（课程与教学论专业论文）中学奥林匹克数学的教学设计研究.pdf

摘要 随着各国数学奥林匹克活动的蓬勃开展，逐渐形成- i 7 对数学教育产生巨大 影响和促进作用的边缘学科奥林匹克数学( 以下简称奥数) ，各种具有针对性 的奥数培训班也如雨后春笋层出不穷。为实现科学有效的奥数教学，达到奥数在 培养人的数学素质、提高数学思维能力等方面的教育作用，奥数教学设计的研究 具有重大的现实意义。 本文从实证角度出发，以参与培训的学生学员的问卷调查、教师学员的访谈 和课堂观察为调查形式，结合文献研究，初步探讨奥数教学设计的依据、实施及 其评价内容。基于对奥数基本待征和教育价值的理解和分析，笔者探讨了奥数教 学设计的一般原理和模型，其中包括奥数教学设计的理论基础、特点、原则、对 象、模式和评价。在理论研究的基础上，根据一学期的奥数培训教学实践经验， 具体探讨了奥数教学设计中学生情况的分析、目标的确定、内容的选择和设计等 关键环节，并以一个在奥数教学设计理论指导下完成的完整的教学案例说明奥数 教学设计的可操作性实践方法。最后，在对案例进行评价的基础上，对教学设计 的优化提出建议，以资对奥数培训班的教学提供一定的借鉴。 关键词：奥林匹克数学：教学设计：模式 a b s tr a c t a 8 8 t h e m a t i c sc 。m p e t e t i 。n sa r e f i o u r i s h i n gw 。r l d w i d e 、t h e o l y m p i c m a t h e m a t i c sg r a d u a l i yb e m c o m e sam a r g i n a ls u b j e c tw h i c h g r e a t l ya f f e c t s a n dp r o m o t e sh i g hs c h o o l m a t h e m a t i c si n s t r u c t i o n f u r t h e r m o r e ，a 1 1k i n d s o f0 1 y m p i cm a t h e m a t i c s t r a i n i n gc e n t e r se m e r g e w i d e l y t h e r e f o r e ，t h e i n s t r u c t i o n a ld 。8 1 9 no fo l y m p i cm a t h e m a t i c si s o fg r e a ts i g n i f ic a n c ei n p r a c t i c et oa c h i e v ee f f e c t i r eo l y m p i cm a t h e m a t i ct e a c h i n ga n dr e a l i z e t h e e d u c a t i o n a lf “n 。t i o n o fo l y m p i c l a t h e m a t i c s w i t hr e g a r dt oc u l t i v a t e s t u d e n t s m a t h e m a t i cw a yo ft h i n k i n g b a s e do ne m p i r i c a lr e s e a r c hm e t h o d ，t h i s p a p e re x p l o r e st h eg i s to f u l y m p l cm a t h e m a t i ct e a c h i n gd e s i g n ，i t s i m p l e m e n t a t i o na n de v a l u a t i o nb y m e a n so t q u e s t i o n n a i r e s ，i n t e r v i e w sw i t ht e a c h e r s ， c l a s s r o o mo b s e r v a t i o n a n dl i t e r a t u r er e v i e w - b a s e do nt h eu n d e r s t a n d i n ga n da n a l y s i so ft h e 。l y m p i 8 dm 8 t h e ”a t i c s sc h a r a c t e r i s t i c sa n di n s t r u c t i o n v a l u e ，t h ea u t h o r e x p l o r e st h eg e n e r a lt h e o r i e sa n dp a t t e r no f i n s t r u t i o n a ld e s i g n 。