（应用数学专业论文）一类曲线的minkowski容度.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 数学中，将m i n k o w s k i 容度存在的集合称之为m i n k o w s k i 可测的一个 集合的m i n k o w s k i 容度在什么情况下是正有限数、什么情况下是o 或+ o 。， 这常常是人们关心或感兴趣的问题特别地，m l l a p i d u s 在他的一篇研究 分形鼓的w e y l b e r r y 猜想的论文中，把有关l a p l a c e 方程特征值个数的估计 问题转换成了计算其分形边界的m i n k o w s k i 容度的问题，从而使得对有关集 合的m i n k o w s k i 容度的研究成了人们非常关注的工作目前，对于r 中集合 的m i n k o w s k i 容度问题已经得到很多较完整的研究结果例如，华中师范大 学的陈世荣副教授系统地研究了区间0 ，1 内的可数点集，确定了这类集合 的m i n k o w s k i 维数以及它们的m i n k o w s k i 容度此外，m l l a p i d u s 和k j f a l c o n e r 等也对这类问题做了很多相当好的研究但是，对于r ”( n 2 ) 中 集合的m i n k o w s k i 容度问题的研究结果并不多见 如v o nk o c h 曲线，c a n t o r 尘，以及s i e r p i n s k i 垫子都是我们最为熟悉的 分形集合但迄今为止，我们除了知道这些曲线的h a u s d o r f f 维数，m i n k o w s k i 维数和其h a u s d o r f f 测度或h a u s d o r f f 测度估计式外，对它们的其它性质几乎 一无所知，特别是它们的m i n k o w s k i 容度这个问题一直是人们所关心而没有 得到解决的问题本文首先研究了v o nk o c h 曲线，c a n t o r 尘，给出了它们的 一些基本性质，并通过一定的技巧分别求出了v o nk o c h 曲线和c a n t o r 尘的 上，下m i n k o w s k i 容度的比较好的估计式，从而得到v o nk o c h 曲线和c a n t o r 尘的m i n k o w s k i 容度不存在，即它们不是m i n k o w s k i 可测的此外，本文又 用另一种容度的定义和方法，具体求出了s i e r p i n s k i 垫子e 的上m i n k o w s k i 容度m + ( d ，e ) 和下m i n k o w s k i 容度 以( d ，e ) ，即：m + ( d e ) 1 8 1 4 和 u ( d ，e ) 1 8 1 1 从而推出s i e r p i n s k i 垫子的m i n k o w s k i 容度是不存在的， 用一种新的方法解决了它不是m i n k o w s k i 可测的 关键词：m i n k o w s k i 容度；m i n k o w s k i 可测；v o nk o c h 曲线； c a n t o r 尘；s i e r p i n s k i 垫子 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t w e s a yt h a tt h es e ti sm i n k o w s k im e a s u r a b l ei ft h em i n k o w s k ie o n l c n t o ft h es e te x i s t s t h em i n k o w s k ic o n t e n t so ft h es e t sm a yb ef i n i t eo ri n f i n i t e ( p o s s i b l yz e r o ) ，w h i c hi s c o n c e r n e db ym a n ys c h o l a r s e s p e c i a l l y ，i nt h e p a p e rt h a tl a p i d u ss t u d i e dt h ew e y l b e r r yc o n j e c t u r eo f t h ef f a c t a ld r u m h e t r a n s f o r m e dt h ep r o b l e mo fe s t i m a t i n ge i g e n v a l u en u m b e r so ft h e l a p l a c e s e q u a t i o ni n t ot h ep r o