（理论物理专业论文）原子与光场共振拉曼相互作用中的纠缠特性.pdf

中文摘要 光场与原子的相旺作用一茸是量子光学研究的莺要内容之一。1 9 6 3 年 j a y n e s 和c u m m i n g s 用纯量子的方法描述了个二能级原子与单模光场相互作用 的物理模型o c m ) 。物理学家们对此模型作了大量的研究，并作了多种形式的推 广。利用这些模型刑纠缠特性的研究在量予通讯方面具有重要的地位。但对运动 两能级原子与光场的共振拉曼相互作用中的纠缠特性还未见报道。 本文研究原了与双模压缩真空态光场相互作用中的纠缠特性，考虑了共振拉 曼相互作用的情况，同时计入了原子运动的影响。原子运动是一利，实际的因素， 应该加以考虑。利用量子约化熵和量子相对熵分别研究了双模压缩真空态光场与 原子牛h 瓦作用中两者的纠缠( 简称场原子纠缠) 性质和双模光场的模间纠缠( 简 称模间纠缠) 性质。揭示了双模压缩真空态光场和原子配制成不同的状态时，二 者对场熵特性的影响。 我们发现：当不考虑原子运动时，增大压缩因子r ，场。原子问纠缠增强而且 持续时间增大。而当考虑原子运动时，场模参数p 和原子初态。较小同时压缩因 子r 较大时，场原子矧纠缠增强而且持续时间增大，模阳j 纠缠与场原子纠缠相 反。从而得出了通过选择合适的系统参数和时间，双模压缩真空念光场与原子| 白j 以及双模压缩真空态光场模蒯都仍可保持较好的纠缠特性，这对于用量子纠缠实 现最子通汛具有重要的指导意义。 关键词：j a y n e s c u m m i n g s 模型 双模压缩真空态量子纠缠量子约化熵 量子相划熵 a b s t r a c t i ti si m p o r t a n tt h a to p t i c a lf i e l d si n t e r a c tw i t ha t o m si nq u a n t u mo p t i c s i n19 6 3 ， j a y n e sa n dc u m m i n g sd e s c r i b e dap h y s i c a lm o d e lo ft w o l e v e la t o ma n do u em o d e o p t i c a lf i e l dn a m e dj - cm o d e l p h y s i c i s t sd om a n ys t u d i e sa n de x p a n s i o n s t h e y a s s u m et h a ta t o mi ss t i l la n do n l yt h i n ko ft h ei n n e ri n t e r a c t i o no fa t o mw i t ht h e o p t i c a lf i e l d s ，am o v i n gt w o 。l e v e la t o mi n t e r a c t i n gw i t ht w o m o d ef i e l dt h r o u g hr e s o h a n c e r a m a np r o c e s sa r en o ti n v e s t i g a t e d w e i fs t u d yi ti nt h i sp a p e r i n t h i sa r t i c l e ，w es t u d yt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt w o m o d es q u e e z i n gv a c u u m s t a t ea n dam o v i n gt w o - l e v e la t o mb yt w o - p h o t o nr e s o n a n c er a m a np r o c e s si n q u a n t u mt h e o r y w es h o u dc o n s i d e rt h em o t i o no fa t o mb e c a u s ei t s af a c t u a l r e a s o n w er e s p e c t i v e l yi n v e s t i g a t et h ee n t a n g l e m e n to ft h et w o m o d ef i e l da n da t o m a n dt h eo n eo ft w om o d e sf i e l du s i n gt h eq u a n t u mr e d u c e de n t r o p ya n dt h eq u a n t u m r e l a t i v ee n t r o p ya n da n a l y s i st h ee n t r o p yp r