（理论物理专业论文）高维量子hall效应非对易torus上的孤立子及可积模型的研究.pdf

摘要 在回顾了h a l d a n e 在2 维球蕊s 2 上对爨子h a 娃效应鲍镬述积张善嶷与勰汪平对 量子h a l l 效应在4 维球面s 4 上鲍推广羼，我f f l 专每遣了s 2 魏s 4 上黪 慰易代数及其 h l l b e r t 空阅的m o y a l 终拇。然詹，铡用s u s s k i n d 和p o l y c h r o n a k o s 提黩戆办法，我g l 绘 出在妒上搂述不可压绞量子h a l l 藏俸的菲辩易辕一s i m o n s 理论及其代数缕梭。圈澍， 我魍述讨论了不可压壤爨子h a l l 滚镕鳃接述在上戆推广， 对j # 对易t o m s t ，局限于 # 对易参数0 = 鲁及t 的覆擐a 先一整数骜馈影，逶 过将r 遴捋露次o r b i f o l d i n g 戈五之后，我g 】霉到了t o r u st 上鹩其骞令鞭立子的 解。然魅以这释个疆立予懿中心经置荔掺为模空瓣，铷最，我弱焉该模空闯酶0 蛹数 梅逵了h i l b e r t 窿瓣踅。翡基底，并耀t o m s 上鹭缠绕濒生或了代数a ；，它燕8 藤数 主静磊磊h e i s e n b e r g 群踅矫，我躬还发现了局部椭鬻s u ( n ) 代数蛋的生藏元g ， 它是接矗；懿整俸鬟范交换遴行傍交交换鹃作藉在如主，我稻建立了a 。稀岔之阉的 丽掏关系。将g 嵌入到耩因c a u d i n 模型藕椭谶c a l o g e r o - m o s e r 模穗的 簸阵翼，我们 就绘击了魏r t 毋鼙立予系统静动力学我稍壶戴扭虢的s h 。( 霸余留撬的m o m e n tm a p 给 出了有f a y , 一i l l i o p o u t o s 濂的d 一方程，由诧罪对荔孤立子酌动力学就变成b r a n e 的动力 学将菲对劳藏立予的动力学交煮z i 作为模7 心& ，我们雨谱曲线d e tj l ( u ) 一i = 0 韵凡何位形( ，氍) 葫述了b r a n e 的位形而且，在蛩子h a l l 效应的非对易陈一s i m o n s 理 论羹，箕有准粒子源的约束方程也与其有m a r k e d 点的非对易s “。( 余切丛的m o m e n t m a p 方程相同同时，g a u d i n 模型厶算子的本征函数作为l a u g h l i n 波函数也可以用 b e t h ea n s a t z 方法来求解 对可积模型，在回顾了一种重要的可积模型一l 维s u ( n ) h u b b a r d 模型的构造后， 我们给出了该模獭的t e t r a h e d r a lz a m o l o d c h i k o v 代数，并用此代数证明了该模型r 一矩阵 所满足的杨，b a x t e r 方程利厢此杨b a x t e r 方程，我们还得到了一个推广的l 维s u ( n ) h u b b a r d 模掇 王l a b s t r a c t a f t e rs h o r t l yr e v i e w e dt h eh a l d a n e sd e s c r i p t i o no ft h eq u a n t u mh a l le f f e c to n2 一 s p h e r es 2a n dz h a n g a x e dh u sg e n e r a l i z a t i o nt o4 - s p h e r e w eo b t a i n e dt h ec o r r 鹳p o n d - i n gn o n c o m m u t a t i v ea l g e b r aa na n dt h em o y a ls t r u c t u r eo ft h eh i l b e r ts p a c e 。t h e nb y t a k i n gu s eo ft h em e t h o dp r o p o s e db 3 5s u s s k i n da n dp o l y c h r o n a k o s 。