（理论物理专业论文）量子纠缠分析.pdf

摘要 摘要 量子信息科学已经成为过去二十年兴起的最令人激动的科学进展之一。 新兴的技术诸如安全量子密码、量子通信和量子计算机使得人们有可能处理 原来根本无法完成的任务，因此不仅吸引了物理学家、数学家、计算机专家等 众多领域的科学家而且引起了大众的广泛关注。在量子信息和量子计算领域， 纠缠被认为是最重要的资源和必不可少的组成部分，因而研究描述纠缠理论 的数学基础显得十分自然和重要。这些描述旨在回答关于纠缠的如下问题即 纠缠的特性、操控和度量。本文正是致力于对量子纠缠的这些方面的问题进 行分析和研究。 本文结构安排如下： 第一章为绪论，简要介绍量子信息学的基础常识和基于量子纠缠的一些 量子信息处理方案。 第二章回顾关于量子纠缠的一些基本概念包括纠缠的特性、探测、操控 和度量。我们还概述了关于量子纠缠的一些最新进展。 第三章我们尝试提出了一个新的多体纠缠度量。这里构造的新的多体纠 缠度量是基于多体的量子互信息。其中一个是挤压纠缠的推广，定义为取扩 展态使得扩展态的条件互信息达到下确界。我们证明了分别基于两种互信息 定义的多体纠缠度量的可加性。第二种纠缠度量基于经典扩展态。我们把后 一个方案推广构造了基于混态凸扩张的纠缠度量，与标准的凸扩张方法只需 要对纯态分解进行优化相比，此时需要对密度矩阵的所有态分解进行优化。 文中还进一步提出了多体挤压纠缠的一个可计算的下限，我们还推导出一些 不等式把挤压纠缠和其它纠缠度量联系起来。 第四章重点转向一个多体的纠缠叠加态和它的子系统的纠缠之间的关系。 文中推导了多体纠缠叠加态和它的各个叠加态之间的纠缠之间的上下限。这 里采取的纠缠度量分别是几何纠缠度量和挤压纠缠度量。这些结果有助于我 们估算多体纠缠叠加态的纠缠大小。 第五章是从信息理论的角度探讨了互补性原理和纠缠的关系。通过 把b r u k n e r 和z e i l i n g e r 引入的不变信息推，“到高维，进而引入了在孤立环境下 i 摘要 关于d d 维系统的一个互补性关系，其中d 是素数或者素数的幂次方。我们还 探讨了不变信息在退相干环境下的一些动力学行为。 第六章考虑了两体纠缠纯态在最一般纠缠辅助条件下的转换关系。我们 引入了在局域幺正操作和经典通信下对于纯态纠缠转换的一般催化态的概 念，也就是不考虑催化态的纠缠损失与否，这样使得纯态纠缠转换的可能性 大大增加了。我们还设计了一个算法用来探测对于给定的纠缠转换是否存 在尼七维的一般催化态，而且该算法也可以用来探测标准的催化态。 第七章给出结论和一些尚待解决的问题。 关键词：量子纠缠，纠缠度量，挤压纠缠，互补性关系，纠缠转换 a b s t r a c t a b s t r a c t q u a n t u mi n f o m a t i o ns c i e n c eh a se m e 唱e da so n eo ft h em o s te x c i t i n gs c i e n t 讯c d e v e l o p m e n t so ft h ep a s tt w e n t yy e a r s t h ep r o m i s e0 fn e wt e c h n o l o g i e sl i k es e c u r e q u a i l t u mc r y p t o g r a p h y ，q u a n t u mc o m m u n i c a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t e r s ，c a p a b l eo f h a n d l i n go t l l e r w i s eu n t r a c t a b l ep r o b l e m s ，h a se x c i t e dn o to n l yr e s e a r c h e r sf 如mm a n y d i f ! f b r e n tf i e l d s1 i k ep h y s i c i s t s ，m a t h e m a t i c i a n sa n dc o m p u t e rs c i e n t i s t s ，b u ta l s oal a 唱e p u b l i ca u d i e n c e i nt h ef i e l do fq u a n t u mi n f o m a t i o na n dc o m p u t a t i o ns c i e n c ee n t a n - g l e m e mh a sb e e nr e c o g n i z e da sak e yr e s o u r c ea n di n g r e d i e n t a sar e s u l t ，i ti sq u i t e n a t u r a la n di m p o i r t a n tt od i s c 0 v e rm em a t h e m a t i c a ls t m c t u r e su n d