（理论物理专业论文）量子噪声通道中的信息传送.pdf

量子噪声通道中的信息传送 摘要 信息科学在改善人类的生活质量和推动社会文明发展中发挥着 无可比拟和令人惊叹的作用。但是随着人们对信息需求的日益增加， 现有的信息系统在传送信息的容量、速度、保密性和安全性等方面 越来越不能满足人们的需求于是一门新兴的信息科学量子信 息学便应运而生它是量子力学和信息理论交叉产生的新兴学科， 主要包括量子通信和量子计算等量子信息的载体是量子态量子 态的制备、加工、传输以及存储的过程叫做量子信息过程。 如何有效地通过量子噪声通道传送信息是量子信息理论中的一 个重要内容本文应用量子信息理论研究了量子噪声通道中的信息 传送。主要创新成果如下： 1 、研究了通过振幅阻尼通道和广义振幅阻尼通道传送一个经典 比特的问题。当允许通过通道进行两次传送时，研究了通道参数和 输入态参数对出错率的影响证明在一定的条件下，两次纠缠传送 比两次直积态传送能增强接收者正确判断信息的能力对于广义振 幅阻尼通道而言，在一特定的条件下，纠缠态编码任何时候都比直 积态编码能传递更多的信息。 2 、运用量子通道经典容量的量子相对熵的表示公式，用数值方 法研究了广义振幅阻尼通道的经典容量结果表明经典容量依赖于 表示耗散和周围环境温度的两个通道参数特别地，在一定的条件 下，广义振幅阻尼通道的经典容量可以用一个解析表达式表示 3 、利用量子互信息的部分对称性和凸性，研究了广义振幅阻尼 通道的纠缠辅助经典容量。得到了在一定条件下，纠缠辅助经典容 量的解析和数值结果。结果表明纠缠辅助经典容量与表示耗散和周 围环境温度的两个通道参数有关，而且发现发送者和接收者之间的 博士学位论文 先验纠缠可以使广义振幅阻尼通道的经典容量增加近一倍。 4 、研究了有记忆量子噪声通道经典信息的传送问题，首次得到 具有相关噪声的泡利通道的互信息的一般公式。结果证明互信息依 赖于通道收缩因子，输入态参数和通道记忆系数。通过对互信息公 式的分析，发现：对于比特翻转通道和比特位相翻转通道等一些泡 利通道，纠缠是一种有用的源，始终能增强其互信息然而，对于 位相翻转通道和位相阻尼通道等另一些泡利通道，纠缠态编码在任 何情况下都不利于经典信息的有效传送 关键词：广义振幅阻尼通道，纠缠，出错率，经典容量，纠缠辅 助经典容量，相关噪声，泡利通道，互信息 量子噪声通道中的信息传送 i i i a b s t r a c t i n f o r m a t i o ns c i e n c ea c t st h eg r e a ti m p o r t a n tp a r ti ni m p r o v i n gt h eq u a l - i t yo fp e o p l ea n dp r o m o t i n gt h ed e v e l o p m e n to ft h ec i v i l i z a t i o no ft h es o c i e t y h o w e v e r ，w i t ht h ep e o p l ei n c r e a s i n gd e s i r ef o rt h ec a p a c i t y , s p e e d ，p r i v a c ya n d s e c u r i t yo fi n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o n ，a n ds oo n ，t h ee x i s t i n gi n f o r m a t i o ns y s - t e r nc a nn o ts a t i s f yt h er e q u i r e m e n to fp e o p l en o w t h e r e f o r e an e w s u b j e c t - - q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o d 卜_ h a sb e e nd e v e l o p e da st h ec o m b i n a t i o no f q u a n t u mm e c h a n i c sa n di n f o r m a t i o nt h e o r y q u a n t u ms t a t ei st h ec a r r i e ro f q u a n t u mi n f o r m a t i o n t h ep r o c e s so fp r e p a r a t i o n ，o p e r a t i o n ，t r a n s m i s s i o na n d s t o r a g eo ft h eq u a n t u ms t a t ea r ec a l l e dq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s h o wt or e l i a b l yt r a n s m i tt h ei n f o r m a t i o