o p e r t i e si nd i f f e r e n ts t a t e w ed i s c o v e rt h a tw h e nw ed o n tc o n s i d e rt h em o v i n go fa t o m ，t h eq u a n t u m e n t a n g l e m e n to fa t o ma n dt h et w o m o d ef i e l db e c o m e sh i g ha n dk e e p sl o n ga th i g h s q u e e z i n gp a r a m e t e rr a l s o ，w h e na t o mm o v e s ，i t s t h es a m er e s u l ta tl o wf i e l d p a r a m e t e rpa n da t o ms t a t ep a r a m e t e r e s ow ec a l lc o n c l u d et h a tt h et w o m o d ef i e l d a n dt h em o v i n gt w o - l e v e la t o m a l s ow i t ht h em o v i n gt w o - l e v e la t o mt h e ys t i l lh a v e t h eb e t t e rc h a r a c t e r & q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，c h o o s i n gp r o p e rs y s t e m a t i c a lp a r a m e t e r a n dt i m e i ti si m p o r t a n tt oq u a n t u me n t a n g l e m e n ti nq u a n t u m k e y w o r d s ：j a y n e s c u m m i n g sm o d e l ，t w o m o d es q u e e z i n gv a c u u ms t a t e q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，q u a n t u mr e d u c e de n t r o p y , q u a n t u mr e l a t i v ee n t r o p y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨注盘茎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的利料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的 兑明并表示了谢意。 学位论文作者签名糖硒 签字同期：) 仰多年多月谗同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解焘鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨叠盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：争盔甬 导师签名 签字h 期：为艿年参月蛳 签字门期：死心年占月2 刃同 第一章前言 第一章前言 近年米，量子光学的进展为构造了许多非经典念，如光予数态，相f ：态，压缩 态s c h r o d i n g e r 猫态等，许多都可以在实验上得以成功制备并日广泛用于光通 讯，微弱信号检测，高精度干涉测量，引力波探测，量子计算等方面。另方面， 当代量了光学研究的核心为激光场和原子的相互作用。而在实际中，单原子或多 元子系统和激光场( 乖模光场或多模光场) 系统相互作用时，作为信息载体的光 场，j 能与各种环境发生作用，从而使子系统问发生量子纠缠，从而导致各叠加 成分的内部相位差随机化，最终变为馄合念使载托在纠缠态的信息遭到破坏，发 生刁j 利丁量予通讯的退相干现象，因此我们常见通过建立理论模型，来描述光场 和环境物质的斗h 互作用。 描述光场和原予的相互作用的模型有d i c k e 模式和j c 模型等。d i c k e 模式 描述的是原子与多模辐射场的相互作用，而j - c 模型则描述单个两能级原子( 或 分予) 与一译模量子化光场的相互作用。对它只需作旋波近似就可以精确求解， 它在最子光学、激光物理、核磁共振和量子场论等许多问题中都常被采用。它在 近年来也得到了推广和扩展，近年来，将j c 模型推广到类k e r r 媒质j - c 模型 ( 简称k j c 模型) ，获得了一些有意义的的结果，最近我们将k j ，c 模型推广到 多光子i 卜j c 模型并对腔场的反聚束效应进行了讨论。