（理论物理专业论文）玻色爱因斯坦凝聚bec中的瞬子和孤子.pdf

摘要 b o s e - e i n s t e i n 凝聚体的宏观量子干涉现象一直是b o s e - e i n s t e i n 凝聚的一个热 点问题，人们运用了不同的理论分析和实验方法进行了大量研究。对于b o s e e i n s t e i n 凝聚体所满足的非线性s c h r s d i n g e r 方程，孤子解方法是一个很好的方法。另一个重要 问题就是凝聚体的隧穿。瞬子方法就是一个运用解g - p 方程的虚时动力学，而得到决定 亚稳态的衰减的动力学因子的过程来讨论体系的隧穿的方法。 本论文运用瞬子方法，详细推导了g p 方程的虚时动力学，得到一个与亚稳态的衰 减有关的动力学因子一b o u n c e - 5 的基本形式，结合文献进行了深入讨论。s 被看作某种 相互作用或者某种形式的拉格朗日函数的作用量( 同经典力学中的作用量) 。对于亚稳态， 这个时间积分可以拓展到无穷大，很好的符合了经典定义。给出了g 。p 方程的渐近形式 和各种情况下的动力学描述，讨论了体系的精确的孤子解。设计了非线性s c h r s d i n g e r 方程的数值算法，及其稳定性，给出了数值分析结果。 关键词：干涉；隧穿；瞬子方法；孤子；b o u n c es a b s t r a c t a l o n g w i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e a l i z a t i o no fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e si nw h i c hm a n y a t o m sc o u l db ei no n es a m em i c r o s c o p i cq u a n t u ms t a t e ，m o r ea t t e n t i o ni sa t t r a c t e dt ot h e d y n a m i c a lp r o p e r t i e so fs u c ham a c r o s c o p i cs t a t e t h e r e f o r e ，t h em a c r o s c o p i cq u a n t u m i n t e r f e r e n c eh a db e e nb e c o m i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n - c a u g h t a n dp r o g r e s s e sh a v eb e e n m a d ei nt h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n de x p e r i m e n t a lm e t h o d s t h es o l i t o nm e t h o di se f f e c t i v ef o r t h o s et os o l v et h en o n - l i n e a rs c h r f d i n g e re q u a t i o n st h a tb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e sf u l f i l l a n o t h e ri m p o r t a n to n ei st h eq u a n t u mt u n n e l i n go ft h ec o n d e n s a t e s ，w h e r et h ei n s t a t o n m e t h o dc a nb eu s e de f f e c t i v e l y i nt h es o l v i n g p r o c e s s ，t h er e a lt i m ep a r a m e t e r w i l lb e r e p l a c e db ya ni m a g i n a r yo n e t h ed e c a yr a t e ，o rt h et u n n e l i n gr a t ec a nb ed e r i v e df r o mt h e i m a g i n a r y - t i m eg - pe q u a t i o n t h eb a s i cf o r mo ft h ed e c a yr a t e - b o u n c esi so b t a i n e df r o mt h ei m a g i n a r y - t i m eg - - p e q u a t i o n ，a ss a m ea st h a tg i v e ni nt h er e f e r e n c e s t h es c a nb er