b l e mo fc a l c u l a t i n gt h em i n k o w s k ic o n t e n to nt h ef r a c t a l b o u n d a r y s ot h es t u d yo ft h em i n k o w s k ic o n t e n t so fs o m es e t sb e c o m e st h e w o r kt ob ep a i dc l o s e l ya t t e n t i o nt o n o wm a n yg o o dr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e df o rt h em i n k o w s k ic o n t e n t so fs o m es e t si nr f o re x a m p l e ，a s s o c i a t e p r o f e s s o rs h i r o n gc h e ni nc c n us t u d i e dt h ec o u n t a b l es e t si nt h ei n t e r v a l 0 ，1 a n do b t a i n e di t sm i n k o w s k ic o n t e n ta n dd i m e n s i o n b e s i d e s ，f a l c o n e r a n dl a p i d u sa l s om a d es o m eg o o dr e s e a r c h e so i lt h e m b u tl i t t l ew b r kh a s b e e nc a r r i e do u tf o rm i n k o w s k ic o n t e n t so ft h es e t si nr ”( 扎2 ) f o re x a m p l e ，v o nk o c hc u r v e 、c a n t o rd u s ta n ds i e r p i n s k ig a s k e ta r et h e f a m o u sf r a c t a ls e t sb u tt h e i rm i n k o w s k ic o n t e n t sa r eu n s o l v e dy e t i nt h i sp a - p e r w es t u d yv o n k o c hc u r v ea r , dc a n t o rd u s tf i r s t l y 汀g i v es o l y l ep r o p e r t i e s o fv o nk o c hc u r v ea n dc a n t o rd u s ta n dt h e ng e te s t i m a t i o nf o r m u l a eo fu p p e r a n dl o w e rm i n k o w s k ic o n t e n t so ft h e mr e s p e c t i v e l yb ys o m es k i l l t h u sw ee a s - i l yo b t a i nt h a tt h em i n k o w s k ic o n t e n t so ft h e md o n te x i s t b e s i d e s ，t h r o u g h a n o t h e rd e f i n i t i o na n dm e t h o d ，w ec a l c u l a t et h eu p p e ri v l i n k o w s k ic o n t e n t m + ( d ，e ) a n dt h el o w e rm i n k o w s k ic o n t e n t 坛( d ，e ) o fs i e r p i n s k ig a s k e t e r e s p e c t i v e l y t h a ti s m 4 ，e ) 18 1 4a n d 蚝( d ，f ) 1 8 1 1 t h e r e f o r ew e o b t a i nt h a ts i e r p i n s k ig a s k e ti sn o tm i n k o w s k im e a s u r a b l eb yan e wm e t h o d k e y w o r d s ：m i n k o w s k ic o n t e n t ；m i n k o w s k im e a s u r a b l e ；v o nk o c h c u r v e ；c a n t o rd u s t ；s i e r p i n s k ig a s k e t i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：嗜字 日期：9 - t p 5 - 年 月7 - j - e i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 ， 作者签名：嗜宁导师签名：蝴 日期：2 町年f 月嗒日 日期：d 年) 月u 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程”中的规定享受相关权益。