（应用数学专业论文）varga球壳翻转变形的wkb分析.pdf

昆明理工大学硕士学位论文 摘要 众所周知，弹性球壳在翻转后可能不再保持球壳形状而出现起皱现象。 从数学角度来看，就是出现分支解。本文先利用一个模型问题，介绍有重根 的w k b 方法；然后运用弹性力学的有关知识，导出球壳翻转变形的增量方程 组；接着运用w k b 方法，分析了备向同性且不可压缩的超弹性v a r g a 材料球 壳翻转后的变形问题。在大模数情形下，对于a b = o ( i ) ，得到了球壳内外 径临界比的简单渐近表达式。对模数区域内几乎所有的模数，渐近结果与数 字结果相吻合。其次还证明，对于a b = o ( m 。z ) ，增量方程没有非零解。 关键词：w k b 分析，球壳翻转，超弹性，不可压缩，分支解。 a b s t r a c t i ti sw e l l k n o w nt h a ta s p h e r i c a ls h e l lm a y n o t s t a ys p h e r i c a la f t e re v e r s i o na n d i t m a yp r e f e rt oa d o p taw r i n k l e dc o n f i g u r a t i o n i nt h ep a p e r w k bm e t h o di si n t r o - d u c e dt h r o u g him o d e lp r o b l e mw h o s ea l g e b r a i ce q u a t i o na b o u tt h el e a d i n go r d e r h a sr e p e a t e d r o o t sw i t ht h eu s eo fe l a s t i cm e c h a n i c s ，t h ei n c r e m e n t a le q u a t i o n s o fa ne v e r t e dv a r g as p h e r i c a ls h e l la r ed e d u c e d t h e n ，w ea p p l yw k bm e t h o dt o t h ea n a l y s i so ft h eb u c k l i n go fa ne v e r t e dv a r g as p h e r i c a ls h e l lo fi n c o m p r e s s i b l e ， i s o t r o p i ch y p e r e l a s t i cm a t e r i mf i r s t l y ，w eo b t a i n e das i m p l ea s y m p t o t i ce x p r e s s i o n f o rt h ec r i t i c a lr a t i oo ft h ei n n e rr a d i u st ot h eo u t e rr a d i u s ，w i t ht h em o d en u m b e r u s e dal a r g ep a r a m e t e r ，e x c e l l e n ta g r e e m e n tb e t w e e nt h ea s y m p t o t i ca n dh u m e r i - c a lr e s u l t si sf o u n do v e ra l m o s tt h ew h o l em o d e - n u m b e rr e g i m e s e c o n d l y ，w ea l s o s h o w ，f o ra b = o ( m i ) ，n o n o n - z e r os o l u t i o nc a nb eo b t a i n e d k e y w o r d ：w k ba n a l y s i s ，e v e r s i o no fs p h e r i c a ls h e l l ，h y p e r e l a s t i c i n c o m p r e s s i b l e ，b i f u r c a t i o ns o l u t i o n 昆明理工大学硕士学位论文 前言 弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个重要分支。所谓弹性，是指物体 在外界因素作用下所产生的应力和应变之间的关系是一一对应的，或者说， 应力和应变之间双方互为单值函数，而且与变形过程无关。弹性力学可分为 数学弹性力学和工程弹性力学。 在现代工业，如水利工程、造船工程、航天工程中，人们必须清楚地知道 结构元件在外因作用下的静动力响应，而这些结构元件往往又可看作一种弹 性固体。因此，弹性力学与近代工业有着广泛的联系，具有广泛的应用 在弹性力学的发展过程中，弹性理论与数学的许多分支有着密切的联系。 