（理论物理专业论文）有限分子层向列相液晶monte+carlo模拟的研究.pdf

有限分子层向列相液晶m o n t ec a r l o 模拟的研究 摘要 为了计算物理系统的特性，一般的做法都是用基本运动方程在相空间中生成一条路 径，然后沿这条路径计算感兴趣的物理量的值。但是计算物理模拟中的m o n t ec a r l o ( m c ) 方法采用的是一种不同的做法。它首先将系统用一个哈密顿量描述，并选择一个对问题合 适的系综，然后用与这个系综相联系的分布函数和配分函数，就可以计算所有的可观测量 了。m c 方法的基本思想是对主要的贡献抽样以得到可观测量的估值。 在液晶盒基板表面处，由于涂敷了聚合物薄膜并进行摩擦处理，使得表面处产生表面 作用势，从而使液晶分予沿面平行排列。摩擦基板间液晶薄层的指向矢排列和分子有序度 是理论和实验研究的热点，本文正是利用m c 方法来模拟平行基板问液晶薄层的指向矢分 布和分子排列有序度。 我们首先利用m c 方法重复出大家所熟知的l e b w o h l l a s h e r ( l l ) 模型，然后在此基 础上对本体液晶的相变进行研究，得到与文献一致的结果。最后我们对摩擦基板间的液晶 薄层进行模拟，采用l l 模型两体势，将分子质心固定在简单立方( 2 0 2 0 2 0 ) 晶格的 格点上，假设只存在最近邻作用，在平行于基板的分子层上赋以周期性边界条件，可以得 到各薄层分子有序度和指向矢分布的数值结果。从模拟结果可以看出，摩擦基板间液晶薄 层的分子有序度与本体系统有较大差别，且与表面相对作用强度有关，同时在不同的表面 相对作用强度下相变温度与本体系统相比亦有一定的偏移；另外表面处由于基板作用指向 矢方向不再具有轴对称性，而是具有双轴对称性即诱导双轴性，本文的模拟结果亦可体现 出来。文中适时地与分子场理论结果进行比较，发现两者符合得较好，因此本文的结果对 研究液晶在基板上定向排列这一物理问题有重要的指导意义。 关键词：m o n t ec a r l o 方法，液晶层，表面作用势，摩擦基板 ；。：；：! 堡丝! 星塑! ! 垫些：量竺! ! ! ! ! ! ! ! 丝垫竺些丝 m o n t ec a r l os i m u l a t i o no ft h e f i n i t e m o l e c u l a rf i l m so ft h en e m a t i c l i q u i dc r y s t a l a b s t r a c t i no r d e rt oc a l c u l a t et h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ep h y s i c a ls y s t e m ，t h ec o m m o nm e t h o di s t o a c c o u n tt h ei n t e r e s t e dv a l u e sa l o n gt h er o u t ew h i c hi sc r e a t e db yb a s i ce q u a t i o ni np h a s es p a c e h o w e v e rt h em o n t ec a r l o ( m c ) m e t h o di sad i f f e r e n to n ei nt h e c o m p u t a t i o n a lp h y s i c s s i m u l a t i o n f i r s t l y , t h es y s t e mi sd e s c r i b e db yah a m i l t o nv a l u e t h e nw es h o u l dc h o o s ea r t a p p r o p r i a t ee n s e m b l ea n df i n a l l yw ec a nc a l c u l a t ea l lt h eo b s e r v a b l ev a l u e st h r o u g ht h e d i s t r i b u t i o na n dp a r t i t i o nf u n c t i o nc o n t a c t e dw i t ht h ee n s e m b l e s ot h ee s s e n t i a li d e ao fm c m e t h o di st or e c e i v et h et h e r m o d y n a m i co b s e r v a b l e sv a l u e b y s a m p l i n g t h ep r i m a r y c o n t r i b u t i o n s i ti ss h o w nt h a tt h el i q u i dc r y s t a lm o l e c u l e sp a r a l l e lt ot h es u