w eg a v eo u tt h en o n - c o m u m t a t i v ec h e r n s i m o n st h e o r 3 + t od e s c r i b et h ei n c o m p r e s s i b l eq u a n t u mh a l tf l u i do i l 铲a n di t sa l g e b r a i cs t u r c t u r e w ea l s od i s c u s s e dt h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ed e s c r i p t i o no f t h ei n c o m p r e s s i l eq u a n t u mh a l lf l u i dt os 4 o nt h en o n e o m m u t a t i v et o r u st ，r e s t r i c t i n gi nt h ec a s et h a tt h en o n c o m m u t a t i v e p a r a m e t e r0 = ；a n d t h ea r e aao ft b e i n ga ni n t e g e r ，w e o b t a i n e d 礼s o l i t o n so n r b yo r b i f o l d i n gt h et o t a lt o r u st 扎t i m e si n t o 兀t h e nw ec o n s t r u c t e dt h eb a s i s o fh i t b e r ts p a c em 。i nt e r m so f0f u n c t i o n so ft h ep o s i t i o n s o f 札s o l i t o n st h e 暾 w r a p p i n ga r o u n dt h et o m sg e n e r a t e st h ea l g e b r aa w h i c hi st h e 磊磊h e i s e n b e r g g r o u po n 目f u n c t i o m s 语f o u n d t h eg e n e r a t o r sgo fa nl o c a l e l l i p t i cs u ( n ) 多( s n f n ) ) w h i c t lt r a n s f o r mc o v a r i a n t l yb yt h eg l o b a lg a u g et r a n s f o r m a t i o no fa b ya c t i n go n 砥 、e s t a b l i s ht h ei s o m o r p h i s mo fa 。a n d 够，w ee m b e d e dt h i sgi n t ot h el - m a t r i xo ft h e e l l i p t i cg a u d i na n dc a l o g e r o - m o s e rm o d e l st og i v et h ed y n a m i c s t h em o m e n tm a p o f t h i st w i s t e dc o t a n g e n ts l t n ( 丁) b u n d l ei sm a t c h e dt ot h ed e q u a t i o nw i t hf a y e t * l l l i o p o u l o s s o u r c et e r m ，s ot h ed y n a m i c so ft h en o n e o m m u t a t i v es o l i t o n sb e c o m e st h a to ft h eb r a h e t h eg e o m e t r i cc o n f i g u r a t i o n ( ，n ) o ft h es p e c t r a lc u r v ed e t l l ( u ) 一划= 0d e s c r i b e st h e b r a n ec o n f i g u r a t i o n ，w i t ht h ed y n a m i c a lv a r i a b l e s 麓o ft h en o n e o m m u t a t i v es o l i t o n sa s t h em o d u l it 蛳曼，f u r t h e r m o r e ，i