h i c h 1 n c l u d e t h e o r e t j c a l f o u n d a t i o n o f i n s t r u c t i o n a l d e s i g n i t s c h a r a c t e r i s t i c s ，p r i n c i p l e s ，i n s t r u c t i o n a l c o n t e n t s ，p a t t e r n sa n d a s s e 8 s m e n t - g r o u n d i n go nt h e o r e t i c a ls t u d ya n dt e a c h i n gp r a c t i c e s t h js s t u d yc o n c e n t r a t eo ns o m ek e ya s p e c t s s u c ha st h ea n a l y s i so fs t u d e n t s ， b a c k g r o u n d s , t h eo s t a b l i s h m e n to f i n s t r u c t i o nt a r g e t ，t h e s e l e c t i 。n o f m a t e r l a l sa n di t s d e s i g n m o r e o v e r ，t h i s s t u d yd e m o n s t r a t e st h e p r a c t i c a b i 】2t yo ft h e0 1 y m p i cm a t h m a t i c s i n s t r u c t i o nb yp r o v i d j n g a n i n t e g r a t e dt 8 a 。h l ”g 。8 s e a t l a s t ，b a s eo nt h ee v a l u a t i o no ft h et e a c h i n g c a s e ， t h l s s t u d yp r o p o s e ss o m es u g g e s t i o nt o o p t i m i z et h ei n s t r u c t i o n d e s i g n , 1 “h o p 。o f 。f f e r i n gs o m ei m p l i c a t i o nf o rt h et e a c h i n go f0 1 v i i 】d i c m a t h m a t i c st r a ini “gc l a s s k e yw o r d s ：o l y m p i cm a t h e m a t i c s ；i n s t r u c t i o n a l d e s i g n ：p a t t e r n 广州大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担。 学位论文作者签名：量，胁 日期：p 名，年j 月日 广州大学学位论文版权使用授权书 本人授权广州大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 广州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名形辨日期：朋6 年r 剧7 日 刷磴名擀醐：矾年，矽日 第一章绪论 1 1 研究背景 1 1 1 当代各国数学奥林匹克的开展现状 奥林匹克运动起源于古希腊，它原是关于体能的竞赛。数学奥林匹克则是青 少年智能的竞赛，智能和体能都是创造人类文明的必要条件，所以前苏联人首创 了“数学奥林匹克”这个名词。国际数学奥林匹克( i n t e r n a t i o n a lm a t h e m a t i c a l o l y m p i a d s ) 简称i m o ，由罗马尼亚数学家发起，1 9 5 9 年举办第一届竞赛，是一项 以数学为内容，以中学生为对象的国际性竞赛活动。1 9 8 3 年起确定每个国家的参 赛团体人数为6 名。中国1 9 8 5 年首次派两名学生组成代表队参加第2 6 届竞赛。 竞赛题由各参赛国提供，每个国家至多提供5 道，再经组织委员会审选确定。 中国数学奥林匹克( c h i n e s em a t h e m a t i c a lo l y m p i a d ，简称c m o ) ，1 9 8 5 年中 国数学会决定，自1 9 8 6 年起每年一月份举行全国中学生数学冬令营；从1 9 9 1 年 起，全国中学生数学冬令营被正式命名为中国数学奥林匹克。 从整体上看，各国的竞赛体系呈现金字塔式n 数学竞赛的发展，遵循着教 育发展的规律，即由低一级发展到高一级，由部分发展到整体，没有班级的兴趣 小组，就不可能搞好校级的课外活动：没有市级培训的基础，就不可能搞好i 雪家 级的竞赛：没有国家级的竞赛准备，就不可能有高水平的i m o ，越是高水平的数 学竞赛越要求有广泛的普及基础。 在美国，有初中、高中、大学的数学竞赛，其中高中数学竞赛就分三级，第 一级是美国中学数学竞赛，始于1 9 5 0 年，全卷3 0 道选择题，以中学课程为基础， 内容偏易，往往是熟悉的各种陈题。计算速度较快的学生占上风，有人抱怨这种 竞赛为“天才陷阱”。1 9 6 2 年以前这是“美国数学奥林匹克”的资格赛，参加的 学生达数十万之众。