（应用数学专业论文）鞅分析在最优投资与消费策略中的应用.pdf

哈尔滨理下大学理学顾。 ：学位论文 鞅分析在最优投资与消费与消费策略中的应用 摘要 鞅论是随机过程的一个前沿理论，鞅分析方法已成为一种强有力的工 具，正向其他一些数学分支渗透与交叉，并与其相结合逐渐形成一些新的研 究分支。本文则是运用鞅分析方法探讨最优投资与消费决策问题，获得了一 些相关结果。 本文从市场的微观结构出发，综述了鞅的概念、性质，在b l a c k s c h o l e s 框架内研究了金融市场上存在两种金融资产的最优投资与消费问 题。运用传统方法一随机动态规划方法和鞅分析方法对金融市场上存在两种 金融资产的最优投资与消费决策问题进行了探讨。运用随机动态规划方法获 得了最优投资与消费策略的隐式解。运用鞅分析方法得到了显示解。通过运 用两种方法的比较，鞅分析在解决消费和终端财富效用最大化的投资与消费 问题上具有明显的优势。同时，运用等价鞅测度原理、随机过程理论研究了 递归效用函数下的最优投资与消费问题。由于金融资产的价格受公司的盈利 指标、通货膨胀率等许多随机因素的影响，将市场系数由时间的确定性连续 函数推广至随机系统下随机函数情形，建立了数学模型，即金融资产价格受 随机因素影响的最优投资与消费策略新模型。利用鞅分析、随机过程等理论 求出新模型的最优投资与消费策略。同时，以效用函数为决策的依据，给出 了h a r a 效用函数的投资者的具体的投资与消费策略，使投资与消费模型 得到进一步完善，具有一定的实际应用意义。 关键词鞅分析；等价鞅测度；效用函数：最优投资与消费 哈尔滨理下大学理学顾i j 学位论文 a p p l i c a t i o no fm a r t i n g a l ea n a l y s i st oo p t i m a l i n v e s t m e n ta n d c o n s u m p t i o ns t r a t e g i e s a b s t r a c t m a r t i n g a l et h e o r yi saa d v a n c i n gt h e o r yo fr a n d o mp r o c e s s ，t h em a r t i n g a l e t h e o r ym e t h o di sas t r o n gr e s e a r c ht o o l ，a n dh a sb e c a m eo t h e rn e wm a t h e m a t i c s b r a n c hb yc o m b i n i n go t h e rm a t h e m a t i c sb r a n c h e s i nt h i sp a p e r w ea p p l yt h e m e t h o do fm a r t i n g a l ea n a l y s i st oo p t i m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o ns t r a t e g i e s ， a n ds o m er e l a t e dc o n s e q u e n c e sa r ea c q u i r e d f r o mt h em i c r o s t r u c t u r eo fm a r k e t ，w ec o n c l u d et h ec o n c e p ta n dp r o p r i e t i e s o fm a r t i n g a l ea n dd i s c u s st h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o ns t r a t e g i e so f t w of i n a n c i a la s s e t si nt h ef i n a n c i a lm a r k e tu n d e rt h eb l a c k s c h o l e sf r a m e w e u s et h ec l a s s i cm e t h o d s r a n d o md y n a m i cp r o g r a m m i n ga n dm a r t i n g a l ea n a l y s i s t od i s c u s st h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o ns t r a t e g i e so ft w of i n a n c i a l a s s e t si nt h ef i n a n c i a l m a r k e t u s i n g t h em e t h o do fr a n d o m d y n a m i c p r o g r a m m i n g ，w eg