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时滞系统的稳定性分析和鲁棒风。控制 柏艳 摘要时滞普遍存在于各类工业系统中。正是由于时滞系统在实际中的 大量存在，以及时滞系统分析和控制的困难性，使得时滞系统的分析和综合一 直都是控制理论和控制工程领域中研究的一个热点问题。 稳定性是系统的一个基本结构特性。稳定性问题是系统控制理论研究的一 个重要课题。在大多数情形下，稳定是控制系统能够正常运行的前提。巩控制 方法是鲁棒控制理论发展最为突出的标志之一。本论文主要研究了时滞系统的 稳定性问题及鲁棒如控制。 本文的主要内容和成果如下： ( 1 ) 研究了具有多时滞的广义离散时间系统的巩性能问题。基于线性矩阵 不等式给出了该系统具有广义，y 一次优如性能的一个充分条件；同时，说明 所得到的结论将广义离散系统的有界实引理推广到多时滞的情形；最后，给出 相应常规系统具有1 一次优如性能的充分条件。并用数值算例验证了结论的 有效性。 ( 2 1 考虑一类非线性变时滞系统的保性能鲁棒稳定性问题。首先，基于线性 矩阵不等式，给出这类系统具有保性能鲁棒稳定性的一个充分条件；其次，当 系统中的时滞变为非时变的单时滞时，由上述结果所得到的推论比文献 3 0 l 中的 结论具有更小的保守性；最后，用数值算例对这一事实进行验证。 ( 3 ) 研究了带有时变时滞的不确定系统的时滞依赖的鲁棒巩控制问题。首 先，在预备知识里，得到一个重要命题一广义积分不等式；然后，根据所得的 广义积分不等式得出自治系统的一个改进的时滞依赖的有界实引理：随后，基 于得到的有界实引理，给出原系统存在鲁棒如控制器的充分条件，以及控制 器的求法。通过令r = a p ( 对某些n o ) ，将非线性矩阵不等式转化成线性矩 阵不等式。最后用三个数值算例来说明所得结论的可行性和较小的保守性。 ，关键词时滞系统；稳定性：参数不确定性：线性矩阵不等式；鲁棒风 控制 s t a b i l i t ya n a l y s i sa n dr o b u s th o oc o n t r o lf o rt i m e - d e l a y s y s t e m s b a iy a n a b s t r a c t ：t i m ed e l a ye x i s t si nm a n yk i n d so fi n d u s t r i a ls y s t e m s b e c a u s eo f al a r g eq u a n t i t yo ft i m ed e l a ys y s t e m se x i s t i n ga n dt h ed i f f i c u l t yo ft h ea n a l y s i sa n d c o n t r o lo ft h e s es y s t e m s ，t h ea n a l y s i sa n ds y n t h e s i so ft i m e - d e l a ys y s t e m sa l w a y si s ah o ti s s u eo ft h er e s e a r c hi nt h ec o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o le n g i n e e r i n gf i e l d s t a b i l i t yi sab a s i cs t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i co fs y s t e m s t a b i l i t yp r o b l e mi s a ni m p o r t a n ts u b j e c ta b o u tr e s e a r c ho nt h et h e o r yo fs y s t e mc o n t r 0 1 i nm o s to f t h ec a s e 8 ，s t a b i l i t yi st h ep r e m i s eo fn o r m a lw o r kf o rp r a c t i c a ls y s t e m s t h e 如 c o n t r o lt h e o r yf o rs y s t e m sh a sb e e ni n v e s t i g a t e dw e l ti nr o b u s tc o n t r o lt h e o r y i nt h e p a p e r ，s t a b i l i t yp r o b l e m sa n dr o b u