第二级是美国数学邀请赛，始于1 9 8 3 年，全卷1 5 道填空题， 参赛选手是“美国中学数学竞赛”的优胜者( 划一个分数线) ，因而题的难度提高 了。第三级是美国数学奥林匹克，始于1 9 7 2 年，在1 9 8 2 年以前，由美国中学数 学竞赛优胜者参加，而1 9 8 3 年以后，由美国数学邀请赛的优胜者参加，全卷5 道解答题，3 5 小时完成。从中选卅2 0 多名优胜者，集中到西点军校进行3 个 【1 】罗增儒数学竞赛导论 m 西安：陕西师范大学出版社，2 0 0 1 7 第二版 星期的训练，最后选出6 名队员参加im0 。这个金字塔式的选拔过程可图式为： 中学数学竞赛( 2 月) 一数学邀请赛( 3 月) 一数学奥林匹克( 5 月) 一西 点军校训练( 6 月) 一i m o ( 7 月) 。 一 在前苏联，金字塔式的体系形成得更早。其数学奥林匹克活动包括小学四年 级到大学二年级，其中以中学生的竞赛最引人注目。中学生的竞赛分为5 个级别， 即校内竞赛、地区或市级竞赛、省级竞赛、加盟共和国竞赛、全苏联赛。参加比 赛的人数形成金字塔，第二级比赛约1 0 万，以后每一级人数为前一级的十分之一 左右，还设立了8 个专门的数学学校( 或数学奥林匹克学校) ，以培养数学素质好 的学生，数学学校的代表队以及莫斯科、列宁格勒代表队都以独立资格参加全苏 比赛。前苏联的数学竞赛还有一个分年级进行的传统或特点，这就使得前苏联的 培训或选拔体系有更广泛、深厚的群众基础。其图式为： 校内竞赛( 7 月以前) 一地市竞赛( 7 _ 8 月问) 一省级竞赛一加盟共和国赛 ( 1 2 月) 一全苏赛( 次年4 月) 一i m o ( 7 月) 。 中国的数学竞赛，常设的有小学、初中、高中，不常设的也有大学竞赛。其 中高中的选拔体系是：首先省市进行选拔赛，参赛人数无法精确统计，至少有几 十万；然后，全国联赛，约数万人；从中选出各省前几名( 每省至少一人) 约1 0 0 人进行冬令营选拔，选其中2 0 多人组成国家集训队，最后确定6 人参加i m o 。 其图式为： 省、市级预赛( 9 月以前) 一全国联赛( 1 0 月) 一冬令营考试( 次年1 月) 一国家集训队考试( 5 月) - - * i m o ( 7 月) 正是数学竞赛的金字塔体系，决定了奥林匹克数学的层次性及数学奥林匹克 的参与群体范围。 1 1 2 我国奥林匹克数学教学研究现状 1 1 2 1 数学奥林匹克研究现状自1 9 8 5 年我国首次参加i m o 取得好成绩 以来，我国数学竞赛活动的规模之大，普及程度之高在世界各国是罕见的。随之 而来的以数学竞赛的组织、选拔、培训、命题、求解为纽带，使数学竞赛研究成 为数学教育的新分支 “，并且有中等数学等主要为数学竞赛研究服务的杂志。 数学竞赛的研究，在实践上积累了丰富的经验，在理论上也取得了丰硕的成果。 1 】鲁正火，张同楚，杨晓琳数学教育研究概论 m 教育科学版社1 9 9 9 8 8 通过分析，数学竞赛的研究主要体现在以下几个方面： 1 数学竞赛基础理论其中包括竞赛数学的概念和特点，数学奥林匹克的功能、 特征、演进规律等方面都有一定的研究。 2 数学竞赛的命题理论其中包括竞赛的命题原则与方法，在命题中如何对高 等数学的概念、定理和命题进行移植、变形和特殊化，如何对陈题进行开发，如 条件、结论的变形，方法上的推广，命题的创新等。 3 数学竞赛题的解法研究 其中包括解题思想方法、策略及解题技巧，对现有 某些解法的商榷、修正和补充等。 4 竞赛选手的选拔、培训和辅导其中包括数学天才学生产生的社会条件和教 育作用，数学天才学生的禀赋特点，数学天才学生的鉴别与培养，如何保持选手 良好的竞技状态，他们有怎样的知识结构等。 1 1 2 2 奥林匹克数学培训工作研究现状罗增儒教授在数学竞赛导论 一书中，对数学竞赛的培训工作作了概述，主要论及奥林匹克数学的学校训练、 理科实验班的办学宗旨及训练程序、国家集训队的任务及阶段进行介绍：还简略 概述数学奥林匹克学校的大体情况、组织及教学原则“1 。孙瑞清、胡大同在其合 著的奥林匹克数学教学概论一书中，对前国家教委理科( 数学) 实验班( 现 已停办) 的教学实验与研究的情况进行分析时，论及了教学指导思想及其教学措 施“。 数学竞赛活动的普及使得数学竞赛的训练工作越来越形式多样，也越来越规 范。通过对有关奥数培训工作的论文及著作的分析，总结各个学校的奥数培训情 况，可以得出大致的以下共性： 1 目标明确多数学校开展数学竞赛活动的目的是为了提高学生的数学思维水 平，增强学生学习数学的兴趣，使得在数学方面学有所长的同学得到更进一步的 提高和发展。一般来说学校组织的培训都是有固定的老师负责指导的，但是随着 竞赛的发展，一个老师要精通竞赛的各个方面的知识是很难的，所以多数采用教 练组制度。对于竞赛培训的内容，主要依据全国数学联赛的大纲进行。 2 重视基础发展能力超前学习并不是数学竞赛培训的目的，通过培训提高数 学思维能力才是数学竞赛的真正目的，冈此多数学校的培训工作和数学课程学习 罗增儒数学竞赛导论 m 陕西师范大学出版社2 0 0 1 7 孙瑞清，胡大同奥林匹克数学教学概论f m 】北京大学出版社1 9 9 4 7 3 同步进行。