nt h r o u g ht h eq u a n t u mn o i s yc h a n - n e li so n eo ft h ei m p o r t a n tq u e s t i o n si nq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y i nt h i s t h e s i s ，t h ei n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o nt h r o u g ht h eq u a n t u mn o i s yc h a n n e li si n - v e s t i g a t e db yt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y o u rm a i n l yw o r ki sa sf o l l o w s ： 1 t h ep r o b l e mo fs e n d i n ga s i n g l ec l a s s i c a lb i tt h r o u g ha na m p l i t u d e - d a m p i n gc h a n n e la n dag e n e r a l i z e da m p l i t u d ed a m p i n gc h a n n e li sc o n s i d e r e d w h e nt w ot r a n s m i s s i o n st h r o u g ht h ec h a n n e la r ea v a i l a b l ea sar e s o u r c e ，w e f i n dt h a tt w oe n t a n g l e dt r a n s m i s s i o n sc a ne n h a n c et h ec a p a b i l i t yo fr e c e i v e r s j u d g i n gi n f o r m a t i o nc o r r e c t l yu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n sc o m p a r e dw i t ht w o p r o d u c t s t a t et r a n s m i s s i o n s i na d d i t i o n ，f o rt h eg e n e r a l i z e da m p l i t u d ed a m p - i n gc h a n n e l ，w ef i n das p e c i a lc a s ei nw h i c ht h et w oe n t a n g l e dt r a n s m i s s i o n s c a na l w a y sm a k eac l a s s i c a lb i tm o r ee f f e c t i v e l yd i s a b l et h en o i s ei n f l u e n c e 2 t h ec l a s s i c a lc a p a c i t yo fag e n e r a l i z e da m p l i t u d e - d a m p i n g c h a n n e li s i n v e s t i g a t e db yu s i n gan u m e r i c a lm e t h o d i ti ss h o w nt h a tt h ec l a s s i c a lc a p a c - i t yd e p e n d so i lt h ec h a n n e lp a r a m e t e r sr e p r e s e n t i n gt h ea m b i e n tt e m p e r a t u r e i v 博士学位论文 a n dd i s s i p a t i o n i np a r t i c u l a r ，u n d e ra s p e c i a lc o n d i t i o n ，t h ec l a s s i c a lc a p a c i t y o ft h eg e n e r a l i z e da m p l i t u d e - d a m p i n gc h a n n e lc a nb ew r i t t e na sa na n a l y t i c a l e x p r e s s i o n 3 t h ee n t a n g l e m e n t a s s i s t e dc l a s s i c a lc a p a c i t yo ft h eg e n e r a l i z e da m p l i t u d ed a m p i n gc h a n n