（理论物理专业论文）非线性系统中噪声关联理论.pdf

摘要 揭示非线性系统中噪声所产生的各种重要效应，研究这些效 应产生的物理机制及其应用，已成为当今统计物理学和非线性 科学发展的重要任务之一。迄今对单个噪声所产生的效应及应 用进行了较为广泛和深入的研究，并取得了丰硕的成果。近年 来，人们又将注意力转移到多涨落驱动的非线性系统的研究方 面，取得了一些重大的发现，如随机共振现象，非平衡涨落诱 导输运等，这些发现不仅标志着非线性随机动力学理论的研究 进入了一个崭新的发展阶段，而且为其开辟了十分广阔的应用 前景。但是，在已有的关于多噪声的理论中，一般先验地假设 各噪声之间相互独立无关，忽视了由于体系与噪声在非平衡环 境下的耦合而导致的噪声之间的关联效应，于是人们又开始对 非线性系统中噪声关联效应进行研究，并成为目前国际统计物 理学研究的重要前沿课题之。 近年来，我们对非线性系统中噪声关联效应进行了较深入 的研究，取得了一些有重要意义的成果，特别是发现：噪声关 联的锁定现象；噪声关联使系统产生新的相变现象f 即r e e 。t r a 。e 现象) ；噪声关联能诱导输运叠本文集中报导我们对非线性系统 中噪声关联的问题所进行的一系列研究，主要包括以下四个方 面：非线性系统中噪声白关联的理论；非线性系统中噪声色关 联的理论；噪声关联诱导输运；单模染料激光系统中噪声关联 对系统瞬态性质的影响。 7 首先，直接建立了噪声白关联驱动的非线性系统的基本方 程，即利用投影算子技术得到k 个白噪声具有白关联驱动下的n 维随机系统的f o k k e r p l a n c k 方程。研究噪声白关联效应对双稳系 统的定态统计性质和瞬态性质的影响，研究发现：在完全关联 和噪声强度相同的情况下，布朗粒子将被锁定在其初始状态。 我们首次将自噪声具有色关联的观点引入非线性随机系统 中，利用泛函方法和h a n g g i 假设，从理论上推得了一般非线性系 统所满足的f o k k e r - p 1 a n c k 方程。利用所提出的理论对双稳态系统的 定态性质进行了全面的研究。随后对噪声具有色关联的随机系 统的相变研究发现了新物理现象：在一定条件下，双稳态系统 将随着噪声关联强度的变化将发生一种新的相变现象- - r e e n t r a n c e 现象。这一新现象的意义在于“结果很可能应用到十分广阔的 领域”( p h y s r e v l e t t 审稿人语) 。 首次将噪声关联观点引入具有周期结构的系统中，寻找到诱 导输运的新机制。研究发现：当外驱动力与一个随机过程耦合 时，在系统的势结构具有空间对称和外驱动力具有时间对称的 情况下，噪声关联能诱导出输运。这样突破了人们原有的关于 涨落诱导输运的条件：或系统的势具有空间不对称性，或外驱 动力具有时间不对称性，两者必居其一的观点。 最后，将非线性系统中的自噪声关联理论应用于激光系统， 对噪声关联( 白关联) 驱动下单模染料激光系统的瞬态行为进行 研究，得到了噪声关联驱动的激光系统的第一通过时间分布的 平均、方差和协方表达式，并讨论了璨声关联对瞬态性质的影 响。 关键j 司：非线性系统，噪声白关联，噪声色关联，双稳系 统，定态分布，瞬变性质，锬定现象，柑变广糯单模染料激 光 t h e o r yo ft h ec o r r e l a t e d n o i s e s i nn o n l i n e a rs y s t e m s j h y a a b 8 t r a c t r e v e a l i n gv a _ r i o u si m p o r t a n te f f e c t sb r o u g h tb yn o i s ei nn o n l i n e a rs y s t e m s ，s t u d i n g o nt h ep h y s i c a ln a t v r eo ft h e s ee f f e c t sa n dt h e ba p p l i c a t i o n s h a v eb e e no n eo ft h e i m p o r - t a u tw o r k si nt h ep r e s e n ts t a t i s t i c a lp h y s i c sa n dn o n l i n e a rs c i e n c e u pt on o w ，t h ee f f e c t s b r o u g h tb ys i n g l en o i s em a dt h e i ra p p l i c a t i o n sh a v eb e e ns t u d i e dw i d e l ym a dd e e p l y ，m a d r e a pr i c hr e s u l t s i nr e c e n ty e a r s ，s c i e n t i s t sh a v et r a n s f o r m e dt h e i ra t t e n t i o n si n t ot h e s t u d i n go nn o n l i n