（理论物理专业论文）非磁性单轴各向异性晶体中光束的传输研究.pdf

中南大学硕士学位论文摘要 摘要 激光束的研究与应用是当今高科技发展的一个重要方向，在强激 光的研究中，需要处理高功率、高能量激光的各类传输变换，尤其是 对于激光束在非磁性单轴各向异性晶体中的传输，这是近年来一个比 较热门的课题。 基于此，本文首先对晶体和光束的有关概念及其分类作了一个概 括，讨论了光束在晶体中传输的研究意义及国内外的研究现状。在第 二章，作者对光束在单轴各向异性晶体中传输的研究方法作了简单的 归纳和比较，在此基础上，作者具体介绍了a c i a t t o n i 等人提出的傍 轴矢量角谱理论及晶体中0 光和e 光的特性。 在第三、四章中，作者首先运用较为复杂的数学公式和技巧，具 体导出了h e r m i t e - c o s h - g a u s s i a n ( h c o h g ) 光束在非磁性单轴各向异 性晶体中传输的一般公式。然后，对在给定初始参数和介质参数的条 件下，以m = 1 ，n = 0 阶h c o h g 光束为例，借助m a t l a b 语言进行了 数值计算，并进行了详细的分析和讨论，结果表明，对于沿x 和y 方向偏振的0 光和e 光，其慢变振幅及两偏振场分量与参量和衍射距 离有关。最后，在导得h c o h g 光束在单轴各向异性晶体中传输公式 的基础上，分别讨论了c o s g a u s s i a n 光束和m = 1 ，n = i 阶 h e r m i t e g a u s s i a n 光束在单轴各向异性晶体中沿x 和y 方向两偏振场 分量的演变特性。本文最后一章对全文进行了总结和展望。 关键词激光束，各向异性，单轴晶体，偏振，传输 中南大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t t h er e s e a r c ha n da p p l i c a t i o no fl a s e rb e a m si sa l li m p o r t a n ta s p e c t i nt h ed e v e l o p m e n to fh i g h - t e c hi nn o w a d a y s m a n yk i n d so fl a s e rb e a m s p r o p a g a t i o na n dt r a n s f o r m a t i o n ，w h i c ha r er e l a t i v e l yp o p u l a rs u b j e c t ， e s p e c i a l l yf o rt h ep r o p a g a t i o no fl a s e rb e a m si nu n i a x i a l l ya n i s o t r o p i c c r y s t a l s b a s e do i lt h i ss i t u a t i o n , t h i sp a p e rf i r s t l ys u m m a r i z e st h ec o n c e p t so f c r y s t a l sa n db e a m sa n dc l a s s i f i e st h e m t h e ni th a sab r i e fd i s c u s s i o no n b e a mp r o p a g a t i o na n dm a k e sas u m m a r yo fr e s e a r c hs i g n i f i c a n c ea n d a c t u a l i t i e si n d o m e s t i c a n do v e r s e a s i n c h a p t e rt w o ，t h e a u t h o r g e n e r a l i z e s a n d c o m p a r e s t h ep o p u l a rr e s e a r c hm e t h o d sa n dh a s i n t r o d u c e dt h em a i n m e t h o do fb e a m sp r o p a g a t i o ni n u n i a x i a l l y a n i s o t r o p i cc r y s t a l s a n dd i s c u s s e st h e p a r a x i a l l y v e c t o r i a l a n g u l a r - s p e c t r u m t h e o r i e sa n dt h e p r o p e r t i e s o f o r d i n a r y a n d e x t r a o r d i n a r yb e a m s ，w h i c hp r o p o s e d b ya c i a t t o n i ，e t c t h e ni nc h a p t e rt h