（应用数学专业论文）测度链上动力方程边值问题正解存在性及多解性的研究.pdf

摘要 s t e f a nh i l g e r 于1 9 8 8 年引入了测度链上动力方程理论，该理论统一和扩展了连续 和离散分析并且为研究广义的动力方程提供了一个理论基础这个理论不仅为研究连续 情况下的微分方程和离散情况下的差分方程提供了统一的理论结构，而且对测度链的研 究有许多重要的应用测度链上动力方程边值问题来源于应用数学和物理的一系列不同 领域，从而这些问题引起人们的极大关注本文研究了n a b l a 指数函数的相关性质以及 测度链上三类动力方程的边值问题，通过利用锥上的拉伸与压缩不动点定理，不动点指 数，测度链上的变换技巧等方法，得到了动力方程边值问题正解的存在性与多解性的结 果我们的结果推广和改进了一些原有结果 关键词：动力方程，测度链，不动点定理，不动点指数，正解，锥 a b s t r a c t t h et h e o r yo fd y n a m i ce q u a t i o n so nm e a s u r ec h a i n s ，i n t r o d u c e di n1 9 8 8b ys t e f a n h i l g e r ，u n i f i e sa n de x t e n d sc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ea n a l y s i sa n d a h op r o v i d e saf r a m e - w o r kf o rs t u d y i n gg e n e r a lc l a s so fd y n a m i ce q u a t i o n s t h i si sn o to n l yb e c a n s ei tc a n p r o v i d eau n i f y i n gs t r u c t u r ef o rt h es t u d yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h ec o n t i n u o u s c a s ea n dt h es t u d yo ff i n i t ed i f f e r e n c ee q u a t i o n si nt h ed i s c r e t ec a s e b u ta l s ob e c a u s e t h es t u d yo fm e a s u r ec h a i n sh a sl e dt om a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s t h eb o u n d a r y p r o b l e m sf o rd y n a m i ce q u a t i o n so i lm e a s u r ec h a i n sa r i s ei nav a r i e t yo fd i f f e r e n ta r e a s o fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c sh e n c e ，t h e yh a v er e c e i v e dm u c ha t t e n t i o n w es t u d y t h er e l a t e dp r o p e r t i e so fn a b l ae x p o n e n t i mf u n c t i o na n dt h r e ec l a s s e so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so f d y n a m i ce q a t i o n so nm e n s l i r ec h a i n sa r ei n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r b ym e a n s o ft h ef i x e dt h e o r e mo fc o n ee x p a n s i o na n d c o m p r e s s i o n ，f i x e dp o i n ti n d e x ，t e c h n i q u e s o ft r a n s f o r m a t i o n so nm e a s u r ec h a i n sa n ds oo n ，s o m ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yr e s u l t s f o rp o s i t i v es o l u t m so fb v po nm e a s u r ec h a i n sa r eo b t a i n e d o u rc r i t e r i ag e n e r a l i z ea n d i m p r o v es o m ek o w nr e s u l t s k e yw o r d s ：d y n a m i ce q u a t i o n s ；m e n s u r ec h a i n s ；f i x e dp o i n tt h e o r e m ；f i x e d p o i n ti n d e x ；p o s i t i v es o l u t i o n s ；c o n e 引言 在现实生活中为了描述某类物理现象，生物化学反应状态等现象时，通常用方程来 进行表达和描述这些方程包括连续状态下的微分方程和离散情形下的差分方程对同 一个微分方程如果经过差分化后引出描述同一现象的差分方程，人们很自然要提出这 样一系列的问题t 微分方程差分前后两个方程的性质相似吗? 两个方程解的情况和性 质一样吗? 可以用一种统一的理论来对它们进行研究吗? 这样提出的问题是很具有启 发性，在经过一些学者的尝试和研究后表明，微分方程的许多性质经过差分化后是保留 下来了，但是，也有不少例子表明微分方程与差分方程会有一些不同的性质尽管有不 同，但二者相似之处却预示可以产生一个把连续和离散的问题纳入同一框架进行研究的 新的分析理论 在1 9 8 8 年德国数学家s t e f a nh i i g e r 在他的博士论文中首先引入了测度链概念。在 1 9 9 0 年他发表了测度链分析一一个连续与离散计算的统一方法 1 j 1 ，此文发表后受到 数学家的广泛关注该理论把连续和离散的计算缡入同一框架下一泓度链上的计算，从 而运用这个理论对连续与离散的问题统一的解决，避免了对许多微分方程和它们相应的 差分方程进行重复的研究在测度链上对方程的研究使人们有一个更为宽广的的研究领 域和舞台 测度链上动力方程的研究可追溯到其创立者h i l g e r ，是当前数学界十分关注的比较 年轻的课题链度链分析理论的优势一统一了连续与离散分析，从而确立了它在测度 链上动力方程的重要应用价值测度链上的动力方程不仅可以包括微分方程和差分方程 作为它的特殊情况，而且在应用上有着巨大的潜力在自然界中有相当多的过程有时依 赖连续变量。有时依赖离散变量测度链上的动力方程却能恰当的给出一些现象的数学 模型例如美国彼得森与托马斯用测度链上的动力方程弥合了西尼罗河病毒传播的离散 和连续方面之间的空隙托马斯认为这种数学模型是理解和控制这种疾病的最有效的工 具另外不同季节昆虫种群的活动期和休眠期、神经网络、热传导等可以用它来描述， 这种数学工具目前已用来改进股票市场的计算模式对于测度链上动力方程的研究已取 得了不少结果，其中b o t m e r 和p e t e r s o n 系统的分析了时间测度( 测度链的一种情况) 1 上动力方程的重要一类；时间测度上的动力方程( d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s ) 【2 】 本文主要研究测度链上的n a b l a 指数函数的一些性质、n a b l a 指数函数与d e l t a 指 数函数的关系以及测度链上三类动力方程边值问题正解的存在性与多解性在一些介绍 测度链概念及其运算的文章中( 比如 1 】) 提到在测度链的运算中很重要一个函数d e l t a 指数函数，介绍了它的一些性质和它的运算但是对于与d e l t a 指数函数相似的n a b l a 指数函数介绍不多，关于n a b l a 指数函数与d e l t a 指数函数的关系、二者在d e l t a 可 微与n a b l a 可微下的关系没有见到，该问题解决了有关这二个函数之间的运算相互转 化困难的难题测度链上动力方程边值问题有很广泛的实际背景( 比如提到的例子) ， 解决此类问题有较多数学理论和方法，例如拓扑理论，临界点理论。