（理论物理专业论文）圆填充理论与共形几何.pdf

摘要 圆填充( c i r c l ep a c k i n go r c i r c l ep a t t e n ) 理论在复分析利离散微分几何 的交叉学科是一个快速发展的研究领域。近年来在这个领域所取得的成 就，起源于f i e l d s 奖获得者w t h u r s t o n 在1 9 8 5 年提出一个猜测，即人边形圆包 装( h e x a g o n a lc i r c l ep a c k i n g s ) 可用来近似共形映射。不久，b ，r o d i n 与d s u l - l i v a n 证明了w t h u r s t o n 方案的收敛性，这将圆填充与共形映射建立了联系， 给共形映射提供了一个崭新的离散几何观点。随后，出现人量的关于网填充 及其应用研究。对圆填充的研究，从由其内部不相交的圆组成的圆格局f c i r c l e p a c k i n 9 1 发展到其内部可以重叠的圆组成的圆格) 面( c i r c l ep a t t e r n ) ，后者也叫做 网模式。到目前为止，在圆填充理论的有些方面，例如，共形映射离散的模拟、 离散极丈值原理、离散s c h w a r z i 理和离散单值化定理等，已经弄清楚了。然而， 在其它方面，还有待进一步研究。本文的主要工作包括下面几个方面： 第一，讨论了有分枝圆填充的变分原理和组合r i c c i 流。对于给定紧致曲面 的一个加权三角剖分，用变分技术证明了在欧氏平面、双曲平面 u r i e m a n n 球面 上实现其有分枝t h u r s t o n 圆模式的存在性和唯一性定理。同时，用r i c c i 流方法 给出一种近似方案，其指数快速收敛于有分枝圆模式的半径函数。与t h u r s t o n 算 法比较，其多项式次数收敛于圆包装半径函数，这给寻找有分枝圆模式度量提 供了一个比较快速的算法。 第二，用圆填充方法与有限体积方法研究了d i r i c h l e t 问题的离散解。对于 给定区域的个胞腔分解，其而不一定是i 角形，我们用有限体积方法构造 y p o i s s o n 方程d i r i c h l e t 问题的离散解。按日1 一离散半范，给出了其离散解与经典 解的误差估计。许胞腔分解与其相关体积分解正则的条件下，我们证明了其近 似解在l 2 一窄削和l ”一空问分别收敛其经典解。这些胞腔分解与其相关体积分解 可以通过圆填充技术而得到，并n 瑚：明了它们是正则的。 第三，研究s g 圆填充c o 。收敛于r i e m a i m 映射函数。已经知道，对于儿乎填 满单连通区域q 的半径为e 2 的, t u s g n 模式q 二，在单位圆盘内存在一个组合 同构的s g 圆模式玮。通过m s b i u s 不变量，我们定义焉离散s c h w a r z 算子，并应 用关于其l a p l a c e 公式i l t a y l o r 公式证明它们是c 。有界的。然后，根据s g 圆模 式的定义与性质，我们构造适当的m s b i u s 变换r 使它们能用离散s c h w a r z 算子 圆堡垒堡丝皇苎形县塑 来表示，并h 证明当e 一0 时，t 是e 。一收敛的。利用p 舌和t e 的关系，我们证明， 区域q 内半径为e j 的圆与单位圆盘u 内半径不同网的对应关系产在g 。( n ) 内 收敛于r i e m a n n 映射函数。 第四，讨沧圆填充在离散微分几何中的一些应用，即用s g 圆模式技术研 究离散极小曲面的收敛性。对于定义在复平面上单连通区域q 的光滑极小曲 面f ：q r 3 ，我们用半径为e v 2 的正则s g 圆模式q 填满n 。然后应用极小曲 面f 的w e i e r s t r a s s 的表示和s g 圆模式的存在性定理，在复平面内存在。个s g 圆 模式玮使它具有q 的组合。根据昂与相应的由球面和圆构成的离散极小曲面 的关系，我们汪明了存在由点组成的离散极小曲而r c ：y d r 3 在e f 内收 敛于光滑极小曲面f ：n 一心当e o 时。 关键词：圆填充，变分原理，离散d i r i c h l e t 问题，r i c c i 流，g o 。一收敛，r i e m a n n 映 射，离散极小曲面。 a b s t r a c t t h et h e o r yo fc i r c l ep a c k i n g so rc i r c l ep a t t e r n si saf a s td e v e l o p i n gf i e l do f r e s e a r c ho nt h eb o r d e ro fc o m p l e xa n a l y s i sa n dd i s c r e t ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r y r e c e n tp r o g r e s si nt h i sa r e aw a 8i n i t i a t e db yt h u r s t o n si d e aa b o u tt h ea p p r o x i m a t i o no ft h er i e m a n nm a p p i n gb yh e x a g o n a lc i r c l ep a c k i n g si n1 9 8 5 s h o r t l y , b u r rr o d i na n dd e n n i ss u l l i v a np r o v e dt h ec o n v e r g e n c eo ft h u r s t o n ss c h e m e ， w h i c hg i v e san e wd i s c r e t eg e o m e t r yv i e wo ft h er i e m a n nm a p p i n g a f t e rt h e n ， m u c hr e s e a r c ho nc i r c l ep a c k i n g sf o l l o w e d f o rt h es t u d yo fc i r c l ec o n f i g u r a t i o n s ， c l a s s i c a lc i r c l ep a c k i n g sc o m p r i s e db yd i s j o i n to p e nd i s k sa r eg e n e r a l i z e dt oc i r c l e p a t t e r n s ，w h e r et h ed i s k sm a yo v e r l a p b yn o ws o m ea s p e c t so ft h et h e o r yo f c i r