（应用数学专业论文）脉冲混合微分系统的稳定性研究.pdf

独创声明 y5 9 8 4 2 2 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的 学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：韩t 诧明 导师签字： 签字日期：2 0 0 4 年牛月2 日签字日期：2 。4 年弘月z g 看 脉冲混合微分系统的稳定性研究 韩晓明 ( 山东师范大学数学系，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文，我们主要讨论了脉冲混合微分系统，即 其中，c r + xr “xr “，r - ，如c r “，r “】1 h c r n ，r ” ，k = 0 ，1 ，2 ，脉冲混 合微分系统来源于实际生产研究中的物理模型，是脉冲微分系统的推广 在实际生产过程中，出现了许多新的物理模型，其中有一类仅用脉冲微分系统 无法恰当地描述比如给厂房配电，不同时间段内电流所满足的微分方程是不同 的，甚至依赖于前一时间段最后一时刻电流的值这时，就需要考虑具有瞬时脉冲 摄动性质的一族新的脉冲微分方程，对这样的系统我们一般称为具有可变结构的脉 冲微分系统该系统是一类特殊的但很重要的具有可变结构的脉冲微分系统，它的 特点就是不同时间段内的微分系统可以不同，并且后一段时间段的系统依赖前一时 间段 由于右端出现了h ( 。 ) 一项，故与以往不同，需要先假设系统 iz = s ( t ，。，a k ( ) ) ， 【。( ) = 旷，y + = y + 氏( 口) 的解对任意固定的y r n 和k = 0 ，1 ，2 都在 t k ，t k + 1 上存在脉冲混合微分系 统可以看成脉冲微分系统的推广，当不同时间段内的微分系统相同时就简化成为脉 冲微分系统，因而本文所得到的结果也适用于脉冲微分系统 本文主要借助l y a p u n o v 直接方法和比较方法的思想讨论了脉冲混合微分系统 关于两个测度的稳定性和实际稳定性，以及集合稳定性的问题我们所利用的l y a p u n o v 方法和以往的常规方法有所不同，主要表现在该l y a p u n o v 函数不再局限于 沿系统轨线单调递减，也不再局限于对离散或连续部分分别设置条件，而是对其离 散和连续部分设置混合条件基于这些思想，本文给出了一系列充分条件来判别脉 冲混合微分系统关于两个测度的稳定性在直接判断系统稳定性的时候，我们不一 定能选取一个恰当的l y a p u n o v 函数来满足定理条件这时，我们就需要考虑采用 2 = 叭 m ”一 枞翁 +仉 ”| 扣 h 芦而 对也嚣跏一烈 多个l y a p u n o v 函数的方法来解决问题同时，比较原理将复杂的向量系统和简单 的纯量系统之间建立联系，所以我们可以在较少的条件下得到较强的结果本文结 合多个l y a p u n o v 函数的方法和脉冲混合微分系统的比较原理给出了该系统关于两 个测度的实际稳定性脉冲混合微分系统的集合稳定性在某些特殊情况下可以转化 成该系统零解的稳定性，因此具有一定的研究价值本文给出了一个例子说明了该 系统集合稳定性和零解稳定性的联系 第一章，给出了引言和预备知识 第二章，主要利用分段连续的l y a p u n o v 函数来研究脉冲混合微分系统的稳定 性2 1 利用l y a p u n o v 函数直接方法研究了脉冲混合微分系统关于两个测度的稳 定性；2 2 利用多个l y a p u n o v 函数的方法给出了该系统关于两个测度的稳定性结 果；2 3 利用比较方法和多个l y a p u n o v 函数讨论了该系统关于两个测度的实际稳 定性 第三章，主要研究了脉冲混合微分系统集合稳定性 关键词： 脉冲混合微分系统；l y a p u n o v 函数；稳定性；集合稳定性 分类号：0 1 7 5 2 1 3 s t a b i l i t ys t u d yf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a lh y b r i ds y s t e m s h a nx i a o m i n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a n i l ys t u d yt h ei m p u l s i v eh y b r i dd i f f e r e n t i a ls y s t e m ，t h a t i s f 。= f ( t ，。