（理论物理专业论文）合作竞争系统的网络描述.pdf

周月平：合作竞争系统的网络描述 1 摘要 物理学从牛顿力学开始发展到现在取得了巨大成就，研究尺度大到宇宙、小 到夸克，研究成果对人类生活产生了巨大影响，但是物理学还有许多看似简单而 又觉得很自然的问题没有得到理解，比如生命、生态、环境、社会、经济、文化、 地貌变化。这类系统中，系统作用者和作用者的行为各不相同，作用者构成的系 统绝不等同于它们的简单组合，其功能也绝不是作用者功能的累加，我们把这类 系统称为复杂系统。 近年来，复杂系统的研究形成了热潮，人们用网络的方法对复杂系统进行研 究。复杂网络描述方法是建立在对问题的简化描述模型的基础上的，把系统的基 本单元用点来表示，基本单元之间的相互作用用边来表示。目前复杂网络取得了 很大进展，研究内容主要集中在网络的拓扑结构、网络传播、网络鲁棒性、网络 的同步、控制等方面。复杂网络研究以来，对于网络统计性质的实证研究一直受 到重视，大家都意识到这是复杂网络研究的基础工作。再好的模型也要有实证数 据的支持( 哪怕是间接的或者定性的) ，否则就是无源之水、无本之木。我们小组 进行了相当数量的实际系统的实证研究，并且将社会合作网络的概念推广到非社 会网络，把完全图集合的网络称为广义合作网络并且提出了广义合作网络的演化 模型，模型与实际统计很好地吻合，可以说找到了广义合作网络的一些共性。 在社会学中，二方组很受关注，二方组的定义是“两个参与者及其间的关系”。 我们把二方组的概念推广到广义合作网络中，将二方组作为网络演化的基本单元， 按照广义合作网络模型的思想建立了一个网络。我们统计了该网络的一系列的性 质，并对照实际系统的统计结果，从多角度说明了模型的合理性。同时我们还将 二方组应用到城市公交系统中，以前研究网络的运输效率问题，只是拓扑效率， 对于公交系统并不适用，在我们定义的完全图集合的网络中，二方组项目度就代 表线路数量，因此把二方组应用到公交系统的运输中比研究拓扑中的运输问题更 重要。 对于有合作竞争的网络来说，我们用完全图表示顶点之间的竞争态势和共存 2 扬州大学硕士学位论文 关系，用权来表示顶点之间的竞争结果。我们主要对体育比赛和商业竞争做了分 析，体育比赛我们调研了第2 8 届奥运会，商业竞争我们调研了2 0 0 4 、2 0 0 5 中国 百强电子企业。对上述合作竞争系统，我们建立了一个简化的房间蛋糕模型，模 型既分析了网络的拓扑的演化，也分析了在拓扑演化过程中权的演化。 最后，我们用二分图为工具，对中央电视台电视节目系统进行了分析，还对 其他一些复杂系统进行分析，如连锁店系统，汽车销售系统，n b a 篮球比赛系统。 运用差异性这个概念后，能够得到一些有意思的结论，与实际情况相吻合。 关键词】：复杂网络、广义合作网络、二方组、合作、竞争、合作竞争、竞争激 烈程度 周月平：合作竞争系统的网络描述 3 a b s t r a c t p h y s i c ss c i e n c eh a sm a d eg r e a tp r o g r e s sf r o mn e w t o nc l a s s i c a lm e c h a n i c s ，t h e r e s e a r c hf i e l dr a n g e sf r o ma t o m i cs c a l et ou n i v e r s es c a l e t h er e s e a r c hh a sg r e a t l y i m p r o v e dp e o p l e sl i f e t h e r ea r cm a n yq u e s t i o n st h a tp h y s i c sh a sn o ta n s w e r e dw h i c h s e e n ls i m p l eb u tr e l a t et oo u rl i f e i nt h es o c a l l e d c o m p l e x ”s y s t e m s t h e r ea r em a n y d i f f e r e n ta c t o r s ，a n dt h ea c t i o n so fa c t o r sa r ed i f f e r e n tf r o me a c ho t h e r s ot h eb e h a v i o r o f s u c ha s y s t e mm a yn o tb et h ec o l l e c t i o n so f t h o s eo f t h ec o m p o n e n t s r e c e n ty e a r sh a v ew i t n e s s e da nu p s u r g ei nt h es t u d yo fc o m p l e xs y s t e m s m a n yo f t h es y s t e m sc a nb ee f f e c t i v e l ym o d e l e db yn e t w o r k si nw h i c ht h eu n i t so