（理论物理专业论文）有限多自由度系统能量耗散过程的功率谱研究.pdf

f f 北丁业人学坝f 。学位沧文 有限多自由度系统能量耗散过程的功率谱研究 摘要 研究有限多自由度耦合系统能量耗散过程中不同自由度的动力学行为不仅是统计物 理学的基本问题，也是核物理、生物物理等领域的重要问题。本文借鉴已有的理论依据和 数值模拟，采用非线性动力学分析手段研究有限多自由度耦合哈密顿系统能量耗散过程的 动力学特征，对深入理解与能量耗散有关的不同自由度的动力学过程有一定的意义。 本文研究了与有关自由度运动的动量p ( o n 对应的功率谱随时间以及环境中无关自由 度数的变化，同时研究了与无关自由度运动的动量p ( o 相对应的功率谱，在子系统之间耦 合作用开启前后两种不同情况的对比，以及在无关自由度数取不同有限值时，与无关自由 度运动相对应的功率谱的变化。结果发现在有关系统的能量耗散过程中，有关自由度运动 的频率成分向高频和低频方向都有明显展宽，随着无关系统自由度增多，展宽明显增加， 低频成分比较稳定，高频成分随着时间的演变逐渐减少，最终有关自由度的运动在一个混 沌的环境影响下也达到混沌；这一过程中，环境中各自由度运动的混沌特征比耦合作用开 启之前更加明显；就整个系统来说，有关自由度与无关自由度之间的耦合作用开启之后的 很短一段时间内，系统部分具有准周期运动的特征，部分具有混沌特征。另外，根据各自 由度运动的坐标q ( o 的方差在子系统之间耦合作用开启之后短期内的变化，发现有关自由 度和无关自由度运动的轨迹所能分布的区域在这一时间内有短促的收缩一膨胀现象。 论文一共分五章。 第一章简要介绍多自由度耦合体系动力学问题的研究背景和发展状况，并对本工作进 行简要概括。第二章和第三章分别介绍非线性动力学分析手段和用投影算符推导耦合主方 程的理论。第四章从合理的数值模拟结果出发分析有关自由度及无关自由度运动的动力学 特征。第五章总结本工作得出的结论。 关键词：能量耗散，有关自由度，无关自由度，功率谱 塞些耋垒生些至丝璧星塑坠垒堡竺丝兰! ! 竺垒 s t u d y0 ne n e r g yd i s s p a t i v ep r o c e s s i nf i n e t em u t i d e g r e eo ff r e e d o ms y s t e m w i t hp o w e rs p e c t r u ma n a l y s i s a b s t r a c t i t saf i m d a m e n t a lp r o b l e mi ns t a t i s t i c a lp h y s i c st os t u d yt h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro f d i f f e r e n td e g r e eo ff r e e d o m ( d o f ) i nt h ee n e r g yd i s s i p a t i v ep r o c e s so ff i n i t ec o u p l e dm u l t i - d o f s y s t e m t h i si sa l s oa ni m p o r t a n tt o p i ci ns o m ef i e l d ss u c ha sn u c l e a rp h y s i c s ，b i o p h y s i c s e t c w i t hs o m ew i d e l ya d m i t t e dt h e o r i e sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o nc o n s u l t e d ，d y n a m i c a lf e a t u r e so f t h ee n e r g yd i s s i p a t i v ep r o c e s si nf i n i t ec o u p l e dm u l t i d o fh a m i l t o n i a ns y s t e mi se x p l o r e di n t h i sd i s s e r t a t i o nb yn o n l i n e a rd y n a m i c a la n a l y z i n gm e t h o d s t h e r ea r ec e r t a i nm e a n