（应用数学专业论文）连续不可微函数的分形性质.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 连续性和可微性是古典分析中的重要内容，维尔斯特拉斯函数的出现奠定了 连续不可微函数的基础开辟了一个新的研究领域。越来越多的数学家开始致力与 这方面的工作，并随着二十世纪七十年代一门新兴的数学分支一分形的建立，有 些数学家逐步把连续不可微函数与分形相结合从而又开创了一个重要的研究方 向。本文主要对连续不可微函数的某些分形性质进行了说明，并取得了一些初步 的结论。 首先，对连续不可微函数的产生，发展过程及基本内容作了一般的介绍。其 次，介绍了连续不可微函数的几种构造方法和函数是否连续不可微的定理。随后 也介绍了几条基本性质和与无处可微函数相关的几种分形维数。最后，重点介绍 了一类连续不可微函数的分形性质。包括它几种分形维数的估计和h 5 1 d e r 连续性 等一些研究成果。 对连续不可微函数的分形性质的研究目前仍在进一步的探索，发展之中。目 的是算出它的分形维数或对维数进行估计，并为把分形能进一步应用于生产实践 而提供一些理论基础。 关键词；b - 进制；分形函数；b o x 维数；h a u s d o r f f 维数：填充维数 江苏大学硕士学位论文 a b s t r c t c o n t i n u i t ya n dd i f f e r e n t i a b i l i t ya l ei m p o r t a n tc o m p o n e n t so f c l a s s i c a la n a l y s i s t h e a p p e a r a n c eo fw e i e r s t r a s sf u n c t i o nl a y saf o u n d a t i o no ft h ec o n t i n u i t ya n dn o w h e r e d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n , b e s i d e sp i o n e e r san e wr e s e a r c ha r e a w i t ht h ee s t a b l i s h m e n to f an e wm a t h e m a t i c a ls u b j e c tf r a c t a im o r ea n dm o r ep e o p l ed e d i c a t et os u c hw o r k o n 18 7 0 s , s o m em a t h e m a t i c i a n sc o m b i n et h ec o n t i n u o u sa n dn o w h e r ed i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o nw i t hf r a c t a ia n dp i o n e e ra 1 1i m p o r t a n tr e s e a r c ha r e aa g a i n t h ep a p e rm a i n l y c o n s i d e r ss o m ef r a c t a ld i m e n s i o n so ft h ec o n t i n u i t ya n dd i f f e r e n t i a b i l i t yf i m c t i o na n d t h e ng e t ss o m er e s m t s f i r s t l y , t h ea p p e a r a n c e , t h ed e v e l o p r i a e n ta n dt h em a i nt h e o r yo ft h ec o n t i n u i t ya n d n o w h e r ed i f f e r e n t i a b l ef i m c t i o na l ei n t r o d u c e d s e c o n d l ys e v e r