ft h es y s t e m s a m o d e l e da sv e r t i c e s a n dt h ei n t e r a c t i o n sa m o n gt h eu n i t so r em o d e l e dc o n c i s e l y 鹪 e d g e s ( w i t ho rw i t h o u tw e i g h t s ) b e t w e e nt h ev e r t i c e s t l l i sr e p r e s e n t san e wf r a m e w o r k f o rb u i l d i n gm o d e l so fc o m p l e xs y s t e m s i nr e c e n ty e a r s ，c o m p l e xn e t w o r ka t t r a c t s m u c ha t t e n t i o n , a l s od e v e l o pr a p i d l y p e o p l e si n t e r e s t sm a i n l yf o c u so rt h et o p o l o g yo f t h en e t w o r k ，s p r e a d i n go nt h en e t w o r k , r o b u s to ft h en e t w o r k , s i m u l t a n e o u so ft h e n e t w o r k , c o n t r o lo ft h en e t w o r ka n ds oo n f r o m1 9 9 8 ，p e o p l er e a l i z e dt h a tt h e e m p i r i c a ls t u d yo ft h en e t w o r ki si m p o r t a n t ，b e c a u s ei ti sb a s i cs t e pt of u r t h e rs t u d yo f t h en e t w o r k s o u rg r o u ph a si n v e s t i g a t e dm a n ys y s t e m s ，w h a t sm o r e ，w es u g g e s ta g e n e r a l i z e dc o o p e r a t i o nn e t w o r km o d e l ，e m p i r i c a ls t u d i e sm a t c ht h es i m u l a t i o n so ft h e m o d e lp e r f e c t l y i ns o c i o l o g y , d y a di si m p o r t a n t i ti sd e f i n e d 勰t w oc o m p o n e n t sa n dt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h e m i no u rw o r k , w ei n v e s t i g a t et h ed y a di nt h eg e n e r a lc o o p e r a t en e t w o r k s w ep e r f o r m e das e r i e so f e m p i r i c a ls t u d i e so ft h en e t w o r k s i no r d e rt ou n d e r s t a n dt h e p r o p e r t i e so ft h ed y a d , w eb u i l dam o d e ld e s c r i b i n gg e n e r a lc o o p e r a t o rn e t w o r k s n 圮 s i m u l a t i o nr e v e a l st h a to u rm o d e li sr e a s o n a b l e t h ed y a dc a nb eu s e dt ou n d e r s t a n dt h e e f f i c i e n c yo f u r b a np u b l i ct l a f 甄cn e t w o r k s i nm o s tc a s e s ，c o m p e t i t i o na n dc o o p e r a t i o nc o e x i s t f o rt h e s es y s t e m s ，w ew o u l d l i k et ou s ea b i p a r t i t eg r a p hf o r t h en e t w o r kd e s c r i p t i o n i nt h eg r a p ht h e r ea l et w ot y p e s o fv e