迭合度方法、半序 方法等，本文讨论了测度链上三类动力方程边值问题，下面把本文讨论的主要问题列出 如下， 第三章二阶测度链上周期边值问题的正解 卜第四章 二阶测度链上m 点边值问题的正解 第五章高阶测度链上i l l - 点边值问题的正解 在解决上述三个问题的过程中，利用非线性泛函分析中的方法，得到上述三个方程正解 的存在性与多解性 2 第一章测度链基本理论 1 1 基本概念 本节首先介绍测度链上的基本概念与定义，详细的内容可见【2 定义1 1 1如果t 是实数集r 上的一个非空闭子集，则称t 是一个测度链 有关测度链的例子，自然数集n ，整数集z ，实数集r ，c a n t o r 集，实数区间 f a ，b 】的任何闭区间，其中a ，b 是实数然而，有理数集q ，酞一q 复数集c ，却不是 测度链 定义1 1 2对v t t 设i n f 0 ：= s u p t 定义d r ：t _ t 其中 盯( t ) ：= i n f s t ：s t ) 则称仃前跳算子同样可以定义后跳算子； 对v t t 设s u p o ：= i n f t 定义p ：t 一面其中p ( t ) ：= s u p s t ：s t 时，称t 是右稀疏的；当p ( t ) 时，称t 是左稀疏的 如果t 存在右稀疏的最小值点m ，则t k ；t 一 m 。否则，t k = t 如果t 存在左稀疏的最大值点m ，则t k = t 一 m 否则，t = t 另外， 记铲2 = ( 铲) 2 硪= 铲n t k 我们记p ( t ) ：= 口( t ) 一t 称t 为向前g r a i n i n e s s ，记 v ( t ) = t p ( ) 称为向后g r a i n i n e s s 设，：口一r 为一函数，规定t 尸= ，( 盯) f v ( t ) = ，( 户( f ) ) 觇t 设a , b 为t 中的点且o b ，在本文中规定； 霄中的区间 a ，b 】是指【a ，6 】：= t t ：a 吣，同样对于测度链t 中的( a , b ) 是指 ( a ，b ) ：= t ：o t 0 ，e = 1 一g “。) u 1 其中 ( 0 o ) ，对v s u ，使得 i 【，( 盯( t ) ) 一，( s ) 】一，( ) p 0 ) 一s 】l l 盯0 ) 一s i 则称，( ) 为，在t 处d e l t a 微分 同样可定义n a b l a 微分如下。 定义1 2 2 ( n a b l a 微分) 对任意的函数，：耳一r 定义其导数，v ( ) ( 存在) ： 2 设t n ，对垤 0 ，存在t 的邻域u ( u = ( t 一正t + 6 ) n t 存在某个d 0 ) ，对v s u ，使得 “，( p ( ) ) 一，( s ) 】一i v ( ) p ( t ) 一司j i p ( t ) 一s i 则称i v ( ) 为，在t 处n a b l a 微分 当t = r 时。，( t ) = ，一，v ( z ) ， 当t = z 时，( ) = f ( t + 1 ) 一，( ) ，v ( ) = ，( f ) 一， 一1 ) 下面给出d e l t a 微分与n a b l a 微分的有关性质，我们以定理的形式给出，较容易证明 1 ，【3 】 定理1 2 3 设f ：t r ，t 俨则有； ( i ) 若，在t 处d e l t a 可微，则，在t 处连续 ( i i ) 若，在t 处连续且t 为右稀疏点，则f 在t 处d e l t a 可微且 归紫 ( 啦) 若，在t 处右稠密，在t 处d e | t a 可微当且仅当极限 烛( t ) = 掣 存在为一有限数，等于该极限 ( i v ) 若，在t 处d e l t a 可微，则，p ( t ) ) = ，( t ) + u ( t ) f ( t ) 定理1 2 4 设f ：t r ，t 吼则有： ( i ) 若，在t 处n a b l a 可微，则，在t 处连续 ( i i ) 若，在t 处连续且t 为左稀疏点，则，在t 处n a b l a 可微且 归紫 ( i i i ) 若，在t 处左稠密。，在t 处n a b l a 可微当且仅当极限 刚= 等掣 存在为一有限数，v 等于该极限 3 ( i v ) 若，在t 处n a b l a 可微，则，( p ( ) ) = ( t ) 一( ) ，v ( ) 定理1 2 5 设f ，g ：t r 在t t 上d e l t a 可微，则有； ( i ) f + g 在t 处d e l t a 可微，且( ，+ 夕) ( f ) = 产( f ) + 严( t ) ( m k 为常数，在t 处d e l t a 可微且( k ，) ( t ) = k f ( ) ) ( i i i ) ，g 在t 处d e l t a 可微，并且有 ( ，9 ) ( z ) = ，( ) 口( f ) + ，( 盯( t ) ) 9 ( ) ；f ( t ) g ( ) + f a ( ) 夕( 盯( ) ) ( i v ) 若g ( t ) g p ( t ) ) 0 ，则f g 在t 处d e l t a 可微且 ( 抑) ；丝端高趔 定理1 2 6 设厶孽：t _ r 在t t k 上n a b l a 可微，则有： ( i ) f + 9 在t 处n a b l a 可微，且( ，+ 9 ) v ( ) = f v ( t ) + g v ( t ) ( 1 。