b s t r a t es u r f a c ea sar e s u l to f s u b s t r a t ep o t e n t i a lw h i c ha r i s e sf r o mb e i n gc o a t e dw i t hp o l y m e rf i l ma n dr u b b e d t h eo r d e r d i s t r i b u t i o na n do r d e rp a r a m e t e ra r ea l w a y sc o n c e m e dw i t ht h e o r ya n de x p e r i m e n t i nt h i sp a p e r w ej u s ts t u d yt h e mt h r o u g hm cm e t h o d ， w ef i r s t l yd oo v e rt h ew e l l k n o w nl e b w o h l - l a s h e r ( l - l 、m o d e la n dt h e ns t u d yt h eb u l k p h a s et r a n s i t i o no fl i q u i dc r y s t a l t h er e s u l ti sr e c e i v e da c c o r d a n t l yt ot h el i t e r a t u r e f i n a l l yt h e t h i n l i q u i dc r y s t a lf i l m sb e t w e e nt h et w or u b b e ds u b s t r a t e sa r es t u d i e db ym o n t ec a r l o s i m u l a t i o n i nt h ep a p e r , w ea d o p tl lm o d e lp a i rp o t e n t i a la n dc o n s t r a i nt h ec e n t e ro f m o l e c u l e s m a s so ns i m p l ec u b i cl a t t i c e ( 2 0 3 ) s i t e s ，i fw eo n l yc o n s i d e rn e i g h b o r i n gi n t e r a c t i o na n dt h e p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o nf o rt h i nf i l mp a r a l l e l i n gt or u b b e ds u b s t r a t e ，w ec a r lg e tn u m e r i c a l r e s u l t so f o r i e n t a t i o no r d e ra n do r d e rd i s t r i b u t i o nf o re a c ht h i nf i l m w ef o u n dt h a tt h eo r i e n t a t i o n o r d e ro ft h et h i nf i l mb e t w e e nr u b b e ds u b s t r a t e si sd i s t i n c tt ot h eb u l ks y s t e ma n di sc o n t a c t e d w i t hs u r f a c ep o t e n t i a li n t e n s i o n a tt h es a m et i m et h et r a n s i t i o nt e m p e r a t u r es h i f t sc o m p a r i n g 型! ! ! 些! ：耋丝! 兰竖堕兰 一 w i t h b u l ks y s t e m i na d d i t i o nf r o mo u rs i m u l a t i o n t h eo r d e ro ns u r f a c ei sn ol o n g e ra x i a l s y m m e t r yb u tb i a x i a ls y m m e t r y , n a m e l yi n d u c e db i a x i a lc h a r a c t e r w ec o m p a r e o u rr e s u l t sw i t h m o l e c u l ef i e l dt h e o r y st i m e l ya n df o u n dt h e ma c c o r d i n gw i t h e a c ho t h e rv e r yw e l l i n c o n c l u s i o nw es