r t i c e s o n eo ft h e mi sc a l l e d a c t o r s ”w h i c ha r et h ee l e m e n t so fn e t w o r kt a k i n g p a r ti ns o m ea c t i v i t i e s o r g a n i z a t i o n so re v e n t sa d d r e s s e d 雒“a c t s t h ee m p i r i c a l 4扬州大学硕士学位论文 s t a t i s t i c a lp r o p e r t i e sw i t h o u tc o n s i d e r i n gw e i g h tm a yd e s c r i b et h ec o m p e t i t i o ns i t u a t i o n a n dc o n f i g u r a t i o n t h ep r o p e r t i e sw i t hw e i g h tc o n s i d e r e dm a yd e s c r i b et h ec o m p e t i t i o n r e s u l t sa n dt h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e nt h er e s u l t sa n dt h en e t w o r k t o p o l o g i c a l c h a r a c t e r i s t i c s a st h ec a s w ei n v e s t i g a t et h e2 8 mo l y m p i cg a m e sn e t w o r ka n ds a l e n e t w o r ko f t h et o pe l e c t r o n i cc o m p a n i e si nc h i n a a l s o ，w eb u i l dam o d e lt ou n d e r s t a n d t o p o l o g yd e v e l o p m e n ta n dw e i g h td e v e l o p m e n t a tl a s t , w ed os o m ee m p i r i c a ls t u d yo nc c t vs y s t e m a n dw ei n v e s t i g a t e ds o m e o t h e rc o m p l e xs y s t e m s ，s u c ha sc h a i n - s h o ps y s t e m , c a r - s a l es y s t e ma n dn b a s y s t e m i k e yw o r d s | ：c o m p l e xn e t w o r k s ，d y a d ，c o o p e r a t e ，c o m p c t i t i o n ，s t r e n g t ho fc o m p e t i t i o n 周月平：合作竞争系统的网络描述 5 第一章前言 在科学研究的道路上，人们遵循从简单到复杂的原则，遇到复杂的问题的时 候，总是希望把问题分解。对于一个系统来说，习惯把系统分割成若干个小单元， 考虑小单元之间的相互作用，研究出这些单元的行为及其相互作用遵从的普遍、 简单的自然法则，规则发现以后就把这种规律用在大的系统上，系统整体的效果 就用各部分效果之和来表示，从而得到系统的规律，预言系统的演化。牛顿和莱 布尼兹发明的微积分就是这种整体是部分之和的思想的数学体现，人们把微积分 的基本思想升华为一种哲学世界观：每一种事物都是一些更为简单的或者更为基 本的东西的集合体或者组合物；世界或系统的总体运动，是其中每一个局部或元 素的运动的总和，这种观点称为还原论。采用这种由确知局部或部分的数学、物 理特性，再通过求和来了解整体特性的方法，就成为还原论方法。还原论方法最 大的成功之处在于，用这种方法建立起来的科学理论，不仅具有精确严密的特质， 还具有强大的预言能力，这种预言经得起实验的检验。无论是哈雷彗星的发现与 确认，海王星的发现，大量新基本粒子的发现认证，大爆炸学说的检验，还是各 类化学药物的发明与临床验证，直至认识生命本质、遗传工程，奔月工程、地下 资源开发等等，所有这些都是以科学理论为指导，在科学实践中取得成功的，而 这些科学理论无不是还原论方法的成功应用。 2 0 世纪中晚期，兴起了一些反对还原论方法的见解，认为这种方法已经过时， 科学的前途在于使用一些尚未经过成功检验的所谓新的“科学”方法。例如，一 种叫做系统论的学说，提倡一种新哲学观，系统哲学观，又叫整体观。还有一种 学问，叫复杂性研究【1 7 】，也认为在复杂系统之中，部分之和大于整体，这两种 观点都认为系统的功能不能用部分的功能之和来表示，两者异曲同工。对还原论 观念和哲学提出批判，主张应该用整体观点看待事物，从宏观上把握事物。