e g a r d e da ss o m ei n t e r a c t i o n ， o rt h ea c t i o no fs o m el a g r a n g i a n t h ed e f i n i t i o ni ss a m ea st h ec l a s s i c a l f o rt h es u b s t a b l e s t a t e ，t h er a n g eo fi n t e g r a lc a nb ee x t e n d e dt oi n f m i t e t h ef o l l o w i n gp a r tg i v e st h ef o r mo f g - pe q u a t i o na st h et e m p e r a t u r et = 0a n dt h ed y n a m i c a ld e s c r i p t i o no fv a r i o u sc o n d i t i o n s t h e a c c u r a t es o l i t o ns o l u t i o no fs o m es y s t e mi sp r e s e n t e d t h en u m e r i c a lm e t h o do ft h en o n - l i n e a r s c h r 6 d i n g e ri sd i s c u s s e d ，a sw e l la st h es t a b i l i t ya n dt h en u m e r i c a lr e s u l t k e yw o r d s ：i n t e r f e r e n c e ，t u n n e l i n g ，t h em e t h o do f i n s t a t o n ，s o l i t o n ，b o u n c es i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取 得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编本学位 论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 日期 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：塞丝邋 ，日 期：趁牮厶( 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 b e c 简介 1 9 9 5 年美国j i l a 、m i t 、r i c e 小组用势阱约束、激光冷却和蒸发冷却技术分别在 r u 、n a 、l i 原子稀薄蒸气中实现了理论上预言的玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e - e i n s t e i n c o n d e n s a t e ，b e c ) 。这一突破轰动了整个物理学界，这是在创纪录的低温下产生了新物 态一宏观量子态。当年的1 2 月2 2 日s c i e n c e 杂志将b e c 选为1 9 9 5 年度的“分子，并 被评为世界十大科技新闻之一。1 9 9 7 年n o b e l 物理学奖授给b e c 的关键技术激光冷却的 三位科学家，2 0 0 1 年n o b e l 物理学奖授给实现b e c 的三位科学家【1 】：w i e m a n 、k e t t e r l e 和c o r n e l l 。s c i e n c e 和n a t u r e 一直在关注报道b e c 的最新进展。 1 9 9 5 年以前，人们关注的重点是产生b e c 的热力学机制。随着b e c 的诞生，研究的 重点开始转向b e c 这一宏观量子态的性质。b e c 是指：在由玻色粒子组成的系统中，当 系统的总粒子数守恒，温度降到临界值【2 】以下时，即使粒子之间完全没有相互作用也会 有宏观数量的粒子凝聚到同一个粒子态上，当温度与密度满足一定的关系：原子的德布 洛意波长相互重迭时，b e c 就出现了。b e c 的一个非常诱人的特点在于：所有处于凝聚 体中的原子一定严格保持行动上的一致性。这就使原来单个原子所表现出来的难以被观 察的行为放大出来，所以在凝聚体上发现很多新的现象引起了物理学界极大的关注。 b o s e - e i n s t e i n 凝聚体的宏观量子态干涉现象研究一直是b o s e - e i n s t e i n 凝聚的一 个热点问题，人们运用了不同的理论分析和实验方法进行了大量研究。对于b o s e e i n s t e i n 凝聚体所满足的非线性s c h r s d i n g e r 方程，孤子解方法是一个很好的方法。另个 重要问题就是凝聚体的隧穿。