e tt h ei m p l i c i ts o l u t i o n s ；a n du s i n gt h em e t h o do fm a r t i n g a l e a n a l y s i s ，w eg e tt h ee x p l i c i ts o l u t i o n s b yc o m p a r i n gt h et w om e t h o d s ，w ef i n d t h a tt h em e t h o do fm a r t i n g a l ea n a l y s i sh a se v i d e n ts u p e r i o r i t yi n r e s o l v i n gt h e p r o b l e mo fi n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o nt om a k et h eu t i l i t yo fc o n s u m p t i o na n d t e r m i n a lw e a l t hm a x i m i z e b e s i d e s ，u s i n gt h e e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e p r i n c i p l ea n dt h et h e o r yo fr a n d o mp r o c e s s ，w er e s e a r c ht h eo p t i m a li n v e s t m e n t a n dc o n s u m p t i o nu n d e rt h er e c u r s i v eu t i l i t yf u n c t i o n t h ep r i c eo ff i n a n c i a l a s s e t si si n f l u e n c e db ys o m er a n d o mf a c t o r ss u c ha st h ep a y o f fi n d e x ，i n f l a t i o n r a t e s ow eg e n e r a l i z et h em a r k e tc o e f f i c i e n tf r o mt h et i m e d e t e r m i n a c y c o n t i n u o u sf u n c t i o nt ot h er a n d o mf u n c t i o ni nr a n d o ms y s t e m s ，a n db u i l t m a t h e m a t i c a lm o d e l ，t h a ti st h en e wo p t i m a li n v e s t m e n ta n da s s u m p t i o n s t r a t e g i e sm o d e lo ff i n a n c i a la s s e t sp r i c ei si n f l u e n c e db yr a n d o mf a c t o r s t h e n w eu s et h et h e o r yo fm a r t i n g a l ea n a l y s i sa n dr a n d o mp r o c e s st of i n dt h eo p t i m a l i n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o ns t r a t e g i e so ft h en e wm o d e l t a k i n gt h e u t i l i t y i i 哈尔滨理t 人学理学硕f ：学位论文 f u n c t i o na st h ed e c i s i v eb a s i s ，w eg i v et h ec o n c r e t ei n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o n s t r a t e g i e st o t h eh a r a u t i l i t y f u n c t i o ni n v e s t o r s i nc o n c l u s i o n ，t h e s er e s u l t s i m p r o v et h ei n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o nm o d e l a n dh a v es o m e p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n k e y w o r d