f l 口u 续持破 曲阜师范大学硕士学位论文 及其上界 皿( u ) e 一肌， 并进行了证明 关键词：二项风险模型；调节系数；破产概率；负二项风险模型；破产前 盈余分布；破产持续时间分布 1 1 1 a b s tr a c t b a s e do nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，t h ep a p e rd i s c u s s e ss e v e r a ld i s c r e r e - t i m er i s km o d e l s t h e s em o d e l sa s s u m et h a tt h ea m o u n t so fp r e m i u mi ne v e r y p e r i o d sa r er a n d o ma n dt h ec l a i ms e q u e n c ei sab i n o m i a lp r o c e s so rn e g a t i v e b i n o m i a lp r o c e s s t h e nw eo b t a i nt h e i rp r o p e r t i e so fs u r p l u sa n dt h ef o r m u l a o ft h er u i np r o b a b i l i t yw i t ht w ok i n d so fm e t h o d s w ea l s oo b t a i nl u n d b e r g i n e q u a l i t yo fr u i np r o b a b i l i t ya n dt h ed i s t r i b u t i o no ft h es u r p l u si m m e d i a t e l v b e f o r er u i na n dt h et i m ei nt h er e d t h et h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： i nc h a p t e r1 ，i nt h i sc h a p t e r ，t h eh i s t o r ya n dd e v e l o p i n gp r o c e s so fr i s k t h e o r ya r ed i s c u s s e d t h e nt h ec o n c l u s i o no ft h i sp a p e ri sg i v e n i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ed i s c r e t eb i n o m i a lr i s km o d e l ： ，l n c n l u ( n ) = u + 五一m t = l i = 1 w 色g e ti t sp r o p e r t i e sa n dr u i np r o b a b i l i t y t h ep r o p e r t i e sa r ea sf o l l o w s ：t h e p r o c e s si sw i t hs t a t i o n a r ya n di n d e p e n d e n ti n c r e m e n t s ， e u ( 佗) 】= u + n p x 一即弘y ，l i mv ( n ) = + ， n - 4 e e r n 】= e - r u ( 朋k ( 一r ) ) 几( p m y ( r ) + 口) n ， t h ee q u a t i o nm x ( - r ) ( p m y ( r ) + q ) = 1h a sas o l u t i o nr =ra n dw ec a l lt h i s s o l u t i o na d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t t h e nw eg e tt h et h e o r e mo f 皿( u ) a n dl u n d b e r gi n e q u a l i t y e 一舰 e e x p ( 一r u ( t ) ) i t o 。】 霍( u ) 让 t h ed i s t r i b u t i o no ft h et i m ei nt h er e di sg o t t e n ： c n ( 钆) = p ( 亍( u ) = n ) = 叫n ( 让) q 七( u ) 七= 1 t h ei n t e g r a t i o ne q u a t i o no fr u i np r o b a b i l i t yi sg i v e n ： ， 皿n + 1 ( u ) = ( p f x ( y u ) + q f x ( 一u ) ) d f y ( y ) ，0 + z z e u 姒u + x - - 刚蚓州删f y ( y ) ， 其中皿l ( u ) = f ( p r x ( y u ) + q f x ( 一u ) ) d f v ( y ) i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h