近来的实验表明，具有吸引相互作用的凝聚体在空间局域 体系中可以处于亚稳状态，各种各样的物理过程显示出吸引凝聚体具有一定的寿命。从 这些物理过程，可以辨别出哪是宏观量子隧穿( m a c r o s c o p i cq u a n t u mt u n n e li n g m q t ) ， 哪是非弹性二体和三体碰撞( i n e l a s t i ct w oa n dt h r e eb o d yc o l l i s i o n s i c o ) ，以及 哪是热致塌缩( t h e r m a li n d u c e dc o l l a p s e t i c ) 过程。文献对于宏观量子隧穿和热致塌 缩过程的分析中对凝聚体密度普遍运用了变形的高斯近似，而这种近似对凝聚体密度的 估算上相比平均场理论给出的凝聚体方程q p 方程的精确解来说，存在非常明显的误 差。瞬子方法就是一个运用解g p 方程的虚时动力学，而得到一个与亚稳态的衰减有关 的动力学因子的方法来讨论体系的隧穿的方法。 1 2 描述b e c 的平均场理论 二次量子化的场论可以精确描述具有相互作用的多粒子系统的动力学问题。但是当 粒子增多时，相互作用变得很复杂，所以只能得到一些形式上的公式，很难有精确的解。 l 东北师范大学硕士学位论文 = = = = = = = 二二_ 二二二二二= 一一 而平均场理论在一定情况下，是一个非常精确的描述方式。在稀磊丽面云戛蕊耳丽 可以用一个复的粒子常来描述它，这就是一个平均场。 1 2 1 有关b e c 的g p 方程 b o g o l i u b o v 将场算符分成两部分3 1 ：一部分是描写凝聚体的部分称为凝聚体波函数 沙扩，= ；部分是非凝聚态的场算符叙尹，= 拿c 力一妙扩，它满足 ：。则 场算符甲妒) 可写成 、y ( 尹) = 杪( 芦) + 烈尹)( 1 1 ) h = p 叭魂一羔v 2 + m ) ( 1 2 ) b o s e 场算符的运动方程在h e i s e n b e r g 表象下为 访辈罂：【每(尹)，日】dt 。 。 【蛔捌= m 蛔，札) ( 羔v 2 ( 尹) 蛔) 】 + 兰胁 慨俯) 吣) 诉) 蛔蛔】+ 三肛咐吲婚) 蚧响 = 卜嘉v 2 + ( 尹) 】晕( 尹) + 弦。y 扩一尹) p + ( 尹) 每( 尹) 童( 尹，) ( 1 3 ) 对于稀薄气体，低能下的相互作用项仅仅考虑二体碰撞，。十分有效且渐变得被个 虚参考量s 波散射长度描述为 k 耐( 尹一尹) = g 文尹一尹)( 1 4 ) 其中g ：4 r c l f l a 将( 1 4 ) 式代入( 1 3 ) 式可以得到以下关系 访塑i ) ： 一旦v ：+ ( 尹) 童( 尹) + g 举+ ( 尹) 阜( 尹)(15)t 2 。 m 蹦、7 。、7。o一 、。，- 、。， 、上u7 将( 1 1 ) 式代入( 1 5 ) 式 访( 警+ = 一嘉2 y 勃+ ( 缸咖嘶+ + 蛾妒+ 蛾妙+ 锄( 1 6 ) 又因为 东：l l d j $ 范大学硕士学位论文 沙( 尹? _ - o ， = 7 7 ，( 1 7 ) = 0 ， - - i f , = 0 ， - - 0 访警= 一嘉v 2 少吧y + 州y ( 1 8 ) 这就是g r o s s p i t a e v s k i i ( g - p ) 方程，可以非常精确的描述b e c 系统的波函数， 而且体现了凝聚体的宏观量子效应。使用条件是，s 波散射长度a 比原子间距离小很多， 凝聚体的原子数大于1 。b e c 系统的波函数不仅可以用含有各个粒子坐标的体波函数 以亏，乏焉) 描述，而且由于系统的高度相干性，还可以用单变量复函数沙( 尹) 描述。 这里，所涉及的范围是整个体系的宏观尺度，而且涉及宏观量的粒子数，所以y ( 尹) 也被 称为宏观波函数。可以把y ( 尹) 写成振幅和相位分离的形式 y ( 尹) = i y ( 尹) p 力 ( 1 9 ) 1 3 瞬子法与孤子解简介 量子隧穿是指微观粒子具有波动性而以一定的概率通过经典禁区( 例如势垒) 的过 程，它是一种没有经典对应的本征量子现象。在实现b e c 的过程中始终要解决如何防 止被囚禁的超冷原子遗漏出囚禁势阱的问题。我们知道，b e c 现象要求原子气体温度很 低、密度较高。然而随着温度的降低，原子的无规则热运动越来越弱，原子的德布洛意 波长如越来越长。当如增大到使相邻的德布洛意波叠加在一起时，则实现了b e c ，与 此同时超冷原子的波动性也表现得越来越强，原子隧穿出势阱的能力也越来越强，因此 掌握b e c 在势阱中隧穿规律，对控制b e c 凝聚体的状态具有非常重要的意义。 量子隧穿理论的出发点是计算由隧穿引起的两个宏观态1 个) 、i 、l ) 之间虚时跳跃几率 i，l， 幅- - f e y n m a n 传播子，可用自选相干态路径积分表示，其中引入了f = i t ，t 是时间，f 是 虚时间，虚时费曼路径积分可用定态相位微扰法计算【4 】( 或称瞬子法) ，所谓瞬子法即虚 时拉格朗日对应的经典粒子( 赝粒子) 。