e a ys y s t e md 1 w e l tb yn o i s e s ，n dg o t5 0 i mh n p o r t a n td i s c o v e r i e s f o r i n s t a n c e s t o c h a s t i cr 脚n a c ep h e n o m e n o na n dn o n e q u i l i b r l u mf l u c t u a t i o n - i n d u c e d t r a n s p o r t t h e s ed i s c o v e r i e sa r en o to n l ym a r k i n gt h en e wr e s e a r c hp e r i o do fn o n l i n e a r s t o c h a s t i ct h e o r y , b u ta b mo p e n i n gu paw i d er a n g eo fa p p l i c a b i l i t yo ft h es t o c h a s t i c t h e o r y h o w e v e r - t h o u g hv a x i o u sn o i s e sa r ec o n s i d e r e ds i m u l t a n e o u s l yi nt h ep r e v i o u s t h e o r y , t h e ya r et r e a t e da 8i n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s 。t h ee f f e c t so fc o i t e l a t i o nb e - l l v e e nn o i s e sb e c a u s eo ft h ec o u p l i n gb e t w e e ns y s t e ma n dn o i s e si nt h en o n e q u i l i b r i u m c a 踮a r ei g n o r e d ，s ot h ee f f e c t so fc o r r e l a t i o nb e t w e e nn o i s e si nn o n k 砰s y s t e m s h a v e b e e ns t a r t e dt os t u d y , a n db e c o m eo n eo ft h ei m p o r t a n tf o r w a r ds u b j e c t si n t o d a y s s t a t i s t i c a lp h y s i c s w eh a v ed e e p l ys t u d i e dt h ee f f e c t so fc o r r e l a t i o nb e t w e e nr o i s t gi nm n e s y s - g e m si r e c e n ty e a r s - a n do b t a i n e ds o m ei a n p o r t a 皿r e s u l t s ，p e c i a 】yt h el o c k e dp h e - 蛐皿o n 、t h et e e n a n t ep h a s et r a n s i t l o u sp h n o m e n o nm a dt h ec o r r e l a t i o nb 唁霄却n n o i s e e - h a d u c e dt r z n s p a “ht h i s h 醯，t h ei n v e s t i g a t i o n so ft h ec o r r e l a t e d 0 i 嘲缸 n o n l i n e a r 叼偿k 瞄a r eq 嘲船哑赫i c a i l yr e p o r t e d ，w h i c hi n c l u d ef o u ra s p e c t s ：t h et h e o r y o ft h e 抵c o r r e l a t e db c - n o b 。e mh n o n l i n e a rs y s t e m ；t h et h e o r yo ft h e h c * n k t dk 钿钟n 咖晒m n o a l i n e a r 。