r e ea n df o u r , t h ea u t h o rd e d u c e st h ep r o p a g a t i o n f o r m u l a so fh e r m i t e c o s h - g a u s s i a nb e a m sb ys o m ec o m p l i c a t e d m a t h e m a t i c st e c h n i q u e s ，w h i c ha r eak i n do fe x t e n s i v e l yr e p r e s e n t a t i v e b e a m s t h e n ，a sa na p p l i c a t i o ne x a m p l e ，t h et r a n s v e r s ec o m p o n e n t so f t h ee l e c t r i cf i e l da r i s i n gf r o ma ni n p u t1 ，0h e r m i t e c o s h - g a u s s i a nm o d e a r ec o m p u t e do nt h ec o n d i t i o n so fg i v e ni n i t i a lp a r a m e t e r sb ym e a n so f 塑查堂堡堂垡丝奎 ： 垒璺! 旦坠塑 m a t l a bl a n g u a g e t h er e s u l t si n d i c a t et h a tt h es l o w l yv a r y i n ga m p l i t u d e s l o fo r d i n a r ya n de x t r a o r d i n a r yb e a m sp o l a r i z e da l o n gxa n dya x i s r e s p e c t i v e l ya r er e l a t e dt ot h ep a r a m e t e r sa n dd i f f r a c t i o nd i s t a n c e a tl a s t , b a s e do nt h ep r o p a g a t i o ne x p r e s s i o n so fh e r m i t e - c o s h g a u s s i a ni n u n i a x i a l l ya n i s o t r o p i cc r y s t a l s ，t h ea u t h o rh a so b t a i n e dt h ep r o p a g a t i o n e x p r e s s i o n so fc o s g a u s s i a na n dm = l ，n = lh e r m i t e g a u s s i a nb e a m si n u n i a x i a l l ya n i s o t r o p i cc r y s t a l s a n dh a s a n a l y z e d t h e p r o p a g a t i o n p r o p e r t i e so fxa n dyc o m p o n e n t sr e s p e c t i v e l y t h el a s tp a r to ft h i sp a p e r h a ss u m m a r i e dt h ec o n c l u s i o n sa n dh a sap r o s p e c to f t h ef u t u r e k e yw o r d sl a s e rb e a m ，a n i s o t r o p i c ，u n i a x i a lc r y s t a l ，p o l a r i z a t i o n ， p r o p a g a t i o n i i i 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 光学是- - 1 7 古老的科学。从光学的发展历史中也可以看到，整个光学的发 展贯穿着一个最基本的问题，就是光的产生、传输、和接收应用都离不开跟介 质相互作用、相互关系和相互影响的问题，也就是光在介质中的传输问题，因 此任何一个光学体系都应该包括光和其作用介质这两方耐。在光学、光电子学 范畴，只要提到各向异性介质，人们首先想到的就是晶体材料，所谓晶体是指 内在结构长程有序的固体，是由某种微观结构按照一定规律在宏观空间的重复 所构成，因此，生长良好的单晶具有规则的几何外形，其光学性质和光学常数 依赖于光波的传播方向和偏振态。常用的晶体材料有方解石( 又称冰洲石) 、天 然水晶、磷酸二氢钾( k d p ) 、铌酸锂( l i n b 0 3 ) 和红宝石等。在现代光学技术 中，晶体也是不可缺少的重要材料。 光在晶体中的传输一直也是引人注目而经久不衰的研究主题。