sm a r t i n g a l ea n a l y s i s ，e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ，u t i l i t yf u n c t i o n ， o p t i m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o n 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文鞅分析在最优投资与消费 策略中的应用，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期 间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不 包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：邵酬书 日期：勿8 年弓月o 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 鞅分析在最优投资与消费策略中的应用系本人在哈尔滨理工大学攻 读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈 尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完 全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 有关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理 工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部 或部分内容。 ， 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密幽。 ( 请在以上相应方框内打v ) 作者签名：鄂正伟 同期：湖占年弓月o 日 导师签名：苫乙 够彩日期：聊7 月d 同 哈尔滨理t 人学理学硕 ：学位论文 1 1 课题背景 1 1 1 鞅的发展状况 第1 章绪论 早在2 0 世纪3 0 年代木至5 0 年代初，著名数学家d o o b 和l e v y 就创建了 鞅论，这个理论发展到现在，不仅成了随机过程理论中最活跃和最富有成果的 分支之，而且还越来越广泛的应用于马氏过程、点过程、估计理论、随机控 制等理论分支及应用领域。 鞅这个名称首先由法国概率学家l 6 v y 在1 9 3 9 年引进，并作了若干奠基性 的工作。后来由美国概率学家d o o b l l i 发扬光大。他于1 9 5 3 年在其名著随机 过程一书中介绍了他自己对鞅论的系统研究成果，使之成为随机过程理论的 一个独立分支。之后，鞅论的研究工作突飞猛进发展。近年来，鞅论不仅作为 随机过程的一个分支已快速发展起来，而且渗透到调合分析、b a n a c h 空问几何 学以及随机分析中去，如p e s k i r ，g o r a n 成功地探讨了由一族逆子鞅描述的统 计模型的一致性等，就这样互相渗透，互相促进，产生了一些新兴的研究分 支。我国著名概率统计专家陈希孺院士【2 1 、王梓坤院士【3 1 、王寿仁教授【4 1 、严加 安院士【5 1 、胡迪鹤教授1 6 1 、龙瑞麟教授【7 1 、史乃民教授【8 】等对鞅论的发展与应用 也做出了重要贡献。他们在鞅收敛、鞅分解、鞅不等式、可积变差鞅、鞅的随 机积分、可料过程的局部鞅，特殊半鞅的可料性、指数鞅的一致可积性、b 值 鞅等方面进行了一系列工作，获得了一系列有价值的成果。另外，又有一些专 家学者如：甘师信在广义鞅的极限收敛理论及b 值鞅方面作出了一系列成果； 汪振鹏对极限鞅型序列与g f t 收敛性、停止一致渐近鞅及拟终鞅等研究方面 获得了系列成果；高万成对b 值拟鞅序列与b a n a n c h 空i 、日j 几何特征研究结合起 来，获得了系列成果【9 1 ；刘培德在概率渐近鞅和极限鞅研究方面获得了成功； 刘智慧在取值于b a n a c h 空问的极限鞅等研究中获得了系列成果；林玉将b 值 鞅的分解应用于插值理论上，获得了成功；赵达纲、曹显兵对b 值鞅型序列的 局部收敛性进行了研究，获得了b 值鞅型序列的局部收敛的若干结果，赵兴球 对b 值鞅进行了讨论，获得了系列成果；杨小云对b 值随机变量序列部分和 的矩的收敛速度，进行了深入具体的刻画等。总之，在我国鞅与b 值鞅的研究 哈尔滨理t 人学理学硕i j 学位论文 已进入一个新的发展阶段。 当今，发展鞅的理论与方法并将其渗透到数学其它学科并与其结合形成新 的分支、新的应用方向已成为鞅论发展的新趋势、新动向。尤其在统计分析突 飞猛进发展与广泛应用的今天，如何进一步发展b 值渐近鞅的理论并应用于 统计分析中，发展统计分析理论与方法，从而解决更加广泛的一类问题，已成 为统计分析的迫切需要，也成为b 值渐近鞅理论研究与应用的一个当务之 急。