ed i s c r e t en e g a t i v eb i n o m i a lr i s km o d e l ： u ( 佗) nv ( n ) = u + x 一k 一 j i = 1 i = 1 t h e nw eg e ti t sp r o p e r t i e sa n dr u i np r o b a b i l i t y t h ep r o p e r t i e sa r ea sf o l l o w s ： t h ep r o c e s si sw i t hs t a t i o n a r ya n di n d e p e n d e n ti n c r e m e n t s ，e 【c 厂( n ) 】= u + n p x 一警p y ，l i m n - - l , u ( n ) = + 。o ，t h ee q u a t i 。nm x ( 一r ) r 柄。1 h a sa s o l u t i o nr = ra n dw ec a l lt h i ss o l u t i o na sa d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t t h e nw e g e tt h et h e o r e mo f 皿( t 工) = e r u 碌动( 一r ，( 丁) ) i 丁 】 a n dl u n d b e r gi n e q u a l i t y 皿( u ) e - 如 k e y w o r d s ：b i n o m i a lr i s km o d e l ；a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ；r u i np r o b a b i l i t y ； n e g a t i v eb i n o m i a lr i s km o d e l ；d i s t r i b u t i o no ft h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r e r u i n ；d i s t r i b u t i o no ft h et i m ei nt h er e d u 1 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文离散风险模型的破产概率， 是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作 所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成 果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方 式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：王常列 日期：獬伫6 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 离散风险模型的破产概率系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期 间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学 所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师 范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论 文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学， 可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内 容 作者签名：墨幸舢 日期：h 够钽f 导师懿蟊幺竿醐渤嘭咖 第一章绪论 风险理论是保险数学的一个重要研究内容，而破产理论则是风险理论 的核心部分破产理论的研究起源于瑞典数学家f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年 的论文a p p r o x i m e r a df r a m s t a l l n i n ga vs a n n o l i k h e t s f u n k t i o n e n 在这篇 论文中，提出了一类重要的随机过程，即p o i s s o n 过程虽然他的工作并不 符合现代数学的标准，但他已经开创了数学的一个重要分支，在随后的时间 里，以c r a m e r h 为首的瑞典学派将其严格化，使该理论立足于坚实的数学 基础之上与此同时，c r a m e r 发展了严格的随机过程理论，学术界已公认： l u n d b e r g 与c r a m e r 创立了经典破产论实践证明：破产论的研究既有其实 际的应用背景，也有其概率论上的研究发展需要 在现实生活中，对我们大多数人来说，有些影响某个事件的诸要素间的 关系是不确定的，而且仅能运用概率的术语来刻画，在这一随机的范围内， 风险是关键的概念风险论发展至今已有很长的历史，并且有一个狭义的精 确的定义，即：风险论是用以设计，管理与规范一个风险企业的诸相关思想 