e r l y i n gi t st 1 1 e o r e t i c a l d e s c r i p t i o n s u c had e s c r i p t i o na i m st op r o v i d ea n s w e r st om r e eq u e s t i o n sa b o u te n t a n g l e r n e n t ，n 锄e l yi t sc h a r a c t e r i z a t i o n ，m a n i p u l a t i o na n dq u a n t i t i c a t i o n t h i st h e s i s i sac o n 仃i b u t i o nt 0t l l e 锄a l y s i so nt l l e s es u b j e c t so fq u a n t u me n t a n g l e m e n t t n l es t r u c t u r eo ft h i st l l e s i si sa sf o l l o w s ： c h 印t e rli st l l ee x o r d i u m is i m p l yi n 协) d u c et h eg e n e r a lk n o w l e d g e a b o u tq u a n t u mi n f o m l a t i o na 1 1 dc o m p u t a t i o na n ds o m eq u a n t u mi n f o 姗a t i o np r o c e s s i n gt a s k s b a s e do nq u a n t u me n t a n g l e m e n t i nc h a p t e r2ir e v i e wb a s i ca s p e c t so fe n t a n g l e m e n ti n c l u d i n gi t sc h a r a c t e r i z a t i o n ， d e t e c t i o n ，m a n i p u l a t i o na n dq u a n t i 毋i n g ia l s or e v i e ws o m en e wp r o g r e s s e sa b o u t q u a n t u me n t a n g l e m e n t i nc h a p t e r3a na t t e n l p ti sm a d et op r o p o s ean e w m u l t i p a r t i t ee n t a n g l e m e n tm e a s u r e b a s e do nm u l 卸a n i t ev e r s i o n so fm eq u a n t u mm u t u a l i n f b 啪a t i o nic o n s 仰c t n e wm u l t i p a r t i t ee n t ；a l l g l e m e n tm e a s u r e s o n ei sag e n e r a l i z a t i o no ft h es q u a s h e de n - t a l l g l e m e n t w h e r eo n et a l 【e st i l em u t u a l i n f o n n a t i o no fp a i t i e sc o n d i t i o n e do nt h es t a t e s e x t e n s i o na n dt a k e st h ei n 行m u mo v e rs u c he x t e n s i o n s ip r o v ea d d i t j v i t yo fs u c hm e a - s u r e sf b rt w ov e r s i o n so fm e m l t i p a n i t em u t u a l i n f o m l a t i o n t h es e c o n do n ei sb a s e d 0 nt a k n gc l a s s i c a le x t e n s i o n s ig e n e r a l i z et 1 1 el a n e rs c h e m et oc o n s t n l c tm e a s u r e s0 f e n t a n g l e m e n tb a s e do nt h em i x e dc o n v e xr o o fo faq u a n t i t y ，w h i c hi nc o n t r a s tt ot h e s t 觚d a r dc o i e xr o o fm e t l l o di n v o l v e s 叩t i m i z a t i o