回壹诠塞握变压溢蜃! 旦圭生；旦二生；旦三笙 筮堑三_ 作者签名：嗜岩 日期：2 口o r 年厂月 ，日 钠觏懒 日期： d 了年，月) 。目 硕士学位论文 m a s t e r st h e s 】s 1 引言 分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用，这是由于它不仅在理论 上，而且在实用上都具有重要价值分形形态是自然界普遍存在的自然界中 出现的很多诸如海岸线、起伏不平的山脉、变幻无常的浮云、纵横交错的血管 等等“不规则”的几何形体，都难以用经典几何中的直线、光滑曲线、光滑曲 面来描述1 9 7 3 年，曼德勃罗( b b m a n d e l b r o t ) 在法兰西学院讲课时，首 次提出了分维和分形几何的设想，他想用”分形”这一词来描述自然界中传 统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象他所创立的分 形几何提供了研究这类不规则几何对象的思想、方法和技巧由于不规则现 象在自然界是普遍存在的，因此分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的 关注，同时也促进了很多学科及其在应用方面的发展分形具有广阔的应用前 景 分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索1 9 1 0 年 德国数学家f h a u s d o r f f 开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念 1 9 2 8 年g b o u l i g a n d 将m i n k o w s k i 容度应用于非整数维，由此能将螺线作很 好的分类1 9 3 2 年l s p o n t r y a g i n 等引入盒维数1 9 8 2 年bb m a n d e l b r o t 在他的新著自然界的分形几何( 1 】) 中，将分形定义为局部以某种方式与 整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可 列集盒维数与集所在空间维数相等，为弥补这一缺陷，c t r i c o t 引入填充维 数同时，各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论 简便，可操作性强，成为喁喁分形的科学家们普遍关注的问题维数的理论计 算、估计、分形重构( 即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集) 、j 集和 m 集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者圳i , 1 _ r t 分活跃的研究领域在分形的发展过程中，许多传统的科学难题，由于分形的 引入而取得显著的进展 m i n k o w s k i 维数和m i n k o w s k i 容度是刻划具有分形性质的集合的重要参 数近年来，分形应用的发展远远超过于理论的发展，并且给分形的数学理论 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 提出了更新进的要求其中对m i n k o w s k i 容度的研究就是一例无论在理论 上和应用上，一个集合的m i n k o w s k i 容度在什么情况下是正有限数、什么情 况下是0 或t 。，常常是人们关心或感兴趣的问题这一问题的解决，对于研 究”w e y l b e r r y 猜想”( 3 ， 8 ，9 ) 具有非常重要的作用和意义目前，对于r 中集合的i v i i n k o w s k i 容度问题已有了很多好的研究结果 1 9 8 6 年，j b r o s s a r d 和r c a r m o n a ( 2 ) 用反例证明了w e y l b e r r y 猜 想的最初形式并不是对所有的情况都正确，尤其是当边界的h a u s d o r f f 维数和 m i n k o w s k i 维数不相等时，并且建议研究鼓的边界问题应建立在m i n k o w s k i 维数和m i n k o w s k i 测度的基础上，而不是h a u s d o r f f 维数和h a u s d o r f f 测度 于是，m ll a p i d u s 在文【4 中利用m i n k o w s k i 维数修正了w e y l b e r r y 猜 想( m w b ) ，即：如果q 是王。