而目前，虽然一些学者已经提出b 值鞅并进行了一些讨论，然而对b 值 渐近鞅的估值性质的讨论尚未涉及，尤其是如何将b 值渐近鞅的估值性质应 用于统计分析，如何应用于大样本统计分析、时空多维序列统计预报分析、金 融数学分析等研究还是一片空白。因此，我的导师孔繁亮在前人工作的基础上 对b 值渐近鞅进行了研究，获得了一些有益的结果：1 9 9 8 年，在数学学 报上发表了“b 值渐近鞅的强弱大数定律”【加1 。其后，又将渐近鞅的理论应用 于统计分析的参数估计中，应用于随机系统中的随机逼近之中【1 1 1 ，近期发表了 “参数估计的鞅方法”【1 2 1 ，又探讨了“投资与效用模型的优化设计的一种鞅方 法”【1 3 l ，将渐近鞅的理论应用于鞅差序列预报与气候预报以及现代疫情的统计 预测之中，以及大样本假设检验【1 4 l 中等。本文将在导师工作的基础上，将鞅论 的理论与方法引入金融数学之中，探讨金融数学中投资组合中投资与消费的优 化决策问题，构建投资组合问题中的鞅方法，对我国金融界中的投资组合进行 研究与探讨，从而为投资组合与最优消费决策提供科学的数学方法。 1 1 2 投资组合与消费决策问题 连续时间最优投资与消费问题的研究始于m e r t o n 1 5 】。1 9 6 9 年，m e r t o n 对 在完备市场中，股票价格过程服从扩散过程，股票无红利，投资者也无非资本 收入且效用函数为常数相对风险厌恶、常数绝对风险厌恶等严格条件下，利用 随机动态规划方法求出最优投资与消费策略【1 6 1 。1 9 7 1 年，m e r t o n 把效用函数 推广到更一般的效用函数，并在假设股票价格服从几何布朗运动的条件下，证 明了“两基金分离定理”【1 7 1 。m e r t o n 在严格的假设条件下建立的模型，是经典最 优投资与消费问题在完备的市场条件下取得的突破性成果，具有划时代意义， 有力地推动了最优投资与消费理论和微观金融学的发展。然而，现实的金融市 场往往都是不完备市场，动态规划方法存在明湿的局限性。原因在于：首先没 有一般的条件保证最优解的存在；其次，即使最优解存在，动态规划方法要求 效用函数的价值函数是连续可微的；再次，大多数情况下求解非线性偏微分的 h j b 方程无论是解析法还是数值法都很网难。到了2 0 世纪8 0 年代，一种新的 哈尔滨理t 大学理学硕f j 学位论文 方法一鞅方法在金融经济学的研究中流行开末。为此，不少学者采用随机分析 中的鞅分析方法来代替随机最优控制理论对投资消费问题进行研究，如c o x a n dh u a n g 1 8 1 9 l 、p l i s k a t 2 0 i 、k a r a t z a s 、e t a l 2 l 2 2 1 。运用鞅表示技术，无需间接效 用函数的可微性条件，c o xa n dh u a n g 导出了求解投资消费问题的新方法：通 过求解一个超越代数方程和一个抛物型线性偏微分方程，可以得到最优投资消 费策略。d o m e n i c o c u o c o 和j a k s a c v i t a n i c 研究了带预期的的最优投资与消费 问题，这篇文章探讨了投资组合选择能够影响资产价格( 具有某种程度的股价 “操纵”特征1 的大投资者的最优投资与消费问题，应用鞅论和对偶技术给出了对 数效用投资者的具体投资与消费策略的显示解f 2 4 1 。c l a u sm u n k 研究了不允许借 贷消费的不完备市场中，拥有初始财富和不可延期消费的的非交易性资产收入 的投资者，存在流动性限制和收入不可分散化风险情况下的最优投资与消费策 略瞵l 。s j u r 利用鞅方法研究了受风险控制的投资问题，并对h a r a 效用函数 的投资者给出了具体的投资策略，得到最优的最终财富的显示表达式1 2 6 i 。 c v i t a n i c 利用鞅分析方法探讨了变系数的多股票参与交易情况下的投资与消费 问题1 2 7 1 。m i c h a e l 运用鞅分析方法探讨了风险资产价格服从几何布朗运动，非 交易资产服从伊藤过程的投资模型，得到了最优财富的表达式，并对负指数效 用函数的投资者给出了具体的投资策略【2 8 i 。 1 证券市场风险证券价格模型的改进经典的最优投资与消费模型即m e r t o n 研究的最优投资与消费模型。该模型基于以下几条假设： ( 1 ) 市场是有效的； ( 2 ) 投资者具有一定的初始财富； ( 3 ) 市场上有n + 1 种资产，第0 种是收益率为j r ，的无风险债券，其它，1 种 为风险资产，其收益率r 0 ) 由外部经济环境决定； ( 4 ) 任何时候不可以出现负的财富和消费。 其数学模型可描述为： 假设会融市场中有1 个无风险资产( 如债券) ，甩个风险资产( 如股票) ，在概 率空间( q ，f ，p ) 上，在时间t e 0 ，t 】内，债券价格p 。( f ) 满足微分方程 和。( f ) = r p 。o ) ，p o ( o ) = p 。，ta 0 ，t 】。 