e li si n v e s t i g a t e db yu s i n gt h ep r o p e r t i e so fp a r t i a ls y m m e - t r ya n dc o n c a v i t yo fm u t u a li n f o r m a t i o n t h en u m e r i c a la n da n a l y t i c a lr e s u l t s o ft h ee n t a n g l e m e n t - a s s i s t e dc l a s s i c a lc a p a c i t ya r eo b t a i n e du n d e rs o m ec e r - r a i nc o n d i t i o n s i ti ss h o w nt h a t t h ee n t a n g l e m e n t a s s i s t e dc l a s s i c a lc a p a c i t y d e p e n d so nt h ec h a n n e lp a r a m e t e r sr e p r e s e n t i n gt h ea m b i e n tt e m p e r a t u r ea n d d i s s i p a t i o n a n dt h ep r i o re n t a n g l e m e l l tb e t w e e ns e n d e ra n dr e c e i v e rc a na p - p r o x i m a t e l yd o u b l et h ec l a s s i c a lc a p a c i t yo ft h eg e n e r a l i z e da m p l i t u d ed a m p i n g c h a n n e l 4 t h ep r o b l e mo ft h ec l a s s i c a li n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o nt h r o u g ht h e p a u l ic h a n n e lw i t hm e m o r yi si n v e s t i g a t e d ag e n e r a lf o r m u l af o rt h em u t u a l i n f o r m a t i o no ft h ep a u l ic h a n n e l sw i t hm e m o r ym o d e l e db yc o r r e l a t e dn o i s e i sd e r i v e d i ti ss h o w nt h a tt h em u t u a li n f o r m a t i o nd e p e n d so nt h ec h a n n e l s h r i n k i n gf a c t o r ，t h ei n p u ts t a t ep a r a m e t e ra n dt h ec h a n n e lm e m o r yc o e f f i c i e n t t h ea n a l y s e sb a s e do nt h eg e n e r a lf o r m u l ar e v e a lt h a tt h ee n t a n 酉e m e n ti s a l w a y sau s e f u lr e s o u r c et oe n h a n c et h em u t u a li n f o r m a t i o no fs o m ep a u l i c h a n n e l s ，s u c ha st h eb i tf l i pc h a n n e la n dt h eb i t p h a s ef l i pc h a n n e l o u r a n a l y s e sa l s os h o wt h a tt h ee n t a n g l e m e n ti sn o ta d v a n t a g e o u st ot h er e l i a b l e t r a n s m i s s i o no fc l a s s i c a li n f o r m a t m nf o rs o m ep a u l ic h a n n e l sa ta n yt i m e ，s u c h a st h ep h a s ef l i pc h a n n e la n dt h ep h a s ed a m p i n gc h a n n e l k e yw o r d s ：t h eg e n e r a l i z e da m p l i t u d ed a m p i n gc h a n n e l ，e n