应该 说，这些批判是部分合理的，还原论方法没有解决全部问题，科学家们不讳言这 一点，反而把这当作继续努力的鞭策。运用这种叫做系统观或复杂观的见解，我 们的确注意到一些我们原先使用还原论没有发现的问题。例如，我们对单个原子 已经比较了解，但是，当数百个原子组成一个纳米结构时，它表现出的某些理化 6 扬州大学硕士学位论文 特性却是始料未及的。还有一个著名的例子，耗散结构，讲的是在一个与外部环 境交换物质与能量的系统中，会自发形成某种有序结构，它的发明人普利高津因 此获得过诺贝尔奖。从更大的角度来说，整个宇宙是由基本粒子组成的，基本粒 子之间的规律我们可以知道，但是我们的宇宙从大爆炸时的几种基本粒子开始发 展成现在的生命、历史、经济和文学等完全不同形式的事物，这些问题还有待研 究【8 】。 从2 0 世纪七八十年代开始，复杂性问题的研究引起国内外关注，并与非线性 科学及其混沌动力学的复杂性研究交错在一起，在国际上形成了非线性科学和复 杂性问题的研究热潮。许多杰出的科学家为发展复杂性科学进行了不懈的努力。 然而，迄今为止，复杂性科学尚未取得重要突破。数学家f a d o r i a 教授表达了多 年来从事复杂性科学研究的科学家们的共同感受，他说：“w eg of r o mc o m p l e x i t yt o p e r p l e x i t y ( 我们从复杂到了困惑) ”。使科学家们感到困惑的一个重要原因是， 复杂性科学研究正处在探索阶段，一些基础问题亟待解决，如：是否存在从简单 到复杂的自然法则的问题以及什么是复杂性的根源问题等，这些问题极大地阻碍 着复杂性科学研究的发展，如果不能从理论上得到解决，那么复杂性科学就难以 建立起坚实的理论基础，从而影响和制约复杂性科学的发展。国内外以非线性和 复杂性命名的研究所或中心纷纷成立。 在这个探索进程中，9 8 年以来出现的新的复杂性研究热点复杂网络吸引 了国内外越来越多的科学工作者的注意力。这种研究方法把复杂系统简化为点以 及连顶点的线段的集合。点代表系统的基本单元，称为顶点；线段代表顶点之间 的相互作用，称为边。每个顶点和每条边都可以加上称为“权”的不同的说明。 这种描述方法尽管定义看似简单，但是可以用来描述从技术到生物直至社会各类 开放复杂系统的骨架，越来越多的研究表明，这些看上去各不相同的的网络有着 惊人的相似之处：1 、小的平均距离( 上) ( 两个不同的顶点间最短( 边数最少) 的一 条道路的长( 边数) 称为“距离”，所有顶点对之间距离的平均平均距离 周月平：合作竞争系统的网络描述7 a f 口业 定义为两顶点间最短距离的平均值) ；2 、大的集群系数c ( c l = 坐告一，其乙 中e 表示顶点f 的集群系数，r 是点i 的邻点的集合，口为邻接矩阵元，邻接矩阵 a ( g ) 的矩阵元定义为：a u = 1 ，若顶点k 和顶点_ 存在边使其邻接；矩阵元定义为 a ，= o ，若顶点k 和顶点巧不存在边使其不邻接。网络的集群系数是所有顶点系 数的平均) ；3 、幂律度分布即分布函数的遵从规律以七) t 一，其中毛= 口，其 e r 中r 是点f 的邻点的集合，度分布p ( 七) 定义为任选一个顶点，它的度恰好为k 的概 率。 在广泛的实证研究的基础上，人们从不同的角度出发突出了各种各样的网络 拓扑结构模型。其中最主要的标志着网络发展的模型，包括规则网络、随机图 9 、 小世界网络 1 0 、无标度网络 1 1 。这些网络各有特点和缺点： 规则网络：最常见的有三种形式：1 、全局耦合网络2 、最近邻耦合网络3 、 星形网络。在一个全局耦合网络中，任意两个点之间都有边直接相连。因此，在 具有相同顶点数的所有网络中，全局耦合网络具有最小的平均距离( = l 和最大 的集群c = 1 系数。虽然全局耦合网络模型反映了许多实际网络具有的大的集群系 数和小世界性质，但该模型作为实际网络模型的局限也很明显，没有哪个网络中 的顶点之间是全部连接的。对于最近邻耦合网络( 假设有个顶点，其中每个顶 点只和它周围的邻居点相连) 来说，具有高集群系数cz ；，但是并不是“小世界” 网络即没有小的平均距离( 三 m 杀_ o o ( n _ o o ) 。对于星形网络( 设有个顶点， 二a 其中有一个中心点，其余的n 1 个点只与中心点连接) ，平均距离 = p ( n - 1 ) ，度分布是泊松分布 1 2 】，平均距离( d * i n n l n ( k ) ，这种平均路 径长度为网络规模的对数增长函数的特征就是典型的小世界特征，但是集群系数 c = p = ( k ) n ，意味着大规模的稀疏e r 随机图没有集群特性。 小世界模型是w a t t s 和s t r o g t z 于1 9 9 8 年引入的，称为w s 模型。首先建立一 个规则的最近邻耦合网络，n 为偶数，然后随机化重连，小世界模型具有大的集 群系数和小的平均距离，但是度分布不是幂律的。 无标度网络考虑了网络的增长性和优先连接性( 富者越富法则) ，模型是这样 构造的，首先考虑增长性，网络从一个具有m 。个顶点的网络开始，每次引入一个 新的顶点，并且连到m 个已经存在的顶点上，当然这里m m 。