a yt h i sp a p e r sr e s u l t sc a nb eu s e dt oi n s t r u c tt h ed i r e c t i o n a ld i s t r i b u t i o no fl i q u i d c r y s t a lo ns u b s t r a t es u r f a c e k e yw o r d s ：m o n t ec a r l os i m u l a t i o n ，l i q u i dc r y s t a lf i l m ，s u r f a c ep o t e n t i a l ，r u b b e ds u b s t r a t e 独创性声明 小人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写的研究成果，也不望含为获得河北工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过 的材料。与我一同工作的向志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 f 学位论文作者签名： 桎羹罐 r 靴： 锋国f 1 日 关于学位论文版权使用授权的说明 本学位论文作者完全了解河北工业大学有关保留、艘用学位论文的规定。特授权河北 工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权晓明) 学位论文作者签名 导师签名 燕亏 日期：以年占用门目 e 觏：口6 碌i r 目 坡 建在 河北丁业人学坝| ：学位论文 第一章绪论 液晶是一种介丁备向同性液体和符向异性品体之间的物质，它不仅具有液体的流动性岫1 还兼有 品体的光学各向异性，因此被称之为液晶( l i q u i dc r y s t a l ) 1 2 - 4 。液晶的发现虽然己经有一百年的历 史，但在未曾找到实际用途之前，艮期地只是停留在少数科学家的实验室里，被当作珍品做一些探索性 的实验研究。到二十世纪三十年代中期科学家们对液晶的合成以及液晶的重要物理特性才积累到一定的 系统知识。其后义经历了二十多年的冷落阶段，直到五十年代末期才建立了关于液晶的比较正确的理论。 五十年代末期人们了解到，一些液晶材料在物体热图像方面有应用价值，于是激发人们进一步探索液晶 在技术方面可能有的片| 途。六十年代末期，动态散射现象的发现才使液晶在显示器件方面显现出光明的 前景。液晶显示器件消耗的功率极小，可以把信息存储在器件上，并且不需要能量来维持这种存储过程， 容易达到显示面积大而占有体积小的要求，相对来说也不难达到彩色显示的目的，也可以用于多路驱动 操作。 目前液晶已被j 泛应用于光电显示器件中，液晶显示器件进入了一个蓬勃发展的阶段。随着科 技的发展，相信液晶在技术方面的应用将越来越广泛。液晶在技术方面的重要应用，无疑促进了它的基 础性研究。由肯特洲立大学( 美国) 液晶研究所的gb b r o w n 教授倡议召开的国际液晶会议 ( i n t e r n a t i o n a ll i q u i d c r y s t a l c o n f e r e n c e ) ，自第一届会议于1 9 6 5 年召开以来，每隔年定期举行。p gd e g e n n e s 的“t h ep h y s i c so f l i q u i dc r y s t a l s ”、s c h a n d r a s e k h a r 的“l i q u i dc r y s t a l s ”和谢毓章的“液晶物 理学”都是液晶物理研究的专著。然而由于液晶本身的复杂性，液晶的宏观性质还有许多未被了解；液 晶的微观理论由于是多体问题有些问题也未被解决，所有这些都有待于人们进一步探索和研究。 卜1 向列相液晶的主要特征1 5 i 卜卜1 液晶的分类 在不同的温度和压强条件下物体可以处于气体、液体或固体三种不同的状态。这三种状态一般称为 气相、液相和固相。然而，某些有机材料并不是呈现一个从固体到液体的相变，这些材料的相变还涉及 到一些新相。这些相的力学性质和对称性介于液体和晶体之间，因此这些新相常被称为液晶。由于液晶 相处于固相和各向同性液相之间，液晶相又称为中介相。 从成分和出现中介相的物理条件来看，液晶人体可以分为热致液晶( t h e r m o t r o p i cl i q u i dc r y s t a l ) 和 1 十f 北t 业大掌硕_ 学位论文 第章绪论 液品是种介于各向同性液体和各向异性晶体之间的物质，它不仅具有液体的流动性【l oj ，还兼有 晶体的光学各向异性，因此被称之为液晶( l i q u i dc r y s t a l ) 口川。液晶的发现虽然己经有 百年的历 史，但在未曾找到实际用途之前，长期地只是停留在少数科学家的实验室里被半怍珍品做一监探索性 的实验研究。到二十世 己三十年代中期科学家椎j 对液晶的合成i = 置及液晶的重要物理特性才积累刨一定的 系统知识。