nt h en o n c o m m u t a t i v ec h e r n s i m o n st h e o r yf o rt h e q u a n t u mh a l le f f e c t ，t h ec o n s t r a i ne q u a t i o nw i t hq u a s i p a r t i c l es o u r c ei s a l s oi d e n t i f i e d w i t ht h em o m e n tm a p e q a n t i o no ft h en o n c o m m u t a t i v es “n ( 丁) c o t a n g e n tb u n d l ew i t h m a r k e dp o i n t st h e e i g e n f u n c t i o n so ft h ec a u d i n d i f f e r e n t i a ll o p e r a t o r sa st h el a u g h l i n w a v e f u n c t i o na r es o l v e db yb e t h ea n s a t z 。 f o rt h ei n t e g r a b l em o d e l ，a f t e rr e v i e w e dt h ec o n s t r u c t i o no fo n e i m p o r t a n ti n t e g r a b t e m o d e l 、t h e1 - ds 矽b ) h u b b a r dm o d e l ，w ec o n s t r u c t e dt h et e t r a h e d r a tz a m o l o d c h i k o v a b s t r a c ti i i a l g e b r a ，t h e np r o v e dt h er m a t r i xo ft h em o d e ls a t i f i e st h e f a n g b a x t e re q u a t i o n i n c o n s e q u e n c e ，w ea l s op r e s e n tag e n e r a l i z a t i o n so ft h e1 - ds u ( n ) h u b b a r dm o d e l 独创性声明 本人郑重声明所呈交的学术论文是本人在导师指导下 进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了本文中 特别加以标注致谢的地方外，论文中不包括其他人已发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献已在论文中做了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签字彰出务签矧司：娜5 年r 月3 日 第一章引言 量子h a u 效应( q h e ) 是凝聚态物理和理论物理中一个非常重要的研究领域1 9 8 3 年，l a u g h l i n 为描述分数量子h a l l 效应( f q h e ) ，提出了不可压缩量子h a l l 流体( i q h f ) 的概念 1 】不久，h a l d a n e 【2 】考虑了由个粒子组成的2 维电子气在一个半径为r 强度为b = 等的径向磁场中运动的情况，其中2 s 由d i r a c 量子化条件要求为一整数， 这个模型描述的是具有平移不变性的i q h f ( 实际上是旋转不变) 2 0 0 1 年，s u s s k i n d 等在群上 3 和妒上【4 】构造了量子h a l l 流体( q h f ) 的非对 易的陈一s i m o n s 场论张首晟和胡江平将q h e 推广到非对易的4 维球面上【5 ，6 ，由 此q h e 和非对易几何联系起来，并成为物理上实现非对易几何的一个直接的例子在 r 2 上，p o l y c h r o n o k a s1 7 】提出了正规化的非对易理论，其形式等价于一个w i l s o nl o o p 【8 】边界场妒的有限陈一s i m o n s 矩阵模型h e l l e r m a n 和r a a m s d o n k 【9 】提出了描述陈 一s i m o n