（应用数学专业论文）河渠非定常流的精确边界能控性.pdf

摘要 借助于一阶拟线性双曲型方程组混合初边值问题的半整体g 1 解理论，对单个河道及弦 状网络河道中的非定常流动分别讨论了在闸门边界条件下的精确边界能控性问题，并对在 泄洪边界条件下的精确边界能控性进行了相应的讨论。 a b s t r a c t b y m e a n so ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs e m i g l o b a lc 1s o l u t i o nt ot h em i x e di n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e mf o r f i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sa n dt h ec o r r e s p o n d i n g t h e o r yo n t h ee x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t y , w ee s t a b l i s ht h ee x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t y o f u n s t e a d yf l o w sm o d e l l e db y s a i n t v e n a n te q u a t i o n si nb o t has i n g l ec a n a la n da s t r i n g - l i k e n e t w o r ko fc a n a l sw i t hc o n t r o lg i v e nb yg a t e su n d e rw a t e r t h ec a s ew i t hs p i l l w a y si sa l s o c o n s i d e r e d 关键词：精确边界能控性；s a i n t v e n a n t 方程组；拟线性双曲方程组 2 姐引言 河渠非定常流的数学模型，最早由s a i n t v e n a n t 在 1 中提出。做为一个一维的模型， s a i n t v e n a n t 方程是一阶拟线性双曲型方程组，并且已经在水利工程中得到广泛的应用， 近年来，s a i n t v e n a n t 方程的控制问题得到了进一步讨论。利用 3 】_ 5 为一阶拟线性双曲 型方程组精确边界髓掇性所奠定的理论基础，1 6 】一【7 】对单个河道以及星状网络河道在流量 边界条件下的精确边界能控性进行了讨论，而【8 】则对弦状网络河道进行了相应的讨论。此 外，对河道利用闸门进行控制的情形，1 9 】一1 1 2 】用l y a p u n o v 函数的方法设计了反馈控制， 对单个河道讨论了渐近能控性，并对多河道问题进行了相应的研究。 1 3 中叉对一类泄洪 的模型进行了相应的讨论。 本文在 3 5 中对一阶拟线性双曲型方程组半整体c 1 解存在唯一性和局部精确边界 能控性讨论的基础上，结合【6 1 一 8 】中对河渠非定常流精确边界能控性讨论的方法，在用闸 门进行控制的情形，分别讨论了单个河道及弦状网络河道的精确边界能控性在这一讨论 中，注意到【9 中在闸门处的边界条件在量纲上不协调，本文采用了水力学上具有明确意义 的经过修正的边界条件最后，本文对弦状网络河遭的端点具泄洪边界条件的情形也进行 了讨论。 2 单河道非定常流的精确边界能控性 嚣+ 笋一o ，艇， 协。， i 罾+ 筹扎 一叱屺一“ 卜叫 其中l 为河道的长度，s = v 2 + g h ( a ) + g k ，其中a = a ( t ，。) 表示在t 时刻、。处液面的 z = 0 ：a v i a v f = 2 9 “：( g 。 ( a ) ) ， ( 2 2 ) z = l ：a v a v i 其中u 。，z t b 分别为左右两端闸门底部的高度， 值假设保持不变) ，见图1 。 = 2 9 ( h ( a ) 一蜘) ， ( 2 3 ) 而y 。，y b 分别为两端闸门外侧的液面高度( 其 图1 ：单个柱状水平河道 对于任意给定的平衡状态( ，五) ，设( 面。