（理论物理专业论文）发散圈图的一般参数化与重正化的简单策略.pdf

i y j l l l l l l l f l lyfl7flll4yyllu3llfyyy7frlyl9lli2lyllll d i s s e r t a t i o nf o rm a s t e r sd e g r e e u n i v e r s i t yc o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n tn o ：510 7 0 6 0 2 0 0 6 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y g e n e r a l p a r a m e t r i z a t i o n o f d i v e r g e n t h pd i a g n d p ls t r a t e 9 3f o r l o o p - d i a g r a m s a nas l m p l es t r a t e g yi o r r e n or m a l i z a t i on d e p a r t m e n t ：d e p a r t m e n to fp h y s i c s m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s d i s s e r t a t i o na d v i s e r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o ry a n gj i - f e n g g r a d u a t es t u d e n t ：p a nz h a o - t i n g m a y ，2 0 1 0 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位发散圈图的一般参数化与重正化的简单策略， 是在华东师范大学攻读硕士学位期间，在杨继锋导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期：沁p 年6 月乙日 f蠢 华东师范大学学位论文著作权使用声明 发散圈图的一般参数化与重正化的简单策略系本人在华东师范大学攻读 学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学 所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部 门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版； 允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位 论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题 和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密 学位论宰， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 c 2 不保密，适用上述授权。 导师签名本人签名) 麴乡 ；r 厂、可 本人签名) 型鱼2 c 念j 由年后月舌日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定 过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方 为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此卢明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权) 。 遥虿皇亟学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 剐蚴 砖多穆 垮栅俣戍属 广 主席 -f 渤玩渺瑶蛳南如 0 产 翻湫鸳匆忻撒鸸r洱诤 ， 的成功，都离不开量子规范理论的重正化。在大统一理论以及可能的超对称物理 中，重正化仍然是必不可少的理论程序。 然而传统的重正化程序中，必须采取某种正规化来分离发散，而正规化往往 会破坏场论的对称性或者带来其他无法简单度量的扭曲，有些方法甚至是不自洽 的。到目前为止，没有一种正规化能适用于任何场论中，熟知的正规化都有这样 那样的缺点。正规化步骤的重要性在于分离发散部分，并且极可能保持原始理论 的基本结构或对称性，因此正规化方案必须避免引入认为的对称性破坏或者形 变，并且简单普适，能提供可行的计算。 本文将基于有效场论的思想介绍一种简单的重正化策略，对原始的场论不引 进任何的人为的正规化或者形变，不确定的定域量将代替发散部分。基本的做法 是引入潜在的基本理论作为前提，通过对外动量的微分、积分来完成发散的或者 说数学上无定义的f e y n m a n 积分的计算，结果将是有限的非定域量加上一个不 确定的定域量。