一方面，“数学是弹性力学的支柱”；另一方面，“弹性力学促进了数学的发 展”，微分方程、泛函分析、扰动方法、偏微分方程以及变分方法等都以弹性 力学的某些问题为研究背景。弹性力学研究方法有实验方法、数学方法以及 数学与实验相结合的方法。常用的数学方法有精确解法、近似解法及数值方 法。在数学的常微分方程领域，由于方程的非线性或变系数给求解方程带来 很大困难，精确解法能解决的问题少之又少，因此人们退而求其次，研究了许 多解析近似方法。目前，最常用的解析近似方法为摄动法。大量的工作表明， 摄动方法是求含小参数方程( 或大参数方程) 近似解的极为有效的方法。经 典的摄动方法f 3 1 1 有：w k b 方法、正则摄动法、应变参数法、多重尺度 法、匹配渐近法、平均化法和变形坐标法等。 本文用到的w k b 方法，名字来源于w e n t z e l 、k r a m e r s 和b r i l l o u i n 三人对 该方法所做的贡献。有人指出，该方法早在1 8 3 7 年l i o u v i l l e 和g r e e n 出版的 论文里使用过。甚至有人发现，c a r l i n i 于1 8 1 7 年研究行星椭圆轨道时就已使 用过该方法。与匹配渐近法及多重尺度法相比，w k b 方法的优点在于： 用匹配渐近法时，边界层上的解通过求解边界层问题来确定。困难之处在 于确定边界层是否存在及其位置。使用多重尺度法时，快变时间尺度上的解 要通过求解偏微分方程来决定难点在于如何判断存在多重尺度和每种尺度 的大小，以及选取适当的渐近展开。使用w k b 方法时，首先就是假设方程的 解带有指数函数项。这个假设有效地简化了求渐近逼近饵的过程。 昆明理工大学硕士学位论文 本文利用w k b 方法，求得了v a r g a 材料球壳翻转变形的增量方程之渐近 逼近解( 到第二项) ，得到了球壳翻转产生分支解的内外径临界比。 本文的写作得到导师林怡平教授的悉心指导和帮助，特此谨致衷心感谢! 限于本人的水平和能力，文中难免出现不妥与不完善之处，敬请老师们指 正。 y 6 t s 9 2 9 l 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：- - - 3 芯军 日 期：2 口哆年二月心l 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名： 挂! 墨堑 论文作者签名： 与? 巷军 日 期：兰竺! 兰生! 兰目! 旦 1 引言 1 1 已有结果 随着近代工业的飞速发展和计算机运算速度的不断提高，弹性力学的研 究对象也迅速扩大，研究方法也有所增加。关于弹性材料变形的论文如雨后 春笋一般迅速增加。文献 1 3 一1 8 】研究了超弹性圆柱管的翻转问题；文献1 9 2 6 】研究了不同条件下或不同材料的弹性盘和弹性体的变形及稳定性；文献 2 7 3 0 】研究了弹性球帽翻转平衡解的存在性和重数等问题；而研究弹性球 壳的论文也有许多，例如，文献【3 l 一4 0 】用不同方法研究了在不同限制条件 下球壳翻转解的存在性和稳定性，探讨了存在分支解的条件文献【4 1 更是 对弹性变形的理论和应用作出了杰出的贡献这些文献当中所使用的研究方 法也多种多样，如：变分法【2 6 、行列式法【15 、合成矩阵法 1 8 1 、w k b 方法 1 6 、数值方法【1 2 等。从上述文献可以看出，球壳翻转与圆柱翻转有其相似 之处，但也有许多不同。例如，圆柱管的翻转可以用实验方法检验，而球壳的 翻转缺少实践性。 本文涉及翻转球壳的稳定性。换句话说，一个球壳在翻转后是否保持球 壳形状。这个问题包括两个方面首先，从数学的角度来看，球对称翻转解 是否存在? 文献 1 2 】、【3 6 和【4 0 】已经讨论过，并且得到了肯定的结论( 对 m o o n e y r i v l i n ，v a r g a 和t h r e e t e r m 材料) 其次，非球对称解( 即分支解) 是否 存在? 为了回答这个问题，我们给主要解加上一个增量变形，然后研究增量 方程的线性化特征值问题是否有非平凡解文献【1 2 】已经用数值方法研究过 这个问题。在这里，我们用w k b 方法重新研究这个问题 在文献f 3 1 】中，作者用w k b 方法分析了任意厚度的n e o - h o o k a n 球壳翻转 后的分支解问题在【3 1 l 中，由于主要项s ( z ) 满足的四阶代数方程无重根，因 而可以比较容易地得到四个线性无关解方程的通解就是它们的线性组合。 本文讨论v a r g a 球壳由于s ( z ) 满足的四阶代数方程有重根，获得四个无关解 的过程就不是那么简单了 全文由四节组成。这一小节介绍有关弹性体变形的研究现状；t - ：j 、节介 绍一个模型问题；第二节提出问题，得到有关增量变形的方程组；第三节把 弹性模量值代入，化简方程组，然后用w k b 方法进行分析；第四节给出主要 结果。 1 2 模型问题 首先介绍有重根的w k b 方法。