，嘞) 为相应的( u 。，) 值，考虑到要利用闸门 对河道进行控制，必须假设闸门始终位于液面下，从而如下两个假设成立： 假设一： 面。 y 。，面。 h ( a o ) ； ( 2 4 ) 假设二 砒 y b ，砒 h ( a o ) ， ( 25 ) 由边界条件( 2 2 ) 一( 2 3 ) ，对于给定的平衡状态( 亿，a 。) ，可求出两端闸门的平衡位置饥 及饥满足 从而，由假设一知平衡状态( ，a o ) 应满足 a 3 话 2 9 ( f n 订 ( 口。，h ( 五o ) ) ) 2 可。一h a o ) 同理，由假设二知平衡状态( k ，a o ) 应满足 a ：话 ( 凰) 协( 在y 6 ( a 。) 的情况可以类似讨论1 ， 此时由( 2 6 ) ， 弱 0 ， j ，z = 。：f ( r ，s ，u 。) 垒日( s 一，) 。( ，+ 。+ ) 。一2 9 u ：( y a - h ( 口( 。一，) ) ) ：o 1 、。= l ：g ( r ，8 1u b ) 垒日( 。一，) 。p + 。+ 亿) z 一2 9 “i ( 危( 日( 。一，) ) 一蜘) ：o 从而，当r = 0 ，s = 0 ，u 。= 吼时， o f f = 2 a o 叫志( + 厩面痂 。， 而当r = 0 ，s = 0 ，= 砒时， 百o g 圳。志( 一+ 丽) + 2 豇丽 。( 2 。) 因此由隐函数存在定理易知，在( r ，s ，“。) = ( o ，0 ，面。) 的一个邻域中，在。：0 处的闸门边界条 件( 2 2 ) 可等价地改写为 。20 ：s 3 9 ( r ，u o ) 十夕i ( 乱n ) ，f 2 2 1 1 而g ( o ，u n ) 50 ，且g l ( 吼) = 0 ，从而当“。一的c 1 模充分小时，9 l ( 。) 的c ，模也充 分小。 r 忉 埘 0 仁 类似地，在z = l 处的闸门边界条件( 2 3 ) 可等价地改写为 z = l ：r = ，( s ，g b ) + ( 6 ) ，( 2 2 2 ) 雨f ( o ，u b ) 三0 ，且，1 ( 奶) = 0 ，从而当锃矗一的c 1 模充分小时，f l ( - b ) 的c 1 模也充分 小 由于s a i n t v e n a n t 方程组可以化成一个对角型的拟线性严格双曲型方程组。下面首先 讨论对角型拟线性双曲型方程组 警“( “) 筹= 脚) ( i 乩， ( 2 2 3 ) 其中“= ( u ”，u 。) t 是自变量tx ) 的未知函数，九( u ) 及只( 让) 是关于u 的c 1 函数， 并且 r ( o ) = 0( t = 1 ，n )( 2 2 4 ) 进一步假设 a ，( 札) m 叫a x 商高，( 2 3 2 ) 其中，a ，( o ，o ) = 一 丽瓦磊两，a 。( o ，o ) = - 4 - 而瓦砜对于任意给定的初 态( a o ，v o ) c 1 【o ，l 】及终态( a 乃，b ) c 1 【o ，纠，其g 1 模i i ( a o a o ，v o 一亿) l l c 0 l i 及 i i ( a t o a o ，k b v o ) l l c ，h l i 充分小，那么一定存在两闸门端点处的边界控制钍。( t ) ，( t ) c 1 o ，t o ，其c 1 模i i ( u 。( t ) 一，( t ) 一面b ) l i g ，【o ，t o l 充分小，使具初始条件 t = 0 ：( a ，v ) = ( a o ，y o ) ，0s 。l( 2 3 3 ) 的相应混合初一边值问题俾纠一偿剐在区域 r ( t o ) = t ( ，x ) l o 兰t 蜀，0 zsl )( 2 3 4 ) 上存在唯一的c 1 解( a ，v ) = ( a ( t ，z ) ，v ( t ，z ) ) ，其c 1 模i i ( a a o ，y v o ) l l o - f 咒m ) 】充分 小，且精确地满足终端条件 = 蜀：( a ，v ) = ( a ，) ，0 z 三( 2 3 5 ) 证明不妨假设y 。 h ( f t o ) 舶。由前面的讨论，利用r i e m a n n 不变量，方程组( 2 1 ) 及 边界条件( 2 2 ) 一( 2 3 ) 分别化成( 2 1 4 ) 及( 2 2 1 ) 一( 2 2 2 ) 。