（应用数学专业论文）模糊数学规划的算法研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文 第i 页 摘要 最优化是人们在工程技术，科学研究和经济管理等诸多领域中经常遇到 的问题，实际问题中存在大量的不确定因素，如模糊性，随机性等。因此， 对于不确定环境下的最优化问题的研究，具有重要的理论和实际意义，本文 讨论一类有广泛应用背景的模糊优化模型一一模糊数学规划。具体包括以下 三方面的内容： 1 关于模糊数学规划的模糊解的研究 已有的模糊数学规划的研究主要集中在如何将模糊数学规划转化为一个 确定的数学规划上，而对于其解并没有统一的定义，由于模糊数学规划中含 有模糊参数，因此模糊数学规划的解至少应该反映这种模糊性，即模糊解。 本文通过对已有的模糊数学规划方法的研究，讨论了模糊数学规划的意义， 解决问题的途径，模糊数学规划相对于确定性数学规划的区别，在此基础上， 给出了一种能反映模糊参数模糊性的模糊解的概念，并指出了求解的途径。 2 关于模糊多目标0 1 规划的算法研究 本文利用前一节的模糊解的概念，对于给定的隶属度，给出一种求模糊 解的遗传算法。首先运用模糊解的概念，把模糊多目标问题化为一个确定的 多目标问题，然后利用效用函数将它化为一个单目标0 1 规划，为解这个单 i 标01 规划，最后设计了一个遗传算法。通过这种方法求得的解为原问题 的模糊非劣解。数值算例验证了这种方法的有效性。 3 关于模糊二层线性规划的算法研究， 本文就一种常见的决策者之间不存在合作的模糊二层线性规划模型，给 h j 了一种模糊满意解算法。上下层决策者分别给出模糊参数的水平值，利用 这个水平值将其化为一个非模糊的二层线性规划，然后用类似于 1 6 中的方 法得到一个模糊满意解。 关键词模糊数学规划；模糊解；模糊多目标0 1 规划；遗传算法；模糊二 层线性规划 西南交通大学硕士研究生学位论文 第i i 页 a b s t r a c t o p t i m i z a t i o ni st h ep r o b l e mt h a tp e o p l eh a v et od e a lw i t hf r e q u e n t l yi nm a n y f i e l d s i n c l u d i n ge n g i n e e r i n g t e c h n o l o g y ，s c i e n t i f i cr e s e a r c h e s ，e c o n o m i c m a n a g e m e n t ，e t c i np r a c t i c et h e r ee x i t sal o to fu n c e r t a i n t y ，s u c ha ss t o c h a s t i c ， f u z z y s os t u d y i n gt h eo p t i m i z a t i o np r o b l e mu n d e ru n c e r t a i n t yi sv e r yi m p o r t a n t f r o mt h et h e o r e t i c a la sw e l la sf r o mt h ep r a c t i c a lp o i n tv i e w t h i sd i s s e r t a t i o n d e a l sw i t hf u z z ym a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ，af u z z yo p t i m i z a t i o nm o d u l et h a t a b r o a da p p l i e di np r a c t i c e t h ec o n t e n t si n c l u d ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： 1t h es t u d yo ff u z z ys o l u t i o no ff u z z ym a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g t h ee x i s t i n gr e s e a r c ho ff u z z ym a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gi sf o c u s e so nh o w t ot r a n s f o r mt h ef u z z ym a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gt om a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g t h e r ei sn ou n i f o r md e f i n i t i o no ff u z z ys o l u t i o n k e e pt h i s i nm i n d ，w ei n v e s t i g a t e t h em e a n i n go