其后又经历了二十多年的冷落阶段卣到五十年代末期才建立了关于液晶的比较正确的理论。 五十年代末期人们了解到，些液鼎材料在物体热图像方面有应用价值，于是激发人们进一步探索液晶 在技术方面可能有的用途。六十年代束朋，动态散射现象的发现才使液晶在显示器件方面显现出光明的 前景。液晶显示器件消耗的功率极小，可以把信息存储在器件上，并且不需要能量来维持这种存储过程， 容易达到显示面积大而占有体积小的要求，相对来说也不难达到彩色显示的目的，也可以用，一多路驱动 操作。 目前液晶己被广泛应用于光电显示器件中，液晶显示器件进入了一个蓬勃发展的阶段。随着科 技的发展相信液晶在技术方面的应用将越来越广泛。液晶在技术方面的重要应用，无疑促进了它的基 础性研究由肯特洲立大学( 美国) 液晶研究所的gbb r o w n 敦授倡议召开的国际液晶会议 ( 1 m e r n a t i o n a l l i q u i d c r y s t a l c o n f e r e n c e ) ，自第一届会议于9 6 5 年召开以来，每隔一年定期举行。p 0 - d e g e n n e s 的“t h e p h y s i c so f l i q u i d c r y s t a l s ”、s c h a n d r a s c k , h a r 的“l i q u i d c r y s t a l s ”和谢毓章的“液晶物 理学”都是液晶物理研究的专著。然而由于液晶本身的复杂性。液晶的宏观性质还有许多米被了解；波 晶的微观理论由于是多体问题有些问题也术被解决所有达些都有待于人们进一步探索和研究。 卜1 向列相液晶的主要特征5 i 卜卜1 液晶构分类 在不同的温度和乐强条件f 物体可以处于气体，液体或固体三釉不同的状态。这三种状态一般称为 气相、液相和固相。然而，某些有机材料并不是呈现一个从固体到液体的相变，这些材料的相变还涉及 到一些新相。这些相的力学性质和对称性介于液体和晶体之间田此这些新相常被称为液晶。由于液晶 相处于崮相和各向同性液相之问，液晶相又称为中介相a 从成分和出现中介相的物理条件来看，液品大体可以分为热致液晶( t h e r m o t r o p i cl i q u i dc r y s t a l ) 和 从成分乖u 出现中介相的物理条件来看，液晶人体可以分为热致液晶( t h e r m o t r o p i cl i q u i dc r y s t a l ) 和 一壶堕坌王星塑型塑塑曼坚! ! ! ! ! ! ! ! ! 堡型塑婴垒 溶致液晶( a l l o t r o p i cl i q u i dc r y s t a l ) 两大类。热致液晶是指单成分的纯化合物或均匀混合物在温度变化下出 现的液晶相。溶致液晶是两种或两种以上组分形成的液晶，其中一种是水或其它极性溶剂，在一定的浓 度溶液出现液晶相。溶致液晶在生物系统中大量存在，生物膜就具有液晶特征。 聚合物液晶最早是在溶致液晶相发现的，后来又发现了热致聚合物液晶。由r 丁聚台物的分子要比一 般有机分子大很多，在性质上也有所不同，因此目前把聚合物液晶也常单独加以考虑。 实用的热致液晶由长棒状分子构成。如果从分子排列的有序性米区别液晶相，热致液晶可以分为三 人类：向列相( n e m a t i cp h a s e ) ，胆甾相( c h o l e s t e r i cp h a s e ) 和近晶相( s m e c t i cp h a s e ) 。 本文研究由长棒状分子构成的热致液晶的向列相。 卜卜2 指向矢( d i r e c t o r ) 在液晶向列相，分子的质心位置是混乱无序的，但分子的取向存在一定的有序性，即存在分子取向 的择优方向。可以引入单位矢量元来描写该择优方向，元称为指向矢。棒状分子的长轴倾向于沿指向 矢菇定向排列，而确定这种定向排列究竟完整到什么程度是分子统计理论的内容。 在液晶的连续体理论中，将指向矢元视为宏观点的函数。当然，从微观上看，宏观点仍然包含了 足够多的分子，以致而作为“分子取向的择优方向”有意义。在连续体理论中，我们不再考虑单个液 晶分子的运动，因此可以粗略的讲，而给出了分子的长轴取向。 液鼎向列相的指向矢矗在空间是任意的，可以用很小的外力来控制。研究指向矢元对外电磁场和 边界条件( 由表面处理得来) 的响应，是连续体理论的任务。 卜2 向列相液晶的基本形变 在液晶向列相的连续体理论中，用指向矢元描写液晶的状态。在没有任何外场或边界扰动时，向 列相处于亓为常数( 不随空间位置改变) 的状态。在外场作用下或者是由于边界条件的存在，亓可以随 着空问位露谢发生改变。在液晶的连续体理论中，我们假设除去在液晶中的一些奇异点或奇异线之外， 指向矢元是位置矢量尹的连续函数。当液晶中各处的指向矢偏离了它为常数所指的方向时，我们称液晶 发生了形变，发生形变的液晶的内部将产生反抗形变的回复力，或者更确切一些说是回复转矩，就像弹性 体形变那样。 液晶向列相中的形变可以分为三种基本类型：展曲( s p l a y ) 、扭曲( t w i s t ) 、弯曲( b e n d ) 。