，a k ( z 女) ) ，t t ，t + 1 ， z ( t 古) = z 古，z ： = + 屯( 。) ，k = 0 ，1 ，2 ， 【z k = z ( “) ，i o ( s 0 ) i0 ，z ( t 3 ) = x 0 ， w h e r ef c r 十r “xr “，舻】， g 舻，r “ ，a s c r “，r “ ，k = 0 ，l ，2 ，t h ei m p u l s i v eh y b r i dd i f f e r e n t i a ls y s t e m sd e r i v e sf r o mp h y s i c a lm o d e l si np r a c t i c a li n v e s t i g a t i o n a n di sf u r t h e re x t e n s i o no fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s d u r i n gt h ec o u r s eo fp r o d u c t i o n ，t h e r ea r ea l o to fn e wk i n d so fp h y s c i a lm o d e l s ，o f t h e s e t h e r ei sonet h a tc a nn o tb ed e s c r i b e do n l yb yi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s i n t h i sc a s e ，w es h o u l ds w i t c ht oan e ws e to fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st a k i n gi n t oc o n s i d e r a t i o n m o m e n t a r yp e r t u r b a t i o n so fi m p u l s i v en a t u r e ag e n e r a ld e s c r i p t i o no fs u c hs y s t e m sw a s c a l l e di m p u l s i v es y s t e m sw i t hv a r i a b l es t r u c t u r e t h i ss y s t e mi sas p e c i a lb u ti m p o r t a n t c a s eo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hv a r i a b l es t r u c t u r e ，i t sc h a r a c t e r i s t i ci st h a ti t s e q u a t i o n si nd i f f e r e n tt i m ep e r i o d sm a yb ed i f f e r e n ta n dt h ee q u a t i o ni nt h el a t t e rd e p e n d s o nt h ef o r m e r s i n c et h e r ee x i s t sx k ( x k ) i nt h er i g h to ft h es y s t e m s ，d i f f e r e n tf r o mf o r m e ri n v e s t i g a t i o n ，w en e e dd os o m ec o n v e r t i o n s o 】w ea s s u m ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h es y s t e m s i 一= l ( t ，1 k ( g ) ) ， 【z ( t ) = y + ，y + = y + 厶( ) o np ，2 k 十1 1 f o ra n y f i x e d y 舒a n d a l l k = 0 ，1 ，2 w e m a y l o o k o n t h e i m p u l s i v e h y b r i d d i f f e r e n t i a ls y s t e m sa st h ef u r t h e re x t e n s i o no fi m p u l s i v es y s t e m s w h e nt h es y s t e mi n d i f f e r e n tt i m ep e r i o d si st h es a m e ，i tb e c o m e si m p u l s i v ed i f f e r e r t i a ls y s t e m s s ot h er e s u l t s i nt h i sp a p e ra l s oh o l df o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d ys t a b i l i t yp r o p e r t i e s ，p r a c t i c a ls t a b i l i t yp r o p e r t i e si n t e r m so f t w om e a s u r e sa n dt h es t a b i l i t yo f s e t sw i t hr e s p e c tt oi m p