t a n g l e m e n t ， t w ot r a n s m i s s i o n ，c l a s s i c a lc a p a c i t y , e n t a n g l e m e n t a s s i s t e dc l a s s i c a lc a p a c i t y ， c o r r e l a t e dn o i s e ，p a u l ic h a n n e l ，m u t u a li n f o r m a t i o n， 9 6 博士学位论文 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：7 ，弘? r 岬年伊月j 一日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密函 ( 请在以上相应方框内打“、竹) 作者签名：7 ，锄中l i r日期：砷年z 月日 导师签名哆锨嗍。砷引蝴舶 量子噪声通道中的信息传送 第一章引言 1 1 研究的历史与现状 随着信息技术的迅猛发展，信息已经和物质、能量一起构成现代 社会赖以生存和发展的三大基本要素。如果说物质是社会基础，能 量使社会具有活力，那么信息则是促进社会进步的主要因素。可见 信息在当今社会的重要性 那么在信息的传递和交换中，如何有效、可靠地传递信息呢? 用什么标准来衡量信息传送的有效程度和可靠程度呢? 这些都是人 们十分关注的问题。这些问题的理论依据是信息论( i n f o r m a t i o nt h e - o r y ) 信息论是人们在长期通讯实践活动中，由通信技术与概率论、 随机过程、数理统计等学科相结合而逐渐发展起来的一门新兴交叉 学科信息论主要研究信息的本质，信息的产生，信息的存储和传 送，信息的编码和译码；传输通道对信息传输有效性、可靠性的影 响，在噪声通道中如何保证信息传输质量等问题虽然有人类活动 就有信息的获取、传输和利用，但作为一门定量科学，“信息论 诞 生于2 0 世纪4 0 年代1 9 4 8 年，美国科学家香农( c e s h a n n o n ) 发表 的著名论文通信的数学理论 1 】，奠定了信息论的理论基础以 s h a n n o n 理论为核心的经典信息理论经过了发展和成熟的过程，现在 对通信技术和理论的发展起到了重要的推动作用但是信息学不是 孤立发展的，它与物理学是密不可分的因为信息的产生、存储、传 送等都离不开承载它的物质以及维持其存在的能量信息的一切过 程都要通过物理的方法来实现，因此它必须遵守物理规律。然而在 二十世纪初，物理学却遇到了一系列利用经典物理学无法解释的现 象，为了解释这些现象，必须有新的理论，这最终导致了量子论的 创立量子论是探讨微观世界，描述原子尺度的粒子行为的理论 博士学位论文 它揭示的量子论中的规律不仅支配着微观世界，而且也支配着宏观 世界，可以说全部物理学都是量子物理学的经典物理学对物质世 界的描述仅在宏观条件下才是正确的，世界本质上是量子的，经典 规律只是量子规律在宏观条件下的近似。从二十世纪初量子论诞生 到现在一百多年来，它经历了无数实践的考验，终于取得了巨大的 成功。这个理论不仅可以解释原子、原子核结构、化学键、物理超导 性、固体结构、半导体性质、基本粒子产生和湮灭等许多重要物理 问题，而且也促成了现代微电子技术、激光技术、新能源技术、新 材料科学等的出现和发展。虽然爱因斯坦等人曾用量子纠缠和量子 纠缠态对量子论提出过质疑 2 】，但是大量的实验现象都成功地证明 了量子论是正确的。二十世纪另一项伟大的发现是计算机科学的出 现伟大的数学家a l a nt a r i n g 在1 9 3 6 年发表的一篇令人瞩目的论文 宣告了现代计算机科学的形成 3 】t u r i n g 的论文发表不久，人们就 建成了世界上第一台电子计算机。此后计算机以惊人的速度增长 计算机是信息处理的工具随着计算机技术的进步，信息存储、显 示、处理和利用发生了根本性的变化。信息在当代社会进步中的重 大作用和广泛影响与计算机技术的进步有密不可分的联系在我们 身边，可以感受到计算机的这种变化，现在计算机越来越小，从台 式电脑到笔记本电脑再到掌上电脑；也越来越普及，从以前的稀有 物品到现在走进千家万户；运行速度也越来越快。但是计算机硬件 的增长速度与运算速度的增加速率不会持续下去，因为制造计算机 的传统方法在解决规模和速度上的困难时开始显得力不从心，当计 算机硬件的电子元件越来越小时，它的功能开始受到量子效应的干 扰；计算机运行速度因为受到经典物理原理限制，已接近其处理能 力的极限。而由于量子态叠加原理和量子纠缠特性，如果能制造出 一台“量子计算机 ，那么它将具有经典计算机所无法比拟的，快速 的，高保密的计算功能于是很多科研人员在为研制量子计算机而 做着不懈的努力阳】。 