1 。) k 为常数，庇，在t 处n a b l a 可微且( ，) v ( f ) = k f v ( t ) ) ( i i i ) ，9 在t 处n a b l a 可微，并且有 ( f g ) v 0 ) = ，v ( b ( t ) + ，( p ( ) ) 9 审( ) = f ( t ) g v ( t ) + f v o k ( p 0 ) ) ( i v ) 若g ( t ) g ( p ( t ) ) 0 ，则f i g 在t 处n a b l a 可微且 ( 扣) = 艘瓣 一般情况下，( p ( t ) ) f v ( t ) 和f v ( 盯( ) ) ，( ) ； 如果o ( p ( 0 ) = t 时，贝1 j ，( p ( t ) ) = f v ( t ) ， 如果p ( 盯( t ) ) = t 时，则f v ( 盯( t ) ) = ，( ) 下面给现有关上面两个问题的两个定理 定理1 2 7 设f ：t r 在俨上d e l t a 可微，( t ) 在俨连续，那么f 在仉上 n a b l a 可微并且v t t ，f v ( t ) = 产( j d ( t ) ) 证明固定t t k 当t 是左稀疏时，由于，在d e l t a 的可微，则，连续那么，在t 处是n a b l a 可 微的并且，v ( t ) = 丛群另一方面由于p ( ) 右稀疏，则 朋啪= 鹆辫= 铹 因此有f 9 ( t ) = f a ( p ( ) ) 当t 是左稠密与右稠密时，则有，( t ) = ，v ( t ) = 烛( t ) = 訾因此结论也 成立的 当t 是左稠密与右稀疏时，利用测度链上的中值定理【4 】，设，是 o ，纠ct 上的连 续函数且在h ，卢) 上d e l t a 可微，则存在f ，r 陋，p ) 使得 ，( r ) 掣，) 利用中值定理上式可写为 ，( r ) 掣，幢) 其中f ，下在o ，卢之间，当8 一t 时一t ，r t 由条件，是连续的，上式则为 弛( 砖= 等掣 ，另一方面因为t 是左稠密的，上式左端等于f v ( t ) ，故f a ( t ) ；，可( ) 定理1 2 8 设，：t r 在砜上d e l t a 可微，v ( ) 在t 连续，那么，在铲上 d e l t a 可微并且v t 驴，f a ( t ) = ，v ( 盯( o ) ) 定理1 2 8 的证明与定理1 2 7 类似，定理1 2 7 和定理1 2 8 在为后面推导d e l t a 指数函数与n a b l a 指数函数关系提供了便利，下面给几个例子 例1 2 9 设a 是一个常数，m n ( i ) 若f ( t ) = ( t o ) ”则，( ) = 【o ( t ) 一司。 一o ) ”一1 一。 ( i i ) 若9 0 ) 一( t 一) 一m 则g ( ) = 一p ( f ) 一a 4 一”+ 。( t n ) 一。一1 ， ( 若p 0 ) 一】( 一o ) 0 ) 例1 2 1 0 设i ( t ) = t 3 ，t t ，对于口( ) t ，那么 ，( 功= 乏掣= 锵= ( 口( t ) ) 2 + t 口( d + 2 ，可。) = ! 掣= 鱼善手三= ( p ( d ) 2 + t p ( 幻+ 产 当t = r ，( t ) = ，可( t ) = 3 t 2 ； 当t = z ，( t ) = 3 t 2 + 3 t + 1 ，审( t ) = 3 t 2 3 t + 1 例1 2 1 1 在t = ：n n ) n o ) 上考察，( t ) = t 2 的微分， 盯( t ) = r t i 肿) = 南，那么 = 掣= 警 ，v ( t ) ：型掣：百t 2 + 2 t 1 3 测度链上的积分 本节介绍测度链上的积分的概念及其运算，为了引入可积性，先给出引入下列概 念 定义1 3 1 ( 正规性) 对于函数，：t r ，若对可中的一切右稠密点，它的右极限存在 且有限；对一切t 中左稠密点，它的左极限存在且有限，则称，在t 是正规的 定义1 3 2 对于函数，：t r ，若它在t 中一切右稠密点上连续，且在左稀疏点上， 它的左极限存在且有限，称，：t r 是r d 连续记t 上一切r d - 连续函数的全体为 c r d ( t ) = c r d ( t ，r ) 定义1 3 3 对于函数，：t r ，若它在t 中一切左稠密点上连续，且在右稀疏点上， 它的右极限存在且有限。