i n g si nt h i s w o r kf o rt h o r o u g h l yu n d e r s t a n d i n gt h en o n l i n e a rd y n a m i c a lc o u r s eo fd i f f e r e n td o f sr e l a t e dt o e n e r g yd i s s i p a t i o n i ti ss t u d i e dt h a th o wt h ep o w e rs p e c t r u mo fm o m e n tp i nt h em o t i o no fr e l e v a n td o f c h a n g e sw i t ht i m ea n dt h en u m b e ro fi r r e l e v a n td o f s t h ew o r kd i s c u s s e st h ec o m l ：i a r i s o n b e t w e e nt h ep o w e rs p e c t r u mo fm o m e n tp ( 0i nt h em o t i o no fi r r e l e v a n td o f sb e f o r et h e c o u p l i n g i n t e r a c t i o nb e t w e e ns u b s y s t e m sa c t i v a t e da n dt h a ta f t e rt h ec o u p l i n gi n t e r a c t i o n a c t i v a t e d ，a sw e l la st h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h ep o w e rs p e c t r u mo fm o m e n tp ( oi nt h em o t i o no f i r r e l e v a n td o f sa n dt h a tw i t hd i f i e r e n tn u m b e ro fi r r e l e v a n td o f s i ti sf o u n dt h a t i ne n e r g y d i s s i p a t i v ep r o c e s s ，t h ed i s t r i b u t i o n o fs p e c t r a ld e n s i t ya b o u tt h em o t i o n o fr e l e v a n td o f r e m a r k a b l ye x t e n d s t oe i t h e rl o w e ro rh i g h e rf r e q u e n c y t h em o r ei r r e l e v a n td o f sa r e ，t h em u c h b r o a d e rt h ed i s t r i b u t i o ne x p a n d s i nt h ep o w e rs p e c t r u ma b o u tr e l e v a n td o eh i g h e rf r e q u e n c y c o m p o n e n t sa r ew e a k e n e da s t i m ee v o l v e sb u tt h e r ea r en or e m a r k a b l ec h a n g e sf o rl o w e r p - f 北r ? 业人学坝i j 学位沱艾 c o m p o n e n t sf i n a l l y ，t h em o t i o no fr e l e v a n td o fr u n st oc h a o sw i t ht h ee f f e c t sf r o mac h a o t i c e n v i r o n m e n t w i t ht h ei n t e r a c t i o nf r o mr e l e v a n ts y s t e m t h ec h a o t i cf e a t u r ei nt h em o t i o no fa l l d o f sc o n t a i n e di ni r r e l e