（概率论与数理统计专业论文）二重b值随机dirichlet级数收敛性和线性增长性.pdf

摘要 本文研究了二重随机变量列 ) 在某阶矩一致有界条件下的性质在 第一部分，结合有关二重d i r i c h l e t 级数的成果，证明了在一定条件下，- - 1 - b 0 0 十0 0 b 值随机d i r i c h l e t 级数n 。五。e k ”脚龟 与二重d i r i c h l e t 级数 誊q - o on m n e - , h n s 一加c 有相同的成对的相关收敛横坐标在第二部分结合有关 ”i = l ，1 = l 二重d i r i c h l e t 级数的成果，得出结论；在适当条件下，二重b - 值随机d i r i c h l e t 级数薹誊口。五。e k 一d s - 与二重 级数boo害amne-,t,diridalet a t o n e 一鲰t 级数口。五m e h ”“。d s - 与二重级数e ”鲰 r n = ln = l“ 有和相同的线性增长性 关键词：二重1 3 - 值d i r i c h l e t 级数；- - t b - 值随机d i r i c h l e t 级数；相关 收敛横坐标；整函数；线性增长性 a b s t r a c t t h ep r o p e r t i e so fad o u b l es e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l ew i t h8 d m eu n i f o r m b o u n d e dm o m e n t sa r e8 t u d i e di nt h i sp a p e r i ns e c t i o no n e ，b yt h e s ep r o p e r t i e s a n ds o m er e s u l t so i ld o u b l ed i r i c h l e ts e r i e st h ef o l l o w i n gr e s u l t sa x ea b t a i n e d u n - d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s ，t h ed o u b l eb - v a l u e dr a n d o md i r i c h l e ts e r i e sh a ss t s t h es a m e a s s o c i a t e da b s c i s s a so fc o n v e r g e n c ea st h ec o r r e s p o n d i n gd o u b l ed i r i c h l e ts e r i e s i n s e c t i o nt w o ，b yt h e s ep r o p e r t i e sa n ds o m er e s u l t so nd o u b l ed i d c h l e ts e r i e st h ef o l l o w - i n gr e s u l t sa r ea b t a i n e d u n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s ，t h ed o u b l eb v a l u e dr a n d o m d i d c h l e ts e r i e sh a sa ，g t h e8 a m el i u e rg r o w t hp r o p e r t i e sa st h ec o r r e s p o u d i n gd o u b l e d i r i c h l e ts e r i e s a n dl i n e rg r o w t hp r o p e r t i e s k e yw o r d s ：d o u b l eb - v a l u e dd i r i c h l e ts e r i e s ；d o u b l eb - v a l u e dr a n d o m d i r i c h l e ts e r i e s ；a s s o c i a r e da b s c i s s a so fc o n v e r g e n c e ；e n t i rf u n c t i o n ；l i n e rg r o w t h p r o p e r t i e s 