no v e ra nd e c o m p o s i t i o n so fad e n - t t t a b s l k a c 1 s i t ym a t r i xr a t h e rt h a nj u s t h ed e c o m p o s i t i o n si n t op u r cs t a t e s f u r t h e 咖o r c ，ip r e s e n ta c o m p u t a b l el o w e rb o u n d o nt h e m u l t i p a r t i t es q u a s h e de n t a n g l e m e n t ia l s od e r i v es o m e j n e q u a l i t i e sr e l a j n gc h es q u a s h e de n a n g i e m e n c o h eo h e re n c a n g j e m e n tm e a s u l e i nc h a p t e r4 ，a t t e n t i o nt u r n st ot h eq u e s t i o no ft h er e l a t i o no ft h ee n t a n g l e m e n to f ag i v e nm u n i p a r t i t es u p e 巾o s i t i o ns t a t ei nt e m so ft h ee n t a n g l e m e n to fi t ss u b s y s t e m s id e r i v et h el o w e ra n du p p e rb o u n d so nt h ee n t a n g l e m e n to fag i v e nm u l t i p a r t i t es u p e r p o s i t i o ns t a t ei nt e r m so ft h ee n t a n g l e m e n to ft h es t a t e sb e i n gs u p e r p o s e d 7 i h ef i r s t e n t a n g l e m e n tm e a s u r ew eu s ei st h eg e o m e t r i cm e a s u r ea n dt h es e c o n di st h es q u a s h e d e n t a n g l e m e n t t h e s eb o u n d sa l l o wu st oe s t i m a t et h ea m o u n to ft h em u l t i p a r t i t ee n t a n g l e m e n to fs u p e i p o s j t j o n s i nc h a p t e r5ii n v e s t i g a t eai n h e r e n t l yq u a n t u mm e c h a n i c a lp h e n o m e n a ，n a m e l y c o m p i e m e n t a r i t ya n de n t a n g l e m e n t ，f 两ma ni n f b n n a t i o n t h e o i e t i cp e r s p e c t i v e u s i n g ag e n e r a l i z a t i o no ft h ei n v a 打a n “n f b 咖a t i o ni n 昀d u c e db yb 川( n e ra n dz e i l i l l g e rt o h i g h d i m e n s i o n a ls y s t e m s ，ii n t r o d u c eac o m p l e m e n t a r i t yr e l a t i o nb e t w e e nt h el o c a l a n dn o n i o c a li n f b 肿a t i o nf o rd ds y s t e m su n d e rt h ei s o l a t e de n v i r o n m e n t w h e r ed i s p n m eo rt h ep o w e ro fp n m e ia l s oa n a l y z et h ed y n a m i c so ft h el o c a l i n f o 咖a t i o ni n t h ed e c o h e r e n c ep r o c e s s i nc h a p t e r6ic o n s i d e rt h ep r o b l e mo fg e n e r a le n c a n 9 1 e m e n t a s s i s