s t 比c o n t r o lf o rt i m e - d e l a ys y s t e m sa r em a i n l y r e s e a r c h e d t h em a i nc o n t e n t sa n dc o n t r i b u t i o n si nt h ep a p e ra r ea sf o l l o w s ( 1 ) b a s i n go nl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h i ss y s t e m w i t hg e n e r a l7 - s u b o p t i m a l 如p e r f o r m a n c ei sp r e s e n t e d ；f u r t h e r m o r e ，i ti ss h o w n t h a tt h eg e n e r a lb o u n d e dr e a ll e m m af o rd e s c r i p t o rd i s c r e t es y s t e mi se x t e n d e d t ot h ec a s ei n v o l v i n gs y s t e mw i t hm u l t i p l et i m ed e l a y si nac e r t a i nw a y ；f i n a l l y , t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gn o r m a ls y s t e mw i t h - y - s u b o p t i m a lh p e r f o r m a n c ei sg i v e n a n dt h en u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h e e f f i c i e n c yo ft h i sr e s u l t ( 2 ) t h ea n a l y s i so fg u a r a n t e e dc o s tr o b u s ts t a b i l i t yf o rn o n l i n e a rs y s t e mw i t h t i m e - v a r y i n gd e l a y si si n v e s t i g a t e d f i r s t l y , t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h i ss y s t e m w i t ht h ep r o p e r t yi so b t a i n e d ，i nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y s e c o n d l y ，w h e n t i m ed e l a yi nt h i ss y s t e mb e c o m e ss i n g l ea n dn o tt i m e - v a r y i n go n e ，t h ec o r o l l a r y d e p r i v e df r o mt h er e s u l ta b o v ei sm u c hl i t t l ec o n s e r v a t i v et h a nt h er e s u l ti nr e f e r e n c e 【3 0 ，w h i c hc a nb ei l l u s t r a t e db yt h en u m e r i c a le x a m p l eg i v e n ( 3 ) t h ei m p r o v i n gc o n d i t i o n sf o rt h es o l v a b i l i t yo ft h ed e l a y - d e p e n d e dr o b u s t 比c o n t r o lp r o b l e m sf o ru n c e r t a i ns t a t e - d e l a ys y s t e m si sc o n s i d e r e d f i r s t l y , i nt h e p r e - k n o w l e d g e a 丑i m p o r t a n tp r o p o s i t i o n - g e n e r a li n t e g r a li n e q u a l i t