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明t 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作 签名e t 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集，保存，使用学位论文的规定，l i p , 按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印，缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者繇老黎黎 馘嗍7 够少 导师签名；、7 汐荡茗 签名日期s 呻年r 月如日 第一章薛毫 第一章序言 随机级数最早是由e m i l eb o r e l 于1 8 9 6 年不十分明确地提出的，到2 0 世纪3 0 年代开始作为理论进行研究j e l i t t e r w o o d ，h s t e i n h a u s ，p a l e ) , z y g - r o u n d ，m a r c u s ，p i s i e n 等数学家对随机三角级数ea n x e 一瓣及随机泰勒级数 n = l + c o 口。加( 其中 o 。) 为复数列， 矗) 为r a d e m a c h e r 序列，s t e i n h a u s 序列， 或正态随机变量序列) 进行了研究在国内，余家荣开创性地对随机泰勒级数 z “( 其中 是随机变量序列) 和广义d i r i c h l e t 级数d ，l 蜀e 。n ( 其中 k ) 为复数列) 进行了更深入广泛的研究2 0 世纪7 0 9 0 年代，余 家荣，孙道椿等系统地研究了在 ) 是随机变量序列情形下随机泰勒级数及 d i r i c h l e t 级数的有关性质，得到了收敛性，增长性，值分布以及a s 收敛性， a ，s 增长性等方面的一系列创造性的成果 到目前为止，随机d i r i c h l e t 级数的文章多，内容丰富，但关于二重随机 d i r i c h l e t 级数的研究还比较少自从田范基率先将值引入d i r i c h l e t 级数之 后，融值d i r i c h i e t 级数的研究就得到了迅速发展 余家荣研究了二重d i r i c h l e t 级数，并得到一系列重要成果；田范基对二 重随机d i r i c h l e t 级数的性质也做了相应研究但二重b 值随机d i r i c h l e t 级数 an n 墨。e k ”( 口。 cb ，b 为复b a n a c h 空间， 墨。( c ，) ) 为某 概率空问( n ，p ，p ) 的随机变量列) 的收敛性和线性增长性至今还是空白本 论文首先引入二重b 值d i r i c h l e t 级数，并总结出它的若干性质；再研究二重 m 值随机d i r i c h l e t 级数的收敛性和增长性本论文在前人研究基础上开展进 行，综合比较，推而广之，具有一定的创新性和较大程度上完成的可能性 湖北大学硬士学位论文 第二章相关知识介绍 2 1 本文用到的基本概念 二重b 值d i r i c h l e t 级数 + c o + o o e “啮， ( 2 1 ) m = l n = l 其中0 入l 入2 k t + ，0 p 1 p 2 p n t + o o 5 = 仃+ 打，t = + 卸，以f ，e ， 7 均为实数 n 。 c b ，b 为复b a n a c h 空间 记( 2 1 ) 成对的相关有界收敛横坐标为a b ，如；相关一致有界收敛横坐标为 唧，知；以及成对的相关绝对收敛横坐标，如 为研究的方便，作q 平面，作斜角为0 的直线 e = p c ) t a n e ( 0 0 昙，c 为实数) ， 写成参数形式为 y = c j c r c 0 8 口 【f = r s i n 0 ( 0 0 詈) ， 其中r 为参数，设与点( a b ( c ，p ) ，矗( c ，口) ) ，( a l , ( c ，p ) ，缸( c p ) ) 以及( a a ( c ，口) ，靠( c ，口) ) 相应的参数分别为r b = r b ( c ，日) ，= q ( c ，0 ) 以及i a = r 。( c ，口) 设级数( 2 1 ) 对8 和t 的任何值有界收敛，此时级数( 2 1 ) 定义了一个整函 数，记f ( 8 ，t ) = a m 。e 。m ”鲰。 