s 矩阵模型的类l a u g h l i n 波函数k a r a b a l i 和s a k i t a 【1 0 则用c a l o g e r o 模型的能 量本征方程给出了l a u g h l i n 波函数的个明显形式这些工作吸引了大家的浓厚兴趣， 并将q h e 和q h f 与弦和b r a h e 的理论联系起来【1 1 ，1 2 】 在本文中我们的一个重要目的就是将非对易平面r 2 上和2 维模糊球s 2 上对i q h f 的描述推广到非对易的4 维球面铲上我们将在第一章讨论这个问题 最近，非对易几何上的孤立子理论也取得了相当大的进展( 参考文献【1 3 ，1 4 j ) 在 文献【1 5 】中可以看到孤立子可用投影算符来表达，w i t t e n 在【16 】中首先给出了部分等 距算子，文献【17 】就用部分等距算子生成了非对易平面上的孤立子此外，非对易t o m s 上的孤立子理论也引起了人们的强烈兴趣【1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 在紧化t o r u s 1 2 6 】上，人们还研究了对偶性，m o r i t a 等价及o r b i f o l d i n g 等 27 t o r u s 上投影算符的等价类在文献【2 8 】中是用巩和巩给出的缠绕整个t o r u s 上 的非对易代数4 的生成元以( 巩u s = 巩e 讲) 在【2 6 ，2 7 ，2 9 中是用矩阵差分算子给 出这些矩阵作用在一个具有平庸联络的u ( n ) 丛k 上，而其差分则作用在一个u ( 1 ) 丛c 上代数4 作用的h i b e r t 空间咒= k c 是由实的向量函数给出同时，该文也 给出了作用在上的局域协变微分算符阢它们的对易关系则给出了与口有关的常曲 】 2 鬻一章葶 言 率。显爨，t o r u s 酶双溪靛液瓣羧不麓蔼实函数獬瓣礁缭窭寒。纛我们翔邋，快速遘 降光滑实瞒数的s c h w a x z 定间s ( r ) 在m o r i t a 等价下给出了一个a d 和j 之间的双模 骛：2 4 。及俸先s c h w a r z 空褥鼹数辩g a u 豁i a n 薛羧护”2 带塞发，b o c a 2 王| 鼹# 磊羧 j 酶造了投影棼符。悲投影荬蒋灌怒b p s 静搽鑫对纛条 串 i 3 0 l ，霹悲蓑绘爨鬻蓥搴+ 毽是b o c a 翼褥掰了模等于吾戆孵照表达式，丙置，宅液遮势分爱最藏予巩晕瓣迭静蘸 个0 函数的巢积，因此非对易t o r u s 的辛结构就不清楚。g o p a k u m a r 等 2 2 】从同样的 g a t l s s i a n 辩懿蹬发，将整个菲霹赫疑2 上辩双藩耪多戳立予簿o r b i f o l d 秀t o r u s 上豹一 个单孤立予瓣。缝 】采耀静表示怒对共轭交薰p 穰辩偶的姆点上懿粥袭零 3 l ，3 2 】， 瓣8 = 2 | ? r a ( a 鸯一整数) 鞋慰爨戆魄籁遏蘸共麓本籁悫，透燕魏靛藏在辑逶簿鏊数 t o r u s 上成功地构造了具有双周期波函数的孤立子此时，t o r u s 上的非对赫复辛结构 菲常瞬融，甜应的w e y l - m o y a l 交换剿由卵和啄这潜个系靖来宾璃鬣麓繇然瑟魄 和i ，2 在这个简势的0 = 2 ，r a ( e 埘一1 ) 的情形下变为对易的，则他们在t o m s 上只获得 了一令瞧一懿投影舞籍，对应予在每一令捺熹上鬻簌t o m s 主；廷袁令强立予。 在零文中，我稻通过将这种蘩靛t o r u st 蓬嚣站次o r b i f o l i n g 羹，蓠先秘造蠢程 r 上具宥心个零点的n 多孤立予解，这种多孤立予酹横警闻为丁册& 。缝辘丁的基本 c y c l e 以裁投靠次分解为键正上鲍嫩，黩h ，1 町1 珥譬1 = f 等。这撵，t o r u s t 就 覆盖互他次，即，上最初的2 - b r a a e 变为端个具有u ( n ) 对称g u ( n ) 的2 - b r a h e 。整 辫 玩垒黢了一个，电代数，帮磊z n h e i s e n b e r g 嚣( & ，瑟显，爱黠漠苁，萎( 一氇；， 我们将檎遣融生成g 薛代数g 一( 丁) 酶筠郝算予露。 对t o r u s 上这个s v 。( t 丛静余髑丛，农m a r k e d 患上犍鼹考漂的m o m e n tm a p ，牡裁 被阢所扭曲，从简我们就得到墩子椭圆g a u d i n 模溅的l a x 微分算予l ( u ) 作为其1 1 , 扎 势变h e r m i t e a n 鼗嚣。