ff u z z ym a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gf r o mt h ep r a c t i c ep o i n to fv i e w , t h ea p p r o a c ho ff u z z ym a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ，a n dt h ei n h e r e n td i f f e r e n t b e t w e e nf u z z ym a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n ga n dm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gb a s e d o i lt h e s e ，w ep r e s e n t st h ed e f i n i t i o no ff u z z ys o l u t i o na n dt h em e t h o dt oo b t a i nt h e f u z z ys o l u t i o n 2 t h es t u d yo ft h ea l g o r i t h mo ff u z z ym u l t i o b j e c t i v e0 1p r o g r a m m i n g u s i n gt h ed e f i n i t i o no ff u z z ys o l u t i o np r e s e n t e dp r e v i o u s l y , w ep r o p o s ea m e t h o dt oo b t a i naf u z z ys o l u t i o no ff u z z ym u l t i o b j e c t i v e0 - 1 p r o g r a m m i n g t h r o u g hg e n e t i ca l g o r i t h m s a tf i r s t ，w et r a n s f o r mt h ef u z z ym u l t i o b j e c t i v e0 1 p r o g r a m m i n gt o an o n f u z z ym u l t i o b j e c t i v e0 1 p r o g r a m m i n g s e c o n d ，b yt h eu s e o ft h e c o n c e p t o fv a l u ef u n c t i o n ，w et r a n s f o r mt h e m u l t i o b j e c t i v e0 1 p r o g r a m m i n g t oa0 - 1 p r o g r a m m i n g a tl a s t ，w eu s eag e n e t i ca l g o r i t h mt os o l v e t h e 0 - 1 p r o g r a m m i n g t h es o l u t i o no b t a i n e db yt h i sw a yi saf u z z ye f f i c i e n t s o l u t i o n a ni l l u s t r a t i v en u m e r i c a l e x a m p l ei sp r o v i d e d t od e m o n s t r a t et h e e f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d 3 t h es t u d yo ft h ea l g o r i t h mo ff u z z yt w o l e v e ll i n e a rp r o g r a m m i n g w ep r o p o s ea f u z z ys a t i s f y i n gm e t h o df o rd e r i v i n gaf u z z ys a t i s f y i n gs o l u t i o n o f f u z z yt w o l e v e l l i n e a r p r o g r a m m i n g ，w h e r ee x i s t sn oc o o p e r a t i o ne x i s t s b e t w e e nt h ed e c i s i o nm a k e r s b yu s i n gt h ed e g r e eo ft h em e m b e r s h i pv a l u e sg i v e n 西南交通大学硕士研究生学位论文 第i i i 页 b yt h ed e c i s i o nm a k e r s ，t h ec o r r e s p o n d i n gn o n f u z z yt w o l e v e ll i n e a rp r o g r a m m