令 m ( 口，f ) =s u pi i f ( o + i t , f + l q ) 儿 则对任何有限数口及f 有，见后面引理2 5 ， 0 口m n 0 f ( 仃，f ) e m 4 + 加- 对满足0 0 ，s u p 别x 。i - 4 ) 2 ) 时有， l 赢和) i m - 2 4 n 一2 朋 ( 2 6 ) 引理2 2 1 4 设 。，是某概率空间上独立同分布的二重( 复) 随机变量 列，且存在口 0 ，使得 0 f f j 肌尸 + o o ， ( 2 ” 那么对 五m ) 的任意子列 x m 。( u ) 有 一l i m j i m k - - + o o 粘0 鲫 ( 2 s ) 瓦言群荒面m 豇 ( 2 8 ) 3 湖北大学硕士学位论文 引理2 3 【6 】设 碥是某概率空间上独立的二重( 复) 随机变量列，若 s u p e l y t 2 l l i m n + i 碥i l i m n _ + + o o e l k l 口5 引理2 4 ( i ) 若面乙_ + + * 絮 + o o ，瓯_ + + * 百i n n + o o ，且二重( 复) 随机 变量列t 蜀。) 满足( 2 3 ) 式，则对于级数( 2 2 ) 有 砜蚋佃i i i - 面x 丽1 l - e , x m 面岍佃丽i ni i 丽 而l l - e 1 丽+ 扣。s ( 2 9 ) 百= i ni i a m 。j 。( u ) | l ， n “”+ n - 4 + o o ( a , n c o s 0 + j 2 s i n o ) i n ( a 2 , n c 2 0 s 。e + # s i n o ) 硫+ n - - - + o o 两面再而i 而ni l a “两1 l 厕丽 其中d p = 面酩+ n t + m 瓦忑雨i n 再m n 册 ( i i ) 若面碥- + + * 紫 0 ， 则对于级数( 2 2 ) 有 瓯+ n - 4 + o o 丽丽菘监盎裂 珏溉+ l i n pii-4+oo(a,cos0+ks i n o ) i n ( a m c o s 0 + # n s i n 0 ) 。 ( 2 1 1 )1 “h + “o 8 ( 2 1 1 ) 证明：( i ) 由( 2 3 ) 式及( 2 4 ) 式， j 砜n o t + o o 唑盎砦 碌4 m - 4 + o o 芈蒜畚乎鲫 哂卅抽砾i nl i 丽o n 瓦i i - 面0 , , , , + 石2 功 亩= i n8 d 。；。( u ) 0 + ，佃a m c o s o + p 。, s i 。n o 。i n ( a 2 m 。c o s 。o + p n s i n o ) 砩+ n - 4 + o o 丽丽岩高慧 瓦椰柏丽丽瓦面i n 而l l a t ，i 而l l 碉+ 2 fi n m + i n n 否n + n - - + 0 0 丙五万瓦面两面函蔬耳石忑丽“5 4 第二章相关知识介绍 又 1 1 m m - i - n - - - b 0 0 丙五万巧磊面砸蕊忑丽了厕 一l i m m + n + + o o a mc o s 0l u ( ) , m 塑c o 生s8 + p ns i n o ) + 一十 i n t l l i l n m - t - n - - + + o o i 面瓦丽i 蔬耳石；丽 f i n m1 21 i 1 “”+ ”- + + 。a m c o s o i n ( a m c o s 8 + # n s i n 0 ) 十 ， i n n1 1 1 + n - + + 0 0 【lsinoin(a,cosa + p s i n o ) ：0 ( 2 1 2 ) 故( 2 1 0 ) 式得证 ( i d 由面，h + 。紫 m ， n 且n 充分的大，对于任 m = 1 n = l 意的 0 ，有 (e 相应地当噩+ + o o ，死- + + 时， “去去r 佃e 慨薹。+ o o 。毗e 呐p 弦e 叫“也嘶脚打酬 六 不难证明，当j ，f 固定，噩_ + ，乃- + + 。o 时，第个积分趋于零 n 。e 。一嘶。乃卅。l i r a ，乃卅。麦去c 佃e 怖烨扣打协卸打砌， 即引理2 5 得证 6 啊 + + f r 一n一n噩，一死 h胪 一w 脚 xp 吼 毗。 佃计佃卅 埘 咿蚋n 佃一 佃卅 第三章收敛性问题 第三章收敛性问题 3 1 二重b - 僵d i r i c h l e t 徽敲l 跃藏1 笺 定理3 。l 级数( 2 1 ) 有如下的v a u r o n 公式t 瓯+ ，烈端q 。r 口 瓯；扣卅。