v a n ts y s t e mi s a c c o r d i n g l ye n h a n c e da f t e rt h ec o u p l i n gi n t e r a c t i o n a c t i v a t e d a sf a ra st h ew h o l es y s t e mc o n c e r n e d ，f e a t u r eo fq u a s i - p e r i o d i cm o t i o na sw e l la s f e a t u r eo fc h a o si sp a r t i a l l yk e p td u r i n ga ni n t e r v a ls h o r t l ya f t e rt h ec o u p l i n gi n t e r a c t i o nb e t w e e n s u b s y s t e m sa c t i v a t e d i na d d i t i o n ，b yt h ev a r i a n c eo fq ( t ) r e l a t e dt od i f f e r e n td o f , a na c u t e c o n t r a c t i n g e x p a n d i n gb e h a v i o ri nt h ep r o b a b l ed i s t r i b u t i o na r e ao f t h et r a c ka b o u td i f f e r e n td o f i so b s e r v e dd u r i n gt h ei n t e r v a ls h o r t l ya f t e rt h ec o u p l i n gi n t e r a c t i o na c t i v a t e d t h ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so f5s e c t i o n s t h eb a c k g r o u n da n dp r o g r e s sf o rs t u d yo nt h ep r o b l e m sa b o u tf i n i t em u l t i d o fc o u p l e d s y s t e ma l ei n t r o d u c e di ns e c t i o n1 ，w h i c he n d sw i t hab r i e fs u m m a r yo ft h i sw o r k s e c t i o n2 q u o t e ss o m eu s e f u ln o n l i n e a rd y n a m i c a la n a l y z i n gm e t h o d s 1 1 1 et h e o r yo fc o u p l e d - m a s t e r e q u a t i o nd e r i v e db yt i m e - d e p e n d e n tp r o j e c t i o no p e r a t o ri sr e c a p i t u l a t e di ns e c t i o n3 w i t ha r e l i a b l en u m e r i c a ls i m u l a t i o nc o n s u l t e d ，t h ed y n a m i c a lf e a t u r e si nt h em o t i o n o fr e l e v a n to r i r r e l e v a n td o fa r ed i s c u s s e d 1 1 1 el a s ts e c t i o ng i v e sas u m m a r yo ft h ec o n c l u s i o n sf r o mt h i s w o r k k e yw o r d s ：e n e r g yd i s s i p a t i v ep r o c e s s ，r e l e v a n td e g r e eo ff r e e d o m ，i r r e l e v a n td e g r e eo f f r e e d o n ，p o w e rs p e c t r u m 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特另t l d i l 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写的研究成果，电不包含为获得河北工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过 的材料。