p 曲t h et h e o r y0 ft h ec m t e l a t e d - 豳蕾五d c e d t r a m 删；m a dt h ee h e c t so fc o r r e l a t e d 吨o rt h et r a m a i s m tp r o p e r t i ao ft h ee i a g l e m o d e ld y el a s e r af u n d a m e t a le q u a t i o na b o u tt h en o n u n e a rs y s t e m sd r i v e nb yc o r r e l a t e dn o i s e s i sd i r e c t l yp r e n s e n t e d it h a ti s ，t h ef o k k e r - p l a n c ke q u a t i o no fn - d i m e n s i o n a ls t o c h a s t i c s y s t e m si s d e r i v e db ya p p l y i n gt h ep r o j e c t i o nm e t h o d t h es t e a d ys t a t ep r o p e r t i e sa n d t h et r a n s i e n tp r o p e r t i e so fb i s t a b l es y s t e md r i v e nb yw h i t ec o r r e l a t e dn o i s e sa r es t u d i e d i ti sf o u n dt h a tt h eb r o w n i a np a r t i c l ei sl o c k e di ni t si n i t i a ls t a t ew h e nt h ei n t e n s i t yo f a d d i t i v en o i s ei se q u a lt ot h ei n t e n s i t yo fm u l t i p l i c a t i v en o i s e w ef i r s t l yd r a wt h ev i e w p o i n tt h a tt h ec o r r e l a t i o nb e t w e e nw h i t en o i s e si s c o l o r c o r r e l a t i o ni n t on o n l i n e a rs t o c h a s t i cs y s t e m s ，af o k k e r - p l a n c ke q u a t i o nf o rag e n e r a l n o n h n e a xs y s t e mi st h e o r e t i c a l l yd e r h e db yu s i n gt h ef u n c t i o n a l - c a l c u l u st h e o r ya n dt h e h a n g g ia n s a t zb yv i r t u eo ft h et h e o r yw ep r e s e n t e d ，w es t u d yt h es t a t i o n a r yp r o p e r t i e so ft h eb i s t a b l es y s t e md r i v e nb yc o r r e l a t e da d d i t i v ea n dm u l t i p i i c a t i v en o i s ew i t h n o n z e r oc o r r e l a t i o nt i m e t h e nan e wp h y s i c a lp h e n o m e n o no fn o n , n e a rs y s t e mw i t h c o l o rc o r r e l a t e dn o i s e si sd i s c o v e r e d ：u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n it h eb i s t a b l es y s t e mu n d e r g o e sa a s u c c e s s i o no ft w op h a s et r a z t s i t i o n - - t h er e e n t r a n c ep h e n o m e n o n ，a st h es t r e n g t h o ft h ec o r r e l a t i o n sb e t w e e nt w ow h i t en o i s e si sv a r i e d t h es i g n i f i c a n c eo ft h i sp h e n o m e n o ni s “t h er e s u l t sp r o b a b l ya p p l yt oab r o a d e rc l a s s ”( t h ep o i n to ft h er e f e r e e o fp h y s r e vl e t t1 w e f i r s t l yp u tt h ep o i n to fc o r r e l a t e dn o i s e si n t ot h es y s t