c l ep a t t e r n s ，s u c ha sd i s c r e t ea n a l o g u e so fc o n f o r m a lm a p p i n g s ，t h ed i s c r e t e m a x i m u m _ p r i n c i p l e ，t h ed i s c r e t es c h w a r z sl e m m aa n dt h ed i s c r e t eu n i f o r m i z a - t i o nt h e o r e m ，e t c ，a r ew e l lu n d e r s t o o d ，w h i l eo t h e r sa r ew a i t i n gt ob ec l a r i f i e d i nt h i st h e s i s ，o u rm a i nw o r ki sa sf o l l o w s f i r s t ，w ei n v e s t i g a t ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e sf o rt h u r s t o nc i r c l ep a t t e r n sa n d c o m b i n a t o r i a lr i c c if l o w s t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h u r s t o nb r a n c h e d c i r c l ep a t t e r n si nt h ee u c l i d e a np l a n e ，h y p e r b o l i cp l a n ea n dr i e m a n n ns p h e r e a r ef i r s te s t a b h s h e du s i n gv a r i a t i o n a lt e c h n i q u e s ，w h i c hr e a l i z e sag i v e nw e i g h t e d t r i a n g u l a t i o no fac o m p a c ts u r f a c e i nt h em e a n t i m e ，w ea p p l yr i c c if l o w si n e t h o d t og i v ea na p p r o x i m a t i o ns c h e m ew h i c hc o n v e r g e se x p o n e n t i a l l yt ob r a n c h e dc i r c l e p a t t e r nm e t r i c i tm a yp r o d u c eaf a s t e ra l g o r i t h mt of i n db r a n c h e dc i r c l ep a t t e r n m e t r i c ，c o m p a r e dw i t ht h u r s t o n sa l g o r i t h mw h i c hc o n v e r g e si np o l y n o m i a lt i m e t ot h ec i r c l ep a c k i n g s e c o n d l y , w et h em e t h o d so fc i r c l ep a t t e r na n df i n i t ev o l u n l et os t u d yd i s c r e t es o l u t i o n so fd i r i c h l e tp r o b l e m sf o rp o i s s o ne q u a t i o n sg i v e nt h ec e l l u l a r d e c o m p o s i t i o n so fad o m a i nn w h o s ef a c e sa r en o tn e c e s s a r i l yt r i a n g l e s w eu s e f i n i t ev o l u m et e c h n i q u e st od e f i n et h ed i s c r e t es o h l t i o n so fd i r i c h l e tp r o b l e m s f o rp o i s s o ne q u a t i o n so nq w ee s t i m a t et h ed i s c r e t eh 1s e m i n o r mo ft h ed i s - c r e t i z a t i o ne r r o rb e t w e e nt h ec l a s s i c 8 1s o l u t i o na n dt h ed i s c r e t es o l u t i o n s i nt h e 圆填充理论与共形几何 e d s eo ft h er e g u l a r i t i e so fc e l l u l a rd e c o m p o s i t i o n sa n da s s o c i a t e dv o l m n ec e l l u l a r d e c o m p o s i t i o n s ，i ti sp r o v e dt h a tt h e s ed i s c r e t es o l u t i o n sc o n v e r g e si nl 2 _ s p a c e a n dl o o s p a c et ot h ec o r r e s p o n d i n gc l a s s i c a ls o l u t i o n r e s p e c t i v e l yt h e s e , c e l l u l a r d e c o m p o s i t i o n sa n da s s o c i a t e dv o l u m ec e l l u l a rd e c o m p o s i t i o n sc a nb eo b t a i n e d b yd e l a n n a yc i r c l ep a t t e r n s ，a n da r es h o w nt ob er e g u l a r t h i r d l y , w ed i s c u s st h a ts gc i r c l ep a t t e r n sc o n v e r g ei ne o 。