n 中的有界开集，它具有分形边界r ，如果r 是 m i n k o w s k i 可测的，其m i n k o w s k i 维数d ( n 一1 ，乱) ，那么当a 一+ 。时， ( r ) = 妒( a ) 一a n 口 彳( d ；r ) a d 2 + 。( a d 2 ) 其中妒( a ) = ( 2 ) b 。l q i 。 2 ，c 。，d 是仅依赖于n ，d 的正常数，从而把有关 l a p l a c e 方程特征值个数的估计问题变成了计算其分形边界的m i n k o w s k i 容 度的问题这样，对有关集合的m i n k o w s k i 容度的研究就成了不可忽视的工 作 文f 3 ，5 1 中，m l l a p i d u s 和c p o m e r a n c e 证明了n = 1 的情形，解 决了直线上一类集合边界的m i n k o w s k i 可测性以及m i n k o w s k i 容度，并且与 r i e m a n n ( 函数建立了关系，这是很难预料并且让人感兴趣的 特别地，文f 1 0 1 中，k j f a l c o n e r 利用动力系统理论给出了n = 1 时一 种简单的证明r 上一类集合的m i n k o w s k i 可测性的方法接着，他指出r 上 很多的自相似集是m i n k o w s k i 可测的，并求出了它们的m i n k o w s k i 容度 文f 2 3 中，华中师范大学的陈世荣副教授对区间 0 ，1 内的可数点集进 行了系统地研究，确定了这类集合的m i n k o w s k i 维数以及它们的m i n k o w s k i 容度此外，蒋峰同学研究了一致c a n t o r 集的m i n k o w s k i 容度，并具体的计 算出了它的上m i n k o w s k i 容度m + ( 口，f ) 和下m i n k o w s k i 容度饥( _ d ，f ) 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 9 9 6 年，m l l a p i d u s 和c p o m e r a n e e ( 5 1 ) 通过举反例证明了当几2 时修正w e y l b e r r y 猜想不再成立在举反例的过程中，对一些s 的边界的 m i n k o w s k i 维数和m i n k o w s k i 容度进行了讨论，其中，s 是某序列c 在q 上 的喷射，f 2 是壬p 上某些特殊的集合与此同时也显示出关于王p ( ”2 ) 中 集合的m i n k o w s k i 维数和m i n k o w s k i 容度求解的重要性它成了我们不可忽 视的工作 然而，对r “( n 2 ) 中集合的m i n k o w s k i 容度的研究，由于问题相当的复 杂，完整的研究结果并不多见如v o nk o c h 曲线，c a n t o r 尘，s i e r p i n s k i 垫 子都是我们最为熟悉的分形集合只要谈到分形，人们首先想到的最具代表性 的一个例子自然就是它们然而，尽管这些曲线的构造过程非常简单，而且有 较好的对称性，自相似性以及特别美丽的图形，但迄今为止，我们除了知道这 些曲线的h a u s d o r f f 维数，b o u l i g a n d 维数和其h a u s d o r f f 测度或h a u s d o r f f 测 度估计式外，对这些曲线的其他性质几乎一无所知，特别是它们的m i n k o w s k i 容度这个问题一直是人们所关心而没有得到解决的问题 在本文，首先研究了v o nk o c h 曲线，c a n t o r 尘的m i n k o w s k i 容度给 出了它们的一些基本性质，并通过一定的技巧分别求出了v o nk o c h 曲线和 c a n t o r 尘的上，下m i n k o w s k i 容度的比较好的估计式，从而得到v o nk o c h 曲 线和c a n t o r 尘的m i n k o w s k i 容度不存在，即它们不是m i n k o w s k i 可测的接 着，本文研究了s i e r p i n s k i 垫子的m i n k o w s k i 