e mw i t hap e r i o d i cp o t e n t i a l ， a n df i n dt h en e wc o n d i t i o nf o rt r a n s p o r t o u rr e s u l t ss h o wt h a tt h ec o r r e l a t i o nb e t w e e n n o i s e sc a ni n d u c et r a n s p o r t j e v e nw h e nt h ep o t e n t i a li sc o m p l e t e l ys y m m e t r i ci ns p a c ea n d t h ed r i v i n gf o r c i n gi ss y m m e t r i ci nt i m e t h e r e f o r e ，w eh a v eb r o k et h ev i e w p o i n ta b o u t t h ec o n d i t i o no fn o n e q u i f i b r i u mf l u c t u a t i i o n - i n d u c e dt r a n s p o r t ：e i t h e rs p a t i a la s y m m e t r y o rt e m p o r a la s y m m e t r y f i n a l l y ，t h et h e o r yo fn o n l i n e a rs y s t e mw i t hc o r r e l a t e dn o i s e si sa p p h e dt ot h ed y e l a s e rs y s t e m t h em e a n ，v a r i a n c e ，a n ds k e w n e s so ff i r s t p a s s a g e t i m ed i s t r i b u t i o n sf o r w h i t e - n o i s e l o s sm o d e la n dt h ew h i t e - n o i s e g a i nm o d e la r eo b t a i n e d ，a n dt h et r a n s i e n t p r o p e r t i e so fs i n g l e - m o d ed y el a s e ra x ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m w h i t ec o r r e l a t e d n o i s e s lc o l o rc o r r e l a t e dn o i s e s ， b i s t a b l es y s t e m ，s t e a d y s t a t ed i s t r i b u t i o n it r a n s i e n tp r o p e r t y , l o c k e dp h e n o m e n o n ，p h a s e 致谢 这篇论文的完成，离不开几年来我的导师李家荣教 授的精心指导、严格要求和倾注的大量心血。当我师从 于他以后，他的做人品德、他的献身精神、他的严谨治 学态度，深深地感染着我，并将永远激励着我不断地进 取；他富有启发性的谆谆教诲、他对问题敏锐的洞察力 和特有的思维方式，使我在科学研究上受益匪浅；他对 我的学习和工作给予了热情鼓励和具体帮助，使我倍感 关怀。 感谢刘连寿教授对我的关怀和支持，他为理论物理 重点学科的发展和青年人的成长呕心沥血。耳濡目染他 的工作作风和严谨治学态度，将使我受益终生。 感谢华中理工大学的曹力教授和吴大进教授多年来 在学术上所提供的热情帮助和指导。感谢北京师范大学 的胡岗教授对我的研究所给予的鼓励和支持。感谢陈 立华教授在我的硕士阶段曾给予的教诲和指导。感谢 r f f o x 教授的有益的建设性意见。感谢物理系的领导和 粒子物理所的老师们从各方面为我提供的许多支持和 照顾。 在学习期间，能经常与我的老同学郑小平博士、胡 响明副教授、侯德富副教授进行有益的讨论，从他们那 里学到了许多知识，特向他们表示谢意。 最后衷心地感谢我的父母亲对我的教养，感谢手足 之情的关心，感谢妻子的理解。向所有关心和帮助过我 的老师、同学和朋友们致谢。 第一章引言 十九世纪下半叶，统计物理作为一门新兴的分支学科进入了 物理学。玻尔兹曼著名的等概率原理和玻尔兹曼方程 1 】为统计 物理的创立奠定了基础。玻尔兹曼、麦克斯韦【2 】等人将概率的 语言引入被决定性理论统治的物理，是物理学发展史上的场 革命。二十世纪初，吉h 斯的系综理论的建立，标志着平衡态 统计物理理论已趋于成熟f 3 】。整个二十世纪，量子力学、相对 论和统计物理的建立和发展，代表了物理学在探索基本粒子的 微观世界、宇宙天体的宏观世界和耗散不可逆的复杂性这三个 最主要的前沿。