称f ：t r 是l d - 连续记t 上一切l d 连续函数的全体为 g d ( t ) = c h ( t ，酞) 对于函数p ：t r 在t = 0 ，1 】un 上是r d 连续的但是在t = l 处不连续，若 t = r ，则f ：r r 在t 是r d 连续当且仅当，在t 上是连续的当t = z 时，则对 任意函数f ：z r 是r d 连续的 定理1 3 4 假设，：t r ，则有； ( i ) 若，连续，则，也是r d 连续的 ( i i ) 若，是r d 连续的，则f 是正规的 6 ( i i i ) 前跳算子口是r d 连续的 ( i v ) 若，是正规的或r d 连续的，则厶也是正规的或r d 连续的 ( v ) 若，是连续的，9 ：t r 是正规的或r d 连续的，则fo g 是正规的或r d 连 续的 定理1 3 5 假设f ：t r ，则有； ( i ) 若，连续，则，也是l d 连续的 ( i i ) 若，是l d 连续的。则，是正规的 ( i i i ) 后跳算子p 是l d 连续的 ( i v ) 若，是正规的或l d 连续的，则广也是正规的或l d 连续的 ( v ) 若，是连续的，岔：t r 是正规的或1 d 连续的，则f o g 是正规的或l d 连 续的 定义1 3 6 设f ：t r ，若存在函数f ( t ) ，使得v t t k 有f 0 ) = f ( t ) 此时 定义f ( r ) a r = f ( 6 ) 一f ( n ) ，其中。，b t ；若存在函数e ( o ，使得v t t k 有 儿 砧 f v ( d = f ( t ) 此时定义7f ( r ) v r = f ( 一r ( a ) ，其中n ，b t ，o f t 定理1 3 7 ( i ) 若f g d ( 曰且t t ，则f ( r ) a r = p ( ) ，( t ) o 磐) ( i i ) 若f g d ( t ) 且t t k ，贝0 f ( r ) v r = u ( t ) f ( t ) 证明由定义1 3 6 可知，存在原函数f 对于( i ) l tf ( r ) a t j 口( t ) 一f p ( ) ) 一f ( t ) = 芦( ) f ( ) = p ( ) ，( ) 对于 厶，c r ，v r ：f c 砷一f c p c t ， = u ( t ) f v ( t ) = p ( ) ，( f ) 定理1 3 8 设f ，g ：t r 是连续的且a ，b ，c t 则有； 7 ( 1 ) r ，( t ) + g ( t ) a t = cf ( t ) a t + r g ( t ) a t r 【，( t ) + g c t ) v t ；j ：b 。、t ) v t + eg ( t ) v t f ：k f ( t ) a t = k ：( t ) z x t ，ck f ( t ) v t = 七rf ( t ) v t ( i i i ) l ：f ( t ) a t = 一琵f ( t ) a t ，锃f ( t ) v t = 一嚣f ( t ) v t ( 妇) f ? f ( t ) a t = cf ( t ) a t + f ? f ( t ) a t ，f ? f ( t ) v t = c f ( t ) v t + f ? f ( t ) v t ( 口) e ，( t ) g ( t ) a t = ，( t ) g ( t ) l ：一j ：，( a ( ) ) 9 ( t ) a t e ，v ( t ) g ( t ) v t = 仲) 夕( t ) 眭一e ，( p ( t ) ) g v ( t ) v t 定理1 3 9 设，是【a ，b 】上的连续函数( 其中a b ) 则有 ( ) f ：f ( t ) a t = r 6 f ( t ) a t + 【6 一p ( 6 ) 】，( p ( 6 ) ) ( 越) f ：f ( t ) a t = p ( 。) 一司，( 。) + 厶。) f ( t ) a t ( i i i ) j ：( t ) v t = r 6 f ( t ) v t + 6 一p ( 6 ) 】，( 6 ) ( 口) f ：f ( t ) v t = p ( n ) 一司，( 盯( 。) ) + 层。) ( t ) v t 定理1 3 1 0 设，：t t r 是一个连续函数，0 t ) 若f ( t ，s ) 关于t 的微分 f z x ( t ，s ) ，f v ( t ，8 ) 是连续的，则有， ( 1 ) ( t ，( ，s ) s ) = ，( 盯( t ) ，) + j ：，( t ，s ) a s ( i i ) ( f ( t ，s ) v s ) = ，( p ( t ) ，p ( t ) ) + ，v ( t ，s ) a s ( 嘲( f ( t ，s ) v s ) v = ，( p ( t ) ，) + ，v ( ，s ) v ( i 口) ( f ( t ，s ) v 8 ) = ，( 一( t ) ，盯( t ) ) + ，( ，s ) v s 例1 3 1 1 设a ，b t 并且f c r d ( t ) 则 当t = r 时，则有z 6 ，( t ) t = z 6 ，( t ) 出其中右端的积分为m e m a n n 积分 当霄= z 时， z 6 坤叫童鬈：羔 本节中的有关定理的证明可参见【2 有了以上积分上的定义和运算，对后面的问题 的讨论提供了基础 第二章d e l t a 指数函数与n a b l a 指数函数的关系 h i l g e r 首先创立时间测度上( 测度链的一种情况) 的指数函数，随后许多学者对d e l t a 指数函数及其性质进行了研究，并取得了不少好的结果，但是对n a b l a 指数与d e l t a 指 数之间的关系研究不多见，本文正是在这样的情况下，对二者进行了讨论，所得的结果 进一步丰富了测度链上指数函数的运算，为解决有关问题提供了运算上的便利 2 1d e l t a 指数函数与n a b l a 指数函数 z ：= zec ：一元1 i m ( z ) 0 ，定义矗：c h z 其中 “加p 锄箕 l o g 是主对函数 定义2 , 1 2 函数f ：t r 叫做回归的，若对v t t 。，使得1 + p ( ) p ( ) 0 ；若对 v t t k ，使得l v ( t ) p ( t ) 0 把t 上所有回归且r d 连续的函数的集合记为冗= r ( t ) = 冗( t ，r ) 把t 上所有回归且l d 连续的函数的集合记为c = c ( t ) = c ( t ，r ) 定理2 1 3 【2 】若在冗上定义加法为o ，即。对任意的t t ，p ，q 冗 og ) ( ) ：= p 0 ) + q ( t ) + i t ( t ) p ( t ) q ( t ) 则( 7 e ，。) 是一 a b e l 群其中p 的逆元为e p ：= 一而p ，在冗上定义减法e 即 v p ，口佗，p o g ：po ( e g ) ：鲁! l 十“口 定义2 1 4 【d e l t a 指数函刿设p ：t r 是回归且r d 连续的， 规定v t t ，s t ， e ，( t ，s ) = e x p ( 。缸c ，( p ( r ) ) 0 其中靠( z ) 是( 2 2 1 ) 所定义的 需要说明的是，若a t ，p ：t r 是回归且r d 连续， 则y a ( t ) = p ( t ) ! ，y ( a ) ；1 的唯一解为e p ( ，8 ) 下面给出d e l t a 指数函数的常见的性质 定理2 1 5 f 2 1 若致g 冗，且t ，s ，r t 则有： ( i ) e o ( 厶s ) 兰1e d t ，t ) 兰1 ( i i ) 白( 盯( t ) ，s ) = ( 1 + u ( t ) p ( t ) ) e a t ，s ) ( i i i ) 丽1 两= e p ( s ，) 一e e 巾( t ，s ) ( i v ) 勺( t ，s ) e p ( s ，r ) = e p ( t ，r ) ( 钉) 5 ) ( f ，s ) = 8 蛐g s ) 渊= 勺。( ，s ) ( 。词e 争( ，s ) = p ( t ) e p ( t ，8 ) 例2 1 6 对于e p ( t ，s ) = e 印( 缸( ，) ( p ( 丁) ) r ) 在以下情况下有； 当面= r 则勺( 铀) = e x p p ( r ) d r ) 当霄= z 则e p ( t ，s ) = 一t - 1 。( 1 + p ( r ) ) 当面= h z 则p 为常数时，e ，( t ，s ) = ( 1 + p ) 警 定理2 1 7 若在c 上定义加法为一o ，郎：对任意的t t k ，p ，q c ( r e ，q ) ( 砷：= p ( t ) + q ( t ) 一u ( t ) p ( t ) q ( t ) 则( ，。一) 是一个a b e l 群其中p 的逆元为。印：；一r 当历，在c 上定义减法e r 即v p ，q c ，p e v q = p 。”