其次是优先连接， 即富者越富法则，具体实现过程是这样的，一个新顶点与一个已经存在的顶点i l 相连接的概率n ，= 鲁，以后得到网络的度分布是幂函数分布p ( k ) o c 2 m 2 | - 3 ， 己一 f 网络的平均距离 * 2 ；冬也具有小世界性质，但是没有明显的集群特征。 l o g t o g v 2 0 0 3 年以前提出的各种主要模型已有综述 1 3 - 1 4 目前还没有哪种模型能把这三 个方面的性质都包含进去。建立的模型也都是在某种程度上反映系统的某些性质。 目前，复杂网络研究的内容主要包括：网络的几何性质、网络的形成机制、网络 演化的统计规律、网络上的模型性质、网络的结构稳定性、网络的演化动力学机 制等问题。 当前非线性复杂动态网络的研究正渗透到从物理学到生物学的众多不同的学 科，提出了许多更具挑战性的课题，人们对网络的复杂性奥妙的研究只是揭示了 冰山的一角，大量复杂网络的奥秘有待于深入探索和研究。从9 8 年以来，对于实 际网络统计性质的实证研究一直受到重视。大家都意识到这是复杂网络研究的基 周月平：合作竞争系统的网络描述9 础工作。再好的模型也要有实证数据的支持( 哪怕是间接的或者定性的) ，否则就 是无源之水、无本之木。在实证研究的基础上就可能把实际系统分类，找出每一 类的实证统计性质的共性。再进一步，就可能建立说明导致这些共性的动力学机 制的模型，阐明对这一类复杂系统的深一个层次理解。我们小组实证地研究了演 员合作网、中国旅游网、北京和扬州的公交网、中药方剂网、以及淮扬菜系网 1 5 2 1 ，在这类有两类顶点( 一类称为项目，另一类称为参与者) 的系统中，我 们用二分图来描述，我们从实证研究中总结出的第一个广义合作网络的共同统计 特征是：广义合作网络中顶点的度( 即一个参与者连接多少个其它参与者) 分布 和项目度( 即一个参与者参加多少个项目) 分布一般都具有处于幂函数和指数函 数这两种极端情况之间的s p l 分布函数形式为尸( s ) * o + 一，【2 l 】，而且具有密切的 一致关系。我们建议了一个网络演动模型来描述产生这种共性的机制。这个模型 和最著名的b a 模型的最根本不同，是假定在广义合作网络演动数程中，不是一个 一个顶点地连接进网络，而是一个项目一个项目地组织，从而构成整个网络。我 们认为对于广义合作网络，这是直觉合理的。我们解析和数值地求解了这个模型， 说明了上述度分布和项目度分布之间的一致关系，以及它们般具有处于幂函数 和指数函数这两种极端情况之间的结论，并且计算了能够得到这种特征的“项目 所含的参与者顶点数”分布函数。然后，我们把模型的研究结果与公交线路网络、 淮扬菜系网络、中药方剂网络、中国旅游线路网络以及好来坞演员合作网络等广 义合作网络的实证研究做了对比，发现很好地符合 1 7 。这样，我们完成了从实 践到理论、再从理论到实践的一个成功循环。结果很可能可以证明模型细节中所 包含的若干动力学机制思想对这些复杂系统( 的一个角度观测) 普遍成立。自然， 一个共同统计特征和解释它的一个动力学模型远远不够。必须继续从实证结果中 提取更多的统计特征，建议更多的动力学模型，寻找所有模型之间的联系，得到 更多的证据，达到更深入的理解。我们的研究倾向于说明这是完全可能做到的，并 且我们组也会继续朝这个方向去努力。 1 0 扬州大学硕士学位论文 参考文献 【l 】钱学森，于景元，戴汝为，自然杂志，1 3 ( 1 ) ( 1 9 9 0 ) 3 - 1 0 【2 】t v i e s e k , n a t u r e , 4 1 8 ( 2 0 0 2 ) 1 3 1 【3 】于景元，刘毅，科学学研究，2 0 ( 2 0 0 2 ) 4 4 9 【4 】戴汝为，操龙兵，系统工程学报，1 6 ( 5 ) ( 2 0 0 1 ) 3 7 6 【5 】方锦清，自然杂志，2 4 ( 1 ) ( 2 0 0 2 ) 7 - 1 5 【6 】j h a r t e ，p h y s i c st o d a y , 5 5 ( 1 0 ) ( 2 0 0 2 ) 2 9 3 4 【7 】复杂性专集，s c i e n c e , 2 8 4 ( 2 ) ( 1 9 9 9 ) 7 9 1 0 9 【8 】h o w 咖w o r k s b a r k 【9 】e r d 6 sp ，r 6 n y ia o nt h ee v o l u t i o no f r a n d o mg r a p h s p u b l m a t h i n s t h u n g a c a d s c i ，1 9 6 0 ，5 ：1 7 - - 6 0 【1 0 】w a t t sdj ，s t r o g a t zsh c o l l e c t i v ed y n a m i c so f s m a l l - w o r l d n e t w o r k s n a t u r e ， 1 9 9 8 ，3 9 3 ( 6 6 8 4 ) ：4 4 0 - 4 4 2 11 b a r a b 矗s ial ，a l b e r tr e m e r g e n c eo fs c a l i n gi nr a n d o mn e t w o r