由于光场的光子统 计分佃反映了光场的微观统计特性，由此光场的宏观特性也就校确定描述两个 全刚二能级原予与量子化光场相互作用的t - c 模型早己提出。在光场和原子的相 互作用方面丌展了很多有意义的工作。 过去曾经有文献在理论上提出过用量子纠缠态双模压缩真空态实现非条件 量了隐形传送以及在考虑环境影响时与环境相互作用时的纠缠性质，但在以原予 作为双模压缩真空态的环境，考虑双模压缩真空态光场与环境( 原子) 通过双光 子过程发生相互作用时，并未考虑原子运动的影响。本文在此基础上，以原予运 动和不运动两种情况分别作为双模压缩真空念光场的环境，研究了双模压缩真空 态与环境( 原予) 通过双光子共振拉曼相互作用过程。本文第二章介绍了量子纠 缠态的基本发展过程以及量子纠缠态的定义，度量和基本应用等，第三章就光场 压缩态和光场与原子相互作用模型做了基本介绍，从中可知道压缩态光场可以更 第一章前言 好的提高信噪比。第四章研究了双模压缩念光场与运动两能级原子通过双光子共 振扣曼相互作用过程的纠缠特性。拉曼散射是一种重要的原子与光相互作用过 程，近年来，人们对高q 腔中原子与光场的拉曼相互作用倍加关注，简并两能 级原了与单模腔场，非简并两能级原子与双模腔场的拉曼相互作用动力学特性， 原于辐射潜和交流斯塔客位移对场熵和缠绕的影响都得到了深入的研究。本文进 一步讨沦运动的二能级原予与双模压缩真空念量子化腔场发生双光予共振拉曼 相互作用过程中的纠缠特性利用量予约化熵和量子相对熵分别研究了原予。双 模光场的纠缠和双模光场模间纠缠的性质。分析了双模压缩真空态光场和原子配 制成不同的状态时，二者对场熵特性的影响，得出通过选择合适的系统参数，双 模压缩真空态光场仍可保持较好的纠缠特性。 第二章量子纠缠态 第二章量子纠缠态 2 1 量子纠缠的回顾 量予纠缠是存在于多子系量子系统中的一种奇妙现象，即对一个予系统的 测每结果无法独立于对其他子系统的测量参数非局域关联性是量了纠缠态的 奇妙特性之一所谓量子纠缠态是描述多粒子体系或者多自由度体系的一种量 子念t 这种量予念，在任何表象中，都不能写成各单粒子或自由度的量子态的 直积f 1 】，量子纠缠产生于对量- 了力学基本概念的理解和诠释的争论中。自从量 子j j 学的基本理论形成以来，对于纠缠态的研究一直是一个重要课题量子力 学的创始人a l b e r te i n s t e i n 在1 9 3 5 年同p o d o l s k y 和r o s e n 一起所提出了著名的 e p r 佯谬【2 】，薛定谔猫佯谬，量子纠缠态的概念就是从这一方向衍k 的 e r w i n s c t l r 6 d i n g e i 6 在1 9 , 3 5 年的量子力学的目自f 状况论文中 3 没 计的理想实验为：有一只小猫被关在笼子旱，笼内放置有一只毒药瓶，瓶的丌 关由一个放射性原子装置控制。此原予处于激发能态( 记为f 个) ) 嗣，瓶子是关 闭的，猫未受到毒药损害，是活的。当原子跃迁到基态( 记为j j ) ) 后，伴随有 光子释放出柬，它将启动瓶的开关装置，毒药释放出来，猫就被毒死。 s c h r 6 d in g e r 用下列波函数来捕述( 猫+ 原子) 这个复合体系 f 妒) = 口f 活猫) f t ) + f 死猫l 上) ( 2 1 ) k l l 2 + i p h i l 2 = 1 按波函数的统计诠释，h 2 表示原子处于激发态而猫是活的概率，例2 表示原 了处于基念而猫是死的概率。换言之，猫是处于不死不活的状态，而宏观世界中， 猫非死即活，二者必居其一。因此量子力学的统计诠释有悖日常生活经验，是难 以接受的。用一个假想试验来说明，把叠加波函数的凡率诠释应用于宏观世界， 会得m 何等荒谬的结论。以此对波函数的统计诠释提出责难。 同年a l b e r te i n s t e i n ，b o r i sp o d o l s k y 和n a t h a nr o s e n 在物理评论发表了 篇短、但很重要的文章能认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗? ( 后来被称为e p r 佯谬) 3 】。在该文中，考虑维粒子的量子态 妒= p 执川6f 2 ，2 ) 第一二章垣子纠缠态 它是粒了动量p = 一访的本征态，本征值为p 。在此态下，粒子具有确定动量 w 值，。，所以粒子动量是“物理实在”。但山于妒并非粒子坐标x 的本征态( x 口 常量妒) 。这个量子态不能确切预言粒子的坐标，只能靠测量。但测量粒子的坐 标后，粒子将不处在原来的量子态妒。因此，他们认为，在此妒态下，粒子坐标 刁i 是一个“物理实在”。文中还进一步讨论了一般情况。设两个力学量a 和b 不 对易，【a ，b 】0 ，则a 和b ( 一般说来) 不能具有共同本征态，因而a 和b 不 能同时是“物理实在”。