u l s i v eh y b r i dd i f f e r e n t i a l s y s t e m su s i n gl y a p u n o v sd i r e c tm e t h o da n dc o m p a r i s o np r i n c i p l e t h e r ei sd i f f e r e n c e b e t w e e nt h el y a p u n o vm e t h o da n dt h en o r m a l h e r et h e s es t a b i l i t yr e s u l t sd on o tr e q u i r e al y a p u n o vf u n c t i o nt od e c r e a s ea l o n gt r a j e c t o r i e so ft h es y s t e m ，a n dw ea l s od on o t 4 g i v ec o n d i t i o n so nc o n t i n u o u sp o r t i o no rd i s c r e t ep o r t i o no ft h es y s t e m sr e s p e c t i v e l y , b u t w ec a ng i v em i x i n gc o n d i t i o n so nt h e m b a s e do nt h i si d e a ，w eg i v eas e r i e so fs u f f i c i e n t c o n d i t i o n st od e t e r m i n es t a b i l i t yp r o p e r t i e si nt e r m so ft w om e a s u r e sf o ri m p u l s i v eh y b r i d s y s t e m s w h e nt od i r e c t l yd e t e r m i n et h es t a b i l i t yp o p e r t i e s w ec a nn o tc h o o s eap r o p e r l y a p u n o vf u n c t i o nt h a ts a t i s f i e st h e o r y sc o n d i t i o n s s ow ec a l lu s es e v e r a ll y a p u n o v f u n c t i o n st os t u d yt h es y s t e m s i nt h es a m et i m e ，c o m p a r i s o np r i n c i p l ee s t a b l i s h e st h e r e l a t i o nb e t w e e nc o m p l i c a t e dv e c t o rs y s t e m sa n ds i m p l es c a l a rs y s t e m s ，w h i c hm a k e su s t og e ts t r o n g e rr e s u l t sw i t hf e w e rc o n d i t i o n s t h ep a p e rg i v e ss o m ec o m p a r i s o nr e s u l t s a b o u tp r a c t i c a ls t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e su s i n gs e v e r a ll y a p u n o vf u n c t i o n sa n d c o m p a r i s o np r i n c i p l ea b o u ti m p u l s i v eh y b r i dd i f f e r e n t i a ls y s t e m s i nc h a p t e ro n e ，w eg i v ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v eh y b r i dd i f f e r e n t i a ls y s t e m sb y m e a n so fp i e c ew i s ec o n t i n u o u sl y a o u n o vf u n c t i o n i ns e c t i o no n e ，w es t u d yi t ss t a b i l i t yi n t e r m so ft w om e a s u r e su s i n gl y a p u n o v l sd i r e c tm e t h o d i ns e c t i o nt w o ，w eg e ts o m er e s u l t s a b o u