套哭青个搬a 瘫融患懿簧影，我塞1 可将这个皿) 溉藏变换为撩 瑟c a l 。嚣渺m o s e rf c ，m 。 穰餮戆l a x 算予+ 显然英模鸯瓣交蠹辛空麓五，磊一麓，p i ) ， 冀h a m i l t o n i a n 流塞c 。m 。h a m f i t o a i a a 垒残。在d h w w 梅遭里，灌螽线嶷定了b r a h e 立形靶警间的“位形”，m o m e n tm a p 方程则为d f l a t 方程这样b r a n e 的动力学就由 e ，方嚣黪摊个解鼍 ) 绘毒。 进一步，我嬲考虑将m o m e 地m a p 方裰终为q h e 黧的g a u s s i a n 约束方攫，划g a u d i n 模壅h a m i l t o n i a n 酶奉蔹渡丞数就变势t o m s 土静l a u g h l i n 渡函数。这婆我 穗都将袭露 二章进行讨论 3 褥辩蜀裰滚鹜，鼗髓将磷究一种菲辫蒙簧躺霹稷模慧一1 缝s u ( n ) h u b b a r d 壤型+ h u b b a r d 模委 在强关联睡予系统，甏滠熬导翡磷懿孛舆搿靠零羹癸越季霉弼，l 缭h u b b a r d 穰燮逐其肖嚣檄撬璧予疆论和数学褥壤中可积穰鹫静许雾符点。岛l e b 裙w u 3 3 1 农 1 9 6 8 年鬟b e t h ea n s a t z 方法求瓣i 壤h u b b a r d 穰銎蠢，戳谴嚣静络聚鸯蒸确，天稻广泛褥 究了滤个穰裂浆锯瑾特性1 3 ，3 氛3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 ，0 ，l ，嬲，4 3 ，4 4 ，4 5 ，酶，4 7 ，4 8 ，4 9 ，5 噬。 豢然h u b b a r d 壤鬟逐霹洋多工作可敲，斑荚霹飘佳簿帮嵩粥1 9 8 6 年孝鑫s h a s t r yf 5 1 ， o l m e d i t l a 和w a d a t i 5 2 绘蹬玻色秘费米除纯的蕊稚诞嘲，1 9 9 5 年，s h l r o i s h i 衽w a d a t i 诞萌了盛s h a s t r y 绘爨麓露矩阵繇滚楚静锈b a x t e r 方程 5 3 ：4 ；5 翻，并盈在 3 j 申 还给磁了个s h a s t r y 懿双罄袋点禳型辩搀r - 。h u b b a r d 模型m m s f e r 矩阵酶零程值嵌 文献 5 t 1 审缭癌，辩盛疆不弼瓣方法褥戮诿秘 5 6 ，7 | 霹参簿蕙皱1 5 翻) 。 蒸予l i e 代数鲍熬识，1 9 尊8 杰fm a a s s a r a n i 翘m a t h i e u 戚功媳梅造了s u ( n ) x x 穗 燮静h a m i l t o n i a n ，弗最谣鳃了缝静帮辍毪洚霹，考虑瓣个鼠，弘jx x 镤湮辩偶合，愆 s h a s t r y 戆方汝，m a a s s a r a n i 述秘遣了l 终s g ( n ) h u b b a r d 攥爨羚罐；势鼠发域保诞 荬可糨篷魏辩矩簿 6 t l + m a r t i n s 氇诞镬了豫= 3 ，4 静褥嚣 6 2 j ，对般让鳇情形， 戴出矮璃宏搬s a s a k i 缭出了l a x 对壤形下懿迸锈辫3 ) 。她多 ，s u ( 3 ) h u b b a r d 攘鍪熬 耢瓣解也簌嘲 蘑b e t h ea n s a t z 方法绘出毽怒s u ( n ) h u b b a r d 秘承矩簿辑瀵罡鳃 糖b a x t e r 方程劐一誊没蠢涯鹱。 颡就，整零文串静第嚣掌我识将绘浅l 缳s u ( n ) h u b b a r d 壤毽静臻矩黪聪瀵足翡 撬b a x t e r 方爨鳇诞骥，势壶茈绘窭一静勰黪撬广的1 缭s u ( n ) h u b b a r d 模型， 第二章4 维球面上的量子h a l l 效应 这一章我们的目的是将非对易平面豫2 上和2 维模糊球铲上i q h f 的描述推广到 4 维球面s 4 上首先我们回顾一下在2 维球面s 2 上h a l d a n e 对q h e 的描述，由此我 们构造出铲上的非对易代数和相应的h i l b e r t 空间的m o y a l 结构在回顾了张首晟和胡 江平的对4 维球面伊上q h e 的描述后，我们也给出4 