为此，我们考虑二阶微分方程 e 2 象咄似卅e ，( 卅而( 拼塞可：。， ( 1 1 ) 其中，e 是小参数，( z ) ，9 ( z ) ， ( z ) 是任意函数我们的目的就在于找到两个 线性无关解。通过构造线性组合得到方程的通解 运用w k b 方法，设方程有渐近形式解 = y ( z ) e x p ( ；x s ( z ) 出) ， ( 1 2 ) 其中，函数s ( z ) ，y ( 。) 可以按照e 的某次幂展开把( 1 2 ) 代入( 1 1 ) ，得 f s 2 2 s ( h + e ，十d g ) + z 2 】y + e ( 2 s y + s ，y ) + e 2 y ”一2 e y ( + e ，+ e 2 9 ) = 0 ，( 1 3 ) 其中，表示对。微分主要项s ( 。) 满足 s 2 2 s h + 护= 0 ， ( 1 4 ) 因此，s ( z ) = h 4 - 胡芦= 如果h 4 - x ，( 1 4 ) 有两个不同的根对应于每一个 根，y ( 。) 可以展开为 r ( x ) = k 和) + e y l 0 ) + ， ( 1 5 ) 不妨设y o ( z ) 0 把展开式代入( 1 3 ) 并等化e 同次幂的系数，可以逐步确定未 知函数y o ，m ，对于k ，有 2 ( s 一 ) w + ( 一2 s i ) y o = 0 ， ( 1 6 ) 垦塑翼三奎耋堡圭兰垡丝塞 3 由于e x p ，2 ( s - + e s z + ) 出可以包含在y ( x ) 当中，因此s ( z ) 不必展开为s ( 。) = 翮( z ) + e s t ( z ) 十( 我们也可以取y ( z ) ；1 ，把s ( z ) 展开为s ( z ) = 8 0 ( ) + e s 。( z ) 十一， ) 两个不同根8 ( x ) 对应两个线性无关解，从而得到( 1 _ 1 ) 的通解 如果h = z ( h = 一z 可以类似考虑) ，方程( 1 4 ) 有重根s ( z ) = z ，( 1 6 ) 化 简为1 2 z ，= 0 因此，若h = 。且，1 ( 2 z ) ，以上方法不再适用。( 这类似 于渐近分析代数方程( 1 一e ) 。2 2 x + 1 = 0 如果设这个代数方程有渐近形式解 。= z o + 锄+ e 2 。2 + ，我们会看到关于主要项的方程有重根茹o = 1 对于下 一项，有1 = 0 由该方程的精确解可知，z 应当按e - ：展开) 我们寻找渐近 形式解 s ) = 8 0 扛) + e 1 2 s l ( 。) ，y = y o + e 1 2 k + e 碥+ - 一( 1 7 ) s ( 。) 只包含两项，这是因为高次项可以包含在y ( x ) 当中。 把( 1 7 ) 代入( 1 , 3 ) ，等化e 同次幂的系数，可以得到一系列方程。主要项 8 0 ( z ) 满足8 3 2 s o h + x 2 = 0 ，得到重根8 0 ( z ) _ z 而e 1 2 项的问题自然满足。对于 e 的一次项，有( s 一2 f x + i ) r o = 0 因此，要想有非平尼解，必须s 一2 知+ 1 = 0 ， 即 7 8 1 = 士、2 知一1 ( 1 8 ) 最后，对于e 3 。项，有 2 ( 2 f x 1 ) y g = ( - f z + 4 f 2 嚣一3 ) y o ( 1 9 ) 从而可以解出碥( 可以乘一个常数倍) 。到这一阶的两个无关解为 y o ( z ) e x p ( ；i 。( z 士e l 2 丽) d z ) ( 1 1 0 ) 当h = 正，= i t ( 2 z ) 时，( 1 9 ) 式中w 的系数为零，故以上分析不再适用。在 这种特殊情况下，由( 1 8 ) 得s 。三0 ，( 1 9 ) 自然满足。为了拽到y o 满足的微分 方程，我们分析e 2 项，得 碥一( 1 t z ) y d 一2 9 z y = 0 ( 1 1 1 ) 这个二阶方程有两个线性无关解，表示为珞1 和珞”方程( 1 1 ) 到这一阶的 两个无关解为 培”e z p ( ；。出) ，培2 e 。p ( ；。z 出) ， ( 2 ) 在这种特殊情况( 即h = z ，= 1 ( 2 x ) ) 下，展开式( 1 5 ) 再次生效。本文考虑 的翻转问题就对应这种特殊情况。 2 问题的形成 2 1 球壳翻转 变形前球壳在球面极坐标系( r ，o ，西) 下表示为 0 a rsb ，0 e 曼7 r ，0 垂2 7 r ， 其中，a 和b 是变形前球壳的内半径与外半径。不失一般性，设b = 1 ( 即 把b 取作长度单位) 。