（理论物理专业论文）非线性发展方程几类求解方法的研究.pdf

摘要 摘要 随着科学技术的发展，在自然科学和社会科学领域中广泛存在的非线性问 题，越来越引起人们的关注，而且许多非线性问题的研究最终可归结为非线性发 展方程来描述，因而如何得到它们的精确解对研究相关的非线性问题非常重要。 本文中，将系统介绍几种非线性发展方程的求解方法，如齐次平衡法、双曲函数 法、函数变换法以及j a c d b j 椭圆函数展开法等。 第一章介绍孤立子理论发展概况，详细推导了在非线性方程理论研究中具有 重要意义的非线性波动k d v 方程，并且研究了孤立子相互作用问题，分析表明 孤立子碰撞以后形状保持稳定。 第二章运用行波法，精确求解了k d v 方程和s i n e 删o n 方程。获得两种 重要的行波解一周期解和孤立波解，并且定性分析了解的几何性质，且将孤立 波和同( 异) 宿轨道联系起来。 第三章介绍齐次平衡法，采用此法找到了k d v 方程的六种精确解：精确平 衡解、孤立波解、有理解、多项式与指数函数混合解、多项式与三角函数混合解。 作为应用给出了二维色散长波方程组的定态解、孤立波解、非孤立波解等。 第四章介绍双曲函数法，其基本思想是将非线性发展方程的行波解表示成双 曲正切函数形式解，并对近年来发展起来的双曲函数展开法加以改进，采用颞的 变换函数，得到了k d v 方程、非线性日e i n g o r d 方程和组合k d v 方程的一些 新的孤立波解。 第五章首先采用2 0 0 1 年提出的j a c o b i 椭圆函数展开法和本文由此扩展恧来 的双椭圆函数展开法，求解了一大类非线性发展方程，得到了系列新的周期解。 而且这些周期解在极限条件下可以退化为孤立波解，由此表明此类展开法是一种 商效实用的方法。为了讨论了j 椭i 椭圆函数展开法的适用性问题，我们引进 “秩”的概念，指出只要非线性发展方程的各项的“秩”满足相同的奇偶性，就 可以用这种展开法求解。其次，介绍在椭圆函数展开法基础上发展而来的，利用 l a m e 函数求解非线性发展方程多级近似解的方法，并且求解了非线性 s c h r 6 d i n g e r 方程，非线性b 蹦方程，z a l 【 i a r o v 方程，盱方程，b o u s s i n e s q 方 程和立方非线性s c h r 6 d i n g e r 方程等方程。最后，从l e g e n d r e 椭i 司积分和j a c o b i 摘要 椭圆函数的定义出发，得到了新的j a c o b i 椭圆函数和三角函数变换，并把它用于 非线性波方程的求解中，既简化了求解过程，又能够得到周期解和孤子解。 第六章介绍函数变换法，基本思想是假定非线性发展方程的形式解具有某类 函数形式，通过确定这类函数形式解的各项系数，最终求得非线性发展方程这类 函数形式的解。本文提到的几类函数变换法都是经过验证、比较实用、能带来许 多新解的变换法，并由此法得到了广义变系数k d v 方程新的类孤子解、f i s h e r 方程及二维b u r 窟豇蚰国v 新的行波解和孤波解、具5 次强非线性项的导数 s c h r i ，d i n 鲫- 方程精确孤波解和非线性k 1 e i n g 0 r d o n 方程新类型的孤波解和新类 型的用三角函数表示的周期解等。 关键词：齐次平衡法，双曲函数法，函数变换法，j a c o b i 椭圆函数展开法， 行波解，精确解，孤立波解，非线性发展方程，孤立子 a b s t 瑚c t a b s t r a c t w i t ht l l ed e 、，e l 叩m e n to fs c i 朋c ea 【l dt e c t l i l o l o g y t l l e r ea r em 卸yn o i l l i n e a r p r o b l e m si n 蛆t u r a l 趾ds o c i a la r e a s ，州c ha m u s e sf 肌c hc o n c 锄t h e s ep r o b l e m s a r eu s u a u yd i a r a 髓e r i z e db yn o m i n e a r 啪o np 删a ld i 丘b r e m i m e q u a t i o i i s ( n i ，e m 匠s ) s oh o wt oc o n s t n l c tc ，【a c ts 0 i m i o 璐o f 忙a s s o c i a t e dn 0 i l l i n e a re q u a t i o n s p l a y sa ni m p o r 【a 1 1 tr o l ei nu n d e f s t a n d i n gt h en o m i n e 盯p r o b l e m s i i lt l l i sp a p e r t h e r c a r es e v e f a ja v a i l a b l em e l o d si ns o l v i n gt l l e n u 三p d e s ， f o r咖p