a lc o n s t r u c t i o nm e t h o d s o ft h ec o n t i n u i t ya n dn o w h e r ed i f f e r e n t i a b l ef i m c f i o na r ei n v e s t i g a t e da n dt h et h e o r y a b o u tw h e t h e rt h ef u n c t i o ni sn o w h e r ed i f f e r e n t i a b l ea n dc o n t i n u o u si sp r o v e d ，t o o a t t h es a m et i m e ，s o m ep r o p e r t i e s ，f r a c t a ld i m e n s i o n sa n dh 6 l d e rc o n t i n u i t yp r o p e r t ya b o u t n o w h e r ed i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o na l ea l s op r o p o s e d f i n a l l y , w ef o c u so nt h ef r a c t a l p r o p e r t i e s o fs o m en o w h e r ed i f f e r e n t i a b l ec o n t i n u o u sf u n c t i o n s ，i n c l u d i n gs o m e c o n c l u s i o na b o u ti t sc o n c e p t ，e s t i m a t eo ff r a c t a ld i m e n s i o na n dh 6 1 d e rc o n t i n u o u s p r o p e r t y t h er e s e a r c ho nt h ef r a c t a lp r o p e r t yo fn o w h e r ed i f f e r e n t i a b l ec o n t i n u o u sf u n c t i o n s i ss t i l lu n d e rf u r t h e r m o r ei n v e s t i g a t i o na n dd e v e l o p m e n t t h ea i mi st oc a l c u l a t ei t s f r a c t a ld i m e n s i o n ，s og i v es o m et h e o r yb a s i sf o rp r a c t i c a la p p l i c a t i o no ff r a c t a l k e y w o r d s ：b - a d i c ；f r a c t a lf u n c t i o n ；b o xd i m e n s i o n ； h a u s d o r f f d i m e n s i o n s ；p a c k i n gd i m e n s i o n i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密曰。 学位论文作者签名：互跋叼 珈g 年胁月畛日 指导教师签名： 锄 v 。j 年i 瑚厂日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：王跷明 日期：沙口绰垃月j 罗日 江苏大学硕士学位论文 绪论 连续不可微函数是从十九世纪中叶逐步发展起来的- 1 7 新兴的数学分支，在 数学分析的研究中占有重要的地位。它的发现使数学领域发生了化时代的变化引 发了实变函数论等重要数学分支的产生。 更迸一步的发展。 本文主要做了以下几个方面的工作： 而随着分形的建立连续不可微函数有了 一、对一类b u s h 型连续不可微函数的上 下盒维数进行了估计和并证明了其h s l d e r 连续性。