考虑球壳翻转变形： r = r ( r ) ，日= 丌一e ，咖= 圣，( 2 1 ) 其中，( n0 ，币) 也是球面极坐标系，r ( r ) 是e 1 严格减函数翻转后球壳表示 为 0 o 冬r b ，0s 口”，0 毋s2 r 在球面极坐标系下，变形梯度f 为 f 磊d r 00 f = l o 一置 o i oo 盖 主拉伸是拉伸张量( f t f ) 2 的特征值对于球面变形( 2 1 ) ，主拉伸为 a l = 一丽d r = 她= 盖 由于材料是不可压缩的，从而 j = d e t f = a p , 2 a 3 = 1 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 昆明理工大学硬士学位论文 由( 2 4 ) ，积分( 2 , 3 ) 得 r 3 = 8 3 + 1 一r 3 ，b = ( 1 + 口3 一a 3 ) 1 3 ，( 2 5 ) 从( 2 3 ) 和( 2 5 ) 得 班矸士币，警= 等( 1 州) ( 2 6 ) 该球壳由各向同性的齐次超弹性材料构成，其依赖于变形梯度的应变能量函 数为 w = t 矿( a l ，a 2 ，a 3 ) c a u c h y 应力张量盯的主分量为 盯“= 仃；一p = ：i 识一p ，z = 1 ，2 ，3 ， ( 27 ) 其中，p 是流体静力学压力，上式对i 不求和，且 w i = o w a 、 在不受体积力作用的情况下，变形后球壳的平衡要求应力张量的散度为零。 由( 2 , 3 ) 和( 2 7 ) ，唯一的非平凡平衡方程为 导+ ；2 ( 一= o ( 2 8 ) 在变形后的外表面上，由零拉力边界条件，得： o - l l = 0 ，( r = a ) ( 2 , 9 ) 由文献【1 2 第二节知，翻转后球壳的内腔是保持的由内表面的零拉力边界 条件，得： 盯l l = 0 ，( r = 1 ) ( 2 1 0 ) 积分平衡方程( 2 8 ) ，并利用边界条件( 2 9 ) ，得： = z 上鼍导d r ( 2 t ) 昆明理工大学硕士学位论文 由( 21 0 ) 与( 2 1 1 ) ，有： ，。丝二型d r ：0 ，br 用m a t h e m a y i c a4 0 ，计算( 2 1 2 ) ，得 ，l( 1 + n 3 6 3 ) 2 3 、2 a 2 2 b 2 140 3， 3 3 11a 3 1 6 一矸f 【弧1 1 ，；，丽b 3 l _ 0 ( 2 1 3 ) 其中，f 是超几何函数， 脚删，= 薹锵叫“， l 伽i “= 帮 2 2 增量方程 非线性弹性增量方程的得出可以参见【3 8 1 。这里给出简要的描述。 在不受体积力作用的情况下，增量平衡方程可以写成： 出口o = 0 ，( 2 1 4 ) 其中，d i v 表示散度算子，虬为球壳翻转后公称应力的增量。因球壳表面不 受外载荷的作用，故增量边界条件为 吾n = 0 ， ( 2 1 5 ) 其中，n 是球壳翻转后表面的单位外法线增量本构律为 o = b q r + p r 一叠i ， ( 2 1 6 ) 其中，b 表示弹性模量的四阶张量，i 是恒同张量，町表示位移梯度啻o b 的各个非零分量为 嘞莳= 。a 2 增a i - 一a a ；，九， 垦塑翼三奎耋堡圭兰堡垒塞 b w ，= b j j i i = ) 、i ) b 瓦0 2 瓦w ， b i j i j b i j j i = b t j u b j i i j = 。t ，i j b 2 3 2 3 = ( 易2 2 2 一岛2 3 3 + 0 2 ) z ， 在球面极坐标系下，我们考虑位移增量 文o = ( u ( r ，0 ，) ，v ( r ，0 ，咖) ，t u ( r ，0 ，曲) ) 可以写成 竹= 札，( u 0 一u ) r4 ( rs i n 0 ) 一叫r 坼( u + v o ) tv , ( r s i n 0 ) 一叫c o t o r w ， w o r( u + uc o t 0 ) t + w , ( r s i n 0 ) 其中，下标表示偏导数。由于材料是不可压缩的，故有 7 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 咖兰u ，+ 7 2 u + v e + v r c o t 0 - + 盏= o ( 2 2 1 ) s i nrrr仃 把( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 代入( 2 1 4 ) ，得 南= b n n u ，+ ( r ti + r p + 2 b m c u ，步 + b 2 1 2 l ( u 鲫+ u 日c o t0 + t 正簪咖s i n 20 ) r 2 + 2 ( r b 1 1 2 2 + b 1 1 2 2 一b 2 2 2 2 2 b 2 3 3 ) 牡r 2 + p b ：1 2 2 + b l l 2 2 一b 2 1 2 1 一b 2 2 2 2 一b 2 2 3 3 ) ( + v c o t o + w e , s i no ) r 2 + ( b 1 1 2 2 + b 1 2 2 t ) ( 坼0 + 蜥c o t0 + 叫r s i no ) r ， ( 2 2 2 ) ：b o = ( r b i 2 2 1 + r p 十b 2 2 2 2 + b 2 2 3 3 + b 1 2 2 1 + b 2 1 2 1 ) u o r + ( b i l 2 24 - b 1 2 2 1 ) 珏r 0 + r b l 2 1 2 v r r + ( r b i 2 l 2 + 2 b n l 2 ) v f 一( r b ：2 2 l + r p + b 1 2 2 l + b 2 1 2 1 + b 2 2 3 3 + c o t 2o b 2 2 2 2 ) v r + b 2 2 2 2 ( u 卯+ c o t0 ) r + b 2 3 2 3 母毋( r s i n 20 ) 一曼塑矍三奎堂堡圭堂堡堡壅8 + ( b 2 2 3 3 + b 2 3 3 2 ) ( w o 一w e c o t0 ) ( rs i n p ) ， ( 2 2 3 ) p 廿= ( r b ：2 2 1 + r p + b 1 1 2 2 + b 2 2 3 3 + b 2 2 2 2 + b 2 1 2 1 ) 札舌r + ( b 1 2 2 1 + b l l 2 2 ) u r 。+ ( b 2 3 3 2 + b 2 2 3 3 ) v e 口r + ( b 2 2 2 2 + b 2 3 2 3 ) v 口c o to r + r b t = 1 2 w ，r s i n0 + p b i 2 1 2 + 2 8 1 2 1 2 ) w r s i n0 ( r b i 2 2 1 + r p 7 + b 1 2 2 l - 4 - b 2 1 2 1 + b 2 3 2 3 c o t 20 一b 2 3 3 2 ) 叫s i n o r + b 2 3 = 3 ( w o 日s i n 0 - 4 - w ec o s 0 ) r + b 2 2 2 2 w 口( rs i n 日) ， 其中，7 表示对r 微分，p ，可以由( 2 8 ) 得到。 边界条件( 2 1 5 ) 可以写成 ( b u l , 一b t l 2 2 + p ) 珏，一痧= 0 ， r + 让口一 = 0 ， r s i n o w r + u 。删s i n 0 = 0 ，r = a ，b 这些方程有多个可能解。首先考虑情形 让= u = 0 ， = 叫( r ，日) ， ( 22 6 ) 不可压缩性条件( 2 2 1 ) 自然满足前两个增量方程得出多= 多( 咖) ，第三个增量 方程得到西= 常数。由第一个边界条件，这个常数一定是零剩下的关于叫的 方程( 2 , 2 4 ) 满足( 2 2 5 ) 。，解的存在性在文献【1 8 】中用分离变量法与合成矩阵法 得到证实。 其次，我们考虑整个系统( 2 2 1 2 2 5 】利用不可压缩性条件( 2 2 1 ) 并且微 分，从( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 中消去2 j 和u ，我们得到位移”与训满足方程 l ( ”口一w s i n p w e c o s 0 ) = 0 ，( 2 2 7 ) 其中，l 是微分算子 l = r b 1 2 2 1 + r p + 2 ( b 2 协一b 黝卜扣b 1 2 1 2 导) 昆明理工大学硕士学位论文9 + 3 c o t 口刍一丽0 0 2 一丽1 ( 1 + 面o q 2 ) 】 ( 2 2 8 ) 如果考虑变量分离解，我们得到 u = 小咖) ，t 一鲰f 寄( 口，) ， 叫= ( r ) 志等( 口川，西= ( r ) 蹦日，蛾 ( 2 2 9 ) 其中隐含对n = 0 ，。，f = 一n ，n 求和，碥c ( 日，咖) 是球面调和函数且满 足方程 【丽0 0 2 + c o t 0 + 丽1 蒜+ 咖+ 1 ) = 。 ( 2 3 0 ) 因f 2 2 7 ) 对所有口 r b 成立，故有 9 州( r ) = 。z ( r ) 把( 2 3 1 ) 和( 2 2 9 ) 代入( 2 , 2 1 ) 一( 2 2 5 ) ，化简得 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) = b i l n f ”+ 妒磁1 1 l + r f f + 2 b i i l i ) f r + 2 ( r b i l 2 24 - b 1 1 2 2 一b 篮2 2 一b 2 2 3 3 一r o b 2 1 2 l 2 ) f i r 2 一r n ( r b i l 2 2 + b l l 2 2 一b 2 1 2 l 一岛2 2 2 一岛2 3 3 ) g r 2 一m ( b l l 2 2 + b 1 2 2 1 ) g n( 2 3 3 ) k = ( r b i 2 2 1 + r p 4 - b 2 2 2 2 + b 2 2 a 3 + b 1 2 2 i + b 2 x 2 1 ) f r + ( b 1 1 2 2 + b 1 2 2 1 ) ，+ r b l 2 1 2 9 ”+ p b i 2 1 2 + 2 8 1 2 1 2 ) 一妒b ：。