i n g i so b t a i n e d t h e nw eg e tas a t i c f y i n gs o l u t i o nw i t ht h er e v i s e dm e t h o di n 16 】 k e y w o r d sf u z z ym a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ；f u z z ys o l u t i o n ；f u z z ym u l t i o b j e c t i v e 0 1p r o g r a m m i n g ；g e n e t i ca l g o r i t h m s ；f u z z yt w o l e v e ll i n e a rp r o g r a m m i n g 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 页 1 1 模糊集与最优化 第1 章绪论 最优化是人们在工程技术、科学研究和经济管理等诸多领域中经常遇到 的问题。结构设计要在满足强度要求等条件下是所用材料的总重量最轻；资 源分配要使各用，、利用有限资源产生的总效益最大；安排运输方案要在满足 物资需求和装载条件使运输总费用最低；编制生产计划要按照产品工艺流程 和顾客需求，尽量降低人力、设备、原材料等成本使总利润最高。可以说， 优化是推动科学技术向前发展的一个很重要的因素。 最优化是一个古老的课题，早在中国古代的战国时期，就有“用忌赛马” 的故事。十七世纪微积分的时代，已经提出极值问题，后来又出现拉格朗同 乘数法。l8 4 7 年法国数学家柯西研究了函数的值沿什么方向下降最快的问 题，提出了最速下降法。1 9 3 9 年，前苏联科学家康托洛维奇提出了解决下料 问题和运输问题这两种线性规划问题的求解方法。随着历史的发展，人类关 于最优化问题的研究工作也在不断的深入。但是，任何科学的进步，都要受 到历史条件的限制，直到本世纪三十年代，最优化这个占老的课题并未形成 独立的有系统的学科。 四十年代以来，生产和科学技术得到了突飞猛进的发展，特别是电子计 算机的广泛应用，使得最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，丽且有了 强有力的求解工具。由此，最优化理论和算法迅速发展起来，形成了一门新 的学科。近二十年来，信息技术的发展日新月异并已深入到人类社会的各个 领域，由此出现了新的优化问题，新的优化技术也不断涌现使得最优化理 论这一学科的内容闩渐丰富，在实际应用中也发挥着越来越重要的作用。 有关优化与决策的文献非常丰富，传统的分析方法和大量的成功应用例 子都是“基于实变量”的方法，利用局部信息不断地改进当前的解从而得到 最优解的一个逼近序列，其基本的前提条件是要求决策变量连续，关于梯度， 曲率，轨线，最速下降等最优化概念甚至要求决策变量可微。 尽管传统的优化方法有很多成功的例子，但不得不指出的是，仍然有许 多现实的优化问题不能解决，部分的原因是由于问题本身存在不确定因素， 导致无法运用传统的基于实变量的方法。例如，大量的人为系统的优化问题， 西南交通大学硕士研究生学位论文 第3 页 l ， 相似的程度：( u ) 表示u 与u 中其他元素的接近程度，由于贝尔曼 ( b e l l m a n ) 等人最早把模糊集用于模式分类，这也是隶属度的最早的一种 解释。后来这种解释被用于聚类分析，回归分析等，也被广泛用于模糊控制 技术中。利用相似度来描述当前状态与规划中对应部分的匹配情况。 2 偏好度：f 表示偏好目标集( 或决策变量x 的取值的集合) ， ( u ) 表示对目标值u 的偏好强度( 或者选择u 作为抉择变量x 的可信度) ，模糊 集则表示准则集或者可变的约束集( f 1 e x i b lec o n s t r a i n t s ) 。这种观点被 贝尔曼和扎德推广，这种观点后来被广泛采用并大量出现在有关模糊优化的 文献中，特别是模糊线性规划和模糊决策分析，这种解释适用于工程设计和 计划问题。 3 不确定程度：这种解释是由扎德在提出可能性理论( p o s s ib i l i t y th e o r y ) 以及在发展不确定性推理的理论时提出来的，脚( u ) 表示参数x 取 值u 的可能性，常用于专家系统，人工智能等领域。 模糊集对于最优化方法的贡献在于：一是能够建立起更加符合实际的模 型，特别适合对含有不确定性参数的系统建模，如模糊数学规划及相应的多 标模型，模糊最优控制；二是为模型的求解带来了新的途径。自从七十年 代贝尔曼和扎德的开创性文章“模糊环境下的决策问题”发表以来，模糊优 化受到了广泛的关注，提出了各种各样的模糊优化模型和不同的理论方法， 也出现了许多成功的实际应用例子，到目前为止，模糊优化作为模糊集理论 的一个分支，内容已相当丰富。 1 2 模糊集与二层系统优化 1 2 1系统的层次性 随着社会的发展，客观实际问题的规模越来越大，结构越来越复杂， 涉及的人越来越多，从而形成了一类有实际背景的复杂的大系统，尽管至今 尚无一个公认的大系统的定义，但众多学者认为大系统有若干特性，开放性， 岛维性，层次性就是其中几个重要特性。