相应地，初始条件( 2 3 3 ) 化为 t = 0 ：( r ) s ) = ( i i 、v o , 一v o g ( a o ) ) ，；( k 一+ g ( a o ) ) ) ，0 z l( 2 3 6 ) a- 8 这样，为证明定理2 1 只需证明混合初边值问题( 2 1 4 ) 、( 2 2 1 ) 一( 2 2 2 ) 及( 2 3 6 ) 在区域r ( ) 上存在唯一c 1 解( r 1s ) = ( r ( t ，z ) ，s ( t ，。) ) ，其c 1 模i l ( ns ) l l c - a ( t o ) 】充分小，且精确地满 足终端条件 = ：( r 】s ) = ( ；( 一一g ( a 硒) ) ，；( 一+ g ( a 马) ) ) ，0 墨z l ( 2 3 7 ) 由【5 】5 中定理1 1 在r ( ) 上存在方程组( 2 1 4 ) 的c 1 解，同时满足初始条件( 2 3 6 ) 及终端 条件( 2 3 7 ) 将此解代入边界条件( 2 1 8 ) 就可唯一决定边界控制函数“。( t ) 及u b ( t ) ，这就 证明了定理2 2 。 口 下面，同样在假设y 。 h ( a o ) y b 下讨论相应的单边精确能控性。由( 2 1 8 ) ，易知 当r = 0 ，s = 0 ，“。= 砒时， 撕= - 2 4 丽即嘲嘞勘”。溉 而当r = o ，s = o ，“6 = 砒时， 箬翎厨低弘z 毹叭山糕 定理2 3 对于方程组俾 的任意给定的一个平衡状态似，刀= 俾o ，j 疋( 2 ) 一( 2 9 ) ，令 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 其中a o ，满 砂2 搿而高， ( 2 加) 其中， a z ( o ，o ) = 一、石丽蕊，a 。( o ，o ) = + 矛玎确。对于任意给定的初 态( a o ，y o ) c 1 o ，l 】、终态( a ，h b ) c 1 o ，l 】及在z = 0 处的闸门变化规律? t a ( t ) c 1 o ， ，其c 1 模i i ( a o 一4 0 ，y o y o ) l l o t o ，引、i i ( a 孔一a o ，b 一9 0 ) 1 1 g ，n 引及i l u 。( t ) 一 面。i i g ，【o ，t o 均充分小，则如果俾3 圳的右端不为零，那么一定存在z = l 处的闸门边界 控制( t ) c 1 【o ，t o ，其c 1 模l l u b ( t ) 一讯- 【0 引充分小，使相应的混合初一边值问题 俾砂一偿圳及偿- 3 s ) 在区域r ( 蜀) 上存在唯一的c 1 解，v ) = ( a ( t ，z ) ，v ( t ，z ) ) ，其c 1 模l i 一a o ，v 一) l i c 【r ( 如) 】充分小，且精确地满足终端条件偿s s ) 。 证明由前面的讨论，为证明定理2 3 只需证明混合初边值问题( 2 1 4 ) 、( 2 2 1 ) 一( 2 2 2 ) 及 ( 2 - 3 6 ) 在区域r ( t o ) 上存在唯一解( r ，s ) = f f ( t ，z ) ，s ( t ，z ) ) ，其c 1 模l i ( r ，s ) i 。，【r ( 孔) 】充分 q 小，且精确地满足终端条件( 2 3 7 ) 由 4 中定理2 1 的证明，如果( 2 3 8 ) 的右端不为零， 可在r ( t o ) 上存在方程组( 2 1 4 ) 的解，同时满足初始条件( 2 3 6 ) ，终端条件( 2 3 7 ) 以及在 z = 0 处的闸门边界条件( 2 1 8 ) 的第一式将此解代入( 2 1 8 ) 的第二式，就可决定在z = 五 的闸门控制函数u b ( t ) ，使在时间内，可将拟线性双曲系统( 2 1 4 ) 从初态( 23 6 ) 精确控 制到终态( 2 3 7 ) ，从而定理2 3 成立。