股票价格p io ) 满足下面的微分方程 三 啦( f ) = p i ( t ) z i d t + 罗c l w j ) 】，p i ( o ) = p i ，t 【o ，t 】 芦 其中，w = ( 彬= ( w t ，w t ”) 7 ，( f ) 是利率函数，t = 【。，。f 是期望收 益向量，t 3 r = ( q ) 1 斌倒是扩散矩阵。 哈尔演理t 人学理学硕l ：学位论文 若一组投资消费过程( c ，矗) 使得财富x e 甜0 ，则称( c ，h ) 是可行的。记所 有可行( c ，厅) 之集为a 似) ，其中，石是初始资金，h 为投资在n 个股票上的比例 向量，c ； c ，0 s ts 丁】为消费过程。 令 下 v ( x ) 圭s u pj ( x ；c ，j 1 1 ) =s u p e 【 u 1 0 ，c ( f ) ) 】+ e u 2 僻e 6 ( f ) ) 】 ( c ，h ) e - - a l a ( * ) ( c ，j 1 ) a 1 2 “) ，” 若存在( c + ，h + ) e a ( x ) ，使得y o ) = j ( x ；c ，h ) ，则称( c ，h ) 为最优投资与 消费策略。 在m e r t o n 研究的最优投资与消费模型中，投资者具有常数的投资机会集 ( c o n s ti n v e s t m e n to p p o r t u n i t ys e t s ) ，即模型参数为常数，这种假设使分析和解 决问题较容易，但是具有一定的局限性。从现实的角度看，投资者在一个时间 短的区间和时间长的区间进行投资决策时，他可能投资到风险证券上资金比例 不同，但在m e r t o n 研究的最优投资与消费策略模型中，我们可以看到，当投 资机会集是常数，它是以固定的比例，这种与现实生活中观察到的不一致，为 解释这一现象，有部分学者对常数的投资机会集进行了推广，用时间变化的投 资机会集代替它。z a r i p h o p o u l o u 允许价格过程的模型系数是风险证券价格水平 的非线性函数【2 9 l ： d s , = f , ( s t ) s ，d t + a ( s t ) s , d w t 在此基础上构造最优投资与消费模型，求出最优投资与消费策略。 2 随机收入方面的进展在m e r t o n 最初研究的投资与消费模型中，m e r t o n 只 考虑了投资者具有确定性的工资收入的情况，并没有对投资者拥有随机工资收 入的情形进行探讨，当投资者拥有随机工资的收入时，这使投资与消费问题复 杂化了，原因有两方面：第一，在现实生活中，由于流动性约束，投资者不能 提前消费未来的工资收入，也就是说投资者必须始终保持他的财富大于0 ；第 二，存在不可保险的工资风险，也就是说，证券市场的证券组合不能规避工资 收入的风险，由于存在不可规避的工资风险和流动性约束导致解决投资消费问 题的复杂化，z a r i p h o p l o u l 2 9 1 2 12 皿2 3 9 研究了无限时间区间存在随机收入的最优投资 消费问题。前面研究的所有会融模型，无论是完备市场还是不完备市场模型， 都有一个共同特点：假定驱动系统动念变化的b r o w n 运动是可以完全观测到 的，即投资者可得到市场的完全信，皂, ( f u l l l n f o r m a t i o n ) 。这显然是对实际的简 化，因b r o w n 运动是建模时虚构的数量，无法观测，也难以估计。真实的市场 往往为：投资者只可观测到刻画系统状态的动态( 价格) 过程本身，如股票价格 及利率，而b r o w n 运动及动态方程的漂移系数( d r i f t p r o c e s s ) 是不可观测的。即 哈尔滨理t 人学理学硕f j 学位论文 投资者只可得到市场的部分信，皂, ( p a r t i a l l n f o r m a t i o n ) t 3 叩1 3 2 i 。此时，为求解投资 消费问题，首先要运用随机滤波( s t o c h a s t i c f i l t e r i n g ) ( 如线性或非线性k a l m a n 滤波) 理论对漂移系数进行估计，随后采用的方法有随机控制理论方法与鞅方 法两种。使用随机控制理论方法时，一般利用“分离定理” 3 4 1 ( s e p a r a t i o n t h e o r e m ) ，将原问题变成一个等价的普通随机控制问题。 3 风险度量的进展m a r k o w i t z 在1 9 5 9 年采用半方差作为风险的度量【3 5 1 ， p o r t e r 在1 9 7 4 年证明了将固定目标半方差作为风险的度量的均值风险模型与随 机占优模型的等价性【3 6 1 。1 9 7 7 年f i s h b u m 将固定目标半方差作为风险的度量 的均值风险模型推广至将低于某一目标的价格度量作为风险的情况【3 7 j 。