在量子场论中，瞬子实际上并不代表一种“粒 子 ，而是代表一个量子跃迁的过程。这种从场论里发展起来的方法可以直接推广到玻 色型体系( b o s o n i cs y s t e m s ) q h 。我们将周期瞬子的方法应用到量子隧穿上来计算b e c 亚 稳态的衰减指数，实际上就是常说的量子隧穿率( q u a n t u mt u n n e l i n gr a t e ) ，具体推导见第 二章。 孤子是2 0 世纪6 0 年代非线性科学的重要发现，它是由于非线性效应和色散效应精 确平衡的结果，可以使波在演化过程中保形，无弥散。最先人们发现等离子体中孤立波 相互作用后不改变形状，具有类似于粒子碰撞后不变的性质，因此它们被命名为孤子【5 】。 3 东北师范大学硕士学位论文 在弱相互作用的b e c 中也可形成孤子。对于低温稀薄气体，两粒子间的碰撞用参量s 波散射长度口。来表征。当口。 0 时粒子间的相互作用为排斥势，这时可以产生暗孤子。 当口。 0 时粒子间的相互作用为吸引势，这时可以产生亮孤子【6 】。在本论文的第三章详 细阐述了有关b e c 中的孤子的解法。 本论文主要从g p 方程出发，在平均场近似下，研究b e c 特性。具体内容为：第 一章引言，简介b e c 的g p 方程、瞬子、孤子；第二章推导出了虚时间动力学g p 方 程，初步讨论了如何运用瞬子法计算b e c 量子隧穿中的衰减指数：第三章给出研究b e c 中的孤子解；最后是总结和展望。 4 东北师范大学硕士学位论文 第二章b e c 中的瞬子 2 1 有关b e c 的g 。p 方程及瞬子方程 由径向激发引起的b e c 在各种各样的实验中【7 。1 0 1 ，形成了关于7 l i 原子不均匀的 b e c ，当 忆( n 1 3 0 0 ) 时处于亚稳状态，实验与理论推想是一致的”1 3 1 。由于 原子间的引力作用，这样的凝聚在胗脱必然坍缩，但是在 他的情况下受能量或热 隧道引起的影响也会出现坍缩。在平均场理论中b e c 被描述成一个场函数，那么就找 出量子隧穿在平均场中有效的精确模型。控制8 5 肋原子间相互作用的方法已经有了一 些进剧1 4 】，在用实验法控制量子隧穿方面翻开了崭新的一页。 至今为止，有关b e c 量子隧穿的研究主要是通过假想的高斯波函数【1 2 】。严格地说 一旦平均场方程给定了，这样的的假设就不成立了：平均场方程本是非线性方程，其 本身决定了动力学性质。为了寻找解决对应量子衰变的方案，我们应用到了有关瞬子 的理论，场算符演变的虚时间【1 5 】，由它得到的对应的许多平均场体系的理论 1 6 , 1 7 ，它 给出了衰变率f = a e ，指数s 就是最好的平均场瞬子，叫做b o u n c e 。可以先通过修 改原来的平均场虚数时间方程找到球形b e c 的精确解，得到一个密度等式并在数值 上解出这个方程。然后再来检测高斯拟设( g a u s s i a na n s a t z ) 。 由于已获得有限振幅的b e c 径向振荡的实数时间的方程。通过虚时间的应用也 可以找到决定这些间歇缓变模型( b r e a t h i n gm o d e l s ) 的周期性瞬子，通过这样的方法就 可以从平均场公式中获得接近不稳定的球形冷凝态共有的动力学特性方程。 含时的b e c ，g p 方程为【1 8 】 ， 2 f 壳a ，y = 一姜l 二v 2 y + ( 圪印+ g i 州2 ) 矿 ( 2 1 ) 公式中是静态势阱势能，g ：业，对于一个静态口是波的散射长度，聊是 原子质量，这里波函数是归一化的d 3 r i y ( ，1 ) 1 2 = n ，n 是凝聚中所有原子的个数。 ，r 一 这里我们认为它是一个简谐波，球对称势阱2 吉聊2 ，2 ，d o2 纰作为 长度单位，为时间单位，7 i 鳓为能量单位，改变波函数的归一化条件，为 韧j 矽( 厂，f ) 卜z 2 办= 1 。 为了简化等式，令妒( ，t ) = r y ( ，t ) 将其带入g p 方程中 5 东北师范大学硕士学位论文 饶争等掣+ 西 r 整酪7r 瓦a o 一_ 軎+ 陟+ k 钳 泣2 ， 这个方程被称为瞬子方程，由它我们就得到b o u n c es ，即亚稳态的衰减率。 这里k = 4 感，扩散的密度分布数为p ( ，f ) = ，2 i 沙( ，f ) 1 2 ，对于定态有 ( ，_ ，f ) = o ( r ) e x p ( - i a ) ，是单粒子的能量或者化学势。对于每个 忆情况在势垒的顶 端都有两个定态，一个是亚稳态，另一个是不稳定的态，就像后面图1 中所显示的【1 3 1 。 图1 在 n = 4 刀f 却，2 由此我们得到下面的公式 】= 2 群d q 、i 2 b ( q ) v ( q ) - e ( 2 9 ) 它把初始密度减至最低限度( 注：b e cq aq ( o ) q ( 钐) ) ，势能y ( q ) = p ( q ) 呦】- 4 万胁警+ 尹12 + 等】 旺 而有效数量参数b ( q ) = 研厂( q ) 】 r 望、2 阳) - 4 万f 咖等 ( 2 9 东北师范大学硕士学位论文 这里y ( q ) 与b ( q ) 都与厂有关，注意公式( 2 9 ) 是不随控制变量的变化而发生变 化的，对于一个可变因数g ，曰( q ) = b ( q ) ( d q d q ) 2 由能量表达式( 2 4 ) 可得 2 鼍铲，刍= 塑d r ，圣= ( a ! 