通过规范对称性或者其他对称性的w a r d 恒等式对不确定的常数 进行一定的约化，剩余的不确定的常数将通过物理边界条件进行确定。 我们在一圈图水平上对q e d 进行了详细的计算和讨论，具体演示了我们的 新重正化策略。我们的讨论说明，不需要引入特殊正规化，只要承认量子电动力 学是一个有效场论，利用洛伦兹不变性和规范对称性，和少数几个基本的边界条 件，就可以得到完全有限的结果，并且可以看出，传统的方法相当于这样的结果 的复杂( s u b t l e ) 实现。另外，我们也在一圈图水平上计算了最简单的超对称场 论w e s s z u m i n o 模型的两点顶角函数，讨论超对称性w a r d 恒等式和洛伦兹 不变性对相关的不确定常数的约化。通过具体计算我们证明，至少在一圈图水平 上，w e s s z u m i n o 模型可以自洽地重正化，即超对称性在一圈图水平上完全 可以自洽地成立，无需任何特殊的正规化。这是传统的正规化方法做不到的：传 统的方法要么与超对称性冲突( 如广受欢迎的t h o o i l v e l t m a n 维度正规化) ， 要么不自洽( 如维度约化d i m e n s i o n a lr e d u c t i o n ) 。 关键词：重正化，正规化，外动量微分，潜在理论 a b s t r a c t a st h ee s s e n t i a lp r o g r a mf o rd e a l i n gw i t hu l t r a v i o l e td i v e r g e n c e si nq u a n t u mf i e l d t h e o r i e s ，r e n o r m a l i z a t i o ni si n d i s p e n s a b l ei nq u a n t u me l e c t r o d y n a m i c s ( q e d ) t h a th a s b e e nd e e m e da st h em o s tp r e c i s ea n ds u c c e s s f u lf i e l dt h e o r y i ti sa l s oi n d i s p e n s a b l ei n t h es t a n d a r dm o d e lo fp a r t i c l ep h y s i c sa ss u c c e s s f u lq u a n t u mg a u g et h e o r i e s f u r t h e r m o r e ，r e n o r m a l i z a t i o ni sa l s on e e d e di nt h eg r a n du n i f i e dt h e o r i e sa n dt h e p o s s i b l es u p e r - s y m m e t r i cp h y s i c s h o w e v e r , c o n v e n t i o n a lr e n o r m a l i z a t i o np r o g r a m sa l w a y s n e c e s s i t a t e s p e c i f i c r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d st oi s o l a t et h ed i v e r g e n c e s ，w h i c hw o u l di n e v i t a b l yd e s t r o y s o m es y m m e t r i e so ft h eo r i g i n a lt h e o r i e s ，o rb r i n ga b o u ts o m ed e f o r m a t i o n st h a tc o u l d n o tr e a d i l ym e a s u r e d ，s o m em e t h o d se v e na r en o tc o n s i s t e n t a sf a ra sw ek n o w , n o r e g u l a r i z a t i o ni sa p p l i c a b l ei na l lk i n d so ff i e l dt h e o r i e s ，e a c hk n o w nr e g u l a r i z a t i o n h a sc e r t a i ns h o r t c o m i n g sa n df a i l ss o m e w h e r e t h er e a li m p o r t a n c eo far e g u l a r i z a t i o n m e t h o dl i e si nt h ei s o l a t i o no fd i v e r g e n c e si nam a n