2 i4 - r p 4 - b i z 2 i + 易1 2 1 + j ；叠3 3 + ( m 一1 ) b z 2 2 2 ) g r , ( 2 3 4 ) 这里省略下标( n ，2 ) ，且m = n ( n + 1 ) = = = = 一一= ： 垦塑堡三奎兰堡主兰堡垒塞 边界条件( 2 2 5 ) 可以写成 1 0 文0 = ( 让( r ，p ) ，”( r ，8 ) ，0 ) 在这种情况下，我们也得到方程( 2 3 2 2 ，3 5 ) 在特殊情况n = l ( m = 2 ) 下，方程( 2 3 2 2 3 5 ) 对任何材料都有一个解，：9 ： 常数，k = 0 。增量位移场( 2 2 9 ) 在这种情况下产生了刚体平移。显然，这种 情况不产生分支。 3 在条件m 1 下进行w k b 分析 我们分析的球壳是不可压缩的，齐次的和各向同性的，且由超弹性v a r e a 材料构成对于v a r g a 材料，应变能量函数为w = 2 卢( a i + a 2 + 沁一3 ) ，其中“ 是基态剪切模量。不失一般性，我们取p = j ( 等价于取2 卢为应力单位) ，从而 得到 鼠埘2 惫( 洋j ) b i j 矿一蕊( i 矧， ( 3 1 ) 把( 3 1 ) ，( 2 6 ) 和a 1 = 1 ( a 2 a 3 ) ( 令a 2 = a 3 = a ) 代入( 2 3 2 ) 一( 2 3 5 ) ，消去9 和 k ，得到，的四阶微分方程： 4 ，( 4 ) + 九3 ，( 3 1 + 2 ，+ l ，+ o ，= 0 ， ( 32 ) 其中 h 4 = r 4 ，h 3 = r 3 ( 4 1 0 a 3 ) ，h 2 = r 2 ( 4 一( 3 9 + 2 m ) a 3 + l l a 6 ) ， h 1 = a 3 r ( 3 6 m + 2 4 a 3 + 4 m a 3 + 6 ) ，h o = a 6 ( 一1 8 + 7 m + 仇2 + ( 2 一m ) a 3 ) 边界条件( 在r = a ，b ) 为 ( 一2 + m ) f + 2 r ，7 + r 2 ，”= 0( 3 3 ) 偿 、，i， 0 1 | 6 n 一 | | 厂r 力 ， h o 2 = 兰1 9 b 一 一 ， n + 旧叼 是形隋能叮种 三第的解 = ： 星塑堡三奎兰堑圭兰垡垒塞 1 l ( 一1 2 a 3 + 6 m a 3 2 a 6 + m a 6 ) ，+ r ( m + 9 a 3 + 2 m a 3 一a 6 ) ， + r 2 ( - 4 + 5 a 3 ) ，”一一，( 3 ) = 0 ， ( 3 4 ) 利用关系( 3 3 ) ，化简( 3 4 ) 得 r 2 ，3 + r ( 4 + a 3 + a 6 ) ，”一( 竹l + ( 2 m 3 ) a 3 + 3 a 6 ) ，= 0 ，r = d ，b ( 3 5 ) 对以上特征值问题，我们寻找w k b 形式解 f = ( f o + r - 去+ 毋去+ ) e 印临s ( 茹) 如) ， ( 3 6 ) o mm,la 、 其中，s ，娲，一，f 2 ，是r 的待定未知函数通过把( 3 6 ) 代入( 3 2 ) ，比较沥 的次数相同项的系数，从而得到s ，f 0 ，f 1 ，f 2 ，的表达式。对于主要项，我 们得到关于s 2 的二阶方程，解得s z = 入s r 。定义 s l _ 攀油- s l ，8 2 _ s 4 ：- - 8 1 5 l2 ，s 328 l ， 2 s 42 【0 ，】 现在的任务就是找( 3 2 ) 的四个线性无关解令 五：f ( i ) e 印u 丽，7 氐( z ) 如) ，( 3 8 ) 其中 f ( 曲= f j 。+ f ”而1 + 甜示1 + v ，i h ，j 把( 3 8 ) 代入( 3 2 ) ，比较而的次数相同项的系数，我们得到一列关于( 3 8 ) 的未知函数的方程。m 2 项和m 3 2 项的系数恒为零。对于m 的一次项，用 m a t h e m a t i c a4 0 化简以后，得到关于硝的二阶齐次方程 ( 7 2 6 p 一5 ) 、6 ) 砖+ 1 6 r ( 3 2 3 ) ( 砖) + 1 6 r 2 ( f j ) ”= 0 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，( 3 9 ) 解这个方程，得硝的两个线性无关解r - ； 1 4 ( 1 + a 3 一r 3 ) 5 1 2 和7 - 1 4 ( 1 + 0 3 一r 3 ) - 1 1 2 我们取 f 0 1 ) f j 2 ，= 丛杀坐，f 0 3 ) 瑶4 ) = 而南( 3 1 0 ) 曼堕堡三奎兰堡圭堂堡墼塞 1 2 下面考虑、而项。把砖1 代入( 3 2 ) ，得到f f “，i = 1 ，2 ，3 ，4 的二阶非齐次线 性微分方程。