当a m c 炮o s 0 盟+ 立p n s 吐i n u + d o ， ( 3 1 】 其中 风= 瓣”佃焉丽 x l r 瓦a r 。面( o p 三) 证明；r z , r 扛显然成立若玩 0 ，令r 0 = z + d o + 厶 由( 3 3 ) 式，故对于上述的，存在1 ，当m + n 1 时， 爵in丽ila,骊ll-x,ccos s i n 0 l + 三2 ，kp 十 即 l i a r n 2 时， 焉万111m再“t：面一 o ，故有 o d t e 以“”鲰幻i i 基妻( 去) 精( 志) 萌 m = l n = l 2 圣圣( 志) 蜥 十1十 = 圣( 去) m 圣( ” 故当s = 8 0 ，t = t o 时级数( 2 1 ) 绝对收敛当z 为正无穷大时，不等式( 3 1 ) 中 最后一部分仍然成立 再证 瓦椰裂等末盖辄 ( 3 ，) 设当r e ( 8 1 ) = r lc 0 8 0 + c ，r e ( t 1 ) = 1 1s i n o 时，级数( 1 ) 在8 = 8 i ，t = t l 有界收 敛令 s 一( s ，t ) = a j k e 一” ( 3 8 ) 8 第三章收敛性问题 则有 e k 。1 一蜥1 = s m ( 5 1 ，t 1 ) 一s ，n i ( s i ，t 1 ) 一s k l m ( s l ，1 ) + k i ，n 一1 ( s l ，t 1 ) ， 又 s 赫( 8 l m t ) ) ( m ，n = 1 ，2 ，3 ，) 有界，所以存在有限的常数k 0 ，使得 i | 0 ，；。e - - a r e s i - 鲰1 ( k ( m ，n = 1 ，2 ，3 ，) 由于d r m2q m e 一1 m 。l 一舢l e k 。l + 蜥“，故 0 n t 肌0 r 2 柏n 押焉面万再磊丽 十研 因而可以找到两个正整数序列 m i ) ，h ) ( i = l ，2 ，3 ，) ，使得碱+ 啦+ o o 时， oo ，i 啦p k 。 e ( q + 七1 ) ( q 瞄帅叫蔚删， 即 8 8 佩n 。e k i $ 2 - - 鼽, t q l 矿1 ( m 瑚9 + 咖们。 在这里觑( s 2 ) = r 2 c o s o + c , r e ( t 2 ) = r 2 s i n 0 这就说明o m e k 一蜥b ( m ，n = 1 ，2 ，3 ，) 无界，于是s m 。( 。2 ，t 2 ) ( m ，i = 1 ，2 ，3 ，) 无界，即级数( 2 1 ) 在8 2 ，t 2 不是有界收敛的定理3 1 证毕 推论3 1 级数( 2 1 ) 满足 0 气一d 8 其中 d 口= 瓯佃焉丽i n 而w l n ( o 口 ；) ， 9 湖北大学硕士学位论文 定理3 2 级数( 2 1 ) 有 瓯+n-t+ooamco虬s0+。ns i n 0 一( 丽c ) + r b 气飞 砥抽焉丽i ni l a 瓦m n i 面i + ( 鬲- s c 口) + + 功， 其中 其中 又 d e = 瓯佃丽( 。 口 ；) ， f 兰1 + ： 、c o s 口7 当高0 0 当南 0 证明：由二重b 一值d i r i c h l e t 级数的v a l i r o n 公式 砜棚裂端邝q 瓯+ n - - t + o o 蒙端协， 功= 瓦佃砾丽i n 瓦t b n 丽( o 口 i 7 r ) 面。+ n - - * + o o ) 、, n c o 里s o l l 0 + ”p 正n s i n 0 砥+ n - - - + o o 砾i ni丽f。m碉ll-amc 瓯+ n - - * + o o 砾丽i nr 8 而m 1 面l 类似于1 2 】中的证明得， 故( 3 9 ) 式得证 + + 。一+ + 。x i 鬲玉- _ a , j n c = = ：i 丽 + 瓦+ ，l 卅* 而丽- a 瓦m c 丽 i 黾，一 坚! ! ! 坐! ! ! 一f 一+ + ”+ * 焉忑苏钿一【丽) 一l i m m 佃a m l n c o s0 “+ 卜# n a s ”i n o 砜佃啪a m c o 虬s o + - ns i n o + ( 丽- - c ) + ( 3 9 ) 第三章收敛性问题 定理3 3 设级数( 2 1 ) 满足面k + + 。紫 + o o ，面k _ + + o 。訾 + o 。，面磊+ f l - + 。妥! 剖= 一m ，那么 其中 又 证明：由( 3 9 ) 式得 n 5 气2 h 2 一 r 口 瓦+ n - - ) + o o a mc o 坐s o + 型l 。