系统的层次性可以从两个方面来谈， 一是系统本身具有的某种递阶结构即层次性，比如组织系统，以及现代化大 生产的管理系统等就有明显的层次性。另一方面，在描述、规划和管理一个 大系统时，为降低其复杂性，常常需要把整体系统分解成彼此依赖的、便于 西南交通大学硕士研究生学位论文 第4 页 处理的子系统。一般来说，这些子系统之间的相互依赖关系不是对称的，这 种不对称性即表现为层次性。在相邻的两层( 一对子系统) 中，称较具独立 性的一层( 子系统) 为上层( t o p 一1e v e l ) ，而称较具依赖性的一层( 子系统) 为下层( b a s e l e v e l ) 。导致产生层次性的因素有四个：时间、状态、信息 和准则。大体上说，上层比下层有较高的聚集状态和较宽松的时间限制，而 f 层比上层有较详细的具体信息和较短的反应时间，上层有较重要的准则而 f 层有较次要的准则”“。 1 2 2 二层系统最优化 二层系统最优化研究的是具有两个层次系统的规划与管理( 控制) 问题， 很多决策问题是由多个具有层次性的决策者组成，这些决策者具有相对的独 立性，即是说上层决策者只是通过自己的决策去指导( 或引导) 下层决策者， 不直接干涉下层的决策；而下层决策者只需把上层的决策作为参数或约束， 他可以在自己的可能范围内自由决策，如果组成这种上、下层关系不止一个， 这样的系统称为多层决策系统；如果只有一个上、下层关系。这样的系统称 为二层决策系统，由此可见，二层决策系统虽然是多层决策系统的特殊形式， 但它也是最基本的形式，可以认为多层系统出多个二层系统复合而成。因此 研究二层决策系统对于多层决策系统的研究具有典型性。 一个典型的两层决策问题是中央政府( 上层) 与各省市( 下层) 为制定 一定时期的发展规划所进行的区域规划决策，中央政府可以通过调整财政、 金融政策以及分配紧缺资源( 如能源、资金、高素质劳动力) 等手段，干 预各个省市发展规划的制定：反过来各省市可以根据本地区的自身利益和实 际情况，在中央规定的权利范围内决定自己的发展规划，作出决策作为对中 央决策的反应。中央综合个省市反馈上去的信息，借助各种宏观调控手段， 协调各省市间的利益，最终作出符合全局利益的总体区域发展规划。 另一个典型的两层决策问题是资源分配问题。资源分配问题是一个复杂 的管理问题，它所解决的是上级( 上层) 如何将有限的资源在所属部门( 下 层) 之间进行分配，而使自身的整体目标和所属部门生产活动的相关目标达 到最优；同时，所属部门则根据上级所分配的资源数量来组织生产，使它们 各自的目标达到最优。 除了上述两种典型情形以外，两层决策还应用于社会政治，工程技术， 军事指挥，环境保护等许多领域，如社会大系统分权控制，财政预算，价格 控制，金融投资，交通优化，高速公路网的设计等“ f 7 捌( 27 1 。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第5 页 二层决策系统按如下过程进行决策：上层给下层一定的信息，下层在这 些信息下，按自己的利益或偏好作出反应( 决策) ，上层再根据这些反应， 作出符合全局利益的决策。上层的信息是以一种可能的决策形式给出的，下 层的反应实际上足对上层决策的一种对策，这种对策在下层看来是最好的， 显然它与上层所给的信息有关，为了使整个系统获得“最好”的利益，上层 必须综合下层决策，调整自己的决策，如果每个决策者都按规定的指标函数 在其可能的决策范围内作出最优决策，那么二层系统可以描述为一个二层最 优化( 规划) 问题，如果每个决策者的指标函数由单个的函数组成，这样的 _ 层优化为二层单目标优化问题，如果有的决策者的目标函数为一组函数， 则这样的二层优化问题为二层多目标优化问题。 模糊集理论为复杂二层系统的模型建立提供了一种工具，特别是提高二 层系统中不确定参数的描述能力，使得二层系统模型更加符合实际，另一方 面，在实际的问题中，上层决策者给出的决策往往是政策性的，具有一定的 模糊性，使得下层决策者有充分的决策空间上层的这种决策也可以用一个 模糊集来描述，此外，系统越复杂，其求解也越困难，因此，在实际的决策 问题中，决策者往往关心的是满足实际要求的满意解，这也使模糊集合论的 应用成为可能。 目前，把模糊集理论应用于二层系统优化的研究主要集中在二层系统的 模糊解法，把上层决策者和下层决策者的可能决策用一个模糊集合表示，用 隶属度表示决策者的模糊满意度，然后通过解一个单层的优化问题得到令各 层决策者满意的满意解儿“儿”j 。 对于含有不确定参数的二层系统优化问题的研究还不是很多，而且由于 这种系统更能反应实际，因此，对不确定性二层系统的优化问题的研究不仅 有理论价值，而且有实际意义。 1 3 遗传算法与最优化 优化问题总是意味着大量的计算，一方面是由于优化问题过于复杂，找不到 一个有效的算法：另一方面，现有的计算工具不足以面对如此大的计算量， 例如组合优化问题，当组合优化的变量达到一定的数目的时候，即使用最快 的计算机，也不能在有效的时间内算出最优解 对于计算智能( c o m p u t a t i o n a li n t e l l i g e n c e ) ，并没有一个明确的定 义，仁见仁智，不同的人有不同的理解。