特别是统计物理的研究对象覆盖了各种不同空 间和时间尺度的过程，与人们的日常生活紧密联系，这一分支 的前沿发展正引起广泛的学者的密切关注和强烈兴趣。 二十世纪初，爱因斯坦对布朗粒子运动的开创性研究4 , 5 1 和 著名的朗之万( p l a n g e v i n ) 方程【6 】的建立，标志着统计物理探索非 平衡系统的动力学行为的开端。从此，将随机性作为一个专门 的研究对象，研究随机力( 噪声或涨落) 的性质以及它对各类宏 观系统的影响，成为统计物理学的一大分支。本世纪下半叶， 非线性科学的蓬勃发展是整个自然科学领域的一件大事。这一 发展使统计物理大大开拓了自己的领域，得到了新的强劲的发 展动力。八十年代起，研究噪声对非线性系统的作用也成了非 1 线性科学发展和现代统计物理理论的一个重要国际前沿1 7 】。特 别是近二十年来，对噪声作用下的非线性随机系统的研究取得 了一些重大的突破，不断有一些重大的研究发现，如随机共振 8 - 2 1 】、涨落诱导输运 2 2 一删等。这些重大的研究发现不仅引起 世界各国的科学家特别是国际理论物理学界的高度重视和关 注，而且标志着非线性随机动力学理论的研究进人了一个崭新 的发展阶段，并为非线性随机动力学理论开辟了十分广阔的应 用前景，如在生物学、气象学、化学、激光物理、低温超导、固 体表面科学、粒子物理等等领域开始得到了广泛的应用，成为 现代理论物理与其它自然科学相交叉的一个重要的结合部，大 大推动了这些学科的发展，同时也成为这些相关学科新的研究 增长点。 5 1 1 物理学研究中的随机层次 在物理学中，可以从微观、宏观和随机三个层次来描述一 个物理系统，即所渭的微观层次、宏观层次和随机层次【2 1 】。那 么，什么是物理学中的随机层次呢? 这三个层次的区别和联系 又是什么呢? 为了回答以上问题，我们从一个具有n 个自由度的经典哈 密顿系统开始。给定一哈密顿量 h = h ( q x ，q 2 ，一，q n ；p l ，p 2 ，p a r )( 1 1 1 ( 以下用矢量q ，p 代表共轭的n 个广义坐标和动量】 q ，p 运动的正则方程 a 日 a h 毋2 石 a 2 一瓦 其中i = 1 ，2 ， 2 我们可以得到 ( 1 2 ) 正则方程( 1 2 ) 可以用另一等效的刘维方程来代替。我们考虑 m 个具有完全相同啥密顿( 1 1 ) 的系统( 这m 个全同系统的集合叫 作系综) 。以n 个啦坐标和n 个p 坐标构成2 n 维的笛卡尔坐标( r 空间) 。对应每个系统的一组q ，p 坐标，在r 空间中有一个代表 点；而对应一个系综的m 个系统，在i 、空间有m 个代表点。令 d ( q ，p ) 为系综在( q ，p ) 处代表点的密度，则 一( q ，p ) = 掣 ( 1 3 ) 虽然是系综中一个代表点落到( q ，p ) 处的概率密度，在统计物理 中人们已经熟知，描述系统运动轨道的正则方程( 1 2 ) 可以用描 述概率密度( 1 3 ) 的刘维方程来等效地表示： 百3 p ( q , p ) = 日，p ) ，饵p ) = 薹( 筹毫一面0 1 t 瓦a p ) ( 1 4 ) 原则上只要我们给出2 n 个初始坐标q d o ) 、肼( o ) ，i = l ，2 ，； 或给出概率密度函数的初始分布p ( q ，p ，t = o ) ，正则方程( 1 2 ) 就唯 一地决定了r 空间的一条规道威刘维方程( 1 4 ) 唯一地决定了概 率密度函数的演化过程p ( q ，p ，圳。又如果我们能解出这条轨道【或 解出刘维方程l ，则系统的一切性质都知道了。所以，用正则方程 ( 1 , 2 ) 或刘维方程( 1 4 ) 来描述系统的层次被称作微观层次。尽管 在以上讨论中我们以经典的力学系统为例，但这类在微观层次 描述系统的图象在物理系统中是普遍存在的：无论力学系统是 经典的还是量子的，是牛顿的还是爱因斯坦的；也无论系统是 力学的还是电磁学或其他类型的。 微观层次描述的优点是这种描述给出了系统演化的详细信 息。然而，在许多场合，这种描述是不现实的。人们已经知道， 即使看来十分简单的二维哈密顿系统，只要日中包含q i 、“二 次以上的项，要预言正则方程( 1 2 ) 所次定的轨道的长时间行为 将会十分困难，很多情况下系统的运动已经是混沌的 2 1 j 。随着 n 的增加，求解( 1 2 ) 的困难将迅速增加。所以，对于我们感兴趣 的宏观系统( n 1 ) ，求解( 1 2 ) 的轨道就成为根本不可能。例如： 考虑室内n 个相互作用的分子( n “1 0 2 3 ) 的运动。首先我们不可能 全部掌握t = 0 时n 个分子中每一个所处的位置和速度；其次， 假设知道了这些初始条件，也不可能严格解出这么多的联立方 程。即使有朝一日人们能够做到以上两件事( 当然这是不可能 的) ，所得到的轨道对外界微扰也极为敏感，一个细微的外界环 境变化会根本地改变轨道的运动形式，而对外界的微小影响我 们是无法控制的。幸好在实际问题中，人们对每个分子在每一 时刻的状态并不感兴趣，而感兴趣于这些众多分子的集体行为 所表现出来的宏观性质，如某处的温度、压强、分子密度分布 等。这就提出了一个任务：根据问题的性质和人们感兴趣的物 理内容，将微观层次的描述转化为其他可以进行数学处理的问 题来处理。 