s o r t i n o 等在1 9 9 1 年定义了向上变化风险( u p s i d er i s k ) 并l 向下变化风险( d o w n s d er i s k ) ， 且将这部分风险加权得到总风险【3 8 1 。1 9 9 0 年k o n n o 定义了机遇的风险表示形 式，半方差风险和向上( 下1 ) 变化风险的定义旨在对收益不利部分的测度变化作 为主要风险 3 9 1 。但k e n y o n ，s a v a g e 和b a l l 于1 9 9 9 年证明了强调向上变化风 险( 或向下变化风险) 相当于同样强调向下变化风险( 或向上变化风险) ，且在较 一般的条件下给出了结论的证吲柏1 。 2 0 0 1 年，r a c h e lc a m p b e l l ，r o n a l dh u i s n a n 和k e e sk o e d i j k 提出v a r 框 架下的投资组合方法，其约束为最大期望损失不超过v a r 值，证明了在正态 分布下该模型与m a r k o w i t z 模型的等价性【4 1 1 。2 0 0 6 年，董晓娜研究了概率约束 下的最优投资组合选择问题。首先，在完备的多维扩散过程的金融市场模型 ( 广义的b l a c k s c h o l e s 金融市场模型) 假设下，对已有的风险度量标准一方差、 在险价值v a r 、在险资本c a r 等作了适当改进，提出用条件在险价值c v a r 和 在险收益e a r 作为度量风险的标准，利用分割组合策略集的方法研究了该模型 下均值一风险最优动态投资组合策略的选择问题，证明了使c v a r 最小的最优 动态投资组合策略的存在性，获得在该最优投资组合策略下对应的c v a r 的最 小值。在m e a n c v a r 模型下，得到了满足c v a r 限制下终端财富期望最大的 最优投资组合策略。 4 国内研究状况及其进展4 荆1 - 州师范学院数学系孙春燕、余瑞艳在2 0 0 3 年发 表了多期最优投资组合选择模型及其解法，依据平衡定价理论，得出了多 期最优投资组合系数的选择模型，并用动态规划法和鞅测度法给出了模型的 解，通过实例分析，发现这两种解法都简便易行，为投资者提供了一个较好的 决策方法f 4 2 1 。西安电子科技大学郭文旌和胡奇英发表了随机市场系数的m v 最优投资组合选择：一个鞅方法，通过引入凹函数【厂伍) 以及等价鞅测度p ， 应用鞅的性质得到了随机市场系数情况下的m v 模型的最优投资策略以及有 效前涮4 3 1 。清华大学数学科学系初云浩、叶俊发表了跳跃股价模型下投资组 合的生成函数针对股价的非连续模型，为研究投资组合之间收益的关系，采 用半鞅的分析办法，研究i t o 过程和p o i s s o n 过程复合的股价模型下的投资组合 生成函数及其性质，随机组合理论表明通过构造生成函数可以生成新的投资组 合，并证明了生成组合的权重表达式以及相应的飘移过程和跳跃过程项，因而 可以通过一个随机微分方程分析生成投资组合的收益和市场资产组合的收益， 以及收益的期望控制的关系。结论表明生成函数及相关函数在满足一定条件下 这样的期望控制关系存在。徐之彦发表了带跳过程的广义市场的整体最优投 资策略，把严加安的带一个跳跃过程的整体最优策略的结果，推广到具 有多个跳跃过程，多个风险资产的广义市场下整体最优投资策略m 】。 赵小 艳，聂赞坎发表了有资助的消费和最终资产的效用最大化，文中探讨了带 有随机资助过程的消费和终端财富效用最大化问题，当对偶域为( r ) + 时，利 用鞅及对偶方法求得此问题的最优解【4 5 1 。2 0 0 4 年，熊德文，叶中行，研究了受 随机因素影响的股票价格问题，用等价鞅测度方法给出了具有“边信息”和不具 有“边信息”两种情况下的最优财富形式，对于对数函数，其效用最优，也探讨 了“边信息”对股票价格的影响【4 6 1 。2 0 0 5 年，刘玉琴，戴金辉，隋聪研究了不完 备市场中有限个当前价格已知的不可获得或有权益的投资问题，得到了与完备 市场中类似于鞅表示定理的结果，并且对于不可获得的或有权益的投资机会， 改进了鞅表示定理的形式，从而达到了减少内部风险的目的【4 7 】。2 0 0 5 年，刘广 应，陆伟东探讨了不完备市场中带有赋资的投资与消费问题，利用等价鞅测度 的方法得到最优投资与消费策略【4 8 】。2 0 0 5 年，何春雄，罗军等研究了在最优投 资问题的约束条件为收益不低于市场组合收益与固定保本收益最大者的情况下 的投资问题，通过构造等价鞅测度求出其最优投资策略。同时，在h a r a 效 用函数下分析了此投资问题的性质是：在市场处于下跌时也能获得保底的正收 益【。9 1 。2 0 0 6 年，郭文旌，雷鸣研究了非连续股价及不完全信息下的最优投资与 消费问题，当风险资产的价格是一个跳跃一扩散过程且价格动态方程中包含布 朗运动以及飘移过程都是不能直接观测时，运用鞅表示定理及条件期望的结论 得到了最优投资与消费策略【5 0 1 。2 0 0 6 年，张鸿雁，李滚考虑金融市场信息不对 称情况下的最优投资与消费问题。