量子噪声通道中的信息传送 近年来人们越来越清楚地认识到，信息、物理学和计算机科学之 间存在着深刻的、密切的联系信息，归根结底是编码在物理系统态 中的东西，从物理角度看，信息源于物理态在时空中的变化，信息传 输是编码的物理态的传输，信息处理是被称为“计算机 的物理系 统态的有控制演化，信息的提取则是对编码物理态的测量【7 】信息 论、物理学和计算机科学的联系不仅表现在信息需要借助于物理手 段存储、传输和处理，而且还表现在这些科学概念、原理都要受到基 本物理规律的制约当对编码信息的态从经典物理理解过渡到量子 物理理解时，由于量子态具有根本不同于经典物理态的性质，对以经 典物理为基础的信息论和计算机科学不可避免的要重新加以审视， 于是产生了以量子力学为基础的量子信息理论( q u a n t u mi n f o r m a t i o n t h e o r y ) 量子信息论将信息学和量子力学有效地结合起来，将信息 科学的发展带入了一个新天地它不但将以往的经典信息和经典通 道推广到量子信息和量子通道，而且直接利用微观体系的量子状态 来描述量子信息，也引入了量子力学特有的量子纠缠。量子信息论 主要包括量子计算和量子通信。量子纠缠不论是在量子计算还是在 量子通信中都发挥着重要的作用。本文着重介绍量子通信量子通 信是量子信息理论中首先走向实用化的研究方向目前量子通信主 要是以极化光子为信息载体，采用纠缠光子对作为传送信息的量子 通道量子通信一般的流程如图1 1i s 发送者首先对希望发送给 图1 1 ：量子通信流程图 接收者的信息风进行编码操作c ( e n c o d i n go p e r a t i o n ) ，编码的态的密 度算符几通过通道( 表示为) 被发送给接收者，接收者对接收到 一田 窆 跚田 互 掣田 窆 田 博士学位论文 的密度算符肪进行解码操作口( d e c o d i n go p e r a t i o n ) ，最终得到密度 算符胁从胁中接收者可以提取原来的信息。本文所考虑的通道是 量子通道，它可以用来传送量子态。经典信息或者量子信息，只要 按一定的编码操作编码到一量子态上，就可以通过量子通道传给接 收者。 在利用量子通道传送信息时，人们最关心的问题是传送的可靠信 息是多少? 如何有效的传送信息? 这就引出两个问题：一是衡量通 道传送能力的物理量是什么? 二是用什么方式可以提高量子通道传 送信息的能力。关于这些问题，科研人员已经做了许多工作 9 】 7 9 】 在文献 9 】9 中，y u e n 等人第一次给出了在量子系统中传送信息的极 限问题；后来无噪声量子通道容量，量子噪声通道的v o nn e u m a n n 容 量( 也就是通道的经典容量) ，以及量子通道的量子容量等不同的通 道容量公式被相继给出 1 3 】一 2 6 1 与此同时如何提高通道传送信息的 能力，也即如何提高通道的容量也就被提上议事日程 2 7 】一【3 6 】。在文 献 2 7 】中提出的量子密集编码方案第一次利用量子纠缠来提高通讯 效率；文献 2 8 】中为了提高量子噪声通道传送信息的能力，c a l d e r b a n k 和s h o t 提出了一种更好的量子纠错编码方案；文献 2 9 】中，b e n n e t t 等人发现用纠缠态编码经典信息的方式可以提高通道的传送信息的 能力。后来他们严格证明接受者和发送者之间的先验纠缠可以提高 量子通道的经典容量，也第一次提出了量子噪声通道的纠缠辅助经 典容量的概念 3 0 】，给出了纠缠辅助经典容量的一般计算公式。一 般说来，量子纠缠在提高通道传送信息的能力方面是一种特殊的资 源。当然也有用其它增加通道容量的方法，比如在文献 3 1 】中，b o w e n 等人出乎意料的发现在解码时附加的噪声可以增强振幅阻尼通道的 经典容量，等等 在物理上，量子通道可以被描述为一些量子系统从发送者到接 收者的传送如果传送是完美的而且不受干扰的，则通道是无噪声 量子通道；如果在传送的过程中，量子系统与另外的系统发生相互 量子噪声通道中的信息传送 作用，那么通道就是量子噪声通道。对于不同的量子通道的各种容 量的研究，自从通道容量的概念提出以后就没有中断过，例如文献： 2 5 ，2 6 】，【3 7 】一 5 3 】等但是据我们所知关于广义振幅阻尼通道【8 0 】的研 究甚少，其各种容量的具体公式也未曾导出而广义振幅阻尼通道 是一种非常重要的量子噪声通道，它可以描述在有限温度的环境驱 使下，量子系统的能量耗散效应。而能量耗散效应在真实的物理系统 中是普遍存在的，如：原子自发发射一个光子的动力学行为，任意的 自旋系统在一定温度下的演化过程，干涉仪或腔中的光子受到散射 和衰减时的演化等等都涉及到系统的能量耗散故在本文作者将会 对该通道进行重点研究，探讨它作为信息传送通道时的传送能力尽 管通道的各种容量的定义式已经被给出，但通道容量的计算却是一 件不太容易的事情，人们为此提出了各种不同的方法f 5 7 ，6 2 ，6 4 ，8 1 】 在本文中作者将会通过一些特殊的方法来计算广义振幅阻尼通道的 容量。 在利用量子通道传送信息时，最开始人们的注意力主要集中在无 记忆量子通道上，也即通道在连续使用时，其噪声影响是独立的。但在 实际的物理系统中，通道连续使用时作用在其上的噪声是相互关联 的这样的通道称为有记忆通道，或具有关联噪声的通道。