实际问题中人们感兴趣或可以测量的宏观物理量，是对各种 可能的微观轨道的统计平均的结果。在进行这种统计处理时， 刘维方程( 1 4 ) 及相应的系综分布函数p ( q ，p ，t ) 可以作为比正则方 程更方便的出发点。假设实际问题涉及以下宏观物理量 ， = x i ( q ，p ) p ( q ，p ) d q d p f 1 5 1 o 其中i = 1 ，2 ，n ；n n 。又假设这些宏观量遵循以下封闭的宏 观演化方程 黾= ，i ( x ) ( 1 6 ) 其中i = l ，2 ，n 。陧然不可能从微观方程( 1 2 ) 或( 1 4 ) 严格得到 方程( 1 6 ) ，由于n n ，q 的方程通常不可能封闭】，适当地选择宏 4 观变量文和宏观变量数n ，我们可以把引起宏观变量演化的原因 4 唯。象地分成两个部分：一部分是持续对宏观变量的动力学过程 起作用的因素，由方程( 1 6 ) 表示；另一部分是除( 1 6 ) 以外由( 1 a ) 必然导出的其他部分。后一部分的性质极为复杂，它通常反映 了微观粒子运动对宏观变量的影响( 以下简耸地称之为微观作 用】。在n 非常大时，微观作用与前一部分宏观动力因素相比要 小得多。忽略微观因素的干扰，方程( 1 6 ) 常常是描述宏观变量 的很好的近似，所以，方程( 1 6 ) 被称为宏观方程。用宏观方程 来研究宏观变量演化的方法也叫作宏观描述，方程( 1 6 ) 称为确 定性方程，因为它确定了宏观量的初值与演化轨道之间的一一 对应。 要想精确求出宏观方程中被略去的部分是不可能的，因为 这相当于精确求解方程( 1 2 ) 或( 1 4 ) 。但对这一微观作用的性质 作一些粗略的分析是可能的。首先，这一作用与宏观量相比是 很小的；其次，既然它反映了微观世界的运动对宏观变量的影 响，它变化的时间尺度与宏观运动相比要小得多，从而，这一 作用可以看成快速变化、随机、不可预言的。所以人何又形象 地把这类影响叫做“随机力”、“噪声”或“涨落力”。我们可 以在宏观方程( 1 6 ) 的基础上通过引入随机力f ( t ) 来考虑微观运 动对宏观变量的影响 面= ，i ( x ，f ( 0 ) ( 1 7 ) 其中扛1 ，2 ，1 n 这就是物理学对复杂系统介于微观和宏观层次 之间的一种描述，并称之为随机层次描述。通常，这种含有随 机力的宏观变量的演化方程被称为朗之万( l a n g e v i n ) 方程，是我 们今后讨论非线性随机系统问题的出发点。与微观层次相比， 随机层次的数学处理要简单得多。它与宏观方程一样，只考虑 5 n 个宏观变量m ) 。而与宏观层次相比，它包含了比确定性 的宏观方程( 1 6 ) 更多的信息，它通过随机力考虑了微观作用。 当然，对这种随机力的处理比起严格求解方程( 1 2 ) 和( 1 4 ) 作了 极大的简化。我们对产生这种随机力的微观世界的运动详情不 感兴趣，而只关心随机力( 以下称为噪声) 对宏观量演化过程的 影响，以及噪声对宏观系统所带来的新物理效应。 l - 2 噪声 噪声，一方面，与宏观量相比是很小的，另一方面，它反映 了微观世界的运动对宏观变量的影响，它变化的时间尺度与宏 观运动相比要小。得多，因此，噪声的作用可以看成快速变化、 随机、不可预言舶。既然噪声强度很小，而且又反映了微观运 动对宏观变量演化过程的杂乱无规的作用，人们自然期待这种 噪声对宏观运动的影响是小的，而且通常可以被处理为消极的 干扰。然而，本世纪7 0 年代以来非线性科学和统计物理的最新 发展告诉我们，一个小的噪声并不仅仅对原有的确定性方程结 果产生微小的改变，它能出人意料地产生重要得多的影响。在 一定的非线性条件下，它能对系统演化起决定性的作用，甚至 能改变宏观系统的命运。这种无规则的随机干扰方面可以使 宏观系统由有序变为无序，另一方面也可以使无序系统变为有 序。所以，揭示非线性条件下噪声产生的各种重要效应，研究 这些效应产生的条件、机制及其应用，b 成为目前非线性科学 和统计物理发展的一个重要任务。上面历讲的噪声，其起源被 认为是系统内部动力学的结果，通常称为内噪声。对于宏观系 统来说，噪声还可以有外部起源，即外都世濞的运动对所研究 的系统的影响，这种噪声称为外噪声。如果系统的运动受某些 6 外参数控制，贝哇由于控制参数的涨落引起的噪声就是实际中最 常见的外噪声。因为外噪声的引入与系统本身的尺寸无关，所 以它可大可小。而在我们后面的研究中，认为外噪声的强度是 小的。另外，系统的内噪声常常是加性的，即噪声与系统的随 机变量无关；而外噪声常常表现为乘性的，即噪声作用与随机 变量的变化有关。如果噪声簿) 具有以下统计性质 ( ( t ) ) = 0 ，( ( ) ( t ) ) = 2 d & ( t ) ，( 1 8 ) 将f ( ) 的关联函数进行傅里叶展开 r s 和) = e - - 1 w v 2 d 6 ( t ) d r = 2 d ，( 1 9 ) j 其功率谱s ( u ) 与u 无关，即谱是白谱，故像( 1 8 ) 那样时间关联函数 为5 函数的噪声称为白噪声。当然，认为不同时刻的噪声完全不 相关只是一种近似。