首先，讨论了完备市场下该问题的最优投资 与消费策略，进而又对不完备市场讨论了最优解的存在性和唯一性【5 1 1 。2 0 0 6 年，中南大学数学科学与计算技术学院的张振中，胡玉玺等运用鞅分析方法研 究了带投资收益的风险模型，在该模型下保险人可以根据盈余投资，投资的数 量为时问t 的函数，得到了保险人投资策略与破产概率在t 时刻所满足的积分一 哈尔滨理t 大学理学颀。f ：学位论文 微分方程【5 2 1 。 随着金融市场的发展，金融风险给人们带来的灾难性损失越来越大，因 此，人们对金融风险也越来越重视。在追求回报的同时，风险的最小化已经成 为投资者的共识。 金融统计学是会融和数理统计的交叉性学科，它是一门运用概率论与数理 统计及一些近代数学前沿理论和多种金融工具，主要研究最优投资消费策略的 选择、风险资产的定价、避险等问题，是金融投资业、现代保险业和社会保障 事业发展的理论基础。因此，金融统计学是现代金融学的核心。它不仅对金融 工作的创新和金融市场的有效运作产生直接影响，而且在公司的投资决策、研 究项目的评估和金融机构的风险管理中也有广泛的应用。 m a r k o w i t z 在1 9 5 2 年推出了如何选择理论( 均值一方差模型) ，最初的组合选 择理论是静态的，投资者的唯一目标就是最大化期末财富( 或者消费) 的期望效 用，而不能随时间的变化，根据实际情况相应地对资产组合进行再平衡。因 而，不能揭示投资者如何在消费和投资之间分配财富，以及当投资者有机会对 组合进行再平衡时，投资者如何在消费和投资之间分配财富问题。把组合选择 问题扩展到多个时期，实现组合选择的动态化，允许投资者决定在何时如何去 储蓄以及如何在风险资产中分配这些储蓄，此时组合选择问题就变成最优投资 与消费问题。现代金融理论已经经历了从简单的定量分析到系统化、工程化的 发展过程，在这个发展进程中，形成了投资组合、期权定价、风险管理等一系 列的分支理论。单从投资组合来看，它主要仍然沿用m a r k o w i t z 的基本思想， 即均值一方差分析方法，经历了从单阶段到多阶段再到连续时问的发展过程， 均值一方差方法优点是直观，容易被接受，因而在实际应用中非常广泛。均值 一方差方法的不足就是单纯地考虑一个确定的投资时域，并且考虑的市场环境 比较简单，不能细微的反映出实际市场的复杂变化情况。另外，均值一方差方 法单纯的考虑投资者的投资行为，没有考虑到投资者的消费及消费对投资的影 响。最优投资与消费理论是经典金融学中组合理论的扩展与延伸。在经济生活 中，每个经济个体每天都面临着投资消费选择问题。最优投资与消费问题的核 心内容就是：如何在不确定的条件下对资源进行分配和利用，找到能够满足效 用最大化的投资、消费策略，实现投资、储蓄和消费的动态平衡。因此，最优 投资与消费问题是金融统计学研究的重要内容之一，是金融经济学中资产定价 和风险管理问题的基础，最优投资与消费模型建立了虚拟经济( 证券) 与实体经 济( 储蓄、消费) 相联系的纽带，对实现投资、储蓄和消费的动态平衡具有重要 的指导意义，也为宏观调控提供了新的有效渠道。 哈尔滨理下人学理学硕一f ：学位论文 目前“鞅分析方法”已经广泛地应用到金融数学和许多工程技术中去，显示 了鞅论的巨大作用。鞅理论的产生与发展是投资组合与最优消费决策理论迅速 发展起来。本文研究的目的是运用鞅论、随机分析等这些数学工具对金融学中 投资与消费问题通过建立数学模型，在国内外对此问题的新进研究成果上，进 行定量分析，进一步探讨此问题的内在规律，得到一些对金融实践具有指导意 义并且有用的数学结论。同时，根据金融市场的实际运作情况，研究金融资产 价格受公司的盈利指标、通货膨胀率外部经济因素等随机因素影响的最优投资 与消费策略的决策问题，依据数学的理论基础建立一种新的数学模型来模拟市 场运作，使连续时间投资组合理论得到进一步完善，为投资者分散投资来减少 和回避由于市场的不确定因素带来的风险从而实现期末终端财富最大化提供了 方法和依据，使理论问题更具有直观性和现实意义。 1 2 课题来源 本课题属于应用研究的范畴，选自于指导教师孔繁亮的国家自然科学基金 项目“鞅论及其在统计分析中若干应用”( 项目批准号1 0 7 7 1 0 4 6 ) 的有关部分。 1 3 本文主要内容 本课题主要利用鞅分析方法、随机分析等理论以及随机动态规划方法讨论 金融市场上存在两种资产的最优投资与消费决策问题。 1 鞅与投资组合 这部分在综述了鞅的有关知识基础上，从市场的微观结构出发，结合金融 经济学分析的基本框架，介绍了此种模型的建立，同时用运用随机动态规划方 法和鞅方法探讨了市场系数是时问的连续函数的最优投资与消费问题。即： 在金融市场中存在两种金融资产，一种为无风险资产( 如债券) ，其价格 风( f ) 服从下面的微分方程 印o q ) = p o ( t ) r ( t ) d t 一种为风险资产( 如股票) ，其价格蟊p ) 服从下面的微分方程 a p 。o ) = p 。