yi so b t a i n e d ； i i i s e c o n d l y , d e p e n d e do nt h eo b t a i n e dg e n e r a li n t e g r a li n e q u a l i t y , a ni m p r o v e dd e l a y - d e p e n d e n tb o u n d e dr e a ll e m m a s ( b r l s ) f o rt h e s ea u t o n o m o u ss y s t e m sa r ep r o p o s e d i nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) ；t h i r d l y ，b a s i n go no b t a i n e dr b l s ，t h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c eo fr o b u s th c o n t r o l l e r sa n dt h ea l g o r i t h m so f t h e s ec o n t r o l l e r sa r ep r e s e n t e d a tt h es a m et i m e ，m o r eg e n e r a lr e s u l t sa r eo b t a i n e d i nc o m p a r i s o nt oe x i s t i n go n e s b yl e t t i n gr = 口尸( f o rs o m ea o ) ，t h eo b t a i n e d n o n h n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yc o n d i t i o n sa r ec o n v e r t e dt ol m io n e s a tl a s t t h r e e n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dc o n d i t i o n si nt h ep a p e ra r em u c hl e s s c o n s e r v a t i v e k e y w o r d s ：t i m ed e l a ys y s t e m ；s t a b i l i t y ；p a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e s ；l i n e a rm a - t r i xi n e q u a i i t y ；r o b u s t 如c o n t r o l i v r r + r ，0 8 ： r n ： o ， a 一1 蟹 x 0 x o x y x y c 2 【o ，o o ) d i a g ( d l ，厶) 主要符号表 实数域 正实数域 所有m n 阶实矩阵的全体 所有n 个实分量列向量的全体 适当维数的零矩阵 适当维数的单位矩阵 矩阵a 的逆矩阵 矩阵a 的转置 矩阵x 是正定矩阵 矩阵x 是半正定矩阵 x y 0 y y 2o 在f 0 ，o o ) 上的全体平方可积函数 诱导的矩阵2 一范数 c 2 一范数 对称矩阵的主对角线上块矩阵的转置矩阵 对角元素为西，厶的对角矩阵 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明的引用内容外，论文中不包含其他个人己经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位或证 书面使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意。 作者签名：辛啦 日期： 趔2 1 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大学。 本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师范大 学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电子版和 纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复印并允许论文进入学校图书馆、 院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位 论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：j 塑址日期：一型牢： 第一章绪论 1 1 引言 自从2 0 世纪5 0 年代末，建立在状态空间模型基础上的现代控制理论诞生 以来，控制理论得到了飞速的发展，并在2 0 世纪6 0 年代的航天领域中得到成 功的应用。