即： 1 4 ( i + a 3 ) 2 8 0 ( 1 + a 3 ) r 3 + 5 6 r 6 硝1 + 3 2 r ( 1 + q 3 一r 3 ) ( 3 + 3 a 3 5 r 3 ) ( 碍1 ) + 3 2 r 2 ( 1 + n 3 一r 3 ) 2 ( f f l ) ”= 一r - 1 3 4 ( 1 + 0 3 一r 3 ) 1 3 1 2 2 1 ( 1 + a 3 ) 2 1 0 8 r 6 1 4 ( 1 + a 3 ) 2 8 0 ( 1 + a 3 ) r 3 + 5 6 r 6 】硝2 + 3 2 r ( 1 + n 3 一r 3 ) ( 3 + 3 a 3 5 r 3 ) ( 可2 ) + 3 2 r 2 ( 1 + n 3 一r 3 ) 2 ( f f 2 ) ”= r - 1 3 1 4 ( 1 + 0 3 一t 3 ) 1 3 1 2 2 1 ( 1 + a 3 ) 2 1 0 8 r 6 【1 4 ( 1 + a 3 ) 3 9 4 ( 1 + a 3 ) 2 t 3 + 1 3 6 ( 1 + a 3 ) p 6 - - 5 6 r g l f 3 + 3 2 r ( 1 + a 3 _ t 3 ) 2 ( 3 + 3 a 3 - 5 r 3 ) ( f f 3 ) + 3 2 ( 1 + a 3 ) 3 r 2 3 ( 1 + d 3 ) 2 r 5 3 ( 1 + a 3 ) r 8 一r i i 】( f f 3 ) 一r s 4 ( 1 + 0 3 一r 3 ) 1 4 1 4 7 ( 1 + 0 3 ) 2 2 1 6 ( 1 + a 3 ) r 3 + 1 0 8 r 6 】 1 4 ( 1 + a 3 ) 3 9 4 ( 1 + a 3 ) 2 t 3 + 1 3 6 1 1 + a 3 ) r 6 - - 5 6 r 9 】f f 4 + 3 2 r ( 1 + a 3 - - r 3 ) 2 ( 3 + 3 a 3 - 5 r 3 ) ( f f 曲) + 3 2 ( 1 + a 3 ) 3 r 2 3 ( 1 + 0 3 ) 2 r 5 3 ( i + n 3 ) r 8 一r 1 1 1 ( 可4 ) ” = r s 4 ( 1 + d 3 一r 3 ) 1 4 1 4 7 ( 1 + a 3 ) 2 2 1 6 ( 1 + 0 3 ) r 3 + 1 0 8 r 6 】 解得 f tz ) = 堂铲+ 而赫 一丽南( 警一型斋型眦t a n 学一玎可丁i i ! i 可i 面l 1 医；j 一一五j 7 f 一4 1 。“一r 3 ： e l ( 2 ) _ - 6 2 1 ( 1 + a 可3 广- - _ r 3 ) s 1 2 c 2 2 + 刀硒i f 币 1 ，7 ( 1 + a 3 ) r 1 4 f 1 + 0 3 一r 3 ) 1 1 2 、4 8 r 3型铲a r c t a n 坠案坐)1 再万一可r 一) 彤= 堂学+ 而 而南【一盟尝未州3rl41a 3r 3 1 1 2 4 8 r 3 2 ( 1 - 4 - a 3r 3 ) 。4 r c t a n 生案r 3 坐) ( +一1 一 2 一一2 。 其中，g j ( 扛1 ，2 ，3 ，4 ；j = 1 ，2 ) 是任意常数取各常数为零，得 f f 2 ) ：而南( 学一坐斋坐a r c t a n 学) ， f14)=j_【一13(1r+ia3-=2一r3)+一3rl4(1 a 3 r 3 ) 1 1 24 8 r 3 2 ( 1 a 3 r 3 ) 1 2 4 ( 丌一踟陀t a n 塑三掣r 3 1 ) +一 l +一 。p 2 f f l ) = 一f f ，硝3 1 = 一f f 4 ) 1 3 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 运用以上结果，把通解写成 4 ，= q ， ( 3 1 3 ) i = l 其中c ；是待定常数，i = 1 ，2 ，3 ，4 把通解代入边界条件( 3 3 ) 和( 3 5 ) ，得到 矩阵特征值问题 m c = 0 ，( 3 1 4 ) 其中，c = c 1 c 2 ，c 3 ，c 4 t m = a 1 ( 凸) p 1 ( o ) 1 ( b ) e 1 ( p 1 ( 6 ) e l ( b ) a 2 ( a ) 皮( a ) 嘞( 砷e 2 ( 的 屈( 6 ) 易( 6 ) a 3 ( a ) 风( 。) d 3 ( 砷e 3 ( 6 ) 风( 6 ) e 3 ( 6 ) d 4 ( d ) 殷( o ) 口t ( 6 ) e 4 ( 6 ) 成( b ) e 4 ( 6 ) 垦望堡三奎兰堡主兰堡垒塞 e i ( r ) = e 茹p 0 丽s ( z ) 如) ， ，r j ( r ) = ( 1 + a 3 ) 硝2 + m 一1 2 ( 1 + a 3 ) 硝1 ) + 2 r 2 s ：( 硝。) ， + 硝“r ( 2 s 。+ r 5 ：) 1 + o ( m 一1 ) ， 觑( r ) = ( 1 + a 3 ) 硝s 。+ m 一1 2 【( 1 + a 3 ) 硝) s 。