聊( 妒们q ) 2 3 讨论 由公式( 2 8 ) 揭示了用q 比用z 表示要好一些，覆盖b a r r i e r 的区域q f 值为3 0 5 0 的点之间密度为p 。( s ，q 。) 初始值的先后顺序受研p 】最小值的影响。此时在q = q f 的 条件下反复修正限制密度，关于p 专r 的详细描述与( 2 1 ) 式中的相近，当r 2 接 近r = o 和当振荡接近无限大时就可由( 2 8 ) 式解出，关于数值计算我们引入了一个 口( r ，f ) ，函数p ( ，力= ，2 p 2 酬，f l ，来表示关系式a ；厂一a r p r 形。 其具体过程如下：我们已有( s ，力= s e s p 2 口s f 这里s = 厂2 静态g p 方程可得到a ( s ) 的方程 2 s 窘+ ( 等) 一尝 + 3 塞一2 + = o ( 2 1 2 ) 这里( - - - 一 对于更大一些的s ，口。( f l 2 ) l n s 1 8 1 由归一化的妒可给出下面的两个式子 邢) = 丝2l i l s + c 一警+ 喀) ( 2 1 3 ) 当湖时经常性的解法必须满足 等( o ) = 吾( 一占十膨2 螂) ( 2 1 4 ) 这些边界条件给出了一个解决方案：对于一个给定的k 我们假设一些g 和c ，取 比较大的渐进值把( 2 1 3 ) 中的s 代入( 2 1 2 ) ( s - - o ) 。核对公式( a 3 ) 并进行归一化 和对和c 进行修正直到满足我们的要求为止。 用一个新的可变因数秒：( 杉磊形，并把2 印因式分解出来，我们改变( 2 8 ) 式 得到： 丢步+ q 2 专立a q 一等可+ - 2 + 叩警叫】) = 筹 ( 2 朋) l o 东北师范大学硕士学位论文 当q 2 = 2 吵9 一勺坯( q ) 时，上式就可理解为既适用于瞬子又适用于振荡的情 况。r 陋】代表( 2 1 2 ) 式的左边部分( 1 h s ) ，让我们把l h s 称作( 2 1 5 ) 式的，如果 f = 0 ( 没有时间依赖) 就可以找到式子( 2 1 2 ) 的静态解，为了得到瞬子解可以逐阶 的解( 2 1 5 ) 方程。已有些a ( s ，q f ) 可以计算e = f ( s ，q i ) 。对于每一个e 就像解决 一个普通微分方程那样解方程( 2 1 5 ) 得到一个新的a ( s ，q i ) 。这种方法，就像固定 一个情况，去调整( 2 1 3 ) 的近似在s - - o 这个适当的规律条件。新旧f 被结合来用作 下一个e 。经过对e 的一系列的修正使其达到自恰e ( 砌) = e ( 一) 。初始密度以( s ，q ) 被获得了，并用作不止限制在虚时间方程步骤的哈里程序。文献中利用r u n g e k u t t a m e r s o n 程序来整合方程( 2 1 5 ) 能量是利用1 2 8 个等距点计算出来的，这里 n = 0 - 4 5 ，三次样条插值函数( a n d t h ec u b i cs p l i n ei n t e 印o l a t i o nf o rd 嘶v a t i v e s ) 。如 果使网格密度增加一倍，并没有发现对结果有任何影响。 也可以用p ( r j ，q ) 作为独立变量来处理( 2 9 ) 式，p ( r ，g ) 来自p ( r ，才) 不精确满 足( 2 8 ) 式，但对于s 却可以更精确0 1 。 这个数值结果经过精确处理在文献中已被7 l i 采用。这就使k = 一5 7 4 1 0 3n 变得很有价值，就可以得到一个具有决定性价值的k 其数值介于7 2 2 4 9 和7 2 2 5 5 之 间( n 。在1 2 5 8 7 和1 2 5 8 8 之间) 。 由图1 中可以得到e 与q 之间的关系，这里，v ( q ) 与v p 。( q ) 】在限制p ( r ，q ，) 时是同一的，当n n 。时在q ( 0 ) 和q ( 衫2 ) 之间是很平坦的。对于比较小的，在 最高点附近就变化得比较尖锐了，在q 小的一侧更陡一些，所有获得反弹的结果都是 由初始密度的判断而得来的。对于比较大的。和更加紧密的q 2 和重的关系如式子 ( 2 1 5 ) 中所示。这种修正逐渐变得复杂了。当n 1 2 0 0 时，无法得到( 2 8 ) 式的精 确结果【或者说对于一个小于q ，的值有一个固定不变的p ，( ，q ) 】。 在图2 【1 9 】中由各种瞬子得到的结果是统一的，表示对于不稳定的b e c 共有的运动 存在着一个普遍的惯性。在限制n ( k ) 振幅时这个可以作为一个接 f ( r ，o ) 的一个静 态结果来理解厂与关系不大但与c 关系密切。 