与我一同工作的同志划小研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 学位论文作者签名：青、糕 r 期：砂一 ，7 占 关于学位论文版权使用授权的说明 本学位论文作者完全了解河北工业大学有关保留、使用学位论文的规定。特授权河北 工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 导师签 嵩惭 堑c 司主 日期：瑚r 同期：z 吣， w 北t 业人学 i ! j i1 学位论史 第一章绪论 在统计物理学领域，阻尼、耗散、涨落以及扩散等现象，一泛地存在丁二各种需要讨论的问题( 如热核 共振、核裂变、核聚变、重离子完全弹性碰撞等与原子核有关的过程) ，尽管用f o k k e r - p l a n c k 方程或 l a n g e v i n 方程等宏观输运理论能够给出唯象的描述，但是如何微观地理解这些现象仍是统计物理的一个 基本问题。这些现象都涉及到集体自由度和内禀自由度z 间复杂的相互作用问题，环境与有关系统之间 的相互作用使有关自由度产生能量耗散过程就是一个典型的例子。 很多研究方法中，需要人为地划分集体自由度和内禀自由度，假设有关系统通过线性耦合作用与无 关系统相联系，无关子系统往往直观地被假设成有无限个自由度、具有遍历性的热浴或与时间有关的正 则系综，采用l a n g e v i n 方程或f o k k e r - p l a n c k 方程对有限系统进行描述。然而在多个粒子组成的有限体 系中，利用b o r n o p p e n h e i m e r 近似或统计假设把整个系统划分成集体( 有关) 和内禀( 无关) 两个子 系统的方法并不适用，因为一个孤立的多体量子体系的自由度数并不是无限大，将无关系统当作热浴和 用线性耦合将有关系统与无关系统相联系的方法不能确保从微观动力学得出唯象的输运方程。后来发现 当系统自由度数有限时，不同自由度之间的非线性耦合作用对各自由度产生混沌运动有很大作用从而使 整个系统达到遍历的统计状态，这一领域已经有很多有意义的工作1 。2 ”。最新的关于非线性多自由度耦 合系统的理论研究表明，采用投影算符的方法做为理论框架，能够推导出不同自由度之间能量输运方程 并讨论有关自由度的动力学特征，在子系统的划分上可以通过合理的方法将多自由度体系最优化地划分 成两个子系统，从而对无关子系统的描述不用借助任何热力学概念 2 0 - 2 2 1 。 本人硕七期间的主要上作是用功率谱的方法研究能量耗散过程中，各自由度运动的动力学特征随众 多因素如何变化，本文着重讨论有限多自由度系统中各自由度的运动过程和趋势，以及由环境自由度数 的变化对系统身9 运动带来的影响，得出了对深入理解有关系统能量耗散过程乃至进一步研究多自由度耦 合系统非线性动力学问题有所帮助的结论。 第二章非线性动力学方法 2 - 1 非线性动力学的简单统计分析 要研究一个复杂系统的运动，一定要考虑如何判断这个系统在某一特定条件做什么样的运动以及有 哪些特征。当完全不存在混沌时，对于线性系统和的非线性系统的描述没有重大差别，但是非线性系统 往往容易出现混沌，对混沌在实际空间或状态空间作轨道描述没有意义。通常对非线性系统或其吸引子， 只能进行一些统计性描述，所以描述非线性系统需要跟经典力学不一样的特征量和方法【2 4 。1 4 1 。 不仅仅是前面提到的与原子核有关系的各种过程，在许多实际问题当中，人们往往对系统知之甚少， 甚至不知道其动力学规律，而只能够测得与系统性质有关的某一变量随时间变化的数据或曲线，即所谓 时间序列或信号。这样测得的变量可以是系统的状态变量，如膜电位( 细胞膜内外电位差) 或力学系统 沿某个方向的位移；也可能是与系统状态有关的变量，如从体表测得人的脉搏、心律、脑电图等等。如 何由这些时间序列确定系统的运动性质和特征在实际应用中更具有重要意义。 分析非线性系统某个变量x 的时间序列，最直观是观察其x - t 曲线。如果z f 曲线是杂乱无章或非 周期性的，则系统的运动既有可能是混沌，也可能是存在噪声，还可能是准周期运动或有噪声本底的规 则运动。