n l s i n o + 功+ ( 云) + 风= 砥+ n - - ) 4 - o o 砾丽1 1 1 ) 瓦t t n 面( 0 口 三) 0 d o 面，h 佃警+ 匾卅警 佃 mp “ 蕊+ n - - - + o o , k i n c o 刿s 0 堡+ ! ! ! s i n o 吣槲o 。再h 1i l o 而m 1 l = 啪 故定理3 3 得证 3 2 二重b 一值随机d i r i e h l e t 级数收敛性 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 定理3 4 设级数( 2 2 ) 满足( 2 3 ) 式，( 2 5 ) 式和 豇；酚_ + + 。! 芸竺= i i 面_ + + 。粤兰= o ，( 3 1 2 ) m p n 则 n ) = 和) = 气) = 面k 佃一+ + * 之裂警描“豇( 0 0 三) ( 3 1 3 )“m t 址明：田v l i r o n 公式知 碲+ n - - - ) - t - o o 兴篙楷 面k 卅佃坐a 堕m e o 塾s o + 坚l 止s i 塑n o + d o 其中 功= 一l i x n r a + n - + + c 。历( o 口 ；) 湖北大学硕士学位论文 由( 3 1 2 ) 式得， o = 瓯+ n - - + + o o 丽 砜警丽1 + 瓦警j u n 南i s l e t m 5 口口 = 0 故 帕) = 咖) 叫加硫枷冀篙岩 ( 0 口 0 ，0 别置。i o + c o ，级数( 2 2 ) 满足( 3 1 2 ) 式，则 喇= 咖) 刮加砜佃岩端( 0 日 ；) 证明：由( 3 1 2 ) 式得 吣) = ，) = h ) = 瓦佃娑篙篙娑啬置 ( 3 - 1 7 ) 1 2 第三章收敛性问题 由e i 五。l 。 + o o ，类似于( 3 1 5 ) 的证明有 瓦* 业a m 亟c o s0 丛+ 业p , , s i n 塑o 瓯+ n - - t + o o 拱牦n ( 3 1 8 ) 再设 瓦+n-，+ov刿)wnco业s0+psino=。鲤+世amkc 坐o s 此+ # n 坐, s i n o ( o 。 口 由引理2 2 得 砩* 雩高糌 一l i m k 业哄啬菘告趔 = 芒端+ 匾未糌 瓯押一+ 佃丽i nl l 丽a , 瓦l l - 面a m c 。 ( 3 1 9 ) 由( 3 1 7 ) 式，( 3 1 8 ) 式和( 3 1 9 ) 式定理得证 定理3 6 设 五。) 是某概率空间上独立的二重( 复) 随机变量列，满足 e = _ 若级数( 2 2 ) 满足( 3 1 2 ) 式，那么 p ) = q p ) = 和) = 矗赢押一+ 。之裂等赫8 ( o 口 i 7 f ) 证明：类似于( 3 1 5 ) 式证明可得 r b ) = ( ，) = r a ( w ) = n 砥佃践高等 瓯佃焉h i 丽l a , 碉l l - k c 州。 口 0 ，口s 类似于( 2 8 ) 式的证明有t 。瓯佃未端巩叫 故 r i ni i o q n n 5 r n n i u j i i 一 m c n m ”却。+ 佃焉面万再磊i 而一 面筹剃卷净 = h 啡一黜筹甚焉+ 匾蒜端 瓯佃裂等剁与害盎一 。z ， 由f 3 2 1 1 式和f 3 2 2 1 式可得定理3 6 1 4 第四章线性增长性问题 第四章线性增长性问题 4 1 二重b - 值d i r i c h l e t 级数线性增长性 定理4 1 设级效( 2 1 ) 满足 c i ) 面k + + o o 垮孑 + o o ，i i 面一+ m 紫 + ( 国匾。+ 。_ ，+ 。粤! 剖= - - 0 0 ，那么码= r a = = 一0 0 ，且级数( 1 ) 式所定 义的整函数有线性增长级p o ( o 口 ) 的充要条件是l k | 8 。 1 “+ n 卅* 瓦獗万再磊面嘶瓦再丽覃石磊i 而2 0 当瑚= + 时 一砉 当o 内 + o o l 孓j 一 当瑚= o 时 证明：由定理3 3 知级数( 2 1 ) 是整函数 先考虑0 0 ，当r 充分大时，l n m ( r 。以r s i n o ) e ( 一7 ) + “又 l i 口。0 m ( a ，f ) e k 斯 ， 故 l n i i n m l n m ( r c o s o ，r s i n o ) + ( a mc 0 8 口+ ，hs i n o ) r 。 