容度用另一种定义和方法，具 体求出了s i e r p i n s k i 垫子的上m i n k o w s k i 容度m ( d ，e ) 和下m i n k o w s k i 容度 弘( d ，e ) 即：m + ( d e ) 1 8 1 4 和地( d ，e ) 18 1 1 ，其中e 表示s i e r p i n s k i 垫子，d = 鲁籍表示s i e r p i n s k i 垫子的h a u s d o r f f 维数和m i n k o w s k i 维数从 而推出s i e r p i n s k i 垫子的m i n k o w s k i 容度是不存在的，用一种新的方法解决 了它不是m i n k o w s k i 可测的 3 硕士学位论文 m a s y e r st h e s i s 2 记号和定义 首先，本文给出一些将要用到的数学记号和定义 设点集a 是礼维欧氏空间r “中的子集，则称d i a m a = s u p d ( x ，y ) ： z ，y 4 ) 为点集a 的直径；当d i a ma 0 的闭球和开球分别为 百( z ，r ) = yer ”：d ( x ，y ) r ) b ( x r ) = g r ”：d ( z ，y ) 0 ，对于义中的 有限或可数子集族 阢) ( i = 1 j2 ，) 如果它满足下述两条性质：任一巩的 直径不超过6 ，即d i a m 以d ；并且它们的并覆盖e ，即e uu 则称 矾) o 三1 为e 的一个6 一覆盖 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 设0 s 0 按照( 1 5 中方法i i 构造外测度： w ；( e ) = i n f ( d i a l n u i ) 5 ： 氓 龟1 为e 的d 一覆盖 t 这里的i n f 表示对e 的所有的d 一覆盖取下确界 注意到作为6 的函数，缁( e ) 是单调非减的从而当6 _ 0 时，它趋于 一极限 “5 ( e ) 2 ；i + m 。7 ；( e ) “5 ( e ) 称为e 的s 一维的h a u s d o r f f 测度它的值可能为0 、正有限或正无 穷，如果0 “5 ( e ) 0 ，我们用记号札( f ) 表示覆盖f 的直径d i a m ( f ) 的闭球的最小个数 定义2 2 1 分别称 z x ( f ) = l i ms u p ilogn e ( f ) e - - + 0 + 一i ”吕。 和 = 1 竖i l o g n ：( f ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 为f 的上m i n k o w s k i 维数和下m i n k o w s k i 维数如果( f ) = d ( ，) ，记此公 共值为d i m 日j 1 ，称它为，的m i n k o w s k i 维数，即 和 曲口肚。骢粤1 0 警 f u t 一譬e 定义2 2 2 设d 0 ，分别称 m 4 ( d ，f ) _ l i m + s u p n a p ) e d 眠( d ，f ) = 。1 + i m o + i n f 肌( f ) e d 为f 的d 一维上m i n k o w s k i 容度和d 一维下m i n k o w s k i 容度如果m ( _ d ，f ) = 旭( d ，f ) ，记此公共值为m ( d ，f ) ，即 m ( d ，f ) 2 姆肛( f ) 户 称它为，的d 一维m i n k o w s k i 容度如果0 m ( d ，f ) + 。，则称集合f 是m i n k o w s k i 可测的 由m i n k o w s k i 维数定义我们可以得到下面的引理 引理2 2 3 ( 1 ) l i 聊。札( f ) e 5 = + 。，如果8 ( f ) e t u “ 证明( 1 ) 反证法假设 i m i n f m f f ) e 5 = q o 和序列 e 女 * = l _ 0 使得 从而 于是 肌。( f ) i k 5 o + e o l o g 蠢( f ) l o g ( c o + q ) 一s l o g e k l o g 趣。( f ) l o g e k l o g ( 5 0 + a ) + s l o g k 又由于n 0 0 + 则存在印 0 和序列 e = l _ 0 使得 从而 眶k ( f ) e k 5 乜一o l o g 挑。( f ) l o g ( a e o ) 一8 l o g e k 7 ( 2 1 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 于是 鬻f - k 笺导托 眨。， 一l o gl o g k 、 又由于。 