它们的 几何图像可以参考图1 1 。图中的线段代表各处的指向矢。 2 i , h l t 业人学删i 岸位论文 ( a )( b ) ， 一一一 一一 一- 。、- v 一、 ( c ) 图1 1 向列相液晶中的三种基本形变( a ) 展曲( b ) 扭曲( c ) 弯曲。 f i g 1 1t h r e ef u n d a m e n t a ld e f o r m a t i o n si nn e m a t i cl i q u i dc r y s t a l ( a ) s p l a y ( b ) t w i s t ( c ) b e n d 展曲的特点烂v - 亓0 ，士儿曲的特点魁v 亓与再相平彳，即( v 而) 亓0 ，而弯曲的特点足v 而 与亓相乖赢，即( v 元) j i 0 。当不考虑表面弹性能相的时候，可以得到向列相液晶的弹性自由能密度 无f 的表达式为 厶，：妻医1 ( v 亓) 2 + k 2 ( f i v 。j i ) 2 + k 3 g x v x 再) 2 】 ( 1 1 ) ( 1 1 ) 式中的三项分别描述了展曲形变自由能密度，扭曲形变自由能密度，弯曲形变自由能密度，其中足1 ， k ，和k 1 分别表示展曲，扭曲和弯曲弹性常数。 1 - 3 序参数与序参数张量 卜3 - 1 分子取向分布函数 在向列相液晶系统中，选择一个宏观小，微观大的区域。在该区域中，分子取向的择优方向由指向 矢亓描述。建立坐标系x y z ，让z 轴沿指向矢元，如图1 2 所示。 x 图1 2 分子取向的球坐标。 f i g i 2t h es p h e r i c a lc o o r d i n a t eo f m o l e c u l a ro r i e n t a t i o n y j 型坠l 量幽缈竺! ! 生曼! ! ! ! 璧型堕业塑 没分子长= 轴方向的球坐标的极角和方位角分别为口和庐。可以川f 2 = p ，) 来标记分子取向。定义 分子取向分布函数g ( 口) ，g ( 力) d 口代表在p ，) 方向附近很小的立体角d 口：s i n 甜甜庐内发现分子 的儿率。可以1 止g ( 力) 满足门一化条件： ) i 臼= l ， ( 1 2 ) 对】：普通的向列相，分布函数g ( 刃) 还必须满足如下条件： ( 1 ) g ( 力) 与妒无关( 阑为向列相关于指向矢两具有轴对称性) 。 ( i j ) g p ) = g 仁一目) ( 亓与一亓等价) 1 3 - 2 同别相的序参数 可以定义向列相序参数为s ，按照习惯，在完全有序的向列相我们要求s = l ：在各向同性相我们要 求s = o 。容易验证二阶勒让德多项式的统计平均值能够满足这一要求，即可以定义序参数 s = ( 圭g c o s 2 ) ) = 硅g c o s 2 k ， 。， 同样，各个偶数阶勒让德多项式的统计平均值，都可以定义为序参数，即我们有 s ：w - s = p ：c o s 目) ) s 。= ( p 4 ( c 。s 曰) ) s 。= ( p ( c o s 口) ) 序参数定量描述了分子长轴沿指向矢历分布的有序程度。实际上，常用的序参数是s 2 和s 4 。 i - 3 3 序参数张量 当我们在空间固定坐标系中描写分子的取向分布时，引入序参数张量 = g ( 3 幺哆一) ) ， ( 1 4 ) 其中力为沿分子长轴的单位矢量吃为口在空间l 司定坐标系中的笛卡儿坐标分量：当口= 芦时 占印= 1 ；当口卢时，= 0 ：( ) 仍然表示统计平均，它在各个宏观小、微观人的区域内进行。用 4 7 i , 1 4 l 丁业人学颂i ：学位论文 球坐标p ，) ，d 的笛 儿分量可以表示为口= ( s i n o c o s b ，s i n o s i n o ，c o s o ) ，具体写出序参数张 量为 q = 2 1 2 。 2 2 2 。 ( 1 ，5 ) 我们注意到序参数张量q 为对称的无迹张量，即q 筇= q 卢。，q 。= o a 另外，在各个宏观小、微 观大的区域内，指向矢元一般不会都沿着空间固定坐标系的z 轴。因此，q 的非对角元素一般并不为 零，并且q 依赖于空间位矢f ，q = q p ) 。 x 图1 ，3 定域坐标系和分子取向的球坐标。 f i g 1 3l o c a lc o o r d i n a t ea n dt h es p h e r i c a lc o o r d i n a t eo f m o l e c u l a r o r i e n t a t i o n 建立定域坐标系x yz ，定域坐标系的z 轴沿着宏观点尹处指向矢元，如图1 3 所示。在定域坐标 系中，分子取向用球坐标p ，函) 描写，因此沿分子轴向的单位矢量的笛卡儿分揖可以表示为 力= ( s i n o c o s ，s i n o s i n ，c o s o ) 。在定域坐标系x 。y z 。中写出序参数张量 或= ， 。， 其中口表示力在定域坐标系中的笛卡儿分景。 一一 一 皇曝! 星空型塑丝曼坠! ! ! ! 