数学竞赛活动作为第二课堂，要服从和服务于学生课堂知识的学习， 要依靠和依赖于学生课堂数学知识的学习，因此也应该同步进行。但是数学竞赛 对于学生的思维能力要求较高，必须在培训中熏视能力的提高，必须在能力的培 训上超过一般的课堂数学的要求。通过适当的题目训练和知识的挖掘，数学能力 超前于一般的同学。 3 系统培训数学竞赛所考察的是数学思维能力，而思维能力的形成不是一朝 一夕的事情，一般来说都要经过长时问的系统的培i ) i l 刁可以达到一定的水平。一 般学校培训首先在知识上做到系统，通过数学课程学习和课外培训相结合，对竞 赛大纲要求的知识进行比较系统和全面的培i j i l 。另一方面是长期的培训，有的学 生在初中阶段就开始了培训，他们很早就接触了数学竞赛的内容和方法，形成了 较强的数学思维能力。 4 注重调动学生的积极性 数学竞赛的培训属于第二课堂的范畴，学生已经掌 握了所需要的基本数学知识，因此教师的讲授已可以采用更加灵活的方式和形式。 为了激发学生的学习积极性，同时检验学生的学习结果，比较多地采用学生讨论 与探讨、学生自学、学生写小论文总结自己学习的体会或者自己发现或者归纳学 习的内容等等，还经常由学生主讲开展活动。 上面的情况表明，现有的奥数培训工作研究主要体现在对奥数教学指导性原 则的宏观把握上，即考虑培训工作的整体目标、内容选择程度和方向、大体的培 训方式及性质。 1 1 3 从现行的数学课程设置及教学体系来看，一般中学数学教学 需要奥林匹克数学教学的补充 1 奥林匹克数学教学是中学数学教学的补充 初中数学教学大纲在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣， 激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体做法是：“对学有余力的学生， 要通过谋外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能 力的培养，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使 学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。 同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”叽 国家教委全u 制中学数学教学人纲初中数学嘲站( h t t p ：s u n w t l 1 e ：l s er l e t ) 2 0 0 58 4 在目前的班级授课制度中，一个班几十个学生，他们的数学能力上、中、下 参差不齐，这样势必在不同程度上影响和束缚了数学天才。学生的发展，为了充分 发挥有智能潜力学生的学习积极性，开展课外活动，利用第二课堂开展数学奥林 匹克活动，进行奥数教学是解决这一问题的最好方式，也是贯彻因材施教原则的 一种重要手段。近年来，全国各地开办许多业余性质的数学奥林匹克学校，青少 年科技活动中心或数学课外活动小组等，吸收了一大批学有余力的优秀学生，利 用课外时间和第二课堂，对课堂内学习的知识进行加深、拓广和补充，通过有计 划的培训，学生的基础知识得到了深化和拓展，其数学能力得到了提高和增强， 更重要的是智能结构进入了一个更高的层次，他们的洞察力、创造力和灵活运用 知识的能力有了很大的发展。因此，奥林匹克数学教学不仅是课外活动的一种形 式，而且也是对课堂教学的必要补充，同时也使学有余力的学生得到了充分发挥 和施展的机会【2 1 。 由于每个人的兴趣、爱好、性格以及所处的环境等各不相同，因此，每个人 的才能和特长也不尽一致，有些人往往只在某些方面或某一方面有特长，而在其 它方面表现平平甚至有些缺陷，奥林匹克数学辅导活动的开展也恰好给这样的学 生提供了一个发挥和施展的机会。过去单一的培养目标和事实上“以升学为中心” 的教育，往往用一个固定的尺度和框框衡量每一个学生，甚至要求杰出拔尖的学 生面面俱到，十全十美，这不仅不利于人刁的发现和培养，而且很容易埋没和扼 杀那些仅在某些方面有专长的人才。因此，奥数教学，可以在认真贯彻全面发展 的教育方针的同时，着重贯彻因材施教的教学原则，使之有利于学生个性发展， 让学生学有所爱、学有所长，使所有学生都能感到各得其所，充分自由地发展自 己的个性和特长。 事实上，在进行课程改革、推行人人学有用数学的今天，如何解决好“大众 数学”与“最好的2 0 的学生的数学发展”之间的关系，或者说“大众数学”应 如何与“数学上的高水平发展”相协调，逐渐成了国际数学教育界普遍认识到的 一个重要问题【3 1 。奥数教学，给数学优秀生提供了很好的数学发展空间，这在一 定程度上是对这一问题所提供的解决措施。 2 奥林匹克数学教学可以对中学数学教学中的局限性进行弥补现行数学教育 的一个严重缺陷是现行的数学教学体系对于发展学生的解决问题的能力，特别是 赵小云奥林匹克在数学教育中的地位和作用【j 】杭州师范学院学报1 9 9 8 年第3 期，p 1 1 7 i 埘郑毓信走向i c m e 1 0 j 中学数学教学参考2 0 0 1 年第8 期 5 掌握一般性的数学方法( 包括解题策略) 有一定的局限性【3 1 。