k s s c i e n c e ，1 9 9 9 ， 2 8 6 ( 5 4 3 们：5 0 9 - , 51 2 【1 2 】b o l l o b f i sb r a n d o mc n a p h s ，n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，2 4 2 0 0 1 【1 3 、a l b e r tr b a r a b 矗s ia l ，s t a t i s t i c a lm e c h a n i c so fc o m p l e xn e t w o r k s r e v i e wo f m o d e m p h y s i c s ，2 0 0 2 ，7 4 ：4 7 9 7 【1 4 、n e w m a nmej t h es t r u c t u r ea n df u n c t i o no fc o m p l e xn e t w o r k s s i a m r e v i e w , 2 0 0 3 ，4 5 ：1 6 7 2 5 6 【1 5 】t - x u ，j c b e n ，yh ea n dd 一r h e ，i n t e r n a t i o n a lj m o d e mp h y s i c sb ，l g ( 1 7 - 1 9 ) ( 2 0 0 4 ) 2 5 9 9 【1 6 】yh e ，x z h u ，d - h e ，i n t j m o d p h y s b1 8 ( 1 7 - 1 9 ) ( 2 0 0 4 ) 2 5 9 5 【1 7 p e i - p e iz h a n g ，k a nc h e n , y u eh e ，t a oz h o u , b e i b e is t hy i n g d ij i n , h u ic h a n g ， y u e - p i n gz h o u , l i - c h e n gs u n ，b i n s - h o n gw a n g ，d a - r e nh e ，p h y s i e aa3 6 0 ( 2 0 0 6 ) 5 9 9 - 6 1 6 。 【1 8 】z h ux i a n g y a n g ，h ey u c ，h ed a - r e n ，b u l l e t i no f a p s ，4 9 ( 1 ) ( 2 0 0 4 ) 1 0 0 7 【1 9 】张培培，侯威，何阅，何大韧，复杂系统与复杂性科学，2 ( 2 ) ( 2 0 0 5 ) 4 9 ； 【2 0 】h w h i t e ，c h a i n so fo p p o r t u n i t y ：s y s t e mm o d e l so fm o b i l i t yi no r g a n i z a t i o l l 周月平：合作竞争系统的网络描述 c a m b r i d g e ：h a r v a r du n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 7 0 。 2 1 】h u ic h a n g ，b e i b e is u , y u e - p i n gz h o u , a n dd a - r e nh e ，a s s o r t a t i v i t ya n da c t d e g r e e d i s t r i b u t i o no fs o m ec o l l a b o r a t i o n n e t w o r k s ，p h y s i c aa ( 2 0 0 7 ) ， d o i ：1 0 1 0 1 6 j p h y s a 2 0 0 7 0 4 0 4 5 扬州大学硕士学位论文 第二章广义合作网络中的二方组 2 1 、引言 9 8 年以来出现的复杂网络研究吸引了国内解越来越多的科学工作者的注意 力，作为公认的统计物理学前沿，也吸引了越来越多的物理学工作者的注意。这 种研究方法把复杂系统简化为点以及连顶点的线段的集合。用顶点来表示系统中 的元素、边表示元素与元素之间的相互作用 1 3 。这种描述方法尽管定义看似简 单，但是网络能够呈现高度的复杂性。复杂网络可以用来描述从技术到生物直至 社会各类开放复杂系统的骨架，而且是研究它们拓扑结构和动力学性质的有力工 具。因此人们致力于揭示复杂网络拓扑结构和功能的形成机制，演化规律，临界 相变和动力学过程，取得了巨大成果。我们小组曾经集中研究过广义合作网络， 在该类网络中有两种顶点，一种称为“项目”( a c t ，例如电影影片或科研论文) ， 另一种称为“参与者”( a c l o r ，例如演员或科研人员) ，对这样一类系统，可以用 二分图( 如图1 ) 来描述，把一个项目中的点之间两两连接，从而形成网络。 图2 1 1 、二分图 周月平：合作竞争系统的网络描述 我们用二分图的方法，对中药方剂网络画了一个示意图。 辛夷 图2 1 2 中药方剂网络示意i g l 4 】 在社会网络研究中“d y a d ”是一个很重要的概念【5 ，6 】。