t e d r a n s f o r m a t j o nf o rb j p a n i t ep u r eq u a n t u ms t a t e s ii n t r o d u c et h eg e n e r a lc a t a l y s t sf o rp u r e e n t a n g l e m e n tt r a n s f b l l l n a l i o n su n d e rl o c a lo p e r a t i o n sa n dc l a s s i c a 】c o m m u n i c a t i o 恼i n s u c haw a yt h a tw ed i s r e g a r dt h ep r o f j ta n di o s so f e n t a n g l e m e n to ft h ec a t a i y s t sp e rs e a ss u c h ，t h ep o s s i b i l i t i e so fp u r ee n t a n g l e m e n tt r a n s f o 咖a t i o n sa r eg r e a t l ye x p a n d e d 。i a l s od e s i g na ne f 右c i e n ta i g o r i t h mt od e c e c tw h e t h e r a 后七g e n e r a lc a t a l y s te x i s t sf o ra g l v e ne n t a n g l e m e n tt r a n s f b n n a t i o n 1 h i sa l g o r i t h mc a na sw e l lb ee x p l o i t e dt ow i t n e s s t h ee x i s t e n c eo fs t a n d a r dc a t a l y s t s s u m m a r ya n ds o 加e 叩e np r o b l e m sa r eg i v e ni nc b a p e r7 k e y w o r d s ：q u a n e u me n a n g l e m e n c ，e n t a n 羽e m e n cm e a s u r e ，s q u a s h e de n t a n g j e m e n t ， c o m p l e m e n t a r i t yr e l a t i o n ，e n t a n g l e m e n tt r a n s f o 册a t i o n 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 年月日 第l 章绪论 1 1 量子信息学简介 第1 章绪论 建立在2 0 世纪物理学支柱之一的量子力学基础之上的量子信息学【1 卅，是 量子力学与信息科学相结合的产物。量子信息学包括量子密码术、量子通信、 量子计算机等几个方面。它运用量子力学的基本原理将以往的经典信息扩充 为量子信息用来解决经典信息学和经典计算机所不能解决的问题。众所周知， 信息科学在推动社会文明进步和提高人类生活质量方面发挥着令人惊叹的作 用。随着人类对信息需求的日益增加，人们也在不断地推进信息技术的发展， 但是现有信息系统的功能已接近于极限值。电子计算机在过去3 0 年中，每个 芯片上集成的晶体管数目随时间呈指数增长，这个被称为摩尔定律的经验法 则预示着1 0 多年以后计算机存储单元将是单个原子，这时越来越显著的量子 效应将会逐渐影响其原有功能，计算机传统的制造技术将会遇到根本性的困 难。因此，信息和计算机科学的进一步发展必须借助于新的原理和方法。量子 计算为解决这样的问题提供了一个可能的途径。 由于量子信息和量子计算在提高运算速度、确保信息安全、增大信息容 量和提高检测精度等方面可能突破现有的经典信息系统的极限，因而近年来 吸引了广泛的关注。量子信息理论的的迅速发展更是带动了物理学乃至数学、 化学、计算机科学、控制学、电子学等多个学科分支的进一步融合。另一方面， 如何在实际的物理体系中相干的操控量子态进而实现量子信息处理的研究， 也极大的推动了腔量子动力学【7 1 、玻色一爱因斯坦凝聚【8 1 、量子点【9 1 、超导器 件【l o 】以及纳米电子学等学科的发展。量子信息理论发展的主流趋势更是体现 了多种学科交叉的特点。从量子信息理论的角度来研究强关联多体系统中的 基本问题和量子相变中的临界现象【】，己经引起了人们越来越多的兴趣。人 们还利用量子纠缠研究固体理论中基本物理模型的量子模拟，试图解决凝聚 态物理中的一些重要问题1 1 2 】。此外拓扑量子计算1 1 3 ，1 4 j 的发展更是极大的推动 了量子霍尔效应的研究。量子信息技术是后莫尔时代的重要新技术，将来有望 形成量子信息技术新产业，因而成为各国未来高技术的战略竞争焦点之一。 