我们知道， 光学的研究是从光在空气介质中传输现象开始，到1 7 世纪提出了“光的本性是什 么”这个问题，表明研究进入较深的阶段。到了1 8 6 2 年，m a x w e l l 根据电磁场理 论和电磁波的预言，提出了光的本质是电磁波的论断，从此光的传输现象研究 形成了波动光学的成熟理论，至今已有一百多年。在这期间，基于光的电磁理 论的技术开发和应用取得了辉煌的成就，这在自然科学和其他应用学科中也是 令人瞩目的。 光学又是一门年轻的科学，现代科学技术突飞猛进，促使它重新焕发了青 春，应特别提到的是1 9 4 6 年d u f f i e u x 将傅立叶变换引入光学和1 9 4 8 年o a b o r 全息术的发明而发展形成的傅立叶光学。另外，自1 9 6 0 年梅曼( m a i m a n ) 发明 了世界上第一台红宝石激光器以来，激光科学技术的发展极大的推动了相关基 础和应用学科研究的进展。如非线性光学、全息光学、集成光学、信息光学、 傅立叶光学等，还相继兴起了许多新的光学技术，如全息术、光纤通信、光路 集成、光学传感、光盘存储、条形码扫描、光学计算等技术，这些新兴的光学 分支学科和新兴的光学技术( 或称光子技术) 有两个共同的特点【2 】：第一是光学 理论研究由自由空间转入介质空问；第二是介质( 或晶体) 中光传输研究的主 要目的是为了开发新的光子和光电子信息技术。这两个特点都归结为晶体中光 传输规律的研究，这是新兴光学学科的基本问题，也是新兴光子技术开发应用 的基础。 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 本文研究光在介质中的传输主要是研究光束在非磁性各向异性晶体中的传 播。光在各向异性晶体中传播时呈现出许多独有的光学现象。因此研究光波在 晶体中的传输和衍射特性具有理论和实际意义。另一方面，随着强激光技术的 发展，人们开始对光束的传输变换产生了极大的兴趣，尤其是光束在各向异性 晶体中的传输研究【i - 7 1 。在激光光学发展的早期，人们研究的重点主要集中在以 高斯分布为代表的激光束在自由空间、各种介质等各种光学系统中的传输变换 规律隅, 9 1 ，近些年来，在各类激光和光电子器件中，却广泛地使用各向异性晶体 材料以实现多种功能，因此研究光束在各向异性晶体中的传输规律也是很有意 义的。 1 2 晶体的光学各向异性及其分类 为了能清楚的理解光束在晶体中的传输行为，这里我们先简单的叙述一下 晶体的有关光学性质及其分类。众所周知，在各向同性介质中，感应极化总是 与电场平行，而且它是通过和所加电场方向无关的标量因子( 极化率) 与电场 相关联的。这种情况对各向异性介质( 或晶体) 来说，除某些特殊方向之外， 并不成立。按照光的电磁理论观点，当各向异性的晶体被光波照射时，其中的 束缚电荷在光场作用下被极化，极化的程度与光波行进方向有关，故表征这种 极化的介电常数譬也与此方向有关。从而这时的占已不再是标量，而是表现出张 量性质，通常称其为介电张量【1 0 1 。利用张量来研究晶体的物理性质尤为方便。 与各向同性介质中的光学描述一样，晶体光学也是以麦克斯韦方程和物质 方程为基础的，其中唯一不同的地方是西和露的关系，在各向同性介质中 西= 占雷 ( 1 1 ) 极化与电场的方向无关，其中g = 岛是标量，这里是真空中的介电常数，占， 是相对介电常数，西和豆方向一致。但对于各向异性介质，极化与电场的方向 有关，西和豆的方向一般不一致。此时物质方程( 1 1 ) 式中的p 已不是标量， 而是张量，用【f 】表示，它是场矢量西和雷相关联的物理量，将( 1 1 ) 式推广， 晶体中的物质方程可写为， 、d = 【占】露 ( 1 2 ) 萎 = 兰差篓 墨 2 于是( 1 2 ) 式可以写成 ( 1 3 ) 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 口；岛( q ) ，t = 岛勺弓 ( 1 4 ) 式中，为简化符号，直接用气代替( ) 。，下标f ，= l ，2 ，3 分别代表x ，y ，z ；这 的电磁过程时，可以证吲1 0 1 ：介电张量是一个对称张量，即毛= 勺。因此，它 一00 1 【s 】= l 0 8 2 0l ( 1 5 ) l o0 岛j 的形式。( 1 5 ) 式中相应的数值q ，岛，岛称为主值，对应的折射率 n t = i ，啦= 乏，n 3 = 互称为晶体的主折射率。 ( 1 ) 各向同性晶体，毛= 占2i i 岛 h = j0 毛0 l ( 1 6 ) o0 毛j 这里介电张量【s 】为数量。常见各向同性晶体包括立方晶系。 ( 2 ) 单轴晶体，q = 毛岛 p ，= 耄昙量 = 岛 萼丢曼 c 7 ， ( 3 ) 双轴晶体，毛岛毛 p ，= 暑昙兰 = 氏 孳昙兰 c - s ， 3 中南大学硕十学伊论文第一章绪论 一方面对晶体进行分类。 若某个方向的电场不仅产生同一方向而且产生其他方向的极化，即极化强 度( 声) 和电场强度( 豆) 的方向不一致，且各方向的极化率不同，则这种晶 体是电各向异性晶体；若磁化强度矢量( 府) 与磁场强度( 曰) 方向不一致， 且各方向的磁化率不同，则称为磁各向异性晶体 t l 】。