n e rt h a tm a i n t a i nt h ef u n d a m e n t a l s t r u c t u r e so rs y m m e t r i e so ft h eo r i g i n a lt h e o r ya sf a ra sp o s s i b l e ，s oar e g u l a r i z a t i o n m e t h o dm u s ta v o i dt h ei n t r o d u c t i o no fv i o l a t i o n so fs y m m e t r i e so rd e f o r m a t i o n si n t o t h eo r i g i n a lt h e o r i e s ，a n di ts h o u l da l s ob es i m p l e ，u n i v e r s a l ，a n dc a p a b l eo fp r a c t i c a l c a l c u l a t i o n s i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c eas i m p l es t r a t e g yf o rr e n o r m a l i z a t i o nb a s i n go nt h e e f f e c t i v ef i e l dt h e o r yp h i l o s o p h y , w h i c hi n c o r p o r a t en oa r t i f i c i a lr e g u l a r i z a t i o no r d e f o r m a t i o n s ，a m b i g u o u sl o c a lq u a n t i t i e sw o u l ds h o wu pi np l a c eo fd i v e r g e n c e s t h e e s s e n t i a lp r o c e d u r e so fo u rs t r a t e g ya r e ：w es t a r tw i t hac o m p l e t et h e o r yt h a ti s s u p p o s e dt ob eu n d e r l y i n gt h eq u a n t u mf i e l dt h e o r yi nc o n s i d e r a t i o n ，t h e nw ep e r f o r m d i f f e r e n t i a t i o na n di n t e g r a t i o nw i t hr e s p e c tt oe x t e m a lm o m e n t ao nt h ei l l d e f i n e do r u v d i v e r g e n tf e y n m a ni n t e g r a l st oe v a l u a t et h ed i v e r g e n tf e y n m a na m p l i t u d e s t h e r e s u l t so fs u c ht r e a t m e n t sw o u l db ed e f i n i t en o n l o c a l q u a n t i t i e sp l u s l o c a l a m b i g u i t i e s t h ea m b i g u i t i e sc o u l db ef u r t h e rr e d u c e dt h r o u g hi m p o s i n gg a u g ea n d o r o t h e rs y m m e t r i e s ，w i t ht h er e m a i n i n go n e st ob ef i x e dt h r o u g hc o n f r o n t i n gw i t h p h y s i c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s w ed e m o n s t r a t e do b rn e ws t r a t e g yw i t hq e da to n e - l o o pl e v e l a sw a ss h o w ni no b i d e d u c t i o n s p r o v i d e dq e di st a k e na sa l le f f e c t i v et h e o r y , f i n i t er e s u l t sc o u l db e r e a d i l yo b t a i n e da f t e re x p l o i t i n gl o r e n t za n dg a u g ei n v a r