1 第1 章绪论 1 2 基于纠缠的量子信息处理 量子纠缠的概念和术语是由s c h r o d i n g e r 于l9 3 5 年首次引入量子力学，并称 其为”量子力学的精髓”。量子纠缠是一种奇特而又十分复杂的纯量子现象，反 映了量子理论的本质一相干性、或然性和空间非定域性。量子纠缠是量子信息 处理过程中最重要的物理资源，同时是联系多个不同物理分支学科的桥梁，下 面叙述基于纠缠的几个典型的量子信息处理协议。 1 2 1基于纠缠的量子密钥分发 第一个基于纠缠的量子密钥分发协议1 1 5 j 是由e k e n 构造的。他利用了如下 的两比特最大e p r 态： i 妒一) = ( 1 0 1 ) 一1 1 0 ) ) ( 1 1 ) vz 其原理是利用e p r 效应，即制备一对e p r 关联光子对，通信双方具有确定、不 变的关联，如测得其中一个光子的极化态向上，同时遥远的另一个光子的极 化态一定朝下，且不随时间和空间的变化而改变，任何窃听都会破坏这种关 联而被发现。其协议如下：首先，由e p r 源产生的光子对分别朝士z 方向发送 到合法的用户a 1 i c e 和b o b ，a l i c e 任意选择检偏基( 线偏振基或圆偏振基) 测量接 受到的其中一个光子1 ，测量的结果由e p r 关联决定，同时b o b 也随机用检偏基 测量接受到的e p r 关联对的另一个光予2 ，并记录测量结果，然后b o b 通过公 共信道公开其使用的测量基( 但不公布测量结果) ，a l i c e 告诉b o b 哪些检偏基选 对了，然后双方保留正确的结果并将它转化为量子比特串，再通过商定建立 为密码本。它与b b 8 4 不同的是检验双方保留的数据时是用b e l l 不等式【1 6 】检验， 如果违反不等式，表明量子信道是安全的没有被窃听：如果满足不等式时，表 明信道有问题即存在窃听者。总之，其安全性源于b e l l 原理，根据量子力学原 理该协议是安全的。e k e r t 密码协议的实验完成首先是基于参量下转化产生的 纠缠对【1 7 】以及能量和时间的纠缠光子对1 1 8 】。 1 2 2 量子密集编码 在量子通讯中存在所谓的h o l e v o 【1 9 】限，它声称一个量子比特只能携带 一个比特的经典信息。量子密集编码【2 0 】( q u a n t u md e n s ec o d i n g ) 使得可以超 越h o l e v o 限，它允许通过传送一个量子比特来传送2 个比特的经典信息。 假设a l i c e 和b o b 共享纠缠态l 妒一) 的一对粒子，从而建立量子通道。a l i c e 想 2 第l 章绪论 告诉b o b 七 o ，1 ，2 ，3 ) 四个事件中的之一。a l i c e 选择对其纠缠粒子a 进行四种 可能的幺正变换吼： c r o = ( 三呈) ，盯= ( 呈三) ，口? = ( 三0 1 ) ，一i = ( 呈1 1 ) c 2 ， 态l 妒一) 在相应的吼操作下会变成四个b e l l 态，这种作用实际上是将两个比特的 经典信息进行编码。其后，a l i c e 将粒子a 发送给b o b ，b o b 通过对两个粒子进 行b e l l 基联合测量，即可确认a l i c e 所做的变换，从而获得2 个比特的信息，也 就是说，仅仅通过传送一个粒子便能成功地传送2 个比特的经典信息。 量子密集编码与h o l e v o 限是不矛盾的，因为在该协议中使用了一种预先 存在的资源即纠缠。第一个量子密集编码的演示实验是由i n n s b m c k 小组【2 1 j 完 1 2 3 量子隐形传态 量子隐形传态( q u a n t u mt e l e p o n a t i o n ) 是b e n n e t t 等6 位科学家在1 9 9 3 年一 篇开创性的文章中【2 2 j 提出的概念，它的思想如下：假设a l i c e 要传送态l g ) = 口1 0 ) + 61 1 ) 给b 0 b ，事先在他们之间分享一个e p r 对，那么整个系统的初态为： i 锄a ，b ) = l 口) ao 去( 1 0 0 ) + 1 1 1 ) ) a ，b ( 1 3 ) 上式可以在a a 7 的b e l l 基下进一步写为如下的形式： i 妒a a b ) = ；【i + ) a a ，( n | o ) b + 61 1 ) b ) + l 一) a a ，( 口l o ) b 一61 1 ) b ) ( 1 4 ) + l 妒+ ) a a ，( n1 1 ) b + 6i o ) b ) + i 妒一) a ( n1 1 ) b 一6l o ) b ) 】 m i c e 对她的系统a a ，进行b e l l 基测量，测量的结果将出现在四种可能的量子态 当中的任意一个，其几率为；，对应于a l i c e 不同的测量结果，b o b 的粒子b 坍缩 到相应的量子态上。因此，当a l i c e 经由经典通道将她的探测结果告诉b o b 之 后，他就可以选择适当的幺正变换吼将粒子b 制备到态l g ) 上。量子隐形传态的 特点是，仅仅是量子态被传送，但粒子b 本身不被传送。