因为尽管数学教育 在强调掌握数学知识的同时，也强调了培养学生解决问题的能力，并在教材中配 置了大量的练习和习题。但是，这些问题主要地都是按照数学内容进行选择和安 排的。这就是说，这些问题主要地即是按照解题时所用到的数学结论或原理进行 分类和设置的。从而，这样的教学体系不利于发展学生灵活运用数学知识解决问 题的能力。那么在奥数的教学过程中，就可以采用相应的教学策略对这一局限作 一突破，而注重学生数学方法的掌握。譬如，可以采用着眼于对学生思维能力培 养的策略：( 1 ) 创设问题情境，以调动学生思维的积极性；( 2 ) 进行专题教学， 注意思想方法的深入探究，进而使学生做到融会贯通；( 3 ) 开放教学过程，让学 生参与探索解题思路，养成良好思维习惯。 1 2 研究目的和意义 教学设计作为一门设计学科，它所提出的一套解决问题的程序和方法为教学 活动的顺利实施提供了保证。对于以促进人的数学素养的而进行的奥数教学活动 来说，也应该注重事先的设计。但在目自u 奥数研究中，尚缺乏对奥数教学设计的 系统研究，从而影响了奥数教学研究的完整性。从一定意义上说，奥数教学设计 是有效实现奥数教学的保证。通过奥数教学设计研究，可以更充分地利用奥数课 堂、进一步优化奥数教学，从而更好地发挥奥数教学在提高学生的数学思维能力， 提高学生学习数学的兴趣和学习的效果，提高奥数自学能力，进而达到培养数学 特长生的作用。同时，由于奥数的特殊性，使得奥数的教学设计不能直接套用课 堂教学没计，也不是对奥数与教学设计两个内容的的组合与拼接，而足对现有的 教学设计做具体分析并利用其合适成分、作突显奥数的特点及特殊性的教学探讨， 也正是这种教学探讨，可以从不同的视角来探讨数学教学。通过研究奥数的教学， 在向“填鸭式”、“满堂灌”等陈旧的教学方式提出质疑和挑战的同时，势必导致 教学方法的改进，从而促进中学数学教育改革。 1 3 研究内容 1 探讨奥数的教学设计的理论基础 2 对目前的奥数教学状况的调查研究与分析 3 结合一学期以米的奥数教学实践对以上的理论作修难 习郏毓信数学教育哲学【m 1 四川教育出版社2 0 0 1 9 第二版 6 4 对目前的奥数教学所作的思考及建议 1 4 研究方法和步骤 1 4 1 研究方法 1 文献分析 2 理论探讨 3 问卷调查 4 访谈和观察 5 实践分析 1 4 2 研究步骤 采用文献分析方法，了解本研究课题的研究现状，并从中得到本课题的论点 启发。在理论研究中确定本课题的理论基础。在相关理论的指导下，进行参与黄 山奥数培训的学生学员问卷调查和教师学员访谈，并对培训过程的教师教学作课 堂观察分析和比较。通过了解黄山奥数培训的教学效果，参考所得到的培训调查 分析结果及同类奥数培训班的探讨，进行为期十四个星期的卓越奥数培训实践。 在这实践过程中，访谈参与培训的学生家长及做学生对教师教学效果评价的问卷 调查。这一学期的实践可以说是本课题的初步实验，并以此为基础，通过对学生 情况的了解，对这些参与卓越奥数培训的学生的出勤、作业、期末考试情况的相 关分析，并参考他们的数学学习态度、数学学习效果等因素，作奥数教学设计的 有效性分析及评价。在调查实践的基础上，对现行的奥数教学设计提出改进建议 和措施。 本章小结 本章通过对当前国内外的数学竞赛开展状况及奥林匹克数学教学培训工作研 究现状的简单介绍，阐述了奥数教学设计的必要性、目的和意义。同时对本研究 的内容、方法和步骤作了初步介绍。 7 第二章奥数教学现况的调查研究与分析 2 1 研究结构 1 调查对象本研究是以中国科技大学于2 0 0 5 年7 月在黄山举办的奥林匹克数 学培训班( 以下简称黄山奥数培训班) 的学员及教师为对象进行的调查研究。参与 此次培训的学员遍及全国各省市，学员中有高一至高三的学生及高中数学老师、 教练员( 为方便区分，将担任培训任务的教师称为教师，参与学习的教师为教师 学员，参与学习的高中生为学生学员) 。这些学员随机分住在三个邻近的宾馆，每 个宾馆设一个教学班，三个教学班的教师相同、教学内容相同、只是教学顺序不 同。因此，笔者就选取本人所在的银港饭店学员为调查对象。访谈的教师学员有 两位，其中一位是吉林省一间重点中学的试验班奥数教练( 男) ，另一位是上海一 间普通中学的数学教师( 女) ：由于笔者带着研究的目的来参与本次培训，因此， 听课的过程同时也是认真观察每位教师讲课的过程。问卷调查部分，对学生学员 进行了1 0 0 份问卷调查，收回有效问卷8 2 份。由于参与培训的学员范围广泛性、 住宿分布及座位选择的随机性，本次调查的取样具有一定的科学性和代表性。 2 研究内容主要有以下三方面的调查：一、在奥数培训期间，对参与的教师学 员进行访谈，涉及该教师所在学校的奥数教学开展情况、学生奥数学习水平：二、 观察奥数培训期间的教师教学风格、教学方式，课堂气氛，学员的课堂表现；三、 奥数培训的最后一堂课，对参与听课的学生学员进行问卷调查。问卷调查主要分 为基本资料、奥数学习情况两大部分，其中奥数学习情况主要涉及学习奥数的时 间、方式、效果，对参与本次培训的内容及收获评价等。问卷一共包括1 6 个问题， 1 3 个客观题和3 个主观题。 2 2 研究问题 1 进行奥数教学设计的依据 这里的依据主要指学生情况分析，包括学习奥数 的时间( 开始学习时问、每天所花费的时问) 、目的、方式、对奥数内容的掌握情 况、奥数的认识。