由这样的x - t 曲线无法简单确定系统的运动性质。 对这样的时间序列需要进一步进行统计分析，首先定义所观测的变量x 的m 阶矩( m 为正整数) 为 ( ，) = 专喜r ， n 表示时间序列元素个数或观测长度，式( 2 1 ) 中m = l 和m = 2 时，其矩有明确的意义。m = l 的矩表示x 的平均值，m = 2 的矩表示z 的均方值。类似地可以定义r 的观测值与平均值f 之间的偏差矩， ( ( x 一) ) = 万1 善n ( t 一) ” ( 2 2 ) m = 2 的偏差矩即为变量x 方差， 第二章非线性动力学方法 2 - 1 非线性动力学的简单统计分析 要研究个复杂系统的运动一定要考虑如何判断这个系统在某一特定条件做什么样的运动以及有 哪些特征。当完全不存在混沌时，对于线性系统和的非线性系统的描述没有重大差别，但足非线性系统 往往容易出现混沌，对混沌在实际空间或状态空间作轨道描述没有意义。通常对非线性系统或其吸引子， 只能进行些统计性描述所以描述非线| 生系统需要跟经典力学小一样的特征量和方法f 2 4 4 ”。 不仅仅是前面提到的与原子核有关系的各种过程，在许多实际问题当中，人们往往对系统知之甚少， 甚至不知道其动力学规律，而只能够测得与系统性质有关的某一变量随时间变化的数据或曲线，即所谓 时间序列或信号。这样测得的变量可以是系统的状态变量，如膜电位( 细胞膜内外电位差) 或力学系统 沿某个方向的位移：也可能是与系统状态有关的变量，如从体表测得人的脉搏、心律、脑电图等等。如 何由这些时间序列确定系统的运动性质和特征在实际应用中更具有重要意义。 分析非线性系统某个变量j 的时间序列，最龃观是观察其x t 曲线。如果x - t 曲线是杂乱无章或非 周期性的，则系统的运动既有可能是混沌，也可能是存在噪声，还可能是准岗期运动或有噪声本底的规 则运动。由这样的卜r 曲线无法简单确定系统的运动性质。 对这样的时间序列需要进一步进行统计分析首先定义所观测的变量x 的m 阶矩( m 为正整数) 为， 专粪f ( 21 ) 表示时间序列元素个数或观测长度，式( 21 ) 中m = l 和m = 2 时，其矩有明确的意义。珊= 1 的矩表示x 的平均值，m = 2 的矩表示x 的均方值。类似地可以定义z 的观测值与平均值一之间的偏差矩， ( 扛一卢) “) m = 2 的偏差矩即为变量x 方差 m = 2 的偏差矩即为变量x 方差 专； c ，” ( 2 2 ) 一 ! 些! ! ；些：i 竺；! ；i 竖! ! ： 脚2 ) = 专姜( 刊2 = ( x 2 ) ( 23 ) 为了表示两时间序列x ( t ) ：f l l “f ) 之间的联系，即关联性，可以引入关联系数( 或相关系数，义称彼 尔森关联系数) ， 心，= 唑编瓣哗 其中盯表示标准差或称均方差， o - x ( t ) = f o ( x ) 2 ( 2 4 ) ( 25 ) 如果两序列完全相关( 完全相同) ，x ( ，) 7 ( f ) ，( 石2 ( ，) ) 一( ( ，) ) 2 = 盯2 b ( r ) 】，从而r ( ，) = i ：若两序列完全 无关，比如两者都是白噪声或取自性质完全无关的系统，则i ( x ( f ) _ y ( f ) ) = ( z ( f ) ) ( y ( f ) ) ，从而，( f ) = o 。对 于有一定的相关性但又不完全相同的两时间序列( 如在人体不同部位记录到的电信号，在不同观测点记 录到的地震波数据或气象资料等) ，介于0 与1 之间，其大小标志两信号之间的相关程度。 关联系数也可以描述一个时间序州自身某段时间( o ，f ) 前后的相关程度，也就是序列或其所代表的 系统规律性的程度， 心，= 掣 盯i x l f ) i ( 2 6 ) 对于完全规则的信号，如周期运动，( 工2 0 ) ) 一( x ( 嘞2 = 盯2 瞳o ) 】，( o = 1 ：对于白噪声，z ( 力完全无规 则，( x 2 ( f ) ) = ( x ( f ) ) 2 ，r ( f ) = o 。其他情况( 如色噪声、有噪声污染的规则信号或混沌) ，r ( f ) 介于。与1 之间。因此，( 0 大小可以表示信号前后关联程度，即规律性的程度。 2 - 2 自相关函数 自相关函数，也叫做离散卷积，在分析系统运动性质上也是十分有用的函数，其定义为 c ( r ) = l i m l 7 1m ( x ( 啦( f + r 瑚 或 c ( f ) 其中f 是时间的延迟量。 