与各向同性介质不同，各 向异性晶体的极化率与磁化率不再是标量，而是二阶张量。 普通各向同性和各向异性介质在电场作用下发生极化，在磁场作用下发生 磁化，期间没有交叉耦合。2 0 世纪6 0 年代后陆续发现一些特殊介质，它们在电 场作用下既发生极化又发生磁化，同样在磁场作用下既发生磁化又发生极化， 即电场和磁场间发生交叉耦合，这种媒质称为磁电媒质，若极化和磁化的作用 是各向同性的，称为双各向同性介质，则有 d = z e 4 - 田( 1 9 a ) b = 乒+ 胆( 1 9 1 ) 上式中的f ，f ，f ，都是标量。 若极化和磁化的作用是各向异性的，称为双各向异性介质，则有： 西= p 】豆+ 【舅疗( 1 1 0 a ) 雪= 【f 】e + 】詹( 1 1 0 b ) 上式中的【s 1 ，嘲，k 】，协1 都是3 x 3 的张量或矩阵。 需要强调的是，本文的研究内容只在非磁性的单轴各向异性晶体中展开讨 论，即( 1 8 ) 式中的【胡， f 】，阻】均为零，也即 d = 【f 】e( 1 1 1 ) 其中，【s 】根据( 1 1 1 ) 式确定。 1 3 光束的分类和产生 所谓光束，就是指具有一定关系的光线( 这里光线只是一个数学抽象，是 一个几何概念，它表示光传播的方向或光能量传播的方向) 的集合，也就是光 波波阵面的法线的集合。若光束中所有光线本身或其延长线交于同一点，这种 光束称为同心光束( 如图1 1 ) 。自激光发明以来，出现了一系列不同的激光光 束，对于这些光束通常可以分为两大类 7 1 ，一类是可以解近轴波动方程得到的光 束或直接解波动方程得到的光束，例如，厄米一高斯光束( h e r m i t e - g a u s s i a n ) 、 4 中南大学硕士学位论文第一章绪论 拉盖尔一高斯光束( l a g u e r r e - g a u s s i a n ) 、厄米一正弦类一高斯光束 ( h e r m i t e s i n u s o i d a l g a u s s i a n ) 、贝塞尔一高斯光束( b e s s e l - g a u s s i a n ) 和变量为 径向平方的贝塞尔( b e s s e l ) 函数调制的高斯光束。 实际上，近年来c a s p e r s o n 等人 1 2 , 1 3 , 1 4 1 从h e l m h o l t z 方程出发，在较为一般 情况下，推导了厄米一正弦类一高斯( h e r m i t e - s i n u s o i d a i - g a u s s i a n ) 解的存在， 并提出了用s i n - g a u s s i a n 光阑和光腔产生h e r m i t e s i n u s o i d a l g a u s s i a n 光束的实 际方法。另一类是超高斯( s u p e r - g a u s s i a n ) 光束和平项高斯( f l a t t e n e d g a u s s i a n ) 光束，一般情况下，它们不是波动方程或近轴波动方程的解，可以通过饱和增 益效应或多束偏心高斯光束合成等方法得到1 4 】。 事实上，按照不同的分类标准，还可将光束分为有限束宽光束，这是因为 任何实际的光束，在它的产生和传输过程中，都或多或少要受到孔径光阑的限 制，或者说是有限束宽的。此外，当光束在非对称光学系统中传输时，还可以 将光束分为简单像散光束和复杂象散光束等。另外，人们通常认为激光的基本 特性是方向性好、单色性好、相干性高和亮度高，然而实际中，很难遇到理想 的完全相干基模高斯光束，比较合乎实际情况的是采用描述部分相干光的高斯 一谢尔( g a u s s i a n s e h e l l ) 模型光束，或者更为一般地，使用有振幅调制和相位 畸变的光束。 实际中，人们已研究了包括基模高斯光束在内的许多光束在晶体中的传输 情况，这在后面的研究现状部分将给予具体的介绍，本文主要讨论的光束主要 是可以解波动方程得到、具有典型代表的厄米一双曲余弦一高斯 ( h e r m i t e - e o s h - g a u s s i a n ) 光束及由此得到的一些特殊光束在非磁性单轴各向异性 晶体中的传输特性。 簧赘 8 1 t a g触r 撇绷瞬靛辩函藤毒 图1 1 几种同心光束简图 1 4 研究意义及国内外研究历史、现状 1 4 1 研究意义。 强激光的研究与应用属于当今世界光学领域的前沿之一，是当今激光高科 一三三一一一 中南大学硕七学位论文第一章绪论 技发展的一个重要方向，有重要的应用背景和深远的科学意义。本文研究光束 在非磁性单轴各向异性晶体中的传输，一方面，随着激光技术的发展，近些年 来，光束在各向异性晶体中的传输引起了人们的广泛关注，在材料物理、线性 和非线性光学领域，例如线偏振光的产生、参量振荡和放大、二次谐波和高次 谐波产生等方面，各向异性介质尤其是非磁性的单轴各向异性晶体起着重要作 用【2 】。 另一方面，对于各向异性晶体中的光传输问题是光束传输理论的一个重要 组成部分，而在研究晶体中的光传输问题时，晶体的双折射效应决定了光束传 输的特殊性，特别是光场的矢量性质是不可忽略的。