ti t ss t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e su s i n gs e v e r a ll y a p a n o vf u n c t i o n s i ns e c t i o n t h r e e ，w es t u d yi t sp r a c t i c a ls t a b i l i t yu s i n gc o m p a r i s o nm e t h o da n ds e v e r a ll y a p u n o v f u n c t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo fs e t sw i t hr e s p e c tt oi m p u l s i v eh y b r i d s y s t e m s k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a lh y b r i ds y s t e m ；l y a p u n o vf u n c t i o n ； s t a b i l i t y ； s t a b i l i t yo fs e t s c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 52 1 5 第一章引言及预备知识 1 1引言 现代科技成果表明，有些实际问题仅用脉冲微分系统无法恰当地描述，而需通 过具有瞬时脉冲摄动性质的一族新的脉冲微分方程来刻划对这样的系统我们一般 称为具有可变结构的脉冲微分系统本文所讨论的脉冲混合微分系统是一类特殊的 但很重要的具有可变结构的脉冲微分系统，它的特点就是不同时间段内微分系统可 以不同，并且后一时间段的系统依赖于前一时间段比如给厂方配电，不同时间段 内电流所满足的微分方程是不同的，甚至依赖前一时间段最后一时刻电流的值脉 冲混合微分系统可以看成脉冲微分系统的推广，当不同时间段内的微分系统相同时 就简化成为脉冲微分系统，因而本文所得的结果也适用于脉冲微分系统 众所周知，在以往研究常微分方程稳定性的时候，l y a p u n o v 第二方法是我们 经常用到的一种方法正是利用这种方法，v l a k s h m i k a n t h a 3 n 和x i n z h il i u 建 立了常微分系统关于两个测度的稳定性理论，参见文献 1 】l y a p u n o v 第二方法的 思想在研究脉冲微分系统稳定性的时候也得到了广泛应用正是基于这种思想， v l a k s h m i k a n t h a m ，d d b a i n m o v 和p s ，s i m e o n o v 得到脉冲微分系统关于两个测度的 一些稳定性结果，参见文献【2 】最近几年，有关脉冲微分系统稳定性的研究越来越 受到人们的关注，已经有了不少结果，参见文献 3 】【1 1 在稳定性的研究中，通常 要求l y a p u n o v 函数的导数是常负或定负的而由于脉冲的影响，对l y a p u n o v 函数 的要求可适当放宽，不再要求l y a p u n o v 函数沿系统的轨线单调递减，但必须有条 件保证其不能增长太快基于这种思想，本文给出脉冲混合微分系统关于两个测度 稳定性的进一步结果另外，本文利用多个l y a p u n o v 函数的方法研究该系统的稳 定性通过文献 1 2 给出的脉冲混合微分系统的比较定理，将复杂的系统与简单的 纯量系统建立了联系，给出了该系统的实际稳定性的一些结果 在第三章中，我们利用与l y a p u n o v 函数相类似的一种分段连续的辅助函数给 出了关于脉冲混合微分系统的集合稳定和渐近稳定性，并举例说明集合稳息陛和零 解稳定性的联系 6 1 2预备知识 本文的第二章和第三章将考虑脉冲混合微分系统，即 iz = ，( t ，z ，a ( t ) ) ，t t k ，t 女+ 1 】， 。( t 毒) = z 古，z 者= + 乓( 巩) ，k = 0 ，1 ，2 ， 【x k = 。( 如) ，i o ( z o ) 0 ，z ( t 手) = z o ， z 2 i ，( 。，。，a ( 可) ) i( 2 ) 【z ( t j ) = y + ，y + = y + f k ( y ) 的解对任意固定的y r ”和任意= 0 ，1 ，2 在t k 十lj 上存在，所以系统( 1 ) 的 解是有第一类间断点t = t k 且在间断点处左连续的分段连续函数为了以后应用的 方便，先介绍下面的符号和概念： k = 仰c n + ，r + ：妒( o ) = 0 ，币( r ) 关于r 严格递增) ； k o= 妒g 【r + ，r + = 咖( o ) = 0 ，当r o 时，有妒( r ) o ) ； f = c r ”，r + j ：i n f h ( x ) = o ) ； p = 似ee 皿+ ，r + ：母( o ) 0 ，当r o 时，有母( r ) o 且母( r ) 关于r 非减) ； p c = z ( t ) ：在扣t k t o ，+ 。