二、对一二元连续不可微函 数的分形性质进行了研究。 本文主要按照下面来组织的j 第一章，回顾了连续不可微函数的发展概况， 总结了当前连续不可微函数的基本情况和存在的一些问题。第二章，介绍了连续 不可微函数的基本理论和分形维数。第三章，介绍了一类b u s h 型连续不可微函数 的分形性质。第四章，对一类二元连续不可微函数的分形维数进行估计。 江苏大学硕士学位论丈 第一章处处连续不可微函数的基本理论 无处可微的连续函数在数学分析的研究中占重要的地位，它的发现使数学领 域发生了划时代的变化。 1 1 连续不可微函数的产生 连续与可微的关系是古典分析中的重要课题早在牛顿和莱布尼兹的时代，人 们就知道连续是可微的必要条件，然而对连续性是否是可微性的充要条件这一问题 的认识却经历了一个很长的过程。 直到十九世纪中叶，人们还把函数的概念和作为动点运动轨迹道的曲线的几何 概念联系在一起。由于动点必须经过它的轨道上任两点之间的每一个点，因此曲线 是连续的：又因为动点在它的轨道上的每一点都有确定的运动方向，因此曲线在每 一点处都有切线正是出于这种直观的考虑，当时的数学家相信，连续性是可微性的 充要条件关于这个问题的早期文献，一般要追溯到1 8 0 6 年的安培，在这篇文章中，这 位学者企图证明任何连续函数除个别外都是可微的，可是当我们进一步考虑到函数 概念的发展是，就可觉察到，安培所考虑的差不多只能是某种分段单调函数，尽管如 此，但当时几乎所有的数学家都相信安培的结果，并且在其后的是数十年的许多教 科书中继续出现类似的“证明”，甚至像高斯、柯西和狄利克雷这样杰出的数学家， 也从未在其著作中提到他们对此持不同意见，虽然他们并没有公开赞成安培的观点， 但他们之中没有一个相信存在处处不可微的连续函数达布在他1 8 7 5 年出版的关 于“间断函数”的报告中提到，当时只有一个人( m 毕内梅) 声称他不相信安培的证 明。 无处可微连续函数的第一个例子是由波尔察诺于1 8 3 4 年在一份手稿中提出的， 但他的手稿1 9 2 0 年才被发现。波尔察诺定义的函数并没有解析表达式，而是用一 条曲线来表示的，波尔察诺只是证明了他所构造的函数在定义区间中的一个处处 稠密的可列集中的每一点不可微，他没有就觉察该函数有处处不可微性，而且还对 连续性的关系有错误的看法，波尔察诺函数的无处可微性是由k 理赤立 2 江苏大学硕士学位论文 克、g 柯瓦列夫斯基与a n 辛恩等人证明的黎曼的学生声称，黎曼曾在 1 8 6 1 年在他的演讲中给出一个用无穷级数表示的函数 似，= 喜警 作为不可微连续函数的例子但黎曼和他的学生均未发表过这一论断的证明。 直到1 9 1 6 年黎曼函数的不可微性才由g h 哈代加以证明。 第一个公开发表的无处可微连续函数的例子是由维尔斯特拉斯构造的函数： 厂( x ) = 矿c o s ( b ”石x ) 其中b 是一个奇整数，0 口 l + 娑。 维尔斯特拉斯的这一发现引起了当时数学界巨大的轰动，维尔斯特拉斯的发 现不仅最终的结束了想要证明最一般形式的连续函数的可微性的企图，而且开辟 了一个新的研究领域一连续函数不可微性的课题，这课题对数学家奇妙思维的训 练起了重要作用自维尔斯特拉斯以来，人们对它的；研究延绵至今犹未停止。 1 2 连续不可微函数的发展 维尔斯特拉斯的结果发表以后，有很多论文开始对维尔斯特拉斯函数的不可微 条件进行研究，并对其进行了改进。 维尔斯特拉斯给出的函数 c o s ( b ) 不具有有限和无限的导数的条件是 0 口 1 + 兰 2 其中b 为奇数。 之后，一些数学家对它进行了变化。布朗维茨直接改进了维尔斯特拉斯的结果，他 给出的条件是 o 1 + 3 r e 2 勒茨给出的条件是a b 1 ，a 2 b 2 1 + 万2 布郎维茨给出的条件是 抛l ，口6 2 l + 等( 1 叫 所有这些条件中都先假定b 为奇数。但狄尼证明了：如果 曲 + 孚函1 - a ，口 1 曲2 1 + 1 5 万2 而1 - a i ，口 寺 则b 为整数的限制可以取消。 最好的结果是哈代所得到的，证明了当0 - s z i 吼玩l k = l = 矿( 以x ) 是无处单侧可微( 即处处不存在有限的单侧导数) 的连续函数。 