口 注2 1 在偿占剐的右端不为0 之假设下，类似地可用x = 0 处的闸门控制实现单边精确 能控性 注2 2 要实现单边精确能控性，需俾s s ) 或俾8 圳的右端不为口，这是一个在应用中难 以保证实现的条件因此，下面我们不再追求减少控制的数目，而祷所有的闸门均用来进行 控制 3 弦状网络河道非定常流的精确边界能控性 先考虑两段成瀑布状流动的平底柱状河道i 及i i 所组成的弦状网络河道，它们相汇于 z = l 2 处，见图二设河道i 的左端在z = l 1 处，右端在。= l 2 处，楣应的s a i n t v e n a n t 方程组为 瞧+ 笋一o ，川，坯。， 慨。，ov(1)os( 1 ” 。”2 “2 叫 【1 r 十刁一u ， 而河道i i 的左端在x = l 2 处，右端在z = l 3 处，相应的s a i n t v e n a n t 方程组为 熊+ 笋一o ，坯。， 慨。， 1 警+ 警一o ， 眨叱如郅灿3 _ 其中l 2 一l 1 及l 3 一l 2 分别为河道i 及i i 的长度；a ( 1 ) = a ( 1 ) ( t ，茁) 及a ( 2 ) = a ( 2 ) ( t ，z ) 分别表 示在t 时刻、。处i 及i i 两河道液面的横截面积；y ( 1 ) = y ( 1 ( t ，x ) 及y ( 2 ) = y ( 2 ( t ，z ) 分别表 示在t 时刻、z 处i 及i i 两河道内河水的平均流动速度；s ( 1 ) = j ( v ( 1 ) 2 + g h l ( a ( 1 ) + 9 1 及s ( 2 ) = ( y ( 2 ) 2 + 9 忆( 2 ) ) + 9 w 2 ； 1 ( a ( 1 ) 及 2 ( 2 ) 分别表示i 及i i 两河道液面的高 度，h i ( a ( ，) 0 ，( a ( 2 1 ) 0 ，硪1 = 珞2 为河床的海拔高度，g 为重力加速度。 1 0 设在z = l 1 ，z = l 2 及= l 3 处各有一个闸门，其底部高度分别为“1 ，2 及“3 ，并 设y 。为河道i 左端外侧液面高度，而舶为河道i i 右端外侧液面高度，相应的边界条件及 交接面条件为 图2 ：两段的弦状网络河道 lz = l l ：a 1 v ( 1 | a ( 1 v ( 1 i = 2 9 讲( y 。一h 1 ( a ( 1 ) ) ， t = l 2 ：a ( 1 y ( 1 a ( 1 y ( 1 i = a ( 2 v ( 2 i a ( 2 v ( 2 i = 2 9 遥( h 1 ( a ( 1 ) 一 2 ( a ( 2 ) ) ， ( 3 3 ) i _ = l 3 ：a ( 2 v ( 2 a ( 2 v ( 2 i = 2 9 媚( h 2 ( a ( 2 ) 一蜘) 的平衡状态( 豸“，4 ( 0 1 ) 及( 璐扪，a 孑) ，可求出u 1 ，2 ，u 3 的平衡位置豇1 ，面。及面3 满足 从雨由假设一， 由假设二， 啦嚣29(ya 1 一九1 ( 五3 l m 妊蒹a(淤1)fi(1瀚h5(1)(z(1)i 。 2 9 ( 五l ( a ) 一 2 ( a ) ) 棼纂29(h 。 2 ( 且) 一蜘) ( 3 8 ) ( 互5 1 尉1 ) 2 2 9 ( m i n ( y 。，h i ( 五乎) ) ) 2 一h i ( 五乎) f ，( 3 ，9 ) ( a 乎语1 ) 2 2 9 ( m i n ( h 】( 囊妒) ，a 2 ( a 乎) ) ) 2 f 矗。( 五酽) 一勉( 五铲) ，( 3 1 0 ) 而由假设三， ( a 乎讨2 ) 2 2 9 ( m i n ( y a ，h 2 ( a 孑) ) ) 2 舶一h 2 ( a 乎) i ( 3 1 1 ) 今后总假设( 3 7 ) 及( 3 9 ) 一( 3 1 1 ) 成立，并且进一步假设平衡态满足如下的亚临界条件： li 话”i h 2 ( 五垆y b ， 引理3 1 对于s a i n t - v e n a n t 方程组p 纠一p 纠，给定初始条件 t = 0 ：( a ( 1 1 ，y ( ，a ( 扪，矿( 2 ) = ( a p ，培，a 乎，讨2 ) ( 3 1 3 ) 及边界条件与交接面条件p 砂，并设在点( 0 ，l 1 ) ，( o ，l 2 ) 及( 0 ，l 3 ) 分别满足分块c l 相 容性条件。对于事先任意给定的t 0 ，只要c 1 模i l ( a 一鸳，曙1 1 一诺1 川c - l “，k i 、l l ( a ( 0 2 一再孑，讨”一讨2 ) j l g ，【l 。