现代控制理论是一个很大的范畴，在其发展过程中，衍生出了许多 理论分支，并在理论与应用方面都获得了巨大的突破与成功。如按系统的属性 来分，就有正常系统和奇异系统：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系 统；定常系统和时变系统等等。 随着控制理论研究的不断深入和对诸如动力系统、电力系统、生态系统、经 济管理系统和工业工程系统等大量实际系统研究和应用的需要，人们对系统的 描述、分析和设计的精度要求越来越高，因而所讨论的系统变得越来越复杂。在 各种工业系统中，时滞现象是极其普遍的，如长管道进料或皮带传输、极缓慢 的过程或复杂的在线分析仪等均存在时滞现象。此外，对许多大时间常数的系 统，也常用适当的小时间常数加纯滞后环节来近似，这都可以归结为时滞系统 模型。一般地，一个系统中原料或信息的传输也往往导致时滞现象的产生。因 此，通信系统、传送系统、化工过程系统、冶金过程系统、环境系统、电力系统 等都是典型的时滞系统。 正是由于时滞系统在实际中的大量存在，以及时滞系统分析和控制的困难 性，使得时滞系统的分析和综合一直都是控制理论和控制工程领域中研究的一 个热点问题。 1 2 研究对象的数学模型和应用背景 时滞是自然界中广泛存在的一种物理现象。研究对象的固有时滞造成了系 统性能下降，给系统分析和综合带来很大困难。由于存在信息收集整理的延迟， 物理器件的不灵敏性等因素，实际系统往往会受到滞后的影响，对于具有时滞 的系统的研究已经有不少结果，时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复 杂和困难，而且时滞的存在也往往是系统不稳定和系统性能变差的根源。然而， 任何事物都有其两面性，时滞也不例外。如何发掘时滞潜在的优点，有意识地、 合理地利用时滞来改善系统的控制性能，成为一个值得深入研究的课题。 1 时滞是指信号传输的延迟。而时滞系统则是指内部含有时滞环节的系统。以 具有常数时滞的连续系缚为例，时滞系统可以由时滞微分方程来描述，其一般 形式为 e ( t 。；三搿吖l 叫力，“卜r l 叫ttotot t o ( 1 。，) lz ( ) = 妒( f ) ， 一下 、 7 式中z ( t ) ，( ，) r m ，e r 仇“，7 _ r + 为时滞，( t ) 为初始函数。 在时滞系统( 1 2 1 ) 中，如果在函数，( ) 中引入控制量u ( t ) r 7 ，此时有系 统 ie 2 ( t ) = f ( e ( t 一下) ，z ( t ) ，x ( t t ) ，让( t ) ，t ) 【z ( t ) = 毋( ) ， 称式( 1 2 2 ) 对应的系统为时滞控制系统。 t t o , ( 1 2 2 ) t o t t t o 根据式( 1 2 2 ) 甲是宙笛有z 一7 - ) 坝，时师控制系统h j 以分为甲互型时稀 控制系统和滞后型时滞控制系统，其形式分别为 中立型时滞控制系统 e i c ( t ) = ，( 尘。一下) ，z o ) ，z o 一7 ) ，u o ) ，。) ， 。t o , ( 1 2 3 ) iz ( t ) = 0 ) ，t o r 曼t t o 、 滞后型时滞控制系统 e x ( t ) = ，( z o ) ，z o r ) ，“( ) ，f ) ， 。t o ， ( 1 2 4 ) iz ( t ) = ( ) ，t o 一7 - t t o 、7 根据，是否为线性函数，时滞控制系统可以分为线性时滞控制系统和非线 性时滞控制系统。线性时滞系统的一般形式为 fe 士( f ) + c 2 ( t 一丁) = a z ( t ) + b x ( t 一7 ) + d u ( t ) 1z ( ) = 妒( ) ， t t o ， o f ts t o ( 1 2 5 ) 式中e ，a ，b ，e 口为相应维数的常数矩阵，根据c 是否为零矩阵，线性时滞 控制系统可以分为线性中立型时滞控制系统和线性滞后型时滞控制系统( 这两 种系统在时滞控制中最为常见) ，其表达式分别为： 2 线性中立型时滞控制系统 ie 圣0 ) + c 圣( t 一7 _ ) = 4 z ( t ) + b x ( t 一7 | ) + d u ( t ) ， t o ， iz ( t ) = ) ，t o r t t o ( 1 2 6 ) 线性滞后型时滞控制系统 e ( t ) = 血( t ) + b x ( t r ) + d 钍( t ) ， t 。