t ot h er i e m a n n m a p p i n g i ti sk n o w n t h a ta l m o s tm 1as i m p l yc o n n e c t e dr e g i o nnw i t ht h er e g u l a r s gc i r c l ep a t t e r nq w h o s ee a c hc i r c l eh a sr a d i u se q u a lt oe 、2 ，t h e nt h e r ei sa c o m b i n a t o r i a f i yi s o m o r p h i cs gc i r c l ep a t t e r n 玮i nt h eu n i td i s ku t h ed i s c r e t e s c h w a r z i a n so fp 5a r ed e f i n e db ym e a n so ft h e i rm s b i u si n v a r i a n t s ，a n da r es h o w n t ob eg ”一b o m l d e d t h es u i t a b l em 5 b i u st r a n s f o r m a t i o n st a r ec o n s t r u c t e di n t e r m so fs gc i r c l ep a t t e r n 臻s u c ht h a tt c a nb ee x p r e s s e db yt h ed i s c r e t e s c h w a r z i a n s ，a n di ti sp r o v e dt h a tt 6c o n v e r g e si ng ”( n ) a se _ 0 b a s e do n t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n 昂a n dt ，i ti so b t a i n e dt h a tt h ec o r r e s p o n d e n c e ，e o fe 2 一c i r c l e si nqw i t hc i r c l e so fv a r y i n gr a d f ii nu c o n v e r g e si nc o o ( a ) t ot h e r i e m a n n m a p p i n g f u n c t i o n ，：n _ u a se _ 0 f i n a l l y , w ed i s c u s ss o m ea p p h c a t i o n so fs gc i r c l ep a t t e r n st od i s c r e t ed i f - f e r e n t i a lg e o m e t r y , t h a ti s ，w eu s et h et e e h n i q u e so fs gc i r c l ep a t t e r n st op r o v e t h a td i s c r e t em i n i m a ls u r f a c e sc o n v e r g e sc 。t ot h es m o o t ho n e g i v e nas m o o t h m i n i m a ls u r f a c ef ：n _ r 3d e f i n e do n as i m p l yc o n n e c t e dr e g i o nqi nt h e c o m p l e xp l a n ec ，w ef i r s t 栅s 2w i t ht h er e g u l a rs gc i r c l ep a t t e r nq w h o s ee a c h c i r c l eh a st h es a 。r n er a d i u se 2f o ra n ye 0 t h e na p p l y i n gt h ew e i e r s t r a s s r e p r e s e n t a t i o no ffa n dt h ee x i s t e n c et h e o r e mo fs gc i r c l ep a t t e r n s ，t h e r ee x i s t s a na s s o c i a t e ds gc i r c l ep a t t e r np 6i ncw i t ht h ee o m b i n a t o r i co fq ，b a s e d o nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec i r c l ep a t t e r n 塌a n dt h ec o r r e s p o n d i n gd i s c r e t e m i n i m a ls u r f a c ef ：峭_ 础，c o m p r i s e do fs p h e r e sa n dc i r c l e s ，d e f i n e do nt h e v e r t e xs e t 峭o ft h eg r a p ho f 瞒，w es h o wt h a tt h e r ee x i s t sad i s c r e t em i n i m a l s u r f a c er ：垤 r 3 ，c o n s i s t i n go fp o i n t s ，w h i c hc o n v e r g e si nc ”( n ) t ot h e m i n i m a ls n r f a c e f ：n _ r 3a se - 0 k e y w o r d s ：c i r c l ep a t t e r n ，v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，d i s c r e t ed i r i c h l e tp r o b l e m ， r i c c if l o w s ，c o o c o n v e r g e n c e ，t h er i e m a n nm a p p i n g ，d i s c r e t em i n i m a ls u r f a c e f i g u r e s 1 1ti sas i m p l i c i a lc o m p l e xa n dpi sat h u r s t o nt y p ec i r c l ep a t t e r n r e a l i z i n g ( 正圣) 。 