，如 及i 陋一诹忙，【。，卅( i = 1 ，2 ，3 ) 充分小，那么在区域 r ( 丁) = x ) l o5t ? ；l 1 s 3 上混合初一边值问题舟， ，一p 剀及f 3 圳存在唯 一的分抉c 1 解伴整体分块c 1 解j 。 。 1 2 证明令 及 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 其中g - ( a ) = 屠，i i 孕b a ，g 。( a ) = 俦，互i 雾弦a 在此变换下，平衡状态( y ( ，a ( n ，y ( m ，a ) ( 语，a 孑，诺2 1 ，五乎) 化为( r ( ，s ( ，r ( m ，s ( 2 1 ) = ( o ，0 ，0 ，o ) 以( r ( ，s ( o ) 及( r ( ”，s ( 2 ) 为新的未知函数，可以把方程组( 3 1 ) 及( 3 2 ) 分别化为 及 其中 置冀襄t o , l 1 _ x _ l 2 c 。峋 蓑r ，s c 印警= 0 8 川山k i 警坩) ( r 2 ，) 百s ( 2 ) _ 0 1 嘭也n 一3 p 。 s ( 1 ) = r ( 1 + s ( 1 + 昭”一 5 ( 1 ) = r ( 1 + s ( 1 + 诸1 + i g h l ( s ( 1 ) - r ( 1 ) ) h i ( h l ( s o ) - r ( 1 ) ) ) 。 o ( 3 1 8 ) s 2 ) = r 2 + s 2 1 十讨m 一、9 丑；( s ( 2 ) 一r ( 2 ) ) ( 日j ( s ( 2 ) 一r ( 2 ) ) ) o ，( 3 1 9 ) 而日l 及玛分别为g l 及g 2 的反函数。 0 j ，l l 吼 g 一 + 时话 一 一 叭 y | | = 科 拈 ，jl 2 2 a a 2 2 g g 一 + 2 2 昭语 一 一 2 2 矿 矿 = | | 2 2 r s 2 2 ，filjcl_【 + + 塑茄百，、 1 1 r r nl租2 一 m a x 碡2l 呵2 - - 高l 1 ，矧，责戈，毒笺蔷) 时，同样可以实现精确边界控制因此实际的精确能控时间可取为 t o m 概( - t a x ( 鬻笺蔷，毒蔷，赢戈葫，齑褊) ，m a x l 一- 。l ，磊，赫l - l ，揣，揣) ) 。 注3 2 若在河道i 的左侧。= l 1 处采用流量边界条件r 见，刚，同样可以实现精确边界 控制；类似地，对于河道h 的右侧。= l 3 处采用流量边界条件，同样也能实现精确边界 控制。 现在考虑一般的情形假设有礼2 ) 条成瀑布状流动的平底柱状河道，其河道的端 点自左至右为z = l 1 ，l 2 ，k + 1 ，因而第i 条河道的长度为l 件l l i ( i = 1 ，n ) 。对 i = 1 ，n ，在第i 段河道内的s a i n t v e n a n t 方程组为 陬嚣扎 t 0 ，厶z 厶+ 1 ( 3 3 0 ) n + 1 ) ，且左右侧外面的液面高度分别 z = 工1 ： a ( 1 y ( 1 i a ( 1 ) y ( 1 f = 2 9 “ ( 地一h i ( a ( 1 ) ) ， 。= 厶： a 一1 y 。一1 i a “一1 y ( i 一1 i = 4 ( ) y ( i a ( i ) a ( i = 2 9 碡( 一l ( a ( i 一1 ) 一k ( a ( t ) ) f 3 3 1 1 ( i = 2 ，礼) ， 。= l n + 1 ：a ( ”y ( “a “y ”i = 2 9 乱：+ 1 ( 7 h ( a ( ”) 一蜘) ) 由( 3 3 1 ) ，对给定的满足流量相等条件 a 挈话= 霹十1 口o f f + x ) 0 = 1 ，亿一1 ) ( 3 3 2 ) 的平衡状态( 诺”，a ) 0 = 1 ，n ) ，可求出札：的平衡位置啦( i = 1 ，九+ 1 ) 满足 壮鬻， 啦采器联c 一棚，2 丽i 碡可j 而甄p 刮” 2 。= 鬻 ( 3 3 3 ) 类似前面的讨论，为了要利用闸门对河道进行控制，必须假设闸门始终位于液面下，从而应 成立 ( a 珞1 ) 2 2 岔( ”t i n ( y a ，h a1 1 ) ) ) 2 i 乳一h i ( 鼻妒) 1 ，( 3 3 4 ) ( a g 诺i ) 2 2 9 ( m i n ( h t 一1 ( a g 一1 ) ，趣( a g ) ) ) 2 i h ；一。