l e t h e h o m o g 锄e o u sb a l a n c em e t l l o d ，t l l eh y p e r b o l i ct 柏g e n tm n c t i e x p 柚s i o nm e t l l o d ， t t l e 如m c t i t r a i l s o nm e t l l o d 锄dm ej a c o b ie m 叫c 铀c t i o n 懿p a i l s i o nm e t l l o d c h a p t c r l ：f i r s t l y t h ed e v e l o p e m e n to ft h em e o r yo f l b ni sp r e s e n t e d ，t h e f 矗m o u sk d v 锚l m t i o ni si n t r o m l c e dd e t a i l l y ，w 量l i c hp l a y sa ni m p o f t 趾tr o l ei nt h e t h e 0 i yo f n o n l i n e a re q u 撕s a 丑dt h ep r o b l e mo f t i l ei n t e m 甜伽b m 旧舶鼢【i t o n si s a l s os t u d i e d ，w b i c hs h o w st h a tt h e 佃重v e l i n gs o h t 衄sk e e ps t e a d ya f t e rc 0 1 l i s i o n c h a p t 茁2 ：t h et 嬲陆gw a v em 甜) o d i sm u s t l - 艇e db ys o l v i n g 恤ek d ve q u 撕o n 粕ds i n e _ g 0 r d o ne q u a 吐o n t 钾ol d n d so f 仃a v e l i n gw a v es o l u t i o n sa r eo b t a i l l e d ， n 锄e l yt h ep “0 d i cs o l u t i o n s 锄d l i c a r yw a v es o l u t i o n s a n dt h e i rg 咖e m c a l 诧a t w e sa r es i 】茁p l y 武u d i e d c h a 舯e r 3 ：t h eh o m o g 胁u sb a l 锄c em 劬o di si 鼬c e d b yu s i n g0 ft l l e h o m o g 衄u sb a i 锄c em e t h o d ，s i xe x a c t 唧l i c i ts o l 谢so fk d ve q u a t i o n 眦 0 1 ) t 址n e d ：t h ee 瑚肚b a l a n c es o l u l i o l l m es o l j t a r yw a v es o o i l ，t h er a l i o n a l 蹦蕊o n t h em i 】【e ds o l u t i 衄o ft h e 蛐j h j n o n l i 8 lf b m 船dt h e 唧o n e m i a lm n c t i o i l ，t h en l i x e d s o l u t i o no f t i 把删l t i n o m i a lf b ma n dt l l es i n e c o s i n e 向n c _ t i o n a sa n o t l l e re x 柚口l eo f t h ei m p r o v e dh o 麟增跖u sb a l a i l c em e t b o d ，w e 职湖d1 i k et os b o wt h es o 啪o n s0 f t w o d i m e 捌o nd i 跗琊曲el o n g 删唧a t i o n sa l c a l lb ef o 哪db yt l l ei m p r o v e d h o m o g e n e o u s b a l a n c em e t h o d c h a p t e r 4 t h eb 呵柚0 1 i ct 缸l g e m 血n c t i o n 懿p a n s i m e t h o di si m r o d u c e d n s a i mi st om a k et l l e 打a v e l i n gw a v e l u t i o no fn o l l i i n e a re v o l u t i 讲le q u a t i o ni m ot t l e f 0 m i l m o no f 把b q ) e f b o l i ct 鲫g e m 血n c t i o n a i l dt h er e c e n t l yd e v d o p e dm e t l l o d o