( e ”q ) 2 而p - q 1 0 定义2 1 8 【n a b l a 指数函矧设p ：t r 是回归且l d 连续的， 规定，v t t ，s r k ， ，s ) = 唧( ，靠似r ) ) v r ) 其中矗( 2 ) 如下定义； 沁卡哩孛瑟 下面给出n a b l a 指数函数的常见的性质( 类似于d e l t a 指数函数的性质) ( i ) 钿( ，8 ) 兰1 岛( f ，t ) 暑1 ( i i ) 白( p ( t ) ，s ) = ( 1 一y ( ) p ( t ) ) a ，( ，s ) ( i i i ) 礞1 丽= 白( s ，) = e 。p ( ，s ) ( i v ) 岛( t ，s ) 知( 8 ，r ) = 白( ，r ) ( t ，) 如( z ，s ) a q ( ，8 ) = 8 蛾q ( t ，s ) ( u i ) 鲁锩= e ，。( t ，s ) ( v i i ) a 了( t ，s ) = p ( t ) 岛( ，s ) 2 2d e l t a 指数函数与n a b l a 指数函数的关系 本节是本章要给出的主要内容 引理2 2 1 设，是【8 ，r 】上的连续函数 广r 广7 ( i ) 若，在【s ，r ) 上连续，则f ( p ( t ) ) v t = ，( t ) f o 分o p ( i i ) 若，在( s ，r ) 上连续，则7f ( a ( t ) ) a t = ff ( t ) v t j o j s 证明t ( i ) 设f ：【8 ，r 】一取并且f ( t ) = f ( t ) v s ，r ) 厂巾皿= f f f a ( 必t 叫旷即) i tf ( 尹。) ) v = f f p v ( t ) v t = f ( r ) 一f ( s ) ( i i ) 设g ：【8 ，r 1 一r 并且g v ( ) = f ( t ) v ( 8 ，r ) 根据定理1 2 8 ，从而g ( ) = g 可( 盯( t ) ) = g ( 盯( ) ) f f f ( t ) v t = f g v ( t ) v t = c ( r ) 一g ( s ) 7 加皿= ，7 g 娜t - g - g ( s ) 定理2 2 2 设p 是t 上正规并且连续的函数，t ，s t 则有 ( i ) e p ( t ，8 ) = a e 。( - - p p ) ( t ，s ) ( i i ) 如( t ，s ) = e e ( 一矿) ( t ，s ) 证明：( i ) 由 南l o g - 州r m 训r = 石i ；两l 。g 【l + ( 仃( 丁) ) p ( p ( 盯( f ) ) ) 丁 = ，南l 0 9 【1 + 小) 咖( 嘲胁( 由引理2 驯 = ，南l o g f l _ 小h ( 卅阿 故 e p ( t ，s ) = 唧( f = 责雨l 。g 1 一( r ) 9 v ( 一矿) 】v f ) = a e 。( 1 p ) ( t ，s ) ( i i ) 由 ，南l 0 9 1 叫咖m = ，ti i 石1 再两l 。g 1 一肛( p ( r ) ) p ( 仃( p ( r ) ) 】v r = 二南l 0 9 1 - 时) p ( 嘶) m ( 由引理2 驯 = ，。南l 0 9 【1 州帕阿) 】r 1 2 故 e x p 南l 叼1 1 + p ( r ) e ( 一删f ) e e ( 一矿) ( ，s ) 定理2 2 3 设p 是t 上正规并且连续的函数，t ，s t 则有 ( i ) k ( ，s ) 】v = e ，( - r e ) e a t ，8 ) = ( i i ) 眸( t ，s ) 】= e ( 一p - ) a g t ，s ) = 证明： ( i ) 由定理2 2 2 则有 矿( ) 1 + ( t ) 矿( ) p 4 ( ) 1 一肛( ) 矿( ) e p ( t ，s ) 知( t ，s ) 口 e p ( t ，s ) 】v = e ，( 一矿) ( ，s ) 】v = e ”( 一p p ) 6 e ，( 矿) ( t ，s ) = e ，( 一矿) e ，( t ，8 ) = 再丽r e ( t ) e p ( ，s ) ( i i ) 由定理2 2 2 则有 晦( ，s ) 】= e e ( 中) ( ，s ) 】v = e ( 一矿) e e ( 一p 一) ( f ，s ) = e ( 一矿) 岛( t ，8 ) = 靠1 铽如) 口一p ( t ) 矿( f ) 。” 一 在定理2 1 6 与定理2 1 1 0 的( i i ) 给出了e p ( o ( t ) ，s ) 与岛( p ( ) ，8 ) ，下面给出了 e p ( t ，s ) 的p 与知( t ，s ) 的口的情况 定理2 2 4 设p 是耳上正规并且连续的函数，t ，8 t 则有 ( i ) 啪 s ) = 揣 苗。明( i 。i ) 。i f ，s i i ：i j j ；：巍，。，一。，。，。