m a c c h i a v e l l o 和p a l m a 首次考虑了具有马尔科夫关联噪声的退极化通道传送信息 的问题【6 6 】此后人们便展开对各种有记忆量子通道的研究讨论【6 7 】一 【7 9 】，其中人们最感兴趣的问题还是纠缠在信息传送过程中所起的 作用目前的一部分工作也表明纠缠在通道记忆参数满足一定条件 时可以增强一些记忆通道的经典传送能力 6 6 ，7 2 ，7 3 】，同时b a n a s z e k 等人也在实验上证明纠缠的这种增强效应 7 1 】但是对所有的具有 记忆的量子通道而言，纠缠是否总可以增强其经典传送能力呢? 纠 缠增强经典传送是否对通道有选择性呢? 关于这些问题，据作者所 知，并没有得到很好的回答本文将针对这些问题，考虑一些特殊的 具有记忆的泡利通道，希望能找到纠缠增强经典传送能力的条件。 博士学位论文 1 2 本文的主要内容 本文是一篇考虑量子噪声通道中经典信息传送的理论性文章， 将主要研究广义振幅阻尼通道在传送信息的过程中出错率，容量的 问题以及具有记忆的泡利通道传送信息时的互信息问题。具体内容 组织如下： 第二章介绍量子噪声通道中信息传送的基本概念以及基本原理。 从第三章开始就是作者自己的工作第三章主要介绍通过量子噪声 通道进行两次传送信息的过程中，纠缠态编码信息与直积态编码信 息两种编码方式对通道传送信息能力的影响，文中将主要考虑振幅 阻尼通道和广义振幅阻尼通道。第四章将利用量子相对熵理论以及 量子互信息的部分对称性和凸性，分别研究广义振幅阻尼通道的经 典容量与纠缠辅助经典容量。考虑通道参数和输入态参数对容量的 影响，并且在一定的条件下比较这两种容量。以上考虑的通道均是 无记忆量子噪声通道，即通道连续使用时，彼此之间没有关联但 在真实的物理系统中，通道连续多次使用时，彼此之间会有影响， 也就是通道是有记忆的第五章将研究具有部分记忆的泡利通道传 送信息的能力主要研究两泡利通道，比特翻转通道，位相翻转通 道，比特位相翻转通道以及位相阻尼通道。一方面考虑用纠缠态编 码与用直积态编码对信息传送的影响，另一方面，考虑通道连续使 用两次时，其关联程度对通道传送能力的影响第六章将对全文进 行总结，并对未来工作提出展望 量子噪声通道中的信息传送 第二章量子噪声通道中信息传送的基本概念和原理 2 1 量子位 在经典信息理论中，信息量的基本单位是比特( b i t ) ，它有两个 取值0 和1 ，在经典计算中，每个数据要么是0 ，要么是1 。从物 理角度讲，比特是个两态系统，它制备在两个可识别状态中的一个 上，例如：“是”或“非 、“真”或“假 、“0 或“1 等在数 字计算机中电容器平板之间的电压可表示经典信息比特，有电荷代 表1 ，无电荷代表0 相应地，在量子信息理论中，量子信息的基本单位是量子比特 ( q u b i t ) ，也称为量子位一个q u b i t 对应的是一个双态量子系统，这里 双态是指两个线性独立的态。如：对于半自旋粒子系统( 如电子) ， 其两个独立态常记为1 0 ) 和1 1 ) ，( 其中1 0 ) 表示自旋向上的态，1 1 ) 表 示自旋向下的态) ；对于光子而言，这两个独立态常记为i l ) 和i 兄) ， 分别表示左旋圆极化和右旋圆极化两种光子态；对于其它的两能级 系统，这两个独立态可以是其基态和激发态；等等以这两个独立 态为基矢，张起一个两维复矢量空间，所以一个量子位也可以说是 一个两维希尔伯特空间那么n 个量子位的态张起一个2 n 维的希尔 伯特空间，存在2 n 个互相正交的态。 量子比特和经典比特不同，因为它不仅可以处于1 0 ) 态或1 1 ) 态， 而且可以处于1 0 ) 态和1 1 ) 态的叠加态： i 矽) = q i o ) + z l l ，( 2 1 ) 其中q 和p 是复数，必须满足l q l 2 + 例2 弓1 当对处于方程( 2 1 ) 所 表示的态的量子比特进行测量时，将以概率i a l 2 得到态1 0 ) ，以概率 例2 得到1 1 ) 且测量结果将扰动这个态，测量以后l 妒) 被制备在一个 博士学位论文 新态上。经典比特可以看作是量子比特的特例( 口= 0 或p = 0 ) 。 量子比特处于叠加态的可能性与人们理解身边物理世界的常识相矛 盾。经典比特像一枚( 均匀的) 硬币，要么正面向上，要么反面向 上而量子比特却可以处于1 0 ) 态和1 1 ) 态之间的任何量子态上 直到它被观测。注意，量子比特被观测时，只能得到非0 即1 的测 量结果，每个结果有一定的概率量子比特尽管奇特，但它们却是 真实存在的，而且它们的存在和行为被大量实验所证实，实验中， 任何两态的量子系统都可以用来制备量子比特。如前面提到的光子 的两种不同的极化；均匀电磁场中核自旋的取向；原子或量子点的 能级；任何量子系统的空间模式等等 单个量子比特可以用图像来形象地表示。因为l q l 2 + 俐2 = 1 ，所 以方程( 2 1 ) 可以改写为 m = c o s 扣“n 孔 ( 2 2 ) 其中0 和妒都是实数，它们对应于三维单位球面上的一个点，如图 2 1 所示这个球通常称为b l o c h 球面( 8 0 】。虽然b l o c h 球面上的点 有无穷多个，但是量子比特的观测结果只会得到0 或1 ，而且，测 量会改变量子比特的状态，从1 0 ) 态和1 1 ) 态的叠加态塌缩到与测量 结果相容的特定状态。