fh y p e r b o 矗ct a n g e n tf i l n c t i o n 唧粕s i o 玛觞w c l l 勰i t se x t e n d e dh y p e r b o l i c 如n c t i o n t 丌 a b s t l l c t e ) ( p a n s i o 珥i si 咖d u c e d b a s e do nt h 船e 咖m e 山o d s ，s o m e 叫i t a r yw a v es o h j t i o n s 0 fk d ve q u a l i 咀n o i l l i n e a r 圈e i n _ g 0 r d o n 娜谢o n 舭dc o m b i n e dk d v 邙l a t i o n 哪 o b t a i l l e d c h a p t e r 5 ：t l i ej a c o b ie l l i p t i cf h n c t i o ne x p a i l s i o nm 叫帕di si l l t l o d u c e d a n dw e c a i ia l s oe ) c t e n dt i l j sm e t h o dt oam o r ep o w e f f h ln e wm e t h o do fd o u b l yj 砌ie l l i p t i c m n c t i o ne 砷雅s i o n ，ab i gp 砒c ho fe x a c te 砷l i c i t i u t i o n si so b t a i n e db y 印p l i c a t i o n o f t h em e t l m d ，w h i c hi l l d u d e st l l ep 谢o d i cs o l u t i s 锄dt 1 1 es o l i 乜r yw a v es o l u t i o n s i nm ep a r to fd i s c l l s s i o n ，伍e 姒i t a b i l i t yo ft h ej 砌ie l l 删cf h n c t i o ne 印蛐s i o n m e t l l o di sa 重m l d i e db yp r o p o s i n gt l l e “r 舡世，柚dw ep o i mo u tt i l a t 洳t l l e r a l l 埘o fe v e f yt 锄o f t i i en o n l i n e a fe 、r o h n i o ne q 嘶叫i sc o m p l e t d ye v 锄o ro d d ， t t l em e t l l o d 锄b eu s e dt o l v et l l ee q 岫t i a n dt h en e w l yd t 眦p e dm e t h o do f t l l e a p p l i c 砒i o i io fl 邮6 ；l n c t i o nhs 0 m n gt h e 珊】1 t i 训e r 印p 删m a t ee q 枷so f n o m i n e 缸e v o h 哇i o n 代l u a l i 咄i sa l s od i s c i l s s e d f o u 0 、v i n ge q u a 虹o n sa r e 蹦v e db y t l l i sm e t 】h o d ：n o 曲髓rs c h r 6 c 吐n g 盯e q u a t i o n ，b b 】e q u a l i o l l ，z a l 【h a r o ve q u a t i o l l ，e t c a n d 丘鲫m ed 面n i t i o no fl e g e n d r ee l l i 州ci n t e g r a l i o na n dj a c o b ie 1 1 i p t i c 如i l c t i ， n e w 仃a 邯f o m 眦i o n 眦曲t a i l l e d 衄da p p l i e dt oc d l l s l n l c tm e 啪c t l u t i o 衄0 f n o n i h 蝴re v o h m o ne q u a 主i o 璐1 1 1 c s en 哪a i l a l y t i c a i i u t i o 璐锄c h 踮p 嘶d d i c s 0 机t i 啷a n d l i t o n 哳o n s 辩出：p 雨e d0 f m a i i yn o i l l i n re v o l 砸o n 戗l u a t i o c h 卸t e 布：t l l em n c 吐o n 仃a n s f o n n a t i m e t h o di si n t r o m l c e d n sa i mi st l l 缸恤e f 0 加s o i m i o no fn o i l l i n 叫哪h m o nd l u a t i o ni s 姗m e da st h e 胁c t i e ) 中a n s i o n f 0 珊b yc o n s n u c = i i l l gt l l eo 琦c i 蜘临o f 抽e 旬枷o n 【p 孤s i o nf o r m ，w ec 鼬g e t 协e f u n c t i o ne x p 蛐s i o nf o ms 0 1 u t i o 邶o f i l l i n e a re v o t u t i o ne q 删o n i nt l l i sp a p m 鲫vl 【i n d so f 劬c t i t m s 内m a t i o ni si n 仃。