e ( 一7 ) ( + ) + ( x m c o s e + p ns i n o ) r 固定m 及n ，求上式右端的极小值，于是当m + n 充分大时， l n l l a 训塑笋( 1 乩坐笋) ， 】5 湖北大学硕士学位论文 故 旦些业一士(1乩_amcos0+1r,sin0)a, n c o s 0 + _ ns i n o 每；鬲o 万再一， l n0 。0 ( 入m c o s 0 + p n s i n o ) i n ( m c o s 0 + p 。s i n 0 ) ， 1 i n ( a m c 0 8 0 + p ns i n 0 ) 每(po+e)in(amcos0 + p s i n o ) 一百石了i j - 五i i 五i 矿干i i 五i 可十 l n ( p o + d ( p o + e ) l n ( k c o s 0 + p “s i n o ) 瓯+ n - + 4 - 0 0 丙五万再忑厕i ni l 可a , h 焉l l 丽万厕一石忑1 ( 4 1 ) 由e 的任意性知， 瓦+n-+oo际葫可矗盎恐忑碉一1n-+oop o ( 4 埘n “h 丙面而i 磊蕊旆硒i 忑耳石i 丽一 ( 4 ”j 假定( 4 2 ) 式中不等式成立，那么存在着满足0 口 0 ，当m + n 充分大时， 1 1 0 ，l 。j e x p 【一万= i 1 万( k c o s p + p 。咖日) l n ( k c 0 8 口j 8 i n 口) 】 于是存在着常数b ( e ) ，使得当m 和n 是任何整数时， 8 唪o b 忙) e x p 一万i 1 再( m 咖p + s m p ) l n ( k c 0 8 口+ s i n 口) 】 这样我们有 t m ( r c o s o ，r s i n o ) b ( s ) 歪+ 0 0 三4 - 0 0 唧 一生署警1 n 删o + p n s i n o ) 一咖日+ i “s h l 州 刖，嬲唧【一a m c o 不s 0 万+ 。n s i n o l n 嘲o + j n s i n p ) 一 + o o + ( k c 锶8 + p n s i n o ) f l ，e x p - , y ( a m c o s o + n s i n o ) i n ( a m c o s 0 + p 。如吼 1 6 枷机刚k 胁 a 枷脚枷嘣 第四章线性增长性问题 其中7 = 丽；石南芦再霹，并且采用记号 徘) 搿唧【万三罢毛一圳薹薹【( 熹) 赤州k 刚饥咖1 ( ) 唧 志8 叫1 + 沪叶刎1 ， 其中c ( e ) ，( e ) 表示与有关的常数 因此 面- - | - - 0 0 l n l n m ( r c o s o , r s i n o ) p o a + 2 j 蚰1 r 一冬 一a 十z 已 从而f ( s ，t ) 的0 线形级舶一n 舶，与所设矛盾 所以当0 珊 + o 。时，( 4 2 ) 式等号成立 p o = 0 和p o = + 。o 的情形不难证明 4 2 二重b 值随机d i r l c h l e t 级数增长性 定理4 2 设级数( 2 2 ) 满足( 2 3 ) 式，( 2 5 ) 式，矗五。一十m 紫 + ，五n - + + o o 等 + ，面蕊佃- + 。粤：挈掣= 一o 。，那么级数( 2 2 ) 是整函数且有线性增长级舶( o 0 善) 的充要条件是： u m m + n _ + ” 证明；类似于定理3 3 的证明知级数( 2 2 ) 是整函数 由定理4 。1 知级数( 2 。2 ) 线性增长级脚) 的充要条件是， 瓯+ n 两丽杀高靠拦丽= 0 当p d ) = + o o 时 一赤 当o 舶( ( ，) + o o 时 - - 0 0 当p o ( w ) = 0 时 1 7 湖北大学硕士学位论文 再由7 1 理2 4 的( 2 1 0 ) 式，( 2 1 1 ) 式知 砥h 两丽芸粉盎糌丽 = 瓯两厕再面i n 丽i i 丽i i + n - + o o 丽碉一 2n h 瓦忑而i 磊忑币司i 丽而瓦面丽“ 故 p o ( , o ) = 舶o s 定理4 3 设级数( 2 ) 满足而谛- + + 。警 + o o ，面而+ 。百i n n 0 ，0 e i 五n n i 口 + ，那么级数c 2 ) 是 整函数且有线性增长级舶的充要条件为； 一 i l n 垫! ! 生! ：m+n-+oo 瓦忑丽干i 面布面品磊万瓦面而2 0 当舶= + o 。时 一者 当o o ，s u p e f f 五。旷8 ) 2 ( u ) 时有， l l 五。) 0 m 一2 口n b ( 5 5 ) 1 9 湖北大学硕士学位论文 证明：类似于【4 】中引理1 的证明 引理5 2 设 0 ，使得 0 e l l 墨。 + c o ，( 5 6 ) 那么对f x 。 的任意子列 蜀。) 有 砜佃d 端批a ( 5 ，) 证明；类似于【4 】中引理2 的证明 引理5 3 设f 碥) 是某概率空间上独立的b 值随机变量列，若s u p ed y h 1 2 ) + o 。，则 面瓦+ + 。0 k 0 i i 诮佃e 8 k 0n 证明：类似于【6 】中引理2 ，4 的证明 引理5 4 i ) 若面酩- + + * 警 + ，面k + + m 警 + o o ，r - - - tb - 值随 机变量列 墨。) 满足( 5 2 ) 式，则对于级数( 5 1 ) 有 瓣佃践篙署黠孟笋瓯佃型a mc o 墼s u 止+ i 。坠ns i i n c r + 2 口d o 酗 ( 5 8 ) 瓯佃两丽芒器盎掣丽 一l i m m + n - + + o o 两丽瓦器击丽碉m m ( 5 9 ) 其中巩= 蕊帅州m 丽莉i n m 干雨n 丽 ( i i ) 若面h _ + + * 警 0 ， 则 一 i nf f 。m 墨。) | f 、li m m + ”佃瓦i 而了i i 丽而慕盏f 石再丽 一l i m m + n + + o o 丽丽瓦矗捻妊丽厕n m ( 5 1 0 ) 证明；类似于引理2 2 4 的证明 5 3 二重b - 值随机d i r i c h l e t 级数收敛性 2 0 第五章二重& 值随机d i r i c h l e t 级数收敛性和线性增长性 定理5 1 设级数( 5 1 ) 满足( 5 2 ) 式，( 5 4 ) 式和 蕊m 警= 瓯- o + o o 警= 0 ( 5 1 1 ) m“” 则 n 和) = p ) = 气( 甜) = l i 五l + 靠- + + t i n 夏 o i 慨万干i - i 厕, x m c 口& co,vfa p o 0 昱五。驴 + o o ，级数( 5 1 ) 满足( 5 1 1 ) 式，则 吣) = 咖) = 吣) = 砜- n - - + # - 0 0 老糕们( 0 口 ；) 证明；类似于定理3 5 的证明 e = 了 慨 r 6 和) = ) = r n 和) = 蕊酰+ 一+ m x m 堕c 堕o s 竺0 + l 二i 旦z ns i n 0n ( o 口 ；) 定理5 4 设级数( 5 1 ) 满足( 5 2 ) 式，( 5 4 ) 式，蕊磊- + * 紫 + o 。，面k _ + + 。等 + o o ，e 面_ 抑- + + 。是舞亭= 一o o ，那么级数( 5 1 ) 是整函数且有线性增长级p o ( o 0 吾) 的充要条件是： 砥- i - n - + c o 一( a m c o s0 + p 。s i n 望0 ) ! 绝i n ( a ! mc o so + z ns i n 0 ) ； 2 1 湖北大学硕士学位论文 卜 当珊= + o o 时 当o p e + o o 时 当珊= 0 时 证明；类似于定理4 2 的证明 定理5 5 设级数( 5 1 ) 满足面k 。+ 。紫 + ，面_ + + * 訾 o ，0 e i i x m n l l 。 + o o ，那么级数( 5 1 ) 是整函数且有线性增长级舶的 充要条件为； 一f i m m 佃两忑而面黜表面骊5 0当珊= + o o 时 一者 当o 舶 + o o 时 一0 0当伽= o 时 证明：类似于定理4 3 的证明 参考文献 参考文献 【1 】j p 卡昂纳函数项随机级数【明余家荣，吴敏，余久曼等武汉； 武 汉大学出版衽，1 9 9 3 1 2 j 余家荣二重d i r i c h l e t 级数与二重l a p l a c e 变换的收敛性吲武汉大学学 报( 自然科学版) ，1 9 6 2 ( 1 ) ：1 1 7 【3 】d i r i c h l e t 级数与随机d i r i c h l e t 级数的值的分布武汉大学出版社，2 0 0 4 【4 】田范基二重随机d i r i c h l e t 级数收敛性【j 】湖北大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 0 ( 4 ) ：3 1 7 3 2 0 【5 】余家荣 随机狄里克莱级数的一些性质 j 】数学学报，1 9 7 8 ，( 0 2 ) 【6 】田范基双随机狄里克莱级数收敛性研数学物理学报，1 9 9 8 ，( 0 4 ) 吲余家荣d i r i c h l e t 级数及随机d i r i c h l e t 级数在水平直线上的增长性i j 江 西