i a n c e sa n di m p o s i n gaf e w e l e m e n t a r yb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，n os p e c i f i cr e g u l a r i z a t i o ni si n t r o d u c e dh e r e i nt h e m e a n t i m e ，i ti se a s yt os e et h a tt h ec o n v e n t i o n a lp r o g r a m sc o u l db ev i e w e d 勰s u b t l e m e a n sf o ro b t a i n i n gs u c hr e s u l t s i na d d i t i o n ，w ea l s oc a l c u l a t e dt h et w o p o i n tv e r t e x f u n c t i o n so ft h ew e s s - z u m i n om o d e la st h es i m p l e s ts u p e r - s y m m e t r i cf i e l dt h e o r ya t o n e l o o pl e v e l ，w i t hw h i c hw ed i s c u s s e dt h er e d u c t i o no ft h ea m b i g u i t i e sd u et o s u p e r - s y m m e t r i c w a r di d e n t i t i e sa n dl o r e n t z i n v a r i a n c e t h r o u g h c o n c r e t e c o m p u t a t i o n ，w es h o w e dt h a ts u p e r - s y m m e t r yc o u l db ec o n s i s t e n t l yi m p o s e do r p r e s e r v e da tl e a s ta to n e - l o o pl e v e lw i t h o u tu s i n ga n ys p e c i f i cr e g u l a r i z a t i o n t h i si sa v i r t u eo fo u ra p p r o a c ht h a ta b s e n ti nt h ec o n v e n t i o n a lp r o g r a m s ：t h e ya r ee i t h e ri n c o n f l i c tw i t h s u p e r - s y m m e t r y ( e g ，t h ep o p u l a r th o o f f - v e l t m a ns c h e m e o f d i m e n s i o n a lr e g u l a r i z a t i o n ) o rn o tc o n s i s t e n t ( e g ，t h ed i m e n s i o n a lr e d u c t i o n ) k e yw o r d s ：r e n o r m a l i z a t i o n ，r e g u l a r i z a t i o n ，d i f f e r e n t i a t i o nw i t hr e s p e c tt o t h e e x t e r n a lm o m e n t u m ，u n d e r l y i n gt h e o r y 2 0 10 届研究生硕士学位论文 目录 第一章绪论1 1 1 重正化的目的和意义2 1 2 重正化可行性3 1 3 传统重正化实现的基本步骤4 1 4 重正化实现存在的困难5 第二章传统正规化方法介绍7 2 1 切断正规化8 2 2p a u l i v i l l a r s 正规化8 2 3d i m e n s i o n a l 正规化9 第三章微分积分重正化方案的介绍12 3 1 微分积分重正化方案介绍和分析12 3 2 微分积分重正化方案具体实施步骤15 第四章q e d 一圈图水平的讨论1 7 4 1q e d 发散的一圈图17 4 2q e d 发散的一圈图的微分方程18 4 3q e d 发散的一圈图的微分方程的解19 4 4 结果的讨论2 1 4 5四光子图的讨论2 3 4 6 消除不确定常数和重正化方案2 5 第五章超对称w e s s z u m i n o 模型一圈图3 0 5 1w e s s z u m i n o 模型的介绍3 1 5 2 带有a ，f 和x 场的两点格林函数w a r d 恒等式3 2 5 3 带有b ，g 和x 场的两点格林函数w a r d 恒等式3 8 第六章工作总结和展望4 5 6 1 工作总结4 5 6 2 进一步工作的展望4 5 参考文献4 6 附录4 8 攻读硕士期间发表的论文5 5 致谢5 6 2 0 1 0 届研究生硕士学位论文 第一章绪论 1 1重正化的目的和意义 量子场论是量子力学和经典场论相结合的物理理论，已被广泛的应用 于凝聚态物理学和粒子物理学中。