( a g 一1 ) 一k ( a g ) i = 2 ，n ) ，( 3 3 5 ) ( a 争i 驴) 2 。r a i n 州州m a x 篙糯，鬻崭n b 。， 其中，a ；：i ) ( o ，o ) = 珞”一 9 磁( a g ) a g ，a ( o ，o ) = 诸。+ 、g q ( 五g ) a g ( i ：1 ，几) 。 那么对于任意给定的初始状态俾3 别及终端状态 t = ：( 胛，y 2 ) = ( 钱，噬) o = l ，佗) ， ( 3 4 0 ) 其c 1 模e , 2 - i i ( a ( o 一a 热培种一昭2 g - l i , l l + l j 及e , 2 。h ( 4 i a v t ( o t 】一诺”) i i c 。 充分小，一定存在闸门边界控制u t ( t ) c 1 0 ，列( i = 1 ，礼+ 1 ) ，其c 1 模l i 札。( ) 一 咄l f g ，h t o l 一= j 一，叫充分小，使得在区域r ( t o ) = = u 墨1r ( ) ，其中 r ( 马) = ( t ，z ) o 茎t s t o ，厶。s 厶+ l 0 = 1 ，铊) ， ( 3 4 1 ) 上，方程组p 3 0 ) 具边界条件及交接面条件p 3 纠与初始条件p 剀的混合初边值问题存在 唯一的分块c 1 解( a ”，y ) = ( a ( t ，z ) ，y ( t ，茁) ) 一= j ，叫，其分块c 1 模1i i ( a ( t ) 一 a g ，y ( t ) 一霄) 1 1 g - 旧( ) 】充分小，且精确地满足终端条件p 4 剀 4 具泄洪边界条件的弦状网络河道非定常流的精确边界能控性 本节我们将对带有泄洪边界条件的弦状网络河道考虑其精确边界能控性的问题为说 明起见，只考察单河道情形，不妨假设y 。 h ( 2 0 ) 蜘，并设在z = l 具泄洪边界条件， 见图三。此时，相应的s a i n t v e n a n t 方程组仍为( 2 1 ) ，而在z = 0 及z = l 处的边界条件 分别为 。= 0 ：a 2 v 2 = 2 9 ：( 3 0 一 ( a ) ) ，f 4 1 1 茁2 l ：a v = 尼( ( a ) 一6 ) ”， ( 4 2 ) 其中u 。，危( a ) 如5 2 所述，u b 为右端闸门顶部的高度且河水从闸门上方溢出，而m 1 ，；1 及k 0 为常数( 见1 3 1 ) 。 对于任意给定的平衡状态( a o ，玩) ，设( 砒，a b ) 为相应的( u 。，) 的值，考虑到要利用 闸门对河道进行控制，必须假设左端闸门始终位于液面下，从而( 2 4 ) 成立；同时对应于泄 1 8 图3 ：右端带泄洪条件的单河道情形 洪边界条件，右端闸门必须比其左液面低而比其右液面高，从而 h ( a o ) 砒 y b ( 4 3 ) 由边界条件( 4 ，】) 一( 4 2 ) ，对于给定的平衡状态( a o ，弱) ，可求出两端闸门的平衡位置面。 及砒满足 誓 玺鲨 2 9 ( n 一9 0 ) ( d 4 ) 7 ( 五卜( a o v o ) 1 一 从而由( 2 4 ) 知平衡状态( a o ，) 应满足 a 3 v - 0 2 颦丽确， ( 4 9 ) 其中入。( o ，0 ) = v o 一 9 ( a o ) a o ， 2 ( o ，o ) = + 、9 ( a o ) a o 对于任意给定的初态 ( 山，v o ) c 1 o ，l 】及终态( a 如，硌b ) c 1 【o ，纠，其c 1 模l i ( a o 一五o ，v o 一) i i g 【o ，工1 及 i i ( a 一压，一) l l g i o ，q 充分小，一定存在端点处的边界控制u 。( t ) ，u b ( t ) c 1 【o ，t o ，其 c 1 模i l ( “。