竺竺! ! 堡丝生婴垒 l 一4 液晶的有限分子层理论 实际的液晶显示器件就是将液晶注入各类基板问，形成液晶薄层。液晶的性质非常敏感下 边界条件，即使基板表面施于液品系统很弱的表面作州，也能改变液晶界面层( 邻近基板表面 的液晶层) 的结构。网此，液晶分子在各类蚓体表面的排列1 6 - 14 】一直是实验和理论关注的重要 问题。 研究液晶在基板上的取向方式，具有重要的理论和实际意义。p s h e n g ”】首先f ；l a n d a u d e g e n n e s 理论研究了在短程及任意强度的基板表面作用强度条件下向列相液晶的相变性质。文 中指山，通过对基扳表面进行各种取向处理，得到不同的基板表面作t l ； j 强度。然后采用分层理 论，把液晶分为平行于基板方向的若干层，在一定的基板作_ l j 强度范围内，发现由于表面作用 基板上液晶层的序参数与本体液晶相差很大，并且基板上液品层相变温度高丁本体液晶。张志 东等7 】通过l e b w a h l l a s h e r 模型，在分子场近似和_ 二粒子基团近似f 研究了垂直基板排列的 液晶薄层，且阐述了平面摩擦基板闻液晶分子沿界面排列的可能性，井提山使液晶分子沿界面 排列的摩擦基板作用势。本文将在前人研究基础上利用m o n t ec a r l a 方法对基板间有限分子层 液晶进行研究。 1 - 5 计算机模拟及m o n t ec a r l o 方法简介 假定某流体的分子间两体势给定，要想计算该流体的热力学参量值，无非有两种办法，一种是近 似方法，另一种即借助于计算机模拟。由于液品兼具流体和晶体的性质，本文将主要介绍向列相液晶的 计算机模拟，将一个己知的两体势代入到模拟过程中，把得到的结果与实验结果或其他理论结果进行比 较。计算机模拟中最常见也是跟实验结果最接近的方法就是m o n t ec a r l a 方法。 m o n t ec a r l a 方法通常被认为是“赋予了随机数的实验数学的一个分支”。对于正则系综( n ，v ， t ) ，任何与时间有关的我们感兴趣的物理量的值都可以写成如f 系综平均 = 出”扣e x p ( 一p v 。) z ， ( 1 7 ) 假定相互作用势己知，那么计算 就归结为计算一个6 n 维积分。假设现在有一个实际系统我们可 以通过某种方法得到此系统位形空间的某个位形，对于第j 个位形，可以用一系列的质心和质心取向来 描述此位形，然后我们可以计算此时a 的值a ( j ，。我们可以重复这样的过程m 次，很明显( 1 7 ) 可以 表述如下 6 一 型j ! ! 些查兰竺! ：兰丝笙兰 - ( 1 m ) z a ( i 8 ) 当然，m 应该足够大才能保证上式的统计误著足够小。这样积分就转换为简单的求干，这就是m o n t e c a r l o 方法的魅力所在。 1 - 6 本文主要工作 本文首先从数学和物理的角度介纠了m o n t ec a r l o 方法，然后对l e b w o h l l a s h e r 模型进行重复，得 到与前人文献相同的结果。在此基础上，利用m o n t ec a r l o 方法和液品分层理论来模拟平行基板间液晶 薄层的指向矢分布和分子有序度。在基板表面处，液晶薄层受到表面作州势的作用使液晶分子沿面平行 排列，采用简立方模型，将分子质心固定在简立方晶格的格点上，并对此格点模型赋以周期性边界条件 然后将简立方格点模型分为平行于基板的2 0 个分子薄层，得到各薄层的指向矢分布和分子有序度的数 值结果。计算中同时考虑了基板作用引起的双轴对称性。并适时与分子场理论的结果【”i 作比较，得到 与分子场理论对应很好的分子取向分布的结果。本文的结果对研究液晶在基板上定向排列这一物理问题 育重要的指导意义。 7 啊限分了层向列相液品m o n t e c a r l o 模拟的究 第二章统计物理中m o n t ec a r l o 方法的应用 m o n t e c a r l o ( m c ) 方法是这样一种方法：它使问题的解等丁一个假设的统计模型的参数h j 随机 数列建立这个统计模型的一个样本，从它可以得山这个参数的统计估值。这个定义表明，m c 方法的应 用范围，。泛而且诱人，许多乍看之一f 不能用m c 方法处理的问题，可以转化为随机性问题_ l _ f jm c 方法 处理，我们要讨论的是m c 方法在统计物理中的应_ j 。 为了计算物理系统的特性，一般的做法都是用基本运动方程在相空间中生成一条路径，然后沿这条 路径计算感兴趣的物理量的值。但是计算物理模拟中的m c 方法采用的是一种不同的做法。它首先将 系统用一个哈密顿量描述，并选择一个对问题合适的系综，然后用同这个系综相联系的分布函数和配分 函数，就可以计算所有的可观测量了。m c 方法的基本思想是对主要的贡献抽样以得到可观测量的估值。 统计物理中的m c 方法的中心任务是计算各种数学期望值。最终目标是要计算一些高维积分。不 过我们先看下更简单的一维积分问题，就可以对问题有足够的理解。