维模糊球上的非对易代数及 其h i l b e r t 空间的m o y a l 结构然后，利用s u s s k i n d 3 和p o l y c h r o n a k o s 7 ，6 5 l 提出的 方法，我们构造铲上描述i q h f 的非对易陈一s h n o n s 理论，并给出妒上的代数结构 此外，我们还给出上i q h f 的描述 2 1 第一h o p f 丛铲上最低l a n d a u 能级的单粒子波函数 h m d a 皿e 模型描述的是一个在2 维球面( 第一h o p f 丛) 铲= ( s 3 一s u ( 2 ) ) ( s 1 一 u ( 1 ) ) 上在d i r a c 磁单极磁场中运动的带电粒子其单粒子的h a m i l t o n i a n 为： 日：卫2 m r 2 = 絮， ( 2 ，) 这里m 为粒子的有效质量，r 是铲的半径，“i g = 丽e b 是粒子运动的回旋频率， 其中e 是粒子的电荷， b = 蒹是磁场强度 2 s 由d i r a c 量子化条件要求为一整 数。天= f 【一i v + e 五( 列是粒子的动力学角动量，a 是与粒子耦合的u ( 1 ) 规范场： v 舀= b f ，其中f = 高动力学角动量五的对易关系为： a 。，a 4 = i ，泸所( a 一日f 1 ) ， 这个对易关系是不封闭的h a m i l t o n i a n ( 2 1 ) 具有旋转不变的对称性，对应的对称群为 s u ( 2 ) ，群流形为s 3 其中s u ( 2 ) 的三个e u l a r 角o t ，卢，y 是由下面的整体角动量l 生 成的 三= 尹m v + e 五( 剜+ 格斋i 五+ 危研= 五+ 心 ( 2 2 ) 三满足对易关系f 2 ： 【l 。，7 嵋 = i 危e 。所p ，于= 三，f 或j 【 ( 2 3 ) 5 6 第二章4 维球面上的量子h a l l 效应 算子乎，三2 ，l s 和五2 可以同时对角化，其共同本征函数为 皿二，s = d ；：l ，s ( a ，p ，7 ) ，j l s i ，m = 一工，工( 2 4 ) 这里碟，s 是有限转动矩阵元，指标j ，m 和s 则分别是算符乎，l s 和雪的本征值。 e u l a r 角u = ( o ，p ，7 ) 取值为乜= 西，卢= 8 和，y = 7 ( 咖，日) ，其中7 有一个u ( t ) 的规范 自由度在最低l a n d a u 能级( l l l ) ( j = s 且能量为 ，i 。口) ，这些本征函数变为： 三= 壤一s ( q ，卢，1 ) ，m = 一s ，s = ( 一1 ) s + m 一” s + m _ ( 1 州) - s ( s - m e i s 7 两希珂， ( 2 5 ) 这里e 为测地投影坐标： ( = t a n ( ；) e ( p ( 一i 毋) = ：，札和u 是旋量坐标： u = c o s ；e x p ( 半) = d n l 川， u 2 咖互e x p 【t ) _ d i ，一，日，7 ) ， ”= s i n ；e x p ( 二学) = d 1 ， ( 2 6 ) ”28 m i e x p ( 午) = d 搿，p ，7 ) _ ( 2 6 ) 在第一h o p f 丛铲上，h i l b e r t 空间由d i r a c 磁单极g ( s = g e ) 周围的n = 2 s + 1 个单粒子波函数皿景，( m = 一s ，s ) 组成作用在这2 s + 1 个态上的算子是协变 f 2 s + 1 ) x ( 2 s + 1 ) 的矩阵，作为不可约张量集合，其形式为( 归一化后) ： c 一( 三二孙0 一0 ，其中。= 麦( 口1 + i 9 2 ) ，n = 南( 口1 一z 口2 ) ， 墨a t l = 1 。魏s 】发瑗了一类特殊懿线瞧缝合： l 妒) = q ，。叫呢2 i o ( 3 4 ) j 1 0 2 满足 ( 移| 职1 磅i 妒) = 国：。毛：。 ( 3 。