的综合而一个具有风险的企业是以这样的事实为其特征的：即在其正常运 作的会计核算周期内，开销也许会超出收入尽管大多数对风险论作出贡献 的人把保险公司视为风险企业的主要例子，但稍作修整此理论也可以用于其 他类型的操作 由于经典风险模型具有很好的性质，所以被深入而广泛地讨论和研究， g e r b e r 和s h i u 对经典风险模型做了详尽的研究在g e r b e r ( 1 9 7 9 ) ；g e r b e r ， s h i u ( 1 9 9 8 ) 中研究了破产时、破产前瞬时盈余、破产时的赤字的联合分布，并 证明了罚金折现函数满足一瑕疵更新方程d u f r e s n e ，g e r b e r ( 1 9 9 1 ) 对破产 概率进行了详尽的研究，得出了破产概率满足的更新方程然而其完美的性质 正是现实情况所难以具备的，为此有许多人对经典模型进行改进，考虑加入常 利率、随机利率、干扰等，由此得出一系列新的模型并进行了研究，如d i c k s o n ， d r i c k i c ( 2 0 0 4 ) ；l e d ，m i n k o v a ( 2 0 0 4 ) ；g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 3 ) ；g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 3 a ， 2 0 0 3 b ) ；c a i ，y a n g ( 2 0 0 5 ) ；g e r b e r ，l a n d r y ( 1 9 9 8 ) ；l i n ，w i l l m o t ( 1 9 9 9 ) 等 经典的p o i s s o n 风险模型很多问题都已解决，离散的风险模型正在成为 风险理论的一个研究的热点g e r b e r ( 1 9 8 8 ) ，s h i u ( 1 9 8 9 ) 研究了复合二项过 第一章绪论 程；w i l l m o t ( 1 9 9 3 ) 研究了复合二项模型的破产概率；c h e n g ，w u ( 1 9 9 9 ) 一 种离散风险模型的生存概率；c h e n g ，g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 0 ) 研究了复合二项过 程的破产理论；l i u ，z h a o ( 2 0 0 7 ) 研究了复合二项模型中的一些联合分布； 成世学( 2 0 0 2 ) 对破产论的研究方法进行了综述；孙立娟，顾岚( 2 0 0 2 ) ，龚日 朝，杨向群( 2 0 0 1 ) ，高明美，赵明清，王建新( 2 0 0 4 ) ，赵飞，王汉兴( 2 0 0 4 ) ， 唐国强( 2 0 0 6 ) ，刘东海，彭丹，刘再明( 2 0 0 7 ) 对二项过程进行了研究；花春 荣，王过京( 2 0 0 5 ) 对两类风险过程的破产概率进行了比较；龚日朝，邹捷 中( 2 0 0 7 a ，2 0 0 7 b ) 得到了复合二项风险模型的g e r b e r - s h i u 折现惩罚函数和 p k 公式；高明美，赵明清( 2 0 0 6 ) ，彭丹，刘东海，刘再明( 2 0 0 7 ) ，陈国松， 赵培臣( 2 0 0 7 ) 对负二项风险模型进行了研究 在上述文章的基础上，考虑到在现实生活中保险公司收取保费一般都是 定期收取( 比如说按月或年收取) ，本文就讨论了保险公司按照单位时间随机 收取保费的二项风险模型，得到了二项风险模型的破产概率、破产前盈余、 破产持续时间所满足的公式，还得到了负二项风险模型的破产概率的上界 2 第二章二项风险模型的破产概率 2 1 引言 在保险风险理论研究中经典风险模型是一类最简单最重要的例子，事实 上，许多不同的重要风险模型都可以看作它的泛函或某种意义下的推广， 然而它又是迄今我们研究得最多，了解得最清楚，性质最丰富的随机过程之 一按照收取保费的方式可以把风险模型分为离散模型和连续模型两种，讨 论最多的连续时间模型是复合p o i s s i o n 模型，讨论最多的离散时间模型是复 合二项风险模型在这一章我们讨论了二项风险过程盈余的性质，给出关于 破产概率的一个定理，得到破产概率的一个上界 2 2 模型的引人 设保险公司在时刻n ( n z + ) 的盈余为 ( 2 2 1 ) 其中u 是初始资本，五表示在时刻i 的保费收入；k 表示第i 次索赔额； n ( n ) 表示至时刻n 为止发生的索赔次数 对上述模型给出如下假设： ( 1 ) 设 五：i 1 ) 是恒正的独立同分布的随机变量序列记 取( z ) = p ( x l z ) ，v x 0 ， 舻驯= z 蛾 o o ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 ) 设( m ：i 1 ) 是恒正的独立同分布的随机变量序列，且它与随机变 量序列 x i ：i 1 ) 和 ( n ) ：n z + ) 都独立记 r ( z ) = p ( m 。) ，v x 0 ( 2 2 4 ) 3 k 甜 一 墨 住汹 +让 i i u 第二章 二项风险模型的破产概率 肿= e l y , 】= x d f y ( x ) 0 ，使得 m x ( r ) = e e 以】_ e 7 z d f x ( x ) ， - ，0 p o o m y ( r ) = e e r y 】= e 他d f v ( x ) 0 0 - ，0 矩母函数存在的区间为( 一o o ，) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 2 3 模型的性质 性质1 盈余序列 v ( n ) ：n z + ) 具有平稳独立增量性 证明对n o n l n 2 p # y 性质3 l i m n 一。