3 2 1ac e l l u l a rd e c o m p o s i t i o no f t h ed i s ca n d a c o r r e s p o n d i n gd e l a u n a y t y p ec i r c kp a t t e r nw i t hc i r c l e sm e e t i n ga td i v e r s ea n g l e s 3 7 3 1h e r e i s t h ec e l lc o m p l e x s g v a n d 伊c o n s i s t o f t h e b l a c k p o i n t s a n dt h ew h i t e p o i n t s ，r e s p e c t i v e l y , 4 4 3 2 ( a ) i sar e g u l a rs gc i r d ep a t t e r na n d ( b ) i s8g e n e r a ls gd r d e p a t t e r n 4 6 3 3t h ec e l lc o m p l e xs 嚷c o n s i s t so ft h e s es m a l ls q u a r e sw i t hd o t t e d e d g e s ，4 8 3 4t h ec e l lc o m p l e xs i st h ec l o s u r eo fd o m a i nb o u n d e db yc l o s e d c u r v el 5 0 4 1ad i s c r e t em i n i m a l e n n e p e rs u r f a c e ( 1 e f t ) a n dad i s c r e t em i n i m a l c a t e n o i df r i g h t ) ，6 5 c h a p t e r1 v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e sa n dr i c c if l o w s 1 1i n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e rw ea p p l yv a r i a t i o n a lt e c h n i q u e st oe s t a b l i s ht h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s st h e o r e mf o rt h u r s t o nb r a n c h e dc i r c l ep a t t e r n s n e x tu s i n gc o m b i n a - t o r i a l 磁c c if l o w sm e t h o d s w eg a v ea na p p r o x i m a t i o ns c h e m ew h i c hc o n v e r g e s e x p o n e n t i a l l yt ob r a n c h e dc i r c l ep a t t e r nm e t r i c v a r i a t i o n a lm e t h o d s 勰u s e dt ot r e a tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fc i r c l e p a c k i n g so rc i r c l ep a t t e r n s c o l i nd ev e r d i b r e 【1 4 w a sf i r s tt op r e s e n tav a x i a t i o n a lp r i n c i p l ef o rc i r c l ep a c k i n g sw h i c hi sac o l l e c t i o no f c l o s e dc i r c l e sw i t ht h e p r o p e r t yt h a ti n t e r i o r so ft h ec i r c l e sa r ed i s j o i n t h ec o n s t r u c t st w of u n c t i o n a l s ， o n ef o rt h ee u c l i d e a ne a s e o n ef o rt h eh y p e r b o l i cc a s e t h ev a r i a b l e sa l et h e r a d i io ft h ec i r c l e s c r i t i c a lp o i n t sc o r r e s p o n dt oc i r c l ep a c k i n g s i n t e f a t i n g c o l i nd ev e r d i r e sf u n c t i o n a l s b r a g g e rd r i v e san e wv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ef o r e u c l i d e a nc i r c l ep a c b n g s t h ev a r i a b l e so fh i sf u n c t i o n a la r ec e r t a i na n g l e s ，a n d t h ev a r i a t i o ni sc o n s t r a i n e dt oc o h e r e n ta n g l es y s t e m s 砒v i i l 【3 叫a n dl e i b o n 3 1 】 p r e s e n tv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ef o rc i r c l ep a t t e r n s t h ec i r c l e sc o r r e s p o n dt ot h e f a c e so fat r i a n g u l a t i o n r i v i nt r e a t st h ee u c l i d e a n ，a n dl e i b o nt h eh y p e r b o l i c c a s e b o b e n k oa n ds p r i n g b o m 6 lu s e dav a r i a t i o n a lp r i n c i p l et op r o v ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fd e l a u n a yt y p ec i r c l ep 姚r n st h