我们想要解决的问题可以表述如 下：给出一个函数( 工) x b ) ，要计算积分 ，= r ，( x ) 凼 ( 2 1 ) 这个问题也可以表述为一个求平均问题，而这样做就把一个确定性问题变成了一个随机性问题。根 据微积分中的中值定理有 f ( x ) = ， ( 2 2 ) d a 积分( 2 1 ) 可以这样计算：在区间k ，b 】内随机选取h 个均匀分布的点x 。并构造，( x ) 的高度的样本 平均，于是 ，= 胁肛字喜m ，) 把积分转化为求和，这种做法是直接抽样的一个例子。f 面我们先给出m c 方法的数学基础。 2 - 1数学基础 2 - 1 1 大数定律 我们先举个例子：气体的压强等于单位时间内无数个随机运动的分子撞击在单位面积上的总影响 8 洲北t 业人学坝i j 学位论义 皿然计于 | 蕈f f 盯扶裂茂堤发是蛐w l 用，但肚蚀儿半是市数，刮单个分f 对胜强的影响甚微。基 ：这种火 姑随机现象平均结果的稳定性及单个随机现象的影响甚微的事实建立起米的一类极限定理，统称为人数 定律。 设 点) 是相互独立的随机变量序列，服从同一分布，且有数学期望e 乞( 七：1 ，2 ，) 存在，若对于 任意s 0 有 。l + i m 。p c i 去喜气一去砉e 炙l g ，= t ， c z 4 ， 这就是大数定律。该定律表明，随机变量专，乞，乞的算术平均值i = 去喜气的取值是随机的，但 当月足够大时，万的取值与数学期望= 吉喜e 氩的偏离群度却很，j 、，且当月无限增大时，以概率 1 保证万无限接近于e 万，而几乎不再是随机的了，即e 万= 万= 去气，这样就给计算带来极大 ，l i ；i 的方便。 m c 方法就是用某个随机变量的简单子样x ，z 2 一一。的算术平均值作为随机变量j 期望值 e ( x ) 的近似。大数定律指出，当疗 。o 时，z 的算术平均值i 以概率1 收敛到划望值。 2 - 1 2 加强的大数定律 p p l i m - 玎1 兔百：。= ，) - 这个定理说明，只要样本足够大，即可以任意趋近想要的积分值。 ( 2 5 ) 2 - 1 3中心极限定理 有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个别因素 在总的影响中所起的作用都是微小的。这种随机变量往往近似服从正态分布，从而使问题变得简化而容 易汁算，这就是中心极限定理的客观背景。在概率论中有关随机变颦和的极限分布魁止态分布的定理， 统称为中心极限定理。 ( 1 ) 定义：设虢j 为相互独立的随机变量序列，有有限的数学期望年方著：e 氕= 以， 9 一生坚2 ! ：星空型塑婆星竺! ! ! ! 妄型! 塑垫些业塑 d 气= 仃：( = 1 ，2 ) 令 b ：= d 善。 若对y - 一切实数工，有 0 = 1 ，2 ) ， 六一e ( 氩) 喜华吣， 仁s ， ! i m 而。 o 和f ( x ) 的形状相像，但是p ( x ) 的积分可以用解析方法算出。设经适当归一化后 口 ! p ( x ) 出2 1 ，p ( x ) o ， ( 2 9 ) 于是 ，= 胁肛f 舞m 胁 仁 我们可以按测度p ( z ) c & 而不是按照均匀分布来选点x ，并对在x ，点算出的函数值适当加权。于是函数 厂( x ) 的平均值为 而“蒜筹 ， 计算方差，我们得到 小p ( x ) d x - 刖出 2 亿 不失普遍性，我们可以假定f ( x ) 0a 决定样点分布的p ( x ) 的具体形式仍然可以由我们随意选定。 二笪坚2 巫血型塑熊星坚! ! ! ：! ! ：! ! 堡塑堕业塑 为，便方差尽可能地小，选 p ( 咖= 厂( x ) f 厂( x ) 出， ( 2 1 3 ) 这时方筹实际上为零。到这一步，我们得到了重要性抽样方法的概念。它基本上是选取一个偏重对积分 起重要贡献的点。处于尾部的那些点出现的频率较低。使_ l j 重要性抽样方法，我们成功地减小了统计不 确定度而不增大样本。 具体到统计物理中，为了计算物理量a ，我们可以近似地把相空间看成离散的，并设相应的系综 是i e ! l ! i j 系综( n ，v ，t ) f ( h ( x ) ) o ce x p - h ( x ) ik 。丁】， 一切对应于大能量值的状态x 对积分值得贡献很小。只是某些状态才给出很大的贡献。为了使问题的难 度降到可处理的程度，我们利用刚才介绍的重要性抽样的概念。像前面( 2 3 ) 计算维积分的情况一样， 不是均匀地在相空间中随机取点，而是按一个概率p ( x ) 来取。 下面正式地表述上述想法。首先从相空间中随机选取状态，这给山积分的近似表达式为( 设生成了 n 个状态) ( 爿) “窆爿( 厂( ( 柑) 窆( h ( 引) ， ( 2 1 4 ) 如果我们按概率p ( 工) 选取状态，那么上式变成 4 b 。妒。g ，) 厂( 一) ) ( a ) “型百一， ( 2 1 5 ) p x ，沙( 一) ) 取 p ( z ) = z 一。厂( h ( x ) ) ， ( 2 1 6 ) 即取概率分布为平衡分布，则我们想要减小的方差实际上将为零。这时计算a 归结为简单地求算术平 均 ( 一) z i i 善n 以，) 。 ( 2 ，) 利用萤要性抽样的概念，我们显著地减少了数值求解统计力学问题的计算_ 】：作量。要想使系统最后 趋于满足重要性抽样的分布，必须有一个过程使系统驰豫到此状态。 1 2 f 北t 业人学坝卜学位论文 2 - 2 2 马尔可夫链 马尔可夫链可以看作这样的随机游动，它在游走过科中任一阶段的行为都不受先前游动过程的历史 限制，只跟与其紧接的前一状态有芙，这类游动叫马尔可丈链。也就是说马尔可丈链会火盘对初始态的 记忆，这就是我们所要选取的过程。己证明马尔可丈链具有转移概率的遍历性，即不管体系初始状态如 何，在经历了一段时间后，系统将趋向于与初始状态无关的极限分布，这就是体系的平衡分布；弗也证 明，随着马尔可夫链的无限增k ，某一物理量在链上的平均值将逼近平衡分布的系综平均值。 2 - 2 3 m e t r o p o l i s 方法1 9 1 在随机游动的马尔可夫过程中，有一种m e t r o p o l i s 方法，它是前面介纠过的重要抽样法的一个特殊 情况。 m e t r o p o l i s 方法所采用的规则是选择一个从x 点游动到x 。点的跃迁概率w ( x ，x ) ，使它在游动中所 走过点：c o ，而，x 2 的分布收敛到系统达到平衡时的分布p ( x ) 。 要达到重要性抽样的目的，需要对跃迁概率w ( x ，x ) 的选择加以适当的限制。可以证明，只要游动 所选的概率满足细致平衡条件就可以达到平衡分布为p ( x ) 的目的。 2 2 4 细致平衡条件 细致平衡条件的表述如下式 p ( x ) w ( x ，x 。) = e ( x ) w ( x ，x ) ( 2 1 8 ) 若跃迁概率满足上述的细致平衡条件，可最终达到重要性抽样的目的。但细致平衡条件是充分而非 必要条件w ( x ，x ) 地选择具有很大的自由度。 f 面给出m e t r o p o l i s 方法的基本步骤，在m e t r o p o l i s 方法中一般采_ l = | 一个简单的选择跃迁概率的方 法，即： 吣户m i n - ，篙 具体操作是这样的，假如已经到达x 。点，要产生到x 的跃迁，按如下步骤进行： ( 1 ) 首先选取一个试探位置，假设x = x 。+ 玑，r 为在间隔【- 占，j 内均匀分布的随机数： 撕= 筹： 午，限分了层向列相液晶m o n t ec a r l o 模拟的研究 ( 3 ) 若r 1 ，则接受此跃迁，返同( 1 ) 开始对跃迁到x 。2 的点试探 ( 4 ) 若， ，则拒绝跃迁到x ，仍保留x 。不变，返_ f d l $ 1 j d ) ，重新试探跃迁 产生人量的点，一，x 2 后，才能得到收敛到满足分布p ( x ) 的状态。 通过上面的知识我们已经知道如何使系统达到我们想要的平衡分布。f 面同到我们感兴趣的正则系 黼正则系综平衡时的状态分布堋x ) = z - l e x p h 悔孔由篆舞= 筹可得跃迁 概率的比值只与从一个状态到另一个状态的能量改变h 有关，即； 等岩p m “m m s r ) = e x p ( - a h k a t ) ， ( 2 2 。) 可见细致平衡条件只涉及比值这表明应当用比值来定义跃迁概率，我们给出跃迁概率的一种可能的选 择。我们用m 矗代表正实数，则m e t r o p o l i s 蒙特卡罗方法的跃迁概率可表示为： w 似z 卜 ，删u 淼爰 z ， i 出。- ， 只他情仇 各个数“k 仍有待选择，w ( x ，x 。) 是每单位时间的跃迁概率，各个。决定了时间标尺t 为趋向平衡分 布的收敛快慢留下了选择的自由，通常这个时间标尺会“归一化”，最终消失在主方程里，即得： w 伍x 枷肌， 券劣， 偿：， f 丝( 二竺垡型，当胡 o w ( x ，x j = i + e x p ( 一a h k 口丁，一 1 1 ，当a h 0 f 2 2 3 ) 表示能量增加的状态跃迁概率小于1 ，能最减少的状态跃迁概率为1 ，即当z l h 0 时，状态由x 到x 跃 迁成功，若4 h 0 ，则进一步进行下述判断 j 4 , , l l t t 业人学碗i ：学位论文 ie x p ( 一m - i k 。r ，孝 【p ) 妒r z u - i k 月丁j h ( x ) ，新的分布在统计求和中的贡献不如原来的分布，但此时不能 简单丢弃新的分布，否则就是完全忽略了热运动的效果。这止好说明体系中热运动是一种存在涨落的随 机运动，防止局部温度陷入极低，我们引进了判断标准，即随机数f 。 从细致平衡条件给出跃迁概率只依赖于概率分布的比值这一事实还可以得到一个重要结论：即由 = r 状态的分布必须对应于平衡分布p ( x ) = z e x p 一h ( x ) k 日t 】，因此比例常数即配分函数z 不会进 入跃迁概率。这个结论恰好反映出这个方法的有用之处。 综上所述，我们得出正则系综蒙特卡罗方法的一般步骤： ( 1 ) 规定一个初始位形x ： ( 2 ) 产生一个新位形工： ( 3 ) 计算能量变化日； ( 4 ) 若a h 0 ，接受新位形并回到第( 2 ) 步；