迄今为止最为简单和初等的无处可微连续函数的例子是1 9 5 2 年美国数学家布 什 1 】的优美例子是利用实数的小数展式来定义的： 设b 为大于1 的整数，苫是 o ，1 】中的实数，其b 进位小数表示为 删呐矿一喜争；x k = o ，l 一川 利用二进小数定义函数u = f ( x ) 如下： “：0 i t i l l 2 u k = 。百u k ；：o ，1 其中 u 1 = 1 当k l 时 21 ：衰意 虽然某些x 有两种b 进制小数表示式。但根据两种进制定义的函数是唯一确 定的。 b u s h 提出的利用小数构造的无处可微连续函数的方法新颖而巧妙，后来斯威 夫特 2 】、刘文【3 】、杨卫国 4 】在b u s h 函数的基础上进行了推广和改造，构造了 一类非常广泛的无处可微连续函数b u s h 型函数。 以下给出刘文的一个对b u s h 进行的初步推广而得到的一个处处连续不可微 函数： 设b 为大于1 的整数，x 是 o ，1 中的实数，其中其b 进制表示为 石= 0 而屯x k ；= o ，1 ，b 一1 5 江苏大学硕士学位论文 利用二进制小数定义函数u = f ( x ) 如下： “= o u i “2 u k ；u k = 0 ，l 其中u k 是五，x 2 ，x k 的任一函数： u k = 吃( 五，x k ) ( u k 的值仅赖与x 的前k 为小数) ；且当k 1 时，满足以下条件 f l k - i ，x k i = x k = o ，b 一1 2 k + 1 2 t l - u k ，x k = o ，b 一1 ，x k + l 1 3 一些重要的例子 十九世纪末和二十世纪初叶很多从事数学分村的卓越数掌冢都罾致力与构造 一些新的无处可微连续函数以及阐明它们的性质以至于出现很多类连续不可微函 数的例子，以下是历史上一些重要的例子： ( 1 ) 设0 a 1 + 等( 1 叫 时，c o s ( b ”万工) ，处处不存在有限和无限的导数。 ( 2 ) 三s i n 2 工处处不存在有限的导数。 一” ( 3 ) 设o 口 l + 娑时， 8 ( n ) a “s i n ( b ”万x l ( 1 s ( n ) i = 1 ) 处处不存在有限和无限的导数。 ( 4 ) 设0 a 9 时， 矿s i n ( b ”石) 处处不存在有限和无限的导数。 ( 5 ) f i t 0 a l + 娑时， s i n ( b “万x ) 处处不存在有限和无限的导数。 6 江苏大学硕士学位论文 ( 6 ) 设o 1 + 娑，则 万焉丽c 。s ( 1 3 5 ( 2 胁) 处处不存在有限和无限导数。 ( 8 ) 设而a 表示任一个十进无穷小数，则 1 u 万g ns i n ( 1 0 3 n 万x ) ，万a n c 。s ( 1 0 3 n 7 z x ) 处处不存在有限和无限导数。 ( 9 ) 设0 a 1 ，则 矿s i n ( a “x x ) ，矿c o s ( a “x x ) 处处不存在有限导数。 ( 1 0 ) 设( x ) 是周期函数( 周期为1 ) ，其中 3 l o 乜 4 ，则矿y ( 6 ”z ) 处处不存在有限和无限导数( 6 为整数) 。 ( 1 1 ) 设妒( x ) 是周期为2 的函数，其中 ) = x o 工! 。 2 l - x , 1 x 三 22 x 一2 三x 2 2 3 l o 口 4 ，则a q k ( b “x ) 处处不存在有限和无限导 数。 7 l 一2 v i x r 一 一 1 2 酆 诮 x 一 ，l = x y 江苏大学硕士学位论丈 0 2 ) 设o a 4 ，则 ( 一1 ) ”口”矿( 矿x ) 处处不存在有限和无限导数。 ( 1 3 ) 设o 1 时，按 如下方式归纳定义： 1 ) 如果x ，( 仇一： i 体) 同时为0 或同时为b - 1 ，则 2 u k 一1 2 ) 如果x 。( n k l i n d 同时为0 或同时为b - 1 ，而一( 体一2 1 时， 2 。，麓：o 以 尽管对于某些x 有两种十进制小数表示法，但按上面规定所定义的函数的值 是唯一的。事实上，设 x = o 再恐0 0 0 ， 0 x = 0 x ：z 矗一l x 9 9 9 ，矗= 毛一l 是x 的两种十进制小数表示方法，由于巩的值仅依赖于x 的前k 位小数，因此， 当x 分别由上面两种表示时f ( x ) 的值分别为 “= 喜k + c 一k 奏。