o ) ( o ) 出+ o r ( t ) d w ( t ) ) 其中，( f ) 是随机利率函数，( f ) 是时间t 的瞬时期望收益率函数，a ( t ) 是股 票价格的波动率函数，并且厂( f ) ，口( f ) ，i x ( t ) 都是连续且二次可微。w ( f ) 是定义 哈尔滨理t 人学理学硕 j 学位论文 在概率空间( q ，f ，p ) 上的n 维b r o w n 运动。 最优投资消费问题可描述为： f 。器鹜，) 【qu 【( c ( f ) ，t ) d t + u z 孵，】) 其中，u ，u ：为效用函数，c = c ( f ) ，0s ts 丁) 为消费过程，x y 为投资者财富 过程。 2 递归效用下的最优投资与消费模型 由于现实生活往往具有随机性或者不确定性，因此这部分主要在不确定性 的市场框架中研究投资者如何进行最优消费和投资决策。其模型如下： 投资者的期望总效用为k = e 【( ，( c 。，k ) a s + g ( z ) 1 只】，效用u ( c ，z ) = ，z 是 一个f 一可测的非负随机变量，g ：r 一尺为严格递增的凹函数，递归效用下 的最优投资与消费问题可表述为m a x 【，( c ，z ) ，其中， ( c ，z ，口) e 0 ) a ( x ) = ( c ，z ，p ) i ( c ，z ) f i ，( c ，z ，p ) 预算可行】 r d 一 ( c ，z ) d i e 【 c 2 d t 为 e ，n 吣适应的，称x = e 以，n 0 ) 为适应序列。 对p 0 ，若对任意刀0 ，有ex 。i p 0 0 ，( 即x 。e l p ) ，则称 x 一 瓦只，万田为胪可积的适应序列，口可积的适应序列简称为适应可积序 列。 如果s u p e x 。i p 0 ，e x 。= e x o 。 鞅还有另一种定义。 定义2 2 t 5 】4 1 在概率空间( q ，f ，p ) ，令 f ，t 0 ) 是f 的非降子d 代数流，称 随机过程 x ( f ) ：f 0 是关于仍，t 0 ) 的鞅，若有 ( 1 ) x ( f ) 互，即x ( t ) 是f 可测的； ( 2 ) e ( 1 x ( f ) i ) 0 ，恒有 e 【x ( f ) 】= e 【x ( f ) jf o 】= e 【x ( o ) 】 由条件期望的性质可知下列各性质成立： 性质2 1 嘲4 1 设x - - x ，f ，l 田为适应可积序列，则x ；，e ，| ，z 0 ) 为 下鞅( 或上鞅) 的充分必要条件是对任意的n 芑0 ，e ( 以+ ，ie ) x n ，a e ，( 或 e ( x 州i e ) sx 。，a e ) 。 性质2 2 p 1 4 2 设x - - x 。，e ，n 芑0 ) 为下鞅，i 一 x 。，g 。，l 0 ) 为适应序列且 岛ce ，n 0 ，则x = 以，g 。，n 吣为下鞅。 性质2 3 5 1 4 2 设x = ( x 。，e ，咒o 】与x7 = 彰，v ，l o 是鞅( 或下鞅) ，则 x + x 一 x 。，x ：，e ，l o ) 是鞅( 或下鞅) ； xv x = 灭jvj z ，e ，l o 是下鞅。 性质2 4 【5 设工= x 。= 罗捆，e ，忍田为适应可积序列，则称 简 x = x 。，只，n 吣为下鞅( 或鞅) 的充分必要条件。 对任意刀0 ，e ( 捆州ic ) 0 ，a e ( 或e ( d x + 。if ) = 0 ，a e ) ，此时称 d x = a x 。，v ，l 0 ) 为下鞅差( 或鞅差) 。 定义2 3 4 m 非负广义随机函数r p ：q _ 【o ，】) 称为忆，t2o ) 的停时，如果 对一切的t 苫0 ，p s f 】是f 可测的；p ) = 1 ，若存在常数k ，使得 p 0s 尼) = 1 ，则称之为有界停时。 鞅论的一个重要结果是有界停时定理，即给出适当的条件，使得将式( 2 7 ) 中的t 置换成随机时间时，仍然成立。 定理2 1 t 4 j 3 5 假设f 是关于鞅 x ( t ) ：r o ) 的有界停时，则有 e x p ) 】= e 【x ( o ) 】 鞅论的另一个重要结果是收敛性定理。 定理2 2 【4 j 3 6 设 x ( f ) ：f o ) 是一非负鞅，则存在几乎处处收敛的有限极 限，即有 l i m x ( t ) = x ( ) ，a s t 。 令只u = 仃( s ) ，sst ) ，显然化u ，t 0 ) 是一非降子o r 代数流。 性质2 5 ”设x = x 。= y 删i ，e ，z o ，为l 2 可积鞅，则 哈尔演理t 大学理学硕 ：学位论文 2 1 2 鞅测度 磷2 善斛 长度、面积与体积( 为简便起见，下面总称为“度量”) 概念，最初源于人们 的常识，在微积分学出现之后，有关度量的知识已经大为丰富，并广泛应用于 科学的各个领域。然而，传统的度量概念并不能满足日益复杂的科学问题的需 要，其基本缺陷是： 首先，度量概念仅适用于比较规则的图形，而不能用于高度复杂的点集。 例如，我们无法说到“平面有理点的面积”，而给出有理点集的一个合理