l i m l 广”x ( 删( r + r ) a t t - - + t 上t 2 ( 27 ) ( 28 ) 卡】限多臼山度系统能量耗散过程的助半聃研究 r 面米看自相关函数c ( r ) 的物理意义。显然，当f = 0 时，c ( 0 ) 表示系统的功率：当f 0 时c ( r ) 表示相著为f 的两时刻运动的相互关联或相似的程度，如对于理想白噪声，x ( t + r ) 和x ( ，) 毫无关联 r 0 时即有c ( f ) = 0 。当x ( ，) 的幅值一定时，c ( r ) 越大，则x ( t + f ) 与z ( ，) 越相似。r 越小时，x ( t + f ) 与x ( ，) 也越相似，从而c ( v ) 越大；反之，f 越大时，x ( t + f ) 与x ( ，) 的差别可能越来越大，以至于完全 无关，而c ( r ) 越来越小直至趋近于零。通常c ( r ) 总是随f 的增大而逐渐变小，故此c ( r ) 称作白相关 函数。与式( 24 ) 定义的关联系数相似，c ( r ) 可以用米表示时间序列的规律性如何或系统的确定性如何。 通常用c ( f ) 由c ( 0 ) 降至第一次极小处、或c ( r ) 第一次取零处、或c ( r ) 降至第一次取零附近的c ( o ) e 的f 值作为该时间序列前后相关性或系统的规律性( 确定性) 程度的量度，称为关联时间。r o 越大 系统运动的前后相关性( 系统运动的规律性) 越强：反之，r o 越小，相关性越差甚至所观测的信号就 是噪声( 寸0 ) 。关联时间与式( 2 4 ) 定义的关联系数r ( o 有相似的作用。 自相关函数具有以下性质： 1 c ( f ) 是偶函数，即 c ( 一f ) = c ( r ) ( 2 9 ) 2 c ( o ) 是【f ) 阴最大值。n 为， l i m l 。( x ( r ) 一x ( r 竹) 2 出 = 舰吾r x 2 ( r ) 出一。l i m 2 。o o r x ( ，) z ( ，+ r 瑚 = 2 c ( o ) 一2 c ( r 、0 即 c ( o ) c ( f ) ( 2 1 0 ) 3 c ( o ) 是x ( 0 的均方值。 c ( o ) = l i m l 7 1m r x 2 ( r ) 西 ( 2 1 】) 4 对于周期运动，若观测量x ( f ) 是周期函数，则c ( r ) 也是周期函数。n n n n 酬j n n 性能够完全 确定其关联性。 5 存某幽情况下，运动不是规则的，但也不是完全随机的，如混沌运动和色噪声。如果x f 订是有用信号 w 北。r 业人学坝l 。学也论艾 ( 代表规j i l i j 运动) 5 ( f ) 硐i 随机过科“，) 两部分之平i | ( 加性噪声) 则x ( ，) 的白相关函数等于这两部分各自的自相关函数之乖 e ( f ) = e ( r ) + c ( f ) 据此，我们可以利用自相关函数以及关联时间分析在随机过稗中的确定性信号或溉沌的特征。 2 - 3 功率谱 根据傅立叶定理，任何一个周期为7 的周期运动x ( f ) 都可以展成傅立叶级数 x ( f ) = a n e a n = ；f 2 ：x ( t ) e - i “d t ( 2 1 2 ) ( 2 13 ) r 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 上式的物理意义：任何形式的周期运动都可以看成基振( 频率为0 9 ) 和其一系列的泛谐振( 频率为 0 ) ) 的叠加。因为各频率取分立值咒，故其频谱是分立谱。 则 非周期运动的时间函数( f ) ，不能展成傅立叶级数，只能写成傅立叶积分。假设信号满足 卜( t ) l d t o 。 x ( f ) = l f ( c o ) e “d 0 9 f ( ) = 西1 枷出 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 18 ) 实际信号总是在有限的时间间隔丁内，这时可将x ( f ) 在此有限时间间隔内的傅立叶变换f ( c o ) 写成 弓( 国) = f x ( f ) e - , o , l d t 即非周期运动的频率谱是连续谱。 但是 在很多情况下，尤其是噪声， 魁n ( ，) 2 d t = 傅立叶积分条件式( 2 1 6 ) 不成立 f f l f ( c o ) 2 d c o - - + o o f 2 1 9 、 而且x 2 ( 力的积分也是发散的， f 2 2 0 ) 响限多白山艘系统能量i e 敞过程的功率h 研究 ，l i 卅m 1 ，。