它在社会网研究的专 著中被翻译为“对角关系”( 【6 】：罗家德，社会网分析讲义) 或者“二方组”( 【6 1 - 刘军，社会网分析导论) ，本文采取后面一种译法。二方组受到重视，是由于“一 谈到关系，至少涉及一对行动者( 参与者) ”( 【6 】：刘军，社会网分析导论) 。也就 是说，二方组是社会网络的最基本单元，而且，它表示这对参与者的内在属性， 而不是其中某一个参与者的属性。在社会网络研究中二方组的定义是“两个参与 者及其间的关系”( 【6 】：刘军，社会网分析导论) ，也就是两个顶点以及联接它们 的边的集合。从其结构上来，二方组表示两个点以及两个点之间的连边。 在本章中我们讨论广义合作网络中的二方组性质，建议用新的统计参量“二 方组项目度”来描述二方组的主要特征， 这统计参量的分布规律，举出例子为证， 意义。 建立一个广义合作网络演化模型来讨论 并说明这个新统计参量的一些可能实际 1 4 扬州大学硕士学位论文 2 2 、二方组在广义合作网络中的统计量 在广义合作网络，项目度和点强度是重要的统计量，但是项目度和点强度仅 仅涉及到点的性质，而二方组表示的是两个点以及两个点之间的关系，顶点度和 点强度不能描述二方组的性质。我们用什么来描述二方组的性质呢? 最简单的也 是最容易想到的就是用二方组参与了多少个项目来描述，我们把它称为二方组原 始项目度用刀来表示。e = a 埔q j ，口j 是表示参与者和项目之问关系的矩阵 t 元，f 表示顶点，表示项目，如果顶点i 在项目，中则口u = 1 ，如果顶点f 不在项 目，中则口“= 0 顶点项目度和顶点的点强度也可以类似地表示为：e = 口，上 置= e j 。为了表示二方组参与的项目在二方组顶点参加项目总数中所占的分 j e f 量，定义吐。，= 皿+ q d f ，为二方组集体项目度，表示二方组中节点参加的项目 总量。最后归一化的“二方组相对项目度”则定义为： c q = d 口d , 。i = d i 、j i 忸t + h j d i 。4 以演员网络为铡，d i 。i = h 。+ h i d i 、i 表示。= 方组演员对”合演的影片数量d 一与两个演员总的影片数量之差，即二方组中节 点参加的项目总量。这个差越小，说明两人合作越密切，因此二方组相对项目度 越大。 2 3 、我们的最简化模型 我们首先讨论一个极端简化的情况。我们假设广义合作网络 ? - 9 中的顶点结 合成许多个独立的二方组( 二方组中的顶点都不重复) ，而且在网络演化过程中任 何二方组都不能解散或重组，即把这些二方组看成是广义合作网络的顶点，作为 网络演化的基本单元，称为“基本二方组”。实际上，这些基本二方组互相连接形 成完全图项目，一定会形成新的、与基本二方组共用顶点的二方组，我们把这类 二方组称为“非法二方组”。 设初始f = 0 时有册。个“基本二方组”，已经联接成若干个完全图项目，它们的 二方组项目度q 。之和为d o 。每步时间演化过程增加一个新基本二方组，在旧的 周月平：合作竞争系统的网络描述 “基本二方组”中按照一定法则选取一1 个( t 为偶常数，仍称为“项目含顶点 二 个 数”) 。上述选取；一1 个旧“基本二方组”的法则是以一定的概率p 随机选择、以 二 其余的概率1 叩优选选择，这样网络就随之建立。不管“基本二方组”还是“非 法二方组”，都是网络中的二方组，只是“非法二方组”不参与统计。 假设在旧的二方组中选择二方组形成项目的时候是以概率p 部分随机、以概 率1 一p 部分优选的。我们类似地仿照b a 模型的准连续近似解法【1 0 】来求解二方组 原始项目度，有： 方程可以写成 由( 2 ) 可解得 堡=p筝们刊可(t2-1)diot t r 、 z 么 盖叫等) + o - p ) 竿口 q = c , t 。耵。2 钆r 未 由初始条件q ( ) = l 可以得到 所以 l + 卫 e = 书崭， t l h d i = 【l + 焉】( 哪一而t p 尸( 口o ) ( d ) ) ， ，( 等尸所以 地 r ( 静1 令，7 = 石i 而t ，口= 夏兰茜，可以解得， 地蚋小华小。甜d + a ， ( 1 ) ( 2 ) 1 6扬州大学硕士学位论文 删= 丝锷p = 而r it 而d + a 广1 得到 p ( d ) = 1 + t l 口f 、d l + + 口a ) ，。- 1 ( 3 ) 二方组项目度分布是一个移动幂律( s p l ) 。容易得到当p = o 时，a = 0 ，( 3 ) 式变为 典型的幂律；而当j p - - ，1 时，a - * ，( 3 ) 式变为典型的指数函数。因此这个s p l 表 示幂律和指数函数之间的分布。当p 从0 到i 连续地变化时，二方组项目度分布 也连续地从幂律转变为指数函数。 图2 3 i 是网络顶点项目度分布的数值模拟结果。取项目大小为1 0 ，网络规模 为2 0 0 0 0 个顶点，每个时间步新增加一个新的基本二方组，同时在旧的基本二方 组中按照二方组项目度线性优选1 个基本二方组，随机选择3 个基本二方组。