o ) 处有第一类间断点且左连续) ； s ( h ，p ) = z 冗“，h ( z ) p ) ； s 。( ，q ) = z 冗”，h o ( x ) 目) 定义1 2 1 ：令y ( x ) ec r “，r + ，t ( “，t k + 1 ) ，z ，y r n 定义： d + y ( 。，哪) 。蕊s u p i y ( z + 巾，z ，k ( g ) ) ) 一矿( 。) 定义1 2 2 ：若a ：r + r m _ r 十，且，a ( s ，y ) d s = o 。，其中i = u b ，觑 舟 0 和函数b k ，使得当m ) 0 ，函数妒k ，使得当 o ( z ) o 和t o r + ，都存在常数6 = 6 ( t o ，) 0 ，使得 当h o ( x o ) d 时，有 ( z ( ) ) o 和t o r + ，都存在正常数6 0 = 南( t o ) 和t = t ( t o ，e ) ，使得当h o ( x o ) d 时，有 ( g ( t ) ) 0 和函数妒k ，使得当 o ( z ) 0 ，使得 n ( 6 1 ) 6 ( ) ( 2 1 2 ) 选取6 2 ：0 ( 1 2 d o ，使得 妒( 如) p ( 2 1 3 ) 令6 = m i n 5 1 ，6 2 ) 下证当h o ( o ) 6 时，有h ( z ( t ) ) e ，t t o ，其中z ( t ) = $ ( t ，幻，2 3 0 ) 是系统( 1 ) 的满足h o ( x o ) 1 满足t k t + t r + l j 使得 ( z ( t + ) ) ，但 ( 。( ) ) ，t t o ，t k 由于e ( o ，p o ) ，再根据条件( i v ) 得 ( 。( t ) ) = ( z ( t k ) + i k ( z ( t k ) ) ) p f ：t k f t + ，满足 ( 2 1 4 ) 所以存在 es ( z ( t ) ) p ， ( z ( t ) ) p ，t t o ，司 ( 2 1 5 ) 由条件( i i ) 知，y ( z ( t ) ) 在 t o ，刁上是不增的，故由( 2 1 1 ) ( 2 1 3 ) 和( 2 1 5 ) 可知： 6 ( 5 ) 6 ( ( z ( t ) ) ) y ( 。( i ) ) v ( x o ) n ( o ( 茁o ) ) o ( 占) 0 ，使得当 o ( $ o ) 5 0 时，有 ( o ( t ) ) p o ，t t o ， ( 2 1 6 ) 其中x ( t ) = x ( t ，t o ，x o ) 是系统( 1 ) 的任意解 给定e ：0 0 ，使得对某个 t + t o ，t o + 卅，有h o ( x ( t + ) ) 0 ，都存在系统( 1 ) 的某个解z ( t ) = x ( t ，t o ，x 0 ) ，满足 ( 2 1 6 ) 并且使得 o ( z o ) ) 6 ，t o t t o + t 假设对某个t t o ，在 t o ，t 】中有有限个脉冲点，分别为t l ，t 2 y ( 。( t ) ) ，根据条件( i i ) ，( i i i ) 得： ( 2 1 7 ) t ，设m ( t ) = m 一r e ( t oj = m ( ) 一m ( t p ) + m ( t p ) 一m ( 知一1 ) + + 【r e ( t 2 ) 一m ( t 1 ) + m ( t 1 ) 一m ( t o ) m ( t ) 一m ( 譬) 】+ 【m ( 如) 一m ( 盘1 ) 】+ + m ( t 2 ) 一m ( ) 】+ r n ( t 1 ) 一m ( t o + ) f t ；d + v 碱如+ 仨，d + 忡，碱札- ) 如h + 后。们，川出 + + d + y ( 叩( s ) ，x o ) d s ，t 一j ( 。1 ( 8 ，y ) c ( h o ( 。( 8 ) ) ) 4 5 ， 于是有 a ( s ，y ) c ( h o ( x ( s ) ) ) d s m ( t o ) 0 ，使得 z t o t 。- f ta 枷s 喘铲( 2 1 1 0 l o )( 删) 如 端铲- 设。( t ) ：。( t ，t o ，x 0 ) 是系统( 1 ) 的某个解，对于( 2 1 1 0 ) 中的t 满足( 2 1 7 ) ，那么由 ( 2 ，1 9 ) 和( 2 1 1 0 ) 得 ，+ o o，t o + r o ( 如) 2 ( 5 ，y ) o ( h o ( x ( s ) ) ) d s c ( 6 ) a ( s ，y ) d s a ( 5 0 ) + 1 j t o ，0 产生矛盾因此，系统( 1 ) 是( o ， ) 一一致渐近稳定的 令a ( t ，y ) 三1 ，我们可得下面的推论 推论2 1 1 定理21 2 中的条件( i i ) 变为 d + v ( t ，。