在实际应用中，大量的光 学器件都涉及光波和各向异性晶体的相互作用，诸如在偏振光学中的偏振器、 补偿器、双折射滤波器等些经典应用。由于晶体的各向异性以及光束的矢量 效应，光束在晶体中传输时其偏振态会随传输距离而发生变化，所以在处理晶 体中的光束传输问题时对光场矢量性质的考虑就尤其重要。 另外，由于各向异性介质的复杂性，对于波导结构的各向异性材料中的光 传输问题变得更为复杂，难以求得解析解，因此，求出非磁性单轴各向异性晶 体中的光场( 电磁场) 传输模式的解析解，无疑会为各向异性介质中的光传输 问题增添新的一页。例如，在光纤通信中，即是通过求解由m a x w e l l 方程组导 出的波动方程，分析电磁场的分布( 传输模式) 性质，才能更准确的获得光纤 的传输特性。在本文中，我们即是从平面波的角谱表示方法出发，求得了光场 在非磁性单轴各向异性晶体中的严格鳃析解。 此外，在光纤传感以及目前高速、大容量的集成光路中也广泛应用着光开 关、耦合器等现代光学器件。因此，如果要实际应用这些现象，详尽了解光在 各向异性晶体中的传输就十分重要。由此可见，研究光束在各向异性晶体中的 传输无论是从理论上还是在实践中都具有非常重要的意义。 1 4 2 历史和现状 人们对光在各向异性晶体中传播的了解最初是从双折射现象开始。众所周 知，当一束平行光从各向同性介质入射到各向异性的单轴晶体表面时，般会 在晶体内产生两束线偏振光：寻常光( o 光) 和非寻常光( e 光) 。这里“寻常” 和“非常”仅仅是指光在折射时是否符合折射定律，它反映了晶体内各方向的传播 速度不同。关于光在单轴各向异性晶体中双折射现象的解释，首先是惠更斯于 1 6 9 0 年在他的论光一书中提出的，他假设在晶体中从一个发光点发出的o 光的波面是球面，e 光的波面是旋转椭球面。后来人们利用惠更斯( h u y g e n s ) 6 中南大学硕士学位论文第一章绪论 原理、斯涅尔( s n e l l ) 定律及有关解析几何的知识，导出了单轴晶体内寻常光 和非常光传播方向的较为简单的公式【b 之o l 。并发现o 光的偏振方向垂直于自己 的主截面，其传播方向可由斯涅尔定律完全确定，e 光的偏振方向则平行于自己 的主截面，其传播方向一般不在入射面内，也不遵从斯涅尔定律，二者的传播 速度也不相同。 正是由于在各向异性晶体中e 光的传播规律比较复杂，很多光学文献在涉及 到与这个问题相关的工作时一般仅对双折射现象使用近似描述或是在某些特定 条件下对e 光传播方向作半定量讨论【”- 2 0 1 。然而由于双折射现象在光学研究及实 验中的普遍存在，使得人们不得不在更深层次上对该现象重新予以讨论。其中， 经典的研究方法就是著名的平面波方法 2 1 ，用这种方法描述光波在各向异性晶体 中传输时，不仅数学上显的简洁，而且其物理意义也非常直观，然而，用这种 方法不能很好的描述光的衍射特性，尤其是当光斑尺寸可以和光波波长相比较 的情况。这时，人们开始提出了更为精确的描述光在晶体中传输的方法。， 早期的研究工作有以j j s t a n m e s 等人【2 l 】为代表的课题组研究了任意局域化 电流源在各向异性介质中的场辐射，首次提出了用精确的角谱表示方法来描述 晶体中的传输场，借助这种描述方法，他们先后研究电磁波在两单轴晶体分解 面的反射和透射( 如图1 - 2 ) ，并讨论了包括高斯光束在内的电磁波在单轴各向 异性晶体中的聚焦特性 2 2 - 2 5 1 ，得到了数值和实验上比较接近的结果。他们的这 种方法普遍适用于研究光束在各向异性晶体中的衍射，但从数学上来讲，这种 方法运用起来显的比较繁琐。 m e d i u m s o u r c ej n f 三二 、 另一个先驱工作是j a f l e c k 等人( 2 6 1 从m a x w e l l 方程组出发，运用旋转坐标 的方法建立了一个与光轴成任意角度的傍轴光束传输模型，在这一模型中他们 7 中南大学硕士学位论文第一章绪论 进一步给出了o 光和e 光的傍轴传输方程，但是他们的模型却无法解决。光和e 光在传输过程中会出现相互激发等矢量问题。后来s 1 l s e s h a d r i 介绍了一种基于 m a x w e l l 方程的矢量公式，分别在傍轴和非傍轴近似的条件下，得到了高斯光束 和椭圆高斯光束在单轴晶体中的传输公式 2 7 - 3 0 l 。期间，人们也提出了其他的一 些研究光束在各向异性介质中传输的方法，如矢量光束传输方法等 3 1 3 2 1 ，这些将 在第二章作统一的归纳和比较。 最近几年，以a c i a t t o n i 等人为代表的课题组基于前人提出的角谱分析，采 用傍轴近似的方法，建立了用电场矢量描述光束在单轴晶体中传输的方程，即 光束传输的傍轴矢量理论，从而为解决光在单轴晶体中的边值问题提出了一种 更为简单的方法| 3 3 掣1 ，根据这种方法，在文献 3 5 0 p ，他们具体讨论了各向异性 晶体中。光和e 光的传输特性，并证明了晶体中光场的横向场分量可以表示为。 光和e 光的线性叠加，在此基础上，作者还证明了晶体中的。光场是无散矢场( 即 可以表示为某矢量函数的旋度) ，而e 光场则为无旋场( 即旋度为零，也称为保 守场) 。因此，根据晶体中。