本调查将通过问卷的第4 1 2 个问题，从学生对奥数与课堂数 学的比较、对奥数学习的期望等几个方面考察学生情况。 2 奥数教学设计的实施和评价本调查，以学生的基本资料为依据，通过观察教 师的教学方式、学生的课堂表现，剖析奥数教学设计的目标没置、教学内容、教 学方法的选择；通过统计学生对培训内容的看法及收获的评价、分析不同教师的 奥数教学行为效果，探讨奥数教学设计的原则和标准。 2 3 研究结论 1 参加培训班的学生学员有较多的奥数学习基础他们大多来自数学水平较高 的班集体，【由附录1 ，2 】其中6 8 来自省一级学校、3 2 来自市重点学校：所在 班级的数学水平较高，【由附录1 ，3 】优秀的占7 8 0 5 ，良好的居1 4 6 3 。这些 学生开始学奥数的时间偏早，8 2 9 2 从小学就丌始学( 其中还有小学一、二年级 就己开始学) 、1 2 2 0 初中开始学、高中才学的只有4 8 8 。事实上，面向全国 范围的培训班，只有四百来人参加，前来学习的都是有一定奥数基础的学生，而 培训班的组织面向对象也正是这些数学基础较为扎实的学生，从它所选用的教学 内容基于全国数学联赛甚至偏向1 m o 和从事教学的老师都是奥数方面的专家( 包 括2 0 0 5 年中国i m o 代表队副领队、主教练等) 可见一斑。从与两位教师学员的 访谈中也可以了解到，中考是数学优秀生的再一次分流，就高中生来说，一般情 况下，重点中学的才有余力参与奥数学习，普通中学的大多应付高考不暇。在一 定程度上来讲，与初中生的大面积参与学奥数相比，由于高中数学的难度加大及 高考的压力，高中生的参与人数比例减少很多。 2 参加奥数培训班是学生学奥数的主要方式5 8 5 5 【附录1 ，6 】的学生选择参 加培训班( 这里所指的奥数学习方式应该是以往的奥数学习方式，因为参与问卷 调查的学生全是培训班的学生) ，1 7 0 7 是自学，培训班与自学相结合的占 1 7 0 7 。从这点看来，绝大部分学生学奥数，要从参加奥数培训班开始。也许正 是这些学生偏向参加培训班，才会选择参加这个黄山奥数培训，但也在一定程度 上反映了奥数的学习，自学有一定的困难，培训班在奥数学习中所起的辅助引导 作用。另一方面，每星期学奥数所用时间来看，超过6 个小时的为4 1 【由附录1 ， 7 1 。从高中课程设置来看，高中生学科课程多，不可能每周的培训课都超过6 个 小时，所以这部分学生必定同时以自学的方式进行奥数学习。 3 学生对奥数的认识比较客观，学习奥数的心态也比较健康从学生对奥数的 认识来看，5 6 0 9 【附录1 ，9 】认为奥数是对课堂数学的补充和提高，超过7 0 【附 录1 ，8 1 的学生认为奥数比课堂数学更有趣或更富有挑战性。而从学生对选学奥 数的原因来看，7 8 0 5 【附录1 ，5 】的学生出自个人兴趣。从学生对学习奥数的目 标来看，3 7 7 4 f 附录1 ，1 2 是为了参加全国数学联赛，3 2 0 8 是为了提高思维 能力，冲着提高数学成绩的仅为1 1 3 2 。从学生参加黄l l i 培训班的目的来看， 9 7 6 附录1 ，1 6 】的学生希望能通过培训充实自己、提高思维能力、提高数学能力 和水平。 4 培训目标的定位符合学生的期望，培训内容的选择基本适合学生的基础水平 从对本次培训班所讲授的内容看法来看，6 0 9 8 【附录1 ，1 4 】的学生认为有点难， 能接受，2 6 8 3 的学生认为一般。这一点说明，培训班的教学任务安排充分体现 了教学的最近发展区原理，符合学生的能力发展水平。事实上，培训班在开办前， 就应该定位教学的内容层次并予以告知，从而方便前来学习的成员的自我定位及 选择，同时也保证奥数教学对象的层次相近性。 5 培训的教学效果由学生的课堂参与来表现，与学生的知识水平密切相关；教师 的教学方法也是教学效果的重要影晌因素从奥数涉及的四大块内容来看， 3 3 3 3 【附录1 ，l o l 的学生比较喜欢几何，3 1 4 8 【附录1 ，l o n 学生比较喜欢代 数；2 1 9 5 【附录1 ，1 0 】的学生比较擅长几何，5 8 5 4 【附录1 ，1 0 】的学生比较擅 长代数；4 3 1 8 【附录1 ，1 0 的学生认为数论比较难，3 2 附录1 ，1 0 1 的学生认 为组合比较难。从课堂观察看来，学生在所喜欢擅长的代数、几何( 整体性与特 殊性、数列问题选讲) 的参与程度明显比数论专题( 整除、同余) 的高，甚至有 些学生在同余这一专题中打起瞌睡来。对于艰深的数论，真是想说爱你不容易。 而吴老师在三角形几何学的计算问题一讲中，以风趣幽默的语言讲述7 个小精灵 的盛装舞会来引入，一下子携住了众人的兴趣和注意力：李老师在向量的运算及 应用一讲中，从浅入深，仅以基本简单的向量运算居然可以变幻出无穷的魅力， 进而解决繁杂的问题。这些教学方式符合学生的能力水平和认识活动的规律，从 而极大提高教学效果。 6 奥数教师会有“教学定势” 所谓“教学定势”，可以理解为教师受通常接触 的学生的影响，所形成的一定的教学方式和习惯，这些方式和习惯具有个人特点， 但在某些情况下，若不作灵活变通，会产生一定的消极影响。