事实上，真正的白噪声是不存在的。因为它 需要无穷大的功率才能产生出来( w “，s 和) 幽= 盥2 d 幽= o o ) 。 噪声总有一定的相关时间，具有非零相关时间的噪声叫作色噪 声。一种常用的色噪声模型是相关函数为指数型的高斯色噪声 ( ( t ) ) = 0 似雌) ) - d ( 一幽t o ) ， ( 1 1 0 ) 其中t o 就是( ) 的相关时间，当r o 一0 时，( 1 1 0 ) 式就回到( 1 8 ) ，即 白噪声是色噪声相干时间趋于零的极限。具有( 1 1 0 ) 相关函数的 噪声的功率谱为 荆= e - i w r d ，。e 印(桀) 打= 研d 它和u 的关系是罗伦兹函数关系。最近二十年来，非线性系统 中的色噪声效应一直是随机理论研究的主要课题之一，与此同 时处理色噪声问题的各种理论也不断地被提出来，如小r ( 噪声 关联时间) 理论【4 0 ，4 1 】，泛函理论【4 2 - 4 4 】，退耦合理论f 4 5 】，统一色噪 声理论【4 6 ，4 7 】，幂级数的双重展开理论【4 8 ，4 9 等。 7 1 2 噪声关联 当人们要研究一个实际系统的噪声效应时，如果只考虑内噪 声或只考虑外噪声的影响是欠妥的，因为实际( 有限大小) 系统 往往受到的各种噪声的同时作用。如激光系统【5 0 - 6 s ，晶体的点 阵模型 删，液晶中结构形成的过程【6 7 】，液氦超流体湍动中的破 缺分岔模型1 6 8 ，6 9 】等。近年来，对于多个噪声同时驱动的随机系 统人们进行了广泛的研究i 7 0 - 7 5 。在这些研究中，人们也不难发 现尽管考虑了各种噪声的同时作用效应，但总是假设各种噪声 之间相互无关，没有考虑到噪声之间存在相关的可能性。当各 种噪声具有相同的噪声源或耦合在系统上的各种噪声由于系统 的非线性作用时，都有可能使得噪声之间产生相关效应【7 6 7 9 】。 于是，研究噪声之间的关联效应又成为9 0 年代以来随机理论研 究的一个重要的前沿课题，特别是近几年来，关于噪声关联的 研究发展十分迅速，并取得了重要的进展【8 0 - 9 9 。下面简述这方 面的研究成果。 1 9 9 1 年，f u l i n s k i 等1 8 0 】研究了双稳系统的噪声关联效应， 结果表明：噪声关联一方面对系统定态分布两相( 一个是单峰 分布相，另一个是双峰分布相) 之间的跃迁有较大影响，另一 方面，由于噪声的关联效应，使得加性噪声对系统的作用大大 加强。1 9 9 3 年，z h u 【8 1 】将噪声关联的观点引入单模激光系统， 研究了噪声关联对系统定态性质的作用，发现噪声的关联效 应对激光光强的定态分布、平均、方差和协方有十分显著的影 响。同年，f u l i n s k i 等f 8 2 】研究了双态噪声( d i c h o t t o m i cn o i s e ) 之间的 关联对微观粒子在d i m e r 中输运的影响。1 9 9 4 年，c a o 和w u 8 3 f 纠 正了f u l i n s k i 等文中f 8 0 1 的错误，提出了一套正确的处理非线性系 统中自噪声关联问题的方法，同时1 8 4 】系统地研究了噪声关联 r 对双稳系统定态性质的影响，：i _ 9 9 5 年，w u 和c a o 等【8 5 1 利用统一 色噪声理论研究了具有乘性色噪声( 由白噪声驱动) 的非线性系 统中自噪声之间的关联效应。同年，耷噪声的自关联时间和噪 声之间的关联时间相同情况下，w e i 等 8 6 给出了非线性系统的 f o k k e r - p l a n c k 方程。1 9 9 6 年，m a d u r e i r a 等 8 7 1 对噪声关联作用下双 稳系统中粒子的活化率进行了研究，研究表明：噪声关联控制 着粒子活化率的快慢程度。与此同时，人们对激光系统中的噪 声关联效应也进行了一些研究【8 8 - 9 1 1 。 本文主要是作者近几年来对非线性系统中噪声关联的若干 重要问题所做的一些工作f 9 2 9 9 l ，主要有以下四个方面： 一对非线性系统中噪声甘关联理论进行研究。直接建立 了噪声白关联驱动的非线性系统的基本方程，即利用投影算 子技术得到k 个白噪声具有白关联驱动下的n 维随机系统的 f o k k e r - p l a n c k 方程。研究噪声白关联效应对双稳系统的定态统计 性质影响。其次深人研究了噪声关联对双稳态系统瞬态性质的 效应。 二对非线性系统中噪声色关联理论进行研究。首次将白 噪声具有色关联的观点引入非线性随机系统，利用泛函方法和 h a n g 西假设，从理论上推得了一般非线性系统所满足的f o k k e r p l a n c k 方程。利用所提出的理论对双稳态系统的定态性质进行 了全面的研究。在所提出的白噪声之间具有色关联理论的基础 上，对噪声具有色关联的随机系统的相变研究取得了突破性进 展，研究发现：在一定条件下，双稳态系统将随着噪声关联强 度的变化将发生一种新的相变现象。随后，又对色噪声与白噪 声具有色关联的随机系统进行了研究，并再次对双稳系统的统 计性质进行了研究。 9 三对噪声关联诱导输运进行研究。首次将噪声关联混点引 入具有周期结构的系统中，寻找到诱导输运的薪机翻。