非相对论性的量子场论主要被应用于凝 聚态物理学，比如描述超导性的b c s 理论。而相对论性的量子场论则是粒 子物理学不可或缺的重要组成部分，多年来是了解微观世界的一种最重要 的工具，在探索粒子物理领域取得了巨大的成就。量子场论为描述多粒子 系统，尤其是包含粒子产生和湮灭过程的系统，提供了有效的描述框架。 其中外尔的规范理论思想得以复活，使得量子场论中的规范场理论作为当 代物理学前沿最为基础部分，和牛顿力学、麦克斯韦电磁理论、狭义相对 论、广义相对论以及量子力学一样，是物理学中最基本的部分。形成了以 y a n g m i l l s 理论为核心的现代规范场论，在此基础上形成了所谓的粒子物理 的标准模型。自然界目前人类所知的四种基本相互作用：强相互作用，电 磁相互作用，弱相互作用，引力作用。其中除去引力作用以外，其它三种 相互作用已经找到了合适满足特定对称性的规范场理论来描述。在研究自 然界四种基本相互作用大统一的启发下，提出了超对称理论。可以说量子 场论在重大的认识论和科学方法论有深刻的意义，是人类认识的精华。 然而，相对论性量子场论不是一个完全协调的理论，因为在计算相对 论量子场任何物理过程时，尽管用微扰论最低级树图近似计算的结果和实 验是近似符合的，但进一步计算高阶修正时，会出现圈图，而很多基本的 圈图的内动量积分是发散的，使得理论计算无从与实验相对比。为了解决发 散积分的问题，量子场论的先驱者f e y n m a n 、d y s o n 、s c h w i n g e r 、t o m o n a g a 等采用了称为“重正化 的步骤，在相对论可观测量中分离出无限的量，并将发 散的量吸收到“裸 量中。( 换句话说，假设开始未重正化的量是合理的，经过 相互作用后，这些发散被消除了，得到了重正化的量) 并且阐述和研究了重正化 的本质和性质，正是由于重正化方法，量子电动力学才成为一门非常精确的量子 理论。并且重正化手段已经成功的运用到其它模型和理论中。现代的重正化理论 并不只是被动地应付发散困难，它还导致重正化群的研究，并通过重正化群方法 给出物理上的新的预言。例如关于渐近自由预言。量子电动力学经过重正化后， 理论计算和实验数据，能精确n d , 数点后十一位才有偏差，这不能说是偶然的。 其中19 6 5 年t o m o n a g a 、s c h w i n g e r 、f e y n m a n 和19 9 9 年th o o f f 和v e l t m a n 2 2 0 1 0 届研究生硕士学位论文 他们因为在重正化的贡献被授予诺贝尔物理学奖。不仅是对他们的科学研究成果 的肯定，也是对重正化的肯定，对重正化的进一步探讨和研究是十分有价值的。 另外，很多以量子场论为基本理论工具的物理领域的研究需要计算大量的高 阶修正，其中发散的出现及其处理都是不可避免的。不同的理论的对称性和相互 作用相差很大，对一种理论使用的方法往往在另外的理论中就不很适用。因而研 究更为有效而普适的发散圈图的处理方法也是量子场论的研究和应用中的重要 课题。 1 2 重正化可行性 早期重正化的方法有f e y n m a n 法，只是对质量这一个参量进行调节，通过 修改传播子，达到消除发散。d y s o n 和s c h w i n g e r 提出了一个稍微不同的方法， 该方法依赖于固有的g r e e n 函数之间的一组积分方程，但是中间步骤中出现了 无穷的相乘的重正化常数，通过归一化等条件不能确定这些常数，达不到重正化 的目的。后来对重正化有突出贡献的还有s a l a m 、w e i n b e r g 、b o g o l i u b o v 和 p a r a s i u k 、h e p p 以及z i m m e r n l a n n 。 w e i n b e r g 证明了只要f e y n m a n 图和它所有子图的发散度是负的，那么这 个f e y n m a n 图将是收敛的。d y s o n 给出了一个保持对称性的一个减除方案，对 f e y n m a n 图进行外动量的微分会使发散圈图的发散度减小，因此在d y s o n 的方 法里将f e y n m a n 图发散部分进行外动量的t a y l o r 展开，展开的幂次由发散子图 的表面发散度决定。其中b o g o l i u b o v - p a r a s i u k - h e p p 分析了f e y n m a n 积分的收 敛和幂次计数法之间的关系，证明了外动量的解析函数的欧式空间的绝对收敛 性，把所有的发散子图减除以后积分将是绝对收敛的。根据这个定理，b o g o l i u b o v 讨论了标量无微商耦合理论的一个递推公式。给出了动量空间了f e y n m a n 图的 被积分式，考虑所有低级抵消项被积式和发散子图抵消项三者之间的递推公式。 