学生普遍认为组合、 数论难，一方面确实因为这两大块知识点本身划高中生来讲比较抽象，解题技巧 方法比较灵活；另一方面，在一定程度上来讲，这也与数论讲授教师的教学有关。 王老师是国家l m o 代表队的副领队，他在带队过程中，面向的是全国范围层层选 拔出来的奥数尖子，授课题量大、速度快、难度高；而这个培训班的学员相对i m o 选手，从整体上看，不容质疑，相差很远。但王老师选的内容还是偏向i m o 程度 的内容，讲课的过程中也没有给学员的留足够的思考时问。因此，这种没有洋尽 地考虑学员的水平所作的上课内容和授课方式的选择，也是导致学员普遍认为数 论难的原因之一。 本章小结 本章以问卷调查、教师访谈、课堂观察三种形式初步确定奥林匹克数学教学 设计的内容和评价标准，如教学设计的依据、目标的确定、内容的选取、教学策 略的选择等。 第三章奥林匹克数学概述 3 1 奥林匹克数学的定义 数学竞赛与体育比赛在所倡导的精神上有相通之处，因此，许多国家把数学 竞赛命名为“数学奥林匹克”。 奥林匹克数学( 又简称奥数) ，又称竞赛数学，是数学竞赛的内容，随着数 学竞赛活动的发展而产生的数学，进而发展成为对青少年数学爱好者具有重大教 育意义的一门数学教育边缘学科。这门学科没有结构严谨、完整的知识体系，而 是以问题为核心，通过将许多有用的知识综合在一起，达到解决问题的目的。在 解决问题的过程中，一般强调知识的应用性与知识的逻辑性。知识的应用性由数 学学科本身决定，知识的逻辑性则数学科学所决定，而奥林匹克数学更强凋前者， 特别是创造性的应用。对奥林匹克数学内涵与外延的界定，国内学者从不同角度 作了诸如“中间数学”、“教育数学”、“研究数学”等沦述，反映了其不同的 侧而。综合起来，奥林匹克数学的内涵可表述为以问题为核心，以开发智力为 目的，以创新为宗旨，以竞赛数学为内容，以中小学生为主要对象，以课外活动 为主要形式的综合数学教育学科。它的外延，即它所涉及的内容也走过了一段从 古典传统到现代化的道路，目前已基本稳定在初等代数、初等几何、初等数论和 组合初步4 大块。组合几何、组合数论、集合分析这些内容，其思维方式、解题 技巧更适宜于数学尖子的脱颖而出，且常与现代数学思想相联系而成为奥林匹克 数学的3 大热点”1 。 3 2 奥林匹克数学的基本特征 奥林匹克数学形成于数学竞赛活动，在这样的背景巾形成的竞赛数学的知识 形态是很特殊的，它不具备完整的知识体系和严密的逻辑结构，但又具有相对稳 定的内容，通过问题和解题将许多具有创造性、灵活性、探索性和趣味性的知识、 方法综合在一起，这就决定了这门学科的主要研究对象是竞赛数学命题与解题的 规律和艺术，并且具有不同于其他数学学科的许多特征l 。 3 2 1 内容的广泛性 赵小云奥林匹克神澉学教育中的地位和作用【m 】杭州师范学院学报1 9 9 8 年篇3 期 2 1 孙名符，刘海宁论史林| ；| 【；克数学教育的时代价值【j 1 两北帅范大学学报( 白然科学版) ，2 0 0 2 第】期 p 】：卜光生 奥林匹克数学的摧率待征及教育功能【j 】陕西师范人学继续教育学报2 0 0 3 7 1 2 1 竞赛数学通过一个个千姿百态的问题和机智巧妙的解法，横跨传统数学与现代 数学的各个领域，与代数、几何、数论、组合等保持着密切而自然的联系，但又 不同于这些学科系统的专门研究，它可以随时吸收有趣味的、富有灵活性和创造 性而又能为选手接受的问题，而不受研究对象的限制，因此这门学科比其他学科 的内容更为广泛。 有些竞赛数试题新颖、别致，独具风格，充分体现了灵活性和创造性的思维， 中学生用学过的初等数学知识就可解答，但又与高等数学课题有着密切联系。例 如，1 9 4 7 年的匈牙利数学奥林匹克中有这样一个问题： 问题3 - 1 证明：在任意6 个人中，总有3 个人相互认识或相互不认识。 此题的背景是现代数学中的一个研究热点图论中的拉姆赛( r a m s e y ) 数 问题：给定正整数t ，求这样的正整数，使得当n 时，任何一个t 色完全图k 中 都有单色三角形，而当ncr t 时，总存在这样的t 色完全图k 。，它不含有单色三角 形。数称为r a m s e y 数，问题3 - 1 就是r 2 = 6 。 2 竞赛数学包含了传统数学的精华。数学历史上的著名问题，是历代数学大师的 光辉杰作，是人类文明的宝贵财富，它们以别致、独到的构思，新颖、奇巧的方 法和精美、漂亮的结论使人们赏心悦目、流连忘返。由于种种原因，今天学校的 课堂教学，没能提供机会让青少年学生接触这笔丰富的遗产，而竞赛数学继承和 发扬了这笔丰富的遗产。这既说明了命题者的主观倾向，又说明了那些传统名题 的教育价值。譬如著名的哥尼斯堡七桥问题，欧拉成功将它抽象成一笔画问题来 解决。现在小学奥林匹克数学中都引入一笔画问题，成为训练学生思维能力的一 类趣味性比较强的问题。 3 竞赛数学吸收了能用初等语言表达，并能用初等方法解决的高等数学中的某些 问题。这里的问题甚至解法的背景往往来源于某些高等数学领域，渗透了高等数 学中的某些内容、思想和方法。竞赛数学又不同于这些数学领域。通常数学往往 追求证明一些概括的广泛的定理，而竞赛数学恰恰寻求一些特殊问题；通常数学 追求建立一般的理论和方法，而竞赛数学则追求用特殊的方法来解决特殊问题， 而不需要高深的数学工具，这些问题往往可以从思考角度、理解方法和解题思路 方面推出一种广义的认识。 