v ( n ) = + o 。 5 ( 2 3 2 ) 口 4 m v m n s一 + m nc ，)x 一 第二章二项风险模型的破产概率 其中 l i r a n - - 4 o o 所以 即 证明由大数定律可得 = l i m n + = l i m n - ) 0 0 = l i m n - - 4 0 0 = l i m n - + 0 0 = l i m n - - 4 0 0 让+ 坠l 五一磐m 竺。五 n ：，五 亿 ：。x l i m 行- - ) 一l i m n - - + 1 i m n 一l i m ，l f ny 厶i = 1 。o l ：1n ( i ) 一n ( i 一1 ) 磐k e 【x l 】= p x ， 2 肛y ， = e n ( i ) - n ( i 一1 ) 】= e n ( 1 ) - n ( o ) 】- p 1 i m 掣：纵一脚 o ， n - - o o n l i mu ( n ) = + o o n o o ( 2 3 3 ) 口 不过，这并不排除在某一时间或一段时间，盈余过程可能为负值，这时 称保险公司破产以下恒记t 为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时， 即令 + t = i n f n ：u ( n ) o ) ，i n f q ) ：( 3 0 令( u ) = p ( t 0 ，有 e 【e r u ( n 】= e 【e 印( 一7 u ( n ) ) l 丁 n i p 让( t n ) + e e z p ( 一7 u ( 礼) ) i 丁n i p u ( 丁竹) 其中 e e x p ( - r u ( n ) ) l t 礼】尸让( 丁 扎) = e e x p ( - r ( u ( n ) + u ( t ) 一( 礼) ) ) t n p 让( 丁 = e e x p ( 一r u ( t ) ) e z p ( 一，( u ( n ) 一u ( t ) ) ) l ? n i p 让( t 仃) = e e x p ( - r u ( t ) ) e z p ( - r 墨) e z p ( r ( s ( n ) 一s ( 丁) ) l 丁 n i p 缸( 丁 n ) i = 丁+ 1 = e e x p ( - r u ( t ) ) ( m x ( 一r ) ( p m r ( r ) + g ) ) n - t i t n 】p “( 丁 佗) ( 2 4 - 2 ) 选取r = r ，则上式变为 e e x p ( - r u ( t ) ) i t n i p u ( ? n ) 所以有 e - 舰= e e x p ( - r u ( t ) ) i t 川p u ( 丁 n ) + e e z p ( 一r u ( n ) ) i t n i p u ( r 礼) ( 2 4 3 ) 令礼一o 。，则式( 2 4 3 ) 右边第一顼变为 e e x p ( - r u ( t ) ) i t 0 ，考察人= 珏+ n o t 一肋若n 充分大，则a 是正的，且有仃- o 。 时a - - + o o 又有 e 【e z p ( 一冗u ( n ) ) i t a l p 钍( t n ) = e 【e z p ( 一兄u ( n ) ) l 丁n ，0 v ( n ) a i r 让( 丁n ，0 u ( n ) 人) + e e x p ( - r u ( n ) ) t r t ，u ( 佗) a i r u ( 丁n ，u ( n ) a ) p 仙( 0 u ( n ) a ) + e - r a ， 由车贝晓夫不等式得 p ( o v ( n ) a ) = p u ( o v ( n ) se 【u ( n ) 】一n 声) p ( i u ( n ) 一e ( 佗) 】i 扎声) v a r u ( n ) 1 9 2 n 一；= o f f ； 于是当扎_ 时上式趋于零，因此又有 e ( e z p ( 一r u ( n ) ) l 丁礼】p 让( t 扎) 0 ，( f l , 。) 所以有 皿( 乱) 2 环顽乏硫丽 推论 皿( 珏) e - 舭 证明当t 时有u ( t ) 0 ，因此 e 【e z p ( 一兄( 丁) ) l t l ， 9 q 勘 口 4 4 q 第二章二项风险模型的破产概率 则由定理得 皿( u ) e - 肌 2 5 另一种证明 ( 2 4 6 ) 口 本小节用鞅的方法再给出该定理的另一个证明，为此先介绍一些有关鞅 的概念和知识 ( f i m a ( 1 9 9 8 ) ，r o s s ( 1 9 9 7 ) ) 定义2 5 1称随机过程 x ( 死) ：礼o ) 为一鞅，若有 ( 1 ) e i x ( n ) l 】 o o ， v n o ； ( 2 ) 对0 m 礼，恒有e x ( n ) i x ( r ) ：r m 】= x ( m ) 定义2 5 2称非负随机变量7 - 是关于随机过程 x ( n ) ：n o ) 的停 时，若对一切佗0 ， t n ) 盯 x ( m ) ：m 礼) ；( 2 5 1 ) 其中仃 x ( m ) ：m n 表示包括一切形如 x ( m ) 墨z ) ( m n ，z r ) 的事 件的最小盯一代数 引理2 5 1( 可选抽样定理)假设丁是关于鞅 x ( n ) ：佗o ) 的有界 停时，则有 一 e 【x ( 丁) 】= e 【x ( o ) ( 2 5 2 ) 引理2 5 2( 收敛定理)设 x ( 竹) ：n o 】是一非负鞅，则存在几乎 处处收敛的有限极限，即有 l i mx ( 礼) = x ( o o ) n ) = 【x ( t ) l tsn i p u ( t n ) + e x ( n ) i t n i p u ( t n ) ( 2 5 5 ) 注意到当仃 t 时，v ( n ) 0 ，从而x ( n ) = e - r u ( n 1 这样，在上式两端令n _ ，由单调收敛定理与勒贝格控制收敛定理即得， e - 舭= e x ( t ) i t 】p ( t 0 0 ) + e x ( o o ) l t = o o p 牡( t = o o ) ( 2 5 6 ) 由l i m n 一v ( n ) = + o o 知x ( o o ) = o ， 我们有 e - 肌= e x ( t ) i t o o p u ( 丁 让) 定义 f ( u ，x ) = p ( u ( t 一1 ) x ，t ( u ) 0( 3 1 2 ) 为破产前盈余分布函数 定理2对任意 0 ，破产前盈余分布函数f ( u ，x ) 满足 f ( u ，z ) = 危l ( 钍，z ) + f ( u 一石，z ) d f ( z ) - ，一 其中 h i ( u ，x ) = r - f z ( 巩 h 1 3 z 冬让； z u 第三章二项风险模型的进一步研究 其中f z ( z ) = 1 一兄( z ) 证明f ( u ，x ) 描述了初始资本为u 时破产前瞬时盈余大于x 的概 率，由式( 3 1 2 ) 可得： f ( u ，z ) = n = 1 p ( u ( t 一1 ) z ，t ( 乱) = n ) p ( j s ( n ) 乱，s ( 凡一1 ) 缸，s ( o ) u ，s ( o ) u h 2 ( u ，z ) = 尸( s ( 2 ) 饥，s ( 1 ) u ，z l u ，s ( 2 ) u ，z i + 易 “一名，s ( 1 ) t 王，s ( 竹一1 ) 丁( 乱) ，u ( n ) o ) ( 3 2 1 ) 因此破产持续时间可以定义为 亍c 让，= ：! 牡) 一t ( u ) 丁。珏，! ：_ 。 定理3 对任意让 0 ，破产持续扎期的概率为 n 西札( u ) = 尸( 于( u ) = n ) = 磁n ( 缸) 仇( 让) ， 七= 1 其中q 七( 钍) 由式( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) 给出，m l 几( u ) 由式( 3 2 5 ) ，( 3 2 6 ) ，( 3 2 8 ) 给 出 证明 破产持续一期即f ( u ) = 1 时的概率为， 圣l ( 让) = p ( 于( 牡) = 1 ) = p ( r ( u ) = t ( u ) + 1 ) = p ( 丁( 锃) = k + 1 l t ( 让) = 七) p ( 丁( 让) = 七 七= 1 = p ( u ( 1 ) o ，u ( 2 ) 0 ，u ( k 一1 ) 0 ， ( 3 2 2 ) 七= l u ( k ) 0 ，u ( k + 1 ) o ) p ( t ( u ) = k ) 上式中表示k 时刻破产的概率q 七( u ) 可推导如下， q 1 ( u ) = p ( t ( u ) = 1 ) = p ( z l “) = f z ( u ) ，( 3 2 3 ) 1 6 u 七q u 哦 随 垒一 q 2 ( u ) = p ( t ( u ) = 2 ) = p ( u ( 1 ) 0 ，u ( 2 ) 0 ) - p ( z 1su ，z 1 + z 2 缸) ，_ t = p ( 磊让一z ) d f z ( z ) j o o 厂t = q ( 让一名) d 兄( z ) 由归纳得到，对于七2 有， ，i u q k ( u ) = q k 一1 ( u z ) d f z ( z ) ，一 在式( 3 2 2 ) 中的磁1 ( 钍) 可推导如下， 叫1 ( 心) = p ( u ( 1 ) 牡，z 1 + z 2 牡) p ( z 2 u z ，z 2 + 磊乱一z ) d f z ( z ) 耐1 ( 钍一z ) d f z ( z ) 由归纳得到，对于k 2 有， 磁u ( 让)= r 磁弥飓 这是k 时刻破产且持续一期的概率所以破产且持续一期的概率为， 西，( n ) = p ( f = 1 ) = 磁1 ( 孔) q 七( t i ) 免= l 1 7 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) z z = l l 第三章二项风险模型的进一步研究 同理破产且持续二期的概率为， 圣2 ( 缸) = p ( 亍( 钍) = 2 ) = p ( 7 - ( 珏) = t ( u ) + 2 ) = p ( r ( u ) = k + 2 i t ( u ) = 克) p ( t ( 札) = 七) 七= 1 = p ( u ( j ) o ，u ( 2 ) 0 ，u ( k 一1 ) 0 ，( 3 2 7 ) k = 1 在上式中， u ( k ) 0 ，u ( k + 1 ) 0 ，u ( k + 2 ) o ) p ( t ( u ) = k ) 叫2 ( 让) = 尸( u ( 1 ) t l ，z l + z 2 + 磊u ) ：厂p ( z 2 珏_ z 2 + z 3 t l 一2 ) d f z ( z ) d u 叫2 ( 缸) = 尸( u ( 1 ) 0 ，u ( 2 ) 仳，z 1 + 易+ 历+ 五让) p ( z 2 让一z ，汤+ z 3 u 。