光和e 光的这种特性，该文献还提出了通过构建标 量场函数来获得晶体中光场分布的方法，以高斯光束为例，其结果与基于傍轴 矢量理论求解的结果完全相同。此后，a c i a t t o n i 等人根据所提出的傍轴矢量理 论，先后又研究了不同情况下多种光束在单轴各向异性晶体中的传输特性【3 5 - 4 6 1 。 具体说来，在文献 3 6 q a ，作者等人从求解边值问题的一般方法出发，获得 了任意阶厄米一高斯光束在各向异性晶体中传输的解析表达式，并分别在空间 域和空间频率域计算了基模高斯光束在晶体中。光和e 光的横向尺寸以及各自的 模场分布特性。另外，在该文献中，非常特别的是，由于晶体的各向异性，输 入的基模高斯光束在各向异性晶体中失去了边界的对称性。此外，考虑到光波 在晶体中两偏振分量的衍射和相互耦合，在文献【3 7 】中，a c i a t t o n i 等人还研究 了它们在c a r t e s i a n 坐标系中的能量交换情况，并讨论了边界场分布具有圆对称 的光束在晶体中的传输情况，得到了一些有意义的结果。例如在文献 3 8 1 中，他 们研究发现，在柱坐标系中，依赖于方位角的光场与晶体的物理参数无关，而 且，描述对于入射光为线偏振的光束在晶体中的偏振态也非常简单。基于此， 文献【3 9 】给出了拉盖尔一高斯光束、贝塞尔一高斯光束以及贝塞尔光束在各向异 性晶体中的传输特性。值得一提的是，对于无衍射的贝塞尔光束【4 0 l 在各向异性 晶体中传输时，其。光和e 光也表现出无衍射特性，并且其x 和y 分量表现为周 期性传输不变场，或称为自成像光束。 。 另外，在文献【4 l ，4 2 】中，a c i a t t o n i 等人还分别研究了有光阑限制的入射情 况，以及以高斯光束为代表光束的s t o k e s 参数( 通过强度分布来描述光束的偏。 8 中南大学硕十学位论文第一章绪论 振态) 的演变特性，从理论和实验上得出了非常相近的结果。此外研究结果还 表明，晶体中光束的s t o k e s 参数实际上是横平面上位置矢量的函数。随后，同 样是考虑了光束的偏振特性，在文献 4 3 ，4 4 6 e ，作者研究了偏振光束在晶体中的 涡旋特性，并求得了光涡旋的传输方程。最近，他们还讨论了在垂直于光轴方 向上传输的无衍射光束和各向异性光束( 即非常光) 在各向异性晶体中的传输 特性 4 5 ，蛔( 如图1 3 ) 。 x y z 图1 - 3 光束沿垂直于光轴方向传输示意图( 源自文献 4 6 】) 。然而，在国内方面，目前还少有人具体研究光波场在各向异性晶体中的分 布情况，具有代表性的工作有：一个是吕百达等人基于傍轴矢量理论研究了三 维平顶高斯光束在单轴各向异性晶体中的传输特性【4 7 鹌l 。另一个是华南师范大学 传输光学实验室等人通过角谱的方法，研究了垂直光轴入射的傍轴光束在单轴 各向异性晶体中传输的矢量性质，并分析了o 光和e 光光束在传输中出现的相互 激发等特性【4 9 】。 1 5 本文工作目的及结构安排 1 5 1 工作目的 随着激光技术的发展，人们在不断追求和探寻新的激光光束，新型激光光 束的出现又促使人们迫切的去研究它的传输特性，尤其是激光光束在单轴各向 异性晶体中的传输。考虑到对于实际中许多重要的有代表性的激光光束，诸如 厄米一双曲余弦一高斯光束、余弦一高斯光束等光束，许多文献已对它们在各 向同性介质及a b c d 光学系统中的传输作了大量的研究 5 0 - 6 4 1 ，但对它们在非磁 性单轴各向异性晶体中的传输研究还未见报道，还有大量工作要做基于此， 结合前述国内外研究现状、背景及其研究意义，本文主要讨论这类光束在非磁 性单轴各向异性晶体中的传输特性，根据c i a t t o n i 等人提出的傍轴矢量理论，导 9 中南大学硕士学位论文第一章绪论 出了厄米一双曲余弦一高斯光束在晶体中传输的一般公式，并分析和讨论了寻 常光和非常光慢变振幅及沿x 和y 方向偏振分量的演变特性。然后，根据厄米 一双曲余弦一高斯光束在各向异性晶体中传输的一般公式，分别得出了余弦一 高斯光束和厄米一高斯光束的场分布解析表达式，并对此作了特例计算和分析 讨论。 1 5 2 本文拟采用的结构 本文主要内容分为五章。 第一章为绪论，简要叙述了各向异性晶体中的有关光学性质，光束的分类 以及光束在各向异性晶体中传输的研究意义，并对国内外研究的历史现状作了 分析，阐述了本文研究目的及结构安排。 第二章首先对光束在各向异性晶体中的传输作了简单的归纳和比较，然后 具体介绍了a c i a t t o n i 等人提出的在晶体中描述光束传输的傍轴矢量理论，概括 了寻常光和非寻常光在晶体中的传输特性。 、 第三章主要根据第二章所描述的傍轴矢量角谱理论，运用较为复杂的数学 技巧，导出了h e r m i t e - - c o s h - - g a u s s i a n ( h c o h g ) 光束在非磁性单轴各向异性 晶体中沿光轴传输的一般公式。最后，作为所得结果的一个检验，在h c o h g 光 束的入射场表达式中，分别令q 。= 0 ，m = n = 0 ，得到了与基模g a u s s i a n 光束在 各向异性晶体中传输一致的解析表达式。 