+ ( 1 a 3 ) ( 可2 1 ) 一硝。r 一1 a 3 ( 4 + a 3 + a 6 ) + 3 r 2s s ：) + o ( m 一1 ) 1 4 ( 3 1 5 ) 3 1 条件a 一1 = o ( 1 ) 下的渐近结果 在m 为大模数时，矩阵特征值问题( 3 1 4 ) 可以分解。因e 。( 6 ) 和e a ( b ) 指 数大而e 2 ( b ) 和e 4 ( b ) 指数小，在忽略指数小误差时，d e t m 可以用 d e t m = 一e 1 ( 6 ) e 3 ( 6 ) ( 口- ( 6 ) 岛( 6 ) 一q 3 ( b ) p 1 ( 6 ) ) ( n 2 ( 凸) 成( o ) 一n 4 ( n ) 岛( n ) ) 来代替。为了得到非零解，必须d e t m = 0 化简得 ( o t ( b ) 1 3 3 ( b ) 一口3 ( 6 ) p l ( 6 ) ) ( n ：( 。) 风( 口) 一晓t ( 口) 皮( 口) ) = 0 这等价于 锄卢3 ( b ) ) c 3 - o ， i 卢1 ( b )iii 或 a 2 ( a 矧”。， l 尻( o ) 风( o ) li c t i 有非零解由以上分析知，矩阵方程( 3 1 4 ) ，即m c = 0 ，在忽略指数小误差时， 可以用( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) 代替。 先考虑( 3 1 7 ) 。为了得到非零解，必须 卜n ) m ( 0 ：o ， ( 3 1 8 ) 阮( 。) 反州 化简得 、 ( 2 4 a 3 2 7 2 a 9 1 2 ) + m 一1 2 【7 8 0 a 3 + 1 2 9 a 6 + a a 2 ( i s r 一3 6 a r c t a n a 一3 2 ) 垦塑里三奎兰堡圭耋堡垒塞 + o 。2 ( 一5 4 丌4 - 1 0 8 a r c t a n a 一3 2 ) + o ( m 一1 ) = 0 ( 3 1 9 ) n = 丽1 一甄丽1 + o ( 去) ， 即 n = 。6 9 3 3 6 1 - 0 0 8 8 9 5 8 3 v 去m + o ( 示1 ) ( 3 2 。) 由( 3 2 0 ) 和( 2 1 3 ) ，得 6 = 1 0 7 1 7 + 0 0 3 3 7 3 2 而1 + 。( 圭) ， ( 3 2 1 ) 把( 3 2 0 ) 和( 3 2 1 ) 代入( 2 5 ) 2 ， a = 。4 6 7 9 1 9 - 0 3 7 2 2 7 5 击m + 。( 去) ， ( 3 2 2 ) 下面确定特征函数当( 3 2 0 ) 和( 3 , 2 1 ) 成立时，通过计算知，( 3 1 6 ) 的系数 矩阵行列式不为零。因此，c - = c 3 = 0 由( 3 1 3 ) 得， ，= c 2 ( 硝2 ) + 去硝2 ) + 。( 去) ) + c t ( 尉4 ) + 、1 - - l m f ( 4 ) + o ( 磊1 ) ) 岛( 咄 ( 3 2 3 ) 其中，e 2 ( r ) = e 印( 俪rs 。( z ) 出) ，硝”，砖4 由( 3 t o ) 给出，f f2 1 ，f f 4 由( 3 1 1 ) 给出。 由( 3 7 ) 和( 2 6 ) 1 ( 沁= a ) ，有 l r8 2 ( 圳z = 扣a n 军t a n 妇 2、厅干孑= 一r s 2 2 ja r c t a n 面严了丌丙唧 从( 3 1 t ) ，我们可以取c 2 = 。4 ( o ) 4 8 a 1 3 4 04 - 0 3 ) ，c 4 = - e 2 ( a ) 十4 8 a 1 3 4 ( 1 + a 3 ) 化简后发现，对于项o ( m 1 2 ) ， c 。- 4 8 扎等( 1 3 + 8 3 a a - 1 8 7 r a 3 2 - 3 6 a a 2 a r c t a n a 3 1 2 ) ， c 4 = 一4 8 a 3 2 + ( 一7 5 5 a 3 + 1 8 ，r a 3 2 3 6 a 3 2 a r c t a n a 3 2 ) m 星塑堡三奎耋堡圭耋堡垒窒 1 6 代入( 3 2 3 ) ，即得，的渐近表达式。把，的渐近表达式代入( 2 3 2 ) 得g 的渐近 表达式；同样，把f ，g 代入( 2 3 4 ) ，得k 的渐近表达式。 把( 3 2 2 ) 提供的渐近结果用模数值代入，与文献 1 2 j 给出的数字结果对 照，列出如下表格。可以看出，对模数范围内几乎所有模数，渐近结果与近似 结果相吻合。 表格a b 在不同模数下的临界值 f m = n ( n + 1 ) ) m o d en a bb y 1 2 a bb y ( 3 2 2 ) m o d en a bb y 【1 2 a bb y ( 3 2 2 ) 50 ，4 1 9 4 8 30 3 9 9 9 5 29 50 4 6 3 8 9 30 4 6 4 0 2 1 1 004