a tt h ec i r c l e sc o r r e s p o n dt ot h e f a c e so fac e l l u l a rd e c o m p o s i t i o n ，a n dt h ei n t e r s e c t i n gp o i n t so fc i r c l e sc o r r e s p o n d t ot h ev e r t i c e so ft h ec e l l u l a rd e c o m p o s i t i o n h e r e ，w e8 x ec o n c e r n e d w i t hv a l i a t i o n mp r i n c i p l e sf o rt h u r s t o nt y p eb r a n c h e d c i r c l ep a t t e r n s ，w h e r et h en e i g h b o r so fs o m ec i r c l em a yw r a pn m 1 ) t i m e s a r o u n di t t h en o t i o no fb r a n c h e dc i r c l ep a t t e r ni sf i r s ti n t r o d u c e db yb o w e 瑁 a n ds t e p h e n s o n 8 】t h e yg i v eac o n s t r u c t i v ep r o o fo ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e - h e s sf o rb r a n c h e dc i r c l ep a t t e r n so nt h es p h e r e o u rm e t h o di sf i r s tt ot r a n s f o r m t h eg e o m e t r i cp r o b l e mo fc o n s t r u c t i n gab r a n c h e dc i r c l ep a t t e r ni n t ot h ea n a l y t i c p r o b l e mo f 矗n d i n gr a d i io ft h ec i r c l e s n e x tw ec o n s t r u c tt w ob r a n c h e dc i r c l e 2圆填充理论与共形几何 p a t t e r nf u n c t i o n a l sw h i c ha r ef u n c t i o n so ft h er a d i i n ef o rt h ee u c l i d e a na n d o n ef o rt h eh y p e r b o l i cc b s e m o r e o v e r ，w ep r o v et h a tt h et w oh m c t i o n a l sa r e s t r i c t l yc o n v e i ka n dh a v ec r i t i c a lp o i n t s t h e n ，b yt h et r a n s f o r m a t i o n so fi s o m - e t r ya n ds t e r e o g r a p h i cp r o j e c t i o n ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f c o n f i g u r a t i o n so fc i r c l e sw i t hp r e s c r i b e dc o m b i n a t o r i cp a t t e r n p r e s c r i b e di n t e r - s e c t i o na n g l e sa n dp r e s c r i b e db r a n c h e ds e t s i nt h ee u c l i d e a np l a n e ，h y p e r b o l i c p l a n ea n dr i e n m n n ns p h e r e f i n a l l y , w ea p p l yr i c c if l o w sm e t h o dt og i v ea n a p p r o x i m a t i o ns c h e m ew h i c hc o n v e r g e se x p o n e n t i a l l yt ob r a n c h e dc i r c l ep a t t e r n m e t r i c i tm a y p r o d u c eaf a s t e ra l g o r i t h mt of i n db r a n c h e dc i r c l ep a t t e r nm e t r i c ， c o m p a r e dw i t ht h u r s t o n 8a l g o r i t h m 【3 4 jw h i c hc o n v e r g e si np o l y n o m i a lt i m et o t h ec i r c l ep a c k i n g t h i sc h a p t e rh a st h ef o l l o w i n gv i r t u e s f i r s t d i f f e r e n tf r o m 6 1w h i c hi s d e v o t e dt od e l a u n a yt y p ec i r c l ep a t t e r n sw i t h o u tb r a n c hp o i n t s ，w ed i s c t t g s t h u r s t o nt y p ec i r c l ep a c t e r n sw i t hb r a n c hp o i n t s n e x t ，c o m p a z e dw i t h 【8 】w h o s e m e t h o di sr e d u c e dt os o l v et h ed i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，w ea p p l yv a i l - a t i o n a lt e c h n i q u e st of i n dt h er a d i io fc i r c l e so fb r a n c h e dc i r c l ep a t t e r n s l a s t l y , i tc a nb ev i e w e da s8f u r t h e rd e v e l o p m e n to f 1 5 h o w e v e r 。