， ( 1 删 iz ( t ) = ( t ) ， 知一下t t o 。 本论文主要讨论的是线性滞后型控制系统， 当e 奇异时，称系统( 1 2 7 ) 为奇异线性时滞控制系统或广义线性时滞控制 系统。 当e 非奇异，特别地e = ，时，系统( 1 2 7 ) 变为常规线性时滞控制系统。 稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对大多数情形，稳定是 控制系统能够正常运行的前提。 在现有的时滞稳定性条件中，根据是否依赖系统中时滞的大小，可以将稳 定性条件分为时滞独立和时滞依赖两类。 ( i ) 时滞独立的稳定性条件：即在该条件下，对所有时滞，系统是渐近稳定 的。由于这样的条件无需知道系统滞后时间的信息，因此，适合于处理具有不 确定滞后时间和未知滞后时间的时滞系统稳定性分析问题。 ( i i ) 时滞依赖的稳定性条件：即在该条件下，对滞后时间的某些值，系统是 稳定的；而对滞后时间的另外一些值，系统则是不稳定的。因此，系统的稳定性 依赖于滞后时间。 一般来说，时滞独立的稳定性条件比较保守。因为，若系统满足时滞独立 的稳定性条件，则对任意大的滞后时间，系统都是稳定的。显然，这样的要求很 强。特别对小时滞系统，这样的条件是很保守的。但是，时滞独立的稳定性条件 也有其优点。首先，这样的条件往往更为简单。其次，它可以允许系统的时滞是 不确定或未知的，从而无需知道系统时滞的精确信息。 我们知道，现代控制理论的许多结果都是基于对象的一个数学模型，根据系 统的性能要求，通过对被控对象的数学模型进行分析来设计系统的控制律，进 而将所得到的控制律应用于被控对象来保证闭环系统具有所期望的性能。显然， 当对象模型不能精确地描述被控对象或在运行过程中模型和实际对象产生偏离 时，基于这样的模型设计的控制系统很难保证具有所期望的性能要求。 3 实际上，对于复杂物理系统的模型，存在以下两个问题： 1 描述物理系统的解析模型很难，甚至不可能精确地刻画，因此为了便于 处理，不得不简化模型； 2 一个模型，无论多么详细，都不可能是物理系统的一个精确表示。因此， 模型存在本质的不精确性。 建模中的以上两个方面称为模型的不确定性。 1 3系统鲁棒控制理论的研究与发展 鲁棒控制就是对于给定的存在不确定性的系统，分析和设计能保持系统正 常工作的控制器。稳定性是系统一个基本结构特性。稳定性问题是系统控制理 论研究的一个重要课题。对大多数情形，稳定是控制系统能够正常运行的前提。 鲁棒镇定是保证不确定性系统的稳定性，而鲁棒性能设计是进一步确定保有某 种指标下的一定的性能。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁 棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器，鲁 棒控制自其产生便得到了广泛的注目与蓬勃发展。其实人们在系统设计时j 常 常会自觉不自觉的考虑到鲁棒性的问题。 最早给出鲁棒控制问题解的可算是b l a c k 在1 9 2 7 年给出的关于真空放大 器的设计，他首次提出采用反馈设计和回路高增益的方法来处理振控管的各大 范围波动。之后，n q u i s t 频域稳定性准则和b l a c k 回路高增益概念共同构成了 b o d e 的经典之著1 1j 中关于鲁棒控制设计的基础。2 0 世纪6 0 年代之前这段时期 可称为经典灵敏度设计时期。此间问题多集中于s i s 0 系统，根据稳定性、灵敏 度的降低和白噪声等性能准则来进行回路设计。2 0 世纪6 0 、7 0 年代中鲁棒控制 只是将s i s o 系统的灵敏度分析结果向m i m o 进行了初步的推广f 2 l ；2 0 世纪8 0 年代，鲁棒设计进入了新的发展时期。此间研究的目的已是寻求适应大范围不 确定性分析的理论和方法。 1 9 8 1 年z a m e s 首次提出并研究了比控制问题l3 j ，引起控制界的广泛重视 和关注，获得了迅速发展，至今己形成较为完整的理论体系。如问题的研究方 法由最初的函数插值方法1 2 】到后来的汗克尔算子理论1 3 j 逐步发展，直到1 9 8 8 年d o y l e 等人在全美控制年会上发表了著名的d g k f 论文 4 1 ，证明了如设计 问题的解可以通过解两个适当的代数r i c c a t i 方程得到，d g k f 的论文标志着现 在时域控制理论的成熟。基于离散r i c c a t i 方程的重要参考文献有【孓1 3 】。 4 然而，尽管利用r i c c a t i 方程的方法可以处理一般的结构不确定性，但是需要预 先调整大量的参数和正定对称矩阵，这给问题的求解带来很大的不便。