后来z i m m e r m a n n 和继他之后的一些科学家，提出了递推公式的一般解，按 z i m m e r n l a n n 的方法，把固有的表面发散子图构成族，定义了重正化部分的一 个树丛，讨论树丛之间的关系，从数学上分析各种情况下子图的关系，给出了递 推公式的明显解，并通过数学归纳的方法将其证明。这样就形成了最为传统的重 正化方法，即b p h z 方法 1 5 】。其中有些共线的相邻的f e y n m a n 圈图并且各个 相邻圈图对应的f e y n m a n 积分都是发散的，这种图形的发散通常称为交缠发散 2 0 0 届研究生硕士学位论文 或交缠无穷大，分离交缠无穷大的过程比较复杂。对这类f e y n m a n 圈图的处理， b p h z 法是层次分明而且数学上较为严格的方法，这些交缠发散部分可以非常好 的被树丛分离。b p h z 方法首先对单圈子图( f e y n m a n 图中的一部分) 的发散 作减除，然后对双圈的发散作减除，依次类推。这样的减除等价于在拉格朗日量 中依次引进能够抵消一圈发散，两圈发散和多圈发散的各抵消项，达到消除发散。 因此b p h z 法是一个非常有效的重正化方法，能保证任何高阶的圈图都是可以 重正化的。将标量无微商耦合的理论推广到非零白旋，有微商的耦合，高维空间 理论中去。th o o f c 和v e l t m a n 及l e e 和z i n n j u s t i n 给出了非阿贝尔规范理论 可重正性的证明。对有静止质量的y a n g m i l l s 场理论以及带电荷的规范粒子的 电磁相互作用理论都可以进行重正化。整个量子规范理论包括电弱理论，量子色 动力学和大统一理论的可重正性都以得到证实。 1 3 传统重正化实现的基本步骤 传统重正化实现的基本步骤有两种做法： 1 ) 第一种传统做法是s c h w i n g e r 和d y s o n 重正化的做法，基本步骤为： 第一步，从拉格朗同量出发，在该拉格朗日量中的一切量都是未重正化的， “裸”的量，它们隐含了发散的量。未重正化的场算符满足正则对易关系，在该 拉格朗日量中出现的耦合常数和质量都称为“裸耦合常数和“裸”质量。根据 拉格朗日量函数，可以构建传播子和相互作用的顶角。该拉格朗日量提供了微扰 展开式的第一个依据。 第二步，从传播子和相互作用的顶角出发，找出在非平庸的最低阶中( 通常 是第一阶或者第二阶) 的f e y n m a n 圈图，计算具有表面发散度大于和等于零的 过程，因为这些过程都是表面发散的。 第三步，分离发散，得到有效部分和发散部分。这个过程作正规化。正规化 的方法有很多，最为常见的有：切断正规化【6 】、p a u l i - v i l l a r s 正规化【7 】、维度正 规化【8 】等等。 第四步，对发散进行减除过程，这种减除通常是加进抵消项并且抵消项和场 隐含的结构和系数有着一定的相似性。减除的方案通常有：( 1 ) 欧氏动量空间 减除。这个程序简称为动量空间减除，选取重正化点，使一切外动量取欧氏值； 4 2 0 10 届研究生硕士学位论文 ( 2 ) “在质壳上 的减除。减除取在胶子和鬼粒子在零动量，费米子在它们的“质 壳上”的点处。( 3 ) 极小减除。重新定义重正化的质量、重正化耦合常数、和重 正化算符，务必使将所有的最低阶发散的性全部并入重正化的常数中。 第五步，用重正化的量重新写拉格朗日量，其中拉格朗日量函数的新形式， 除了一切量是重正化的量以外，它的项中有一部分是等同于裸的拉格朗日量函数 形式，其余部分都是抵消项， 第六步，按照拉格朗日量函数的新形式进行微扰展开，最低阶的函数现在就 都是有限的。在次高阶的函数又都是发散的，现在再对次高阶的贡献进行第三步， 第四步，第五步的步骤，对一个可以重整的理论，这个过程可以用到任意高阶的 图中，经过重复的步骤，就可以到有限的量。这样的处理就得到了一个重正化的 有限的拉格朗日量。 2 ) 第二种传统做法是b p h z 重整化的做法，基本步骤为： 第一步，从拉格朗日量厶出发，构建传播子和相互作用的顶角。 第二步，从传播子和相互作用的顶角出发，找出一圈的f e y n m a n 图，计算 具有表面发散度大于和等于零的过程，因为这些过程都是表面发散的。 第三步，选取重正化点，进行外动量的t a y l o r 展开，这样可以把发散的一 粒子不可约图( 剪短任意一条内线还是连接的图) 分离开来，注意的是如果重正 化的点包含有限的量，那么无穷大的分离不是唯一的，而与正规化方案和重正化 点的有关。 第四步，构建抵消项趔1 ) 来消除一圈图的发散。 第五步，用的新的拉格朗日量心1 ) = l o + 越1 找出发散的两圈f e y n m a n 图， 分离发散，构建抵消项赳r 2 ) 来消除两圈图的发散。重复上面的步骤就可以到拉 格朗日量的最终形式：r = 厶+ 址，其中业= 趔1 + 赵2 + 赵一+ 这样 的处理就得到了一个重正化的有限的拉格朗日量。 