，y ) s - c ( h d x ) ) ，t ( t k ，t k + 1 ) ，i f , ，y s ( h ，p ) ，c k 其余条件保持不变，那么系统( 1 ) 是( h o ，h ) 一一致渐近稳定的 定理2 1 3 假设 ( i ) h o ，h r ，h o 比h 好， ( i i ) 对任意的” 0 都存在函数g 哆( ，p ) n s 。( h o ，1 ) ，r + 】，( z ) 关于z 满足局 部l i p s c h i t z 条件且满足 ( a ) b ( ( ) ) k ( z ) n ( h o ( z ) ) ，。s ( h ，p ) n s 。( h 0 ，q ) ，n ，b k ； ( b ) d + ( t ，z ，y ) 0 ，t ( t k ，t k + 1 ) ，z s ( h ，p ) ns 。( h o ，q ) ，y s ( a ，p ) ； ( c ) ( 。+ 厶( z ) ) ( z ) ，z s ( h ，p ) ，= 1 ，2 ，； ( i i i ) 存在p o ( 0 ，p ) ，使得当z s ( h ，p o ) 时，有z + i k ( 。) s ( h ，p ) ， ( i v ) 对任意的卢 0 ，存在d ：p o 0 ，使得当 o ( z ) 0 ，使得 妒( d 1 ) e ，a ( 5 2 ) 0 ，存在曲：0 6 3 6 2 ，满足 当 o ( ) 6 3 时，有h o ( m + 靠( 嚣) ) ) 如。( 2 1 1 3 ) 选取d = m i n 6 0 ，5 1 ，如) 令h o ( x o ) d 时，得h ( x o ) e 下证对系统( 1 ) 任意一个满足h o ( x o ) 6 的解x ( t ) = z ( t ，t o ，x o ) ， ( $ ( t ) ) ，t2 t o 都成立若不然，存在系统( 1 ) 的某个解z ( t ) = 。( t ，t o ，z o ) 满足 o ( z o ) ) d 和 1 2 t o t + 庐，其中t n t + t n + l ，t 仇 庐曼t i n + 1 ，n ，m n ，n m ，使得 5 h o ( x ( t ) ) ， o ( z ( t ) ) 正t t o ，t n ， e ( z o 。) ) ， ( 。0 ) ) e ，t 【t o ，t m ， 由于5 ( 0 ，d 3 ) ，e ( 0 ，p o ) 以及条件( i i i ) 和( 2 1 1 3 ) 得 o 扛( k ) + 厶( ( 如) ) ) 如，h ( x ( t 。) 十。( z ( t 。) ) ) p ， 于是我们可以找到t o ，扣，满足t 。 t o t ，t 。 扣兰庐，t o 扣， 6 h o ( x ( t o ) ) 如，h o ( x ( t ) ) d 2 ，t 【t o ，t o 】， e ( 。( t o ) ) p ， ( z ( t ) ) p ，t t o ，t o ， 6s o ( z ( ) ) ，t 【t o ，t o 于是有 z ( t ) s ( h ，p ) n s 。( h o ，d ) ，t t o ，t o 】 特别的取目= 6 由条件知，满足( a ) ，( b ) ，( c ) ，所以有 b 0 ) b ( h ( x ( t o ) ) ) s ( 。( t o ) ) k ( z ( o ) ) a ( h o ( x ( t o ) ) ) 0 和函数妒k ，使得 当h o ( x ) 5 0 时，有h ( x ) 妒( o ( z ) ) ( 2 1 1 4 ) 其中d o 满足妒( d o ) p 设( 0 ，p o ) ，t o r + 是给定的选取q = m i n b ( e ) ，c ) 因为函数饥( s ) 在s = 0 处连续，所以存在个常数o - ：0 a ”，使得 讥( 5 ) 0 ，使得 a ( 5 1 ) 口( 2 1 1 6 ) 选取6 = m i n 5 0 ，d 1 ) ，x 0er “满足h o ( x o ) 5 并且设。( t ) = z ( t ，t o ，z o ) 是系统( 1 ) 的 一个解很明显，由条件( i i ) 和( 2 1 1 6 ) 得 当h o ( z o ) d 时，有6 ( ( 。o ) ) v ( x o ) a ( h o ( 。o ) ) 口 于是得到 h ( x 0 1 下证 ( z ( t ) ) - c ，t t o ，其中x ( t ) = z ( t ，t o ，。o ) 是系统( 1 ) 的任意解，满足 h o ( x o ) 1 有t k t + t k + 1 1 使得 h ( x ( t ) ) 且 ( z ( t ) ) ，t t o ，圳 因为0 e p o ，所以根据条件( v i ) 得 ( z ( t 吉) ) = ( z ( 靠) + ( z ( “) ) ) p 由此我们 可以找到个t o ：t k t o t + ，使得 e ( 。