东北师范大学硕士学位论文 图2 不同瞬予的质量参数4 妒( q ) = 曰( 虿) 在同一个图形中的图像，在高斯结论 中4 缈( q ) = 1 3 对于有许多变振幅6 ( f ) 的高斯密度户( 尸，彳) = 才6 3 ，2e x p ( 一r 2 b 2 ) 来说，公式( 6 ) 中的流密度= 6 ( 6 ) p ，质量参数b ( 6 ) = ( 4 衫6 ) f r 2 p d r = 3 2 【1 2 】【2 1 1 因此高斯密度 q = 3 b 2 2 ，这里4 缈( q ) = b ( 虿) = l 【1 3 1 正如在图2 中见到的，这是一个有关亚稳态最 小值的直接猜测，在最高点附近q 值很小时就很难得到。s 的误差来自于b 的高斯准 则大约3 - 4 。在图3 中的反弹振幅万办在，非常接近零，同时q 很小时可以达到 0 0 1 ，与限制的固定值万。步是不一样的。 1 4 1 2 1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 0 图3 ( 在一个有限的7 ( 0 4 1 的单位) 范围内b o u n c e 穿过势垒，如图所示亚稳态密度 p ( r ，) 与p ( r ，f = 3 4 3 ) 是一样的) 下面谈谈有关b e c 的集体径向振荡( c o l l e c t i v er a d i a lo s c i l l a t i o n s ) 及它们的衰减 1 2 东北师范大学硕士学位论文 率。除非周期必须被换成和必须被心= 舰+ 壳纪所代替，其余情况正如前面 计算过的，能量为h r o , 激发态的量子隧穿在( 2 8 ) 式中已得出。所以我们必须把边界 条件限制在p ( r ，f 口2 ) 同时能量也必须是力鸭。 不能像在公式( 2 8 ) 中解决含实数时间情况那样精确地解决瞬子问题，但是作用 量s 对详细的解决方案是不敏感的，所以这个最低量化的元还是很精确的。可以从 甄周围( 即所谓的波哥里波夫光谱( b o g o l y u b o vs p e c t r u m ，见【2 3 1 ) 的g p e 线形方程得 到小幅度振荡的频率的比较是很有意思的。第一激发态h c o l 几乎是一样的，但是比 波哥里波夫模型中的最小幅限制小一点，除此之外当n = 1 2 5 5 时，在很小的v ( q ) 中是 不存在的。对于更高态的模型壳皑，当n = 2 ，3 ，4 时可以粗略的计算出它是壳q 的 多少倍( 详见表1 ) ，而这代表了一个集体径向振荡的近谐波波谱。当n = 2 ，3 ，4 态 时比第二波哥里波夫模式( b o g o l y u b o vm o d e ) 小，保持略高- 于4 h r _ o o 。 1 2 5 50 1 32 6 7 4 43 3 5 64 3 0 51 3 6 x 1 0 2 1 2 5 0，0165 7 5 5 29 4 44 7 5 6 3 4 3 x 1 0 1 n = l0 9 7 60 1 8 82 5 2 4 43 1 5 6 1 2 4 50 1 8 91 3 0 9 71 6 3 0 66 8 7 5 i x 1 0 _ n = l1 0 8 60 2 0 87 6 9 3 49 5 7 8 n = 22 1 1 2o 2 1 73 5 6 3 64 4 3 7 1 2 4 00 2 0 71 9 0 8 22 3 6 6 28 84 3 2 x 1 0 j 7 n = l1 1 6 90 2 2 41 3 4 3 61 6 6 6 1 n = 2 2 2 9 2 0 2 3 49 0 3 4 61 1 ；2 0 3 n = 33 3 7 30 2 4 15 1 4 6 46 3 8 2 1 2 3 0 0 2 3 83 1 9 83 9 3 3 51 2 3 1 9 2 4 x 1 0 卅 n = l1 2 6 80 2 5 22 6 0 8 43 2 0 8 3 n = 22 5 1 80 2 62 1 3 4 72 6 0 2 5 7 n = 33 7 4 80 2 6 71 7 0 7 62 1 0 0 4 1 窒q q q ：圣q 墨z 互：垒鱼q ：箜 2 1 ：1 2 2 。6 3 苫l q ： 表l ( 文献) 利用量子振荡已经找到了一些低态下的集体径向激发的周期性瞬子及其衰变指 数的计算方法。像这样周期为万p 的瞬子与描述当温度为k t = 衫彳。 2 4 】的亚稳基态的 lp 所谓的“t h e r m o n 是很相似的。这种共性很容易理解：量子态的热激发引起的热衰 减在经过比较小的屏障时不受亚稳基态和连续隧穿的影响。对于一个更高的温度激发 光谱和隧穿是不相干的，而当屏障能量( b a r r i e re n e r g y ) 巴= n e b 热隧穿指数为 1 3 东北9 币范大学硕士学位论文 e x p - ( e 。- e ) o t o o ) 时，取代低温度条件下的一些最低激发态的热混合机率 e x p ( - s 。) 。当这种情况发生时临界温度乃由k ( 疋) = k ( z ) 决定。 