一z ，z 2 + 磊+ 五钍一z ) d f z ( z ) m f 2 ) ( 让一z ) d f z ( z ) 由归纳得到，对于k 2 有， ，牡 磁2 ( u ) = 趔型。( 让一z ) d f z ( z ) ，一 这是k 时刻破产且持续二期的概率所以 1 8 一：v0q，：、 偿 m 心 垒一 珏 七q ，= ：、0 动 磁 脯 = 动 = 一rp i i 珏圣 曲阜师范大学硕士学位论文 与前类似有 碰哪( u ) = 磁竺( u z ) d f z ( z ) ( 3 2 8 ) ，一 所以破产且持续n 期的概率为， o o 圣n ( u ) = p ( 亍= 礼) = m n ( 乱) q 七( 钍) ( 3 2 9 ) k = l 综上所述，定理得证 口 3 3 破产概率的积分方程 在这一节我们利用更新迭代技巧得到有限时间内破产概率的递推公式和 终极破产概率满足的积分方程 定义终极破产概率为 ， 皿( 让) = p ( uu ( 七) o ) ( 3 3 1 ) k = l 进一步，设 皿n ( u ) = p ( uu ( 七) + q f x ( - u ) ) d f y ( y ) 证明由备变量的独立性可得， 皿l ( u ) = p ( ( 1 ) 0 ) = p ( u + x l 一l m 0 ) = 尸( x l l m u ) ，o o p ( x l y u ) d 疋( ) d r ( 可) ，0 f o o 。= ( p r x ( y u ) + q f x ( - u ) ) d f y ( y ) ，o 给定x 1 = z ，l = ，i 1 = 可，如果z y 一乱，则 p ( u ( 1 ) 秒一让，则 此时有 p ( u ( 1 ) o l x , = z ，f l = f ，m = 可) = 0 o ) l x , = z ，i = f ，m = y ) = 皿n ( u + z f 可) 故以x l = z ，f l = ，m = 钞为条件可得： 七u n u 脚 p 曲阜师范大学硕士学位论文 皿n + ( u ) = z 0 0i o z 。0p ( 5 ( u ( 七) 。) i x l = x , 6 = , y 1 = y ) d ，x ( z ) d r e ( ) d r ( y ) ，f o o ，e 可一u = 上上上尸( u ( 1 ) o ) l x l 2 z ，l = ，m2y ) d f x ( z ) d 足( ) d r ( 耖) + f o 0 0 。p ( q ( u ( 七) 0 有 p 0 0 皿( 牡) = ( p f x ( y u ) + 口取( , - d f y ( y ) + z z 小u + x - y ) d f x ( x ) 州酬矗4 证明由定理和单调收敛定理，令n _ 即得 2 1 第四章负二项风险模型的破产概率 4 1 引言 上面几部分讨论了离散的二项风险模型，二项风险模型的特点是其理赔 次数的均值大于其方差，特别适用于同性质保单组合的理赔次数模型而当 保单组合的理赔次数观察分布的样本方差大于其均值时，显然用二项风险模 型不再合适，在这一章中研究了离散的负二项风险模型，得到了它的破产概 率 4 2 模型的引人 设保险公司在时刻n ( n z + ) 的盈余为 n ( 扎) u ( n ) = u + 五一m ， ( 4 2 1 ) t = li = l 其中u 是初始资本；五表示在时刻i 的保费收入；m 表示第i 次索赔额； n ( n ) 表示至时刻佗为止发生的索赔次数 对上述模型给出如下假设： ( 1 ) 设 五：i 1 是恒正的独立同分布的随机变量序列。记 取( z ) = p ( x i z ) ，v z 0 ， ， 纵= e l 】9 - x d f x ( z ) o o ( 4 2 2 ) ，0 ( 2 ) 设 k ：i 1 ) 是恒正的独立同分布的随机变量序列，且它与随机变 量序列 五：i 1 ) 和 ( 死) ：礼z + ) 都独立记 r ( z ) = p ( m z ) ，v x 0 ； ，o o 胁= 引m 】= x d f v ( z ) 0 ，使得 ，0 0 m x ( r ) = e e 以】- e w d f x ( x ) o o ， ，0 ， m v ( r ) = e e 】= e r x d f r ( x ) ( 2 0 ( 4 2 4 ) ，o 矩母函数存在的区间为( 一。，) 4 3 模型的性质 性质1盈余序列 u ( n ) ：n z + ) 具有平稳独立增量性 证明对n o n l n 2 ， p 即 p x 里p y ( 4 3 3 ) 性质3 l i m n 。o 。u ( n ) =