研究了 当外驱动力与一个随机过程耦合对，在系统的势结构具有空间 对称性和外驱动力具有时间对称性的情况下，噪声关联也能诱 导出输运。这样突破了人们原有的关于涨落诱导输运的条l f 牛： 或系统的势具有空闽不对称性，或外驱动力具有时间不对称 性，两者必居其一的观点。 四将非线性系统中的自噪声关联理论瘦用于激光系统，对 曝声关联( 白关联 驱动下单模染辩激光系统的瞬态行为进行研 究，得到了噪声关联驱动矗g 激光系统豹第一通过时翔分布构平 均、方差和协方。 本文以下内容就是按照以上四个方面进行安捧豹。 1 0 第二章非线性系统中噪声白关联理论 f u l i n s k i 和t e l e j k o 【刚虽然研究了在两个白噪声驱动下的双稳 系巍且噪声之间为白关联( 即噪声之间的关联函数为5 函数) ，并 得出系统的定态几率相变受到噪声关联强度强烈影响的结论， 但在其文章中也存在严重的不足【8 2 ，9 2 】：( 1 ) 在将两个关联噪声变 换成两个非关联噪声的推导过程中出现了数学上的错误；( 2 ) 没 艟给出描述具有噪声关联的非线性系统的f o k k e r - p l a n c k 方程；( 3 ) 投有对系统的定态性质( 如定态矩、定态分布等) 和瞬态性质进 行讨论。在本章中，我们首先在2 1 中从一个n 维非线性随机系 统所满足的l g n g e v i n 方程出发，直接推导出一个用于处理噪声白 关联问题的一般f o k k e r - p l m u c k 方程；其次，利用我们所得到的一 般f o i d k e r - p l a z t c k 方程，在2 2 和2 3 中，对双稳系统在噪声白关联 豹作用下的定态性质和瓣态性质分别进行研究。 2 1 非线性系统中噪声f 白关联理论f 9 2 】 考虑n 雏宏观变量q = ( q x ，q 2 ，哪) 满足下列l a n g e v i n 方程 警= 驰) - i - g t z k ( q ) ( ) ， ( 2 1 ) 其中p = 1 , 1 2 ，七= l ，2 ，m ；厶( q ) 和g 时( g ) 一般是q 的非线性函 数。噪声缸i t ) 是高斯的，具有零平均，关联函数为 缀( t ) 铽呦= h ( t ，s ) ( 2 2 ) 若p t ( t ，s ) 正比于5 0 一s ) ，则噪声( ) 是白噪声，且噪声之间的关 联为白关联；否则，为色噪声和色关联。在方程( 2 1 ) 中及本章 以下文中重复指标表示求和。与方程( 2 1 ) 相对应的随机l i o u v i l l e 方程是 丢m ，归一寿胁) 协础) 洲t ) ( 2 3 ) 引入相互作用表象p ( ) ( g ，) = , = p ( ( a a q 。) ( 口) 咖( q ，) ，于是方程( 2 3 ) 可 变为 。 岳艘州) = f ( t ) p 仇) ， ( 2 4 ) 式中f ( ) 是一个随机算子，且 州= 一p 去“办 毫。越a m e z ，( 一乇肌，t ， c 。固 并具有( f ( 1 ) ) = o 的性质。j 一 一、： j 。? ；。 、 。 ： 、jj 。5 2 4 j 曼且率事度的积分一攀分方程 。为了得到系统。几率密度p i 【“t ) 所满足钓积分一微分方程，孤 定兑2 个投影算乎p ，即旁= 户和户口( f ( t ) ) = ( ( ) ) ) ，对方程( 2 f 利用投影算子方法_ ；f l 嘲及v a nk a m p e n 定理f 1 0 1 ，1 0 2 ：p ( q ，t ) ；( p ( q ，t m 可得到系统几率密。度p ( g ，0 所满足的积允微分方程 去p ( q ，t ) = 一毫厶( g ) p ( q ，t ) 十上d t f k ( t h ) p ，) ， ( 2 _ 6 ) 其中影响毒数核k p y ：茫。t r ) ，并且 娜卜唧 妇十砷m e 叫亳脚7 ， 一p ， j 、 j t ( f f 即= e 印 一亳矗( 班】f 啦1 班。一2 出。“f ( 州j 一句j 州砌( ，橱喇( 卜咖一- 燃? e 印高眦冲 n = 3 ，4 ，( 2 8 ) 方程( 2 6 ) 是n 维随机系统( 2 1 ) 的几率密度最一般的时间演化方 程。由于影响f i l i 数核k ( t i ) 具有特殊的性质，在一定条件下，由 方程( 2 6 ) 可得系统的f o k k e r - p 1 a n c k 方程。下面讨论影响函数核的 性质。 2 1 2 影响函数核的性质 定义关联时间1 k 和关联强度d “1 7 6 】： ；觇j c t 如嘣和) ，巩础；。l i m f o c t 将( 2 8 ) 式中的被积函数用垂表示 西o ，t l ，t ) = f ( 0 0 一p ) f c t l ) ( 1 一p ) f ( t 2 ) ( 1 一p ) f ( t 。一1 ) f ( t ) ) t t l t 2 一 ( 2 1 0 ) 可以证明【l o o l ，壬具有团特性( c l u s t o rp r o p e r t y ) ：若将t ，t 1