于是提出：量子力学对“物理实在”的描述是不完备的。 这主要针剥波函数的统计诠释提出质疑。他们相信应该存在可以对物理实在给 山更完备描述的理论，这就是“隐变量”概念。 爱闪斯坦等人在e p r 的论文中还提出如下一个两粒子体系波函数的具体侧了 5 】 啉蹦= px l - x 2 + x o ) p 卜， ( 2 ，) x t ，x 2 分别指代两个粒予的坐标，首先测量粒予一的动量， 其动阜：本征念为 “。( x 1 ) = p6 ( o o p + 。) ( 2 4 ) ( 一，x 2 ) 用此本征态展丌为 妒( _ ，x ：) = e ( ) ( x ，) 印 ( 2 5 ) 其中( 叠) 为粒子2 的动量本征态本征值为一p ，因此当测量粒子1 的动量为p 时，粒子2 的动量为一p 二尘竺趔 p 。( 吐) = p “ ( 2 6 ) 其玖测域粒子1 的坐标，坐标本征态为 u ( x j ) = a ( x i x ) ( 2 7 ) 本征值为x ( 一。 x + 。) ，v ( 毛，托) 用此本征态展丌为 缈( 一，x 2 ) = e 敛( x ：) 匕( 五) 巩 ( 2 8 ) 败( 砖) = 2 丌 d ( 玛一( x 一) ) ( 2 9 ) 4 第二章量子纠缠态 该式为粒了2 的坐标本征态，本征值为似x 。) 按上述分析粒子究竟处于e a x 。) 还 是妒。( x p 不好确定，山此得出量子力学的描述是不自治的论断。1 9 5 1 年b o h m 在他的著作 6 】中，以自旋为1 2 的二粒子体系为例，对纠缠态给出了物理图象更 简洁的陈述，并把纠缠态的非局域关联性表达得更加清楚 19 9 6 年美困c o r o l a d on i s t ( n a t i o n a li n s t i t u t eo fs t a n d a r d sa n dt e c h n o l o g y 、 的c m o n r o e 等成功地实现了介观尺度上的s c h r g d i n g e r 猕态【4 】。他们把因禁在 p a u l 井中的9 b e + 离予，通过激光致冷，制备在喈振子的基念( 描述9 b e + 的质心 运动) 。9 b e + 的原子核自旋为i = 3 2 ( 按照壳模型9 4 b e 核的4 个质子已配对，自 旋为0 ，5 个中子中未配对的中子处于p 3 a 能级) ，而价电子最低能念是处于2 s l n 能级。因此原子的总角动量为f = i ，2 。考虑到磁相互作用，9 b e + 的最低两条能级 形成超精细分裂结构，其中f = 2 ，m f = 2 为基态，f = i ，m f = 1 为激发念，分 翊 一 c 图2 - i9 b e + 的s c h r 6 d i n g e r 猫态 别记为j 山) 和卜) ，两能级相差为脚。2 z = 1 2 5 g h ：( 见图2 - 1 ) 。他们通过能控 制持续时 1 j ；的激光脉冲以引起9 b e + 在f 山) 和 个) 两个内部态之间的r a b i 振荡。实验 中还交替使用微波辐射场的作用，使9 b e + 的质，c , , i g 动从谐振子基态激发到相干 态。最终他们实现了9 b e + 的质心运动相干态波包与9 b e + 内部态的纠缠态 第二章鼙子纠缠态 西= 击m 州) i x ：1 ( 2 1 0 ) 其中k ) 和卜：) 分别描述波包中心在_ 和z ：处的相干态。 j ，) 和卜) 分别为9 b e + 的内 音j j 基念和激发念。相干态波包本身宽度血，、缸，= 7 n m ，而两个波包中心相距 k x ，i = 8 0 h m 。所以两个波包在空间是明显分j i ：的( 在介观尺度上) 。式( 2 1 0 ) 所描述的态，在原则上即为s c h r 6 d i n g e r 猫态。只不过式( 2 1 ) 中的猫的死态或 活态，在( 2 1 0 ) 式被替换成9 b e + 质心处于空间x 点或x ，点的相二f 态。在宏观世 界中，猫非死即活，二者必居其一。同样，一粒了不在这一点五，就在另一点x ，。 对于“_ i 死不活的猫”，或“粒子既在置点，义在x ，点”的蜕法都是很难理解的。 m o n r o e 等所制备出来的这种s c h r 6 d in g e r 猫态实质j 一就是9 b e + 的种纠缠 态，即揣述9 b e + 的质心运动的相干态与其内部忿的纠缠态。式( 2 1 0 ) 中叠加起 来的两个态之f f t j 有确切的相位关系，从而可产生可以观测到的干涉现象。他们的 观测结果真实地展示了量子力学的非定域性。 