西删t os o l v en o n l i n e a re v o i u t i e q 埘n i o n s 柚dw ec 锄g e tt l l e 鲥i t - l i k e l 砸o no ft h eg e 蝴i i z e dk d ve q u a t i 、v i t l lv 嘶a b l ec o e 彤c i e t n e wn 硼e l i l l gw 酣es o l 删| o n s 粕dt h es o 雠町w a v es o l u t i o n s o ff i s h 盯e q u a t i o n 粕d 埘od i m e n s i o nb t l r 群稻- k d ve q 【u a t i o i l ，e 甲l i c i te 】【a c ts o l i t a r y w a v es 0 1 u t i o n so f 伍en o n l i i l e 盯d 耐v a t i v es c h 聊i n g 盯e q u a l i o n 、v i t hf i f t 卜o r d 盯 s t r o n g e rl l o i l l i l l rt 觚n ，n e ws o u t a r yw a v es o l u t i o n s 柚dr i 哪p 商o m cs o l u t i o n s 诚h s i n e - c o s i i l e 旬n c t i 咖o f n o n i 抽髓r e i n 炳r d o ne q u a n o n a b s t r i n k e yw o r d s ：t h eh 哪。昱彤l e c l u sb a l a n c em 既h o d ；t l l eb p e r b o l i ct a l l g e m 如n c t i o n 唧a n s i o nm e t _ h o mt h e 劬c t i o n 仃a 1 1 蜘m a t i o nm e t h o d ；t h ej a c o b i d l i p t i cf h n c t i o n 唧粕s i o nm e t l l o d ：仃a v e l i n gw a v es o l u t i o n ；e 瑚d e 币l i c i ts o l u t i o 璐；t h e l i 协r yw a v es o l u t i o n ；j a c o b ie l l i p t i cm n c t i o n ； s o h t o n v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得埕粼或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名签字日期：多珂年4 月乡口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解魄纵学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授积壅黼以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 签字日期：朋年 学位论文作者毕业去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 穸日 耳 广 骑诅 冢细 钟 名 期 签 日 师 字 导 签 前言 非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学。它是2 0 世纪6 0 年代以 来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，它 几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域，并且正在改变着人们对现实社会的 传统看法，被誉为2 0 世纪自然科学的“第三次革命”。 在数学上，线性方程和非线性方程之间有着本质上的差别，主要表现为一个 线性方程的任意两个解加在起仍然是该方程的解，即线性方程的叠加原理，它 为解决“线性”问题提供了一个思路，即可以把整个问题分成许多个“小”问题， 在把各个“小”问题的解叠加起来而得到整个问题的解：但是对一个非线性方程， 则不再满足叠加原理，因而对非线性方程必须整体地分析，同时传统的傅立叶变 换的方法也不再适用于分析非线性系统。