0 ，所以在( 2 2 ) 式两端取上极限可得 这与s 旧) 相矛盾 因此 所以 s _ l i ms u p 等。娑gk ( 刁e 叶0 + le l i m s u p 肌( f ) r = o = 0 f - + 0 + 川l i r n + 也( f ) ：一0 由定义2 2 2 和引理2 2 3 ，我们立刻可以看到下述引理是成立的 引理2 2 4 i ) 如果d ( f ) ，则m ( d ，f ) = o ； 口 由这个引理知道，我们只需对满足6 d a 的d 研究旭( d ，f ) 和 m + ( _ d ，f ) 就足够了特别地，如果d i m b f 存在，即( f ) = j ( f ) = d i m b f ， 则我们仅需研究且以( d i m b ef ) 和m + ( d i m b f , f ) 就够了 此外，在这里还需给出m i n k o w s k i 容度酗j y - 种常见的定义 定义2 2 5 设d 0 ，分别称 州d f m 州s u p 警， 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 和 胍( 叩) _ 1 掣挚 为f 的d 一维上m i n k o w s k i 容度和d 一维下m i n k o w s k i 容度 如果m + ( d ，f ) = a 矗( d ，f ) ，记此公共值为m ( d ，f ) ，即 m ( d ，f ) _ 删l i m + 警 称之为f 的d 一维m i n k o w s k i 容度，如果0 m ( d ，f ) 0 ，存在n = n ( e ) ，使得 因此由f 3 1 ) 则 ；卅 3 一n i 1 s 3 - n 一 4 “一 = 兰2 4 ”茎札 ；4 州= 4 “+ 女 n g ) l o ”9 3 艇器 4 n + ( 3 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 所以 由定义2 2 2 ，目p 因此 所以 又由( 3 2 ) 三s l i 船i n f e 器l i ms u p 札e 姒l o g34 e - - 4 0e - - ，0 - f - 4 一 。 一 。 一 i 1 s 地硒l 0 9 4 ，跳州器：e ) 4 n 2 。3 - n ( 2 3 - “) 器墨( j 1 4 “+ 扣3 舰2 。一n ( 2 3 一“) 蔫 l i m 。( 。1 _ 4 ”+ ；) ( 2 3 一“) 精= 3 1 _ 2 塔 由定义2 2 2 ，即 。骧i n r 也e 址l o g3 ；。业l o g 3 坛( 1 0 9 t o g3 4 e ) ；2 等 1 e _ + 0 + 1 。 一 m 4 ( 硒l 0 9 4 l _ ，, l 1 d 2 l 一3 一 日 h m 0 ，存在礼= 札忙) ，使得 3 - ( n + 1 ) 以 3 一n 讵 则由( 41 ) 知 4 n ， 4 “+ 1 因此 ；2 l 2 = 4 ”( 3 小+ 1 讵) 器 肫s 娅1 0 9 3 4 ( 3 一”蛔精= 4 2 l 2 所以 三2 ”删l i r a + i n f 腿i 皿l o g 3 s l i m s u p n e 址l o g34 s4 2 1 0 8 一， 一e 0 0 + 。 一e 斗0 一 一 。 因此 由( 4 1 ) 由定义2 2 2 ，即 又由( 4 2 ) 3 一。以( 3 一n 以) 氍= 4 ”( 3 一“以) 躐= 2 1 0 9 。2 一n 譬( 3 一 l i r ai n f g s 器 2 l o g 。2 e 蚤| 螂 m 0 ，当 n ( e ) 步时，所挖去的小等边三角形将全部包含于 e 的平行体，即e ( e ) 中 如果以r 表示三角形，那么称( a r ) ( e ) nr 为此三角形的内部邻域 由上面可知，对某个正数e 0 ，在构造e 的过程中，被挖去的三角形有 的包含在e 的平行体e ( e ) 中，有的不包含在e ( e ) 中于是，在平面上求 e ( e ) 的l e b e s g u e 测度l e ( e ) 1 2 ，即求e ( ) 的面积，可分为4 ，b ，c 三部分来 求这里， a 由所有的第n ( 当1 茎nsn ( e ) 时) 步被挖去的小等边三角形的内部5 邻域所组成； b 由e 和所有的第n ( 当礼 n ( e ) 时) 步被挖去的小等边三角形组成； c 表示e o ( = ) 岛，即e ( = ) 在大三角形外面的部分； 则j e ( ) j z = j aj 2 + 】8 1 2 + g 2 现在分别来求出j a l 2 i b i 。cj 。 