近年来，随着大规模高性能计算机 西南交通大学硕士研究生学位论文 第6 页 的飞速发展，一系列新的智能计算方法，如神经网络( n e u r a n e t w o r k ) ， 模拟退火( s i m u la t e d a n n e a l in g ) ，遗传算法( g e n e t ica l g o r i t h m ) ，演化 算法( e v 0 1 u t i o n “p r o g r a m m i n g ) ，隐m a r k o v 模型( 1 l m m ) ，自适应算法 ( a d a p t iv ea 1g o t i t h m ) 等应运而生，它们对付大规模复杂系统中出现的组 合爆炸问题非常有力，往往不仅具有通用、稳健( r o b o s t ) 、简单，便于并 行处理等优点，而且有望成为将数值计算与语义表达、形象思维等高级智能 行为联系的桥梁。它被认为是对今后十年的计算技术有重大影响的关键技术 。 从数学角度来看，各种智能计算方法有以下共同特点。： 1 它们大都引入了随机因素，因此具有不确定性，甚至同时支持相互 矛盾的途径去求解，不少计算过程实际上是在计算机上作随机过程的模拟。 2 它们大都具有自适应机制的动力体系或随机动力体系，有时在计算 过程中体系结构还在不断调整。 3 这些算法具有通用性，是针对一般目标而设计的，不同于针对特殊 问题而设计的算法。 4 智能计算方法一个最显著的特点是能处理高维复杂的优化问题，对 于这种情形，传统的算法所需要的计算时间会随规模的增大而成指数增长， 使得实际的计算彳i 可行。而智能计算恰恰是处理这种高维复杂的问题显得非 常有效。 上述计算方法大都是在八十年代或九十年代流行起来的如人j ：神经网 络，遗传算法，演化程序等，开始时是人们从人脑的智能活动和生物的生存 竞争与遗传变异等过程的模仿和简化而来的。它们更强调数值计算，又往往 不是通过公理或公式来描述事物，而以数据及其分前j 来描述对象。 近年来，在各种应用领域中，人们试图用各种智能计算方法解决复杂的 大规模系统中的问题，取得了很好的效果。例如在八十年代初，s el j n o w s k i 和r o s e n b e r g 建立了“谈话网络”( n e t t a lk ) ，其实质是以神经网络为基础 的小机器，它的惊人表演它能够靠经验学会正确地念出英文课文( 即使是它 从未见过的课文) ，这一工作掀起了人工神经网络研究的热潮。六十年代f o g e l 等人提出了演化程序，七十年代h 0 1 1 a n d 提出了遗传算法，其实二者具有相 似之处，都是模仿生物在适应生存的竞争中得到优化的过程。到了八f 年代， 它被成功应用于经济预测等领域，成为十分热门的课题。模拟退火算法是由 k ir k p a t r ic k 等人借用加热、降温这一物理的退火过程的思想，作为在全局 优化中，逃出局部极值的手段，对多峰的目标函数，特别是高维复杂的问题 西南交通大学硕士研究生学位论文 第7 页 f 分有效，它是近年来被广泛采用和研究的一类算法，隐马尔科夫模型开始 流行于语音信号分析，由于它表述对象的灵活性，类似于前传神经网络，是 一个很好的非线性统计参数模型，近年来在模式识别、通讯系统及数理统计 等领域受到广泛的重视，自组织学习是k o h o n e n 作为一种神经网络首先提出 来的，但其思想与前传神经网络有很大的区别，与k u s h n e r 、m e t i v i o f 等人 讨论的随机逼近和自适应算法很相似，它的学习效果非常好圳。 遗传算法是l bi l o l l a n d 首先提出来的，它是一种借鉴生物界自然选择和 自然遗传机制的高度并行、随机、自适应搜索算法，隐含并行性和对全局信 息有效利用能力是遗传算法的两大显著的特征，前者使遗传算法只需检验少 量的结构就可以遍及搜索空间的大量区域，后者使遗传算法具有稳健性，遗 传算法尤其适用于处理传统搜索方法解决不了的复杂和非线性问题1 遗传算法操作的是一种编码化的可行解，称为种群，它通过群的更新和 迭代来搜索全局最优解，种群的迭代是通过选择、杂交和变异等具有生物意 义的遗传算子来实现的。在h 0 1 l a n d 的最初模型中采用的是二进制定长编码 和固定的种群规模，遗传算子的主要形式是比例选择，单点杂交和位变异。 为了提高遗传算法的性能，克服实际中遇到的困难，在算法设计和执行策略 上又有了新的进展。 1 4 本文的结构和研究的问题 本文主要讨论具有层次性，多目标，含有模糊参数的系统的优化问题， 一共分为五章，具体安排如下：绪论，模糊数学规划，模糊多目标o 一1 线性 规划，模糊二层线性规划，结论和展望。 ( i ) 、绪论为全文的预备知识和背景，对模糊优化，二层系统优化，智 能优化作方法做出简要的介绍和评述。 ( 2 ) 、现有的模糊数学规划的求解方法大都限于如何把一个模糊规划模 型转化为确定的数学规划模型，而对解的形式却很少涉及。尽管模糊数学规 划与确定的数学规划有相似之处，本质上却有很大的区别，由于模糊参数的 存在，模糊数学规划的可行域、最优解等概念并不能沿用传统数学规划相对 应的这些概念，模糊数学规划的解至少应反映模糊参数的这种模糊性。本文 在已有的模糊数学规划方法的基础上，讨论了模糊参数的意义，模糊数学规 划解决问题的途径，模糊数学规划与确定性数学规划的区别，并指出模糊数 学规划方法的不足。在此基础上，提出了一种有实际背景的模糊解的概念， 西南交通大学硕士研究生学位论文 第8 页 包括模糊可行域，模糊最优解，模糊最优目标值等，这种模糊解能反映模糊 参数的模糊性。 ( 3 ) 、在前面给出的模糊解的基础上，给出了一种基于遗传算法的模糊 多目标0 1 规划的一个算法。首先将模糊多目标规划转化为确定的多目标规 划，然后利用加权系数法将其转化为一个单目标0 一l 规划，最后用遗传算法 求得一个满意解，这个解为原问题的模糊满意解。数值算例验证了算法的有 效性。 ( 4 ) 、讨论了一种带有模糊参数的模糊二层线性规划的算法。决策者首 先给出目标函数和约束的满意水平，根据这一水平值将模糊二层规划转化为 一个非模糊二层规划，然后用经过改进的 1 6 中的方法求得一个模糊满意 解。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第9 页 第2 章模糊数学规划 毫无疑问，模糊优化始于r e b e l l m a n 和la z a d e h 的文章“模糊环境 f 的决策问题”，在文中，他们提出了后来被广泛引用的模糊约束、模糊目 标及模糊决策等概念，从而开创了模糊优化的先河。模糊优化作为模糊集理 论的一部分，受到了广泛的关注，并取得了丰硕的成果。同传统的优化方法 一样，模糊优化也有许多不同种类的模型，由此提出了许多不同的理论和方 法。其中有研究比较完善的为模糊线性规划，其他方面如模糊动态规划，模 糊非线性规划及相应的多目标问题。在应用方面，有水资源管理，经济计划， 大气污染治理，软件开发等。在这一章罩，主要针对模糊数学规划这一类模 糊优化模型，通过对已有模糊数学规划方法研究，讨论模糊数学规划的意义， 模糊数学规划解决问题的途径，模糊数学规划与传统数学规划的区别，最后， 埘一种能反应模糊数学规划模型的模糊性的模糊解作了一些探讨。给出模糊 可行域，模糊解，模糊最优目标值等概念。 2 1 模糊数学规划的意义 2 1 1 一个模糊数学规划例子 例l j 朝一个工厂生产两种产品p 和q ，每种产品的生产需要两个流程 m 和n ，每生产一件产品p ，在流程m 需要“大约2 分钟”，在流程n 需要 “大约6 分钟”：而生产一件产品q ，在两个流程中分别需要“大约3 分钟” 和“大约4 分钟”。在一个生产周期内，估计流程m 和流程n 的工作时间分 别为“大致”不超过9 0 0 分钟和“大致”不超过1 8 0 0 分钟。产品p 和产品q 的 利润率分别为“大约”7 美元件，和“大约”9 美元件，p 和q 的销售价格 分别为“大约”6 0 美元件和“大约”4 5 美元件。工厂管理人员要求销售收 入“大致”不低于2 2 0 0 0 美元，利润“大致”不低于3 4 0 0 美元，在这样的条 件下，产品p 和q 各自的生产量应为多少? 由于上述例子中有不确定信息，如“大约”2 分钟，“大致”不超过1 8 0 0 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 0 页 分钟等，因此无法建立起确定的数学规划模型，因为这种模型中不存在不确 定参数，要获取更加确切的信息，得到确定的参数，决策者需要付出更大的 信息代价，比如作试验，统计以前的数据并加以比较，或者主观地用一个确 定的数据近似地取代这些模糊参数，等等。由于条件的限制，在很多情况下 只能获得这样的模糊信息。在这种请况下，用模糊集来表示这些模糊参数， 然后按传统的方法建立起数学规划，即模糊数学规划，它大大减少了所需的 信息量，并且使得模型能够反映问题中的不确定性，更加符合实际。 一般来说，在模糊数学规划中，主要处理两种不同类型的不确定性( 模 糊) ，种是含混的，摸棱两可，容易产生歧义，其内涵和外延是一对多的 关系，这种模糊叫作含糊( a n b ig u il y ) ；另一种是难以作出明确的界定范围， 叫做不明确( v a g u e n e s s ) ，尽管在汉语里面其含义比较接近，但还是有一定 的区别，在上面的例子中，“大约2 分钟”属于前一种模糊，表明2 分钟左 右的值都有可能，但就是不能确切地知道究竟是那一个值，“大致不超过9 0 0 分钟”属于第二种模糊，没有给出明确地范围，可能是小于9 0 0 分钟，还有 可能比9 0 0 分钟多一点。 根据处理模糊性的不同类型，模糊数学规划可分为以下三种类型”“： 1 处理不明确性( a m b ig u i t y ) 的模糊数学规划。 2 处理含糊性( v a g u e n e s s ) 的模糊数学规划。 3 既处理不明确性( a m b ig u i t y ) 又处理含糊性( v a g u e n e s s ) 的模糊 数学舰划。 第类模糊数学舰划解决具有模糊目标和模糊约束的决策问题，其目标 函数的最优性不是很明确，可以用一个模糊集表示，对于约束的要求允许有 一定的弹性，也可以用一个模糊集来表示决策变量的取值范围。这种数学规 划首先由贝尔曼和扎德提出，被叫作弹性规划( f 1e x ib 1ep r o g r a m m in g ) ， 弹性规划可以表示成如下形式： 而蔽f ( x ) s t g 。( x ) s b ，i = 1 ，m x 0 其中“币蔽”表示“求模糊最大值”，“s ”表示“模糊小于或等于”。 