与 解析结果对比，关键参数口2 夏芏茜得口= 1 5 ，很好地符合 2 b 2 j3 03 23 43 b3 84 0 2 l o g ( d + 1 5 ) 图2 3 i根据最简化模型数值模拟二方组原始项目度分布 2 4 我们的稍微接近实际的模型 如果基本二方组和非法二方组都统计，二方组原始项目度分布的解析就非常 困难，暂时只能数值模拟来统计模型中的二方组原始项目度分布。图2 4 1 是网络 二方组原始项目度分布的数值模拟结果。 周月平：合作竞争系统的网络描述 1 7 图2 4 1 根据稍微接近实际的模型数值模拟二方组原始项目度分布 同样取项目大小为1 0 ，网络规模为2 0 0 0 0 个顶点，每个时间步新增加一个新 的基本二方组，同时在旧的基本二方组中按照二方组项目度线性优选1 个基本二 方组，随机选择3 个基本二方组。这说明计算非法二方组不会对结果造成定性的 影响。 2 5 二方组相对项目度 i o g ( c c + o 0 4 ) 图2 5 1数值模拟二方组相对项目度累积分布 同样取项目大小为1 0 ，网络规模为2 0 0 0 0 个顶点，每个时问步新增加一个新 的基本二方组，同时在旧的基本二方组中按照二方组项目度线性优选3 个基本二 方组，随机选择1 个基本二方组。图2 5 1 显示了数值模拟得到的二方组相对项目 度累积分布，它很接近于一个幂律。作为结论，按照我们的演化模型，网络的二 方组原始项目度分布一般采取s p i t 分布，而二方组相对项目度很接近于一个幂律 分布。这个结论是否有意义要看能不能得到实证结果的支持。 一一qo-。一d)60一 1 8 扬州大学硕士学位论文 2 6 、一些实证统计结果 再好的理论都要有实证支持，否则就是无源之水，无本之木。为了印证我们 模型的合理性，我们就需要实际系统的支持，作为实证我们统计了美国好来坞演 员网络、南京公交线路系统、杭州公交线路系统、上海公交线路系统、中国旅游 线路系统、中药方剂系统。下面是我们的一些统计结果。在实证统计中，自然不 可能区分合法、非法二分组，只能对所有二分组统计二方组原始项目度和二方组 相对项目度。 2 ，6 1 美国好来坞演员网络 我们把影片看成项目，演员看成是顶点，统计了1 2 7 8 2 2 部影片，其中涉及到3 9 2 3 4 0 个演员。 i o g ( d c ) 圈2 6 1 1好来坞演员网二方组原始项目度累积分布 i n ( c c + 0 0 8 ) 图2 6 1 2好来坞演员网二方组相对项目度累积分布 ( 统计了前5 0 0 0 部影片的数据) 一一uood)oo 周月平：合作竞争系统的网络描述 1 9 2 6 2 南京公交系统 1 l 一1 2 我们把公交线路看成项目，站点看成顶点，其中包含了2 5 2 条线路，1 7 6 4 个站点。 图2 6 2 1南京公交二方组原始项目度累积分布 - 1 j - 1 - 2 0 1 0 8 - ob - 0 4 - 0 2o od 20 4 i o g ( c c + 0 2 ) 图2 6 2 2南京公交二方组相对项目度累积分布 2 6 3 杭州公交系统【1 1 1 2 】 其中包含了1 5 0 条线路，8 2 7 个站点 t d j 6t82 0 2 22 2 02 ja o l o g ( d e + 2 ) 图2 6 3 1杭州公交二方组原始项目度累积分布 一(。ood)do一 一一oood)60一 2 0 扬州大学硕士学位论文 f o g ( c c + o 1 ) 图2 6 3 2杭州公交二分组相对项目度累积分布 2 6 4 上海公交系统【1 1 1 2 】 其中包含了9 6 8 条线路，4 3 7 4 个站点 图2 6 4 1上海公交二方组原始项目度累积分布 t o g ( c c + o 1 1 图2 6 4 2上海公交二方组相对项目度累积分布 2 6 5 中药网络【1 3 1 4 】 我们统计了具有中国特色的中药方剂网络，我们选用了文献 1 3 1 4 中的1 5 3 6 道 中药方剂( 完全图项目) 、6 8 1 种药材( 参与者) 。 一一。冀。)d)60一 一一qo3)d)60一 周月平：合作竞争系统的网络描述2 1 2 6 6 旅游系统 图2 6 5 1中药二方组原始项目度累积分布 i o g ( c c + 0 0 4 ) 图2 6 5 2中药二方组相对项目度累积分布 我们在网上搜集尽可能多的资料【1 5 】，统计了全国1 9 0 个旅游线路( 完全图项目) ， 2 1 9 个旅游点( 参与者) 进行了统计。 1 e1 j2 0222 42 m2 , 83 0 3 j3 , 4 l o g ( d e + 6 ) 图2 6 6 1旅游二方组原始项目度累积分布 扬州大学硕士学位论文 奄 o i g 邑 罟 1 一1 4 12 o m 8 - 0 8 m - 0 20 0020 i o g ( c c + o 2 ) 图2 6 6 2旅游二方组相对项目度累积分布 我们对中药方剂系统、中国旅游线路系统、南京公交线路系统、杭州公交线 路系统、上海公交线路系统进行统计分个，这些系统都是小数据系统，数据量少 是系统本身性质所决定的，不能因为我们更加努力就可以变多，而这些小数据网 络常常仍然具有理论或者实用上的重要性，有必要对它们进行统计研究，这些数 据尽管小，但是还能显