凶为量子力学描述的物理实在具有无法消除的随机性，爱因斯坦等人提纠 缠念的目的意在说明在承认局域性和实在性的前提下，量子力学的描述是不完 备的早期对于纠缠态的研究仅限于在哲学思辩的层面上，直到1 9 6 4 年，爱尔 芝物理学家b e l l 在其发表的一篇文章中提出一个不等式，这就是著名的b e l l 小 等式( 7 】这样，b e l l 的理论将e p r 同玻尔的争论从哲学范畴提升到可以为物理 实验所验证的范畴近年来，实验物理学家为检验b e l l 不等式进行了不懈的努 力通过法国的a s p e c t 小组在1 9 8 2 年1 8 做出的实验以及后来更精密的实验观 测，实验结果显示，b e l l 不等式被违背，从而推翻了决定论的局域隐变量理论使 得量子理论与局域性隐变理论的预言的差别可以通过实验来验证随着实验技 术的进一步发展，对b e l l 不等式的检测越来越接近理想的情况奥地利的 z e i l i n g e r 小组以及旅美华人科学家史砚华、区泽字等人，在b e l l 不等式的实验 检测方面都丌展了卓有成效的工作f 9 一1 1 纠缠态的提出，对正统量子力学诠释 提出批评，一方面促进人们对量子力学基本概念有了更深刻的理解，而且纠缠 态的概念已展现其广泛应用前景 2 0 世j 纪8 0 年代，人们提出了量子计算机的理论模型，这以后，有关量予计 算和最予通讯的理论和实验的研究迅速发展起来，纠缠态就在其中起着不可缺少 第一章量子纠缠态 的重要作用从1 9 9 1 年第一个基于纠缠态的量子加密m 议的提出到它的实验实 现，纠缠态理论的研究无论在深度还是在广度上都有突破性进展子体系之间有 量了纠缠的重要特征是，当系统由两个子系统构成时，子系统a 和b 的状态均 依赖下对方而各自都处于- + o p 不确定的状念这时对一个进行测量必将使另一个 产生关联的塌缩，人们把纠绁态这一非经典的特性应用到信息科学的计算科学中 来，i f 是由于量子信息科学的发展推动了纠缠态理论的发展，同时纠缠态也为信 息传输和信息处理提供了新的物理资源 2 2 纠缠态的定义 什么样的量子态才算是纠缠态呢? 爱因斯坦等人在e p r 的论文中提出如下 一个两粒子体系波函数 咻瑚= 逼e x px , i - x ：+ x o ) p 卜 ( 2 1 1 ) x i ，x 2 分别指代两个粒子的坐标，这两量子态的特征是它不能写成两子系量子态 的卣积形式 g t ( x f ，x 2 ) 妒( 葺) 妒( x 2 ) ( 2 1 2 ) 该态为纠缠念。 关于量予纠缠的定义一般这样描述：如果存在 i 缈。) eh ，i j l f ，。) h ：，i 妒。) eh 。 ( 2 1 3 ) 使得 l 妒) = i ，) o i ：) l 。) ( 2 1 4 ) 则l v ) 为直积态或非纠缠态否则为纠缠态。这种定义的缺点为数学上看严密但物 理意义不明确。种新的量子纠缠态的定义为：对于多粒子系统设相互独立态 矢为 i 炒) 。l ，l ) 。：，f ) 。，。 ( 2 1 5 ) 则任一纠缠态可表示为： l 杪) 。= q i ) 。+ q 1 ) 。：+ c 3 1 妒) 。，+ ( 2 1 6 ) 目| j 多粒子系统的纠缠态实质就是相互独立态使的叠加态。当系统处于混合态时， 其状态不能简单的用一个态矢表示，而只能用密度算子p 来描述。 第二章 最子纠缠态 列j j 个山n 个予系统构成的复合系统，如果系统的密度矩阵不能写成各个子 系统的密度矩阵的直积的线性和的形式，则这个复合系统就是纠缠的 即p 芝_ 4 1 1 0 4 2 o - d 川 i 日要求满足 ( 2 1 7 ) p ，0 同时p ，= 1 这种纠缠态的定义是非常形式化的般情况下，当我们拿到一个具体的密度矩 阵的州候，我们不知道它是否具有子系密度矩阵的直积形式的分解，也就是说， 我f l j 4 c 女h 道它是纠缠的还是非纠缠( 可分) 的p e r e s 最先研究这个问题并取得蘑要 的进展【1 2 2 3 纠缠的量度 所i 丹纠缠度指所研究的纠缠态所携带纠缠量的多少。对它的描述可对不同的纠缠 态i r j 建立定量的可比关系。于是，如何对纠缠定量化就被提升到一个很重要的地 位，我们先来介绍出两子系构成的复合系统的纠缠度问题 对于一个两子系的纯量子态 l 。 ，它的纠缠度等于任一子系统约化密 度矩阵的v o nn e u m a n n 熵s ( p m 、) i5j 列任一子系a c o nn e u m a n n 熵的求法为： 子系约化密度矩阵 办= n j p b( 2 1 8 ) 它的所有本征值为忙f ，则 j ( 一) = 一只l o g ：b ( 2 1 9 ) 容易验证，任意直积态的纠缠度为零，其他形式的纯态的纠缠度介ro 和j 之 间【13 j 部分熵纠缠表征了系统局域的混乱程度，量子态的纠缠越厉害，从局部l 看“局部态”的“不确定程度”就越大 两子系复合系统的一个特征是它可以进行s c h m n t 分解 1 4 】， 比如说一个mxn 维的复合系统，不妨令m 。= e x p 汹+ p b l o 。 ( 3 1 5 ) 由式( 3 - 9 ) 知： 3 3 、k mm 0 = 一一 班晚 第三章压缩态光场及光场与原子相互作用模型 于是 口= “+ b v b + a + = 曲+ 一o b ( ) = 。