( t ) 一，u b ( t ) 一面6 ) f f g 【o ，t o 充分小，使具初始条件 t = 0 ：( a ，v ) = ( a o ，y o ) ，0 z l( 4 1 0 ) 的混合初一边值问题俾纠及“j ，一佴别在区域r ( t o ) = ( t ，。) i ost t o ，0 zs 三) 上 存在唯一的c 1 解，y ) = ( t ，z ) ，v ( t ，z ) ) ，其c 1 模i i ( a 一五，v v o ) l l c 旧( t o ) i 充分 小，且精确地满足终端条件 t = t o ：( a ，v ) = ( a t o ，) ，0s 茁sl ( 4 1 1 ) 注4 1 在z = 0 处采用泄洪边界条件z = 0 ：a v = 七( 乳一钍。p ，在z = l 处采用闸门边 界条件偿剐或泄洪边界条件“剀，同样可以实现双边精确边界能控性 下面，同样在假设y 。 ( 五o ) y b 下讨论相应的单边精确能控性。由( 4 7 ) ，易知 当r = o ，s - - - - - 0 ，u 。= 西。时，( 2 3 8 ) 成立；而当r = o ，s = o ，7 2 b = f i b 时， 誓= 糕( + 瓜丽一m 0 ) ( 坼沪嘲州) ( 4 1 2 ) 从而类似于定理2 3 ，有如下的单边精确边界能控性定理 定理4 2 对于方程组偿印的任意给定的一个平衡状态阻，叨= 陋o ，9 0 ) 足2 9 ) 及( 4 5 ) 一4 6 ) ，令 t o 列m 叫a x 商南， 其中a o ，满 ( 4 1 3 ) 其中，a ，( o ，o ) = 蟊一 而可石两， a 2 ( o ，o ) = 蟊+ 、g h ( a o ) a o 对于任意给定的初 态( a o ，k ) c 1 【o ，l 】、终态( a 而，h b ) c 1 o ，l 及在z = 0 处的闸门变化规律u 。( t ) c 1 o ，t o 】，其c 1 模f i ( a o 一五，k v o ) l l e ，【o ，l i 、l ( a t o a o ，w b 一讫) i i g 【o ，引及。( 一 面n i c - h t o l 均充分小，则如果俾3 砂的右端不为零，那么一定存在。= l 处的泄洪边界控制 u b ( t ) c 1 1 0 ，t o ，其c 1 模i u d t ) 一砒恬t l o ，t o 充分小，使相应的混合初一边值问题俾 、 佴j ，一心彩及“j 刃在区域n ( t o ) 上存在唯一的c 1 解，v ) = ( a ( t ，z ) ，v ( t ，z ) ) ，其a 1 模i i 一a o ，v v o ) l l c - r ( t o ) i 充分小，且精确地满足终端条件心1 1 ) 注4 2 在“j 纠的右端不为零之假设下，类似地可用z = 0 处的闸门控制实现单边精确 能控性 注4 3 在z = 0 处采用泄洪边界条件z = 0 ：a v = ( 。一u 。) m ，在x = l 处采用闸门边 界条件俾到或泄洪边界条件心剀，在类似的条件下可以实现单边精确边界能控性。 注4 4 对于弦状网络河道，在一端或两端分别采用泄洪边界条件类似地可以实现精确边界 能控性。 2 1 参考文献 1 1 】b d es a i n t v e n a n t ，t h 6 0 r i ed u m o u v e m e n tn o np e r m a n e n td e se a u xa v e ca p p l i c a t i o na u x t r u e s d e sr i v i 6 r e se tal i n t r o d u c t i o nd e sn l a r e e sd a n sl e u rl i t j c 、r a c a d s c i p a r i s ，7 3 ( 1 8 7 1 ) ：1 4 7 - 1 5 4 ，2 3 7 2 4 0 【2 】l it a t s i e n ，r a 0b o p e n g ，j i ny i s e m i g l o b a lc 1s o l u t i o n sa n de x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t y f o rr e d u c i b l eq u a s i l i n e a rh y p e r b o i cs y s t e m s j ，m 2 a n ，3 4 ( 2 0 0 0 ) ：3 9 9 4 0 8