近年来， 利用线性矩阵不等式( l m i ) 分析和设计鲁棒控制问题的方法得以迅速发展，它 克服了解r i c c a t i 方程方法的缺陷。解l m i 时不需要预先调整任何参数和正定 对称矩阵，而且可通过使用内点算法有效的数值化求解系统控制参数【14 】。利用 l m i 可以分别得到满足不同性能指标最优的解，即得到一个解集，实现多目标 性能指标的要求。现在越来越多的学者利用l m i 来处理鲁棒如控制问题。 有关鲁棒如控制理论应用研究的文章颇多，如d o y l e 等人对航天飞机重 返大气层的侧轴飞行控制系统设计 1 5 1 ，s a f o n o 对飞机仰轴控制系统和对大型空 间结构的控制系统设计 1 e l 以及e n n s ，z h a n g ，贾欣乐等人分别对火箭、船舶稳 定化和控制器设计的研究l a r - 1 9 1 。 5 第二章多时滞广义离散系统的如性能分析 2 1 引言 离散时间系统不仅代表社会、经济、工程等领域一大批离散动态问题的数 学模型，而且代表连续时间系统的时间离散化模型。对离散时间线性系统的运 动分析数学上归结为求解时变或时不变线性差分方程，相比连续时间系统的微 分方程型状态方程，离散时问系统的差分方程型状态方程的求解既在计算上简 单得多也更宜于采用计算机进行计算。随着数字计算机的发展，离散时间系统 理论在控制理论中起着越来越重要的作用。 1 9 7 4 年，r o s e n b r o c k 在研究复杂的电网络系统过程中，首次提出了奇异系 统模型，奇异系统又称描述系统、微分代数系统、广义状态空间系统、半状态空 间系统等，它是比正常状态空间模型描述的系统更为一般的系统，具有广泛的 实际背景。由于它能更一般地描述客观系统，并普遍存在于许多实际问题( 如电 路系统，经济系统和社会系统等大规模系统) 中，因而有着广泛的应用，关于它 的研究已经取到很大的发展 2 0 - 2 2 l 。 同时，由于存在信息收集整理的延迟，物理器件的不灵敏性等因素，实际系 统往往会受到滞后的影响，时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和 困难，而且时滞的存在也往往是系统不稳定和系统性能变差的根源。近二十年 来，时滞系统的研究蓬勃兴起，受到理论与实际工作者的广泛重视 2 3 , 2 4 l 。但是 有关时滞系统和广义离散系统几方面结合的研究工作尚处于初创阶段 2 s , 2 0 。 本章考虑状态方程和输出方程均带有多时滞的广义离散系统的如性能问 题，给出该系统是容许( 正则、因果、渐近稳定) 的，且满足给定的性能指标的 一个充分条件。 2 2系统描述及预备知识 考虑下面的广义离散时滞系统 fe x ( k + 1 ) z ( 七) 【 z ( 七) = a x ( k ) + 墨1 口( 七一t ) + b w ( k ) ， = c x ( k ) + 墨lg z ( k 一元) ， ( 2 2 1 ) = 妒( 七) ，k ( 一下，o 】 其中x ( k ) f p 为系统的状态向量，伽( 七) r p 为外部扰动输入且叫( ) c 2 【o ，+ ) 7 z ( k ) r q 为被调输出。凡是滞后时间，r = m a x r l i = 1 ，妒( 七) 是离散的 初始向量值函数。a ，a ，b ，ga ，d ，e ( i = l ，) 是己知实常数矩阵。 首先给出以下几个定义 定义2 2 1 若系统( e ，a ) 即 e x ( k + 1 ) = a z ( k )( 2 2 2 ) 是正则、因果的，则称系统( 2 2 1 ) 为正则、因果的；若系统( 2 2 1 ) 是正则、因 果、渐近稳定的，则称系统( 2 2 1 ) 为容许的。 定义2 2 2 若对系统f 2 2 1 ) 有以下条件成立： ( i ) 对时滞常数t ，( i = 1 ，) 。系统( 2 21 ) 是容许的； ( i i ) 在零初始条件下，被调输出z ( k ) 满足 0z ( k ) 0 2 70 w ( k ) | | 2 ( 2 2 3 ) 则称系统( 2 2 1 ) 具有广义，y 一次优上k 性能。 注2 2 1 根据定义2 2 2 ，易知系统 j 眈( k + 1 ) = a z ( 。) ，( 2 删 1z ( 七) ：( ) p 。“ 具有广义7 一次优如性能即系统( 2 2 4 ) 是容许的和满足条件( i i ) 。 本章主要研究系统( 2 2 1 ) 在什么条件下满足给定的广义7 一次优比性能。 在下面的讨论和证明中，以下的几个引理是必要的。 拥z 2 水刀对给定的对称矩阵有s = 曼乏】，其是维 的。