( p l 口i p ) 。= 。( 咖6 一+ 忱= 一印+ ( 九) = 。( 纠+ 。6 i 妒6 一o b + 拨= 眇一印+ 1 2 + i u l 2 ( a2 ) = 。( 陋硝。= 咖一训2l u ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 因此，可得光场的x , h x ，分量的量子涨落分别为 ( 鲥，2 一- - 水仃) 2 ) 一丢( + ) 2 = 百1 卜u 1 2 z ( 蝎) 2 = 扣+ v 1 2 ( 3 2 l 显然它们满足 ( 互) 2 ( 从：) 2 1 1 6 ( 3 2 2 ) 从上面两式可以发现，对于满足条件( 3 1 0 ) 式的参数，d ，总可以选择它们的 值，使得光场的某一正交分量的量子涨落满足 ( 脯。) 2 1 4 ( i - 1 或2 ) ( 3 2 3 ) 此时为保证( 埘) 2 ，( ：) 2 满足不确定关系，光场的另正交分量的量子涨 落必大于l 4 。通常把光场的某一正交分量的量子涨落可以小于相干态中相应分 量的涨落的准相干态i ) 。称为压缩相干态。如果2 0 ，则i o ) 。称为单模压缩真空 冬。这种非经典光场在实验中已经得以制备。 由上面分析可知，通过对光场的算符a ，a + 作规范变换( 3 1 2 ) 式以后，可以 找到一种使光场的量子噪声大大减小的量子态压缩态。处于压缩相干态的光 场，其某一正交分量的量子涨落值低于相干态相应分量的涨落值，所以它的量子 噪声被压缩，而量子噪声被压缩的原因是由于规范变换的结果。对算符a 实施幺 正变换s g ) 和规范变换完全一致。称s 皓) 为单模光场的压缩算符。因而此幺j f 变换s 皓) 就是我们所求的规范变换算符，即单模压缩算符s 偕) 。下面就来看单 第三章压缩态光场及光场与原子相互作用模型 模光场的压缩算符换s 皓) 的具体推导：。 若选用幺正算符为 s 售) 1 ，。2 e x q i 旷川 ( 3 2 4 ) 式中f = r e ”为任意复数，显然 s + 皓) = s - 皓) = s ( - 掌) ( 3 2 5 ) 应用算符s g ) 对算符a 和a + 作幺正变换。由公式 可知 讹e = 口+ 五乜，b 】+ 等_ ，盼，b 皿+ ( 3 2 6 ) 弦蜘唧眵2 一) 2 卜陟” = “+ 三f + d2 一圭善g + ) 2 ，n + 去巴孝2 一言善o + ) 2 ，巴f 口2 一丢亭g + ) 2 ，d + 利用对易关系式： b 善+ 2 一吉孝( n + ) 2 ，d = 乒+ = r e 日+ 丢f 口2 一j 1f g + ) 2 ，口+ = 善盯= 旭1 口仃 其中r = 蚓，而口为复常数孝的幅角。于是( 3 2 7 ) 式可化简为 ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) n ( - + ；+ ；+ + e m n + ( r + 壶r 3 + 击r 5 + ， 。3 。， ：c o s h r + a + e ”s i n h r 把上式与( 3 1 2 ) 式相比较，令 1 6 箜三垩墨堕查堂堑丝堂堑量星王塑至堡里堡型 u = c o s h r ，o = e “s i n h r ( 3 3 1 ) 它们还满足关系式( 3 1 0 ) 式： 坩一 = c o s h 2r s i n h zr ：1 由于s 皓) ( 3 2 4 ) 中光场算符是以口2 和0 + ) 2 的形式出现，即压缩相干态j 卢) 。是 从相干态l 卢) 中通过湮没或产生两个光子的过程形成的，因此压缩相干态i ) 。又 称为双光子相干态。 具体推导为 在( 3 1 4 ) 式两边左成s 忙) + 并应用幺正关系，得 s + g 弘s 停弦+ ( 纠功。= s + g 归功。 ( 3 3 2 ) 即 a s + 刨功。= 厣+ 例功。 ( 3 3 3 ) 上式表明，s + 皓】) 。是光场湮灭算符a 的本征值为卢的本征矢，即为相干态i 功， 因而i ) 。满足 础g = s 蚺国 ( 3 3 4 ) 即压缩相干态是通过幺正算符s g ) 对相干态i ) 作用后得到的。， 对于式( 3 3 4 ) ，如果f l = o ，即 愧= s 刨o ) ( 3 3 5 ) f o ) 。称为压缩真空态。即压缩真空态是由压缩算符s 倍) 对真空场作用后得到的。 3 1 3 双模压缩态光场 我们主要简述一下双模压缩真空态的定义。 双模压缩真空场是由双膜压缩算符s o ) = e x p r g + b + 一曲) 】( r 为压缩因子， 表征压缩程度) 作用到双膜压缩真空态l o o ) 。得到的，即 f 妒( o ) ) ，= s ( q o o ) 。 ( 3 3 6 ) 第三章压缩态光场及光场与原子相互作用模型 它在粒子数表象中可表示 f 妒( o ) ) ，= 志薹岫”，】州。 ， 3 1 4 光场压缩态的应用前景与发展方向 目前光场压缩态产生的原理性研究已趋成熟，人们已将注意力转向如何 进一步提高压缩态光场的压缩度，并将它尽快应用于各个方面用此分量传递信 息，则可得到比激光场更高的信噪比这在高保真度的量予保密光通讯、超高灵 敏度的光学无损检测、光学精密计量、弱光及超弱光信号检测、以及生命系统的 超弱光予辐射探测等研究领域中具有很大的应用价值理论分析还表明；近年 来建立的多模压缩态光将在孤子产生、孤子压缩、孤子控制以及孤子传输与孤子 通讯问题，以及全光量子计算机的开发与研制问题等等科学技术领域内具有较之 单模压缩态和双模压缩态光更为广阔的应用前景和更为重大的应用价值。 人们当前的研究目标主要集中在以下四个方面：1 各种多模叠加态光场的 压缩特性研究；2 各种多模压缩态光场的实验与技术研究；3 各种新型多模压 缩态光压缩器件的开发与研制；4 多模压缩态光场在科学研究各相关领域中的 技术应用研究等这就是光场压缩态领域的最新发展动态和未来发展的新趋 势随着光场压缩态理论的进一步发展和完善，和研究的进一步深入，这就使得 人们过去希望达到但因理论高度不够或者技术手段暂时受限而难以达到的许多 科学探测有可能成为现实 3 2 光场与环境相互作用模型 在这一章里，我们将详细阐述光场与原子相互作用系统最常用的理论模型 j a y n e s - - c u m m i n g s ( j c ) 模型 j a y n e s - - c u m m i n g s ( 人c ) 模型是描述辐射场与原子相互作用系统量子特性的最重 要的模型，j c 模型【2 8 】是由j a y n e s 和c u m m i n g s 在讨论微波激射器时提出的， 由单个二能级原子( 或分子) 与一单模量子化的光场组成的相互作用系统的理想 模型。它在量子光学、激光物理、核磁共振和量子场论等许多问题中都常被采用。 因此讨论原子和光场的初始状态对卜_ c 模型光场的压缩效应的影响很有实际意 义。近几十年来，人们对人j c 模型的深入探讨，已揭示出了原子一光场相互作 用系统中一系列重要的非经典性质【2 9 3 4 ，光场与原子相互作用的单光子j - c 模 第三章压缩态光场及光场与原子相互作用模型 型就描述这种过程，实验上这种过程已在里德伯原子中实现。下面先介绍原子与 多模辐射场相互作用的典型模型。 3 2 1 原子与多模辐射场相互作用的典型模型 狄克( d i c k e ) 模型 假如原子仅有一个处于中一心位势v ( r ) 中且质量为m 、电荷为e 的电子( 如 氢原子) ，电子的动量为p ，如果这个原子与由矢势a ( r ，t ) 描述的辐射场作用， 那么描述系统的哈密顿量可写为： 仃= 一( p e a c ) 2 + 矿( r ) + 月j = 爿j + j + q ( 3 3 8 ) z 其中描述原子的哈密顿量为 h = 芴p 2 + 矿( r ) ， ( 3 3 9 ) 描述自由场哈密顿为 h f = a 吐唧， ( 3 - 4 0 ) f ， 而描述原子与场相互作用的哈密顿量为： q = 一去( p m 一，) + 2 去( e a l c ) 2 ( 3 4 1 ) 上式第二项含e 2 ，与前一项相比非常小，而且它表征的不同辐射振子之间通过电 子与场的耦合而发生的相互作用，这种相互作用导致双光子跃迁过程，作为近似 叮略去这- - * h 对微弱的项，于是 珥= 一豪( p m 帅) 3 4 2 由于算符 4 = ( e “城s 1 “7 ) ( 3 4 3 ) 含有坐标算符r ，所以 4 ，翻0 ，但是对于原子范围来说，一般情况下，r 可取为 1 9 第三章压缩态光场及光场与原子相互作用模型 玻尔半径范围5 3 x l o 。米以内，可见光的波长为1 0 “米，故= 2 n a = 2 玎1 驴 所以k r “3 5 x 1 0 。4 1 ，作为近似可取e m 7 “e o = 1 ，从而爿( r ) z 爿( o ) ，这相当 于在处理原子与场相互作用是略去原予的线度，通常称这利一近似为偶极近似，在 偶极近似下，m 纠= 0 ，从而原子与场相互作用哈密顿量化为： 此时 ，：一生爿( 0 ) p m c 爿= 砂气砷= ( 等) “2 气 ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) 下面讨论如何将( 3 4 4 ) 式中电子的动量算符p 用原子赝自旋算符的形式表示出 来。描述二能级原子的赝自旋算符为足，卫，最并且他们可以表示为 = ( 0 2 2 一q 1 ) 2 ，墨= 0 2 l ，s = o 1 2 原子算符吒。满足对易关系 盯f ，盯一= 盯j j 一巩盯目 对于二能级原子只有i + ) 和l 一) 态，显然原子算符。具有如下形式 旷( ：? 