当l n n ( e ) 时，在第n 步产生的小等边三角形的内部e 邻域( 如图 9 阴影部分，其中 o n i = ) 的面积，计算可知为3 - 2 - n 6 3 v 百e 2 图9 等边三角形的内部邻域 2 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 事实上，如图9 是一个边长为2 1 的等边三角形，现在想求出他的内部 = 邻域设z = | q m l ，即它是内面的那个小等边三角形边长的一半，则由 得 tl z ：2 一( n 一1 ) 一、磊 所以阴影部分的面积为： 2 ( ( 2 却l + 1 ) 一娟e ) e ) 3 + ；口屈6 所以，对于数e 0 ：所有的第n ( 1 nsn ( ) ) 步被挖去的小等边三角 形的内部e 邻域的l e b e s g u e 测度，即面积之和为 n fe ) a 2 = 宝。( 8 2 一“e 一3 屈2 ) ， 刮弘b ；怕拶“；屈2 一；s 由于当n z ( e ) 时，所挖去的小等边三角形全部包含于e 的平行体 e ( ) 中，所以l b i z 应该是第一个大三角形的面积减去那些被挖去的三角形中 不能全部包含于e ( s ) 中的三角形的面积，即第n ( 1 nsn ( ) ) 步被挖去的 小等边三角形面积，也即 吼= t 怕一塞竿c 刍，2 3 n - 1 ：竿( 耖 此外，不难得l c l 2 = 3 c + 7 r 2 所以 2 4 一一一3 一3 一 墼啤丁f 上翌 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s e ( 4 1 2 = a 1 2 + 1 2 3 1 24 - i e l 2 _ 3 ( 互3 ，n ( e ) 1 3 。咄p + 竿( 弘，屈2 一知晰口 5 3 s i e r p i n s k i 垫子的m i n k o w s k i 容度 e 是由上述构造得到的s i e r p i n s k i 垫子在这里，将根据定义2 2 5 和引 理5 ，2 1 ，通过一种新的方法，具体地求出s i e r p i n s k i 垫子的上，下m i n k o w s k i 窑度即 定理5 3 1 弘( d ，e ) 1 8 1 1 及 m + ( ( f e ) 1 8 1 4 ， 其中d = 地l o g 呈2 为s i e r p i n s k i 垫子的h a u s d o r f f 维数和m i n k o w s k i 维数 证明由引理5 2 1 ，得 可i f ( d 1 2 = 8 d - 2 ( 3 ( 沙k 涉3 啡p + 竿( 抄，+ ；屈z 一；e + 3 e + , r e 2 ) 令 ，( e ) = d 一2 ( 3 ( ；) ”仁) e ；狐驴p + t v 3 l , j 3 , 1 对任给自然数n ，如果e 满足n l 0 9 2 蕊1 n + 1 ，即当 i l1 饪【2 , 加2 n + 1 面) 硕士学位论文 m a s t e r + st l t e s i s 时，令 可定义函数 扣 志，湎1 ， ：i 。斗r 厶( e ) = f ( c ) 事实上，由于n l 0 9 2i 了1 磊茎礼+ 1 ，所以n 一1 n ( ) n 则此时 n ( e ) = 忆因此，对于，( s ) ，虽然其中有两个变量e 和礼( e ) ，但当给定一个区 间f 。并且k 时，礼( ) 为一个固定值n ，变量只有一个，换句话说，此时 对任给的s 可唯一的确定一个函数值厶( ) 解得 由上，当f 。时， i 何谬“t v 3 【, 五3 n , 对，几( e ) 关于求导，并令，n 7 ( e ) = 0 ，化简得 a 孚“( ) 志= 。 ，一( d 一1 ) 士扣j 雨莉 0 一：= 一 2 n 3 d 令e = 击口，”= 击q ”，其中 a 7 = 堕山竽坠型 。”：( d - 1 ) - 、( d - ：。1 ) 2 + j d ( d - 2 ) 1 3 d 2 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 则e 7 ，”分别为函数厶在区间l 。上的极大值点和极小值点 把e = 击q 7 ，”= 击g ”代入厶( f ) ，得 删) = ( g ，) d 一2 ( 3 q - - ；怕( 矿) 2 + t 4 5 ) ， ( 5 1 ) m 制) d _ 。( 3 q - ；删) 2 + 争 曩2 ) 于是，由( 5 1 ) ，( 5 2 ) 两式知，扎( 7 ) 和 ( ”) 与n 无关，为两个常数值， 它们分别为厶( ) 在2 。上的极大值和极小值易求得在每一个区间k 上的极 大值和极小值仍然为这两个常数计算得厶( 7 ) 1 8 1 4 ，n ( ”) 1 8 1 1 由函数厶的定义，当e l 。