( t o ) ) p 且 ( z ( t ) ) p ，t 【t o ，t o ，( 21 1 7 ) 假设m ( t ) = y ( z ( t ) ) ，t t o ，t 0 1 根据条件( i i i ) 和条件( i v ) 得 d + l ( ，) 一p ( t ，) g ( r n ( t ) ) ，t ( 如一1 ，缸) ，i = 1 ，2 ，k m ( t _ ) 啦( m ( 屯) ) ，i = 1 ，2 ，一， 1 4 ( 2 1 1 8 ) ( 2 1 1 9 ) 由( 2 1 1 8 ) 可知函数m ( t ) 在每一个区l ；- j ( t i - 1 ，t i 上是不增的特别的有 r e ( t 1 ) m ( t 手) n ( 占) 盯 占( e ) 再结合( 21 1 5 ) 和( 2 1 1 9 ) 可推出 m ( t ) 叩 b ( e ) 且m ( t ) r t 6 ( e ) ，亡1 0 ，所以由( 2 1 2 1 ) 得m ( ) m ( t 三1 ) 因此，由数学归纳法得m ( 砖) m ( t l l ) m ( ) sr e ( t ；- ) q 6 ( ) 这样我 们得到下面的矛盾： 6 ( e ) b ( h ( x ( t o ) ) ) m ( t o ) m ( t 古) 0 ，使得当z ( 0 ，c ) 时，有 一巾川z 饥“南细t 其中量讥：o o ，讯o ，k ：1 ，2 ， k = 1 那么系统( 1 ) 是( h o ， ) 一渐近稳定的 证明： 由定理2 1 - 5 可知，系统( 1 ) 是( o ，h ) 一稳定的我们选取e ：口： m i n p o ，b - 1 ( c ) ) ，则存在3 0 = 5 0 ( t o ，p ) ，使得 o ( 。o ) g o 时，有 ( z ( t ) ) 0 ，使得m ( t j ) 卢，j 1 5 于是有 类似( 2 1 2 1 ) ，我们可得 c c z ) g ( ”；( t 吉) ) c ( m ( t l l ) ) ( 2 1 2 2 ) f r e t 。+ ) d s ， 厶( 之。) 雨s 一饥 ( 2 1 2 3 ) 由( 2 1 2 2 ) 和( 2 1 2 3 ) 得 讯腊j 南盟粝盟， r e ( t ：) 冬m ( t + _ 1 ) 一讹g ( 卢) ， j + n m ( 苒。) m ( 寸) 一a ( 卢) 协， k = j + l 再根据条件( v + ) 知，0 骢m ( t 。) = 一0 0 产生矛盾故0 骢m ( f 毒) = 0 这样给定( o ，声) ，则存在正整数n 0 ，使得 m ( 毒) 6 ( e ) ，k n 选取t = t n t o ，那么当t t o + t 时，有 6 ( m z ( t ) ) ) m ( t ) 曼m ( t 毒) 0 和f 0 ，使得 t k + l t k 0 ，使得当h o ( x o ) 晶时，有 ( 。( ) ) p 0 ， t o ，其中。( t ) = z ( t ，t o ，。o ) 是系统( 1 ) 的任意解，满足h o ( o ) 0 假设 o ( z o ) w 最后，定义t = ( n + 1 ) r 并且t 完全依赖于我们选取的e 设z ( t ) = z ( t ，t o ，z o ) 是系统( 1 ) 的一个解，满足h o d o ) 扩且对某个正整数f ，有 t o 【t l ，i t + 1 ) ：证 ( 嚣( t ) ) t o + t 要证系统( 1 ) 是( o ， ) 一一致渐近稳定的，只须证明存在某个t 4 t o ，t o + t ： t 。 t t ，i = 1 ，2 ，使得h o ( z ( t ) ) 6 即可若不然，存在系统( 1 ) 的某个解 z ( t ) = z ( t ，t o ，z o ) 满足h o ( z o ) 5 + ，使得 o ( z ( t ) ) d ，t 【t o ，t o + t 】由于t = + 1 ) t ， 所以得到t l + 2 t o + t ，那么对某个正整数j 2 ，有t t t o t h l t f + ， t o + t 墨旬+ j + 1 我们按照定理2 1 5 的证明过程定义r e ( t ) 由于5 h o ( x ( t ) ) 卢，t 【t o ，t o + t i ， 那么有d ( 5 ) m ( ) e ( 芦) ，t 【t o ，t o + t i 类似定理2 1 5 证明过程中的( 21 2 1 ) 可 得：对i = 1 ，2 ，一1 ，有 鹏“高c ( s 绷。 ( 2 m t ) j m ( 矗。) ) 一 “” 一 因为舌五是严格单减的，所以由( 2 - 1 2 4 ) 可得 ( m ( t 矗冲1 ) 一r e ( t 5 。) ) g ( m ( 矗i ) ) 一7 1 + i 于是有m ( t 矗件1 ) m ( t 矗。) 一m 十l g ( d ( d ) ) ，i = 1 ，2 ，一，j 一1 通过迭代，再利用m ( t t + 1 ) t o + n r 于是得到 j 一1n m “= 讥 协 任1 t k e ( o ，t l + j ) t , e ( t o ，t o + n r ) i = 1t k e ( t o + ( i 一1 ) t ，t o + i t ) 产生矛盾因此，系统( 1 ) 是( h o ， ) 一一致渐近稳定的 饥n p u 以上的定理中要求