t h ed i f f e r e n c ei s t h a tt h es o l u t i o n so fc o m b i n a t o r i a lr i c c i f l o w si n 【1 5 】c o n v e r g ee x p o n e n t i a l l yt o ac i r c l ep a t t e r nm e t r i cw i t ht h es a m ec u r v a t u r ea te a c hv e r t 既i nt h ew e i g h t e d t r i a n g u l a t i o n ，w h i l ei nt h i sc h a p t e rt h es o l u t i o n st ot h eg e n e r a l i z e dr i c c if l o w si n c o m b i n a t o r i a ls e t t i n gc o n v e r g ee x p o n e n t i a l l yt oab r a n c h e dc i r c l ep a t t e r nm e t r i c ， t h a ti s ，w h o s ec u r v a t u r ea te a c hv e r t e xi sn o tn e c e s s a r i l yi d e n t i c a l 1 2n o t a t i o n sa n dp r e l i m i n a r i e s i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l li n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n s ，n o t i o n sa n ds o m er e s u l t s r e l a t e dt ob r a n c h e dc i r c l ep a t t e r n ( s e e 【8 ，1 5 ，1 9 ，2 4 ，3 2 】f o rm o r ed e t a i l s ) l e ttb eas i m p l i c i a l2 - c o m p l e xg i v e nb yat r i a n g u l a t i o no f ac o m p a c ts u r f a c e ew i t ho rw i t h o u tb o u n d a r y d e n o t eb yt ( o ) i n t t ( o ) ，b d t ( o ) a n dt 0 ) t h es e t s o fv e r t i c e s ，i n t e r i o rv e r t i c e s ，b o u n d a r yv e r t i c e sa n de d g e so ft ，r e s p e c t i v e l y l e t 西：t ( 1 ) 【o ，r 2 1b eaf u n c t i o nd e f i n e do nt ( ，t h e nw ec a l l ( ? ，圣) aw e i g h t e d t r i a n g u l a t i o no fe c h a p t e r1v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e sa n dr i c c if l o w s 3 1 以，叭v 扒 卜心心帆 卜么彭锄 州j v t p f i g u r e1 1 ：ti sas i m p l l c i a lc o m p l e xa n dpi sat h u r s t o nt y p ec i r c l ep a t t e r n r e a l i z i n g ( 正垂) l e tpb eac o n f i g u r a t i o no fc i r c l e si nac o n s t a n tc u r v a t u r es u r f a c e t h e nw e s a yt h a tpi sat h u r s t o nt y p ec i r c l ep a t t e r nr e a l i z i n gaw e i g h t e dt r i a n g u l a t i o n ( 正圣) i f ( i ) t h e r ee x i s ta 1 - 1c o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nt h ev e r t i c e s t ( o ) a n dt h e c i r c l e sp ( ) ps u c ht h a tp ( v ) a n dp ( 似) i n t e r s e c ta to v e r l a pa n g l e 圣( 扣，t 川) ， w h e r ep ，叫li st h ee d g ej o i n i n g 口a n d 叫；( i i ) pi so r i e n t a t i o np r e s e r v i n g ，i e ，i f 口l t ，地a r et h ev e r t i c e so faf a c ei ntt a k e ni nt h ep o s i t i v eo r d e r ，t h e nc i r c l e s v ( v 1 ) ，p ( 吨) ，p ( 地) f o r map o s i t i v e l yo r i e n t e dt r i p l eo fc i r c l e si nt h es u r f a c e ( s e e f i g u r e1 1 1 i t i se a s yt os e et h a ti ft h e r ei sac i r c l ep a t t e r nf o r ( 正垂) i nt h er i e m a n n s p h e r e ，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sm u s th o l d ( s e e 【4 1 】) ： ( q ) f o ra n yt h r e ee d g e se l ，e 2 ，e 3 t ( 1 ) f o r m i n gan u l lh o m o t o p i cl o o pi n t ，i f 4 = 3