= 习i 而1，刃b ) 时， ，n ( = ) 纠喇扣一；钷3 n e - 2 q - 一4 5 , 一3 , 当s k 一严 赤，丽1 ) 时， 扎( e ) = 矿。( 3 ( 扩s 一；怕3 n - l e 2 - 了4 5 【, 矿3 , - ) 所以， 2 ( 3 ( 孤赤) 一s ”( 赤) 2 十字c 新 事 ”一2 =半 十 7 半 。 1 2 一 孚= 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 山面1 ) e d - 2 ( 3 ( 面1 ) 一“面1j 2 + 釉“) 于是 ：4 3 半。掣一1 5 o 一i 厶丽1 ) = 肌( 赤) 换句话说即，上面进行区间分段后定义的分段函数 ，在每个区间端点处 的函数值都相等，且为一个常数值经过计算知，这个值位于，扎( 7 ) 和 ( ) 之间 那么，e ，s ”不仅为函数 在其相应区间k 上的极值点，也为最值点， 即，n ( e ) 1 8 1 4 和，n ( ) 1 8 1 1 分别为区间k 上的最大值和最小值，同样 这两个常数值也为函数在每个小区间上的最大值和最小值，当然也为上确界 和下确界 所以，( e ) 在整个区间范围上的上，下确界就是将的取值范围进行分 段后，函数，孔( e ) 在小区间f 。上的上，下确界 由上面分析结果和定义2 2 5 ，得s i e r p i n s k i 垫子的上，下m i n k o w s k i 容度 分别为 州邶) _ 硎i i m s u p 警= 删l i m s u p - 2 ( 3 ( 弘b 涉3 啡) 2 + 孚c 护，+ ；屈。 2 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 冀 2 l i r as u p ( e d - 2 ( 3 ( 秒叫 = l i ms u p ( e ) er ue f n = 厶( 7 ) 1 8 1 4 ；, 5 召啦p + 竿( ) ) ) 州蚰) _ 。l i m i n f 警= 一l i m i n f ( e d - 2 ( 3 ( ；) 啡。；以3 n s 。 + 等c 护，+ ；厄。；e + 3 c + 7 , e 2 ) ) 刚l i r a i n f - 2 ( 。( 弘b ；以拶“竿( 弘】) ) 3 觋剐i n f 。厶( ) = 厶( ”) ， 1 8 1 1 由它们的值不相等也可以知道，s i e r p i n s k i 垫子的m i n k o w s k i 容度不存 在，从而，s i e r p i n s k i 垫子也不是m i n k o w s k i 可测的 口 2 9 参考文献 b b m a n d e l b r o t t h ef m c t a lg e o m e t r y 。，n a t u r e ，w h f r e e m a n s a n f r a n c i s c o c a 1 9 8 2 f 2 1 j b r o s s a r da n dr c a r m o n a ，c a no n eh e a rt h ed i m e n s i o no faf r a c t a l ，c o r n m b l a t h p h y s ，1 0 4 ( 1 9 8 6 ) ，1 0 3 1 2 2 3 】m l l a p i d u sa n dc p o m e r a n c e ，f u n c t i o n z e t ad er i e m a n ne tc o n j e c t u r ed e w e y l b e r r yp o u rl e st a m b o u r sf f a c t a l s c r a c a d s c i p a r i ss e r im a t h 3 1 0 ( 1 9 9 0 ) ，3 4 3 3 4 8 4 m l l a p i d u s ，f r a c t a ld r u m ，i n v e r s es p e c t r a lp r o b l e m so fe l l i p t i co p e r a t o r s a n dap a r t i a lr e s o l u t i o no ft h ew e y l - b e r r yc o n j e c t u r e ，t r a n s a m e rm a t h s o c ，3 2 5 ( 1 9 9 1 ) ，4 6 5 - 5 2 9 5 m l l a p i d u sa n dc p o m e r a n c e ，t h e r i e m a n nz e t a f u n c t i o na n dt h eo n e d i m e n s i o n a lw e y