以下三个条件是等价的： ( i ) s 0 ； ( i i ) 岛1 0 ，锄一观晶1 岛2 o ； ( i i i ) 岛2 0 ，岛1 一研2 s 著观 0 引理2 2 2 1 2 s 1 广义系统( 2 2 2 ) 是容许的即正则、因果、渐近稳定的充要条 件是存在对称可逆矩阵p ，使得 e t p e 0 ， a t p a e t p e 0 ，系统( 2 2 1 ) 具有广义7 一次优如性能的一 个充分条件是，存在对称可逆矩阵p 和对称正定矩阵& 0 = 1 ，2 ，) ，满足 ( 2 2 5 ) 和 ra r p a la t p a 2 a r p a l 一岛a t p a 2 a t p a 2 一岛 ： 掌 幸木 t a r p a a t p bc r a t p a a t p b 四 a ；p a n避p b哦 ；i； a t p a _ 一s n a t p b 曝 一7 2 1 + b t p b 0 一i 其中f = a t p a e t p e + 墨1 & 证明根据引理2 2 1 ，从( 2 3 1 ) 式中易知 0 ( 2 3 1 ) n a t p a e t p e + s 0 ( i = 1 ，) ，故 月t p a i 尹p e 0 ( 2 3 3 ) 又有( 2 2 5 ) 式，由引理2 2 2 知，( e ，a ) 是容许的所以系统( 2 2 1 ) 是正则、因 果的。 下面证明系统( 2 2 1 ) 是渐近稳定的。设存在对称可逆矩阵p ，对称正定矩 阵& ( i = 1 ，) ，满足定理1 的条件。定义下面的l y a p u n o v 泛函： nq y o ( 七) ) = ( e z ( ) ) r p ( e z ( 七) ) + z 丁一i ) s j x ( k t ) ( 2 3 - 4 ) 9 则由( 2 2 5 ) 知，v ( k ) 是正定的。且在叫( ) = 0 时，矿( 后) 的前向差分 z x v ( k ) = v ( k + 1 ) v ( k ) = ( e x ( k + 1 ) ) t p ( e x ( k + 1 ) ) 一( e z ( 膏) ) r p ( e x ( k ) ) 其中 m = a r 卵 ， ： 舔 + 竺。( ，( 南) z ( 七一丁1 ) z ( k 一乃) z ( k 一研)t 恢1 ， p faa 1 a 1 + 一矿尸e + 墨1 s o 0 ( 2 3 5 ) 0 0 一s n 因此，a v ( k ) 0 的个充分条件是m 0 而由线性矩阵不等式( 2 3 1 ) ，可知 m 0 ，即系统( 2 2 1 ) 是渐近稳定的。因此系统( 2 2 1 ) 是容许的。 对任意w ( k ) 0 且w ( k ) c 2 【o ，+ 。o ) ， a v ( k ) + z r ( 七) z ( 七) 一( 1 一e ) ，y 2 w r ( 七) 叫( 七) = 其中 l = a r 卵 ： 碍 口t p a 月，幽b 】+ z ( 七一下1 ) z ( 七一7 - 2 ) z 一啸) 叫( 凫) 伊 凹 ： c j 5 o z ( 七一7 1 ) z ( 七一见) z ( k t n ) w ( k ) ( 2 3 ，6 ) a 保01 o西；o e ，【 + 一e t p e + 竺l 最0 0 0 0一岛0 0 i； 。 i； 00一s n0 000一( 1 一e ) 7 2 i 从( 2 3 1 ) 中可知，存在适当的常数e ( o e 1 ) ，使得 r a t p a la t p a 2 a r p a a t p bc r a t , p a l 一蜀a 尸a 2 - a r p a , va t p b 钾 a t p a 2 一s 2 镌p a na t p b 嚷 ； ； a r p a n s na 蕊p bc 蕞 丰事幸 奉ao 一i o r = 丁p a e r p e + s ，a = 一( 1 一e ) 7 2 j + b r p 曰 _ p - ：e t p e 一7 2 a ，t t p b b r 尸b 曼 0 ，系统( 2 3 1 2 ) 具有7 一次优比性能的一个充 分条件是，存在对称正定矩阵p 和对称正定矩阵s i ( = 1 ，) ，满足 0 ，有 一j 厂t - d ( t ，巩s 脚灿卵 研：尬二筹二篙卜 一圣丁( s ) x 圣( s ) d s 7 7 t ( ) r 1 1 1 ：等) )l 4 一主一2i + d ( 咖即) 吲州砌) j ( 。2 s ) 其中叼t ( t ) = 【z t ( t ) x t ( t d ( t ) 1 引理3 2 2 设n o ( z ) 和q 1 ( z ) 是r n 上的两个任意的二次型函数。若存在 p 0 ，使得对任意非零向量z r n ，有不等式 ( 。) 