古= 善k1 一l l - l 甜= 薯+ 箬+ 以c 一a ，未。古 = 霎k - 务= 芝k - i = “ l 几几 用归纳法可得，当1 五2 时有 ( 五一1 ) “- 1 j i 1 江苏大学硕士学位论文 当五2 时有 1 l “。i ( 旯一1 ) ”。1 因此f ( x ) 是有意义的。 还有些无处可微连续函数可用迭代函数系生成，杨晓玲在 8 中对b u s h 进行了 研究，并证明了该函数可由迭代函数系生成，这也为无处可微函数的分形性质的 研究提供了很大的帮助。 要确定一个函数是否连续不可微首先要给予证明，用下面两个引理来证明会简单的 多。 引理2 ，1 1 设函数在处具有导数，( ) ( 有限和无限) ，x n ，t 是满足如下条 件的两个实数列： 矗而t ，矗 0 ，并令 m a x o ) = s u p ( x ) ，0 i x - - x o i 艿 江苏大学硕士学位论文 m d ( x o ) = i n f f ( x ) ，0 i x - - x o l 彳) 4 = x i x i ，d + f ( x ) 4 = x i x ，d f ( x ) j ，若h 5 ( f ) ，则日( f ) = 0 。所以h ( f ) 关于j 的图表明， 存在s 的一个临界点使得h 5 ( f ) 从0 0 “跳跃”到0 。这个临界值称为f 的h a u s d o r f f 维数，记为d i m 。f 。 0 d i m e 精确地d i i l l 。f = i n f s ：h 5 ( f ) = o ) = s u p p ：日5 ( f ) = m ) r 日5 ( f ) ：j 【0 若s d i m h f p s = d i m 。f ，则h 5 ( f ) 可以为0 或者或者满足o h ( f ) 0 ，s 0 ，令 譬( e ) = s u p 阿f 5 ： u ) 为脚万一填充 ， 其中s u p 表示对所有的e 的j 一填充取上确界，则g ( ) 为j 的非增函数。令 p ( e ) 2 鳓g ( d 2 赠g ( e ) 容易验证p 5 ( 妒) = 0 以及p 5 具有单调性但尸5 不具有次可列可加性，我们称，5 为 s 一维预填充测度。 另外，对于o j ， 0 ，b 是大于2 的整数，“l = 1 ，当k 2 时 1 u k 一1 t = 托一1 2 - 万1 一。一： 文献 4 证明了该函数若满足a 1 时，b l + 旯：o 1 + 喜则是一类无处 可微连续函数，本文将在这基础上讨论其分形性质。 定义3 1 2 1 ：函数厂：z 专y 称为指数为a 的h s l d e r 函数，如果存在某个常 数c ，使得 i 厂( x ) 一f ( y ) - c l x y 1 4 ( x ，y 。r ) 当a = 1 时，称厂为李h 希兹函数。如果对0 c l c 2 o o c 。i x y l - i f ( x ) 一厂( y ) i - c ：l x - y l ( x ，y x ) 1 8 江苏大学硕士学位论文 称厂为双李卜希兹函数。 引理3 1 1 2 1 1 ：d i m 。f _ 一d i m 口f 引理3 1 2 t 2 1 1 ：设f c r “是紧集，且对所有与f 相交的开集 d i m a ( ，n y ) = d i m b f ，则 d i m pf = 一d i m 日f 引理3 1 3 2 2 1 ：设e 是r ”中非空有界集，则 d i m he d i m 口e 下面将对分形函数( 2 ) 的分形维数及其ho l d e r 条件进行研究。 记厂( x ) 的函数图像： g = 鲫v = ( x ) ) ：工 o ，1 】 f ( x ) c c e f f , 意, d 【o ，l 】上的最大变化范围： 髟( ，) = s u p i 厂( x ) 一，( y ) | ：训j 3 2 分形函数的盒维数估计 盒维数是应用最广泛的维数之一，它的普遍应用主要是由于这种维数的数学 计算及经验估计相对容易一些。