例如，如果量子态i + ) = 去1 0 ) + 去1 1 ) 的测量 结果为0 ，那么量子比特测量后的状态为1 0 ) 这种行为是量子力学 的基本原理之一所以一个量子比特所包含的信息量只能是一个比 特的信息，这与一个经典比特所包含的信息量是一样的 用量子态来表示信息是量子信息的出发点，有关信息的所有问 题都必须采用量子力学理论来处理，信息的演变遵从薛定谔方程， 信息的传输为量子态在量子通道中的传送，信息的处理( 计算) 是量 子态的幺正变换，信息的获取则是对量子态实行量子测量 量子噪声通道中的信息传送 图2 1 ：量子比特的b l o c h 球面表示 2 2 信息熵 熵是量子信息理论中的一个重要概念，它用来测量一个物理系 统的状态中所包含的不确定性本节将介绍熵在量子信息理论中的 定义和性质，为了说明更加清楚，首先介绍在经典信息理论中的熵 2 2 1s h a n n o n 熵 s h a n n o n 熵是经典信息论的关键概念，假定要获取随机变量x 的 值，x 的s h a n n o n 熵是当获取x 的值时，平均所获得的信息的量 度。直观上，随机变量所包含的信息量应不依赖于随机变量可能取 值的标号，一个随机变量以概率1 4 和3 4 分别取“正面”和“反 面 所包含的信息量应该与另一个以概率1 4 和3 4 分别取0 和1 的 随机变量所包含的信息量相等所以随机变量的熵定义为该随机变 量取不同值的概率的一个函数，而且不受这些值的标号影响如果 一个随机变量x 以概率p 。，p 2 ，砌分别取值z 。，z 2 ，则与该 1 0 博士学位论文 概率分布相联系的s h a n n o n 熵定义为 8 2 ，8 3 】： 日( x ) 三h ( p p ，骱) 兰一p = 1 0 9 p = ( 2 3 ) 注意定义中( 以及本论文中) 对数符号“l o g 是以2 为底的，按照 这种约定，熵是以“比特”为量度单位的。当“p x = 0 力时，因为l o g 0 没有定义，这时，可以认为从不发生的事件应该对熵没有贡献，所 以约定0 l o g0 三0 经典信息论中还有一些经常用到的与熵有关物理量，简单介绍 如下： ( 1 ) 相对熵 相对熵用来测量两个概率分布p ( x ) 和q ( x ) 之间的接近程度。p ( x ) 和g ( z ) 的相对熵定义为： h ( p ( 圳| g ( 圳三莩p l o g 籍一脚) 一事p 1 0 9 如) ( 2 4 ) 如果p ( z ) 0 ，定义一p ( x ) l 0 9 0 兰+ 相对熵是非负的，即h ( p ( x ) i l 口( z ) ) 0 两概率分布相差越大， 其相对熵越大当两个概率分布完全相等时，其相对熵为零。 ( 2 ) 联合熵、条件熵及互信息 设x 和y 是两个随机变量，那么它们所包含的信息之间有什么 关系呢? 条件熵和互信息可以回答这个问题随机变量x 和y 之间 的联合熵定义为： h ( x ，y ) 三一p ( z ，y ) l o g p ( x ，! ，) ， ( 2 5 ) 其中p ( z ，y ) 是随机变量x 和y 的联合概率密度联合熵测量了关 于( x ，y ) 对的整体不确定性如果知道y 的值，则已经得到了关于 量子噪声通道中的信息传送 1 1 - ( x ，y ) 的h ( y ) 比特的信息，那么关于( x ，y ) 的剩余不确定性可以用 条件熵来表示，如下： h ( x i y ) 三h ( x ，y ) 一日( y ) ( 2 6 ) 条件熵是已知y 值的条件下，平均而言得到的关于x 的不确定程度 的度量。 随机变量x 和y 之间共有的信息量用x 和y 之间的互信息来 量度，如下： h ( x ：y ) 三h ( x ) + h ( y ) 一h ( x ，y ) ( 2 7 ) 注意等式h ( x ：y ) = 日( x ) 一h ( x i y ) 将条件熵和互信息联系了起来。 关于s h a n n o n 熵的一些基本性质我们在此不做详细讨论，有兴趣 的读者可以看相关文献 8 0 ，8 4 ，8 5 】 2 2 2 v o nn e u m a n n 熵 在量子信息理论里，与经典信息理论中s h a n n o n 熵对应的是v o n n e u m a n n 熵，密度算符为p 的量子态的v o nn e u m a n n 熵定义为 8 6 ，8 7 】： s ( p ) 三- t r ( p l o g p ) ， ( 2 8 ) 在上式中，对数是以2 为底的。若k 是p 的本征值，则v o nn e u m a n n 熵的定义可重写为： s ( j d ) = 一k 1 。g a z ( 2 9 ) 其中象s h a n n o n 熵那样，定义0 l 0 9 0 三0 从计算的角度看，方程( 2 9 ) 更有用本文中就经常用到 1 2 博士学位论文 在量子信息理论中，相应的相对熵概念非常有用。