一p 1 2 l ( z ) 0( 3 2 6 ) 成立，则不等式q o ( z ) 0 满足 皿1t 1t 2 p d l a t r ld 2 a t r 2d l 崛如嵋 霍2 o0 d l a t lr 1d 2 a t r 2d l 弼0 皿3 0 d l a t r ld 2 钾兄0也 殇 -pid l r ld 2 兄0 0 - d 1 r 1 000 $ 一如兄 o0 幸奉 车奉 - d l r x 0 幸 幸奉奉幸奎 一d 2 疡 0 ，k 关于时间的导数分别为 2 讧= 2 x 丁( t ) p a x ( t ) + 2 x 丁( t ) p a z ( 一d ( t ) ) + 2 x r ( t ) p f ， ( 3 3 3 ) t = 1 1 7 2 ( 1 一五o ) ) z t ( t 一吐o ) ) q t x ( t 一画( t ) ) = l 2 ( 1 一地) z r 一吨( ) ) q t x ( t 一也( t ) ) ， ( 3 3 4 ) t = 1 喜也巩s 脚灿， 。司 令谚( t ) = 【x v ( t ) x r ( t a d o ，利用引理3 2 1 ，有 其中 一喜也矿c s ，忍小喜- 礓t 峨：帆一- 笼m ；i + 一笼m 2 i 。 噼，一若一也巩s 溉引s ) d s 州幻【朋“：朋“一蠼一尬。j 似d + 娄i 鳓吲l 2 ij 刚尬t + d f 谚( t ) l 嚣l 耳1m t t = m 2 i 】碾( t ) ( 3 3 6 ) 令z t = 【x t ( t ) x t ( t d l ( t ) ) x t ( t d 2 ( t ) ) ，1 ，则f z ( z ( t ) ) z t i i z ，其中 i i = a t a r 钾 i 三1p a l 一 罐+ m 2 1 = - 2 禾 木t 冠 月1a 21 1 + d l p a 2 一嵋+ m = 2p 00 三3 0 +0 嵋 坞 0 o r i l 尬1m 2 1 0 o l 豸1 【尬20 o l 2 三1 = p a + 月t p + q + m 矗+ 尬1 + m 五十m 1 2 ， i = 1 三2 = 一( 1 一“1 ) q 1 一 殇一尬l ，三3 = 一( 1 一* 2 ) q 2 一 绣一m z a 记z t i i z = a d z ) ，则非线性约束( 3 2 3 ) 可表示为 f h ( z ) = z t d i a g 一o t 2 f 丁只一p g g 1 ，一店2 u 2 t g 2 ，) z 0 ( 3 3 7 ) 1 8 0 z q r z ：渊 = z q 丁 z 。：i 0 ，使得( 3 2 6 ) 成立，则对满足非线性不确定性 ( 3 2 3 ) 的所有z ，有 v f 2 0 ( z ) 0 满足 画1t 1t 2pd 1 a 丁r 1 如a r 疡 皿2 o0 d l a t r ld 2 a t r 2 皿30d l a t r ld 2 蟹疡 - p ld l r ld 2 岛 t$ - d l r l 0 奉幸幸 一d 2 r 2 幸幸幸 ttt d 2 螺 0 d 2 惕 o 0 o o 一如兄2 0 ，( 3 3 9 ) 其中 画1 = p a + a t p + q i + m 矗+ m 1 + 坭+ 尬2 + z + p a 2 f t f 皿2 = 一( 1 一p 1 ) q 1 一 锈一 毛1 + p 所g 彳g 1 ， 皿3 = 一( 1 一m ) 0 2 一 殇一 锄+ p 鹰g 署g 2 ， t 1 = p a l m 5 + 1 ，t 2 = 尸a 2 一m 互+ m z 2 则对于所有允许的非线性不确定性( 3 2 3 ) ，系统( 3 2 1 ) 是保性能鲁棒稳定的， 且系统( 3 2 1 ) 的一个性能上界为 2 r o z r or o ，= 矿( o ) p ( o ) + i = 1 上也矿( s ) q 砂( s ) d s + 善上武z 矿( s ) r t ：5 ( s ) d s 棚( 3 3 1 0 ) 证明 选取l y a p u n o v 泛函( 3 3 2 ) ，根据( 3 3 9 ) 式，由定理3 3 1 知，系统 ( 3 2 1 ) 是鲁棒稳定的。由( 3 3 9 ) 式知 即 矿( z ( ) ) 一2 7 t ( t ) z z ( t ) x t ( ) z z 0 ) 0 满足 其中 r p a l 一m + m 2 p d a t r ld m 一q 1 一w 手一 如+ g 7 g 1 0 d a t r , d w 芗 一p l d r l 0 一d r l 0 - d r a f = p