第四章，依据第三章已导出的具有广泛代表性的厄米双曲余弦一高斯光 束在非磁性单轴各向异性晶体中的传输公式，并借助数值计算的方法分别讨论 了寻常光和非寻常光的慢变振幅及厄米双曲余弦一高斯光束在晶体中沿x 和y 方向偏振的场分布特性。然后，基于已导出的厄米双曲余弦一高斯光束在单 轴各向异性晶体中的传输公式，分别得到了余弦一高斯光束和厄米一高斯光束 在各向异性晶体中的传输公式，并详细研究和讨论了这两种光束沿x 和y 方向 偏振分量的演变特性，最后我们根据晶体中0 光和e 光的特性，通过构建一个标 量场函数得到了模式为m = l ，n - - - - i 的一阶厄米一高斯光束的场分布表达式。 第五章是总结和展望。总结了本文所做的主要工作和所得到的主要结果， 并指明了今后值得进一步研究的方向。 1 0 中南大学硕七学位论文 第二章光束在晶体中传输的研究方法 第二章光束在晶体中传输的研究方法 本章主要阐述研究光束在各向异性晶体中传输的理论方法。众所周知，光 束在晶体中传输时的光场分布，原则上可以从直接求解各向异性晶体中的麦克 斯韦( m a x w e l l ) 方程组得到光束传输的知识，但因使用这种方法的复杂性而未 被广泛应用。实际中，人们可以用多种方法来研究光束在各向异性晶体中的传 输特性，比较常用的有：( 1 ) 平面波法【2 】。该方法成功解释了大量的光学现象， 然而对光束在晶体中的衍射特性却不能给予充分的解释和说明，尤其是当光束 的横向尺寸可以和波长相比较时该方法更显不足，光束的衍射效应就必须予以 考虑。( 2 ) 光束传输方法( b p m ) 。该方法主要是基于标量亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程，首先由f l e c k 等人 2 6 1 提出，最初是数值求解在非均匀介质中光波传输的强 有力工具，后来进一步发展到各向异性介质中的传输研究。但由于光场内在的 矢量特性，对于一些较为普遍的光学现象，诸如偏振态变化情况和退偏振等现 象，却不能给予很好的处理。( 3 ) 矢量光束传输方法( v b p m ) 【3 l 刃】。该方法基 于矢量波动方程，采用适当的傍轴近似，在不考虑反射场的情况下很好的描述 了光在各向异性介质中的传输问题。( 4 ) 傍轴矢量理论。近年来c i a t t o n i 等人 3 3 , 3 4 1 基于平面波角谱表示方法建立一种傍轴传输的矢量理论，并用电场矢量描述了 光在单轴各向异性晶体中的传输方程，解决了光束在单轴各向异性晶体中传输 的边值问题。 实际上，c i a t t o n i 等人提出的这一方法其基本物理思想是：光在单轴各向异 性晶体中的场分布可表示为寻常光( o 光) 和非常光( e 光) 的场分布的叠加，而o 光和e 光在单轴各向异性晶体中的传输分别类似于光在折射率分别为( o 光的 折射率) 和n ：n o ( 心为e 光的折射率) 的各向同性介质中的独立传输。本章重 点介绍本论文中将主要应用的傍轴矢量理论方法。 2 1 光场的角谱表示方法 在各向异性晶体中，麦克斯韦方程组的形式与在各向同性介质中完全相同， 可以写为 v d = 0 v b = 0 v x 盂；一旦雪 a ( 2 1 a ) ( 2 1 b ) ( 2 1 c ) 中南大学硕士学位论文第二章光束在晶体中传输的研究方法 v x 疗：旦西( 2 1 d ) 反映磁场与磁感应强度的关系式也相同 西- - - - 8 豆 ( 2 3 ) 对于复振幅为豆( 尹，f ) = r e 防( 力e x p ( - f 耐) 】、雪( 尹，t ) - - r e b ( p ) e x p ( - f 耐) 】的单色电 v x 矗= - i 竺雷 一 v 。( v d = v ( v e ) 一v 2 e ( 2 6 ) v 2 雷一v ( v 面+ 韶豆= o 一 ( 2 7 ) f = 睢剽 予s ， 露2 誊e x p 咚尹士拓( 瑶竹：一) 啦j ( 2 9 ) 式中t = 七囊+ 夕，髟= 畦卜t ，a ，+ 蠡，6 ，) 中南丈学硕士学位论文第二章光束在晶体中传输的研究方法 式中 方程( 2 7 ) 的第二组解即为非寻常光，其解的形式为： 髟= 口十张拓。2 剞 ；蟛e x p ( 匠尹i k 。z ) 西= 嘭卜一卺耐b 叫 ( 2 1 0 ) 由式( 2 9 ) 知：当阮l s 七。竹。时，寻常光为传输波，而当匠i 时，对 应着寻常光为消失波；由式( 2 1 0 ) 知：当匠l 时，非寻常光为传输波， i k t i k o n , 对应着非寻常光为消失波。 由方程( 2 7 ) 的线性特性可知其通解可以表示为： 豆( 力。p 2 t 眈( 喜) c x p ( 匠尹+ 吒咖口( t ) e x p 晴尹+ 腩力】 ( 2 1 1 ) z e o ( 丘，2 ) + e ( 丘，z ) ， 方程( 2 1 1 ) 给出了一个全矢量的角谱表示方法，同时这也是我们分析问题 的一个出发点。引入入射面( z - - o ) 电场的f o u r i e r 变换 豆( t ) = 面1 ) d gc x p 0 ) 的振幅屯( ，力和丸( ，力，并最终由方程( 2 1 1 ) 得到在晶体中场 分布表达式。 此外，式( 2 1 7 ) 中j 为慢变振幅，e x p ( i k 。