铲( ： 旷( 咿o j2 l oo j2 1 1 利用( 3 4 6 ) 和( 3 4 8 ) 式可得是，墨，s 之间遵循的对易关系： ，墨】_ 墨，【墨，】= 2 逻 墨，s = 墨篷+ s s + = _ ， 利用( 3 4 6 ) 可将二能级原子的哈密顿算符表示为： h , l = e _ c q l + e q 2 = 惫珊( 2 一q 1 ) 2 = 亢国是 其中已取 ( 3 4 6 ) ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) ( 3 4 9 ) ( 3 5 0 ) 第三章压缩态光场及光场与原：f 相互作用模型 e 。+ e 一= 0 ，e 。一e = h t o o ( 3 5 1 ) 对于描述原子行为的算符( 如原子的偶极矩，核外电子的动量p 以及位置r ) 可 一般地表示为： g = 如p i 研) 吒。 ( 3 5 2 ) 这样通过利用二能级原子算符，原子核外电子动量算符可以写为： p = ( + j p l - ) ( 一l 和盯一= l - ) ( + j 分别为原子的反转和跃迁算 符，g 为腔场和原子的拉曼耦合常量， ：1 为场模形式函数。因为原子沿z 轴运动， 故只需考虑场模形式函数对z 轴的依赖关系，原子的运动可以具体化为 ：) 斗一。) 这里，v 为原子的运动速度，为具体讨论方便，我们定义t e m m n 。模为 第四章原子与光场共振拉曼相互作用中的纠缠特性 3 乞) = s i n i p 】 ( 4 5 ) 式中p 表示长为l 的腔中模的半波数。 为简单起见，我们考虑只共振的情况，并假定在t = - o 时原子进入腔内，经过p 个 半波长后离开腔。在相互作用绘景中系统的时问演化算符 旷e x - i p s ， 在二能级原予本征态矢集l e ) = 巴 和i g ) = 0 表象中，时间演化算符可表示为 咖 厮磊 - i s i n i 丽厩面g o ( t ) 1 “ 耐 c o s 而磊酬 ( 4 7 ) 式中 删= k 。= 嘉卜中) s ， 选择原子速度v = 眵彳，目( f ) 变为 目( ) = 8 吆 ( 4 9 ) 设初始时刻腔场处于双模压缩真空态，原子处于激发态l + ) 和基态卜一) 的相干叠加 态 1 ( o ) ) ，= 只i m ) 。 ( 4 1 0 ) e = t a n h ”r ( 4 i i ) c o s l l ， ) ) 。s 曙) i + ) + s i n ( 兰) e x p ( 劬 - ) 其中目反应原子两能级问的激发程度，妒反应能级间的位相关系。 则扫f 始时刻系统的态矢为 鬻 第四章原子与光场共振拉曼相互作用中的纠缠特性 y ( o ) ) = 1 妒( o ) ) 。固1 】；c ，( o ) ) ， 由此得任意时刻t 系统态矢 ( 4 1 3 ) p ( r ) ) = u ( f ) f ( o ) ) 粕) ) 州i g ) 4 1 4 i 印) ) = 芝( c o s 号zc 。s 止而砷( ，) k ”) 一墓矧n 号s i n _ 而碲( r ) “p ( 扣) 卜一l ，”+ 1 ) ) = 喜( 椭钒s j n 瓣( ，) n - l , n + 1 ) + 砉s j n 号细s 厕丽叫e x p ( j m 力 ( 4 1 5 ) 利用上式可得在任意时刻t 系统的密度算符 刖戢湍： ： ：冽 根据上式可得腔场的约化密度算符为 毋( f ) = n ( p ( f ) ) = ) ) ( c ( 讣+ ) ) ( s ( r ) ( 4 1 7 ) 玎；三苫曷。(，t)+。e。xpp(干-t-口at)i(1(。c(，t)i。s(，t)lii ( 4 zs ) = ( s ( ，) ) ) e x p ( 干口) i ( c ( r ) ) ) i 。 相应的本征矢为 f 矿) ，5 1 ：j i 荔霉；i i 丽( e x p 吉c z 甜， i c ( ，) e x p 一吉c 妒口) l s c ，) ( 4 1 9 ) 第四章原予与光场共振拉曼相互作用中的纠缠特性 僻麟黼燃f z ， 可以证明原子约化密度算符的本征值与光场约化密度算符本征值具有相同的表 示式，即露= 7 9 f + a 相应原子约化本征矢表示为 i 妒) 。2 ：7 i i ；亏鼋；蚕丽( e x p 吉( r 口) i e ) e x p 一圭c ，卢土口， i g ) ( a - ：z ) 根据s c h m i d t 分解定理，可把系统的态矢表示为 ) = 历。，+ 厅。， ( 4 t 2 3 ) 利用以上结果可讨论双光予共振拉曼相互作用过程中原子运动和场模结构 对场和原子之间的纠缠和双模光场的模间纠缠的影响。 4 2 1 双模光场与原子的纠缠 由哈密顿量描述的量子动力学导致了双模压缩真空场与原子之间的纠缠， 由于本文所选系统的初态条件保证了由双模光场和原子组成的全系统在相互作 用过程中始终仍保持纯态，因此可以用量子约化熵作为