而在a l i c e 测量之后， 初态己被破坏，因此这个过程不违背量子不可克隆定理【2 3 1 。 量子隐形传态的最初的实验演示是由i n n s b r u c k 小组b o u w m e e s t e r 和潘建伟 等人完成的【矧，基于光子的量子隐形传态的第二代和第三代实验最近也分别 由潘建伟等人1 2 5 2 6 】完成。 第l 章绪论 1 2 4 纠缠交换 量子纠缠通常起源于两个粒子的直接相互作用，能否使两个从未相遇的 粒子纠缠起来? 纠缠交换1 2 7 j ( e n t a n g l e m e n ts w a p p i n g ) 就为实现这样的过程提 供了可能。 假设a l i c e 和c l a r e 分享一个最大纠缠态l 矿) = 击( 1 0 0 ) + 1 1 1 ) ) a g ，b 0 b 和d a v i d 也分享同样的态： i + ) a ci + ) b d ( 1 5 ) 假设a l i c e 和d a v i d 相距很远，现在b o b 和c l a r e 进行联合b e l l 基测量，对于任何测 量结果，都会使a l i c e 和d a v i d 的态塌缩到四个b e l l 基之一。根据不同的测量结 果，a l i c e 和d a v i d 都可以通过局域幺正变换把它变到态l 驴+ ) a d 上。该过程实现 了对两个从未相遇的粒子的纠缠。纠缠交换对于实现远距离量子通讯中的量 子中继1 2 8 j 具有关键性作用。纠缠交换的第一个演示性实验是由潘建伟等【2 9 】完 成的。 此外，量子纠缠在降低通信复杂度1 3 0 ，3 1 1 、空间定位【3 2 1 、提高频标【3 引、时钟 同步【3 2 】以及光刻蚀【3 4 】等方面也都扮演非常重要的角色。而且从纠缠的角度考 察超辐射、无序系统、超导等【3 弼9 j 也为人们提供了新的思路。 4 第2 章量子纠缠 第2 章量子纠缠 2 1量子纠缠的基本性质 2 1 1两体量子纠缠定义和性质 量子纠缠的一个基本问题就是判断一个态是否纠缠，对于一般的任意的 情形这是一个n p 问题i 砌，也即在多项式时间内无法解决的问题。因而所有的 纠缠判据只适用于某一类的态。首先考虑最简单的两体纠缠纯态。任意两体 纯态i 皿) 4 b 咒a b = 咒j 4o 冗b 是可分的( 纠缠的) 当且仅当它可以( 不可以) 被写为相应希尔伯特空间子系统的直积形式： l 皿) a b = l 砂) l 驴) b ( 2 1 ) 一般情况下，态矢皿a b 可以在完备正交基俅) a 圆i 歹) b ) 下展为： 那么它为直积态当且仅当系数矩阵a 田= a 嚣) 的秩为l 。通常该矩阵的 秩r ( 皿) 尼三m i n 【幽，如】称为态矢皿的s c h m i d t 秩，它等于约化密度矩阵j 口男= n bi 皿) a b ( l 或者p 当= n ai ) a b ( l 的秩。对于两体态i 皿) j 4 b 总存在一组互相 正交的基 i i ) aoi i ) b ) 可以进行所谓的s c h m i d t 分解： i 皿) b = 啦阮圆院 ( 2 3 ) i = o 其中o t = 厄) 对应于a 中的非零奇异值1 2 】，鼽对应于约化密度矩阵的谱分解的 元素。量子纠缠在直积操作p 下应当保持不变，而对于两体纯态的情况， 在此操作下唯一不变的就是啦，因此它就完全决定了两体纯态的纠缠。易见两 体纯态i 皿) b 可分当且仅当态矢霍a b 是直积态，也即约化密度矩阵肌或他的秩 为l 。因此判断一个两体纯态是否纠缠只需对角化它的约化密度矩阵即可。 对于定义在希尔伯特空间咒a b = 咒a0 咒b 上的两体混态肌b 来说，它是可 分的当且仅当它能表示为如下的形式： s 22 b 0 a 吖 m v a 倒 瑚 l i ba i i 第2 章量子纠缠 肌口= 戤以。办 ( 2 4 ) t = 1 其中以和p b 分别定义在空间巩和如上。在有限维系统中，以和p 刍可以选为纯 态。根据c a r a m e o d o r y 定理，凸组合的数目七满足忍毋b = ( 幽d b ) 2 【4 i 】。 按照此方法定义的可分态集合乳b 是一个凸的紧致的集合并且在直积操 作巩固下保持不变，对于混态来说所有不属于该可分态集合的量子态都称 为纠缠态。下面介绍几种数学上可操作的两体纠缠判据。 2 1 2 两体量子纠缠判据 p p t 判据 p p l r 判据是p e r e s 于1 9 9 6 年首先发现的1 4 2 】，他声称对于两体态j d a b ，如果 对其任意一体做部分转置运算后所得的矩阵p 盈( j d 盔) 仍是半正定的( 不 出现负本征值) ，即p 盈( p 盈) o ，那么肌日一定是可分离态，其中j d 盔定义 为( 刊( p l 硌l 佗) i ) 三( mj ( j 肌bj n ) j p ) 。从物理本质上看，p 门判据等价于只 对两体中任一单体做部分时问反演操作。值得一提的是对于202 和203 的情 形，p p r r 判据判据是充要的【4 3 1 。对于一般的情况，有的纠缠态却不遵守p 门判 据，由此可以引出纠缠态的两种分类方法。