数值结果已在表1 中，2 4 列与k 有关还与所有b e c 粒予间的相互作用有关。亚 稳态b e c 粒子7 l i 的衰减指数由c o o = 9 0 8 4 1 s - 1 【8 】计算，如果前因子 ( f r o o ) e 5 = ( q ) ( 15 2 功夕2 【6 1 这里彩l 时有小幅度限制得来的。精确的前因子是很 难精确计算的但是必须与t a b l e l 中的顺序是一致的。得到f 的数值与参考文献【1 3 】中 的数值是很接近的，在文献 1 3 中对于一个很小的b 的影响是通过高估v ( q ) 的差值而 偶然减少至一半的。 当数值为刀时的模式的衰减指数s 。的减少，它们在基态时与s 的比较在表1 中的 第5 列可见。例如当n = 1 2 4 5 时在b e c 径向模型中n = 2 时的量子衰减是与胙1 2 5 5 时 b e c 基态近似一样的。热衰减支配量子隧穿时交温度z 是近似的，忽视前因子，所以 尼) = 毛一这里t h e b 枷e re n e r g y e b = n e b ，亚稳态时e = n e ，激发态时 e = n e 。对于后者临界温度的含义与下面这个基态问题相类似：假设一个凝聚处于 振荡态刀，问哪一个热速度指数瓦( 玎) 可以等价于瞬子作用量s 。这些比率( 表1 ，第 3 列) 表明目前可观测量r ，= 9 0 8 4 1 s _ 1 相应的f = 6 9 4 k ，瓦zi n k 都是基于基 态和径向激发的基础上的。我们注意到，对于所有描述从第刀个集体径向振荡衰减的 有限的周期为的瞬子，像 t 。) ，当它们在自己的m e m l o n 温度时它们支配着 热衰减。 ( 表1 ，第4 列) 中数值里显示( 。一) f 与。很接近，这里孝z 1 2a 考虑 现在两种不同关于b e c 的关键性粒子数札和c 。对于不是很大的m n 和c 一 我们得到了相同的衰减指数。满足这样的关系c 一= ( c 一) ( 乞砭) 1 - 必这里 1 一2 。其结果是，例如：当形= 6 2 9 4 i 对，毛eb e c 中札一= 1 2 可以得到与 之对应的s - - 9 4 4 ，当m = 2 5 1 7 6 时m 一n = 6 7 。 总之凝聚体的密度方程，同时描述了虚数时间和实数时间的球型b e c 动力学方程 被确切的阐述出来，而且精确的瞬子解同时也是集体径向振荡的解。文献中已经精确地 数值表示出来了。报道实验的文献中指出量子隧穿某种程度上将被热衰减所覆盖。 东北师范大学硕士学位论文 第三章b e c 中的孤子 3 1 体系的动力学描述 3 1 1 g r o s s p i t a e v s k i i 方程及渐近条件 在极低温条件( t ；0 ) 下，稀薄碱金属原子蒸气【3 0 1 被磁光阱约束于谐振子势的作 用下，g - p 方程可写成 娩掣= 一羔v 2 毗) + 丢聊噍；2 毗) + 2 而力( 3 1 ) 这时y ( ，f ) 是单粒子的b e c 波函数，m 是单粒子质量，q 啪是谐振子角频率， g ：4 7 h 2 a 为耦合常数，口为s 一波散射长度。 我们仅仅研究角动量量子数为0 的体系，事实上现在所有的文献 3 1 1 都是研究这样的 体系，因为角动量激发在b e c 基态系统中并无太大的实际意义，甚至会导致无法从数 值计算角度求解。下面我们具体考虑具有不同空间对称性的体系。 j 1 2 二维琢珂称恽系网明刀罕憎还 对于三维球对称体系的零角动量态，g - p 方程成为 统挈= 一嘉v 2 晌) + 三聊2r 2 _ 咖) + g 2 而，) 仅仅考虑径向波函数杪( r ，f ) = 趔，且使用谐振子长度单位z ：生) 1 1 ，和时间 ，|2 m ( o 单位f = a i r ，将三维方程化为一维偏微分方程 r 挈斗轰+ 号“佣竽揪卅 2 ， 其中c = 1 分别代表排斥和吸引相互作用( 即：对应着暗孤子和亮孤子) ， 力= c y = 2 n a ( _ 生) - 称为三维非线性常数。 2 m o ) 进一步考虑其定态性质时，冬纵嘣) = 尝2 e 一扭肺，且使用谐振子长度单位和谐振子 能量单位= # ，定态g - p 方程就表达为 ，z g o 1 5 东北师范大学硕士学位论文 卜嘉+ 丢 册学= 肺) ( 3 3 ) b e c 单粒子波函数的归一化条件有 4 庀f 矿驴) r 2 d r = f 2 ( 石) 出= l ，且不随时间演化变化。 考虑，一0 jo ) 时的渐近条件，此时径向波函数叭，) 趋于一有限值，因此 妒( x ) ：y ( r ) r 。0 ，且妒( x ) ；丛生一某一有限值 对于定态，矽1 f 石) 并不满足文献上的关系，而是有 考虑r 寸o o ( x 一) 时的情形，此时径向波函数y ( ，) 应满足自然边界条件，不过对 于定态有更细致的分析， 面d 2 矽+ 一1 4x 2 ( 3 5 ) m ) = 防x 2 1 4 + ( f l - 1 1 2 ) l n x 纵班c ( _ 主+ ( 夕一三) e 。