为了计算一个平面集的盒维数，我们可以构造一 些边长为万的正方形或称为盒子，然后计算不同万值的盒子与平面集相交的个数 虬( f ) ，这个维数是当6 寸0 时虬( ，) ，增加的速率，或者可以由函数l o g ( ，) 相 对于一l 0 9 3 图的斜率来估计。以下将用该方法对g 的盒维数进行估计。 定理3 2 1g 的b o x 维数上下界满足条件： 1 ) o 半，2 - l 0 9 6 半 l + 2 ，2 一l o g ( 1 + 旯) 垫b g 一d i m 口g 2 一l 0 9 6 半 证明：根据小数表示的约定，对任意x 【o ，1 1 ，x 由( 3 1 1 ) 表示，存在一个充分大的 正整数月，使得矗 b l ，将区间，进行b “等份，第f 个小区间记为 1 9 = 【+ t 】，i = 1 ，2 ，b “。其中= 6 。设m ( g ) 为边长为6 ”的网立方体与g 相 交的个数，则对任意的0 “，j ) ，它们的6 进制小数表示式分别为 1 ) = o 毫。) x 霹艘。 ( 3 2 1 ) y ( ) = o “砖碟y 蛙 ( 3 2 2 ) g 有x i = 地，1 s _ j - n ，由文献 4 ，当0 2 l 时， k 南) l ( 南 “1 + ( 击厂 z s ， 于是 咿，) 一m ) is 未。 ) 飞( 少) i 所以有 s z ( t + 去) ( 南 ”1 z t ， 吡) 1 时， 于是 = 2 - l 0 9 6 ( 1 + a ) k 剖z ( 甜 ( 少归丑 备厂 帅脚”卜( 甜+ 2 = 。” z 。”( 南) ”季+ z 鳓2 ”( 南) ”1 五 一d i m 加甄警 办b g 。半 另一方面，取f “为t 的左端点，记 = o i 。叫x 2 “i 。- - + - - 1 1 则存在一足够大的甩使石“ 6 1 ，设 x = o _ “b 一1 0 0 0 y f ) ：o 掣i “- - ( ”b l b 一1 0 0 由文献 4 易知x ”，y 且 6 。”+ 2 i x ( 0 - y 。ls 6 一o + 1 故由文献 4 ，0 1 时。 ( y ) l 剖”2 忡) 兰, o , e 趔b - 卜“ 一d i m b g = 赢l i r a 警 h 一i u z ， 撸l o g 。半 ( y ) j 击) ”2 擀射掣 m ( g ) l 型i l l | u 划”( 爿“ ( 3 2 9 ) d i m 。g ：l i m ! 笪丝盟 4 二磊一l o g b ” 2 - l 0 9 6 ( 1 + a ) ( 3 2 1 0 ) 故由式( 3 2 6 ) ，( 3 2 7 ) ，( 3 2 9 ) ，( 3 2 1 0 ) 定理得证。 3 3 分形函数的h 6 i d e r 连续性 定理3 3 1 ：设o a 旯1 ，口= l o g ( 1 + a ) 则f ( x ) 满足h 6 1 d c r 条件，即对任意 x , y 【o ，l 】有 i ( z ) 一f ( y ) l - c l x y 1 4 证明：任取五y 【o ，1 】，它们的b 进小数分别为 x = o x l x 2 砟，y = o m 儿儿 则存在一非负整数m ，使得 江苏大学硕士学位论文 6 - ( “ - i x y l n o ，使得 1 + z 或o 1 4 - 时是处处连续不可微的。 令g 表示g ( x ，y ) 的图像， g = g r a p h = ( x ，g ( x ，y ) ) ：( x ，y ) 1 2 再令 o s c ( g ，a ) = s u p o l g ( x ，y ) 一g ( x ，y ) i ：( x ，y ) ，( x ，y ) ) 4 2 二元分形函数的维数估计 定理4 2 1 g 的b o x 维上下界满足条件： 江苏大学硕士学位论文 1 ) o 1 ，6 l + 旯，3 一l ( 1 + 2 ) d i m 8 g _ 一d i m 。g 3 _ l o g 。