h o r 0 ( 1 溅家庭在1 9 9 8 年j 证明所 有的p 胛态是不可以提纯的，而事实上h o r o d e c k i 在1 9 9 7 年【4 1 】已经构造了纠缠 的p p t 态，因此把所有不能提纯的纠缠态称为束缚( b o u n d ) 纠缠态，能提纯的纠 缠态称为自由纠缠态。目前还不清楚除了p p l r 束缚纠缠态是否还存在其它类型 的束缚纠缠态，但有证据表明有可能存在n p l r ( 即不违反p p ，r 判据的) 类型的 束缚纠缠态1 4 5 阄，事实上束缚纠缠态也即意味着不可逆性，这一点我们将在 后面的小节详细讨论。 基于正的但是非完正映射的可分性判据 p e r e s 的p p t 判据激发了h o r o d e c k i 家庭从线性正映射的角度去描述可分态。 可以发现p p t 条件也即要求算符陬。乃】( 纵b ) 是半正定的，其中乃代表对第 二个子系统的的转置映射，转置映射是一个正映射但不是一个完正映射。事 实上，任何正的但是非完正映射 ：b ( 咒b ) _ b ( 咒 ，) 都可提供一个可分性判 据： 【厶oa b 】( j d a b ) o( 2 5 ) 6 第2 章量子纠缠 利用如上技术，我们可以形式上提供一个两体态可分性的充分必要判 据：纵b 是可分的当且仅当对于所有的正的但是非完正的映射方程( 2 5 ) 都成 立。不过这并没有降低问题的难度，因为寻找正的但是非完正的映射在当 代的线性代数领域也是一个十分棘手的问题【4 7 1 。然而对于十分低维的系统 有一个很有用的结论：位于“o 如上满足“如6 的两体态以日的可分性 等价于它是p p l r 的。该结论成立的原因在于如下事实1 4 8 - 4 9 j ：对于所有的正映 射a ：bf c d l _ b ( c ) 其中d = 2 ，= 2 和d = 2 ，d 7 = 3 的情况都是可分解的， 也即 a 出c = 人9 2 ) + 人品。t ( 2 6 ) 其中人品代表完正映射t 代表转置映射，在文献【4 3 j 中说明了在所有可分解的映 射中转置映射是最强的映射，也即所有可分解映射能探测到的纠缠也一定能 被转置映射探测到。 纠缠目击者( e n t a l l g l e m e n tw i t n e s s e s ) 纠缠目击者【4 3 ，5 0 j 是量子纠缠理论中一个十分基本和重要的工具。它起源 于几何图景，因为凸集可以由与它相切的超平面描述。如果存在打( w p ) o ， 并且有打( 渺盯) 0 ，其中盯代表任意可分态，那么厄米算符w 就被定义为一个 纠缠目击者算符。w 的作用相当于一个线性超平面把某些纠缠态与可分态的 凸集区分开来，见图2 1 。 形 0 0 图2 1 图中直线代表对应于纠缠目击者的超平面。所有位于超平面左边的态对于的 平均值都是非负的，而那些位于超平面右边的纠缠态可以被目击者算符探测到。 7 第2 章量子纠缠 h o r o d e c k i 【4 3 】家庭证明过一个非常有用的结论，即对于任意纠缠态都存在 一个纠缠目击者算符。一个d 圆d 维情形的纠缠目击者算符是由w 色m e r f 5 ”构 造的厄米交换算符： d l y = h ) ( j l o i 歹) ( 引 ( 2 7 ) i j = 0 为了说明y 是一个纠缠目击者算符，首先注意到对于任意可分态有( 纵l ( 加iy i 妒a ) i 西b ) = i ( 矽a i 日) f 2 o ，其次y = 尸( 十) 一尸( ) ，其中p ( + ) = ( ，十y ) 和p ( 一) = ( 一y ) 分别对应向希尔伯特空间o 伊对称子空间和反对称子空问的投影 算符，它有一个一1 的本征值，因此y 是一个纠缠目击者算符。 上节提到的正的但是非完正的映射可以通过c h o i j a m i o n ( o v s k i 同构1 5 2 ，5 3 】和 纠缠目击者联系起来： = 【，圆a 】( 砑) ( 2 8 ) 其中投影算符砑= i 圣孝) ( 垂孝i 而圣j 冗ao 氕a 定义为i 垂j ) = 南量l e ) o ) ，d = d i m 咒a 。 值得说明的是尽管条件打( p a b ) 0 整体上等价于( 2 5 ) ，但是特殊的纠 缠目击者并不等价通过同构联系起来的正映射，映射提供的一个更强的条 件【5 4 1 。 从广义上看，b e l l 不等式也可以被看成某种类型的纠缠目击者。考虑b e l l c h s h 算符 召= a 孑。( i + 驴) 孑+ 孑。( i 一矽) 孑 ( 2 9 ) 在所有可分态下召的期望值满足：n ( 却唧) 2 ，对于纠缠态这个值会大于2 ， 因此我们可以定义如下c h s h 类型的纠缠目击者： w b h s h = 2 j r 一召( 2 1 0 ) 这样构造的目击者算符不是优化的，进一步可以把c h s h 目击者算符分解为两 个优化的目击者算符和单位算符之和【5 5 】，关于优化目击者算符的概念可以参 考文献1 5 6 1 。 约化判据及其推广 约化判据是基于正的但是非完正映射的可分性判据的一个具体例 子。