，n o z ) 为快变因子。对于丸( ，z ) 和j 。( 兀，z ) 容易证明满足下面两个无耦合的抛物线方程： ( 2 1 8 a ) ( 2 1 8 ” od 娜 ：口 = l 严 屯 v 弘1 奇帮 a 一如 ，叶z k a a 一七 中南大学硕士学位论文第二章光束在晶体中传输的研究方法 屯皈聊= p 2 t 唧憾瓦砖( - 轰一) ( 象肇矿 刃 审i j “c t ，2 ：p 。x 一瞬： ( 一鬈b 一乏b 善爹肇翟 。：。， = ( 象，一雾刁p 2 t e x r 瓴t 棱) 。 v 泓= ( 一象，一雾b 聊 丸刚) = 去p 2 讪g i m r m fa 曾 粥，o ) 。函 丑瓯，0 ) = 去p l o g h 一匠j a 童葛7 ) 豆( 墨，o ) ( 2 忽b 以c h 力= 彘v 丸( _ 蔷z + 钆“，2 ) g ， 中南大学硕士学侥论文第二章光束在晶体中传输的研究方法 均表明光束在单轴各项异性晶体中其传输与各i 贞l 剐生介质中的情况并不相j 司， 它必须用全矢量的处理方法而不能采用简单的标量方法。考虑到求解问题的方 便性，在本文中主要是从空间频率域的角度出发来讨论我们研究的问题。 2 3 寻常光和非寻常光的特性 为了分析晶体中寻常光和非寻常光的传输特性，根据文献【3 5 】，首先定义 如下两个单位矢量 砸，2 焘 口哟 砸，= 焘( 乏) 删 它们满足如下关系： 露( _ j ) i = o ( 2 2 5 a ) 哥( 云) 蓐= 0( 2 2 5 b ) 则张量只和丘可以表示为 尼= 霸( i ) 厅( ) 7 ( 2 2 6 a ) 。 乏= ( _ j 涉( 互) 7 ( 2 2 6 b ) 其中上标t 表示对矩阵的转置运算。 将( 2 2 6 ) 式分别插入a o 和互的表达式中，得到 砒加p 2 f 唧( 加一蕞z 归懈腑d 嘲 幻力= p 2 露唧( 加一篆z 虹驰两m ， ( 2 2 砌 从上面这些式子可以看出元和互的二维f o u r i e r 变换分别与互正交和平 行，即 矗赣麟婀彳胤力- o ( 2 2 8 a ) 1 7 生堕盔兰堡兰堡堡奎 釜三童堂壅垄曼堡主生塑丝堑窒查鲨 云。t 2 d 万2 芝j e x p ( - i k 尹) j 。( 芦，z ) = 。 ( 2 2 8 ”、 最后将上式中的元和五用五= 厶五+ 如弓， 节= 口，e 代换并利用其f o u r i e r 的 逆变换得到 “ 。 掣+ 坠丝l o 劣，咖 ( 2 2 9 a ) 掣一掣：o (229b)oy o x 因此，从上面的式子可知：寻常光( o 光) 分量元是涡旋场( s 0 1 e n o i d a l ) ，而 非寻常光( e 光) 分量互则是无旋场( i r r o t a f i o n a l ) ，这是0 光和e 光一种特别的 性质。 实际上，根据前面讨论的晶体中0 光和e 光的特性，可以导出另一种获得晶 体中光场解析表达式的方法。同样根据文献【3 3 】，由于光场在晶体传输时，可表 示为。光分量元和e 光分量丑的叠加，并且这两分量还同时满足方程( 2 1 8 ) 和 ( 2 2 9 ) ，现考虑两任意满足下述方程的标量场和： 旧鬲1v 2 帅力= 。 ( 2 3 0 a ) 噱+ 轰铲卜疹。 哟 容易证明下面两个表达式满足方程( 2 1 8 ) 和( 2 2 9 ) 元扩，= ) = 旦丝差孑垒瓦一旦丝差 生弓 ( 2 3 1 a ) 五( 瓦力= 旦竖褰望露+ 旦丝o 里v 盈弓 c 锋 7 因此，晶体中的横向场分布可以表示为 黝= 州懈，b 撇矧 ( 2 3 1 b ) ( 2 3 2 ) 从方程式( 2 3 0 ) - ( 2 3 2 ) 可知，根据晶体中。光和e 光的特性，可以通过构建 适当的标量函数( 场) 获得入射光束在晶体中场分布的解析表达式，这为我们 求解光束在晶体中的光场分布提供了一个新的思路。 1 8 中南大学硕士学位论文第二章光束在晶体中传输的研究方法 2 4 本章小结 本章首先对光束在各向异性晶体中的传输方法作了简单的综述和比较，然后 概述了光束在非磁性单轴各向异性晶体中传输的傍轴矢量理论，分别得到了在 空间频率域和空间域中描述场分布的表达式，并总结了在各向异性晶体中寻常 光和非寻常光的传输特性，表明晶体中的光场可以表示成两个彼此独立传输的 寻常光和非寻常光这两个分量的线性迭加。最后根据这些特性还得到了通过构 建标量函数( 标量场) 来获取晶体中场表达式的方法，这些方法和特性是我们 深入分析和研究光在各向异性晶体中传输的出发点和理论依据，紧接着后面将 要讨论的第三、四章的内容即是基于本章所述的理论方法。 1 9 中南大学硕士学位论文第二章h c o h g 光束在各向异性晶体中的传输公式推导 第三章h c o h g 光束在各向异性晶体中的传输公式推导 3 1 引言 光束在各向异性晶体中的传输一直是引起人们广泛研究兴趣的主题，但因 矢量讨论光束传输问题的复杂性，经典处理方法是将晶体中的传输光场分解为 寻常光( o 光) 和非常光( e 光) ，它们有不同的衍射行为且独立传播，从而引起退 偏振现象；另一考虑认为光波的两个c a r t e s