m 伊l 2 m ， 3 1 3 二维极坐标对称体系和三维柱坐标体系 由于理想二维均匀b o s e 子气体并不发生凝聚，但在理论上预言非均匀二维b o s e 子 气体的凝聚条件：7 i 哆d 互d 1 ；对于隐式格式 n + 1 - - 石墨面，对任何垃都是稳定的，且演化算符日本征值的模( “岛2 a t 2 ) i l o 不过这时的数值演化不具有精确解的重要的幺正性质，且波函数的模方随时间不 断减小，最后，这两种格式在时间域上都是一阶精度【3 0 l t 3 1 1 。我们采用c a y l e y 格式，这 种格式是二阶精度，且是幺正的： n + 1 - - e - 黜n 糍】矽” 同时我们可以证明这种方法是满足守恒律的，采用差分方程的算子形式，与( 3 1 4 ) 中同样的处理方式，最后得到了守恒律的差分形式，因此此种方法被称为守恒格式。 这时时间、空间差分的结果出现了一个复三对角型系统，实部和虚部分开处理时 出现了非线性耦合，一般的文献采用g u a s s 消去和回代的办法，十分繁琐，且算法占用 内存空间很大，我们采取一种独特的变量代换，巧妙的避开了耦合现象，从而化成三对 角形非线性方程组求解。 1 9 磊丽丽丽广塑塑塑邀 g p 方程( 3 1 4 ) 的差分格式为 z 华= 一如蝴一牡喇) + ( 畋。一劈砌 + 吾弓咖册挚c 坳 。2 0 ) 退耦合处理乃= 秽+ l + 彩后的格式为 x y 1 + - - 2 - h 2 弓x j 2 + 册警k2 + 坼，：竿蟛 2 ， 分解成实部和虚部有 1 + 心“弋专咖翻驴i 2 h 2 匕雌- = 警谚 v j + , + - 2 - h 2 弓x j 2 + c n 警峨2 h z 4 h 2 8 ，k 2 2 采用三对角追赶法经过繁杂但必须细心的推导后得到追赶公式： 一蒜 - 2 卅( 扣翻等h 】2 + 莓i ”丙。三i - 野- x - + 雨心搿( 扭翻等m 】2 + 萃i 伽一竺坚坚等i 望筵：竺塑 -2-h2(1勺2+c?j羹j乏卜，-一-彤,2，、-兰,c-享n三：了2 = 一竺- 二2 12上1哆2+a二：7：二：1 4 型h 2 * 二：至2 h 2 二竺二至2 竺 - 2 - h 2 ( 1 可+ c n 妒乡1 2 一2 季2 h 2 万 u j q = q j q p j 七8 畸 、j h 2 q 妒j 七q j 七8 ， 对于一维体系有类似结果。 ( 3 2 3 ) 东北! i 币范大学硕士学位论文 对- t 一维1 本糸g - p 万栏退祸合后的结果与二维和一维硐个i 司的彤式，为与读者j ；匪 导对照，我们也做一下分析，因为算法上一点的差错会使会对以后的研究影响很大。 g p 方程( 3 7 ) 的差分格式为 牮k+lk = 一万1 惭k + l 一2 秽+ 1 十喇) + ( 磅一2 彤+ 鲫 + 南 ( 喇一蚪) + ( 筑一磅1 ) 】+ 三孵一+ 册警 ( + 秽) 。2 4 退耦合处理z ，= 矽y + 矽；后的格式为 c - 一瓦h 十心- h 2 ( x f - 勺+ 册等帆一警_ 州+ 寺= 一警矿 c - 一虿hh + 心- 矿( x _ 1 石，+ 翻等鹏+ 警吩川+ 专心= 等嘭 追赶公式有 - 2 - h 2 ( x j 2 1 巧+ 册警) + ( 1 一专蚓( 1 + 勺 一丙再筝志知奄奄 等州一砉哪+ 勺 l2 丙i 弓葛再奄巧 ”一筹藕簇一 一 堡：! 二圭：竺竺二圭兰二兰竺! - 2 - h ：c 乒毒+ 册等川一专2 + 等艄一勺硝 一筹蓑麓一 等+ ( 1 一去心】【( 1 一去) + 警矿】 。【- 2 一三( _ 2 一毒+ 册 i k 产1 2 ) + 【，一瓦h ) 】2 + 【警+ ( 1 一去) 】2 东北师范大学硕士学位论文 能量本征值的求解方式： n l s e 的含时波函数y ( ；，f ) 可以分解为空间定态( ；) 和时间演化矿部分，因此 坦! 盟：矿啦薪 ( f ) 一。州等) 一l y ， r e ( 等)沙u ) ( 3 2 5 ) 一鞣k_k+l“k+l k 伍2 6 ， 舻一毒芦荔 邸趵 这种c r a n k n i c h 0 1 s o n 格式的稳定性和精度上的优越性使它可以处理任何势场下的 线性和非线性s c h r o d i n g e r 方程随时间演化问题，凡是有关量子力学上不能精确求解的 势场下的s c h r o d i n g e r 方程，我们都可以给出其定态波函数、能量本征态、随时间演化 的位相特性以及势场突发微扰的动力学问题。 3 4 结论和讨论 研究b e c 问题时，其中原子间的相互作用是一个核心问题。原子间的相互作用项 相应于g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程中的立方项，即立方项的系数正比于散射长度。散 射长度有可能为正有可能为负：当散射长度为正时，相对应表示的是排斥相互作用体系， 存在着暗孤子；当散射长度为负时，相对应表示的是吸引相互作用体系，存在着亮孤子。 在吸引相互作用体系中，一维凝聚体中可形成孤子，然而在二维和三维b