f i x ( 圳2 础 。 ( 22 1 ) 仍能成立。如果用s ( ) 表示功率谱密度， 跏) = 亭f 辱( 圳2 ( 2 忽) 则有 r s ( 珊= 。l i r a 。1 r 由f 1 尽( 珊) 0 ) 或收敛( 五，c o ) 的 快慢程度。在决定系统性质的诸多李亚普诺夫指数中，最重要的是最大李亚普诺夫指数兄，由矗是不 是正的即可判定系统的运动是不是混沌。 2 4 1 p u 北t 业人学琐f j 学位论史 第三章与时间有关的投影算符与耦合主方程 投影算符方法( 与时间无关) 白提山到现在已经广泛地被用来推导土方程1 9 - 2 3 1 ，这一方法能把我们 所要研究的有限系统的自由度分为“有关”与“无荚”两部分，并把“无关”部分消除，剩f “有关” 部分。对于孤立系统，应用投影算符方法时，常常把密度算符在某一表象中的非对角元部分看作“无关” 部分，而把对角元看作“有关”部分。在耦合系统中，总是把其中一个子系统看作无限大热源，即“无 关”部分。但是对于许多问题，特别是原子核中的问题，相互耦合的子系统必须同等看待，而不能把其 中一个看作热源。1 9 7 6 年，w i l l s 等发展了与时间有关的投影算符方法1 4 5 4 “，能够把耦合子系统的自由 度都不看作“无关”的，只把它们之间的相互作用所引起的关联看成是“无关”的。这种方法把耦合子 系统同等看待，因此更具有普遍性。 在核物理中，主方程被用来研究各种随时间变化的过程，比如平衡反应，重离子反应的弛豫过程， 核裂变等。因为这些问题中常常需要同时考虑各种自由度之间的耦合( 如单粒子、振动、转动、相对运 动等之间的耦合) ，所以应用与时间有关的投影算符来研究这些过程比较适合。 3 - i 与时间有关的投影算符 结合我们的问题来看一下与时间有关的投影算符的性质和特点。考虑一个有限的哈密顿系统，在这 个系统中引入正则坐标系，借助自洽集体坐标方法1 4 7 i 把一个轨道分成集体自由度和内禀自由度，系统 被分成有关和无关两个子系统。在正则坐标系中，整个体系的哈密顿量表示为， h = h n + h + h 。w 0 1 ) 整个封闭系统玎0 孝被分成两个子空间，7 和孝。这两个子空问中的j e 则坐标各自为仉，坑：f 1 ， 和 厶，：d = l ，其中峨只与叩空间坐标有关，h e 只与f 空间坐标有关，而比。与叩和善n 4 子空间的坐标都有关。这些坐标随时问的变化满足正则方程。通过集体自治坐标方法定义的正则坐标系 消除了有关系统与无关系统之间的线性耦台1 2 0 】。 9 柯限多自l 【1 馊系统能量毹散过程的功毕h 研究 牿个系统的分布函数形式如一r ， p ( t ) = p ( q ( o ，叩( ，) ，4 ( 0 ，孝( f ) ) 对席地，两个子系统的分布函数为 岛( ，) ；礓p ( t ) ，p c ( t ) s 琢p ( t ) 碥；兀f p d 坑，强；nj j d 幺d 其中岛( ，) ，p c ( t ) 和p ( f ) 满足下述关系， 算符开定义为 t r p ( t ) = 1 ，玩岛( ，) = 1 ，礓p c ( t ) = 1 t r ；t r 珐= 强强 定义与时间有关的投影算符1 1 9 2 3 ，4 5 ，蜘为， 尸o ) = p q ( t ) 琢+ 珐( ，) 碾一岛( f ) 乓( f ) 珥 可以把分布函数p ( t ) 分解成可分离部分 b ( f ) = p ( f ) p ( f ) = 岛( f ) & ( f ) 和关联部分， p a t ) ； 1 一，( f ) 】p ( r ) p ( t ) = p a t ) + 见( f ) 很容易验证投影算符州，) 满足一下性质， p ( t 1 ) p ( f 2 ) = p ( t 1 )( p 2 0 ) ；p 0 ) ) 1 一p ( t 1 ) 】【1 一p ( ) 】z l p ( t ：) p q ，) 1 一p q ：) ；0 ( 32 ) ( 3 3 a ) ( 33 b ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 37 ) ( 38 ) ( 3 9 ) ( 3 io ) ( 3 1 1 ) ( 31 2 ) = = = = = = ：；。：。：。