如果p 和盯是 密度算符，则p 到盯的相对熵定义为 s ( pi i 盯) 兰t r ( p l o g p ) 一t r ( p l o g 盯) ( 2 1 0 ) 正如经典的相对熵，量子相对熵有时会是无穷的还可以证明，量 子相对熵是非负的，即s ( p0 盯) 0 ，当且仅当p = 盯时，等号成立 这个不等式称为k l e i n 不等式 8 8 】 类似的，复合系统的量子联合熵、量子条件熵和量子互信息如下 定义： s ( a ，b ) 兰一t r a 日( bl o gp a b ) ， s ( a b ) 三s ( a ，b ) 一s ( b ) ， s ( a ：b ) 三s ( a ) + s ( b ) 一s ( a ，b ) = s ( a ) 一s ( a b ) = s ( b ) 一s ( b i a ) ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 其中p a b 是复合系统a b 的密度矩阵 下面不加证明地给出量子信息中v o nn e u m a n n 熵的有关性质： ( 1 ) v o nn e u m a n n 熵是非负的，当且仅当量子态为纯态时，熵为 零 ( 2 ) 在d 维希尔伯特空间中v o nn e u m a n n 熵最大为l o g d ，当且仅 当系统处于完全混合态i d 时，熵为l o g d ( 3 ) 当复合系统a b 处于纯态时，有s ( a ) = s ( b ) ( 4 ) 假设p ；是态p i 的概率，p i 张成一个正交的子空间，则： s 悻p t p i ) = 鼬，+ 莩删硝 江 ( 5 ) 联合熵定理 量子噪声通道中的信息传送 1 3 假设p i 是态p t 的概率，i i ) 是系统a 的正交态，p t 是另一个系 统b 的一组密度算符，则： 文到引椰) = ，+ p 洲 嘲 ( 6 ) 次加性和三角不等式 如果两个不同的量子系统a 和b 组成的系统的联合密度算符为 p 仰，则两个系统的的联合熵满足下列不等式： s ( a ，b ) s ( a ) + s ( j e 7 ) ， s ( a ，b ) l s ( a ) 一s ( b ) l ， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 其中第一个不等式称为v o nn e u m a n n 熵的次加性不等式；第二个不 等式称为三角不等式，有时也称为a r a k i l i e b 不等式【8 9 】 ( 7 ) v o nn e u m a n n 熵的凸性 假设p i 是态胁相应的概率，则熵满足下面的不等式： s m ) 莩础础 亿 ( 8 ) 强次加性 强次加性不等式是将两个量子系统的次加性和三角不等式推广 到三量子系统时得到的一个不等式【9 0 ，9 1 】它是量子信息论中最重 要和有用的结论之一其内容如下：对于三个量子系统a ，b ，c ， 有 s ( a ，b ，c ) + s ( b ) s ( a ，b ) + s ( b ，c ) 关于以上这些性质的详细证明也可见参考文献( 8 0 】 1 4 博士学位论文 2 3 量子纠缠 纠缠，也称量子纠缠，是量子系统独有的物理性质。它反映了量 子两体或多体系统各部分之间的相关和不可分离性。近些年来，随 着量子信息这一新兴领域的蓬勃发展，量子纠缠逐渐成为人们的热 门话题，但它并不是什么新生事物，“纠缠”这一名词的出现可以追 溯到量子力学诞生之初。从量子力学诞生之日起，围绕量子力学中 基本原理和基本概念的理解的争论就从未间断过。其争论主要发生 在以爱因斯坦为代表的经典物理学家和以玻尔为代表的哥本哈根学 派之间。其间最著名的事例，是在1 9 3 5 年爱因斯坦、波多尔斯基和罗 森( e i n s t e i n ，p o d o l s k y ，r o s e n ) 一起提出的著名的e p r 佯谬 2 】。在此 文中爱因斯坦等人第一次提出纠缠态的想法，其本意是说明在承认 局域性和实在性的前提下，量子力学的描述是不完备的。虽然这场 辩论最终是以玻尔所坚持的量子力学的非局域性理论的胜利而结束 的。但e p r 佯谬实验揭示了量子力学基本问题未来的发展方向，量 子纠缠态的概念正是在这一方向上产生的。量子纠缠现象是量子力 学不同于经典物理学最奇特、最不可思议的特征没有量子纠缠现 象，就不会有今天所讲的量子信息。由于纠缠态特殊的物理性质， 使量子信息具有经典信息所没有的许多新的特征，同时纠缠态也为 信息传送和信息处理提供了新的物理资源。在本论文中，纠缠可以 提高通道传送信息的能力，具体说来可以有两种途径一是将传送 的经典信息编码成纠缠态( 见第三章和第五章) ，一是令发送者和接 收者事先享有纠缠对( 见第四章) 那么究竟什么是纠缠? 什么是纠 缠态? 纠缠态具备哪些性质? 这些问题将是本节的主要内容 2 3 1s c h m i d t 分解和纯化 当两个或两个以上部分构成一个复合系统时，这个复合系统总 可以划分为两个子系统当复合系统由两部分构成时，每一部分就 量子噪声通道中的信息传送 1 5 可以看作时一个子系统；当复合系统由多部分组成时，可以任意划 分两个子系统。对于处于纯态的复合系统，有下面的