非线性科学的诞生，进一步显示了牛顿 经典决定论的局限性，例如混沌，它起源于非线性系统对于初始条件的极端敏感 性，即初始条件的一个微小变化，都可能造成系统在以后时刻行为的巨大差异， 因而一个决定论系统的行为如果处于混沌状态似是随机的。 近2 0 年来非线性科学的迅猛发展，很大程度上归功于计算机的进步与使用。 2 0 世纪初p o i n c a 陀就发现了混沌现象，但是对混沌的深入研究，则起始于2 0 世 纪六七十年代。具有推动性意义的发现有【1 2 1 ：1 9 6 3 年，美国气象学家l o f e n t z ， 在计算具有耗散性的自然对流系统的方程时，得到了一个所谓的l o r 蚰t z 吸引子。 费根鲍姆也是通过计算机得到所谓的“费根鲍姆”常数。再如孤立波的发现早于 1 8 3 4 年，但是长时间里人们无法理解这种奇特现象，虽然1 8 9 s 年荷兰科学家 d j k o r t w e g 与g d ev 五e s 在研究长波近似下浅水波的运动方程时，得到一个非 线性方程，即k d v 方程，并且用解析的方法给出了孤立子解，但是孤立子酶研 究并没有得到深入的发展，直到1 9 6 5 年美国科学家z a b u s k y 和k n i s k a l 在计算机上模拟了孤立波，孤立子立即成为非线性科学研究的热点，并且在实验 上已经发现了孤立波p ，l 。 非线性问题广泛存在于自然和社会科学的各个领域，也正是和其他学科结 合起来，相互促进，相得益彰，才使得非线性科学焕发出更强的生命力。在非线 性科学中有三大研究领域孤立子，混沌和分形。这三者之间也是相互促进。 非线性发展方程几类求解方法的研究 共同发展的，例如，在研究湍流时，发现湍流是杂乱的，由大大小小的涡旋组成， 并且具有自相似结构，因而须采用分形理论描述湍流中涡旋串级现象，而湍流满 足纳斯一斯托克斯方程，湍流正是这个确定系统中的随机现象，也就是混沌，同 时在求解偏微分方程的行波解时，得到了孤立波解，并且可以将孤立波和微分动 力系统中的同宿轨道和异宿轨道联系起来。因而研究湍流必须结合这三者，才能 给出较好的解释1 6 】。 目前，“孤立子”一词虽然被广泛引用，但尚无一般性定义。在数学中，将 孤立子理解为非线性发展方程的局部行波解，所谓局部是指微分方程的解在空问 的无穷远处趋于零或确定常数的情况。换言之，孤立子指的是稳定的孤立波，即 通过相互碰撞后不见消失、而且波形和波速也不会改变或者只有微弱改变。在物 理学中，孤立子被理解为经典方程的一个稳定的有限能量的不弥散的解，即能量 集中在一个狭小的区域内且相互作用后不改变波形和波速。许多非线性发展方 程，如k d v 方程、s i i l 叫j o r d o n 方程、s c h 而d i n g e r 方程、b 0 u s s i n 铺q 方程、k p 方程等都具有孤立子解。 在孤立子理论发展中，k d v 方程起了举足轻重的作用，它一直是研究非线 性发展方程理论的典型例子。现在已经知道，除了流体力学中的k d v 方程，物 理学中其他领域广泛存在着孤立子解的非线性发展方程。而正是为了解决这些非 线性发展方程，才逐步发展了现在系统的孤立子理论，因而可以说这个理论是物 理学家和数学家共同努力的结果。而对这些非线性发展方程的求解方法的探索， 直是非线性科学研究的重要方面。但是非线性发展方程具有很强的“个性”， 每个方程似乎都必须有其特殊的解法，人们在长期的研究中努力想发现它们的 “共性”，至今，已经有几种能求得非线性发展方程解析解的系统的方法，有散 射反演法1 0 1 ，b a d d u l l d 变换法f 1o 1 ”，哳。诅方法【1 2 1 、d a r b o u x 变换法【1 3 | 、 s i n e - c o s i n e 方法1 4 1 、试探函数法叫、齐次平衡法【ms 】、双曲函数法盼2 2 1 、函数变 换法f 2 3 3 卅以及j a c o b i 椭圆函数展开法f 3 娴等。 本篇论文将围绕孤立子基本理论，系统介绍齐次平衡法【临、双曲函数法 1 蚴】、函数变换法。4 j 以及鼬i 椭圆函数展开法p 圳，分别采用不同的方法求 得了一些非线性发展方程的精确解。 第一章k d v 方程和孤立子概述 第一章k d v 方程和孤立子概述 l - l 孤立子概念的产生1 3 叫 1 8 3 4 年英国科学家s c o t tr u s l l 偶然观察到了一种奇妙的水波，他在一篇论 文姗中，对此现象作了生动的描述，并且称之为“孤立波”。但从当时己知的流 体运动方程并不能得到这种波的解，因而有关孤立波的问题在当时的许多物理学 家中引起广泛的争论。直到1 8 9 5 年，k o m w e gd ev h e s 研究了浅水波的运动。 在长波近似和小振幅的假设下，建立了著名的k d v 方程，并从方程求出了与 r u s l l 描述一致的，具有形状不变的脉冲状的孤立波解，从而在理论上证实了 孤立波的存在。 