问题3 2 已知多项式z 3 + 缸2 + 倒+ d 的系数都是整数，并且删+ 刮是奇数，汪明： 13 这个多项式不能分解成为两个整系数多项式之积。( 1 9 6 3 年北京数学竞赛试题) 问题3 3 四次多项式z 4 + 2 x 2 + h + 2 不可能分解为两个整系数的二次三项式之 乘积。( 匈牙利数学奥林匹克试题) 上述两个问题的统一背景是多项式理论中的爱森斯坦( e i s e n s t e i n ) 定理： 设，= a o x “+ n 。r 。1 + + 口。上+ n 。是整系数多项式。如果存在素数p ，使最高次项 的系数n 。不能被p 整除，而其余所有项的系数都能被p 整除，且常数项n 。不能被 p2 整除，那么，o ) 不可能分解为两个低次的整系数多项式之积。 3 2 2 命题的新颖性 由于竞赛题目难度大，为了保证题目的新意，许多竞赛题目不仅常常使用现 代化的数学语言，而且体现了现代数学发展的趋势( 主要是离散数学) ，甚至有些 内容就是科学研究的新成果。前沿数学家在自己的研究中遇到一些中间子问题， 最终能用初等方法来解决，于是就变为不可多得的好试题。另外，对一些现代数 学的研究成果经过简单化、特殊化后可以找到初等解法，更是竞赛试题的重要来 源。正如竞赛专家乔治西泽克斯( g e o r g e s e z e k e r s ) 所说：“我所提出的问题几乎 全部来自实际生活，那就是蜕，来自数学家的实际工作所产生的问题。”【1 蝴 如： 问题3 - 4 在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点。试证：存在一相同心 圆的集合，使得 ( 1 ) 每个整点都在此集合的某一圆周上： ( 2 ) 此集合的每个圆周上，有且只有一个整点。 这是1 9 8 7 年全国高中数学联赛试题。它是由s t e i n h a u s 定理演变而来，因为 此命题的一个简单推论是：对于每个自然数n ，平面上存在一个圆，其内部刚好 含有 n 个整点。而这一推论又恰为s t e i n h a u s 定理的一个较弱结论。h u g os t e i n h a u s 证 明了：对每个自然数n ，存在一个面积为n 的圆，其内部刚好有n 个整点。 3 2 3 方法的创造性 奥林匹克数学是才智的角逐。解竞赛题虽然离不升一般的思维规律，也有一 卜光卜奥林匹克数学的摹本待钮i ；! i 乏教育功能【j 】 耿西师范大学继续教育学报2 0 0 3 7 1 4 些使用频率较高的方法和技巧，但没有固定的常规模式可循，它需要纵观全局的 整体洞察力，敏锐的直觉和独创性的构思，要求学生自己去探索、尝试，通过观 察、思考发现规律，寻求解决问题的有效途径。一些有固定模式可以遵循的问题， 不属于奥林匹克数学。 问题3 - 5 ( 1 9 9 0 年全国高中数学联赛第二试第3 题) 某市有n 所中学，第j 所中 学派出c 。名学生( 1 s c ；s3 9 , 1 s f s n ) 来到体育馆观看球赛，全部学生总数为 善c 2 1 9 9 0 看台上每一横排有1 9 9 个座位。要求同一学校的学生必须坐在同一 横排。问体育馆最少要安排多少个横排才能保证全部学生都能坐下? 华东师大二附中楼捷的解法如下：若安排1 1 排，有时候是不够坐的。事实上， 取n = 8 0 ，其中前7 9 个学校各派2 5 名学生，而第8 0 个学校派出其1 5 名学生，则 n 了c 。；2 5 7 9 + 1 5 ；1 9 9 0 。若安排1 1 排，除了某一排可坐2 5 7 + 1 5 = 1 9 0 个学生 倒 外，其余每排均最多只能坐2 5 7 = 1 7 5 个学生。这样l l 排总共1 7 5 0 + 1 9 0 = 1 9 4 0 个学生，还有5 0 名学生没有坐下。 下面证只要安排1 2 个横排就可保证全部学生都能坐下。把n 所中学的1 9 9 0 名学生按学校次序排成一行。每隔1 9 9 个人隔一个空档，于是至多有9 个学校的 学生被空当所隔开，把这9 所学校拿出来安排在两个横排上，这样就可所这些学 生安排在1 2 个横排上。 上述解法确实妙不可言，远比标准答案简明、漂亮，充分显示了参赛选手所 具有的迅速推理和转变思考方向的数学能力。奥林匹克数学的精髓是灵活的、创 造性的思维。因此，那些常规的方法能够解决的问题( 例如，用公式法求解一元 二次方程) 并不属于奥林匹克数学“1 。 3 3 奥林匹克数学的教育价值 3 3 1 奥林匹克数学教育有利于发现人才、培养人才 通过数学竞赛可以及时发现人才、选拔人才，并通过适当的方式加以特殊培 养，促使人才加快成长。例如，较早开展数学竞赛的匈牙利，虽然是一个小国。 却培养出一大批世界级科学家。历届i m o 的获得者中有不少取得了辉煌的成就。 1 l 赵小云奥林匹克数学引论【m 】广西教育出版社第一版2 0 0 1 7 1 5 例如在匈牙利，著名数学家费叶、黎斯、舍贵等都曾是数学奥林匹克的优胜者。 在美国，数学奥林匹克优胜者米乐诺、曼福德、硅伦曾先后获得了相当于诺贝尔 奖的数学菲尔兹奖。再如在我国，虽然相对来讲，国内参加的时削较晚，但