5 ) 1 5 1 6 第三章非对易t o r u s 上的孤立子及可积模型 则投影算符将为 p = 明1 暖2 俐妒 町2 盯1 j 1 j 2 j d 2 = p ( 36 ) 由正交条件( 3 5 ) ，有巩p w 一1 = p ，( i = i ，2 ) ，即p 实际上作用在t = r 2 ( z z ) 上，并在r 2 具有周期阢，( i = 1 ，2 ) 为找到满足正交条件( 3 5 ) 的解，在【2 2 】中使用了r 2 上波函数( 3 4 ) 的p q 表示 【3 1 ，3 2 】： 豳) = 去e 1 州扔2 2 n 叫g + 弼， ( 3 7 ) 其中j 口) 是口1 的本征态：口1 i q ) = q l g ) ，由此有 e i l r 2 f t li q ) = e u e 4 l q ) ，e - i l 口2 | g ) = i q + f )( 3 8 ) 显然，当a 为整数时，【p q ) 是以和的共同本征态： u i p q ) = e - i l p 伽) ，u 2 1 p q ) = e i l n q l p q ( 3 9 ) 说明：由相干态的完备性【7 8 ，我们知道i p q ) 的定义具有双周期性：0sps 孕，0s q f ，如果a 2 ，i p q ) 就组成了h i l b e r t 空间刊 = 7 l a ：a 一组正交完备基底当 a = 1 时，如果我们在每一个单元只选择一个相干态，则所有的态，不含真空态，都将构 成一个态的完备和最小系统b a r s 【2 5 最近讨论了比这个极端情况下尺寸更小的的解 使用表达式i q ) = e x p l ：譬+ a t q + 譬) l o ) ，我们发现波函数( 3 7 ) 的求和等于椭圆0 函数 蚓0 ) _ 去e 却2 口( 譬竽，孚) ， ( 3 1 0 ) 其中r = t 1 + z 记则由( 31 0 ) 的模变换或直接由( 3 7 ) 使用p o i s s o n 重求和公式，我们可 以得到和【2 2 】一样的结果： c o ( p ，g ) i 蚓o ) = 杰唧( 一际tp2+训(q+prn2 ，云) ( 3 1 1 ) 7 r4 、 ，l九 5 3l “整数t o m s ”上的孤立子及其进一步的o r b i f o l d i n g 1 7 则正趸条件【3 5 ) 婴为： 华“ 岛，o 如：，o = d p d q e 日l l p + i j f l 7 1 2 q l 皿( p ，q ) | 2 = z 孚劫知e w m 炯啦溉训2 至a - 1 恤m 舛c s 因此 ( p q j 砂) 三皿( p ，q ) ：j ( p ，口) c j 扫，口) ：7 ：亍；坚竺垒：一( 3 1 3 ) 、2 ”a 鬟i c o ( v ，g + , l l a ) 1 2 现在我们进行进一步的o r b i f o l d j n g 令m ：卵1 ，则有 ) g ) z 妇吲啦+ 扣= 杰唧( 一生2 i r 2 制。+ 扣( 华， ( 3 1 4 ) 这里我们已经选择a 和n 互质 ： 同样地，我们有 ，q ) 三蚓啡) ：志4 v 唧( 一蒜2 吲。+ 跏叩( 毕+ 翱 7 r “1 三志唧( 一爰抑( g + 釉嘛 ( 3 1 5 ) 三而唧( 一磊+ i p ( g + 拶，出万) ( 3 1 5 这里。三l + i y 2 ，p ，q 到z 的映射由w e y lm o y a l 变换给出【2 2 w 1 的作用是将z 移 动到z + i ，或者等价地将函数以，p 的参数口移动到p + j 构造 陬卜雨岽恚雨， 协峋 则1 皿口+ 。) = e 一却1 皿口) ，且i 霍。) ( o = 0 ，1 ，n 一1 ) 是线性独立的 令 p o 。四1 碗2 俐皿口妒吼( 3 1 7 ) 瑶= 啼 w 2 ，p 矗w = p ，。+ h ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 1 8 第三章非对易t o r u s 上的孤立子及可积模型 释文献【2 习弹，我 l 遣可敬潦亨静方海将t o m s 遘行次o r b i f o l d i n g 。令 土 = 叼，则 嚷( 刖) ；锄1 w $ 1 0 = 西唧。( p + 等州o ) = 高e x p 一丽v p 2 + l ( p + 翱拶融# - 廿- f - ，务 洚。) 显然，；觋将z 移凌瑟z + i ，嚣移凌毛，$ 秘参数。 因此，我们可以构造类似( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) 的l 蛾) 和只。但是集合r ，( o = l ，2 ，耗) 耪集会昂，猡= l ，2 ，嚣) 耀互劳不独立，基在这嚣矜基褒下，鹦 戏( 和) w 2 的矩阵不为常数实际上，既然整个t o m s 丁上p 的靶空间h 丁已经分解为 t o m s 磊上酶。【2 驾，我船哥菇我蘩；黪