1 4 重正化实现存在的困难 比较系统的重正化步骤是把微扰论积分中出现发散部分分离出来，并吸收到 相互作用耦合常数以及粒子质量中去，通过重新定义相互作用常数和粒子质量， 2 0 10 届研究生硕士学位论文 消除发散，获得有限的矩阵元，使计算的结果和实验相对比。因此在微扰论计算 中如何实现重正化成为中心问题之一。 虽然重正化理论框架已经取得了成功，但在实际运用中还存在很多问题需要 我们去解决【9 】，因为传统的正规化方法方案本身都有各自的局限性，比如破坏某 些对称性，自洽性等等问题。e p s t e i n 和g l a s e r 曾经给出了一种构造步骤 【1 0 - 11 】，直接依赖于位形空间里定域场论的公理，通过归纳法自然地构建了一系 列重正化的量子场论，任意阶微扰的有限项都保持场的定域性，因果性和幺正性。 这种构造有限的微扰场的方法得到和b o g o l i u b o v - p a r a s i u k - h e p p 方案一样的结 果，是一个公理化方法。这一方法没有数学上不确定的量，但隐含着相乘重正化 结构，后一点在适当的解释下将导致重正化群的研究。他们优美而有点抽象的工 作确切地解决了证明保持所有定域场论性质的步骤，然而f e y n m a n 规则只能运 用在树图上水平上。 本文将介绍一种新的简化方法，通过实例来比较说明我们这种方法的优点， 从而给出f e y n m a n 圈图重正化的一般方法或者思路。 本文的安排：第二章主要介绍传统的正规化方法，指出他们的优点和不足， 第三章介绍我们采用的一种新重正化的方法。第四章我们用这个新的重正化方法 来计算q e d 的一圈图。第五章计算超对称的w e s s z u m i n o 模型，第六章为工 作总结和期望。 6 2 0 10 届研究生硕士学位论文 第二章传统正规化方法介绍 我们以名4 理论作为例子来介绍量子场论中存在的发散问题并介绍传统的 正规化方法。首先允矽4 拉格朗日量可分为自由部分和相互作用部分， l = l o + l l 其中l o = l ( a 。丸) 2 一；吮2 妒一鲁唬4 采用闵氏度规，相应的传播子和顶角如下图 现在考虑该场的一个一圈图， 该图的振幅为： r ( p 2 ) = t ( - i 2 0 ) 2 一”历d4 丁1 其中p 2 = ( p 。+ p ：) 2 图2 入一再 ( j 一p ) 2 一露+ f 占j 2 一；+ f 占 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 很显然当j 时，积分是发散的，下面我们将介绍处理该发散所引进各种不同 的正规化手段。 7 ，鬈 一 2 0 1 0 届研究生硕士学位论文 2 1 切断正规化 实际计算中，为了便于计算，在尽可能保证理论自洽的基础上，引入数学的 办法能容易的将发散分离，计算有限的结果，然后通过实验来检验。 为了分离发散，早期主要是动量阶段，也就是认为动量不能取到无穷大，而 只能取到某一个有限值。这种正规化方案成为“动量阶段正规化 ，或者就称为 “c u t - o f f 正规化。所以( 2 5 ) 式的积分上下限不再是无穷大，积分值也就变 成收敛。 虽然它这种是最简单的方法，并且在大多数的标量场中它是有效的方法，但 是在阿贝尔场中，这种正规化在作一个w i c k 转动，并截断每一个圈的大的四动 量值后，圈动量不要是无穷大，每一个这样的积分将被限制在一个紧致的球内， 从而破坏了p o i n c a r e 不变性。因此人们必须寻找更为合理的正规化。 2 2p a u l i v i l l a r s 正规化 一个协变的正规化方法可以通过改造f e y n m a n 传播子而得到，p a u l i - v i l l a r s 正规化方案其想法是从被积函数中减除一个与其具有相同渐近行为的函数。 例如，可以将传播子做如下修改： 击一赤+ 军赤 汜6 ， f 7 瓦一f 瓦+ 羊f 了藏 吃届 这里人2 2 并且口，是可以选择的，并且个数可以足够多，确保所获得的被积 函数随动量的增大而足够快地下降，从而使积分变为收敛。确切地说，引进一组 n 个辅助质量和常数，然后这样选取的常数和辅助质量使得正规化后的积分是由 一个收敛积分给出的。 以( 2 5 ) 式为例，将传播子进行修改： 瓦b + i s 一瓦b + i 8 一万a l 2 + i s2 瓦煮汜7 ，2 一2。，2 一2 z 2 一 ( ，2 一2 + f 占) ( ，2 一人2 + f f ) 。 这样( 2 5 ) 式就成了收敛的积分： 2 ，= 华! 等2 zf 万l 。 ( ，一p ) 2 一吾+ i 6 ( ，2 一；+ f s ) ( ，2 一人2 + f 占) ( 2 8 ) 2 0 10 届研究生硕士学位论文 然后将上面积分在p 2 = 0 处进行t a y l o r 展开， f ( p 2 ) = r ( o ) + i = ( p 2 ) 其中 ( 2 9 ) m ，= 竿! 等瓦而蒜 汜 m = 丁, ；q ) 2 三+ 。o 两d 4 1 万万蔫高巧雨 汜 这样r ( o ) 将是积分的发散部分，r ( p 2 ) 则为有限的部分，这样就把发散部分和有 限部分分离。