象r g 妇l 所描述的孤立波是否在流体力学之外的其他物理领域中出现呢? 在二十世纪五十年代，著名物理学家f i ，p a s t a 和u l 锄将6 4 个质点用非线性 弹簧连接成一条非线性振动弦，初始时这些谐振子的所有能量都集中在第1 个质 点，其他6 3 个的初始能量均为零。按照经典理论，只要非线性效应存在，就会 有能量均分，各态历经等现象，即任何微弱的非线性相互作用，都可导致系统由 非平衡态向平衡状态转变。但实际计算结果却不是这样，经过很长时间以后，几 乎全部能量又回到了初始分布，这就是著名的f p u 问题。后来人们把晶体看成 具有质量的弹簧拉成的链条，并近似模拟这种情况，t o d a 研究了这种模式的非 线性振动，得到了孤立波解，从而f p u 问题得到了解答。随后，1 9 6 2 年p e m n g 和s k y 册e 将s i n c - g o r d o n 方程用于研究基本粒子时数值计算表明：这样的孤立 波并不散开，即使两个孤立波碰撞后也仍保持原有的形状和速度。 1 9 6 5 年美国科学家z a b u s k y 和k m s k a l 用数值模拟方法详细考察了等离子体 中孤立波碰撞的非线性相互作用过程，得到了比较完整和丰富的结果，进一步证 实了孤立子相互作用后不改变波形的论断。 在七十年代，酝五，1 到i o r 和b 妇等人在水箱实验中观察到浅水波的k d v 型孤立波臼q 传播。在激光打靶实验中，人们也观察到由于出现的涡旋性孤立波的 传播，以及激光光束在非线性介质中自聚焦时产生的孤立子。另外，在超导问题 中，在构成j o s 印h n 结的两块超导材料中，超导电子对波函数的位相差9 满足 非线性发展方程几类求解方法的研究 s i n e - g o r d o n 方程，采用带有j o s 印h s o n 隧道结分路的超导传输线证实了孤立子解 的存在性。 现在从数值计算、理论分析和物理实验等方面都已经证实，一大批非线性演 化方程都存在孤立波解，并且孤立子互作用后不改变波形的这些事实，从而使许 多物理学家和数学家对此产生了极大的兴趣。在物理上，孤立子被用来解释物理 上出现的一些新问题；在数学上，也出现了散射反演、b a c k i u n d 变换等一些精确 求解非线性进化方程特解的新方法，并已逐步形成了较为系统的有关孤立子问题 的数学理论。国内外在这方面已经出版很多专著1 3 ，4 5 ，7 ，“。 通常我们把非线性发展方程的局部行波解，称为“孤立波”，是指微分方程 的解在空间的无穷远处趋于零或者确定常数的情况。并把这些稳定的孤立波，即 通过相互碰撞后的、不见消失而且波形也不会改变或者只有微弱改变的孤立波称 为“孤立子”。 在物理上，也有把孤立子定义为经典场方程的一个稳定的有限能量不弥散 的解，即如果以烈x ，f ) 表示孤立子的能量密度，则有 o 日= i p ( x ，f 胁 o 时，此方程的孤立子解为： 似，) = 4s e c 研击。一k f ) 】唧p 去。一4 州 ( 1 2 4 ) 其帆= 降 中 新 阿。 刽乏业迦、 这是一种包络型孤立子，其包络解为 4 。s e c 珥击。一一f ) 】，波速为一载波为谐和波 e x p 【f 去。一4 。f ) 】，如图( 2 ) 所示。 图( 2 ) 包络型孤立子 第三种叫s g 孤立子，也叫扭结型孤立予，其遵守的方程叫s g 方程，一般 可写为： 中。一中。+ 咖函= d ( 1 2 5 ) s g 方程是应用科学中出现的重要的非线性发展方程。如晶体位错、磁旋波 在铁磁材料中的传播以及两相介质中的激光脉冲的研究都导致s g 方程。 s g 方程的特解为： 扯4 协。1 【州j i 寺h n 。石 # 一# 其中孝= r 一吃彘为常数，表示从= 0 0 = ) 到巾= 2 石o = 忡) 的正扭结。而 非线性发展方程几类求解方法的研究 u _ 2 庀 ， 。u - 0 o ，一t 。 u 2 一h 图( 3 ) 扭结型孤立子 m = 4 t 锄4 卜唰寺= 等) 】 ( 1 2 7 ) 、，l u 表示从m = 一新o = 一) 到中= o o = 佃) 的正扭 结。如图( 3 ) 所示。 孤立子除常见的钟状型、扭结型和包络孤子以 外，还有拓扑性孤子、呼吸子、亮孤子和暗孤子、 正孤子和反孤子，以及它们的叠加而形成的形形色色的孤立子。 ( 2 ) 孤立子的特征 以非线性薛定谔方程的包络孤立子为例，它明显地显示出具有局域性、稳定 性、波粒二象性三大特征。其局域性指孤立子的能量集中在空问有限区域，不会 随时间的增加而扩散到无限区域中去，也就是说，它有确定的位置和动量，这个 位置便是孤立波的中心，相应的速度便是包络波的传播速度( 群速度) 。它的稳 定性和波粒二象性体现在：式确+ 丸+ 科纠庐= o 所描述的孤立子具有明显的波 动性，即它是一个孤立的行波，但同时它还具有另一特点：当两个孤立子相撞时， 它们以常见的经典粒子一样的规律运动，并不会碰烂，碰撞后，各自保持自己原 由的形状和速度继续运动。( 最多只有一个相位) ，即它们仍是十分稳定的，其粒 子性在实际相互作用中明显地表现出来。 ( 3 ) 孤立子的应用 孤立子理论在等离子体物理、凝聚态、生物学、非线性光学等方面有着广泛 的应用。 m n g n e p 等人认为：强烈的等离子体扰动可用具有相互作用的孤立子气体来 描述。【咏等人的实验证实，在弱色散等离子体中有离子声孤立子存在，它们 满足k d v 方程，若等离子体不均匀，离子声孤立予则由变系数的k d v 方程描述。 1 9 8 6 年以来，新的生物能量与传递的孤立子理论逐步发展起来。理论研究 和实验结果都表明：传递神经冲动的确是一种孤立子。从分子水平上，运用传递 生物能量和信息的孤立子模型，可较完整地说明横纹肌的收缩问题。由蛋白质被 污染后的孤立子交换( 传递生物能量和信息的孤立子被反射、散射、发射能量、 衰减、陷落消失等) 可以说明生命发病的微观机理。显然，这些研究工作对发展 和揭示生物奥秘都有至关重要的意义。 6 第一章k d v 方程和孤立子概述 利用孤立子具有很好的稳定性或保真性，1 9 7 3 年，贝尔实验室的h 私e g a w a 提出了有关光纤中光孤立子传输的概念。1 9 8 4 年，m o l l 吼踟盯等人研制光孤立子 激光器，并运用于光纤通讯上。后不久，实现了以每秒1 0 千兆位的传播速度， 进行l o o 万公里超高速光通讯的技术，并测量了在1 0 0 万公里后的波形，确定毫 无变化。从而使得光纤通讯事业得到迅速的发展，这也是孤立子理论运用于实际 的一个典范，具有重大意义。 磁单极子是1 9 3 1 年由d i r a c 首先提出的物理概念，1 9 7 4 年荷兰的g t l l o o f 发现磁单极子也是非线行方程的一种解，是一种孤立子。随着对孤立子深入的研 究，磁单极子这一悬而未决的难题将有望得到解决。 1 3 流体力学中的k d v 方程p 4 9 l l d v 方程是由k o r t 州学d ev n 岛于1 8 9 5 年发现的在长波近似下的浅水波方 程。 在讨论液体波动时，根据液体的物理性质、波动特性及它所处的环境，归纳 其基本方程、边界条件和初始条件，得到无表面张力时重力波问题的数学提法为 v 2 口= o z = 一函 f = o ： 警l 一。= 一罢警j 一。一等等 一， 岔4盘缸4 却却i ”4 警i = 誊+ 差警i 硝+ 筹考l 。号 害l 硝+ 等f 硝+ 告+ 硝= o ( 3 1 ) 詈1 签叫t 力 妒i 葛= 毗y ，孝) 害+ 譬+ 暑+ 萨= 。 要严格求解上面所提出的带有边界条件和初始条件的问题( 1 3 1 ) 式是困难 的，必须根据波动的特征作进步的简化。一种简化是当波动的振幅相当于波长 为小量，由此可使自由面边界条件线性化，获得小振幅波解；另一种简化是当液 体深度相对于波长为小量，由此可使问题变为可解的非线性情形或线性情形，获 7 非线性发展方程几类求解方法的研究 得浅水长波解。 在这里主要介绍后一种情况，即所谓的浅水波动( 浅水长波) 。设d 桫平面 为未扰动水面，：轴向上，水底为：= 一d ( x ，j ，) 。若仅考虑二维情形，并直接用连 续方程及运动方程来描述所研究的运动，有 鱼+ 塑：o 函出 抛加孤l 劫 a 舐d 蕊 如a 铀l 面 百面瓦一j 言一g ( 1 r 32 ) ( 1 3 - 3 ) ( 1 - 3 4 ) 其相应的边界条件为 硝： = 警+ 健篆 n s p = 风 ( 1 3 6 ) ：一：叫掣 ( 1 3 7 ) 讲 首先将连续方程( 1 3 2 ) 自水底至水面进行积分 广孚出+ 广蚝：o ( 1 3 8 ) l d 瓠h 赴 应用莱布尼兹公式有 e 豢出= 去肛一“j 。；豢一i 衅罢 = 国陪国卜国b = 誊叫。；薯+ ”l ，暑 将上两式代入( 1 3 翼) 式，得 詈+ 昙肛= 。 ，脚 国反l d 其次对( 1 3 2 ) 一( 1 3 4 ) 式作量级估计。设x 的特征量为工，：的特征量 为d ，水平速度的特征量取为u ，垂直速度的特征量取为形。将此代入连续性 方程( 1 3 2 ) ，有 旦堕+ 堡熊：o fa n k 第一章k d v 方程和孤立子概述 冥中x ，z ，及国分别为x ，z ，越及国的无量纲量。由上式有 旦：丝 工d 或 肜= 詈u ( 1 3 1 0 ) 根据浅水假定，等为一小量，从上式知，芳亦为一小量。故在方程( 1 3 4 ) 中 各项比较，可略去含小量形的各项，从而得到 一圭宅：g 口出 积分匕式得到 p = p 0 + 昭g z ) ( 1 3 1 1 ) 其中p o 为水面大气压。此即为浅水长波中的静力学近似。 对( 1 3 1 1 ) 式取导数有 一土宴；g 荸 ( 1 3 1 2 ) 口讲出 上式表明，水平压强梯度与：无关，随之水平加速度掣也与z 无关。这样，如 讲 果初始时刻水平速度与：无关，则以后任一时刻也与z 无关。于是有批= “瓴f ) ， 即却仅与置，有关，且有 肛= 僧+ 咖 ( 1 3 1 3 ) 这样，注意到( 1 3 9 ) 式，基本方程( 1 3 2 ) 一( 1 3 4 ) 变为 这就是浅水长波方程。 