决策者首先给出目标的隶属函数m ( x ) 和模糊约束的隶属函数( x ) ， i = = 1 ，m 然后解以下最大最小问题： 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1i 页 s t x 0 第二类模糊数学规划解决目标函数和约束中含有模糊参数的数学规划问 题，而不具有模糊目标和模糊约束，d u b o is 和p r a d e 首先研究了具有模糊 系数的线性方程，使得把它用于模糊数学规划成为可能。此后，各种不同的 方法被提出来，其中尤以d u b o is 的方法最具有影响，利用可能性理论，它 给出了四种比较模糊数的方法，并把它应用到带有模糊系数的模糊数学规 划，由于他把模糊系数看成可能性变量的可能性分布，因此这种数学规划被 叫作可能性规划( p o s s i b i l is t icp r o g r a m m in g ) ，可能性规划可以写成以下 形式： m a x f ( x ，芒) s t g ，( x ，瓦) eb i ，i = 1 ，m x 0 其中芒，百为模糊参数构成的向量，b ，为模糊参数，i = l ，m 可能性规划的求解主要是利用可能性理论将其化为一个确定的数学规 划，也可以用水平集的概念，同样是化为一个确定的数学规划。 第三种类型的模糊数学规划是以上两种数学规划的综合，既有模糊目标 和模糊约束，又有模糊参数，n e g o i t i a 等首先建立这种类型的模糊线性规 划模型，他用一个模糊满意域表示决策者的模糊偏好，然后建立一个模糊函 数，使其函数值在模糊满意域里，然后优化这个模糊函数。这种模糊数学规 划被称作稳健规划( r o b u s tp r o g r a m m i n g ) ，其形式记为： 而蔽f ( x ，e ) s t 晷( x ，瓦) b i ，i = 1 ，m x 0 2 12 模糊数学规划方法 用模糊数学规划解决问题的途径可以描述成以下图示“： 这种解决问题的方法与传统的数学规划解决问题的的方法有所不同：首 先建立一个现实问题的模糊模型( 模糊数学规划) ，由于含有模糊参数，这 个模糊模型并没有明确的意义，因此在第一阶段，基于对问题的各种解释， 利用模糊集合论的相关知识，对模型中的模糊参数作相应的处理，把模糊模 型化为一个等价的确定型模型。在第二阶段，运用优化技术对这个确定型数 学规划求解，但这个解只是对转化后的数学规划是最优的( 或有效的) ，对 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 2 页 原有的模型不一定有效。因此，在第三阶段，需要对解进行检验，如果解对 原问题无效，则需要对原模型作出改进，直到符合实际的解为止。 实际的优化问题 ( 带有模糊参数，模 糊划望，模糊偏好) 建 模现实世界 现实问题的解 模糊模型( 模糊数 学规划问题) 模型表示 p 问题阶、 阶段1怍出解释检 确定的数学模型 ( 数学规划) 求解数学规划 鬲i i - 数学模型的解 表21模糊数学规划解决问题的途径 21 3 模糊数学规划与确定性数学规划的区别 山上一小节可以看出，模糊数学规划与传统数学规划的区别可以概括为以下 儿点： 1 在处理问题的方法上，模糊数学规划处于原始优化问题与确定型数 学规划之间，因此，要运用这种方法，阶段l 和阶段3 成为必要( 见上一节 图示) 。 2 就模糊数学规划本身，由于含有模糊参数、模糊约束和模糊目标， 使得对不同的求解方法，最优解、可行解等概念有不同的含义，也给求解带 来了困难。 3 在建立模型阶段，确定型数学规划要求每一个参数都有明确的形式， 如果无法得到确定的参数，就只能得到原始问题的近似模型，可能导致求得 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 3 页 的解与原问题的解有很大的差距，而模糊数学规划能很好地反映模型的不确 定性，决策者可以根据不同的要求，得到不同程度地反映不确定性的解，这 也给决策者提供了更多的信息。 当然，在解决实际问题的过程中 把精确问题复杂化，这样会适得其反 2 2 模糊数学规划的求解 并不提倡一味地运用模糊模型，甚至 反而使问题更复杂。 这里主要以含有模糊参数的模糊数学规划为例，讨论它的求解方法，从 f 打面的讨论可以看出，首先应用模糊集理论，将模糊数学规划转化为确定的 数学规划，因而如何理解模糊参数的意义、最优化一个模糊函数的含义、以 及模糊不等式的含义，将直接影响到转化的方法。 我们仍旧从一个例子出发，说明现有的方法是如何将一个模糊数学规划 转化成确定的数学规划的。在这里考察一个比例1 稍微简单一点的例子，例 中只含有模糊系数，不含有模糊期望和模糊约束。 例2 一个工。计划生产两种新产品a 、b ，整个生产过程分为1 、2 、 3 三个阶段，生，n 一件产品a 所需的时间估计为：阶段1 需要“大约2 个单 位时阳j ”，阶段2 “大约4 个单位时问”，阶段3 “大约3 个单位时间”；生产 一件产品b 所需要的时间估计为：阶段1 “大约3 个单位时间”，阶段2 “大 约2 个单位时l 训”，阶段3 “大约3 个单位时间”。阶段1 的工作时问限定为2 4 0 个单位时间，阶段2 的工作时间限定为4 0 0 个单位时问，阶段3 的工作时间 限定为2 1 0 个单位时蚓。产品a 、b 的利润率( 1o o 美元件) 分别为“大 约5 ”和“大约7 ”。问生产多少件产品a 和产品b 才能使总的利润最大? 