取方程( 2 5 ) 中人r 。d ( p ) = ，n ( p ) 一p 即为约化判据f 57 5 8 j 。该映射是可分 8 第2 章量子纠缠 解的，但是在分析纠缠提纯的问题时起到十分重要的作用【5 引。在两比特 情形下该判据和p p r 判据是完全等价的。一般情形下由映射a 蒯生成的判 据阻。人 ( 肌b ) o 可写为： 陬o 一纵b o( 2 。1 1 ) 既然映射a r e d 是可分解的相应的判据也比阱，t 判据要弱，但是要强于f 5 9 】下文将 提到的m a i o r i z a t i o n 【6 0 】判据。 另一个重要的判据是由b r e u e r 【6 1 】和h a l l 【6 2 】分别独立提出的，它可以看作是 对偶数维空间d = 2 后时约化判据的一个修订。在此子空间存在反对称幺正操 作汐t = 一u ，相应的反幺正映射u ( ) 丁u 把任意一个纯态映射到与它正交的 态，因此作用在态p 上的映射 a ( p ) = a 他d ( p ) 一汐r u ( 2 1 2 ) 对于所有的反对称矩阵来说都是正的。该映射是不可分解的因此可以探测 到一类p p t 纠缠态【6 1 1 。 r a n g e 判据 r a n g e 判据是h o r o d e c l ( i f 4 1 】在1 9 9 7 年提出的，内容如下：如果纵口是可分 的，则存在直积态集合_ ( 妒爻。珐) 能够张成肌b 的空问，并且 妒爻o ( 铝) + ) 张 成d 盔的空问。在文献【4 1 】中h o r o d e c l ( i 构造了第一个3p 3 的p p t 纠缠态： 1 加2 丽o 下工 o0o 0 0oo0口 0o0 0o0 o00 0 0no oo o00 o 00口o0 o0o o o 0 0o0 o 0 口 no 0 o 0n0o o o o o o oo 警。罕 o 0 0 o ooo 口o nooo 口。罕。半 ( 2 1 3 ) 9 第2 章量子纠缠 其中o 8 - a 妒， ( 2 1 5 ) 其中毫是密度矩阵盯的本征值按从大到小的有序排列，符号卜表示m a j o r i z a t i o n ， 鄂天卜非表对于所有的柳亨圭气圭胁。从直观上来理解该判据表示可分态 i = 1i = l 在整体上毖局部上更加混乱。 非线性可分性判据 非线性可分性判据可以分为两大类，一类是基于纵嚣的单个拷贝，另一类 基于p 嚣的多个拷贝。首先介绍第一类情况，基于不确定关系的可分性翔据 1 0 第2 章量子纠缠 就是一个典型的例子，不确定关系最初是用来考虑高斯型连续变量【7 1 1 的纠缠 情况，在此我们只讨论分立变量的情形。2 0 0 3 年h o f m a n n 等1 7 2 】提出一个基于 局域不确定关系( 1 0 c a lu n c e r t a i n t yr e l a t i o n s ( l u r ) ) 的可分性判据。考虑分别位 于希尔伯特空间咒a 和爿b 上的局域变量 a ) 竺。和 最) 墨o ，假设有t6 ( a ) 2 和t 6 ( 最) 2 岛，其中和c b 均为非负的值，并且6 ( m ) ；兰( m 2 ) p 一( m ) ：。则 对于任何可分态| d a b 下式成立【7 2 】： 6 ( ao ，+ j 。鼠) ；a b c a + c b ( 2 1 6 ) 通过归纳法该式可以直接推广到多体的情况。如果变量a 和鼠被选为特 殊的不对称的方式【7 2 1 ，那么不等式( 2 1 6 ) 还可以用来探测一类p p t 态。随 后g u h n e 【7 3 】通过非局域不确定关系推广了l u r 方法的判据。 另一条有趣的线路是基于熵不确定性关系的可分性判据，它是由g i o v a n n e t t i 首先开始研究的1 7 4 】随后被g u h n e 等【7 5 】加以发展。 下面叙述基于多个拷贝的非线性可分性判据，具有代表性的即所谓的集 体纠缠目击者( c o l l e c t i v ee n t a n 9 1 e m e n tw i t n e s s e s ) ，它是由h o r o d e c k i 在2 0 0 3 【7 6 】年 引入的一个概念，目前对于实验上探测纠缠已经显得越来越重要。考虑位于 空间咒a b = 氕a0 爿b 上的两体系统a b 。定义集体变量a ( n ) 在态p 跏下的平均 值( ( a ( n ) ) ) ：= t r ( a ( n j d 伽) 。现在定义在( 咒 b ) 骱上的任何变量( n ) 如果满足 如下条件： ( ( n ) ) 加印：= t 7 ( ( j 9 唧) 跏) o ( 2 1 7 ) 但是至少存在一个纠缠态j d 饥t 使得( ( n ) ) 。 的角度绘出 个很强的判据而且他们的方法提供了统一的框架把局域不确定关系和重排 判据联系起来。 2 。1 。3 多体量子纠缠 对于多体的情况可分性和纠缠的定义比两体的情形更加丰富，存在所谓 的全可分性和部分可分性。首先看全可分态的定义，对于位于空间饨a 卜a 。= 咒a ，p o 篾a 。