将x 轴取在水底，水面高度 = d + 毒，则( 1 3 1 4 ) 可改写为 9 舞 非线性发展方程几类求解方法的研究 取c 2 = g 蟮+ d ) ，上式可写为 塑+ 型：o a良 粤+ 甜罢+ g 罢：o a西”函 ( 1 3 1 5 ) “。争忆卜。，m ， + ( 甜一c ) 刍( 却一2 c ) = o 傩 其中c = 0 曲= t g 皤+ 酗 现考虑，长波向深度为d 的未受扰动的静水中传播的情况，这时，黎曼不变 量甜一2 c = 一2 c o ，即 甜= 2 万一2 面 ( 1 3 1 7 ) 其中c 。= 届。将此代入( 1 3 1 6 ) 式，得 詈+ ( 3 届一z 厕篙= 。 “，m ， 由于 矗；= d ；( 1 + 三号+ - ) ( ，9 ) 将上式代入( 1 3 1 8 ) 式得 誊+ 岛( 1 + 狰誊= 。 “s 瑚， 当 l ，则 鱼。篮竺竺：盟 1 2 + ( 鬻) 2 z 】2 o + z 2 其中z = ( 毒 2 z ，此时仍为孤立波，仅相位变为 写：一上帆坐) ： 口2 一口l ( ) 若工* l ，z 1 或“l ，类似于回( 砷，则此时为口。孤立波。 ( )若工，五均很大或很小，即z “1 ，五“1 或z ”1 五1 ，则国= o 。 ( v )若z * l ，五* 1 ，则表示相互作用区。 为考察两个孤立被在r j 士的渐近性质，不妨设吼 口 o ，即：波追赶 强波的情形。当f 呻埘时 波：z 1 ，x = 置+ 口1 2 f ，则五：e 一4 ，( ：冲 = e 一吒( 一 h ，砰叫i “l ， 即当f 一，在x = s 1 + a 1 2 f 处为盯l 孤立波。 口：波：五“l ，则正1 ，此时符合( 码的情况，因而当，寸一，在 当f 斗o o 时 x = 屯一士l i l ( 当z + 口2 2 f 处，为口：孤立波。 a 1a ，一瑾 非线性发展方程几类求解方法的研究 波：x = s 。一三l n ( 坐) z + 口1 2 f ，z 1 ，五 i “l “2 “l 口2 波：x = j 2 + a 2 2 f ，正l ， “1 上述分析表明，孤立波不改变原来的参量口。，口：，碰撞相互作用过程仅使口： 波向前平移上m 鱼鱼) ：，口。波向后平移上l i l ( 堡二马：。 1 4 第二章行波解 第二章行波解 求行波解是求解非线性波方程的一种重要途径。它首先作变量代挟，将非线 性偏微分方程转化为常微分方程，然后求解所得到的常微分方程，即可得行波解。 这种解法简洁明快，而且得到的解析解，主要是孤立波解，体现了非线性波的重 要性质。本节结合微分方程的定性分析，直接求出非线性波方程的行波解，以后 各章分别介绍最近发展起来的求解非线性波方程行波解的方法，如齐次平衡法、 双曲函数展开法和椭圆函数展开法等。 2 1k d v 方程的行波解 对于著名的k d v 方程p - 1 0 - 4 9 】 喜+ 甜兰 卢娶：o ( 2 1 1 ) 一+ 甜一十一= o t 2 1 1 ) 国缸西3 设其行波解为 甜= ”( d ，f = k ( x c 吟 ( 2 】2 ) 将( 2 1 2 ) 式代入( 2 1 1 ) 式，可得 一唼+ 唼搿多窘= 。 泣， d 鼍d 芒 1 d p 。 积分一次可得 一潞+ 丢 即箬= 4 c 2 m ， 其中4 为积分常数，从而可得 睾一南睁细坳一南 叫肛囝泣， 其中甜：和却：为方程甜2 2 蹦一刎= o 的两个根 甜? ：c + ：而，甜：= c 一：葡 ( 2 1 6 ) ( 2 1 4 ) 式两边乘以塞，再积分一次得 非线性发展方程几类求解方法的研究 一三侧2 + + 字白2 柏+ 口 眩， 262 、比7 即 c 努一南一2 - 蚴 汜协， 一南( 一q ) 氆氆) 其中，甜：，虬分别为方程甜3 3 聊2 6 4 一6 口= o 的三个根，不失一般性，不妨设 甜。“2 如，可以用j o b i 椭圆余弦函数1 蜘来表示方程( 2 1 8 ) 式的解。 若口 o ，则 她一心谢( 两m 晓， 其中南是积分常数，模数m = 、咎生，显然有h ：“。 v ”。+ ， 若口 o 的情况： 当埘寸0 时，即甜l 斗“2 ，有 牡扣托，+ 扣叫：灿j 蛩皓吲 眩， 当棚斗1 时。即甜，斗甜。，有 1 6 第二章行波解 归”( 旷蚶鼬2 陪俨磊) ( 2 1 1 2 ) 对于口 o 时，矿。国? ) o ，则特征值为共轭纯虚数。 当卢 o 时，矿。 ：) o 时，矿 ? ) o 或户 0 时，椭圆余弦波 解( 2 1 9 ) 表示 在阻：，群。】内 围绕中心点? fj ，- 一卫、 夕妄武 u 3 ，o 蚴叭_，、 、 一一 一， 的闭合轨道，见曲线( i ) ；而虬斗帮：时的线性波解( 2 1 1 1 ) 则是围绕中心点 ”：甜。斗2 的圆闭合轨道，见曲线( ) ；而甜2 啼蚝时的孤立波解( 2 1 1 2 ) 则 是从鞍点群：_ 却：斗帮，出发又回到 ：的同宿轨道，见曲线( ) 。在坐标系 ， 中，椭圆余弦波( i ) 、线性波( ) 和孤立波( ) 的图象见上图。这样将周期解和闭 合轨道联系起来，而将孤立波解和同宿轨道联系起来，反映了数学和物理的紧密 联系。 当卢 。( 这里c 2 2 则( 2 卫2 ) 式化为 堡+ 国：s i i