首先建立该问题的模糊数学规划模型，在此之前需要确定每个模糊参数 的隶属度，确定隶属度的方法已有很多种，这里不再列举。为简单起见，假 定这里的模糊参数均为三角形模糊数，一个三角形模糊数是定义在实直线上 的正规的凸模糊集，例如，“大约2 个单位时间”这一模糊数可记为百，其隶 属函数表示为： 也可以用图象表示为 峙卜鲁 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 4 页 其图象被限制在区间 1 3 ，2 7 内，最有可能的取值为2 ，故2 的隶属度为 l ，最不可能的取值为 0 ，1 3 和 2 7 ，m ) 之间的值，且具有相同的隶属程度， 故它们的隶属度均为0 ，其他位于2 左右两边的值的隶属度在0 和l 之间取 值，且满足线性关系，由于氨为对称的三角形模糊数，也可以简单记为氨= ( 2 ，0 7 ) ，2 表示中一t l , 值，0 7 表示分布范围，例2 中其它模糊参数如下表 所示： 阶段l 阶段2 阶段3 利润率 a r 百l = ( 2 ，o 7 ) 孔= ( 4 ，1 5 ) 百3 - ( 1 ，o 5 ) e 1 = ( 5 ，1 ) b l = ( 3 ，0 5 ) b 2 = ( 2 ，o 3 ) b3 = ( 3 ，o 3 ) 芒2 = ( 7 ，0 7 ) 从而例2 【 】的模型可以用模糊数学规划表示如下 吾2 x 1 十b 2 x 2 4 0 0( 2 1 ) 苕3 x l + b 3 x2 2 1 0 x 0 x 0 把( 1 ) 转化为确定的数学规划，有很多种方法，如比较模糊数，基于 可能性理论的方法，以及基于表示理论的方法等。下面就这个 例子分别加以说明。 2 2 1 基于可能性理论的方法 在通常的意义下，两个模糊数之间进行大小比较并没有明确的意义，原 大】之一在于模糊数实际上是一个集合，一般包含很多元素，并且每个元素有 各自相应的隶属程度。因此，要比较两个模糊数，实际上只能对集合中的元 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 素进行比较，而且比较元素必须考虑到它的隶属度，可能性 理论通过模糊 集之间元素的比较，定义两个模糊数之间不等关系的程度，使得在一定的偏 好意义下，它们之间存在明确的不等关系，从而使问题( 1 ) 得到转化。可 能性理论把模糊数看作可能变量的可能性分布，这一点与随机变量的概率分 伽类似。 假定可能性变量仪的可能性分布函数为p 。，则变量d 属于模糊集b 的 可能性和必然性分别定义为“： 兀a ( b ) = s u p m i n ( 1 a a ( r ) ，“b ( r ) ) n a ( b ) = i n f m a x ( 1 a a ( r ) ，“b ( r ) ) 其中m ( b ) 为模糊集b 的隶属函数。 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 如果b 为特殊的模糊数，即为一个区间b = ( 一m ，g ) ，g o ，由( 2 3 ) 、( 2 4 ) 可得： p o s ( a 蔓g ) = 兀a ( ( m ，g ) = s u p g a ( r ) ? r g ( 2 5 ) n e s ( c c g ) = n ( ( 一o 。，g 】) = 1 一s u p g a ( r ) | r g ( 2 6 ) i o s ( d s g ) 和n e s ( d g ) 分别表示可能性变量d 不大于g 的可能性和必然性程 度，( 2 5 ) 、( 2 6 ) 可用图形表示如下： g g 类似地，如果b - f g ，+ o 。 ，则： p o s ( o t _ g ) = n ( g ，+ ) ) = s u p 斗 ( r ) ir g )( 2 7 ) n e s ( d g ) 2 n ( g ，+ 。) = 1 一s u p 斗 ( r ) f 个个 g g i r lf o ( 。i , x d ( r ) = s u pm i n ( 肛( p ) ，p i ：( q ) ) ( 2 9 ) r ：p x p l , + q q 。2 由于芒，= ( 5 ，1 ) ，苔：= ( 7 ，0 7 ) 都为对称的三角形模糊数，可以证明，f 。，( x ，x 。) 也为对称的三角形模糊数，即： f n ( x i ，x2 ) = ( 5 x l + 7 x2 ， x l l + o 7 1x 2 1 ) = ( 5 x 1 + 7 x 2 ，x 1 + o 7 x2 ) 其中第二个等式是由x ，x ：的非负性得来的，一般地， 如果 勇= ( y ；，( 1 ) 。) ，i = l ，n 都为对称的三角形模糊数，则由k j j 得到的模糊数i j = 1 也为三角形模糊数o ： 厂。 。 、 三= k j y ；，fk j i ( o j j = ij = 1 其中k 。j = 1 一，n 为实数。 假设i ，( x t ，x z ) ，i - 1 ，2 ，3 为( 2 1 ) 的约束不等式左边的模糊数，由于模 糊数磊，6 。，i = 1 ，2 ，3 为对称的模糊数，由上面的结论，f ( x ，x 2 ) ，i = l ，2 ，3 也 为对称的模糊数： 假定决策者认为隶属度的取值