：型：竖三些! ：兰竺! ：兰篁鎏冬 3 2 用投影算符方法推导耦合主方程 从分布函数p ( t ) 的l i o u v i l l e 方程山发 阶i l p ( t ) ，l a = _ i = f ( 筹嚣一面o t i 司o a 通过式( 3 3 a ) 给出的两个分布函数，式( 3 1 ) 中的哈密顿量可以分解成以下形式 h=h q + h ；七hc o 。 2 h ，+ 月j ( f ) + 月j + 爿；( f ) + h 。o ) 一岛( f ) ( r ) ；以 r 删辟( o h ；m ；t h 。p o ( t ) 毛o ) ；t r 月二。p ( f ) 以。，( ，) = ( ，) + 4 ( f ) 日。o ) 毒爿二。一月j 忡，o ) + e 0 0 ) 对应的刘维算符可以表示成， r = + 名+ 乞 乞。= ( f ) + ( f ) + ( f ) 一 一s f 一，爿 ，( ，) 4 ；j 一( ，) ，一 彳s “4 ，爿 ，( r ) 爿= “4 ( f ) ，爿 z 毛。a 暑f h 。，4 ，厶( f ) 彳暑i h a ( ，) ，一) 0 ) 爿；i e o ( f ) ，以) ；0 根据式f 3 7 ) 3 h - ， a ( ，) = d i p ( r ) p ( r ) = 声( r ) p ( ，) + p ( f ) p ( r ) ( 3 13 ) ( 3 1 4 ) ( 315 ) ( 3 1 6 ) 川牡多自t l l 艘系统能量耗敞过程的助半i f f f o f 究 微讲；式( 33 ) 一( 3 5 ) 码， 户( f ) p ( f ) = p , ( t ) t 0 p ( t ) + b e ( t ) t q p ( t ) 一【岛( ，) 岛( ，) + 岛( ，) 喀( f ) n p ( ，) = 0 ( 31 7 ) 从而联合式( 37 ) - ( 3 9 ) ，( 3 13 ) 得到， a ( f ) = 户( ，) p ( ，) = 一i p ( t ) z p ( t ) = 一f p ( f ) z a ( ，) 一i p ( t ) l a ( t ) ( 3 18 ) 虞( ，) 1j d ( ，) 】z 成( f ) 一f 【l j p ( ，) j r n ( t ) ( 3 1 9 ) 引入一个演化算符， g ( f ，) = 丁e x p 一f f 1 一p ( f ) d r ) ( 3 2 0 ) 初始条件g ( f ，t ) = 1 假设存在g - i ( ，0 ，使得g - i ( f ，0 9 ( ，f ) = 1 成立，丁表示一个时序算符。显 然有， 嘉砷，= g ( 州3 1 1 _ p ) ( 3 2 1 ) g - i ( ，r ) 考g ( f ，= i 1 - p ( t ) 】z ( 3 2 2 ) u 则式( 3 1 9 ) 可以写成： 耻卜f 【1 _ p ( 删z 肿1 ) - g 飞“) 鱼竽聃 ( 3 2 3 ) 上式两边同时乘以g ( t ，f ) 得， 舭肿卜一g ( 叫3 1 1 叫删圳。一堡笋耻) ( 3 2 4 ) g ( t , t 3 a ( m 垒竽舭扣一i g ( “叩叫。) ( 3 2 5 ) 面d 【比f ) 见( 咧= 一g ( f ，唧一p ( 哪成( f ( 3 2 6 ) 将式( 3 2 6 ) 两边积分， f 卉昙龇f 肿】= d t 一g ( “l 叫f 3 r p a 。) ( 3 2 7 ) g ( t ，r ) 成( f ) 一g o ，t , ) p c ( t ，) = 一f f 斫g ( t , t 1 一p o l f p ，o ( 3 2 8 ) 即p c ( ，) = g ( t , t i ) 成( ，) 一f f 田g ( f ，。) 1 一j d ( ，】r a ( o ( 32 9 ) 代入( 3 1 8 ) 得到主方程， p ( f ) = 一i p ( t ) l p 一 p ct l ! ! ! 些! 兰当兰堡! ! i 兰竺堡兰 ：。：。：。：；一 ：= = ! ! ! ! ! ! = = = ! j = = ! = 目= 4 = 一一 一f f 新j r ) ( ，) z g ( ，) 1 一| p ( f ) 】z 成( o 3 3 0 婴简化式( 33 0 ) 给山的上方程，首先戏1 f l 给山一些有川的关系_ 手| l 必要的证明， i 碗；0 ( 3 _ 3 ) 证明： 玑；刚等毒一百o h 瓦8h 玑c 豢寿一州篆毒， 吡c 毒等h 玩c 瓦o 彰8 h d 观c 器h 亿c 秘5 。 2n么。；0(332) 证明： n 乞；强礓( f ) + 碥臻( ，) + 乃厶(