对上面两等式进行f e y n m a n 参数化处理，我们可以得到如下的结 果： r ( o ) = 订i , ；l 0 2 a 23 1 瓦而a d c t 兰百& a a 2 n 筹 汜 寻一、_ ，l f dot(1一tr)(2a!一1)p-i20 2 i = ( p 2 ) ：了p f 二竺：芝 3 2 n 二； i 一口( 1 一a ) p z f s ( 2 1 3 ) 将参数积掉就可以得到最终的结果。 p a u l i v i l l a r s 正规化方案应用相对简单而且具有能保证理论的所有不变量守 恒的优点。对量子电动力学( q e d ) 及对包含带质量的费米子场论进行的计算是有 成效的。然而，对于包含无质量的费米子场论，比如y a n g m i l l s 规范场论，即 调节传播子必然把质量项引进到理论中，破坏理论的规范性质，p a u l i v i l l a r s 正 规化方案存在着局限性。 2 3d i m e n s i o n a l 正规化 g th o o f t 及m v e l t m a n 和其他作者于19 7 2 年建立了维度( d i m e n s i o n a l ) 正规化。由于f e y n m a n 图中的发散来源于对内动量的四维时空的积分，维度正 规化是把f e y n m a n 积分的时空的维数从4 解析延拓到任意整数，并延拓到一个 复数值d 。在计算结束时，取极限d 一4 。其中发散积分部分，在d = 4 处的极点 将出现最后的结果中，d i m e n s i o n a l 正规化给出与其它的正规化一样的结果。下 面同样以( 2 5 ) 式为例， 9 2 0 10 届研究生硕士学位论文 首先定义内动量有d 个元素组成= ( ，l l o 1 ) ，而外动量仅有四个不 为零的元素p = ( p o ，p l ，p 2 ，p 3 ，0 0 ) ，积分将在d 维中进行， 呦2 ，= 学! 两d d l 而) 2 一号+ f s ，2 一号+ i 6 ( 2 1 4 ) 所以当d 4 时，积分将是收敛的，进行f e y n m a n 参数化齐w i c k 转动后，得剑 如下的积分， 2 ，= 华m 等而b 亿 其中口2 = 孑一a ( 1 一a ) p 2 ，积分的是与角度无关的，做如下处理： o l = m 2 m 吗d 吼万i n 0 3 d 8 3 i s if s i 0 3 d 0 3 l 8 3i dod-t000 00= 卷1 0 p d 。1 讲p 岛n 秒z d 吼卜i n 一= 尝与fp d - 1 讲 【_ 一j ( 2 1 6 ) 所以等式( 2 1 5 ) 可以写成， 唧2 ，= 等m 等南 汜 当d 2 5 ， 其中万宝善，对l j ；e ) 进行外动量矿的微分， p 。 一舭慨e ) = 研i e 2 哺mk 丽m 2m 妒叫h l 字1 一2 2 ( 孤字王) 渺飘，+ 司警) 娟慨酬2 6 ， 因此由维度正规化，我们得到如下的关系式： 。e l i ：- - i4 - 以= 兰 ( 4 2 7 ) 一般规范的情况可以参见附录b ，得到如下的等式 刚以e ) = 竿 ( 4 - 2 8 ) 因此将只要和以满足下面的等式，我们的方案就满足w a r di d e n t i t y ： 岛以= 半 ( 4 - 2 9 ) 4 5 四光子图的讨论 由于规范不变性，当我们考虑所有四光子图时，四光子顶角图的定域不确定 部分就会抵消。四光子的外动量和极化定义如下：p l j 弘) + p 2 ：| ，) ，慨，p ) ? ( 风，口) ， 其中由于动量守恒魏= 一m p 2 一禽，四个光子的排列可以组成六个不等价的 f e y n m a n 图。为了方便，我们首先固定一个光子( p l ，p 1 ，其它的光子将进行位置 排列，得到不等价的圈图。所以六个不等价圈图四光子顶角函数有如下表示： 2 3 2 0 1 0 届研究生硕士学位论文 r 炒p 矿m ，船? 船，风= r i ：弘，筘( p l ，观：盈，纵) r 2 ：弘p p 仃0 1 。p a ? 强，p 4 ) + r 3 泓。，口p 伽l ，融烈。p a ) + r 4 ：“矿口p ( p 1 。p 4 ，船。舰r 鑫：“甜口( p l ，p 4 ，您，船 + r 6 泓矽矿( p l j p 3 ，p 矗，p 2 ) ( 4 3 0 ) 其中i 1 ；弘p 筘的积分表示为： 疗t 秘删一( - i e ) 4 云等t r ( 南丁巧斋知丁再f i 锄 ( 4 3 1 ) 对外动量和顶角的重新排列，可以得到剩余的五个积分。对上式进行p l ：a 的微分 得到， 岛，；垂疆t 泓p 彤= 虿8 i 孑e 4 霸骥p 筘z z z 麓z 麓岛蜘t n 五t + 岛m 行，泓矽( 4 3 2 ) 霸秘- ，矽誊取矽踟疗一p 如巧4 - 如口富矿p ( 4 3 3 ) 鑫；釜m 2 一z z 2 ) 旌一y - 7 9 ) p ；一( 。一矿) 砖 - 2 u ( i x ) p l p 2 2 z ( t x ) p l p a 一2 z ( 1 一y ) p 2 p 3( 4 3 4 ) 这里r l 桫p