，。，v证明。( i )8 撕s ) = e ，( t ，s ) 一( ) 姒t ，s ) 1 9 = 们，s h ( c ) 蔫 s ) ： 垒生：! 1 1 + v ( t ) p p ( t ) ( i i ) ( ，s ) = 知( ，s ) + u ( t ) i e a t ，s ) 】6 = e a t , s ) 州褊伽) ： 垡! ! 兰! 1 一p ( ) 矿( t ) 2 3n a b l a 指数函数进一步的性质 口 前面给出了n a b l a 指数函数一般的性质，下面将给出该函数进一步的性质，所取 得的性质在研究动力方程解振动性时有帮助本节的结果是在e a k i n ，l e r b e 研究 d e l t a 指数函数的性质时受启发得到的 定理2 3 1 设p ：t k r 是回归且l d 连续，若存在一列相异点列 k ) ct k 使得 1 一u ( t 。) p ( 。) 0 ，t l = 1 ，2 则 l i r ai t 。i = o o 证明：( 反证法) 假设存在一列点 。) ct k 使得1 一u ( t 。) p ( 。) a 时。设t i 是( a , t ) 中第i 个点( 1 i n ，一1 ) 则 z 南= 喜e 。，南 = 一善志“缸) c a s e 2 当t = 时， z 。南= 。 c a s e 3 当t 0 则对任意的t t 知( t ，o ) 0 ( i i ) 若存在某r t k ，使得1 一v ( t ) p ( t ) 0 则 岛( 7 _ ，n ) 知( p ( r ) ，o ) 0 ， 1 确) 2 南l o g 1 一扩( ) 删畎 e a s e 2 当( t ) = 0 ，矗( t ) 0 ( t ) ) = p ( t ) r 从而当t 吼矗( t ) ( p ( ) ) 为实数， 故对任意的t t 岛( f ，a ) 0 ( i i ) 由假设存在某f t k ，使得1 一( t ) p ( ) 0 ，则 知( p ( 下) ，8 ) ：= ( 1 一v ( r ) p ( 7 - ) ) a ，( 丁，s ) 故a p ( 7 ，o ) 岛( p ( r ) ，a ) = ( 1 一p ( 7 - ) p ( 下) ) 知( 丁，s ) 】2 0 ( h 3 ) ，：t 【o ，o o ) 一 0 ，o 。) 连续，且有i ( t ，“) = ( t + 置u ) 对于( 2 ) ( 3 ) ，a t i c ia n dg u s e i n o v 9 研究了( 2 ) ( 3 ) 在差分情形下解的存在性问题，l i u a n dg e 【1 0 】讨论了( 2 ) ( 3 ) 在连续情况下正解的存在性，t o p a l 【1 1 】运用了上下解法， 得到了 一y v a ( t ) + q ( t ) = 0 ，”( p ( o ) ) = y c b ) ，y a ( p ( 。) ) = y a ( 6 ) 有周期解 另外a c a b a d a 1 3 还讨论了一个n 阶微分方程的周期边值问题问题( 2 ) 在s t u r m - l i o u v i l l e 边值下解的存在性问题也引起了许多学者的兴趣作者是在前面研究问题的启 1 7 发下研究了( 2 ) ( 3 ) 解的情况本文通过求出( 2 ) ( 3 ) 的格林函数及对格林函数的合理估 计，使用了r i c c t i c 方程的变换技巧，运用锥上的不动点定理、l e g g e t t - w i l l i a m s 不动 点定理，获得了( 2 ) ( 3 ) 的正解的存在性与多解性所得的结果涵盖该问题连续与差分情 况【4 ，l o 】 本文在3 2 给出了解决问题所需的引理与定理，3 3 给出了( 2 ) ( 3 ) 的一个，两个 正解的存在性和( 2 ) ( 3 ) 有三个正解及多个解的存在性准则 3 2 预备知识与引理 在这一部分我们证明一个关于l y = 0 的r i c c a t i 方程有存在一个周期解，得到一 个与r i c c a t i 方程有关的指数函数，利用这个指数就可以得到关于( 2 ) ( 3 ) 的格林函数， 为解决问题提供了便利 设a 霄为了后面方便起见，我们傲以下规定t 扩) # 。嚣p ( 。)q 4 _ 。m m a x 邪荆 州t ) = 巡丛监竽堂b ：= 。晶州) 引理3 2 1 设a t 且( h 1 ) ，( h 2 ) 成立，则r i c c a t i c 方程 户( 。) 2q ( t ) 一而渤 ( 4 ) v t 面，有一个周期为t 的解z t 且0 z tsb ，e z r ( t ) a t 0 证明： 对于z a 0 ，设z (