半 证明：对任意( 工，y ) ，2 ，x ，y 的b 一进制表示式分别为( 4 1 1 ) ，( 4 1 i2 ) 存在一个 充分大的甩，使得矗 b - 1 ，n 6 1 ，将区间，2 的每边进行6 ”等份，得到6 2 ”个小 立方体f ，f ，= 1 ，2 ，b “a ，每边的边长为6 v 2 n o ( g ) 为边长为6 ”的立方体 网格与g 相交的个数，则对任意的( x ，y ) ，( 工，y ) 厶 x = o 五x 2 x k x k + i x = o x ；x ：一x ；x l + i y = 0 y l y 2 儿儿“ y 1 = o y l y 2 y k y l + t 且有磁= t ，儿= 以1 七n ， b 一l x 一x i - 1 时 f ( 垆m 。) 酗五( 南广1 f ( 加m ) 酗五( 南r 1 ( 4 2 6 ) i g ( x ，y ) 一g ( x ，y ) i 篱厂( x ) i i p ( 工，y ) 一p ( x ，j ，) i + i p ( x ，) ，) i i ( x ) 一厂( y ) i + l f ( y ) | | q ( x ，y ) 一g ( x ，y ) i + l q ( x ，y ) 0 f ( y ) - f ( y ) 4 m ，m ：6 一“+ 8 m z 2 - ( i + - 去- ) ”+ l 砌矿圳南r 1 】 戡m 3 。m a x l 4 m i m 2 ，6 2 ， 即 伽( g ，庐砌矿圳南广1 】 邺) i 兰, j = l 鹋掣+ 2 】 矿1 乏嘣( b - + 2 ( 南r i ) 6 2 】 j j 2 l 薹嘣( 1 圳南广b + 2 】 嘣( 1 + 旯( 丁鲁) ”) + 2 】 l ，j 。l 故 差呲南，“叁n 圭c 南，”盘删南，”量明 222 t兰(三磁+2)(南”岳明,j=l o 二二二二 2 ( 3 必+ 4 ) a ( 南r 1 驴 兰茎大学硕士学位论文 二二= _ 一_ = = 蕊。g ：l 丽ml o g n ( g ) l 0 9 6 一n s 3 - i o g 。半( 4 2 7 ) 另一方面，取( f ，y ) y 9 6 。左边上的点，z 可表示为 l = o 4 x ；t t + 1 一 则存在足够大的疗使t + 1 6 一i ，设 ；= o x j 。x 2 咖一1 0 0 0 ；= o x i x 2 6 一i b 一1 0 0 由文献【4 】知，对i ；正，有j ；一x l 芝互时，我们有 p o ( 1 - 告) “扩4 m 鸩 故当甩充分大时有 i g ( x 咖g ( i 川譬( _ 匀“ 江苏大学硕士学位论文 因此 伽( g ，) p o 丁万2 ) “ 虬( g ) _ p o ( 一+ z 21 d i m 。g ：匦攀 月l o g b ” - 3 一l o g b 半 当a 1 时 l g ( ；，y ) 一g ( ；，y ) i 与p ( x ，y ) 厂( ；) + g ( ；，y ) ( j ，) 一p ( x ，y ) 厂( ；) 一g ( ；，y ) 厂( y ) 矗( 南广2 2 m i m 2 i x 一；i 础南r 2 2 m i m 2 b ” = 6 一”( p o ( 1 - - 击) “矿一2 蝎m ：) 取威= m i n p ( x ，j ，) ：( x ，y ) ，2 0 ) 同样，当，z 足够大且b 1 + a 时，我们有 p o ( 1 - - 击) “矿4 m i m 2 则有 即 g ( x ，y ) 一g ( x ，y ) l一p o ( l 一) “ 2 、1 + a ( 4 2 9 ) ( 4 2 1 0 ) ( 4 2 1 2 ) 型 堕扩 薯| r 州 一 礓 n 一 舯 奇等由如 争矿州盟2 一 一 一 毋 虬 盯 江苏大学硕士学位论文 d i m 。g ：l i r a l o ga ：( g ) n l o g 一n 3 一l 0 9 6 ( 1 + a ) 由( 4 2 5 ) ( 4 2 7 ) ( 4 2 1 0 ) ( 4 2 1 3 ) 定理得证。 4 3 一类特殊二元分形函数的分形维数 定理4 3 1 当2 = 1 时，d i m ，g = d i m 8 g = 3 一l 0 9 6 2 f 4 2 1 3 ) 证明：由定理4 2 1 ，当五= 1 时，易知d i n l 。g = 3 - l o g 。2 且只证等式右边即可。由 引理3 1 2 将，2 进行6 2 等份，每份记为。，f ，j = l ，2 ，- ,